数学：《立体几何》（理）水平测试

高中数学《立体几何》水平测试（理）
选择题
1．下列各图是正方体或正四面体，分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ）
D
2．已知直线与平面，给出下列四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④，则
A．①② B．①④ C．③④ D．④
D
3．三棱锥中，和是全等的正三角形，边长为2，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
B
4．是两条异面直线，是不在上的点，则下列结论成立的是（ ）
A．过有且只有一个平面平行于
B．过至少有一个平面平行于
C．过有无数个平面平行于
D．过且平行的平面可能不存在
D
5．用一个平面去截一个正四棱柱，截法不同，所得截面形状不一定相同，在各种截法中，边数最多的截面的形状为（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
C
6．已知棱长为2的正方体内有一个和各个面都相切的球体，则球体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
C
7．若一个正三棱柱的三视图如图1所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别是（ ）
A． B． C． D．
D
8．如图2，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，斜边，侧棱，点是的中点，那么截面与底面所成二面角的大小是（ ）
A． B． C． D．非以上答案
B
9．设有四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体
③有两条侧棱都垂直于底面两边的平行六面体是直平行六面体
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体
以上四个命题中，真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
10．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面直相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是（ ）
A． B． C． D．
D
11．把边长为的正沿高线折成的二面角，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
D
12．如图3，已知直三棱柱的侧棱长是2，底面
是等腰直角三角形，且是
的中点，是的中点，则三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
A
二、填空题
13．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 ．
14．如图4，正六棱柱的底面边长为1，
侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线与所成角的大小
为 ．
15．在空间四边形中，点分别在上，若直线与相交于点，则点与直线的关系是 ．
16．如图5，正方体中，点，且，有以下四个结论：
①；
②；
③与面成角；
④与是异面直线．
其中正确结论的序号是 ．
①③
解答题
17．如图6，正方体中，问棱上是否存在点
，使得平面平面？证明你的结论．
点是的中点
18．在正四面体中，为的中点，求异面直线和所成角的余弦值．
19．如图7，在四棱锥中，底面为矩形，
侧棱底面为
的中点．在侧面内找一点，使面，
并求出点到和的距离．
到和的距离分别为
20．过棱长为2的正方体的棱的中点作截面．求：
（1）棱锥的体积；
（2）点到平面的距离．
（1）；
（2）
21．如图8，在矩形中，，是
边上的中点，以为折痕将向上折起，使为，
且平面平面．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明略；
（2）.
22．如图9，已知四棱锥平面，
底面为直角梯形，，且．
（1）点在线段上运动，且没，问当为何值时，
平面？并证明你的结论；
（2）当面时，若二面角为，求二面角的大小；
（3）在（2）的条件下，若，求点到平面的距离．
（1）；
（2）；
（3）.