第3章 勾股定理 单元试卷 （含答案）2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第3章 勾股定理 单元试卷 2025-2026学年苏科版数学八年级上册
学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________
一、单选题
1．以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，下列条件中，不能判是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．
3．一个直角三角形的两边长分别是3和4，且三边长构成一组勾股数，则第三边长为（ ）
A．5 B． C．5或 D．12
4．如图，将一根长的筷子，置于一个底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的值最小为（ ）
A．7 B．8 C．16 D．17
5．如图,将△ABC放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1),点A,B,C恰好在网格图中的格点上,那么△ABC中BC边上的高的长度是(　　)
A． B．7 C． D．
6．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
7．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A． B．2025 C． D．2026
8．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”
译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”

若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题
9．如图，数轴上点A表示的实数为 ．

10．如图，线段关于成轴对称，连接，作于点C，已知，，的面积是 ．

11．已知直角三角形两条边长为3和4，则第三条边长为
12．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，那么的值是 ．
13．小宁在迪卡龙购买了拳击反应球作为居家健身器材．如图，若将球体支架最底端O到球体最顶端A看成一条线段，当反应球被击打时，可看作线段绕着点O旋转得到线段（在安全角度范围内旋转）．小宁击打反应球后与支架的水平距离为，当时，，则球体支架 ．
14．如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为 ．
15．如图是一个三级台阶,它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米,A,B是这个台阶上两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是　　　　　米.
16．在平面直角坐标系中，已知点，若点是轴正半轴上的一个动点，当是等腰三角形时，则点坐标是 ．
三、解答题
17．如图，在中，，，，求的长．
18．如图，在四边形中，，，，，．
求四边形的面积．
19．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇OC生长在AB的中点D处，高出水面的部分尺，将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）．
20．山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点．
（1）求边的长；
（2）求空地的面积．
21．周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
测得水平距离的长为米；
根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；
牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
22．笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路，测得km，km，km．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求原路线的长．
23．某校劳动基地的形状是类似如图所示的四边形，测得，，，，且，现需将菜地分成两块，分别种上白菜和萝卜．为了区分两块区域，劳动老师决定沿对角线修一条仅供一个人走的小路（小路的宽度忽略不计），小路上方种白菜，下方种萝卜．
（1）求小路的长；
（2）通过计算说明种白菜和萝卜的菜地哪块大？大多少？
24．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设．
（1）①用含x的代数式表示的长；
②求出的最小值．
（2）根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值．
（3）若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值．
参考答案
1．【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，
∴长为的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴长为的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴长为的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴长为的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
故选D．
2．【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，熟练掌握“当三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形”是解题的关键．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐选项判断即可．
【详解】A．设，，，
，，
，
是直角三角形，故选项A不符合题意；
B．，
，，
又，
，
，
是直角三角形，故选项B不符合题意；
C．，，，，
不是直角三角形，故选项C符合题意；
D．，，
，
是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选C．
3．【答案】A
【分析】本题重点考查勾股定理的运用，明确直角三角形三边关系并判断是否为勾股数是解题的关键．
直角三角形两边长为3和4，第三边可能为斜边或直角边，但要求三边长均为勾股数（即正整数），因此需验证第三边是否为整数，求解即可．
【详解】解：∵ 直角三角形两边长为3和4，
① 若3和4为直角边，则斜边为 ，5为整数，符合勾股数要求；
② 若4为斜边，则另一条直角边为 ，不是整数，不符合勾股数要求，
∴ 第三边长为5，
故选A．
4．【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短．然后利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．
【详解】解：如图所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，

在中，，，
，
此时，
的值最小为是．
故选A．
5．【答案】D
6．【答案】B
【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
【详解】解：由题意可知．，，
由勾股定理得，
故离门4米远的地方，灯刚好打开．
故选B．
7．【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：如图，
由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
∴“生长”了 1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2 ，
同理可得，“生长”了 2 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 3 ，
∴“生长”了 3 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 4 ，
，
∴“生长”了 2025 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2026 ．
故选D．
8．【答案】D
【分析】设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解．
【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺
由题意可知：尺，尺，则尺，则尺，
由勾股定理可得：，
则可列方程为：．
故选D．
9．【答案】
【分析】先根据勾股定理求出圆弧半径，再用减去半径即可得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，
圆弧半径为，
则点A表示的实数为.
10．【答案】30
【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理．根据轴对称的性质，得到，勾股定理求出的长，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵线段关于成轴对称，
∴，
∵，，
∴，，
∴的面积是.
11．【答案】5或
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理以及分类讨论的思想是解决本题的关键．由题意，需分类讨论，再根据勾股定理解决此题．
【详解】解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况：
①边长为4的边为斜边，此时，则，得；
②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则，得．
综上，或5．
12．【答案】
【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解．
【详解】解：如图，
∵大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，
∴，
∴，
∴直角三角形的面积是，
又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，
∴，
∴，
∴．
13．【答案】130
【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，设，则，，在中，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由旋转知：，
设，则，，
由题意知，
∴，即，
解得，
即球体支架.
14．【答案】
【分析】如图（见详解），先根据网格的特点、勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】设AB边上的高为h
如图，由网格的特点得：
解得
15．【答案】2.5
16．【答案】或或
【分析】本题考查等腰三角形的定义和勾股定理的应用．当为等腰三角形时，需分三种情况讨论：、或．分别计算每种情况下点的横坐标，并确保且能构成三角形，即可．
【详解】解：设点，且，
∵点，点，
∴，，
当时，，
解得：或（舍去，），
此时 ；
当时：，
此时；
当时：此时，
解得：，
此时
综上，点坐标为或或．
17．【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理，合理作图是关键．
如图，过点作于点，运用勾股定理得到，则，在中，运用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
因为，
所以，
所以
因为，
所以在中，，
所以，
因为，
所以，
在中，．
18．【答案】36
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握直角三角形的判定方法是解题的关键．
利用勾股定理求出的长，证得是直角三角形，再利用面积公式运算求解即可．
【详解】在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
．
19．【答案】水池深度为12尺，芦苇的长度是尺
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水池深度为尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：设水池深度为尺，则芦苇高度为尺，
由题意有：尺；
为中点，且丈尺，
(尺)；
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：；
(尺)
∴水池深度为12尺，芦苇的长度是尺．
20．【答案】（1）
（2）
【分析】本题考查垂线的定义，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出即可求解；
（2）连接AC，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
在中， ，
由勾股定理得：，
∵E是的中点，
∴；
（2）如图，连接AC，
∵，E是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
即，
∴是直角三角形，，
∴，
答：空地ABCD的面积为．
21．【答案】（1）米；
（2）米．
【分析】（）勾股定理求出的长，再加上小明的身高即可；
（）勾股定理求出的长，此时缩短长度为，即可得出结果；
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可知：米，，米，
在中，由勾股定理得，，
∴米，
∴（米），
答：风筝的垂直高度为米；
（2）解：∵风筝沿方向下降米，保持不变，如图，
∴此时的（米），
即此时在中，米，有（米），
相比下降之前，缩短长度为（米），
答：他应该往回收线米．
22．【答案】（1）是直角三角形，理由见详解
（2）
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，注意计算的准确性即可．
（1）根据题意可得，即可判断；
（2）由（1）得：，根据，，即可求解；
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵km，km，km，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：∵点A到点B的距离等于点A到点G的距离，
∴，
∵
又由（1）得：，
∴，
即：，
解得：．
23．【答案】（1）的长为；
（2）种白菜的菜地大，大．
【分析】本题考查勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出的长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再计算两个直角三角形的面积，然后比较即可解决问题．
【详解】（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：，
答：的长为；
（2）解：在中，，，，
，
是直角三角形，且，
，
，，，
，
，，
种白菜的菜地大，大，
答：种白菜的菜地大，大
24．【答案】（1）①；②
（2）
（3）
【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键，
（1）①根据勾股定理即可表示出的长；②过点作，过点作，连接，当三点共线时，的值最小，再利用勾股定理求出的最小值；
（2）根据题意构造图形，过点作，过点作，连接，交于点，所以代数式的最小值为的长，由勾股定理求得的最小值；
（3）由条件得，将看作直角三角形的斜边，通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移为，再根据两点间距离最短，可得的最小值．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
②过点作，过点作，连接，如图，
∴当三点共线时，的值最小，
∴，
∴的最小值为．
（2）解：，，，，，如图：
过点作，过点作，连接，交于点，
∴代数式的最小值为的长，
∵，，，
∴，
∴代数式的最小值为．
（3）解：∵
∴，
将、、看作直角三角形的斜边，如图所示：
通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移总长为，
∴的最小值为．
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