21.3.3 第1课时 正方形的性质 课件(共21张PPT)2025-2026学年数学人教版八年级下册

(共21张PPT)
正方形的性质
R·八年级数学下册
四边形
21
学习目标
1. 掌握正方形的性质以及正方形与平行四边形、矩形、
菱形之间的关系．
2. 让学生感受从一般到特殊，化未知为已知的数学思想
及转化的数学思想．
3. 能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、
论证．
仔细观察下列实际生活中的物品，你会发现里面都有正方形的形象．
正方形是我们熟悉的图形，回忆一下小学学过的正方形，它有什么性质？
新课导入
探索新知
正方形
一个角是直角
一组邻边相等
正方形
平行四边形
一个角是直角
矩形
平行四边形
一组邻边相等
菱形
有一组邻边相等的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
一组邻边
正方形
矩形
相等
正方形
一个角是
菱形
直角
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角. 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
平行四边形 矩形特殊性质 菱形特殊性质
性质 边 对边平行且相等 四条边都相等
角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角
对角线 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
猜想：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
2.正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
已知：如图，四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四条边都相等，四个角都是直角.
尝试证明
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD（正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形，
所以四边形ABCD是矩形（矩形的定义），
且四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交与点O. 求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
尝试证明
A
B
C
D
O
证明：在四边形ABCD 中，
∵正方形是矩形，
∴AO=BO=CO=DO.
又∵正方形是菱形，
∴AC⊥BD.
请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么它有几条对称轴？
是轴对称图形，有4条对称轴.
归纳总结
A
B
C
D
O
正方形的性质：
边
对边平行
四条边都相等
角：四个角都是直角
对角线
对角线相等
对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
对称性：是轴对称图形，有4条对称轴.
求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
例 5
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 相交于点 O .
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 是全等的等腰直角三角形.
A
B
D
C
O
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC = BD，AC ⊥ BD .
∴∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠AOD = 90°，
AO = BO = CO = DO .
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO
都是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
A
B
D
C
O
（SAS）
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
一个角是直角
平行四边形
矩形
一组邻边相等
一个角是直角
一组邻边相等
菱形
一组邻边相等
一个角是直角
正方形
练 习
1.（1）把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片.
为什么？
（2）如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？
解：（1）如图，由折叠知 AB = AD，
∠B =∠ADC = 90°. ∵∠BAD = 90°，
∴四边形 ABCD 是矩形，且 AB = AD，
由正方形是有一组邻边相等的矩
形可知，四边形 ABCD 是正方形.
（2）如（1）所示的正方形面积最大，即令正方形的边长等于长方形的宽.
【选自教材第76页 练习 第1题】
A
B
D
C
2. 如图，一块正方形场地的四个顶点分别是 A，B，C，D .
李明和张华在边 AB 上取了一点 E，EC = 30 m，EB = 10 m.
这块场地的面积和对角线长分别是多少？
解：如图，连接 AC .
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠B = 90°，AB = BC .
在Rt△BEC 中，∠B = 90°，EB = 10 m，EC = 30m，
由勾股定理，BC = = = 20（m）.
【选自教材第76页 练习 第2题】
在Rt△ABC 中，∠B = 90°，AB = BC = 20 m，
由勾股定理，AC =
∴S正方形ABCD = BC2 = = 800（m2）.
∴这块场地的面积为 800 m2，对角线长为 40 m.
2. 如图，一块正方形场地的四个顶点分别是 A，B，C，D .
李明和张华在边 AB 上取了一点 E，EC = 30 m，EB = 10 m.
这块场地的面积和对角线长分别是多少？
= = 40（m）
【选自教材第76页 练习 第2题】
3. 如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是 A，B，C，D .
要修建 BE 和 AF 两条路，使点 E，F 分别在边 AD，CD 上，
且 DE = CF. 这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
解：这两条路等长，它们互相垂直. 理由：
如图，设 AF 与 BE 交于点 O.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB = AD = CD，∠BAE = ∠D = 90°.
又 DE = CF，∴AD－DE = CD－CF，即AE = DF.
∴△ABE≌△DAF（SAS）.
∴BE = AF，∠AEB = ∠DFA.
∵∠D = 90°，∴∠DFA + ∠DAF = 90°.
∴∠AEB + ∠DAF = 90°. ∴∠AOE = 90°，即 BE ⊥ AF .
O
【选自教材第77页 练习 第3题】
1. 正方形的边长是 3，则它的对角线的长是______．
2. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BD 上，且 BE = CD，
则 ∠BEC 的度数为________．
67.5°
3
3.如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的点，过点P作PE⊥PB，PE交线段DC于点E．求证：PB=PE．
A
B
D
C
P
E
证明：如图，过点P分别作PG⊥BC于点G，
PH⊥DC于点H，
∴∠PGB=∠PGC=∠PHE=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CA平分∠BCD，∠BCD=90°．
∴PG=PH，四边形PGCH是矩形，∴∠HPG=90°．
G
H
又PE⊥PB，∴∠BPE=90°．∴∠BPE－∠GPE=∠GPH－∠GPE，
即∠BPG=∠EPH ．
在△PGB 和△PHE中，∠PGB=∠PHE，PG=PH，∠BPG=∠EPH，
∴△PGB≌△PHE(ASA)，∴PB=PE．
课堂小结
正方形的定义和性质
定义
性质
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
四个角都是直角
四条边都相等
对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角