天津市北京师范大学天津生态城附属学校2025-2026学年高三上学期期中数学测试卷
1．（2025高三上·天津期中）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·天津期中）已知命题 ， ，则命题 的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2025高三上·天津期中）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高三上·天津期中）设集合，，那么“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025高三上·天津期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三上·天津期中）已知球的表面积为，则该球的体积是（ ）cm3
A．64π B．144π C．288π D．216π
7．（2025高三上·天津期中）下列命题错误的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于
B．设，且，则
C．线性回归直线一定经过样本点的中心
D．随机变量，若，则
8．（2025高三上·天津期中）记为等差数列的前项和，且，则取最大值时的值为（ ）
A．12 B．12或11 C．11或10 D．10
9．（2025高三上·天津期中）函数，其中，其最小正周期为，则下列说法中错误的个数是（ ）
①
②函数图象关于点对称
③函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为
④若，则函数的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025高三上·天津期中）若复数是纯虚数，则实数的值是 .
11．（2025高三上·天津期中）已知二项式，其展开式中项的系数为 .
12．（2025高三上·天津期中）天津是一个历史悠久的文化古都，五大道，石家大院，古文化街，鼓楼这四个景点又是天津十分有名的旅游胜地．已知某游客游览五大道的概率为，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客只游览一个景点的概率为 ；该游客至少游览三个景点的概率为 ．
13．（2025高三上·天津期中），，若2是与的等比中项，则的最小值是 .
14．（2025高三上·天津期中）已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示 ；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为 ．
15．（2025高三上·天津期中）已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是 .
16．（2025高三上·天津期中）已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
17．（2025高三上·天津期中）已知的内角，，，的对边分别为，，，满足
（1）求角的大小；
（2）若，，求边的值；
（3）若，求的值.
18．（2025高三上·天津期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
19．（2025高三上·天津期中）已知等差数列的前n项和为，数列是各项均为正数的等比数列，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和；
（3）令，数列的前n项和，求证：．
20．（2025高三上·天津期中）已知函数.
（1）若该函数在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）若函数在其定义域上有两个极值点.
①求的取值范围；
②证明：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：，
因为，可得，
因为，所以，
故答案为：C．
【分析】将集合中元素一一列举，再根据补集和交集定义依次运算即可求解.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题 为特称命题，其否定为 ， ，
故答案为：C.
【分析】利用全称命题和特称命题互为否定的关系，从而写出命题p的否定。
3．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：由题意可得，的定义域是，定义域关于原点对称，
因为，所以是奇函数，排除选项CD，
因为，排除B，
故选：A.
【分析】先求得函数的定义域，进而利用奇偶性排除错误选项，再分析的正负，结合图像可得到正确选项.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意，集合，，
因为，所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：A.
【分析】解对数不等式得集合，可得，由集合法判断充分条件、必要条件，即可求解.
5．【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，
∴.
故答案为：D
【分析】分解条件分别建立指对数函数模型，根据其的性质插入中间值0，1，判断对数式、指数幂的大小关系.
6．【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球的半径为，则，
所以球的体积为.
故答案为：C
【分析】先代入表面积公式求得球的半径，再代入体积公式求得球的体积.
7．【答案】B
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征；总体分布的估计；二项分布
【解析】【解答】解：A、根据相关系数的意义可知，两个随机变量的线性相关性越强，
相关系数的绝对值越接近于，该选项正确，不合题意；
B、由，知，即概率密度函数的图象关于直线对称，
所以，
则，该选项错误，符合题意；
C、根据线性回归直线的性质可知，
线性回归直线一定经过样本点的中心，
该选项正确，不合题意；
D、随机变量，若，
则，
该选项正确，不合题意；
故答案为：B.
【分析】通过变量间的相关关系分析选项 A；依据正态分布的特征性质判断选项 B；利用线性回归直线的统计特性验证选项 C；根据随机变量的约束条件构建方程组求解参数以判断选项 D.
8．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，由，得，即，
又，所以，所以，令，可得，
所以数列满足：当时，；当时，；当时，，
所以取得最大值时，的取值为11或12．
故答案为：B．
【分析】设等差数列的公差为d，代入通项公式可解出d值为，代入通项公式可知数列第12项为0，前11项为正；从第13项起，各项为负，故当n=11或12时取得最大值可确定．
9．【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，所以函数的最小正周期为，
因为，所以，故①正确；
则，
因为，
所以函数图象关于点对称，故②正确，
将函数图象向右移个单位后可得函数的图象，
因为的图象关于轴对称，
所以，
又因为，
所以的最小值为，故③正确，
若，则，
所以，
则，
所以，当时，函数取最大值，最大值为，故④错误.
故答案为：A.
【分析】利用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，从而化简函数f(x)为正弦型函数，再根据正弦型函数的最小正周期公式可得的值，从而判断出序号①；验证是否为函数的对称中心判断出序号②；结合正弦型函数的图象平移变换，则判断出序号③；结合不等式的基本性质和正弦型函数求最值的方法，则判断出序号④，从而找出说法错误的序号个数.
10．【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为是纯虚数，
所以，
解得.
故答案为：.
【分析】先利用复数的除法运算法则，从而化简复数，再由复数的实部等于和虚部不等于 ，从而得出实数a的值.
11．【答案】
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：二项式展开式通项为，
令，解得：，，
展开式中项的系数为.
故答案为：.
【分析】先计算二项展开式通项公式，化简，让x的指数求解即可.
12．【答案】；
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：该游客只游览一个景点的概率为，
该游客游览三个景点的概率为，
该游客游览四景点的概率为，
所以该游客至少游览三个景点的概率为，
故答案为：；
【分析】先将游客游览的所有情况分类，分别求出游览一、三、四个景点的概率，根据互相独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可.
13．【答案】9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为是与的等比中项，得到，得到，
又，，所以，当且仅当，即，时，取等号，
故答案为：9.
【分析】利用是与的等比中项求出等式，再化简，利用基本不等式即可求解.
14．【答案】；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量的模；平面向量的基本定理；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：根据题意，
可得，
由点是中点，
可得，
所以，
则向量在向量上的投影向量，
因为，
所以，
则向量在向量上的投影向量的模为：
，
当且仅当时，即当时取等号，
所以，向量在向量上的投影向量的模的最小值为.
故答案为：①；②.
【分析】由题意可得，，从而可得；再利用向量在向量上的投影向量的模为，再根据基本不等式求最值的方法，从而得出向量在向量上的投影向量的模的最小值.
15．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意可知的实数解可以转化为或的实数解，
即与或的图象交点的横坐标，
当时，，则，所以时，，
所以在上单调递增；
当时，，可得在上单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，且；
作出函数的大致图象如下图所示：
所以当时，由图可知与无交点，即方程无解；
与有两个不同的交点，即有两个实数解；
当时，，
令，则，则，，
作出大致图象如下图所示：
因为当时，与有两个不同的交点，
所以只保证与及共有四个交点即可，
所以只需，解得，
即可得正实数的取值范围.
故答案为：.
【分析】先解一元二次方程得或，把问题转化为与或的交点个数问题，数形结合，画出图形，再结合对称性和单调性求出参数取值范围即可.
16．【答案】（1）解：
，
令，得，
所以的单调递增区间为；
（2）解：当时，，
所以.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）先利用正弦、余弦的二倍角公式，及辅助角公式化一，再根据正弦函数的单调性列出单调增区间即可得解；
（2）由x的范围，求出，结合正弦函数图象与性质即可得解.
（1）
，
令，得，
所以的单调递增区间为；
（2）当时，，
所以.
17．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理，
得：，
则，
因为，
所以，
则.
（2）解：由（1）知，
因为，，
由余弦定理，得：，
则，
解得，
则.
（3）解：由，得：，
则，
所以.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由结合正弦定理和三角形中角A和角B的取值范围，再利用同角三角函数基本关系式，从而得出角B的值.
（2）利用（1）得出的角B的值和已知条件以及余弦定理，从而得出的值.
（3）利用同角三角函数基本关系式和二倍角公式以及两角差的余弦公式，从而得出的值.
（1）解：因为，由正弦定理得：
，即，
因为，所以，则；
（2）由（1）知，又，，
由余弦定理得：，即，
解得，则；
（3）由得：，
则，
所以，
.
18．【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
在中，因为，分别是为棱，的中点，
所以为中位线，
所以，且，
又，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）解：平面，平面，
所以，又，
所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
取的中点，连接，如图所示：
因为，，且，
所以四边形是边长为2的正方形，
所以，
因为为棱的中点，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
即平面的一个法向量为，
又平面，平面，
所以，由，且，
所以平面，即平面，
所以为平面的一个法向量，
所以，
所以平面和平面夹角的余弦值为.
（3）解：由（2）知，平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为：
，
所以点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）要证线面平行，需证线线平行；利用三角形中位线，取的中点，可得平行四边形，可得，由线面平行的判定定理即可证明；
（2）结合已知条件建立空间直角坐标系，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用面面角的向量法求解即可；
（3）在（2）的基础上代入 求点到面的距离即可.
（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
在中，因为，分别是为棱，的中点，
所以为中位线，
所以，且，
又，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）平面，平面，
所以，又，
所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
取的中点，连接，如图所示：
因为，，且，
所以四边形是边长为2的正方形，
所以，
因为为棱的中点，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
即平面的一个法向量为，
又平面，平面，
所以，由，且，
所以平面，即平面，
所以为平面的一个法向量，
所以，
所以平面和平面夹角的余弦值为
（3）由（2）知，平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为：
，
所以点到平面的距离为.
19．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，
因为，
所以，
解得，
则数列的通项公式为，
因为，
由，得，
所以数列通项公式为．
（2）解：因为
所以，①
，②
①②，
得
，
所以.
（3）证明：因为，
所以
则
，
因为，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，根据已知条件列方程组，从而求出公差和公比的值，再利用等差数列的通项公式、等比数列的通项公式，从而求出数列和的通项公式.
（2）由（1）可得，再利用错位相减法求出数列的前n项和.
（3）由（1）可得，再利用裂项相消法和放缩法，从而证出不等式成立.
（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为．
因为，
所以，解得，
所以数列的通项公式为．
，由，得，
所以数列通项公式为．
（2），①
，②
①②，
所以
（3）证明：因为，
所以
所以
因为
所以．
20．【答案】解：（1）由已知得，；
（2），
①由已知得有两个正数解即有两个正数解
令，则
由得，由得
∴在上递增，在上递减且
由图可知m的取值范围是.
②由①可设，构造函数
则
在上为增函数.
即
且在上递增，
.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求出导函数，由直线垂直可得即可求解.
（2）①求出g(x)，，即求有两个正数解；令，求导求的单调性，画出图像趋势，数形结合即可求解；②由①得，可设，构造函数，通过求导函数判断函数的单调性，判断，得证.
1 / 1天津市北京师范大学天津生态城附属学校2025-2026学年高三上学期期中数学测试卷
1．（2025高三上·天津期中）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：，
因为，可得，
因为，所以，
故答案为：C．
【分析】将集合中元素一一列举，再根据补集和交集定义依次运算即可求解.
2．（2025高三上·天津期中）已知命题 ， ，则命题 的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题 为特称命题，其否定为 ， ，
故答案为：C.
【分析】利用全称命题和特称命题互为否定的关系，从而写出命题p的否定。
3．（2025高三上·天津期中）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：由题意可得，的定义域是，定义域关于原点对称，
因为，所以是奇函数，排除选项CD，
因为，排除B，
故选：A.
【分析】先求得函数的定义域，进而利用奇偶性排除错误选项，再分析的正负，结合图像可得到正确选项.
4．（2025高三上·天津期中）设集合，，那么“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意，集合，，
因为，所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：A.
【分析】解对数不等式得集合，可得，由集合法判断充分条件、必要条件，即可求解.
5．（2025高三上·天津期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，
∴.
故答案为：D
【分析】分解条件分别建立指对数函数模型，根据其的性质插入中间值0，1，判断对数式、指数幂的大小关系.
6．（2025高三上·天津期中）已知球的表面积为，则该球的体积是（ ）cm3
A．64π B．144π C．288π D．216π
【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球的半径为，则，
所以球的体积为.
故答案为：C
【分析】先代入表面积公式求得球的半径，再代入体积公式求得球的体积.
7．（2025高三上·天津期中）下列命题错误的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于
B．设，且，则
C．线性回归直线一定经过样本点的中心
D．随机变量，若，则
【答案】B
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征；总体分布的估计；二项分布
【解析】【解答】解：A、根据相关系数的意义可知，两个随机变量的线性相关性越强，
相关系数的绝对值越接近于，该选项正确，不合题意；
B、由，知，即概率密度函数的图象关于直线对称，
所以，
则，该选项错误，符合题意；
C、根据线性回归直线的性质可知，
线性回归直线一定经过样本点的中心，
该选项正确，不合题意；
D、随机变量，若，
则，
该选项正确，不合题意；
故答案为：B.
【分析】通过变量间的相关关系分析选项 A；依据正态分布的特征性质判断选项 B；利用线性回归直线的统计特性验证选项 C；根据随机变量的约束条件构建方程组求解参数以判断选项 D.
8．（2025高三上·天津期中）记为等差数列的前项和，且，则取最大值时的值为（ ）
A．12 B．12或11 C．11或10 D．10
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，由，得，即，
又，所以，所以，令，可得，
所以数列满足：当时，；当时，；当时，，
所以取得最大值时，的取值为11或12．
故答案为：B．
【分析】设等差数列的公差为d，代入通项公式可解出d值为，代入通项公式可知数列第12项为0，前11项为正；从第13项起，各项为负，故当n=11或12时取得最大值可确定．
9．（2025高三上·天津期中）函数，其中，其最小正周期为，则下列说法中错误的个数是（ ）
①
②函数图象关于点对称
③函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为
④若，则函数的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，所以函数的最小正周期为，
因为，所以，故①正确；
则，
因为，
所以函数图象关于点对称，故②正确，
将函数图象向右移个单位后可得函数的图象，
因为的图象关于轴对称，
所以，
又因为，
所以的最小值为，故③正确，
若，则，
所以，
则，
所以，当时，函数取最大值，最大值为，故④错误.
故答案为：A.
【分析】利用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，从而化简函数f(x)为正弦型函数，再根据正弦型函数的最小正周期公式可得的值，从而判断出序号①；验证是否为函数的对称中心判断出序号②；结合正弦型函数的图象平移变换，则判断出序号③；结合不等式的基本性质和正弦型函数求最值的方法，则判断出序号④，从而找出说法错误的序号个数.
10．（2025高三上·天津期中）若复数是纯虚数，则实数的值是 .
【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为是纯虚数，
所以，
解得.
故答案为：.
【分析】先利用复数的除法运算法则，从而化简复数，再由复数的实部等于和虚部不等于 ，从而得出实数a的值.
11．（2025高三上·天津期中）已知二项式，其展开式中项的系数为 .
【答案】
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：二项式展开式通项为，
令，解得：，，
展开式中项的系数为.
故答案为：.
【分析】先计算二项展开式通项公式，化简，让x的指数求解即可.
12．（2025高三上·天津期中）天津是一个历史悠久的文化古都，五大道，石家大院，古文化街，鼓楼这四个景点又是天津十分有名的旅游胜地．已知某游客游览五大道的概率为，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客只游览一个景点的概率为 ；该游客至少游览三个景点的概率为 ．
【答案】；
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：该游客只游览一个景点的概率为，
该游客游览三个景点的概率为，
该游客游览四景点的概率为，
所以该游客至少游览三个景点的概率为，
故答案为：；
【分析】先将游客游览的所有情况分类，分别求出游览一、三、四个景点的概率，根据互相独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可.
13．（2025高三上·天津期中），，若2是与的等比中项，则的最小值是 .
【答案】9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为是与的等比中项，得到，得到，
又，，所以，当且仅当，即，时，取等号，
故答案为：9.
【分析】利用是与的等比中项求出等式，再化简，利用基本不等式即可求解.
14．（2025高三上·天津期中）已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示 ；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为 ．
【答案】；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量的模；平面向量的基本定理；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：根据题意，
可得，
由点是中点，
可得，
所以，
则向量在向量上的投影向量，
因为，
所以，
则向量在向量上的投影向量的模为：
，
当且仅当时，即当时取等号，
所以，向量在向量上的投影向量的模的最小值为.
故答案为：①；②.
【分析】由题意可得，，从而可得；再利用向量在向量上的投影向量的模为，再根据基本不等式求最值的方法，从而得出向量在向量上的投影向量的模的最小值.
15．（2025高三上·天津期中）已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意可知的实数解可以转化为或的实数解，
即与或的图象交点的横坐标，
当时，，则，所以时，，
所以在上单调递增；
当时，，可得在上单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，且；
作出函数的大致图象如下图所示：
所以当时，由图可知与无交点，即方程无解；
与有两个不同的交点，即有两个实数解；
当时，，
令，则，则，，
作出大致图象如下图所示：
因为当时，与有两个不同的交点，
所以只保证与及共有四个交点即可，
所以只需，解得，
即可得正实数的取值范围.
故答案为：.
【分析】先解一元二次方程得或，把问题转化为与或的交点个数问题，数形结合，画出图形，再结合对称性和单调性求出参数取值范围即可.
16．（2025高三上·天津期中）已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：
，
令，得，
所以的单调递增区间为；
（2）解：当时，，
所以.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）先利用正弦、余弦的二倍角公式，及辅助角公式化一，再根据正弦函数的单调性列出单调增区间即可得解；
（2）由x的范围，求出，结合正弦函数图象与性质即可得解.
（1）
，
令，得，
所以的单调递增区间为；
（2）当时，，
所以.
17．（2025高三上·天津期中）已知的内角，，，的对边分别为，，，满足
（1）求角的大小；
（2）若，，求边的值；
（3）若，求的值.
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理，
得：，
则，
因为，
所以，
则.
（2）解：由（1）知，
因为，，
由余弦定理，得：，
则，
解得，
则.
（3）解：由，得：，
则，
所以.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由结合正弦定理和三角形中角A和角B的取值范围，再利用同角三角函数基本关系式，从而得出角B的值.
（2）利用（1）得出的角B的值和已知条件以及余弦定理，从而得出的值.
（3）利用同角三角函数基本关系式和二倍角公式以及两角差的余弦公式，从而得出的值.
（1）解：因为，由正弦定理得：
，即，
因为，所以，则；
（2）由（1）知，又，，
由余弦定理得：，即，
解得，则；
（3）由得：，
则，
所以，
.
18．（2025高三上·天津期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
在中，因为，分别是为棱，的中点，
所以为中位线，
所以，且，
又，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）解：平面，平面，
所以，又，
所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
取的中点，连接，如图所示：
因为，，且，
所以四边形是边长为2的正方形，
所以，
因为为棱的中点，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
即平面的一个法向量为，
又平面，平面，
所以，由，且，
所以平面，即平面，
所以为平面的一个法向量，
所以，
所以平面和平面夹角的余弦值为.
（3）解：由（2）知，平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为：
，
所以点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）要证线面平行，需证线线平行；利用三角形中位线，取的中点，可得平行四边形，可得，由线面平行的判定定理即可证明；
（2）结合已知条件建立空间直角坐标系，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用面面角的向量法求解即可；
（3）在（2）的基础上代入 求点到面的距离即可.
（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
在中，因为，分别是为棱，的中点，
所以为中位线，
所以，且，
又，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）平面，平面，
所以，又，
所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
取的中点，连接，如图所示：
因为，，且，
所以四边形是边长为2的正方形，
所以，
因为为棱的中点，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
即平面的一个法向量为，
又平面，平面，
所以，由，且，
所以平面，即平面，
所以为平面的一个法向量，
所以，
所以平面和平面夹角的余弦值为
（3）由（2）知，平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为：
，
所以点到平面的距离为.
19．（2025高三上·天津期中）已知等差数列的前n项和为，数列是各项均为正数的等比数列，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和；
（3）令，数列的前n项和，求证：．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，
因为，
所以，
解得，
则数列的通项公式为，
因为，
由，得，
所以数列通项公式为．
（2）解：因为
所以，①
，②
①②，
得
，
所以.
（3）证明：因为，
所以
则
，
因为，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，根据已知条件列方程组，从而求出公差和公比的值，再利用等差数列的通项公式、等比数列的通项公式，从而求出数列和的通项公式.
（2）由（1）可得，再利用错位相减法求出数列的前n项和.
（3）由（1）可得，再利用裂项相消法和放缩法，从而证出不等式成立.
（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为．
因为，
所以，解得，
所以数列的通项公式为．
，由，得，
所以数列通项公式为．
（2），①
，②
①②，
所以
（3）证明：因为，
所以
所以
因为
所以．
20．（2025高三上·天津期中）已知函数.
（1）若该函数在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）若函数在其定义域上有两个极值点.
①求的取值范围；
②证明：.
【答案】解：（1）由已知得，；
（2），
①由已知得有两个正数解即有两个正数解
令，则
由得，由得
∴在上递增，在上递减且
由图可知m的取值范围是.
②由①可设，构造函数
则
在上为增函数.
即
且在上递增，
.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求出导函数，由直线垂直可得即可求解.
（2）①求出g(x)，，即求有两个正数解；令，求导求的单调性，画出图像趋势，数形结合即可求解；②由①得，可设，构造函数，通过求导函数判断函数的单调性，判断，得证.
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