4.4.2 对数函数的图象和性质 教学设计

教学设计4.4.2 对数函数的图象和性质
（一）教学内容
对数函数图象的两种绘制方法（描点法、对称变换法）；通过图象观察与代数运算探究对数函数的定义域、值域、过定点、单调性等核心性质；底数 对对数函数图象和性质的影响规律；利用单调性比较同底数对数的大小。
（二）教学目标
1.经历“列表—描点—连线”的完整过程，能独立绘制 的图象，利用对称性快速绘制 的图象，掌握“代数运算辅助图象精准化”的方法，发展直观想象素养；
2.通过“图象观察—性质猜想—代数验证”的闭环探究，能准确表述对数函数的核心性质，能用作差法结合对数运算性质证明单调性，提升逻辑推理与数学运算素养；
3.能根据底数大小判断对数函数的单调性，熟练运用单调性比较同底数对数的大小，初步体会分类讨论思想，强化知识应用能力；
4.迁移指数函数的研究方法，初步形成“绘制图象—观察特征—代数验证—归纳性质”的函数研究通用框架，体会数形结合思想的价值。
（三）教学重点与难点
教学重点：对数函数图象的绘制方法；对数函数的核心性质（定义域、值域、过定点 、单调性）；
教学难点：对数函数单调性的代数证明；底数对对数函数图象和性质的影响规律。
（四）教学过程
环节一：情境导入——衔接单元知识，自然引出课题
问题1：衔接旧知，引出对数函数
我们已经学过指数函数 ，若已知 ，可求出 ；若把“ 作为因变量， 作为自变量”，这个新函数的解析式是什么？类比指数函数“作图—探性质—用性质”的研究路径，我们该如何探究对数函数？
追问：(1) 对数函数的解析式为 ()，其定义域为什么是 ？结合对数定义代数验证。
(2) 尝试列出 的几组对应值（如 ），为作图做准备。
师生活动：教师引导学生从指数与对数的互化关系引出对数函数；学生独立验证定义域，完成列表，小组核对数值准确性。
设计意图：类比旧知搭建研究框架，通过列表为描点作图铺垫，强化知识连贯性。
环节二：精讲环节——规范绘图步骤，探究核心性质
问题2：绘制图象，观察特征
请按以下步骤完成图象绘制，探究对数函数图象的共性与差异：(1) 用描点法画出 的图象，列表时为何优先选 () 这类值？
尝试用换底公式转化 ，观察它与 的图象关系，快速画出图象。
(3) 课本中还给出了 和 的图象示例，结合这四个函数图象，总结对数函数图象的共同特征和不同之处。
追问：(1) 对数函数的图象始终在 轴右侧，为什么不会与 轴相交？
(2) 当 和 时，图象的增减趋势有什么不同？
师生活动：教师巡视指导作图，用课件展示标准图象；学生独立完成作图，对比课本图象修正，小组讨论图象特征并汇报。
设计意图：让学生经历“列表—描点—连线”的完整过程，通过对比不同底数的图象，为归纳性质提供直观支撑。
问题3：归纳性质，代数验证
结合绘制的图象和课本示例，猜想对数函数 () 的核心性质，再从代数角度验证：
定义域、值域分别是什么？
函数是否过定点？若过，定点坐标是什么？如何证明？
(3) 单调性与底数 的取值有什么关系？尝试用“作差法+对数运算法则”证明 的单调性。
追问：(1) 课本中提到“对数函数的图象都过点 ”，这一结论的代数依据是什么？
(2) 当 时，底数越大，图象越靠近 轴正半轴，这一规律如何结合单调性理解？
师生活动：教师引导学生从“定义域、值域、过定点、单调性”四个维度归纳，板书性质表格；学生独立完成单调性证明，小组交流验证思路。
设计意图：落实“图象观察—猜想—代数验证”的研究方法，提升逻辑推理和数学运算素养。
环节三：践思环节——巩固基础应用，强化性质理解
问题4：课本例题应用，深化性质理解
（1）例3：比较对数大小（课本核心例题）
呈现课本例3：比较下列各组中两个值的大小：
log23.4 与 log28.5；
与 ；
③ 与 ()。
追问：(1) ①②两题能直接比较的依据是什么？需要注意什么前提条件？(2) ③题为什么要对底数 进行分类讨论？分类的临界值是什么？
师生活动：教师引导学生关联“单调性”解决问题，总结“同底看单调性，底不确定需分类”的方法；学生独立完成解题，小组分享思路，教师点评规范步骤。
（2）例4：溶液 pH 计算（课本实际应用例题）
呈现课本例4：溶液的酸碱度用 pH 表示，计算公式为（ 为氢离子浓度，单位：摩尔/升）：
根据对数函数性质，说明溶液酸碱度与氢离子浓度的变化关系；
② 已知纯净水中氢离子浓度 摩尔/升，计算纯净水的 pH。
追问：(1) 公式中“”的负号对变化关系有什么影响？
(2) 若某溶液 ，其氢离子浓度是多少？与 的溶液相比，酸性更强的是哪一个？
师生活动：教师引导学生提炼对数函数模型，解释实际意义；学生独立完成计算，小组讨论变化规律，结合生活常识理解酸碱度差异。
设计意图：完全贴合课本例题，让学生在应用中巩固性质，体会数学的实际价值，落实课本教学要求。
环节四：辨研环节——深化核心理解，突破易错难点
问题5：有人说“对数函数 x的图象一定过点(1,0)，但不会与y轴相交”，这一说法是否正确？请结合图象观察和代数运算说明理由。
问题6：已知函数，其图象与 x的图象有什么关系？该函数的单调性与a的关系是什么？
师生活动：教师提出辨研问题，引导学生分组讨论；鼓励学生从图象直观性和代数严谨性两个角度展开辩论；总结辨研结果，强调“图象特征源于代数本质”。学生分组讨论，结合图象特征提出观点；通过代数运算验证观点，展开辩论；整理辩论结果，形成最终结论。
追问：函数的定义域是什么？如何通过代数运算确定？
设计意图：深化对对数函数核心性质的理解，提升思辨能力；突破“对数型复合函数图象平移”的难点；强化代数运算在解释图象特征中的作用。
环节五：归纳环节——梳理知识体系，提炼通用方法
问题7：本节课我们探究了对数函数的图象和性质，总结“研究一个新函数”的通用步骤是什么？
问题8：对数函数的核心性质有哪些？底数对其图象和性质的影响规律是什么？
师生活动：引导学生归纳通用探究步骤：列表绘图→观察猜想→代数验证→归纳性质；板书对数函数性质表格（如下），强化核心知识点；总结本节课用到的数学思想：数形结合、类比、分类讨论。学生自主梳理探究步骤，总结核心知识；全班分享总结成果。
知识梳理如下：
(1) 对数函数的核心性质（结合表格总结）：
性质
定义域
值域
过定点
单调性 单调递增 单调递减
图象特征 过第一、四象限， 自左向右上升 过第一、四象限， 自左向右下降
追问：这一通用探究步骤是否适用于本章学习的指数函数、幂函数？
设计意图：构建系统的知识体系与方法体系，实现单元内方法迁移；强化核心知识点记忆，深化数学思想理解。
（五）目标检测设计
1. 检测目标：考查对数函数图象绘制、性质理解与应用能力，覆盖教学重点与难点，贴合课本练习要求。
2. 检测题目：
（1）绘制函数和的图象，简述它们的关系，并写出函数的定义域、值域和单调性（要求用代数运算验证单调性）。
（2）比较下列各组值的大小：
①与；②与；③与。
（3）已知对数函数在[2,4]上的最大值比最小值大1，求a的值。
3. 检测说明：第（1）题侧重图象与性质验证，第（2）题侧重性质应用，第（3）题侧重分类讨论与综合应用，难度层层递进，可作为课后作业或下节课课前反馈。
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