广东省深圳市福田区红岭中学2025-2026学年高二上学期第一学段考试数学试卷
1．（2025高二上·福田期中）已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的两点式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：因为线段的中点坐标为，
所以，边上的中线所在直线的方程为，
整理得.
故答案为：B.
【分析】利用中点坐标公式得出线段中点的坐标，再根据直线的两点式得出边上的中线所在直线的方程.
2．（2025高二上·福田期中）设，向量，且，则（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】D
【知识点】向量的模；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，
因为，所以，
解得，
所以，
则.
故答案为：D.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列出方程，从而解方程得出的值，进而得到向量的坐标，再结合向量的模的坐标表示，从而得出的值.
3．（2025高二上·福田期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】解：由点满足圆的方程，
所以点在圆上，
由圆，
则，可得圆心，
设过点的切线为，则，
因为，
所以，
则直线的方程为，即，
所以，切线方程为.
故答案为：A.
【分析】根据题意得到点在圆上，设过点的切线为直线，由得出直线的斜率，再结合直线的点斜式方程转化为直线的一般式方程，从而得出切线方程.
4．（2025高二上·福田期中）已知直线和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：由，得或，
当，，满足平行；
当，，满足平行，
所以或，
则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由两直线平行斜率相等且纵截距不相等，从而求出参数m的值，再根据充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
5．（2025高二上·福田期中）如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：连接并延长交于点，
因为点G为的重心，所以，
又因为点M是线段上的一点，且，
所以，
，
故答案为：A.
【分析】利用空间向量基本定理求解即可.
6．（2025高二上·福田期中）已知点，直线与线段相交（不含，两点），则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：由直线，
可得，
又由直线的点斜式方程，
可得直线恒过定点，
因为，
可得，
如图所示，
若直线与线段相交（不包含端点），
则，
所以直线斜率的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】先化简直线为，从而得到直线恒过定点，再利用两点求斜率公式得出的值，再结合图象得出直线斜率k的取值范围.
7．（2025高二上·福田期中）已知圆柱的底面半径和母线长均为分别为圆 圆上的点，若，则异面直线所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线所成的角；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：在圆的投影为，连接，
由图可知，
在直角中，，
在中，根据余弦定理，得，
又因为，
所以，
则异面直线所成的角为.
故答案为：C.
【分析】由点在圆的投影为点，连接，易知，再利用勾股定理得出AC的长，再根据余弦定理得到的值，再结合两角互补得出异面直线所成的角.
8．（2025高二上·福田期中）已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设椭圆右焦点为，连接，，
根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，
则，
因为，
可得，结合，
所以，
则，，
由余弦定理，可得，
则，
所以
则椭圆离心率
故答案为：C.
【分析】根据椭圆的定义和余弦定理，从而得出的关系式，再利用椭圆的离心率公式，从而求出椭圆的离心率.
9．（2025高二上·福田期中）已知圆的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为5 B．点在圆外
C．圆关于直线对称 D．圆被直线截得的弦长为2
【答案】B,D
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质；图形的对称性
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则圆心，半径，
所以圆的半径为，故A错误；
因为，
所以点在圆外，故B正确；
因为圆心不在直线上，故C错误；
当时，，
解得或，
则弦长为2，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径长，则判断出选项A；代入点的坐标判断出选项B；利用圆心不过直线判断出选项C；计算弦长判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2025高二上·福田期中）已知点是左、右焦点为的椭圆上的动点，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的最小值为
C．若，则的面积为4
D．若，则的最大值为
【答案】B,C,D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；椭圆的定义；椭圆的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由椭圆，可得，
则.
对于A，由椭圆离心率的定义，可得，故A错误；
对于B，由椭圆的几何性质，可得的最小值为，故B正确；
对于C，由椭圆的定义，可得，
因为，
所以，
则，
由，
解得，
所以的面积为，故C正确；
对于D，由椭圆的定义，可得，
则，
所以，
当不共线时，可得；
当共线时，可得，
综上可得，，
所以的最大值为，
由，可得，
所以的最大值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据题意结合椭圆的定义、椭圆的离心率公式、两点距离公式、几何法求最值和三角形面积公式，从而逐项判断找出正确的选项.
11．（2025高二上·福田期中）棱长为2的正方体中，为侧面内的动点，且，下列结论正确的是（ ）
A． B．在线段上运动
C．的最小值为 D．三棱锥的体积为定值
【答案】B,C,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；空间中两点间的距离公式；空间中直线与直线之间的位置关系；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意，易知平面，
因为，可知平面，
又因为平面，平面平面，
所以，故B正确；
当与重合时，与夹角为，故A错误；
设的中点为，
则，，，
所以，
则，
所以的最小值为，故C正确；
易得平面，
则为定值，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先证明平面，平面，从而得到，则判断出选项B；当与重合时，与夹角为，则判断出选项A；计算，则判断出选项C；计算结合三棱锥的体积公式，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．（2025高二上·福田期中）已知空间中三点共线，则的值为 .
【答案】
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：由空间三点，
可得，
因为三点共线，
则存在实数，使得，
可得，
解得，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意得出，由列出方程组，从而得出的值，进而得出的值.
13．（2025高二上·福田期中）如图，在直三棱柱中，，则此直三棱柱的外接球的体积是 .
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为直三棱柱共点于的三条棱两两垂直，
且
则以为相邻三条棱可作正方体，且该正方体与直三棱柱有相同的外接球，
所以，直三棱柱的外接球的直径2R为正方体体对角线长，
则，
所以，此球的体积为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件把直三棱柱补形成正方体，再利用它们有相同的外接球，再结合勾股定理求出正方体的体对角线长，最后由球的体积公式得出此直三棱柱的外接球的体积.
14．（2025高二上·福田期中）已知圆与圆，动点向两个圆所引的切线长相等，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程
【解析】【解答】解：由圆化为，
可得圆心，半径，
由圆，
可得，
则圆心，半径，
如图所示，设动点的坐标为，过点与圆相切的切点分别为，
因为动点向两个圆所引的切线长相等，
所以，
则
在直角和中，
可得和，
则，
所以，
整理得，
则动点的轨迹方程为，
取关于直线的对称点为，则，
又因为，所以，
则点在直线上，
所以当三点共线时，取得最大值，
由点到直线的距离为，点到直线的距离为，
则点到直线的距离为，
所以，
则取得最大值.
故答案为：.
【分析】设动点的坐标为，根据得出动点的轨迹方程为直线，取关于直线的对称点为，从而得到，再结合得到当三点共线时，取得最大值，再利用点到直线的距离公式得出的最大值.
15．（2025高二上·福田期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点.
（1）求证：CF//平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：以为原点，
以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
取，则，所以，
又因为，
所以，
因为平面，
所以平面.
（2）解：由（1）知平面的一个法向量为，且，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再结合证出平面.
（2）由（1）知平面的一个法向量为且，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
所以，
设平面的法向量为，则，
取，则，所以，
又因为，所以，
因为平面，所以平面.
（2）解：由（1）知平面的一个法向量为，且，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值.
16．（2025高二上·福田期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）点在圆上，求的取值范围；
（3）若经过点直线与圆相交于，两点，且为直角三角形，求的方程．
【答案】（1）解：由题意，可设圆的圆心为，
圆经过，两点，
，
解得，
，圆的半径为，
圆的方程为.
（2）解：表示圆上点到原点距离的平方，
所以原点到圆心的距离，
原点到圆上点的距离范围为，
则.
（3）解：因为，
又直线过点与圆相交于，两点，而点在圆上，
所以，两点有一个点与P重合，
因为为直角三角形，
，，
圆心到直线的距离，
由题意可知直线的斜率存在且设为，
则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
化简得，
解得，
直线的方程为：或．
【知识点】直线的一般式方程；平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）设圆心坐标，利用圆心和圆经过已知两点，从而构造方程求出圆心坐标，再利用圆心到已知点的距离求出半径长，从而得出圆的标准方程.
（2）先分析得出表示原点到圆上距离的平方，再求出原点到圆心的距离，再结合圆的半径得出原点到圆上距离的取值范围，从而得出的取值范围.
（3）利用已知条件求出圆心到直线的距离，设直线斜率为得出直线方程，利用点到直线距离公式构造方程，从而求出的值，进而得出直线方程．
（1）由题可设圆的圆心为，
又圆经过，两点，
，解得，
，圆的半径为，
圆的方程为；
（2）表示圆上点到原点距离的平方，
原点到圆心的距离，
原点到圆上点的距离范围为，即，
（3）．
直线过点与圆相交于，两点，而点在圆上，
所以于，两点有一个与P重合，
因为为直角三角形，
，，
圆心到直线的距离，
由题可知直线的斜率存在且设为，则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，化简得，解得，
直线的方程为：或．
17．（2025高二上·福田期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M为短轴的上端点，，过垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点且不经过点M的直线l与C相交于G，H两点若，分别为直线MH，MG的斜率，求的值．
【答案】解：（Ⅰ）由，得，因为过垂直于轴的直线交椭圆于两点且，所以，由，得，则椭圆的方程为.
（Ⅱ）由椭圆的方程且点，设直线的方程为，即，将代入，得，
由题意，可知，设，则，
所以，则.
（1）解：由，得，
因为过垂直于轴的直线交椭圆于两点且，
所以，
由，
得，
则椭圆的方程为.
（2）解：
由椭圆的方程且点，
设直线的方程为，即，
将代入，
得，
由题意，可知，设，
则，
所以
，
则.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由，得，再由过垂直于轴的直线交椭圆于两点且，则，从而联立方程组得出a，b的值，进而得出椭圆C的标准方程.
(Ⅱ)设直线的方程为，代入得，根据两点求斜率公式和韦达定理，从而可得，再化简消去得出的值.
18．（2025高二上·福田期中）如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
【答案】（1）证明：连接，取线段的中点，连接，
在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理，可得：，
，
在中，
，
因为平面，
平面，
又因为平面
∴平面平面，
在中，，
，
∵平面平面平面，
平面.
（2）解：过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
又因为平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，
则，
设平面的法向量为，
所以，
则，
令，则，
因为，
解得：或t=9（舍去），
所以点是线段的中点.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先作出辅助线，再利用等腰三角形三线合一和余弦定理，从而得到，，再利用线线垂直证出线面垂直，再根据线面垂直证出面面垂直，再由和面面垂直的性质定理，从而证出平面.
（2）先建立空间直角坐标系，则得出点的坐标，再利用平面的法向量，设出点的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的法向量，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而列出方程求出的值，再利用已知条件和数量积求向量夹角公式，从而得出t的值，进而确定出点的位置.
（1）证明：连接，取线段的中点，连接，
在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理可得：，
在中，
，
又平面，
平面，
又平面
∴平面平面，
在中，，
∵平面平面平面，
平面.
（2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，
则，
设平面的法向量为，
，
所以，
令，则，
由已知，
解之得：或9（舍去），
所以点是线段的中点.
19．（2025高二上·福田期中）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为.
（1）求直线的方程，并写出直线所经过的定点坐标；
（2）求线段中点的轨迹方程（不必写出的取值范围）；
（3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值.
【答案】（1）解：因为圆，
所以，
则圆心，半径，
所以，，
则以为圆心，为半径的圆方程为：，
即，
所以，直线的方程为，
化简得到，
所以，直线过定点.
（2）解：设线段的中点为，则，
所以，点在以为直线的圆上，
则圆心为，即圆心为，半径为，
所以，点的轨迹方程为：.
（3）解：设切线方程为， 即，
则到直线的距离，
即，
设的斜率分别为，
由韦达定理，可得，，
把代入，
得，所以
则当时，取得最小值为.
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）将圆的方程转化为标准方程，从而得出圆M的圆心坐标和半径长，再利用勾股定理和两点距离公式，从而得出以为圆心，为半径的圆的标准方程，再与圆的方程相减得到直线的方程，再变形得出直线所经过的定点坐标.
（2）设线段的中点为，根据得到点在以为直线的圆上，再计算出圆心的半径，从而得出点Q的轨迹方程，则得出线段中点的轨迹方程.
（3）设出切线方程，根据直线与圆相切得到，再根据韦达定理得到根与系数的关系，从而计算出，再利用二次型函数求最值的方法，从而得到的最小值.
（1）圆，即，圆心，半径，
，，
故以为圆心，为半径的圆方程为：，
即，
故直线的方程为，
化简得到，直线过定点
（2）设线段的中点为，则，即在以为直线的圆上，
圆心为，即，半径为
故的轨迹方程为：.
（3）设切线方程为， 即，
故到直线的距离，即，
设的斜率分别为，由韦达定理可得，，
把代入，得，
则，
故当时，取得最小值为.
1 / 1广东省深圳市福田区红岭中学2025-2026学年高二上学期第一学段考试数学试卷
1．（2025高二上·福田期中）已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·福田期中）设，向量，且，则（ ）
A． B． C．4 D．3
3．（2025高二上·福田期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·福田期中）已知直线和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025高二上·福田期中）如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高二上·福田期中）已知点，直线与线段相交（不含，两点），则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025高二上·福田期中）已知圆柱的底面半径和母线长均为分别为圆 圆上的点，若，则异面直线所成的角为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·福田期中）已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·福田期中）已知圆的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为5 B．点在圆外
C．圆关于直线对称 D．圆被直线截得的弦长为2
10．（2025高二上·福田期中）已知点是左、右焦点为的椭圆上的动点，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的最小值为
C．若，则的面积为4
D．若，则的最大值为
11．（2025高二上·福田期中）棱长为2的正方体中，为侧面内的动点，且，下列结论正确的是（ ）
A． B．在线段上运动
C．的最小值为 D．三棱锥的体积为定值
12．（2025高二上·福田期中）已知空间中三点共线，则的值为 .
13．（2025高二上·福田期中）如图，在直三棱柱中，，则此直三棱柱的外接球的体积是 .
14．（2025高二上·福田期中）已知圆与圆，动点向两个圆所引的切线长相等，则的最大值为 .
15．（2025高二上·福田期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点.
（1）求证：CF//平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
16．（2025高二上·福田期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）点在圆上，求的取值范围；
（3）若经过点直线与圆相交于，两点，且为直角三角形，求的方程．
17．（2025高二上·福田期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M为短轴的上端点，，过垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点且不经过点M的直线l与C相交于G，H两点若，分别为直线MH，MG的斜率，求的值．
18．（2025高二上·福田期中）如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
19．（2025高二上·福田期中）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为.
（1）求直线的方程，并写出直线所经过的定点坐标；
（2）求线段中点的轨迹方程（不必写出的取值范围）；
（3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线的两点式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：因为线段的中点坐标为，
所以，边上的中线所在直线的方程为，
整理得.
故答案为：B.
【分析】利用中点坐标公式得出线段中点的坐标，再根据直线的两点式得出边上的中线所在直线的方程.
2．【答案】D
【知识点】向量的模；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，
因为，所以，
解得，
所以，
则.
故答案为：D.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列出方程，从而解方程得出的值，进而得到向量的坐标，再结合向量的模的坐标表示，从而得出的值.
3．【答案】A
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】解：由点满足圆的方程，
所以点在圆上，
由圆，
则，可得圆心，
设过点的切线为，则，
因为，
所以，
则直线的方程为，即，
所以，切线方程为.
故答案为：A.
【分析】根据题意得到点在圆上，设过点的切线为直线，由得出直线的斜率，再结合直线的点斜式方程转化为直线的一般式方程，从而得出切线方程.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：由，得或，
当，，满足平行；
当，，满足平行，
所以或，
则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由两直线平行斜率相等且纵截距不相等，从而求出参数m的值，再根据充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
5．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：连接并延长交于点，
因为点G为的重心，所以，
又因为点M是线段上的一点，且，
所以，
，
故答案为：A.
【分析】利用空间向量基本定理求解即可.
6．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：由直线，
可得，
又由直线的点斜式方程，
可得直线恒过定点，
因为，
可得，
如图所示，
若直线与线段相交（不包含端点），
则，
所以直线斜率的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】先化简直线为，从而得到直线恒过定点，再利用两点求斜率公式得出的值，再结合图象得出直线斜率k的取值范围.
7．【答案】C
【知识点】异面直线所成的角；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：在圆的投影为，连接，
由图可知，
在直角中，，
在中，根据余弦定理，得，
又因为，
所以，
则异面直线所成的角为.
故答案为：C.
【分析】由点在圆的投影为点，连接，易知，再利用勾股定理得出AC的长，再根据余弦定理得到的值，再结合两角互补得出异面直线所成的角.
8．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设椭圆右焦点为，连接，，
根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，
则，
因为，
可得，结合，
所以，
则，，
由余弦定理，可得，
则，
所以
则椭圆离心率
故答案为：C.
【分析】根据椭圆的定义和余弦定理，从而得出的关系式，再利用椭圆的离心率公式，从而求出椭圆的离心率.
9．【答案】B,D
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质；图形的对称性
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则圆心，半径，
所以圆的半径为，故A错误；
因为，
所以点在圆外，故B正确；
因为圆心不在直线上，故C错误；
当时，，
解得或，
则弦长为2，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径长，则判断出选项A；代入点的坐标判断出选项B；利用圆心不过直线判断出选项C；计算弦长判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；椭圆的定义；椭圆的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由椭圆，可得，
则.
对于A，由椭圆离心率的定义，可得，故A错误；
对于B，由椭圆的几何性质，可得的最小值为，故B正确；
对于C，由椭圆的定义，可得，
因为，
所以，
则，
由，
解得，
所以的面积为，故C正确；
对于D，由椭圆的定义，可得，
则，
所以，
当不共线时，可得；
当共线时，可得，
综上可得，，
所以的最大值为，
由，可得，
所以的最大值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据题意结合椭圆的定义、椭圆的离心率公式、两点距离公式、几何法求最值和三角形面积公式，从而逐项判断找出正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；空间中两点间的距离公式；空间中直线与直线之间的位置关系；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意，易知平面，
因为，可知平面，
又因为平面，平面平面，
所以，故B正确；
当与重合时，与夹角为，故A错误；
设的中点为，
则，，，
所以，
则，
所以的最小值为，故C正确；
易得平面，
则为定值，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先证明平面，平面，从而得到，则判断出选项B；当与重合时，与夹角为，则判断出选项A；计算，则判断出选项C；计算结合三棱锥的体积公式，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：由空间三点，
可得，
因为三点共线，
则存在实数，使得，
可得，
解得，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意得出，由列出方程组，从而得出的值，进而得出的值.
13．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为直三棱柱共点于的三条棱两两垂直，
且
则以为相邻三条棱可作正方体，且该正方体与直三棱柱有相同的外接球，
所以，直三棱柱的外接球的直径2R为正方体体对角线长，
则，
所以，此球的体积为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件把直三棱柱补形成正方体，再利用它们有相同的外接球，再结合勾股定理求出正方体的体对角线长，最后由球的体积公式得出此直三棱柱的外接球的体积.
14．【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程
【解析】【解答】解：由圆化为，
可得圆心，半径，
由圆，
可得，
则圆心，半径，
如图所示，设动点的坐标为，过点与圆相切的切点分别为，
因为动点向两个圆所引的切线长相等，
所以，
则
在直角和中，
可得和，
则，
所以，
整理得，
则动点的轨迹方程为，
取关于直线的对称点为，则，
又因为，所以，
则点在直线上，
所以当三点共线时，取得最大值，
由点到直线的距离为，点到直线的距离为，
则点到直线的距离为，
所以，
则取得最大值.
故答案为：.
【分析】设动点的坐标为，根据得出动点的轨迹方程为直线，取关于直线的对称点为，从而得到，再结合得到当三点共线时，取得最大值，再利用点到直线的距离公式得出的最大值.
15．【答案】（1）证明：以为原点，
以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
取，则，所以，
又因为，
所以，
因为平面，
所以平面.
（2）解：由（1）知平面的一个法向量为，且，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再结合证出平面.
（2）由（1）知平面的一个法向量为且，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
所以，
设平面的法向量为，则，
取，则，所以，
又因为，所以，
因为平面，所以平面.
（2）解：由（1）知平面的一个法向量为，且，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值.
16．【答案】（1）解：由题意，可设圆的圆心为，
圆经过，两点，
，
解得，
，圆的半径为，
圆的方程为.
（2）解：表示圆上点到原点距离的平方，
所以原点到圆心的距离，
原点到圆上点的距离范围为，
则.
（3）解：因为，
又直线过点与圆相交于，两点，而点在圆上，
所以，两点有一个点与P重合，
因为为直角三角形，
，，
圆心到直线的距离，
由题意可知直线的斜率存在且设为，
则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
化简得，
解得，
直线的方程为：或．
【知识点】直线的一般式方程；平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）设圆心坐标，利用圆心和圆经过已知两点，从而构造方程求出圆心坐标，再利用圆心到已知点的距离求出半径长，从而得出圆的标准方程.
（2）先分析得出表示原点到圆上距离的平方，再求出原点到圆心的距离，再结合圆的半径得出原点到圆上距离的取值范围，从而得出的取值范围.
（3）利用已知条件求出圆心到直线的距离，设直线斜率为得出直线方程，利用点到直线距离公式构造方程，从而求出的值，进而得出直线方程．
（1）由题可设圆的圆心为，
又圆经过，两点，
，解得，
，圆的半径为，
圆的方程为；
（2）表示圆上点到原点距离的平方，
原点到圆心的距离，
原点到圆上点的距离范围为，即，
（3）．
直线过点与圆相交于，两点，而点在圆上，
所以于，两点有一个与P重合，
因为为直角三角形，
，，
圆心到直线的距离，
由题可知直线的斜率存在且设为，则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，化简得，解得，
直线的方程为：或．
17．【答案】解：（Ⅰ）由，得，因为过垂直于轴的直线交椭圆于两点且，所以，由，得，则椭圆的方程为.
（Ⅱ）由椭圆的方程且点，设直线的方程为，即，将代入，得，
由题意，可知，设，则，
所以，则.
（1）解：由，得，
因为过垂直于轴的直线交椭圆于两点且，
所以，
由，
得，
则椭圆的方程为.
（2）解：
由椭圆的方程且点，
设直线的方程为，即，
将代入，
得，
由题意，可知，设，
则，
所以
，
则.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由，得，再由过垂直于轴的直线交椭圆于两点且，则，从而联立方程组得出a，b的值，进而得出椭圆C的标准方程.
(Ⅱ)设直线的方程为，代入得，根据两点求斜率公式和韦达定理，从而可得，再化简消去得出的值.
18．【答案】（1）证明：连接，取线段的中点，连接，
在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理，可得：，
，
在中，
，
因为平面，
平面，
又因为平面
∴平面平面，
在中，，
，
∵平面平面平面，
平面.
（2）解：过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
又因为平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，
则，
设平面的法向量为，
所以，
则，
令，则，
因为，
解得：或t=9（舍去），
所以点是线段的中点.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先作出辅助线，再利用等腰三角形三线合一和余弦定理，从而得到，，再利用线线垂直证出线面垂直，再根据线面垂直证出面面垂直，再由和面面垂直的性质定理，从而证出平面.
（2）先建立空间直角坐标系，则得出点的坐标，再利用平面的法向量，设出点的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的法向量，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而列出方程求出的值，再利用已知条件和数量积求向量夹角公式，从而得出t的值，进而确定出点的位置.
（1）证明：连接，取线段的中点，连接，
在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理可得：，
在中，
，
又平面，
平面，
又平面
∴平面平面，
在中，，
∵平面平面平面，
平面.
（2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，
则，
设平面的法向量为，
，
所以，
令，则，
由已知，
解之得：或9（舍去），
所以点是线段的中点.
19．【答案】（1）解：因为圆，
所以，
则圆心，半径，
所以，，
则以为圆心，为半径的圆方程为：，
即，
所以，直线的方程为，
化简得到，
所以，直线过定点.
（2）解：设线段的中点为，则，
所以，点在以为直线的圆上，
则圆心为，即圆心为，半径为，
所以，点的轨迹方程为：.
（3）解：设切线方程为， 即，
则到直线的距离，
即，
设的斜率分别为，
由韦达定理，可得，，
把代入，
得，所以
则当时，取得最小值为.
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）将圆的方程转化为标准方程，从而得出圆M的圆心坐标和半径长，再利用勾股定理和两点距离公式，从而得出以为圆心，为半径的圆的标准方程，再与圆的方程相减得到直线的方程，再变形得出直线所经过的定点坐标.
（2）设线段的中点为，根据得到点在以为直线的圆上，再计算出圆心的半径，从而得出点Q的轨迹方程，则得出线段中点的轨迹方程.
（3）设出切线方程，根据直线与圆相切得到，再根据韦达定理得到根与系数的关系，从而计算出，再利用二次型函数求最值的方法，从而得到的最小值.
（1）圆，即，圆心，半径，
，，
故以为圆心，为半径的圆方程为：，
即，
故直线的方程为，
化简得到，直线过定点
（2）设线段的中点为，则，即在以为直线的圆上，
圆心为，即，半径为
故的轨迹方程为：.
（3）设切线方程为， 即，
故到直线的距离，即，
设的斜率分别为，由韦达定理可得，，
把代入，得，
则，
故当时，取得最小值为.
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