21.3.2 第2课时 菱形的判定 课件(共22张PPT)2025-2026学年数学人教版八年级下册

(共22张PPT)
菱形的判定
R·八年级数学下册
四边形
21
学习目标
1. 理解并掌握菱形的判定方法，体会类比数学思想方法
的作用．
2. 引导学生从边和对角线探究菱形的判定定理，养成
主动探索的学习习惯．
3. 运用菱形的判定方法进行证明或计算，发展学生的
推理能力．
知识回顾
问题：菱形的定义是什么？性质有哪些？
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
性质：1.具有平行四边形的一切性质.
2.菱形本身具有的特殊性质：
①四条边都相等；
②两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
③菱形是轴对称图形..
3.菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半.
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
A
B
D
C
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
且AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
思考：你还有其他的判定方法吗？
探索新知
前面我们用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字. 在四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？对此你有什么猜想.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
且BD⊥AC. 求证：□ABCD是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴OA = OC .
∵AC ⊥ BD，∴BO垂直平分 AC，
∴AB = CB，
∴□ABCD 是菱形.
O
A
B
C
D
尝试证明
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的判定定理1：
归纳总结
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
且BD⊥AC，
∴□ABCD是菱形．
O
A
B
C
D
如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
例 4
A
B
C
D
F
E
O
1
2
分析：已知 AC ⊥ EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明
四边形 AFCE 是平行四边形. 由题意可
知 AO = CO，还需证明 EO = FO .
如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
例 4
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AE∥CF .
∴∠1 = ∠2 .
又∠AOE = ∠COF，AO = CO，
∴△AOE≌△COF .
∴EO = FO .
∴四边形 AFCE 是平行四边形.
又 AC ⊥ EF，
∴四边形 AFCE 是菱形.
A
B
C
D
F
E
O
1
2
练 习
1.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，则该条件可以是（ ）
A. AB=AC B. AC=BD
C. AC⊥BD D. AB⊥AC
C
2. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O 且
互相垂直平分. 求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵对角线 AC，BD 互相垂直平分，
∴AC ⊥ BD，AO = CO，DO = BO .
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又AC ⊥ BD，∴□ABCD是菱形.
O
D
A
B
C
【选自教材第75页 练习 第1题】
用四根长度一样的木条，首尾顺次相接. 得到的四边形是菱形吗？请说明理由.
动手操作
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA .
求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵AB = CD，DA = BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又 AB = BC，
∴ □ ABCD 是菱形.
A
B
C
D
尝试证明
菱形的判定定理2：
归纳总结
四条边相等的四边形是菱形.
几何语言：
∵AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
A
B
C
D
F
E
O
1
2
3
如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
例 4
尝试利用“四条边相等的四边形是菱形”证明.
证明：∵EF 垂直平分 AC，
∴AE = EC，AF = FC . ∴∠1 =∠3.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AE∥BC，
∴∠1 = ∠2，∴∠2 = ∠3.
又OC = OC，∠EOC = ∠FOC = 90°，
∴△EOC ≌ △FOC（ASA）.
∴EC = FC = AE = AF .
∴四边形 AFCE 是菱形.
练 习
1.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点. 求证：四边形EFGH是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD．
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=CG=DG．
∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG(SAS)，
∴HE=FE=FG=HG，
∴四边形EFGH是菱形．
2. 如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形 ABCD 是一个菱形吗？为什么？
解：四边形 ABCD 是一个菱形. 理由：
如图，过点 A 分别作 AE ⊥ BC 于点 E，AF ⊥ CD 于点 F . 由题意，得 AE = AF.
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠B =∠D.
又∠AEB = ∠AFD = 90°，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB = AD，∴ □ ABCD 是菱形.
A
B
C
D
E
F
【选自教材第75页 练习 第2题】
3. 一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，
使∠A 是菱形的一个内角，和点 A 相对的顶点在边 BC
上，并说明所折图形是菱形的理由.
解：如图，将△ABC 折叠，使 AB，AC 重合，得折痕 AD . 展开后再次折叠使点 A，D 重合，得折痕 EF，连接 DE，DF，则四边形 AEDF 为菱形.
A
B
C
E
D
F
【选自教材第75页 练习 第3题】
A
B
C
E
D
F
O
理由：设 AD，EF 相交于点 O .
由折叠可知，∠EAO = ∠FAO，EF 垂直平分AD .
∴∠AOE = ∠AOF = 90°，AE = DE，AF = DF .
∴△AEO≌△AFO（ASA）.
∴AE = AF . ∴AE = AF = DE = DF .
∴四边形 AEDF 为菱形.
在△AEO 和△AFO 中，
∠EAO = ∠FAO，
AO = AO，
∠AOE = ∠AOF，
4.如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF 于点O，交BC于点E，连接EF.
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
A
B
E
C
D
F
O
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EBF=∠AFB．
∵BF 平分∠ABC，∴∠ABF=∠EBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF．
∵AE⊥BF，∴∠AOB=∠EOB=90°．
又BO=BO，∴△ABO≌△EBO(ASA)，∴AB=BE．∴BE=AF．
又BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形．
又AB=AF，∴四边形ABEF是菱形．
（2）若AE=6，BF=8，CE=3，求□ABCD的面积．
A
B
E
C
D
F
O
解:如图，过点F作FG⊥BC于点G．
G
∵四边形ABEF是菱形，AE=6，BF=8，
∴OE= AE=3，OB= BF=4.
在Rt△BOE中，BE=
∵S菱形ABEF= AE·BF=BE·FG，∴FG= .
∵BC=BE+CE=5+3=8，∴S□ABCD=BC·FG=8× = .
课堂小结
菱形的判定
定义法
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
判定定理
四条边相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明