第二十一章 四边形 章末复习课件（33张PPT）初中数学人教版（2024）八年级下册

(共33张PPT)
章末复习
R·八年级数学下册
四边形
21
知识结构图
平行四边形
四边形
两组对边
分别平行
只有一组
对边平行
梯形
一个角
是直角
一组
邻边相等
距形
菱形
一组
邻边相等
一个角
是直角
正方形
知识回顾
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
几种特殊四边形的性质
边 角 对角线 对称性
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边平行且相等
对角相等
互相平分
对边平行且相等
四个角
都是直角
互相平分且相等
轴对称图形
对边平行
且四边相等
对角相等
轴对称图形
互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角
对边平行
且四边相等
四个角
都是直角
互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
轴对称图形
几种特殊四边形的常用判定方法
条件
平行四边形
矩形
菱形
正方形
1. 定义：两组对边分别平行； 2. 两组对边分别相等； 3. 两组对角分别相等；4. 对角线互相平分；5. 一组对边平行且相等.
1.定义：有一个角是直角的平行四边形；2. 对角线相等的平行四边形；3. 有三个角是直角的四边形.
1. 定义：一组邻边相等的平行四边形 ；2. 对角线互相垂直的平行四边形；3. 四条边都相等的四边形.
1. 定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形；
2. 有一组邻边相等的矩形；3. 有一个角是直角的菱形；
4. 对角线垂直平分且相等
任意
四边形
平行
四边形
正方形
矩形
菱形
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角且一组邻边相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
其他重要概念及性质
1. 两条平行线之间的距离：
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作两条平行线之间的距离.
a
b
A
B
C
D
E
F
两条平行线之间的距离处处相等.
2. 三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
A
B
C
D
E
DE∥BC，且 DE = BC .
3. 直角三角形斜边上的中线：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
A
B
C
O
BO = BD = AC .
D
复习巩固
1. 选择题.
（1）若四边形的四个内角的度数比为 1 ∶ 2 ∶ 3 ∶ 4，则其中最大的内角是（ ）.
（A）120° （B）135° （C）144° （D）150°
解析：由题意设四边形的四个内角的度数分别为 x°，2x°，3x°，4x°. 由四边形的内角和为 360°，得 x + 2x + 3x + 4x = 360.
∴x = 36.
∴其中最大的内角是 4×36°= 144°. 故选 C.
C
【选自教材第86-88页 复习题21】
（2）若平行四边形中两个内角的度数比为 1 ∶ 2，则其中较小的内角是（ ）.
（A）45° （B）60° （C）90° （D）120°
解析：由题意可知这两个内角为相邻的两个角.设这两个内角的度数
分别为 x°，2x°. 由平行四边形的邻角互补，得 x + 2x = 180，
∴x = 60，∴其中较小的内角是 60°.故选 B.
B
（3）若菱形的周长为 8，高为 1，则菱形两个相邻的内角的度数比为（ ）.
（A）3 ∶ 1 （B）4 ∶ 1 （C）5 ∶ 1 （D）6 ∶ 1
解析：由题意知高 AE = 1，∠AEB = 90°.
∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB = 8÷ 4= 2.
由AE = 1，AB = 2，易知∠B = 30°，
∴可知∠BAD = 150°.
∴菱形两个相邻的内角的度数比为 150°∶ 30°= 5 ∶ 1.
故选 C.
C
（4）如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，则∠AEB 为（ ）.
（A）10°
（B）15°
（C）20°
（D）30°
解析：由题意得∠BAE = ∠BAD + ∠DAE = 90°+ 60°= 150°，
AB = AD = AE，∴∠AEB = ∠ABE = (180°－∠BAE) = 15°.
故选 B.
B
2. 一个多边形的每个内角都相等，且每个内角与它相邻外角
的度数比为 3 ∶ 1. 这个多边形的内角和是多少？
解：∵多边形的每个内角都相等，
∴每个外角也相等.
又每个内角与它相邻外角的度数和为 180°，且度数比为 3 ∶ 1，
∴每个外角的度数为 180°× = 45°.
∵360°÷45°= 8，
∴这个多边形是八边形.
∴这个多边形的内角和是 (8－2)×180°= 1080°.
3. 如图，将 ABCD 的对角线 BD 向两个方向延长，分别至点 E，F，且使 BE = DF. 求证：四边形 AECF 是平行四边形.
证明：如图，连接 AC，交 BD 于点 O.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO = CO，BO = DO.
又 BE = DF，
∴BO + BE = DO + DF，即 EO = FO.
∴四边形 AECF 是平行四边形.
4. 矩形对角线组成的对顶角中，有一组是两个 50°的角.
对角线与各边组成的角是多少度？
解：如图，∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AO = BO = CO = DO.
又∠AOB = 50°，∴∠BOC = 130°，
∴∠OAB = ∠OBA = （180°－∠AOB）= 65°，
∠OBC = ∠OCB = （180°－∠BOC）= 25°.
∴矩形的对角线与各边组成的角分别为 65°和25°.
5. 如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底边都垂直吗？为什么？
解：能.方法是先检查两组对边 AB 和 CD，AD 和 BC 是否分别相等，
再检查对角线 AC 与 BD 是否相等.若相等，则侧边与上、下底边都
垂直；若不相等，则侧边与上、下底边不垂直.
理由：如图，∵AB = CD，AD = BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又 AC = BD，∴ ABCD 为矩形，
∴∠BAD = ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = 90°，
即此时边 AB，CD 与上、下底边 AD，BC 都垂直.
6. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 DE∥AC，CE∥BD. 求证：四边形 OCED 是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形 OCED 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴DO = CO.
∴ OCED 是菱形.
7. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，
且 E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点.
求证：四边形 EFGH 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC ⊥ BD，AO = BO = CO = DO.
∵E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，
∴EO = AO，FO = BO，GO = CO，HO = DO，
∴EO = FO = GO = HO.
∴四边形 EFGH 是平行四边形，EG = FH. ∴ EFGH 是矩形.
又EG ⊥ FH，∴矩形 EFGH 是正方形.
综合运用
8. 如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等，∠DAB = 60°. AB 与DE
有怎样的位置关系？BC 与 EF 有这种关系吗？证明你的结论.
解：AB∥DE，BC∥EF.
证明：∵六边形 ABCDEF 的内角都相等，
∴六边形 ABCDEF 的每一个内角均为 180°×(6－2)÷6 = 120°.
∵∠ABC = 120°，∠DAB = 60°，
∴∠ABC + ∠DAB = 180°，∴AD∥BC .
∴∠C +∠ADC = 180°，∴∠ADC = 180°－∠C = 60°.
∴∠ADE = ∠CDE－∠ADC = 60°.
∴∠DAB =∠ADE，∠E + ∠ADE = 180°. ∴AB∥DE，AD∥EF .
又 BC∥AD，∴BC∥EF .
9. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE∥DF，且分别
交对角线 AC 于点 E，F，连接 ED，BF . 求证∠1 = ∠2.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD，AB∥CD.
∴∠BAE = ∠DCF.
∵BE∥DF，∴∠BEF = ∠DFE.
由图知，∠AEB + ∠BEF = 180°，
∠CFD + ∠DFE = 180°，
∴∠AEB = ∠CFD.
∴△ABE≌△CDF（AAS）. ∴BE = DF.
又BE∥DF，∴四边形 EBFD 是平行四边形.
∴DE∥BF . ∴∠1 = ∠2.
10. 顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作四边形的中点
四边形，在第64页“例6”中已经证明了四边形的中点四边形是平行
四边形.
（1）平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（2）矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？
解：如图. 四边形 ABCD 的对角线交于点 O，E，F，
G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 的中点.
（1）任意平行四边形的中点四边形为平行四边形，理由如下：
∵E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，
∴EF，GH 分别是 △ABC，△DAC 的中位线.
∴EF = AC，EF∥AC，GH = AC，GH∥AC .
∴EF GH . ∴四边形 EFGH 是平行四边形.
（2）任意矩形、菱形、正方形的中点四边形分别为菱形、矩形、正方形. 理由如下：
①若四边形 ABCD 为矩形，则 AC = BD .
由题意可得 EH = BD，EF = AC，
∴EH = EF . ∴ EFGH 为菱形.
②若四边形 ABCD为菱形，则 AC ⊥ BD.
又 EH∥BD，EF∥AC，
∴EF ⊥ EH. ∴∠FEH = 90°. ∴ EFGH 为矩形.
③若四边形 ABCD 为正方形，则 AC⊥ BD 且 AC = BD，
易知 EH ⊥ EF 且 EH = EF，∴ EFGH 为正方形.
11. 如果一个四边形是轴对称图形，并且有两条互相垂直的
对称轴，它一定是菱形吗？一定是正方形吗？
解：如果一个四边形是轴对称图形，并且有两条互相垂直的对称轴，它不一定是菱形，也不一定是正方形（这个四边形可能是矩形）.
12. 两个全等的三角形纸片，用它们能够拼成什么四边形？要想拼成一个矩形，需要两个什么样的全等三角形？要想拼成菱形或正方形呢？动手剪拼一下，并说明理由.
解：用它们能够拼成平行四边形（如图①）；
要想拼成一个矩形，需要两个全等的直角三角形（如图②）；
要想拼成菱形，需要两个全等的等腰三角形（如图③）；
要想拼成正方形，需要两个全等的等腰直角三角形（如图④）
13. 如果你身旁没有量角器和三角尺，又需要作 30°的角，可以采用下面的方法（如图所示）：
（1）对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平.
（2）再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点 B，
得到折痕 BM. 同时得到线段 BN，把纸片展平.
由此得到∠ABM，∠MBN 和∠NBC 都是 30°，请你写出证明过程.
证明：如图，连接 AN.
由对折可得 ∠ABM = ∠MBN，EF 垂直平分 AB，AB = BN，
∴AN = BN. ∴AB = BN = AN.
∴△ABN 是等边三角形. ∴∠ABN = 60°.
∴∠ABM = ∠MBN = ∠ABN = 30°，
∠NBC = ∠ABC－∠ABN = 90°－60°= 30°.
14. 如图，过 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 作两条互相垂直的直线，
分别交 AB，BC，CD，DA 于 E，F，G，H 四点，连接 EF，FG，
GH，HE. 判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由.
解：四边形 EFGH 为菱形. 理由如下：
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AO = CO，DC∥AB.
∴∠GCO =∠EAO.
又∠COG = ∠AOE，
∴△GCO≌△EAO（ASA）. ∴GO = EO.
同理得 HO = FO，∴四边形 EFGH 为平行四边形.
又 GE ⊥ HF，∴ EFGH 为菱形.
拓广探索
15. 如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是边 BC 的中点，∠AEF = 90°，
且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F. 求证 AE = EF.（提示：
取 AB 的中点 G，连接 EG.）
证明：如图，取 AB 的中点 G，连接 EG.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠B = ∠BCD = 90°，AB = BC.
∴∠DCH = 180°－∠BCD = 90°.
∵G，E 分别为 AB，BC 的中点，
∴AG = BG = BE = CE.
∴∠BGE = 45°，∴∠AGE = 180°－∠BGE = 135°.
H
G
∵CF 平分∠DCH，∴∠DCF = ∠DCH = 45°.
∴∠ECF = ∠BCD + ∠DCF = 135°，∴∠ECF = ∠AGE.
∵∠ABC = ∠AEF = 90°，
∴∠BAE + ∠BEA = 90°，∠BEA + ∠FEC = 90°，
∴∠BAE = ∠CEF.
在△AGE和△ECF中，
∠GAE =∠CEF，
AG = EC，
∠AGE = ∠ECF，
∴△AGE≌△ECF（ASA）. ∴AE = EF .
H
G
16. 如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，O 又是正方形
A1B1C1O 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等. 无论
正方形A1B1C1O 绕点 O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，
总等于一个正方形面积的 . 想一想这是为什么，并说明理由.
解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴OA = OB，∠OAE = ∠OBF = 45°，
AC ⊥ BD. ∴∠AOE + ∠EOB = 90°.
∵四边形 A1B1C1O 是正方形，
∴∠EOF = 90°.
∴∠EOB + ∠BOF = 90°. ∴∠AOE = ∠BOF.
在△AOE 和△BOF 中，
∠OAE = ∠OBF，
OA = OB，
∠AOE = ∠BOF，
∴△AOE≌△BOF（ASA）. ∴S△AOE = S△BOF .
∴S四边形OEBF = S△BOE + S△BOF = S△BOE + S△AOE = S△AOB = S正方形ABCD .