福建省泉州市晋江侨声中学、南安侨光中学两校2025-2026学年高二上学期联考二（12月）数学试卷（含答案）

晋江侨声中学、南安侨光中学2025秋季高二年两校联考二数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在等差数列中,,,则的公差为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
3.四面体中，，，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为( )
A． B． C． D．
5.已知实数满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6.如图，在三棱锥中，平面，，点，分别为，的中点，，，则点到平面的距离是（ ）
A. B． C． D．
7.已知抛物线的焦点为，过的直线与交于点A，B，且与的准线交于点，若且，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
8.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，则（ ）
A．“摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件
B．“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件
C．“摸出的球颜色相同”的概率为
D．“摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立
10.已知椭圆，双曲线，它们的离心率分别为，，则（ ）
A．可能为等轴双曲线 B．的焦距小于的焦距
C．与恰有四个公共点 D．
11.直四棱柱的所有棱长都为4，，点P在四边形及其内部运动，且满足，则（ ）．
A．存在点P使得平面
B．直线与平面所成的角为定值
C．直线与所成角的范围为
D．点P到平面的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知数列的前n项和为,,,则 .
13.点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为 .
14.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与C交于M、N两点，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(本题13分)在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点.
求证：平面；
(2)求与平面成角的正弦值.
16.（本题15分）如图所示，已知双曲线与抛物线有相同的焦点F，它们在第一象限内的交点为M.
(1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)若双曲线的渐近线为.
(i)求双曲线的标准方程；
(ii)求点M到双曲线两个焦点的距离之和.
17.（本题15分）设等差数列的公差为,且.令,记,分别为数列,的前项和,已知,
(1)求,的通项公式;
(2)若= ，数列的前项和为,求.
18.（本题17分）如图，在四棱锥中，，．
(1)证明：平面ABCD；
(2)若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为．
（ⅰ）求PF；
（ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围．
19.（本题17分）已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于、两点且不过原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标；
(3)若直线，，的斜率分别为，且，求面积的取值范围．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A B D B C D
7.如图，设准线与轴的交点为，过作，过作，垂足分别为，则．
根据抛物线定义知，，设，，
因为，所以，即，得，所以，所以，
因为，所以，即，解得． 故选：C.
8.设曲线C上任意一点为，
由题意知，曲线C方程为：，其中，
将点代入曲线方程，得：，则.
故曲线C方程为：，其中.
可得，
当时，.
因此C在第一象限的点的纵坐标的最大值. 故选：D.
二、
题号 9 10 11
答案 ABC BD ABD
9.记2个红球为A，B，3个白球为a，b，c，则任意摸出2个球，有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种，
“摸到2个红球”有AB，“摸到2个白球”有ab，ac，bc，“至少摸到1个红球”有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，
“摸出的球颜色相同”有AB，ab，ac，bc，“摸出的球中有白球” 有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，
A：“摸到2个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确；
B：“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，且必有一个发生，故是对立事件，故B正确；
C：“摸出的球颜色相同”包含4种结果，故其概率为，故C正确；
D：设M＝“摸出的球中有红球”，N＝“摸出的球中有白球”，用古典概型的方法计算可知
P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，显然P(MN)≠P(M)P(N)，故M，N不相互独立，故D错误． 故选ABC.
10.根据题意，因为，所以不可能为等轴双曲线，A错误；
椭圆，半焦距，
的焦距为，
双曲线，半焦距，
的焦距为，显然，B正确；
因为椭圆中，
双曲线中，
则与只有和两个交点，C错误;
，则，D正确. 故选：BD
11.由题设，棱柱底面是边长为4的菱形，且，则，
根据直棱柱的结构特征知，关于平面对称且面，
由，点P在四边形及其内部运动，则，
所以的轨迹是以的中点为圆心，为半径的半圆（含端点），如下图示，
当与重合时，，即，面，面，
所以平面，A对；
由上分析知，直线与平面所成的角，即为半圆锥的母线与底面所成角，
所以直线与平面所成的角为定值，B对；
由，直线与所成角，即为直线与所成角，
根据对称性，当从运动到半圆的最上方时，由最小逐渐增加到最大，
即与重合时，最小为，显然不满足区间的最小值;C错
令点P到平面的距离为，到直线的距离为且，
而，，，
由，则，整理可得，
所以，D对.
故选：ABD
三、
题号 12 13 14
答案
14.由题意可得，由解得和，
即，易知直线经过点，
由可得，
故的外接圆圆心为的中点，即，
又的内切圆圆心为，则由对称性可知，点在轴上，不妨设，
易得直线的方程为，即，
则点到直线的距离等于该点到直线的距离，
即，解得或（不合题意，舍去），故得，
故.
四、
15.（1）法1：取的中点,连接,,
依题意可知：且,且
所以且,四边形为平行四边形，故，………………………4分
又平面,平面,所以平面.…………………………6分
法2：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系
，，，,,
，，………………………………2分
设平面的法向量，
则，取，得，…………………………4分
,又面，所以平面，……………………………6分
（2）由（1），…………………………………………………………8分
设与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为. …………………………………13分
16.（1）因为抛物线，
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为……………………………4分
（2）(i) 设双曲线的方程为
则，， ∴，，
∴双曲线的方程为……………………………………………………………8分
(ii)由，可得或(舍去) 所以，……………10分
由抛物线的定义可知，…………………………………………………12分
由双曲线的定义可知，点M到左焦点的距离为7，…………………………………14分
∴点M到双曲线两个焦点的距离之和为.…………………………………15分
17.(1)由,得, …………………………………………………1分
则……………………………………………………3分
又…………………………………………………5分
所以即解得(舍去)…………7分
所以………………………………………………………………………………9分
则……………………………………………………………………10分
(2)……………………12分
……………………………14分
…………………………15分
18.（1）因为平面PAD，平面PAD，所以．
又，平面ABCD，平面ABCD，，
所以平面ABCD．……………………………………………………………………3分
（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图．
（ⅰ），，，
，，，设，
则．
设平面AEF的法向量为，则即，
取，得，，
所以是平面AEF的一个法向量，……………………………………………6分
因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量．……………………7分因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为，
所以，得，所以．……………9分
（ⅱ）设，则．
因为为平面AEGF的一个法向量，所以，
所以，即，得，
所以，．………………………………………………………11分
，，，，，，
因为M在平面PBC上，所以，
所以．
设平面MAD的法向量，则即，
取得，所以是平面MAD的一个法向量，………………14分
设EG与平面MAD所成角为，则
因为，所以
即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为．………………………………17分
19.（1）由已知得，且，
所以椭圆的标准方程为；…………………………………………………………3分
（2）分类讨论：
①当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，，
联立方程组消去得，
则，，
由，得，…………………………………6分
由，得，即，
化简得，
从而，
化简得，
即，所以或（直线过点，舍去），
即直线的方程为，所以直线过定点．……………………………9分
②当直线的斜率不存在时，令，代入椭圆方程得，
则，所以，
可得，则，解得或（舍），
所以直线的方程为，也过定点；…………………………………………10分
（3）由（2）知且，，
，
因为直线，，的斜率分别为，且，
所以，即，即，
又，所以，，……………………………………………………………13分
因为直线的斜率存在且不过原点，结合可得，
而斜率存在，故不为上下顶点，故，
设为点到直线的距离，
则………………16分
，
所以的取值范围为.……………………………………………………………17分