河北省沧州市四校2025-2026学年高三上学期11月期中联考数学试题
1．（2025高三上·沧州期中）设集合 则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高三上·沧州期中）已知，为虚数，则的值可能为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
3．（2025高三上·沧州期中）沙漏是一种古代计时仪器．如图，某沙漏由上下两个相同圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的，则这些细沙的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三上·沧州期中）一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这组数据的第60百分位数相等，则该组数据的平均数为（ ）
A．7.5 B．6 C．4.5 D．3
5．（2025高三上·沧州期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．36 B．48 C．60 D．120
6．（2025高三上·沧州期中）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三上·沧州期中）在中，内角、、的对边分别为、、，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高三上·沧州期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高三上·沧州期中）已知平面向量．与的夹角为，则（ ）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
10．（2025高三上·沧州期中）已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．
C．在区间单调递减 D．有且仅有2个零点
11．（2025高三上·沧州期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上第一象限内一点，则（ ）
A．若点关于原点对称的点为点，且，则
B．的右顶点到渐近线的距离为
C．内切圆的圆心在直线上
D．不存在点，使得点关于点对称的点在上
12．（2025高三上·沧州期中）已知函数在点处的切线与直线垂直，则 ．
13．（2025高三上·沧州期中）记为等比数列的前项和，且的公比为2，若，则 ．
14．（2025高三上·沧州期中）一个项数为的正整数数列满足，且，若为不大于的偶数，则符合条件的数列共有 个.
15．（2025高三上·沧州期中）已知函数．
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值、最小值及相应的的值．
16．（2025高三上·沧州期中）已知是椭圆的右焦点，是上一点.
（1）求的方程；
（2）记为坐标原点，过的直线与交于两点，若，求的值.
17．（2025高三上·沧州期中）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，，为的中点，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
18．（2025高三上·沧州期中）已知函数．
（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，若恒成立，求实数m的取值范围．
19．（2025高三上·沧州期中）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中.
（1）若，求的分布列和数学期望；
（2）求；
（3）求证：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：因为集合，，
所以.
故答案为：C.
【分析】先解指数不等式，得到集合A；再根据函数定义域的求解规则，确定集合B；最后依据交集的定义，计算得出结果.
2．【答案】A
【知识点】复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：设且，由得，解得，
所以，所以，
A、2>1，该选项正确，符合题意
B、1=1，该选项错误，不合题意
C、0<1，该选项错误，不合题意
D、-1<1，该选项错误，不合题意.
故答案为：A.
【分析】第一步：设复数z的代数形式为z=a+bi，明确实部a和虚部b为待求参数；第二步：将z=a+bi代入题设等式，根据复数的四则运算法则展开并整理；第三步：利用复数相等的充要条件（实部与实部相等，虚部与虚部相等），列出关于a、b的方程组；第四步：解方程组求出a、b的值，代入所设形式得到复数z.
3．【答案】B
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意，可知：这些细沙的体积为.
故答案为：B.
【分析】根据比例关系结合锥体的体积公式，从而得出这些细沙的体积.
4．【答案】A
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：这组数据的中位数为，由，得这组数据的第60百分位数为，
因此，解得，所以这组数据的平均数为.
故答案为：A
【分析】 根据题目给定的数据条件，利用中位数和第60百分位数的定义，列出对应方程求出未知参数，进而代入平均数公式计算，即可求得数据的平均数.
5．【答案】B
【知识点】等差关系的确定；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由等差数列片段和的性质，，，，成等差数列，
故，则.
故答案为：B
【分析】第一步：明确等差数列片段和的性质 ——，，，仍成等差数列；第二步：结合题目给出的片段和数据，确定新等差数列的项；第三步：利用等差中项的性质列出等式，代入已知数据进行计算；第四步：化简等式，求解得的值.
6．【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：根据题意得，，则，
又，则，，
A、若是的最小正周期，则，得，与矛盾，该选项错误，不合题意；
B、由得，满足条件，该选项正确，符合题意；
C、由得，与矛盾，该选项错误，不合题意；
D、由得，与矛盾，该选项错误，不合题意.
故答案为：B.
【分析】由正切函数y=tan x的基本性质，对称中心为，令，解得，代入逐一分析后判断选项的正误。
7．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，由余弦定理可得，
所以，由正弦定理可得，
所以①，
因为②，
联立①②可得，故.
故答案为：C.
【分析】首先，我们应用余弦定理a2 = b2 + c2 - 2bc cosA和正弦定理建立三角形中边与角的关系并进行化简；接着，利用两角和的正弦公式sin (A+B) = sinA cosB + cosA sinB，将已经计算得到的中间值代入公式中进行运算.通过这样的推导步骤，我们就能得出所要求的最终结果.
8．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和切化弦的方法，从而可得，再利用诱导公式和二倍角的余弦公式，从而得出的值.
9．【答案】B,C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、因为，即不存在实数使，所以与不共线，该选项错误，不合题意；
B、，所以，该选项正确，符合题意；
C、因为，，所以该选项正确，符合题意；
D、在上的投影向量为. 该选项错误，不合题意 .
故答案为：BC.
【分析】首先明确题目给出的各项条件，然后将向量转化为坐标形式，按照向量运算的基本法则（如加法、减法、数乘、数量积、投影公式等）对每个选项或问题进行逐一步骤的计算。通过比较计算结果与预期结论，最终做出正确的判断和分析.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，
A、，是奇函数，该选项正确，符合题意；
B、求导得，，该选项错误，不合题意；
C、，当时，，，
奇函数在上递减，则在上递减，因此在上递减，该选项正确，符合题意；
D、奇函数满足，因此零点个数必为奇数，该选项错误，不合题意.
故答案为：AC
【分析】根据奇函数的定义（f (-x) = -f (x)）来验证函数是否具有奇函数性质判断选项 A；通过对函数求导计算导函数值，分析函数在某点的变化率或切线斜率判断选项 B；利用导数的符号来确定函数的单调区间和单调性判断选项 C；依据奇函数图象关于原点对称的性质，分析函数图象的对称性特征判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：由双曲线可得，，，
A、因为点，关于原点对称，所以四边形为平行四边形，
又因为，所以四边形为矩形，所以，该选项正确，符合题意；
B、由题意知的渐近线方程为，
则右顶点到直线的距离为，该选项错误，不合题意；
C、如图所示，
设内切圆与的三边分别相切于点，，，则，，
，由，可得，
即，所以，又，
所以，所以，所以内切圆的圆心在直线上， 该选项正确，符合题意 ；
D、假设点关于点对称的点在上，
由题意可知直线的斜率存在且不为0，则，
由，两式相减得，
即，则，
所以直线的方程为，即，
此时直线为的一条渐近线，与无交点，与假设矛盾，
即不存在点，使得点关于点对称的点在上，该选项正确，符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】画出图像，通过确认四边形是平行四边形，再加上对角线相等这一条件，就能断定该四边形是矩形，以此来验证选项 A；运用点到直线的距离计算公式可以对选项 B 进行判断；借助双曲线的定义推导出内切圆圆心的横坐标位置，从而判断选项 C；采用反证法，先假定某点关于另一点的对称点位于曲线上，然后推导出矛盾结果，以此来判断选项 D.
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：由题意有，所以，
由函数在点处的切线与直线垂直，
所以，所以.
故答案为：.
【分析】先利用求导公式求，首先计算函数的导数以得到切线斜率，然后根据函数在指定点处的切线与已知直线垂直这一条件（两条垂直直线的斜率乘积为 - 1），建立方程求解未知参数。
13．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由，
可得，
解得，
所以，，
则．
故答案为：．
【分析】根据等比数列的通项公式和已知条件，从而可得的值，再代入等比数列前n项和公式，从而得出的值.
14．【答案】
【知识点】分类加法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由题意，得且，
当时，，
则可以取或，且逐项不减小，此时满足条件的数列的个数有个；
当，，则可以取或或或，且逐项不减小，
此时满足条件的数列的个数有个；
当，，则可以取或或或或或，且逐项不减小，
此时满足条件的数列的个数有个；
当，，则可以取或或或或或或或，
且逐项不减小，此时满足条件的数列的个数有个，
综上所述，满足条件的数列共有.
故答案为：.
【分析】根据题意，先确定数列中的值，再利用组合数公式和分类讨论的方法，再结合分类加法计数原理，从而得出符合条件的数列共有的个数.
15．【答案】（1）解：
故；
由令
则
故函数的单调递增区间为；
（2）解： 当时，，
则，即，
即在区间上的最小值和最大值分别为0，3，
即时，即时有最小值0，
当，即时有最大值3．
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）通过三角恒等变换简化函数表达式 ，利用正弦函数的周期性特征写出单调增区间，计算得出结论。
（2）依据正弦型函数的定义域限制，求出的范围，在求出的范围，结合其值域特性，可求解.
（1）故；
由令
则
故函数的单调递增区间为；
（2）当时，，
则，即，
即在区间上的最小值和最大值分别为0，3，
即时，即时有最小值0，
当，即时有最大值3．
16．【答案】（1）解：由题意，可知
解得
则椭圆的方程为.
（2）解：若直线的斜率不存在，根据对称性，不妨令，
则，不符合条件；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组，得
整理得，
则，
因为，
所以
，
解得，
则.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将点P点代入椭圆方程，再根据椭圆中a、b、c的关系式和椭圆的右焦点坐标，从而列方程组得出a，b，c的值，进而得出椭圆E的方程.
（2）先分类讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，根据图形的对称性可求出两点的坐标，再通过两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出是否垂直；当直线的斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程，再利用韦达定理得出直线斜率，最后由弦长公式计算得出的值.
（1）由题可知，解得
则的方程为.
（2）若的斜率不存在，根据对称性，不妨令，则，不符合条件.
若的斜率存在，设的方程为，
联立方程组整理得，
则.
因为，所以
，解得，
则.
17．【答案】（1）证明：取线段的中点，连接、，如下图所示：
因为、分别为、的中点，所以，且，
因为四边形为菱形，所以，，
因为为的中点，所以，，
所以，，所以，四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，故平面.
（2）解：连接、，设，则，
又因为平面，以点为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则，可得、、、，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的一个法向量为，，
则，取，可得，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先利用四边形为平行四边形证明线线平行：取线段的中点，连接、，证明平行四边形，可得出；再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）连接、，设，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用面面角的向量法夹角公式求解即可.
（1）取线段的中点，连接、，如下图所示：
因为、分别为、的中点，所以，且，
因为四边形为菱形，所以，，
因为为的中点，所以，，
所以，，所以，四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，故平面.
（2）连接、，设，则，
又因为平面，以点为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则，可得、、、，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的一个法向量为，，
则，取，可得，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：，
因为函数的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，解得．
（2）解：当时，令，得，当时，，在单调递减，时，，在单调递增；
当时，令，得，，
当时，，，
所以当，或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
当时，恒成立，所以在单调递减；
当时，，，所以当，或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
综上所述，时，在单调递减，在单调递增；
当时，在，单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时，在，单调递减，在单调递增．
（3）解：由（2）可知，当时，在单调递减，
令，，
是奇函数，则的对称中心为，
恒成立，
，即，，则．
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先对函数f(x)求导，根据垂直关系可得切线斜率为0得，求解.
（2）由（1）知，需分类讨论：当时，；当时，恒成立，；当时，；时，，得；利用导函数的正负，得到函数的单调性及单调区间，
（3）当时，，构造，易知是奇函数，进而得为的对称中心，原不等式可化为（利用对称性），进而根据函数的单调性得解.
（1），
因为函数的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，解得．
（2）当时，令，得，当时，，在单调递减，时，，在单调递增；
当时，令，得，，
当时，，，
所以当，或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
当时，恒成立，所以在单调递减；
当时，，，所以当，或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
综上所述，时，在单调递减，在单调递增；
当时，在，单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时，在，单调递减，在单调递增．
（3）由（2）可知，当时，在单调递减，
令，，
是奇函数，则的对称中心为，
恒成立，
，即，，则．
19．【答案】（1）解：依题意，的可能取值为，其中，
则，
，
，
所以，随机变量分布列为：
则.
（2）解：因为个周期结束后共有个细胞，
所以，必在某一个周期结束后分裂成个细胞.
不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，
此事件概率为，
所以
.
（3）证明：因为个周期结束后共有3个细胞，
设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，
这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，
另一个一直保持分裂为个细胞，
此事件的概率为：
得，
则
，
其中，，
令，，
记，，
令，得，
当，，单调递增；
当，，单调递减，
则，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件分别求出取所有可能的值时的概率，再列出概率分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式，从而求出随机变量的数学期望.
（2）设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，最后求和得出的值.
（3）设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，另一个一直保持分裂为个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和得到的解析式，再根据导数判断函数的单调性，从而求出函数的最值，进而证出不等式成立.
（1）的可能取值为，
其中，
，
，
，
所以分布列为
；
（2）个周期结束后共有个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞.
不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，
此事件概率，
所以
.
（3）个周期结束后共有3个细胞，设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，
这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，
另一个一直保持分裂为个细胞，此事件的概率
，
得，
，
其中，.
令，，
记，，令，得.
当，，单调递增；
当，，单调递减，
故，
即.
1 / 1河北省沧州市四校2025-2026学年高三上学期11月期中联考数学试题
1．（2025高三上·沧州期中）设集合 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：因为集合，，
所以.
故答案为：C.
【分析】先解指数不等式，得到集合A；再根据函数定义域的求解规则，确定集合B；最后依据交集的定义，计算得出结果.
2．（2025高三上·沧州期中）已知，为虚数，则的值可能为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】A
【知识点】复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：设且，由得，解得，
所以，所以，
A、2>1，该选项正确，符合题意
B、1=1，该选项错误，不合题意
C、0<1，该选项错误，不合题意
D、-1<1，该选项错误，不合题意.
故答案为：A.
【分析】第一步：设复数z的代数形式为z=a+bi，明确实部a和虚部b为待求参数；第二步：将z=a+bi代入题设等式，根据复数的四则运算法则展开并整理；第三步：利用复数相等的充要条件（实部与实部相等，虚部与虚部相等），列出关于a、b的方程组；第四步：解方程组求出a、b的值，代入所设形式得到复数z.
3．（2025高三上·沧州期中）沙漏是一种古代计时仪器．如图，某沙漏由上下两个相同圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的，则这些细沙的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意，可知：这些细沙的体积为.
故答案为：B.
【分析】根据比例关系结合锥体的体积公式，从而得出这些细沙的体积.
4．（2025高三上·沧州期中）一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这组数据的第60百分位数相等，则该组数据的平均数为（ ）
A．7.5 B．6 C．4.5 D．3
【答案】A
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：这组数据的中位数为，由，得这组数据的第60百分位数为，
因此，解得，所以这组数据的平均数为.
故答案为：A
【分析】 根据题目给定的数据条件，利用中位数和第60百分位数的定义，列出对应方程求出未知参数，进而代入平均数公式计算，即可求得数据的平均数.
5．（2025高三上·沧州期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．36 B．48 C．60 D．120
【答案】B
【知识点】等差关系的确定；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由等差数列片段和的性质，，，，成等差数列，
故，则.
故答案为：B
【分析】第一步：明确等差数列片段和的性质 ——，，，仍成等差数列；第二步：结合题目给出的片段和数据，确定新等差数列的项；第三步：利用等差中项的性质列出等式，代入已知数据进行计算；第四步：化简等式，求解得的值.
6．（2025高三上·沧州期中）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：根据题意得，，则，
又，则，，
A、若是的最小正周期，则，得，与矛盾，该选项错误，不合题意；
B、由得，满足条件，该选项正确，符合题意；
C、由得，与矛盾，该选项错误，不合题意；
D、由得，与矛盾，该选项错误，不合题意.
故答案为：B.
【分析】由正切函数y=tan x的基本性质，对称中心为，令，解得，代入逐一分析后判断选项的正误。
7．（2025高三上·沧州期中）在中，内角、、的对边分别为、、，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，由余弦定理可得，
所以，由正弦定理可得，
所以①，
因为②，
联立①②可得，故.
故答案为：C.
【分析】首先，我们应用余弦定理a2 = b2 + c2 - 2bc cosA和正弦定理建立三角形中边与角的关系并进行化简；接着，利用两角和的正弦公式sin (A+B) = sinA cosB + cosA sinB，将已经计算得到的中间值代入公式中进行运算.通过这样的推导步骤，我们就能得出所要求的最终结果.
8．（2025高三上·沧州期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和切化弦的方法，从而可得，再利用诱导公式和二倍角的余弦公式，从而得出的值.
9．（2025高三上·沧州期中）已知平面向量．与的夹角为，则（ ）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
【答案】B,C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、因为，即不存在实数使，所以与不共线，该选项错误，不合题意；
B、，所以，该选项正确，符合题意；
C、因为，，所以该选项正确，符合题意；
D、在上的投影向量为. 该选项错误，不合题意 .
故答案为：BC.
【分析】首先明确题目给出的各项条件，然后将向量转化为坐标形式，按照向量运算的基本法则（如加法、减法、数乘、数量积、投影公式等）对每个选项或问题进行逐一步骤的计算。通过比较计算结果与预期结论，最终做出正确的判断和分析.
10．（2025高三上·沧州期中）已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．
C．在区间单调递减 D．有且仅有2个零点
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，
A、，是奇函数，该选项正确，符合题意；
B、求导得，，该选项错误，不合题意；
C、，当时，，，
奇函数在上递减，则在上递减，因此在上递减，该选项正确，符合题意；
D、奇函数满足，因此零点个数必为奇数，该选项错误，不合题意.
故答案为：AC
【分析】根据奇函数的定义（f (-x) = -f (x)）来验证函数是否具有奇函数性质判断选项 A；通过对函数求导计算导函数值，分析函数在某点的变化率或切线斜率判断选项 B；利用导数的符号来确定函数的单调区间和单调性判断选项 C；依据奇函数图象关于原点对称的性质，分析函数图象的对称性特征判断D.
11．（2025高三上·沧州期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上第一象限内一点，则（ ）
A．若点关于原点对称的点为点，且，则
B．的右顶点到渐近线的距离为
C．内切圆的圆心在直线上
D．不存在点，使得点关于点对称的点在上
【答案】A,C,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：由双曲线可得，，，
A、因为点，关于原点对称，所以四边形为平行四边形，
又因为，所以四边形为矩形，所以，该选项正确，符合题意；
B、由题意知的渐近线方程为，
则右顶点到直线的距离为，该选项错误，不合题意；
C、如图所示，
设内切圆与的三边分别相切于点，，，则，，
，由，可得，
即，所以，又，
所以，所以，所以内切圆的圆心在直线上， 该选项正确，符合题意 ；
D、假设点关于点对称的点在上，
由题意可知直线的斜率存在且不为0，则，
由，两式相减得，
即，则，
所以直线的方程为，即，
此时直线为的一条渐近线，与无交点，与假设矛盾，
即不存在点，使得点关于点对称的点在上，该选项正确，符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】画出图像，通过确认四边形是平行四边形，再加上对角线相等这一条件，就能断定该四边形是矩形，以此来验证选项 A；运用点到直线的距离计算公式可以对选项 B 进行判断；借助双曲线的定义推导出内切圆圆心的横坐标位置，从而判断选项 C；采用反证法，先假定某点关于另一点的对称点位于曲线上，然后推导出矛盾结果，以此来判断选项 D.
12．（2025高三上·沧州期中）已知函数在点处的切线与直线垂直，则 ．
【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：由题意有，所以，
由函数在点处的切线与直线垂直，
所以，所以.
故答案为：.
【分析】先利用求导公式求，首先计算函数的导数以得到切线斜率，然后根据函数在指定点处的切线与已知直线垂直这一条件（两条垂直直线的斜率乘积为 - 1），建立方程求解未知参数。
13．（2025高三上·沧州期中）记为等比数列的前项和，且的公比为2，若，则 ．
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由，
可得，
解得，
所以，，
则．
故答案为：．
【分析】根据等比数列的通项公式和已知条件，从而可得的值，再代入等比数列前n项和公式，从而得出的值.
14．（2025高三上·沧州期中）一个项数为的正整数数列满足，且，若为不大于的偶数，则符合条件的数列共有 个.
【答案】
【知识点】分类加法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由题意，得且，
当时，，
则可以取或，且逐项不减小，此时满足条件的数列的个数有个；
当，，则可以取或或或，且逐项不减小，
此时满足条件的数列的个数有个；
当，，则可以取或或或或或，且逐项不减小，
此时满足条件的数列的个数有个；
当，，则可以取或或或或或或或，
且逐项不减小，此时满足条件的数列的个数有个，
综上所述，满足条件的数列共有.
故答案为：.
【分析】根据题意，先确定数列中的值，再利用组合数公式和分类讨论的方法，再结合分类加法计数原理，从而得出符合条件的数列共有的个数.
15．（2025高三上·沧州期中）已知函数．
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值、最小值及相应的的值．
【答案】（1）解：
故；
由令
则
故函数的单调递增区间为；
（2）解： 当时，，
则，即，
即在区间上的最小值和最大值分别为0，3，
即时，即时有最小值0，
当，即时有最大值3．
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）通过三角恒等变换简化函数表达式 ，利用正弦函数的周期性特征写出单调增区间，计算得出结论。
（2）依据正弦型函数的定义域限制，求出的范围，在求出的范围，结合其值域特性，可求解.
（1）故；
由令
则
故函数的单调递增区间为；
（2）当时，，
则，即，
即在区间上的最小值和最大值分别为0，3，
即时，即时有最小值0，
当，即时有最大值3．
16．（2025高三上·沧州期中）已知是椭圆的右焦点，是上一点.
（1）求的方程；
（2）记为坐标原点，过的直线与交于两点，若，求的值.
【答案】（1）解：由题意，可知
解得
则椭圆的方程为.
（2）解：若直线的斜率不存在，根据对称性，不妨令，
则，不符合条件；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组，得
整理得，
则，
因为，
所以
，
解得，
则.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将点P点代入椭圆方程，再根据椭圆中a、b、c的关系式和椭圆的右焦点坐标，从而列方程组得出a，b，c的值，进而得出椭圆E的方程.
（2）先分类讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，根据图形的对称性可求出两点的坐标，再通过两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出是否垂直；当直线的斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程，再利用韦达定理得出直线斜率，最后由弦长公式计算得出的值.
（1）由题可知，解得
则的方程为.
（2）若的斜率不存在，根据对称性，不妨令，则，不符合条件.
若的斜率存在，设的方程为，
联立方程组整理得，
则.
因为，所以
，解得，
则.
17．（2025高三上·沧州期中）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，，为的中点，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：取线段的中点，连接、，如下图所示：
因为、分别为、的中点，所以，且，
因为四边形为菱形，所以，，
因为为的中点，所以，，
所以，，所以，四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，故平面.
（2）解：连接、，设，则，
又因为平面，以点为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则，可得、、、，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的一个法向量为，，
则，取，可得，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先利用四边形为平行四边形证明线线平行：取线段的中点，连接、，证明平行四边形，可得出；再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）连接、，设，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用面面角的向量法夹角公式求解即可.
（1）取线段的中点，连接、，如下图所示：
因为、分别为、的中点，所以，且，
因为四边形为菱形，所以，，
因为为的中点，所以，，
所以，，所以，四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，故平面.
（2）连接、，设，则，
又因为平面，以点为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则，可得、、、，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的一个法向量为，，
则，取，可得，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
18．（2025高三上·沧州期中）已知函数．
（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，若恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：，
因为函数的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，解得．
（2）解：当时，令，得，当时，，在单调递减，时，，在单调递增；
当时，令，得，，
当时，，，
所以当，或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
当时，恒成立，所以在单调递减；
当时，，，所以当，或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
综上所述，时，在单调递减，在单调递增；
当时，在，单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时，在，单调递减，在单调递增．
（3）解：由（2）可知，当时，在单调递减，
令，，
是奇函数，则的对称中心为，
恒成立，
，即，，则．
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先对函数f(x)求导，根据垂直关系可得切线斜率为0得，求解.
（2）由（1）知，需分类讨论：当时，；当时，恒成立，；当时，；时，，得；利用导函数的正负，得到函数的单调性及单调区间，
（3）当时，，构造，易知是奇函数，进而得为的对称中心，原不等式可化为（利用对称性），进而根据函数的单调性得解.
（1），
因为函数的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，解得．
（2）当时，令，得，当时，，在单调递减，时，，在单调递增；
当时，令，得，，
当时，，，
所以当，或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
当时，恒成立，所以在单调递减；
当时，，，所以当，或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
综上所述，时，在单调递减，在单调递增；
当时，在，单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时，在，单调递减，在单调递增．
（3）由（2）可知，当时，在单调递减，
令，，
是奇函数，则的对称中心为，
恒成立，
，即，，则．
19．（2025高三上·沧州期中）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中.
（1）若，求的分布列和数学期望；
（2）求；
（3）求证：.
【答案】（1）解：依题意，的可能取值为，其中，
则，
，
，
所以，随机变量分布列为：
则.
（2）解：因为个周期结束后共有个细胞，
所以，必在某一个周期结束后分裂成个细胞.
不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，
此事件概率为，
所以
.
（3）证明：因为个周期结束后共有3个细胞，
设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，
这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，
另一个一直保持分裂为个细胞，
此事件的概率为：
得，
则
，
其中，，
令，，
记，，
令，得，
当，，单调递增；
当，，单调递减，
则，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件分别求出取所有可能的值时的概率，再列出概率分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式，从而求出随机变量的数学期望.
（2）设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，最后求和得出的值.
（3）设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，另一个一直保持分裂为个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和得到的解析式，再根据导数判断函数的单调性，从而求出函数的最值，进而证出不等式成立.
（1）的可能取值为，
其中，
，
，
，
所以分布列为
；
（2）个周期结束后共有个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞.
不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，
此事件概率，
所以
.
（3）个周期结束后共有3个细胞，设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，
这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，
另一个一直保持分裂为个细胞，此事件的概率
，
得，
，
其中，.
令，，
记，，令，得.
当，，单调递增；
当，，单调递减，
故，
即.
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