广东省深圳市宝安中学集团龙津中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷
1．（2025高二上·宝安期中）直线的倾斜角是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角是.
则直线斜率为，
即，又，
故答案为：D.
【分析】先利用直线方程可得，再利用即可求解.
2．（2025高二上·宝安期中）正方体中，化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】利用空间向量的加法运算可得，再利用空间向量的减法运算即可求解.
3．（2025高二上·宝安期中）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：的渐近线方程为，
即.
故答案为：A
【分析】利用双曲线的渐近线方程，再化成一般式方程即可求解.
4．（2025高二上·宝安期中）已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：当时，，所以或，
当时，直线：，直线：，则两直线不重合，
当时，直线：，即，直线：，两直线不重合，
则当或时，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：.
【分析】先利用两直线平行斜率相等和纵截距不等，从而求出的值，再利用充分条件、必要条件判断方法，从而找出正确的选项.
5．（2025高二上·宝安期中）设，，，则的中点M到点C的距离（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：由中点为，
得.
故答案为：C．
【分析】由已知条件和空间两点距离公式，从而计算得出的中点M到点C的距离．
6．（2025高二上·宝安期中）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．与的取值有关
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，可得圆的圆心坐标为，半径，
则圆的圆心到直线的距离，
因为，
所以，
则直线与圆相交.
故答案为：C.
【分析】利用圆的标准方程得出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式计算出圆心到直线的距离，再与半径长度相比较，从而判断出直线与圆的位置关系.
7．（2025高二上·宝安期中）已知直线与圆相交于两点，则当取最小值时，（ ）
A．1 B．-1 C． D．2
【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：直线化简为，即直线恒过定点.
当时，取得最小值.
，则直线的斜率为，解得.
故答案为：B
【分析】先求出直线恒过定点，利用圆的性质得到当时，取得最小值，再根据垂直关系斜率之积为-1即可求解.
8．（2025高二上·宝安期中）已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：已知.
因为的内切圆半径为，
所以.
设，所以，
所以，解得.
因为在椭圆上，且在第一象限，所以满足，
解得，所以.
所以，所以.
故答案为：A.
【分析】先利用椭圆的定义可得，再利用三角形面积公式可得，把代入椭圆方程可得，最后利用向量的数量积的坐标公式即可求解.
9．（2025高二上·宝安期中）已知圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆M内 B．圆M关于对称
C．半径为 D．直线与圆M相切
【答案】B,D
【知识点】点与圆的位置关系；关于点、直线对称的圆的方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】整理得：，
∵，时，∴点在圆M外，A不符合题意；
∵圆心M在直线上，∴圆M关于对称，B对；
∵圆M半径为1，C不符合题意；
∵圆心到直线的距离为，与半径相等，
∴直线与圆M相切，D对.
故答案为：BD.
【分析】 代入点坐标大于0，表示点在圆外可判断A；圆心在直线上，故圆M关于对称可判断B；配方后得到圆的半径可判断C；利用点到直线距离进行求解可判断D.
10．（2025高二上·宝安期中）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ）
A．是它的一条对称轴 B．它的离心率为
C．点是它的一个焦点 D．
【答案】A,B,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为，
容易知道是实轴，是虚轴，坐标原点是对称中心，
联立实轴方程与反比例函数表达式得实轴顶点，
所以，其中一个焦点坐标应为而不是，
由双曲线定义可知．
故答案为：ABD.
【分析】由题意可知反比例函数的图象为等轴双曲线，利用图象的性质可得为实轴，为虚轴，再利用双曲线的几何性质即可求解.
11．（2025高二上·宝安期中）如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则平面
B．若，则点的轨迹长度为
C．若，则存在，使
D．若，则存在，使平面
【答案】A,B,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，则点满足，即点在线段上，如图所示：
因为平面平面，且平面平面，平面平面，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，因为平面，平面，且，故有平面平面，
又因为平面，所以平面，故A正确；
B、若，则点满足，其中为的中点，如图所示：
又因为，所以.故点的轨迹长度为，故B正确；
C、若，则，所以，
，所以点在线段上，如图所示：
假设，则，
即，得，该方程无解，即不存在，故C错误；
D、设为的中点，
若时，则，即，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
，
假设平面，则，即，
解得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用向量的线性运算关系判断动点的位置即可判断AB；反解验证，以垂直为条件运算即可判断C；可假设存在，以线面垂直为条件求解验证判别即可判断D.
12．（2025高二上·宝安期中）已知向量，若，则 .
【答案】
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，
若，则，
解得.
故答案为：.
【分析】由空间向量数量积垂直的坐标表示，从而列出方程求解得出实数的值.
13．（2025高二上·宝安期中）圆关于直线的对称圆的方程为 .
【答案】
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】解：的圆心为，关于对称点设为
则，解得，
所以对称后的圆心为，故所求圆的方程为.
故答案为：
【分析】先利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径，再利用点关于直线对称列出方程即可求解.
14．（2025高二上·宝安期中）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， 且 ，若在椭圆上存在点P，使得过点P可作以 为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围为 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图所示，
根据题意知： 为正方形，故 ，故 ，
故 ，解得 ，又 ，故 ，故 .
故答案为： .
【分析】如图所示，根据题意知 为正方形， ，故 ，解得答案.
15．（2025高二上·宝安期中）在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若，且，求△ABC的周长．
【答案】（1）解：由及正弦定理得
因为，故．
又∵ 为锐角三角形，所以．
（2）解：由余弦定理，
∵，得
解得：或
∴ 的周长为．
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理得出角C的正弦值，再利用三角形的形状和三角形中角C的取值范围，进而得出角C的值。
（2）利用已知条件结合余弦定理得出a，b的值，再利用三角形的周长公式，进而得出三角形△ABC的周长。
16．（2025高二上·宝安期中）已知椭圆的短轴长为2，且过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积.
【答案】（1）解：由椭圆的简单几何性质，可知，得，
将点代入，
得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）解：由已知条件，可得椭圆的右焦点为，
则直线l的方程为，
联立椭圆方程，得，，
设，，
所以，，
则，
所以，点到直线的距离，
则.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知条件得出的值，再将代入椭圆方程可得的值，从而得出椭圆C的标准方程.
（2）利用已知条件得出椭圆的右焦点坐标，从而求出直线方程，再与椭圆方程联立，则由根与系数的关系可得，，再利用弦长公式得出弦长的值，再根据点到直线的距离公式得出三角形边上的高，最后由三角形面积公式得出的面积.
（1）由椭圆的简单几何性质，可知，得，
将点代入，得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为，
联立椭圆方程，得，，
设，，所以，，
则，
点到直线的距离，
故.
17．（2025高二上·宝安期中）如图，在三棱锥中，平面，．
（1）求证：平面PAB；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）证明：因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，
则为直角三角形，
所以，
又因为，，
所以平面.
（2）解：由（1）可知平面，
又因为平面，
所以，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，所以
令，则，所以，
设平面的法向量为，
则，所以，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先由线面垂直的性质定理得出，利用勾股定理得出，再结合线面垂直的判定定理，从而证出平面PAB.
（2）结合（1）中结论建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量与平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和二面角为锐二面角，从而得出二面角的大小．
（1）因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，则为直角三角形，故，
又因为，，
所以平面.
（2）由（1）平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
18．（2025高二上·宝安期中）已知圆O经过，，三点．
（1）求圆O的标准方程；
（2）若P是圆O上的动点，点P在x轴上的射影为H，点Q满足，求点Q的轨迹的方程；
（3）设，记M为在（2）的条件下得到的曲线上的动点，以线段为直径作圆，请判断圆与圆O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：设圆O的方程为，
则，解得，
所以圆O的标准方程为.
（2）解：设，因为，所以，如图所示：
因为点P在圆O上，所以，即．
所以点Q的轨迹，即曲线的方程为.
（3）解：位置关系：圆与圆O相内切．
显然为曲线的左焦点，设的右焦点为，如图所示：
由椭圆的定义可得，
由题意，以为直径作圆，所以为的中点．
因为O为的中点，所以为的中位线，所以，
所以，
所以，即圆心距等于两圆半径的差，所以圆与圆O相内切．
【知识点】圆的一般方程；轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定；椭圆的定义
【解析】【分析】（1）设圆O的一般式方程为，再将三个点的坐标代入列出方程组，解方程组即可求解；
（2）设，则，把点P的坐标代入圆O的方程即可求解；
（3）利用椭圆的定义，结合几何图形即可确定圆与圆的关系.
（1）方法一：设圆O的标准方程为，
则，解得
所以圆O的标准方程为.
方法二：设圆O的方程为，
则，解得，
所以圆O的标准方程为.
（2）设，因为，所以，如图．
因为点P在圆O上，所以，即．
所以点Q的轨迹，即曲线的方程为.
（3）位置关系：圆与圆O相内切．
显然为曲线的左焦点，设的右焦点为，如图．
由椭圆的定义可得，
由题意，以为直径作圆，所以为的中点．
因为O为的中点，所以为的中位线，所以，
所以，
所以，即圆心距等于两圆半径的差，所以圆与圆O相内切．
19．（2025高二上·宝安期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为.
（1）求的方程；
（2）设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程.
【答案】（1）解：双曲线的渐近线方程为，即，
因为点到的一条渐近线的距离为，即，
又因为，所以
所以的方程为.
（2）解：（ⅰ）证明：显然圆的切线的斜率存在，
设切线的方程为，
因为切线不平行的渐近线，所以.
由圆心到切线的距离，得.
联立消去得，
由题意知，设，
所以，
所以
.
所以，即.
所以.
（ⅱ）解法1：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线.
则的面积.
设切线与圆的切点为，则，
.
由（ⅰ）得，
又，
则.
当时，.
此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
解法2：由（ⅰ）同理可得，
所以三点共线.
则的面积.
设切线与圆的切点为，
则.
在中，，
在中，，
则，
当时，，即的面积的最小值为3.
此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
解法3：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线.
则的面积.
设切线与圆的切点为，
则.
在中，，
在中，，
由于，则，
根据基本不等式得，
得，则，即的面积的最小值为3.
当且仅当等号成立，
根双曲线的对称性知，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
【知识点】双曲线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）先求得双曲线的渐近线方程，进而由点到直线距离公式列式结合可得，即可求得双曲线C的方程；
（2）（ⅰ）设切线的方程为，由圆心到切线的距离，可得，再联立切线方程与双曲线方程，由韦达定理可得，结合可得，进而可得，即可证得；
（ⅱ）方法1，注意到，由（ⅰ）可得，据此可得答案；
方法2，设切线与圆的切点为，则可得，据此可得答案；
方法3，由题可得，又设切线与圆的切点为，由，结合，可得，由基本不等式可得，据此可得答案.
（1）解：由于双曲线的右焦点为，所以.
双曲线的渐近线方程为，即为，
由于点到的一条渐近线的距离为，则.
解得所以的方程为.
（2）（ⅰ）证明：显然圆的切线的斜率存在，
设切线的方程为，
由于切线不平行的渐近线，则.
由圆心到切线的距离，得.
由消去得，
由题意知.设，
则，
而
.
则，
则.
所以，即.
（ⅱ）解法1：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线.
则的面积.
设切线与圆的切点为，则，
.
由（ⅰ）得，
又，
则.
当时，.
此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
解法2：由（ⅰ）同理可得，
所以三点共线.
则的面积.
设切线与圆的切点为，
则.
在中，，
在中，，
则，
当时，，即的面积的最小值为3.
此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
解法3：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线.
则的面积.
设切线与圆的切点为，
则.
在中，，
在中，，
由于，则，
根据基本不等式得，
得，则，即的面积的最小值为3.
当且仅当等号成立，
根双曲线的对称性知，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
1 / 1广东省深圳市宝安中学集团龙津中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷
1．（2025高二上·宝安期中）直线的倾斜角是（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2025高二上·宝安期中）正方体中，化简（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·宝安期中）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·宝安期中）已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
5．（2025高二上·宝安期中）设，，，则的中点M到点C的距离（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·宝安期中）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．与的取值有关
7．（2025高二上·宝安期中）已知直线与圆相交于两点，则当取最小值时，（ ）
A．1 B．-1 C． D．2
8．（2025高二上·宝安期中）已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·宝安期中）已知圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆M内 B．圆M关于对称
C．半径为 D．直线与圆M相切
10．（2025高二上·宝安期中）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ）
A．是它的一条对称轴 B．它的离心率为
C．点是它的一个焦点 D．
11．（2025高二上·宝安期中）如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则平面
B．若，则点的轨迹长度为
C．若，则存在，使
D．若，则存在，使平面
12．（2025高二上·宝安期中）已知向量，若，则 .
13．（2025高二上·宝安期中）圆关于直线的对称圆的方程为 .
14．（2025高二上·宝安期中）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， 且 ，若在椭圆上存在点P，使得过点P可作以 为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围为 .
15．（2025高二上·宝安期中）在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若，且，求△ABC的周长．
16．（2025高二上·宝安期中）已知椭圆的短轴长为2，且过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积.
17．（2025高二上·宝安期中）如图，在三棱锥中，平面，．
（1）求证：平面PAB；
（2）求二面角的大小．
18．（2025高二上·宝安期中）已知圆O经过，，三点．
（1）求圆O的标准方程；
（2）若P是圆O上的动点，点P在x轴上的射影为H，点Q满足，求点Q的轨迹的方程；
（3）设，记M为在（2）的条件下得到的曲线上的动点，以线段为直径作圆，请判断圆与圆O的位置关系，并说明理由．
19．（2025高二上·宝安期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为.
（1）求的方程；
（2）设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角是.
则直线斜率为，
即，又，
故答案为：D.
【分析】先利用直线方程可得，再利用即可求解.
2．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】利用空间向量的加法运算可得，再利用空间向量的减法运算即可求解.
3．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：的渐近线方程为，
即.
故答案为：A
【分析】利用双曲线的渐近线方程，再化成一般式方程即可求解.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：当时，，所以或，
当时，直线：，直线：，则两直线不重合，
当时，直线：，即，直线：，两直线不重合，
则当或时，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：.
【分析】先利用两直线平行斜率相等和纵截距不等，从而求出的值，再利用充分条件、必要条件判断方法，从而找出正确的选项.
5．【答案】C
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：由中点为，
得.
故答案为：C．
【分析】由已知条件和空间两点距离公式，从而计算得出的中点M到点C的距离．
6．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，可得圆的圆心坐标为，半径，
则圆的圆心到直线的距离，
因为，
所以，
则直线与圆相交.
故答案为：C.
【分析】利用圆的标准方程得出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式计算出圆心到直线的距离，再与半径长度相比较，从而判断出直线与圆的位置关系.
7．【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：直线化简为，即直线恒过定点.
当时，取得最小值.
，则直线的斜率为，解得.
故答案为：B
【分析】先求出直线恒过定点，利用圆的性质得到当时，取得最小值，再根据垂直关系斜率之积为-1即可求解.
8．【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：已知.
因为的内切圆半径为，
所以.
设，所以，
所以，解得.
因为在椭圆上，且在第一象限，所以满足，
解得，所以.
所以，所以.
故答案为：A.
【分析】先利用椭圆的定义可得，再利用三角形面积公式可得，把代入椭圆方程可得，最后利用向量的数量积的坐标公式即可求解.
9．【答案】B,D
【知识点】点与圆的位置关系；关于点、直线对称的圆的方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】整理得：，
∵，时，∴点在圆M外，A不符合题意；
∵圆心M在直线上，∴圆M关于对称，B对；
∵圆M半径为1，C不符合题意；
∵圆心到直线的距离为，与半径相等，
∴直线与圆M相切，D对.
故答案为：BD.
【分析】 代入点坐标大于0，表示点在圆外可判断A；圆心在直线上，故圆M关于对称可判断B；配方后得到圆的半径可判断C；利用点到直线距离进行求解可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为，
容易知道是实轴，是虚轴，坐标原点是对称中心，
联立实轴方程与反比例函数表达式得实轴顶点，
所以，其中一个焦点坐标应为而不是，
由双曲线定义可知．
故答案为：ABD.
【分析】由题意可知反比例函数的图象为等轴双曲线，利用图象的性质可得为实轴，为虚轴，再利用双曲线的几何性质即可求解.
11．【答案】A,B,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，则点满足，即点在线段上，如图所示：
因为平面平面，且平面平面，平面平面，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，因为平面，平面，且，故有平面平面，
又因为平面，所以平面，故A正确；
B、若，则点满足，其中为的中点，如图所示：
又因为，所以.故点的轨迹长度为，故B正确；
C、若，则，所以，
，所以点在线段上，如图所示：
假设，则，
即，得，该方程无解，即不存在，故C错误；
D、设为的中点，
若时，则，即，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
，
假设平面，则，即，
解得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用向量的线性运算关系判断动点的位置即可判断AB；反解验证，以垂直为条件运算即可判断C；可假设存在，以线面垂直为条件求解验证判别即可判断D.
12．【答案】
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，
若，则，
解得.
故答案为：.
【分析】由空间向量数量积垂直的坐标表示，从而列出方程求解得出实数的值.
13．【答案】
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】解：的圆心为，关于对称点设为
则，解得，
所以对称后的圆心为，故所求圆的方程为.
故答案为：
【分析】先利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径，再利用点关于直线对称列出方程即可求解.
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图所示，
根据题意知： 为正方形，故 ，故 ，
故 ，解得 ，又 ，故 ，故 .
故答案为： .
【分析】如图所示，根据题意知 为正方形， ，故 ，解得答案.
15．【答案】（1）解：由及正弦定理得
因为，故．
又∵ 为锐角三角形，所以．
（2）解：由余弦定理，
∵，得
解得：或
∴ 的周长为．
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理得出角C的正弦值，再利用三角形的形状和三角形中角C的取值范围，进而得出角C的值。
（2）利用已知条件结合余弦定理得出a，b的值，再利用三角形的周长公式，进而得出三角形△ABC的周长。
16．【答案】（1）解：由椭圆的简单几何性质，可知，得，
将点代入，
得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）解：由已知条件，可得椭圆的右焦点为，
则直线l的方程为，
联立椭圆方程，得，，
设，，
所以，，
则，
所以，点到直线的距离，
则.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知条件得出的值，再将代入椭圆方程可得的值，从而得出椭圆C的标准方程.
（2）利用已知条件得出椭圆的右焦点坐标，从而求出直线方程，再与椭圆方程联立，则由根与系数的关系可得，，再利用弦长公式得出弦长的值，再根据点到直线的距离公式得出三角形边上的高，最后由三角形面积公式得出的面积.
（1）由椭圆的简单几何性质，可知，得，
将点代入，得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为，
联立椭圆方程，得，，
设，，所以，，
则，
点到直线的距离，
故.
17．【答案】（1）证明：因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，
则为直角三角形，
所以，
又因为，，
所以平面.
（2）解：由（1）可知平面，
又因为平面，
所以，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，所以
令，则，所以，
设平面的法向量为，
则，所以，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先由线面垂直的性质定理得出，利用勾股定理得出，再结合线面垂直的判定定理，从而证出平面PAB.
（2）结合（1）中结论建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量与平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和二面角为锐二面角，从而得出二面角的大小．
（1）因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，则为直角三角形，故，
又因为，，
所以平面.
（2）由（1）平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
18．【答案】（1）解：设圆O的方程为，
则，解得，
所以圆O的标准方程为.
（2）解：设，因为，所以，如图所示：
因为点P在圆O上，所以，即．
所以点Q的轨迹，即曲线的方程为.
（3）解：位置关系：圆与圆O相内切．
显然为曲线的左焦点，设的右焦点为，如图所示：
由椭圆的定义可得，
由题意，以为直径作圆，所以为的中点．
因为O为的中点，所以为的中位线，所以，
所以，
所以，即圆心距等于两圆半径的差，所以圆与圆O相内切．
【知识点】圆的一般方程；轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定；椭圆的定义
【解析】【分析】（1）设圆O的一般式方程为，再将三个点的坐标代入列出方程组，解方程组即可求解；
（2）设，则，把点P的坐标代入圆O的方程即可求解；
（3）利用椭圆的定义，结合几何图形即可确定圆与圆的关系.
（1）方法一：设圆O的标准方程为，
则，解得
所以圆O的标准方程为.
方法二：设圆O的方程为，
则，解得，
所以圆O的标准方程为.
（2）设，因为，所以，如图．
因为点P在圆O上，所以，即．
所以点Q的轨迹，即曲线的方程为.
（3）位置关系：圆与圆O相内切．
显然为曲线的左焦点，设的右焦点为，如图．
由椭圆的定义可得，
由题意，以为直径作圆，所以为的中点．
因为O为的中点，所以为的中位线，所以，
所以，
所以，即圆心距等于两圆半径的差，所以圆与圆O相内切．
19．【答案】（1）解：双曲线的渐近线方程为，即，
因为点到的一条渐近线的距离为，即，
又因为，所以
所以的方程为.
（2）解：（ⅰ）证明：显然圆的切线的斜率存在，
设切线的方程为，
因为切线不平行的渐近线，所以.
由圆心到切线的距离，得.
联立消去得，
由题意知，设，
所以，
所以
.
所以，即.
所以.
（ⅱ）解法1：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线.
则的面积.
设切线与圆的切点为，则，
.
由（ⅰ）得，
又，
则.
当时，.
此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
解法2：由（ⅰ）同理可得，
所以三点共线.
则的面积.
设切线与圆的切点为，
则.
在中，，
在中，，
则，
当时，，即的面积的最小值为3.
此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
解法3：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线.
则的面积.
设切线与圆的切点为，
则.
在中，，
在中，，
由于，则，
根据基本不等式得，
得，则，即的面积的最小值为3.
当且仅当等号成立，
根双曲线的对称性知，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
【知识点】双曲线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）先求得双曲线的渐近线方程，进而由点到直线距离公式列式结合可得，即可求得双曲线C的方程；
（2）（ⅰ）设切线的方程为，由圆心到切线的距离，可得，再联立切线方程与双曲线方程，由韦达定理可得，结合可得，进而可得，即可证得；
（ⅱ）方法1，注意到，由（ⅰ）可得，据此可得答案；
方法2，设切线与圆的切点为，则可得，据此可得答案；
方法3，由题可得，又设切线与圆的切点为，由，结合，可得，由基本不等式可得，据此可得答案.
（1）解：由于双曲线的右焦点为，所以.
双曲线的渐近线方程为，即为，
由于点到的一条渐近线的距离为，则.
解得所以的方程为.
（2）（ⅰ）证明：显然圆的切线的斜率存在，
设切线的方程为，
由于切线不平行的渐近线，则.
由圆心到切线的距离，得.
由消去得，
由题意知.设，
则，
而
.
则，
则.
所以，即.
（ⅱ）解法1：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线.
则的面积.
设切线与圆的切点为，则，
.
由（ⅰ）得，
又，
则.
当时，.
此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
解法2：由（ⅰ）同理可得，
所以三点共线.
则的面积.
设切线与圆的切点为，
则.
在中，，
在中，，
则，
当时，，即的面积的最小值为3.
此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
解法3：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线.
则的面积.
设切线与圆的切点为，
则.
在中，，
在中，，
由于，则，
根据基本不等式得，
得，则，即的面积的最小值为3.
当且仅当等号成立，
根双曲线的对称性知，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.
得点的坐标为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
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