平面向量的运算 重点题型梳理 专题练 2026届高考数学复习备考

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平面向量的运算 重点题型梳理 专题练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．在所在平面内，点满足，记，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，满足，，与的夹角为，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．关于平面向量，下列正确的是（ ）
A．若是单位向量，零向量，则
B．若向量与不共线，则存在一对实数，使
C．海拔、温度、角度都是向量
D．若，则四边形ABCD是菱形
6．已知是上三点，射线与的延长线（不包括点）交于点，若，则（ ）.
A． B．
C． D．
7．已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．在平行四边形中，已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知中，点是边的中点，点是所在平面内一点且满足，则下列结论正确的有（ ）
A．点是中线的中点
B．点在中线上但不是的中点
C．与的面积之比为1
D．与的面积之比为
11．已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．与共线的单位向量是
C．若，则共线 D．若，则
三、填空题
12．若平面向量，，则与夹角的正切值是 .
13．四边形为菱形，其中，，则 .
14．已知为的外心，，，．若，则 ．
15．在中，为边上的中线，为上一点，且，若，且（），则 ．
16．设向量满足，若，则的值是 ．
四、解答题
17．是曲线上的动点，若，求的取值范围．
18．设是平面上任意三点，定义向量的运算：，其中由向量以点为旋转中心顺时针旋转得到，当为零向量时，规定也是零向量．
(1)若，，求，；
(2)若为不共线的向量，满足，请解答下面的问题：
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的值．
19．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.在仿射坐标系中，向量的加减法、数乘运算的坐标运算规律和直角坐标系一致.已知在仿射坐标系下，.
(1)当时，求；
(2)当时，求；
(3)如图，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，，，分别为，的中点，求.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A C B D D D ACD ACD
题号 11
答案 ACD
1．C
【分析】由向量的线性运算法则即可算得结果.
【详解】由向量的线性运算可知.
故选：C.
2．D
【分析】利用平面向量的加法可得结果.
【详解】.
故选：D.
3．A
【分析】先计算向量，再应用投影向量公式计算求解.
【详解】，则向量，
则在的投影向量为，
故选：A．
4．C
【分析】法一：对，两边平方再开方计算可得答案；法二：由向量减法的几何意义和已知条件可得答案.
【详解】法一：，
即；
法二
由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图，
若，，，，，
则，，故.
故选：C.
5．B
【分析】对于A，由单位向量，零向量定义可判断选项正误；对于B，由平面向量基本定理可判断选项正误；对于C，由向量定义可判断选项正误；对于D，由向量相等定义结合题意可判断选项正误.
【详解】对于A，因是单位向量，零向量，则，故A错误；
对于B，因向量与不共线，则与可作为一组基底，则由平面向量基本定理可得：
存在一对实数x，y，使，故B正确；
对于C，向量为既有大小，又有方向的量，则海拔、温度、角度都不是向量，故C错误；
对于D，因，则，则四边形ABCD是平行四边形，条件不足，无法判断是否是菱形，故D错误.
故选：B.
6．D
【分析】利用向量三点共线的推论与向量共线的性质即可得解.
【详解】因为三点共线，不妨设，其中，，

又三点共线，且反方向，不妨设，
所以，
又，则，
所以，
故选：D.
7．D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
8．D
【分析】法一，在中分别利用向量加法的三角形法则表示，，再根据平面向量共线定理及向量相等转化即可表示出；
法二，在中利用向量加法的三角形法则表示，再根据平面向量共线定理及向量相等转化即可表示出.
【详解】在平行四边形中，有.
已知，，
法一：
.
法二：.
故选：D
9．ACD
【分析】根据向量的加法法则可逐一判断．
【详解】对于A，由平面向量加法的平行四边形法则得，A正确；
对于B项，，B错误；
对于C项，，C正确；
对于D项，，D正确．
故选：ACD
10．ACD
【分析】由平面向量的线性运算得到，则AB可判断，利用三角形中线的性质得，则CD可判断.
【详解】因为的中点为，所以.
又，所以，
所以，即为的中点，A正确，B错误.
由A正确可知，，所以C，D正确.
故选：ACD.
11．ACD
【分析】A根据相反向量的定义判断；B利用向量的单位化可判断；C由共线定理可判断；D利用向量的减法运算可得即可判断.
【详解】由相反向量的定义可知A正确；
与共线的单位向量是，故B错误；
由向量共线定理可知，共线，又有公共点，则共线，则C正确；
由可得，所以，D正确.
故选：ACD.
12．
【分析】利用向量的数量积公式求夹角即可.
【详解】由，
即，
又，所以.
故答案为：
13．
【分析】由菱形的性质结合条件可得为边长为等边三角形，由向量减法运算即可得到答案.
【详解】四边形为菱形，其中，
连接，所以为边长为等边三角形，所以
故答案为：
14．
【分析】解法1：先将已知条件画成相应的图形，然后将等式化简求出和的值；
解法2：先将已知条件画成相应的图形，然后利用数量积列出方程组，求解方程解出；
解法3：先将已知条件画成相应的图形，然后作出平面直角坐标系，将向量的坐标表示出来列出方程组，进而求得结果.
【详解】解法1：如图，设，，，
作于点于点．

易知，其中，
由已知条件可求得，，
故．
解法2：由
得解得故．
解法3：以为圆心，作平面直角坐标系如图所示，则，，，
因为外心是的中垂线和的中垂线的交点，
则，得，，，
从而有故．

故答案为：.
15．
【分析】根据已知，可由向量分别表示出，再由可得含有的等式，又不共线，可得方程组，计算即得.
【详解】如图所示，
由为边的中点，得到，而，
因此，
所以，
因为，得，
因为，设（），所以，
所以，即．
因为与不共线，所以，得，故．
故答案为：.
16．4
【分析】由，由向量运算及向量数量积垂直的表示可得，，即可求值
【详解】由，则，∴，
由，∴.
∴
故答案为：4
17．．
【分析】首先根据向量的线性运算将转化为，然后再根据投影的几何含义求解取值范围即可.
【详解】如下图，取的中点为.
知，
易知：表示在方向上的投影.
观察图像可知：当的坐标为时，取得最小值，最小值为；
当的坐标为时，取得最大值，最小值为；
因此可得：，
由于，故的取值范围为．
18．(1)，；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）0
【分析】（1）需要先根据向量旋转的规则求出旋转后的向量，再计算向量的数量积；
（2）（i）要利用已知条件和向量运算性质进行推导；（ii）根据向量数量积的运算律进行化简计算即可.
【详解】（1）已知，将以点为旋转中心顺时针旋转得到.
根据向量旋转的性质，若，则旋转后的，所以.
那么.
已知，将以点为旋转中心顺时针旋转得到，则.
所以.
（2）（ⅰ）已知，两边同时进行RT运算与做点积，即.
根据RT运算的分配律（可由向量数量积的分配律推导）可得：.
因为，设，则，.
所以，又因为不共线，，则.
（ⅱ）同理可得，
当、不共线时，则，
所以，，
所以，.
19．(1)1
(2)
(3).
【分析】（1）当时，平面坐标系为仿射坐标系，也就是平面直角坐标系，由，计算即可；
（2）当时，，又，，由两个向量夹角的余弦值的计算公式求解即可；
（3）依题意将表示为基向量利用数量积求解即可.
【详解】（1）当时，平面坐标系为仿射坐标系，也就是平面直角坐标系，
.
，即.
（2）当时，，又，，
，
，
.
（3）依题意，，，.
，，
，，
，
又由（2）知，当时，，.
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