湖南省衡阳市第八中学2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题
1．（2025高三上·衡阳期中）若是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为是纯虚数，
所以，则.
故答案为：B.
【分析】利用复数的运算法则化简复数z，再根据纯虚数的判断方法，则复数的实部为0，从而可得实数a的值.
2．（2025高三上·衡阳期中）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由已知条件，可得，
又因为，
∴．
故答案为：D.
【分析】由已知条件和交集的运算法则、补集的运算法则，从而得出集合.
3．（2025高三上·衡阳期中）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，
由题意，知，
所以，
则，
所以.
故答案为：D.
【分析】由题意可知双曲线中的关系式，再结合和双曲线的离心率公式，从而得出双曲线C的离心率.
4．（2025高三上·衡阳期中）经济学家在研究供求关系时，一般用纵坐标轴表示产品价格（自变量），而用横坐标来表示产品的数量（因变量），下列供求曲线，哪一条表示厂商希望的供应曲线，哪一条表示客户希望的需求曲线，则判断正确的是（ ）．
A．厂商希望（1），客户希望（2）
B．厂商希望（2），客户希望（1）
C．厂商希望（1），客户希望（1）
D．厂商希望（2），客户希望（2）
【答案】A
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：因为产商希望价高销售数量都大，客户希望数量大价格低，
又因为（1）是产品的单价随数量的增加而增加，是厂商希望的；
图（2）是产品单价随数量的增加而降低，是客户所希望的．
故答案为：A.
【分析】根据函数的图象和实际的意义，从而找出判断正确的选项.
5．（2025高三上·衡阳期中）如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：如图，在正方体中，，
所以（或其补角）为异面直线与所成的角，
易知为正三角形，
又因为为线段的中点，
所以.
故答案为：B．
【分析】利用得出（或其补角）即为异面直线与所成的角，再由为正三角形，为线段的中点，从而得出异面直线与所成角的大小.
6．（2025高三上·衡阳期中）下列说法中正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最小值为2
C．的最小值为2 D．的最小值为1
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，当时，，故A错误；
对于B，当时，，，则，故B错误；
对于C，因为，又因为，
而对勾函数在单调递增，
则，当且仅当时取到等号，故C错误；
对于D，因为，
当且仅当时取到等号，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据基本不等式满足的前提条件，从而求解判断出选项A和选项B；根据基本不等式求最值的方法，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
7．（2025高三上·衡阳期中）用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点B作与垂直的单位向量，因为，所以．由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图2，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E．设，，，，则与△ABC的边和角之间的等量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设，
则，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，
因为，
所以，
则，
所以，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】设，利用得到，再由数量积运算法则和数量积的定义以及诱导公式，从而得出与△ABC的边和角之间的等量关系.
8．（2025高三上·衡阳期中）在中，命题，命题，则P是Q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的数量积运算；两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：命题P：由，和，
得，
∴
，
则，则，，必有一个为0，
∴A，B，C必有一个为直角，
命题Q：由，得，
则，得，
所以，∴A为直角，
则P是Q的必要不充分条件.
故答案为：B．
【分析】根据三角恒等变换解命题P，从而可得A，B，C必有一个为直角，根据平面向量的线性运算与垂直关系的向量表示，从而解命题Q可得角A为直角，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
9．（2025高三上·衡阳期中）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期是 B．的值域是
C．的图像关于点对称 D．的图像关于直线对称
【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A：因为的最小正周期是，则选项A正确；
对于B：由，
所以的值域是，则选项B正确；
对于C：因为，
所以的图像不关于点对称，则选项C不正确；
对于D：因为为最大值，
所以的图像关于直线对称，则选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据余弦型函数的最小正周期公式、换元法求余弦型函数值域、换元法判断余弦型函数的对称性的方法，从而逐项判断找出正确的选项.
10．（2025高三上·衡阳期中）根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到线性回归模型，对应的残差如图所示，则残差模型（ ）
A．满足回归模型的假设 B．不满足回归模型的假设
C．满足回归模型的假设 D．不满足回归模型的假设
【答案】B,D
【知识点】可线性化的回归分析
【解析】【解答】解：根据一元线性回归模型中对随机误差e的假定，
残差散点图中散点应是分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，
由已知残差图可知残差与观测变量x有线性关系，
因此残差模型不满足回归模型的假设，
不满足回归模型的假设.
故答案为：BD.
【分析】根据已知残差散点的分布图结合一元线性回归模型中对随机误差e的假定的含义，从而找出对残差模型正确的判断选项.
11．（2025高三上·衡阳期中）已知无穷数列中，是以10为首项，以为公差的等差数列，是以为首项，以为公比的等比数列，对一切正整数，都有.设数列的前项和为，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．不存在，使得成立
【答案】A,B,D
【知识点】函数的周期性；函数恒成立问题；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为等差数列通项公式为：，且，
等比数列通项公式为：，且，
对一切正整数，都有，
∴数列为周期数列，周期为，
当时，，故选项A正确；
当时，由题意知，是等差数列中的项，
在等差数列中，令，得，
对一切正整数，都有，则，
解得，故选项B正确；
当时，由题意知，是等差数列中的项，
在等差数列中，令，得，
对一切正整数，都有，则，
得，
所以方程有多组解，如等等，故选项C错误；
因为
若，
则，
令，函数图象抛物线对称轴，
所以在或时取最大值，
令，则 ，
所以不可能成立，
则不存在，使得，故选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由等差数列的通项公式和等比数列的通项公式以及数列为周期数列，得出当时，，从而求值判断出选项A；利用和4是等差数列中的项，从而求出项数n的值，再根据数列为周期数列且周期为，从而解出m的值，则判断出选项B和选项C；若，则，设，，由，可得结论，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2025高三上·衡阳期中）曲线在处的切线方程是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：当时，，切点为，
易知，
所以，
则所求的切线方程为，即．
故答案为：.
【分析】先求出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式方程写出曲线在处的切线方程.
13．（2025高三上·衡阳期中）已知在 中， ，则 .
【答案】
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】 因为在 中，
所以有：，于是，则
则，于是.
【分析】将已知等式角换边，再由余弦定理求得cos2C的值，再由余弦的倍角公式直接求出本题结果。
14．（2025高三上·衡阳期中）人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为“”．现已知平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，则平面与平面夹角的余弦值的最大值为 ．
【答案】
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】依题意，如图：
平面的方程为，
平面的法向量为，
同理可得，平面的法向量为，
两平面夹角的余弦值为，
平面经过点，
，
设的法向量为，则，
令，则，
设的方向向量为，则，
令，则，
平面，
平面的法向量与直线的方向向量垂直，
则，
平面与平面夹角的余弦值为：
，
，
，
，当且仅当时取等号，
平面与平面夹角的余弦值的最大值为．
故答案为：．
【分析】根据平面的方程得出平面和的法向量坐标，从而得出两平面夹角余弦值的表达式为，根据点的坐标得出平面的法向量，再利用平行关系得出的方向向量，从而得出间的关系，代入表达式和二次型函数求最值的方法，从而得出平面与平面夹角的余弦值的最大值．
15．（2025高三上·衡阳期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．求证：
（1）平面AEC；
（2）平面AEC⊥平面PBD．
【答案】（1）证明：设，连接，如图所示：
因为O，E分别为，的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）证明：连接，如图所示：
因为，为的中点，
所以，
又因为四边形为菱形，
所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1) 设，连接，根据中位线定理可得，再根据线面平行的判定定理证出平面AEC.
(2)根据可得，再根据四边形为菱形，从而可得，再根据线面垂直的判断定理，从而可得平面，再根据面面垂直的判定定理，从而证出平面AEC⊥平面PBD.
（1）设，连接，如图所示：
因为O，E分别为，的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）连接，如图所示：
因为，为的中点，所以，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
16．（2025高三上·衡阳期中）已知等差数列的前n项和为，且，（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前n项和.
【答案】（1）解：由题意知：，（）
则，
化简得，
所以，数列的通项公式.
（2）解：因为
所以①，
可得②，
①-②得：.
，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的前n项和公式与等差数列的通项公式，从而解出的值，进而写出等差数列的通项公式.
（2）利用数列的通项公式和已知条件，从而得出数列的的通项公式，再利用错位相减法得出数列的前n项和.
（1）由题意知：，（）
即：化简得.
所以数列的通项公式.
（2）因为
所以①，
可得②，
①-②得：.
故.
17．（2025高三上·衡阳期中）如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点到，，的距离分别为和2.，分别是直线，上的动点，且，设.
（1）写出面积关于的函数解析式；
（2）求函数的最小值及相对应的的值.
【答案】（1）解：，
，
又，
，，
则，
在中，，
在中，，
，.
（2）解：
，
，，
当时，即当时，取得最小值为．
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由直角三角形的锐角三角函数的定义和三角形的面积公式，从而得出函数解析式.
（2）由两角和差公式化简函数解析式，再结合x的取值范围和正弦型函数求最值的方法，从而得出函数的最小值及相对应的的值．
（1），，
又，，，则，
中，，中，，
，；
（2），
，，
当，即时，取得最小值为．
18．（2025高三上·衡阳期中）已知椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，过点作直线的垂线为垂足.求：
①已知直线过定点，求定点的坐标；
②点为坐标原点，求面积的最大值.
【答案】（1）解：由椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1，
由椭圆的几何性质，
可得，
解得，
则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：①由题意，根据椭圆的对称性可得，点必在上，且，
设直线的方程为，且，
联立方程组，得，
整理得，
所以，
可得，
由，
所以直线的方程为，
令，则
所以直线过定点.
②由①知：，
可得，
所以，
令，则，
所以，
因为函数在上为增函数，
所以在上为减函数，
则当时，面积取得最大值，最大值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质得到，再结合，从而得出的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）①设直线为，联立方程组，再利用韦达定理得出，从而得出直线的方程为，令，得到的值，从而得到直线所过的定点坐标.
②利用韦达定理得出，再利用三角形的面积公式得到，令，则转化为，再结合的单调性，从而得出面积的最大值.
（1）解：由椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1，
由椭圆的几何性质，可得，解得，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：①由题意，根据椭圆的对称性可得，点必在上，且，
设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
所以，可得，
又由，所以直线的方程为，
令，则，
所以直线过定点.
②由①知：，
可得，
所以，
令，则，所以，
因为函数在上为单调递增函数，
所以在上为单调递减函数，
故当时，面积取得最大值，最大值为.
19．（2025高三上·衡阳期中）设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间.
（1）已知函数，求的凹、凸区间；
（2）如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有.
①将不等关系转化为对应的不等式；
②证明：当，时，恒成立.
【答案】（1）解：因为的定义域为，，
设，则，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以的凹区间为，凸区间为.
（2）解：①对于凹函数定义域中的任意两个自变量，
则，，
，，
所以，，
由，
得.
证明：②对不等式，
两边取对数，问题等价于
恒成立，
构造函数，，
则恒成立，
所以，令，
，
令，则，
解得，
所以是函数的凹区间，，
则当时，是凹函数，
由①知，，当时，等号成立，
所以，当时，恒成立，
则恒成立.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用凹区间和凸区间的定义，进行两次求导，再利用导数的正负判断出导函数的单调区间，从而得到的凹区间和凸区间.
（2）①先表达出的坐标，再由，从而将不等关系转化为对应的不等式.
②对不等式两边取对数，则将问题等价于，再构造函数，，通过两次求导，从而得到是函数的凹区间，，进而得出当时，是凹函数，再结合①的结论证出当，时，恒成立.
（1）因为的定义域为，，
设，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以的凹区间为，凸区间为；
（2）①对于凹函数定义域中的任意两个自变量，
，，
，，
所以，，
由，有，
②对不等式两边取对数，问题等价于，
恒成立，
构造函数，，
即恒成立，
，令，
，
令，即，解得，
所以是函数的凹区间，
，所以当时，是凹函数，
由①知，，当时，等号成立，
所以时，恒成立，
即恒成立.
1 / 1湖南省衡阳市第八中学2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题
1．（2025高三上·衡阳期中）若是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（2025高三上·衡阳期中）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三上·衡阳期中）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2025高三上·衡阳期中）经济学家在研究供求关系时，一般用纵坐标轴表示产品价格（自变量），而用横坐标来表示产品的数量（因变量），下列供求曲线，哪一条表示厂商希望的供应曲线，哪一条表示客户希望的需求曲线，则判断正确的是（ ）．
A．厂商希望（1），客户希望（2）
B．厂商希望（2），客户希望（1）
C．厂商希望（1），客户希望（1）
D．厂商希望（2），客户希望（2）
5．（2025高三上·衡阳期中）如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）.
A． B． C． D．
6．（2025高三上·衡阳期中）下列说法中正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最小值为2
C．的最小值为2 D．的最小值为1
7．（2025高三上·衡阳期中）用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点B作与垂直的单位向量，因为，所以．由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图2，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E．设，，，，则与△ABC的边和角之间的等量关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高三上·衡阳期中）在中，命题，命题，则P是Q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2025高三上·衡阳期中）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期是 B．的值域是
C．的图像关于点对称 D．的图像关于直线对称
10．（2025高三上·衡阳期中）根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到线性回归模型，对应的残差如图所示，则残差模型（ ）
A．满足回归模型的假设 B．不满足回归模型的假设
C．满足回归模型的假设 D．不满足回归模型的假设
11．（2025高三上·衡阳期中）已知无穷数列中，是以10为首项，以为公差的等差数列，是以为首项，以为公比的等比数列，对一切正整数，都有.设数列的前项和为，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．不存在，使得成立
12．（2025高三上·衡阳期中）曲线在处的切线方程是 ．
13．（2025高三上·衡阳期中）已知在 中， ，则 .
14．（2025高三上·衡阳期中）人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为“”．现已知平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，则平面与平面夹角的余弦值的最大值为 ．
15．（2025高三上·衡阳期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．求证：
（1）平面AEC；
（2）平面AEC⊥平面PBD．
16．（2025高三上·衡阳期中）已知等差数列的前n项和为，且，（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前n项和.
17．（2025高三上·衡阳期中）如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点到，，的距离分别为和2.，分别是直线，上的动点，且，设.
（1）写出面积关于的函数解析式；
（2）求函数的最小值及相对应的的值.
18．（2025高三上·衡阳期中）已知椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，过点作直线的垂线为垂足.求：
①已知直线过定点，求定点的坐标；
②点为坐标原点，求面积的最大值.
19．（2025高三上·衡阳期中）设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间.
（1）已知函数，求的凹、凸区间；
（2）如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有.
①将不等关系转化为对应的不等式；
②证明：当，时，恒成立.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为是纯虚数，
所以，则.
故答案为：B.
【分析】利用复数的运算法则化简复数z，再根据纯虚数的判断方法，则复数的实部为0，从而可得实数a的值.
2．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由已知条件，可得，
又因为，
∴．
故答案为：D.
【分析】由已知条件和交集的运算法则、补集的运算法则，从而得出集合.
3．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，
由题意，知，
所以，
则，
所以.
故答案为：D.
【分析】由题意可知双曲线中的关系式，再结合和双曲线的离心率公式，从而得出双曲线C的离心率.
4．【答案】A
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：因为产商希望价高销售数量都大，客户希望数量大价格低，
又因为（1）是产品的单价随数量的增加而增加，是厂商希望的；
图（2）是产品单价随数量的增加而降低，是客户所希望的．
故答案为：A.
【分析】根据函数的图象和实际的意义，从而找出判断正确的选项.
5．【答案】B
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：如图，在正方体中，，
所以（或其补角）为异面直线与所成的角，
易知为正三角形，
又因为为线段的中点，
所以.
故答案为：B．
【分析】利用得出（或其补角）即为异面直线与所成的角，再由为正三角形，为线段的中点，从而得出异面直线与所成角的大小.
6．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，当时，，故A错误；
对于B，当时，，，则，故B错误；
对于C，因为，又因为，
而对勾函数在单调递增，
则，当且仅当时取到等号，故C错误；
对于D，因为，
当且仅当时取到等号，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据基本不等式满足的前提条件，从而求解判断出选项A和选项B；根据基本不等式求最值的方法，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
7．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设，
则，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，
因为，
所以，
则，
所以，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】设，利用得到，再由数量积运算法则和数量积的定义以及诱导公式，从而得出与△ABC的边和角之间的等量关系.
8．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的数量积运算；两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：命题P：由，和，
得，
∴
，
则，则，，必有一个为0，
∴A，B，C必有一个为直角，
命题Q：由，得，
则，得，
所以，∴A为直角，
则P是Q的必要不充分条件.
故答案为：B．
【分析】根据三角恒等变换解命题P，从而可得A，B，C必有一个为直角，根据平面向量的线性运算与垂直关系的向量表示，从而解命题Q可得角A为直角，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
9．【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A：因为的最小正周期是，则选项A正确；
对于B：由，
所以的值域是，则选项B正确；
对于C：因为，
所以的图像不关于点对称，则选项C不正确；
对于D：因为为最大值，
所以的图像关于直线对称，则选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据余弦型函数的最小正周期公式、换元法求余弦型函数值域、换元法判断余弦型函数的对称性的方法，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】可线性化的回归分析
【解析】【解答】解：根据一元线性回归模型中对随机误差e的假定，
残差散点图中散点应是分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，
由已知残差图可知残差与观测变量x有线性关系，
因此残差模型不满足回归模型的假设，
不满足回归模型的假设.
故答案为：BD.
【分析】根据已知残差散点的分布图结合一元线性回归模型中对随机误差e的假定的含义，从而找出对残差模型正确的判断选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的周期性；函数恒成立问题；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为等差数列通项公式为：，且，
等比数列通项公式为：，且，
对一切正整数，都有，
∴数列为周期数列，周期为，
当时，，故选项A正确；
当时，由题意知，是等差数列中的项，
在等差数列中，令，得，
对一切正整数，都有，则，
解得，故选项B正确；
当时，由题意知，是等差数列中的项，
在等差数列中，令，得，
对一切正整数，都有，则，
得，
所以方程有多组解，如等等，故选项C错误；
因为
若，
则，
令，函数图象抛物线对称轴，
所以在或时取最大值，
令，则 ，
所以不可能成立，
则不存在，使得，故选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由等差数列的通项公式和等比数列的通项公式以及数列为周期数列，得出当时，，从而求值判断出选项A；利用和4是等差数列中的项，从而求出项数n的值，再根据数列为周期数列且周期为，从而解出m的值，则判断出选项B和选项C；若，则，设，，由，可得结论，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：当时，，切点为，
易知，
所以，
则所求的切线方程为，即．
故答案为：.
【分析】先求出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式方程写出曲线在处的切线方程.
13．【答案】
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】 因为在 中，
所以有：，于是，则
则，于是.
【分析】将已知等式角换边，再由余弦定理求得cos2C的值，再由余弦的倍角公式直接求出本题结果。
14．【答案】
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】依题意，如图：
平面的方程为，
平面的法向量为，
同理可得，平面的法向量为，
两平面夹角的余弦值为，
平面经过点，
，
设的法向量为，则，
令，则，
设的方向向量为，则，
令，则，
平面，
平面的法向量与直线的方向向量垂直，
则，
平面与平面夹角的余弦值为：
，
，
，
，当且仅当时取等号，
平面与平面夹角的余弦值的最大值为．
故答案为：．
【分析】根据平面的方程得出平面和的法向量坐标，从而得出两平面夹角余弦值的表达式为，根据点的坐标得出平面的法向量，再利用平行关系得出的方向向量，从而得出间的关系，代入表达式和二次型函数求最值的方法，从而得出平面与平面夹角的余弦值的最大值．
15．【答案】（1）证明：设，连接，如图所示：
因为O，E分别为，的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）证明：连接，如图所示：
因为，为的中点，
所以，
又因为四边形为菱形，
所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1) 设，连接，根据中位线定理可得，再根据线面平行的判定定理证出平面AEC.
(2)根据可得，再根据四边形为菱形，从而可得，再根据线面垂直的判断定理，从而可得平面，再根据面面垂直的判定定理，从而证出平面AEC⊥平面PBD.
（1）设，连接，如图所示：
因为O，E分别为，的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）连接，如图所示：
因为，为的中点，所以，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
16．【答案】（1）解：由题意知：，（）
则，
化简得，
所以，数列的通项公式.
（2）解：因为
所以①，
可得②，
①-②得：.
，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的前n项和公式与等差数列的通项公式，从而解出的值，进而写出等差数列的通项公式.
（2）利用数列的通项公式和已知条件，从而得出数列的的通项公式，再利用错位相减法得出数列的前n项和.
（1）由题意知：，（）
即：化简得.
所以数列的通项公式.
（2）因为
所以①，
可得②，
①-②得：.
故.
17．【答案】（1）解：，
，
又，
，，
则，
在中，，
在中，，
，.
（2）解：
，
，，
当时，即当时，取得最小值为．
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由直角三角形的锐角三角函数的定义和三角形的面积公式，从而得出函数解析式.
（2）由两角和差公式化简函数解析式，再结合x的取值范围和正弦型函数求最值的方法，从而得出函数的最小值及相对应的的值．
（1），，
又，，，则，
中，，中，，
，；
（2），
，，
当，即时，取得最小值为．
18．【答案】（1）解：由椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1，
由椭圆的几何性质，
可得，
解得，
则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：①由题意，根据椭圆的对称性可得，点必在上，且，
设直线的方程为，且，
联立方程组，得，
整理得，
所以，
可得，
由，
所以直线的方程为，
令，则
所以直线过定点.
②由①知：，
可得，
所以，
令，则，
所以，
因为函数在上为增函数，
所以在上为减函数，
则当时，面积取得最大值，最大值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质得到，再结合，从而得出的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）①设直线为，联立方程组，再利用韦达定理得出，从而得出直线的方程为，令，得到的值，从而得到直线所过的定点坐标.
②利用韦达定理得出，再利用三角形的面积公式得到，令，则转化为，再结合的单调性，从而得出面积的最大值.
（1）解：由椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1，
由椭圆的几何性质，可得，解得，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：①由题意，根据椭圆的对称性可得，点必在上，且，
设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
所以，可得，
又由，所以直线的方程为，
令，则，
所以直线过定点.
②由①知：，
可得，
所以，
令，则，所以，
因为函数在上为单调递增函数，
所以在上为单调递减函数，
故当时，面积取得最大值，最大值为.
19．【答案】（1）解：因为的定义域为，，
设，则，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以的凹区间为，凸区间为.
（2）解：①对于凹函数定义域中的任意两个自变量，
则，，
，，
所以，，
由，
得.
证明：②对不等式，
两边取对数，问题等价于
恒成立，
构造函数，，
则恒成立，
所以，令，
，
令，则，
解得，
所以是函数的凹区间，，
则当时，是凹函数，
由①知，，当时，等号成立，
所以，当时，恒成立，
则恒成立.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用凹区间和凸区间的定义，进行两次求导，再利用导数的正负判断出导函数的单调区间，从而得到的凹区间和凸区间.
（2）①先表达出的坐标，再由，从而将不等关系转化为对应的不等式.
②对不等式两边取对数，则将问题等价于，再构造函数，，通过两次求导，从而得到是函数的凹区间，，进而得出当时，是凹函数，再结合①的结论证出当，时，恒成立.
（1）因为的定义域为，，
设，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以的凹区间为，凸区间为；
（2）①对于凹函数定义域中的任意两个自变量，
，，
，，
所以，，
由，有，
②对不等式两边取对数，问题等价于，
恒成立，
构造函数，，
即恒成立，
，令，
，
令，即，解得，
所以是函数的凹区间，
，所以当时，是凹函数，
由①知，，当时，等号成立，
所以时，恒成立，
即恒成立.
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