2028届普通高等学校招生全国统一考试
青桐鸣大联考（高一）
数学（人教A卷）参考答案
A【解析】由得，于是，其非空子集得个数为，故选A.
B【解析】由得或，由得或，故甲是乙得必要不充分条件.故选B.
D【解析】设扇形的半径为，由，得，则该扇形得面积为.故选D.
B【解析】由条件知，得，于是，故.故选B.
B【解析】不妨设，由奇函数的性质可知，即，于是，得.故选B.
C【解析】时，，显然其在上单调递增，注意到，，可得其中的一个零点所在得区间为.故选C.
A【解析】计算得
.故选A.
A【解析】设，显然，由是奇函数，
知，于是，，
于是，
故.故选A.
ABC【解析】对于A，由可知，故A正确；
对于B，由得，于是，故B正确；
对于C，由，得，故C正确；
对于D，，，故D错误.
故选ABC.
BC【解析】对于A，，故A错误；
对于B，由基本不等式得，可得，当且仅当时，取等号.而，于是，故B正确；
对于C，，
于是，故C正确；
对于D，取，则，故D错误.
故选BC.
ABD【解析】对于A，，故A正确；
对于B，此时是增函数，是增函数，故是增函数，故B正确；
对于C，若是偶函数，则，可得，
解得，显然矛盾，故C错误；
对于D，设，当时，
，故D正确.
故选ABD.
【解析】由得，而，故所过的定点坐标为.
【解析】注意到，
故.
1【解析】易知，
即，显然是增函数，
由可得，即.
【解】（1）由知，故.
（2）.
（3）.
【解】（1）此时，，可得.
证明：当，即时，，.
当时，，.
当，即，成立，综上，原命题得证.
【解】（1）由勾股定理得，于是，，故
.
（2）设，注意到，故，
故，当，即时，等号成立，故的最大值为2.
（3）由（2）知，知，当且仅当时，等号成立，于是，故的最大值为.
【解】（1）（i）时，，.
（ii）记，当时，取可得，矛盾；
故由二次函数恒成立得，解得，
经验证可知其成立，故.
证明：由得，由得，
于是，其对称轴为，而，
易知在上单调递增，故，
即，
结合单调性得.
【解】（1）由于在上的奇函数与偶函数满足，将替换为可得，所以有，联立方程组，
解得，.
证明：不妨设，且，
，
因为，所以，则，即，故，
又因为，所以，所以，即，
故在上单调递增.
证明：，故存在实数满足题意.
将代入不等式，有，即，
因为对于任意的实数，且，所以，
不等式两边同时除以，得，故原不等式等价于，
即，令，不等式等价于，即，
化简得，易知，则只需，即，解得，
所以不等式的解集为.2028届普通高等学校招生全国统一考试
青桐鸣大联考（高一）
数学（人教A卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
集合的非空子集的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
已知为实数，设甲：；乙：，则
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
已知某扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为
A. 6 B. 3 C. D.
已知幂函数，为实数，则
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
已知函数是奇函数，均为实数，则
A. B. 0 C. 2026 D. 4052
已知偶函数在时的解析式为，则其中的一个零点所在的区间为
A. B. C. D.
若，则
A. B. C. D.
已知偶函数满足是奇函数，且当时，，则
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
已知集合，，则下列正确的有
A. B.
C. D.
已知正数满足，则下列说法正确的有
A. B.
C. D.
已知函数，为实数，则下列正确的有
A. B. 当时，是增函数
C. 存在，使得是偶函数 D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
设函数，为实数，曲线的图象所过定点的坐标为 .
.
对于正数，若，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（13分）
已知.
若，求；
求；
求.
（15分）
已知为实数，集合，.
当时，求；
证明：当时，.
（15分）
如图，在一块边长为2的正方体木块中，分别在线段上设置动滑轮，.记，的面积为.
求的解析式；
求的最大值；
求的最大值.
（17分）
已知函数均为实数.
当时，
若，求的值；
若恒成立，求的值.
若，且恒成立，证明：.
（17分）
已知均定义在上的奇函数与偶函数满足.
求与的解析式；
用定义法证明：在上单调递增；
证明：存在实数，使得，并解不等式：.
