21.3.1 矩形 第2课时 矩形的判定课件（25张ppt）2025-2026学年数学人教版八年级下册

矩形的判定
R·八年级数学下册
四边形
21
学习目标
1. 理解并掌握矩形的判定方法．
2. 通过互逆命题提出猜想，验证矩形的判定定理，
培养分析问题和解决问题的能力．
3. 能应用矩形的判定方法进行证明和计算．
复习回顾
问题1：矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
问题2：矩形有哪些性质？
矩形
边：对边平行且相等
角：四个角都是直角
对角线：对角线互相平分且相等
问题3：你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？
定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
思考：你还有其他的判定方法吗？
A
B
C
D
探索新知
性 质
猜 想
判定定理
逆命题
证明
你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗？
同样，我们能否通过研究矩形性质定理的逆命题，得到判定矩形的方法呢？
我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形. 反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
注意对角线相等的四边形不一定是矩形.
等腰梯形的两条对角线也相等.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
O
证明：∵AB=DC，BC=CB，AC=DB，
∴ △ABC≌△DCB .
∴∠ABC=∠DCB .
∵ AB∥CD，
∴∠ABC +∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC=90°.
∴ □ ABCD 是矩形 (矩形的定义).
尝试证明
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
且 AC = BD.
∴四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
O
归纳总结
矩形的判定定理1：
数学来源于生活
工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，你知道其中的道理吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
练 习
如图，□ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，△OAB是等边三角形，且 AB = 2. 求□ABCD的面积.
A
B
C
D
O
提示：
（方法一）先判定矩形，再根据勾股定理求 BC.
（方法二）S?ABCD = 4 S△OAB .
【选自教材第71页 练习 第2题】
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
又△OAB 是等边三角形，AB = 2，
∴AO = BO = AB = 2，∴AC = BD = 4，
∴□ABCD 是矩形，∴∠ABC = 90°.
在Rt△ABC 中，由勾股定理，BC= ????????2－????????2 = 42－22 = 23 ，
?
∴S矩形ABCD = AB·BC =2×23 = 43 .
?
∴AO = CO= AC，BO = DO = BD .
????????
?
????????
?
A
B
C
D
O
我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形.
成立.
至少有几个角是直角的四边形是矩形？
一个直角
两个直角
三个直角
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC，AB∥CD .
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又∠B = 90°，∴四边形ABCD是矩形.
尝试证明
有三个角是直角的四边形是矩形.
归纳总结
矩形的判定定理2：
A
B
C
D
几何语言：
在四边形ABCD中，
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形 ABCD 是矩形.
练 习
1.依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ ）
B
2.求证：四个角都相等的四边形是矩形.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明：由四边形的内角和为360°，
得∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴四边形 ABCD 是矩形.
【选自教材第71页 练习 第1题】
如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
例 2
分析：根据已知条件，容易证明
四边形 EFGH 的一个内角∠F为直角，
同理可证∠H，∠AEB 也为直角，
从而证明四边形 EFGH 是矩形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD .
∴∠BAD + ∠ADC = 180°.
又 AF，DF 分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠DAF + ∠ADF = ∠BAD + ∠ADC
????????
?
????????
?
= (∠BAD + ∠ADC) = 90°.
????????
?
∴∠F = 90°.
同理∠H = ∠AEB = 90°.
∴∠FEH = ∠AEB = 90°.
∴四边形 EFGH 是矩形.
练 习
如图，在△ABC 中，AB=AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF . 求证：四边形ADCF是矩形.
【选自教材第71页 练习 第3题】
证明：∵AF∥BC，∴∠EAF = ∠EDB .
∵E 是 AD 的中点，∴AE = DE.
∴△AEF ≌△DEB（ASA）. ∴AF = BD.
在△AEF 和△DEB 中，
∠AEF = ∠DEB，
AE = DE，
∠EAF = ∠EDB，
∵AB = AC，D 是 BC 的中点，
又 AF∥DC，∴四边形 ADCF 是平行四边形.
又∠ADC = 90°，∴□ADCF是矩形.
∴∠ADC = 90°，BD = DC，∴AF = DC.
归纳总结
判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定，还是在四边形基础上判定.
四边形
有三个角是直角
矩形
对角线互相平分且相等
矩形
平行
四边形
对角线相等
矩形
有一个角是直角
矩形
如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB=60°，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，CE，CF，AF.
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）若AB=3，求矩形AECF的面积.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE= OB，OF= OD．
∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥AB，∠AOB=60°，∴∠BAO=90°，∠ABO=30°，
∴OA= OB=OE．
∴AC=EF，∴□AECF为矩形．
????????
?
????????
?
????????
?
（2）解:由（1）得OA=OE=OC=OF，
∠AOB=60°，∠ABO=30°，
∴△OAE是等边三角形，
∠OFA=∠OAF= ∠AOB=30°=∠ABO．
∴AE=OA，AF=AB=3．
在Rt△OAB中，由勾股定理易得OA= ，
∴AE=OA= ．
∴矩形AECF的面积=AF·AE= ．
????????
?
????
?
????
?
????????
?
课堂小结
矩形的判定方法
从四边形来判定
从平行四边形来判定
矩形的常用判定方法
定义法
判定1
判定2
判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.