(共22张PPT)
菱形的性质
R·八年级数学下册
四边形
21
学习目标
1. 理解菱形的概念，了解菱形与平行四边形之间的关系．
2. 经历菱形性质定理的探索过程，发展学生的推理能力．
3. 能运用菱形的性质定理进行计算或证明，提高学生
分析问题、解决问题的能力．
复习回顾
我们已经学习了特殊的平行四边形——矩形，它是从哪个角度特殊化来进行研究的？它有哪些性质？
平行四边形
矩形
一个角是直角
平行四边形 矩形
边 对边平行且相等 对边平行且相等
角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角
对角线 对角线互相平分 对角线相等且互相平分
对称性 中心对称 既是中心对称，又是轴对称
探索新知
平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形——矩形；平行四边形的边特殊化，我们得到的特殊的平行四边形是什么，它有什么特征？
平行四边形
一组邻边相等
点击链接打开几何画板
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形
★菱形是特殊的平行四边形.
★平行四边形不一定是菱形.
菱形也是常见的几何图形.
窗格
中国结
活动挂架
你还能举出一些例子吗？
点击图片播放视频
做一做
A
B
C
D
活动：根据前面视频的方法做一个菱形，并猜一猜它有什么性质.
试着证明你的猜想.
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；
（2）AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
D
O
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC (平行四边形的对边相等).
又∵AB=AD，
∴AB=BC=CD=AD .
A
B
C
D
O
（2）证明：∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中，∵OB=OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD.
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
归纳总结
性质1：菱形的四条边都相等.
几何语言：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = BC = CD = AD .
性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
几何语言：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC ⊥ BD，
AC 平分∠BAD，CA 平分∠BCD，
BD 平分∠ABC，DB 平分∠ADC.
A
B
C
D
O
菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外还有平行四边形所没有的特殊性质.
平行四边形的性质
菱形的特殊性质
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：互相平分.
轴对称：是轴对称图形，对称轴是每条对角线所在的直线.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
角：对角相等.
练 习
1.菱形不具有的性质是（ ）
A.四条边都相等 B.对角线相等
C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
2.如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上.若∠ADB=32°，则∠DCE的度数为_______.
B
64°
3. 如图，在菱形 ABCD 中，BD=4，∠A ∶ ∠ABC = 1 ∶ 2 .
求△ABD 的周长.
A
B
C
D
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，AB = AD.
∴∠A + ∠ABC = 180°.
又∠A∶∠ABC = 1∶2，
∴∠A = 60°，∠ABC = 120°.
又 AB = AD，∴△ABD 是等边三角形.
∴AB = AD = BD = 4.
∴△ABD 的周长 = AB + AD + BD = 12.
【选自教材第73页 练习 第2题】
A
B
C
D
O
由于菱形的对角线互相垂直，可以发现，菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.
菱形的面积计算除了像平行四边形那样利用底×高，是否可以转化成三角形来求得？
A
B
C
D
O
如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O,
试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC ⊥ BD .
∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO + AC·DO
= AC·( BO + DO )
= AC·BD .
菱形的面积 = 底×高
= 对角线乘积的一半
知识串联
两组对边分别平行
有一个角
是直角
一组邻边相等
四边形
平行四边形
矩形
菱形
性质
边
对角线
面积
如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC = 60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD. 求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
例 3
A
B
C
D
O
30°
20 m
解：设 AC，BD 相交于点 O.
∵花坛 ABCD 的形状是菱形，
∴AC ⊥ BD，∠ABO = ∠ABC = × 60°= 30°.
在Rt△ABO 中，AO = AB = × 20 = 10，
BO = = = 10.
∴花坛的两条小路长 AC = 2AO = 20（m）
BD = 2BO = 20 ≈ 34.64（m）.
花坛的面积 S菱形ABCD = 4 × S△ABO
= 4 × AO·BO = 200 ≈ 346.4（m2）.
A
B
C
D
O
30°
20 m
练 习
1. 四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AB = 5，
AO = 4. 求 AC，BD 的长以及菱形 ABCD 的面积.
解：如图. ∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC ⊥ BD，AO = CO，BO = DO.
在 Rt△AOB 中，AB = 5，AO = 4，
∴BO = = = 3.
∴AC = 2AO = 8，BD = 2BO = 6.
∴S菱形ABCD = AC·BD = ×8×6 = 24.
D
A
B
C
O
【选自教材第73页 练习 第1题】
2. 如图，在菱形 ABCD 中，∠A = 60°，连接对角线 BD，E，
F 分别是边 AB，BC 的中点，分别连接 DE，DF，EF.
求证：△DEF 是等边三角形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = AD = CD = BC，∠C = ∠A = 60°，
∴△ABD，△CBD 是等边三角形，
∴∠ADB =∠CDB = 60°.
∵E，F 分别是边 AB，BC 的中点，
∴∠BDE = ∠ADB = 30°，∠BDF = ∠CDB = 30°，
AE = AB，CF = BC .
【选自教材第74页 练习 第3题】
∴∠EDF = ∠BDE + ∠BDF = 60°，AE = CF .
∵AD = CD，∠A = ∠C，AE = CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）. ∴DE = DF .
∴△DEF 是等边三角形.
2. 如图，在菱形 ABCD 中，∠A = 60°，连接对角线 BD，E，
F 分别是边 AB，BC 的中点，分别连接 DE，DF，EF.
求证：△DEF 是等边三角形.
【选自教材第74页 练习 第3题】
课堂小结
菱形的性质
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
特殊性质
四条边都相等
对角线互相垂直平，且每一条对角线平分一组对角
是轴对称图形，对称轴有两条，为对角线所在的直线
菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半
A
B
C
D
O
