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【解答题强化训练·50道必刷题】北师大版数学七年级上册期末总复习
1．将下列各数在数轴上表示出来，然后用“＜”连接起来.
，，0，，2
2．在七年级活动课上，有三名同学各拿一张卡片，卡片上分别为三个代数式，三张卡片如下，其中代数式是未知的，
（1）先化简，再求值：当时，求的值；
（2）若，求代数式C．
3．下列各数中，哪些是分数但不是负数？哪些是分数但不是正数？哪些是整数但不是正数？哪些既是整数又是正数？
7，-9.25，，-301，，31.25，0，-3.5
4． (6分) 计算下列各题.
（1） ；
（2） .
5．在数轴上表示下列各数： ，并将它们按从小到大的顺序排列.
6．如图，∠AOD+∠BOC=190°，∠AOE=120°，∠COD=40°.求∠BOE 的度数.
7．在，1，，5，中任取两个数相乘，最大的积是，最小的积是．
（1）填空：______，______；
（2）若，求的值．
8．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．机器人从点A开始，每次沿x轴向右移动1个单位长度：每一次都将机器人所在的位置记为原点．
（1）【发现】当机器人在初始位置A时，求p的值；
（2）【探究】当机器人向右移动1个单位长度时，求p的值；机器人每向右移动1个单位长度，p的值______（填“增加”或“减少”）______个单位长度；
（3）【拓展】设机器人向右移动了k个单位长度，用含k的代数式表示p．
9．探究并解决问题：
定义一种新的运算，叫做“ ”运算：．小圳按照“ ”运算的运算法则进行计算，例如，，，作出下列表格，
－3 0 1 5
－2 11 2 －1
3 －9 －3 －1 7
（1）_____，_____（用n来表示）；
（2）判断“”运算是否满足交换律，即对于任意有理数、，是否有？请通过代数推导说明理由．
（3）若，那么的值为多少？
10．
（1）画出数轴，并在数轴上表示下列各数：
，，0，，-（-4）
（2）比较它们的大小并用“<”连接： .
11．如图，点P是 外一点，点M、N分别是 两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若 ， ， ，则线段QR的长为多少 ．
12．用方程解答下列各题：整理一批图书，由一人做80小时完成．现在计划先由一些人做2小时，再增加5人做8小时，完成这项工作的 ．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
13．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简：|a+b|-2|b-1|-|a-c|-|1-c|+|b+c-1|.
14．观察下列等式：
①；
②；
③；
（1）按以上规律写出第4个式子是 ；
（2）按以上规律写出第n个式子是 ；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？请说明理由．
15．探索规律．
（1）观察上面的图，发现：
图①空白部分小正方形的个数是；
图②空白部分小正方形的个数是；
图③空白部分小正方形的个数是 ．
（2）像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律， ．
（3）运用规律计算：
16．为庆祝六一儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼"比赛．如图所示，按照下面的规律，摆n个图．
（1）第5个图形需用火柴棒的根数为
（2）求第n个图形需用火柴棒的根数
17． 有一批生产桌椅的木料，已知一块木料可以生产桌子2张或椅子5把，现有39块木料，如何分配可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）
18．小奥的爸爸2月份工资总额为8200元，按规定工资超过5000元的部分，应按3%缴纳个人所得税.2月家庭开销增多（含纳税支出），月底只剩工资总额的25%，最后爸爸将所剩工资1600元全部存入了银行，年利率是2.6%，作为教育储备基金.
（1）小奥的爸爸要缴纳个人所得税多少元
（2）2月家庭开销共多少元
（3）这笔教育储备基金在3年后会产生多少利息
19．某工地派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？
20．已知|a+b|+2|b-3|=0，求a，b 的值.
21．把下列各数分别填入相应的集合：+26，0，-8， ，-4.8，-17， ，0.6， .
自然数集 ；
正有理数集 ；
负有理数集 ；
非负数集 ；
整数集 ；
分数集 .
22．已知线段AB=10，C，D 为直线AB 上的两点，且AC=6，BD=8.求CD 的长.
23．若多项式不含三次项及一次项，请你确定m，n的值，并求出的值．
24．OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，且 ，求∠BOE的度数.
25．定义新运算：若 N>0)，则b 叫作以a 为底 N 的对数，记作log2N=b.例如：因为 所以log5125=3.因为 ，所以log11121=2.
（1）填空： ， ；
（2）如果log5|m-4|=2，求m的值；
（3）若 log327+log4x=log232，求2(x-1)的值.
26．小明平时练习跳绳，每天跳绳10次，每次1分钟．下表记录他一天中10次，每次1分钟跳绳的数量（以160个为标准，超过标准的部分记为“＋”，少于标准的部分记为“－”）：
与标准的差值（单位：个）
次数 1 2 2 3 1 1
（1）小明这天跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？
（2）小明在这一天中，累计跳绳多少个？
27．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且.
（1）a b，b c（用“＞”、“＜”或“＝”填空）
（2） ，
（3）化简.
28．有这样一道题：“当时，求多项式的值．”马小虎做题时把错抄成，王小真没抄错题，但他们做出的结果一样．你知道这是怎么回事吗？请说明理由．
29．某超市在双十一期间对顾客实行优惠政策，规定如下表：
一次性购物 优惠办法
低于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 9折优惠
不低于500元 其中500元的部分给予9折优惠，超出500元的部分给予8折优惠
（1）若小惠一次购物原价300元，她实际付款______元；若一次购物原价600元，她实际付款______元．
（2）若小惠在该超市一次购物元．当大于或等于500元时，她实际付款______元（用含的代数式表示并化简）．
（3）如果小惠两次购物合计850元（原价），第一次购物的原价为元，用含的代数式表示两次购物实际付款一共多少元？
30．如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为5厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽6厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
31．某出租车司机在一条东西公路上出租．向东记为正，向西记为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：，，，，，，，，，；
（1）出租车离开A地的最远距离是多？
（2）最后该出租车是否回到出发点？若没有，则在A地的什么地方？距离A地多远？
（3）若每千米收费元，则今天共收入多少元？
32．小东与大家玩猜数游戏，小东说：“请大家随便选定三个一位数，按这样的步骤去算：①把第一个数乘以5，②减去5，③所得的差乘以2，④加上第二个数，⑤所得的和乘以10，⑥加上第三个数.只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所想的这三个一位数.”大家纷纷试了几次，小东都猜对了.你知道小东是怎样猜的吗 请用简要过程说明.
33．几何计算：如图，已知平分，求的度数．请补全解题过程．
解：因为
所以
所以
因为平分
所以．
34． 地球绕太阳公转的速度约是 声音在空气中的传播速度约是340 m/s， 比较两个速度的大小.
35．为积极倡导“阳光体育”运动，某班派6名同学参加“一分钟跳绳”比赛，负责记录成绩的嘉嘉以160次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中5名同学的成绩记录（单位：次）为：．
（1）求这5名同学的最好成绩与最差成绩相差多少次？
（2）若这6名同学的平均成绩超过了160次，求剩下的那名同学的成绩最少为多少．
36．某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆．已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为100元和200元，从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为80元和120元．设从甲仓库调往A县农用车x辆．
（1）甲仓库调往B县农用车___________辆，乙仓库调往A县农用车___________辆，乙仓库调往B县农用车___________辆；（用含x的代数式表示）
（2）写出该公司从甲、乙两座仓库调农用车到A、B两县所需要的总运费（用含x的代数式表示）；
（3）在（2）的基础上，求当从甲仓库调往A县农用车5辆时，总运费是多少元？
37．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．求该店客房有几间？设该店有客房x间．
（1）用含x的代数式填表：
每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人
第一种方案 7 x
第二种方案 9
（2）列出方程并完成本题解答．
38．把下列各数分别填在表示它所在的集合里：
－5， ，2015， ， ， ，3.14159，－0.36，0.
（ 1 ）负数集合{ …}；
（ 2 ）整数集合{ …}；
（ 3 ）分数集合{ …}.
39．某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查．问卷调查的结果分为A．“非常了解”、B．“比较了解”、C．“基本了解”、D．“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理成如下表格和频数分布直方图．
等级 频数 频率
非常了解 30 b
比较了解 0.25
基本了解 100 0.5
不太了解 20
合计 a 1
根据以上信息，请回答下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生1800人，请根据调查结果估计这些学生中“不太了解”垃圾分类知识的人数．
40．观察下列各式：
……
回答下列问题：
（1）猜想：(a×b)n= 。
（2）请用我们学过的知识，说明上式成立的理由。
（3）计算：
41．某商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏元，而按标价的七五折出售将赚元，问：
（1）每件服装的标价是多少元？
（2）每件服装的成本是多少元？
（3）为保证不亏本，最多能打几折？
42．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何 译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车
43．如图1，有一块长方形纸板，长是宽的2倍，现将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．
（1）请在图1中的长方形纸板中画出无盖长方体盒子的示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
（2）如果无盖长方体盒子底面宽为，长是宽的3倍，原长方形纸板的长可以用两个不同的代数式表示，则这两个代数式分别为 或 ．
（3）如果原长方形纸板宽为，经过剪切折成的无盖长方体盒子底面的周长为（结果化成最简） ．
44．如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为的长方形，再把其中一个面积为的长方形分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形分成两个面积为的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算：
（1）计算：；
（2）计算．
45．如图①，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字。它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码和校验码”。
其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性。它的编制是按照特定的算法得来的。其算法如下：
步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即a=9+1+3+5+7+9=34；
步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即b=6+0+2+4+6+8=26；
步骤3：计算3a与b的和c，即c=3×34+26=128；
步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d=130；
步骤5：计算d与c 的差就是校验码X，即X=130-128=2。
请解答下列问题：
（1）《数学故事》的条形码为 978753454647Y，则校验码Y的值为 。
（2）如图②，某条形码中的一位数字被墨水污染了，请求出这个数字。
（3）如图③，条形码中被污染的两个数字的和是 5，这两个数字从左到右分别是 ， 。
46． 定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另一个角度数的两倍，我们把这条线叫作这个已知角的三等分线。
（1）如图，已知∠AOB=120°，若 OC 是∠AOB 的三等分线，求∠AOC 的度数。
（2）点O在线段AB 上（不含端点A，B），在直线 AB 同侧作射线OC，OD。设∠AOC=3t，∠BOD=5t，当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值。
47．如图，数轴上有A，B，C三个点，A，B，C对应的数分别是a，b，10，满足|a+24|+|6+10|=0， 动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒．
（1）求a，b的值；
（2）写出点P表示的数（用含t的式子表示）；
（3）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数；
（4）当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，当P，Q两点相遇时，两点停止运动．直接写出在点Q开始运动后第几秒时，P， Q两点之间的距离为4．
48． 学校举办了迎新春中国象棋比赛，以下是部分选手的积分记录表：
选手 比赛总局数 胜局 平局 负局 积分
A 12 12 0 0 36
B 12 7 3 2 22
C 12 5 4 3 16
D 12 6 0 6 12
（1）请直接写出胜一局、平一局、负一局分别积几分；
（2）已知某选手E的负局数是胜局数的一半，他的胜局积分能等于平局积分的四倍吗？为什么？
49．在疫情防控期间，某工厂计划生产A，B两种消毒产品共140件，其中A种消毒产品的件数比B种消毒产品件数的3倍少20件．
（1）求工厂计划生产A，B两种消毒产品各多少件？（列一元一次方程解答）
（2）现需购买甲，乙两种材料，已知生产一件A产品需要甲种材料3千克，需要乙种材料1千克；生产一件B产品需要甲，乙两种材料各2千克．甲种材料单价为每千克5元，乙种材料单价为每千克3元，采购员小李分两次购买所需材料，第一次购买两种材料共200千克，受某些因素影响，第二次购买时做出了价格调整：甲材料的购买单价比第一次的购买价降低，乙材料的购买单价不变，两次购买完所需材料．设第一次购买甲种材料m千克；求第一次，第二次购买材料所支付的费用分别是多少．（用含m的代数式表示）
50．如图，O为原点，长方形与的面积都为12，且能够完全重合，边在数轴上，．长方形可以沿数轴水平移动，移动后的长方形与重叠部分的面积记为S．
（1）如图1，求出数轴上点F表示的数．
（2）当S恰好等于长方形面积的一半时，求出数轴上点表示的数．
（3）在移动过程中，设P为线段的中点，点所表示的数能否互为相反数？若能，求点O移动的距离；若不能，请说明理由．
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【解答题强化训练·50道必刷题】北师大版数学七年级上册期末总复习
1．将下列各数在数轴上表示出来，然后用“＜”连接起来.
，，0，，2
【答案】解：，，则数轴表示为：
，
∴．
【解析】【分析】本题考查了在数轴上比较有理数大小，以及绝对值的定义，先根据在数轴上表示数的方法，以及绝对值的定义，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＜”号连接起来，即可得到答案．
2．在七年级活动课上，有三名同学各拿一张卡片，卡片上分别为三个代数式，三张卡片如下，其中代数式是未知的，
（1）先化简，再求值：当时，求的值；
（2）若，求代数式C．
【答案】（1）解：，，
，
当时，原式；
（2）解：，
．
【解析】【分析】（1）先根据整式的加减运算化简 的结果，再将代入计算即可；
（2）由可得，代入代表的代数式，再根据整式的加减运算化简即可求解.
（1）解：，，
，
当时，原式；
（2）解：，
．
3．下列各数中，哪些是分数但不是负数？哪些是分数但不是正数？哪些是整数但不是正数？哪些既是整数又是正数？
7，-9.25，，-301，，31.25，0，-3.5
【答案】解：是分数但不是负数：，31.25．
是分数但不是正数：-9.25，，-3.5．
是整数但不是正数：-301，0．
既是整数又是正数：7．
【解析】【分析】根据有理数的定义和分类进行判断，即可得出答案.
4． (6分) 计算下列各题.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式＝﹣2＋5﹣3 ＝﹣5＋5=0；
（2）解：原式 （ ）×（ ）
【解析】【分析】（1）根据有理数加、减法运算法则，按顺序计算；
（2）根据有理数乘、除法运算法则，先将除法变为乘法进行计算.
5．在数轴上表示下列各数： ，并将它们按从小到大的顺序排列.
【答案】解：
如图所示：
故： .
【解析】【分析】先求出的值，再根据数轴上的点表示数的特点：原点右边的点表示正数，原点表示数字0，原点左边的点表示负数，从而在数轴上找出表示各个数的点，用实心的小黑点做好标注，并在小黑点的上方写出该点所表示的数，最后根据数轴上所表示的数，右边的总吧左边的大用“＜”号连接起来即可.
6．如图，∠AOD+∠BOC=190°，∠AOE=120°，∠COD=40°.求∠BOE 的度数.
【答案】解：设∠AOC=x.
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=x+40°，
∵∠AOD+∠BOC=190°，
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=150°-x-40°=110°-x，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=x+40°+110°-x=150°.
∵∠AOB+∠AOE+∠BOE=360°，
∴150°+120°+∠BOE=360°.
∴∠BOE=90°.
【解析】【分析】设∠AOC=x.表示∠AOD和∠BOD的度数，然后求出∠AOB的度数，再利用周角的定义解答即可.
7．在，1，，5，中任取两个数相乘，最大的积是，最小的积是．
（1）填空：______，______；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【解答】（1）解：由题意得；
故答案为：15；-25；
【分析】（1）这5个数两两相乘，结果可为正、负，要乘积最大，结果一定是正数；而积为正，只能是正正相乘或负负相乘，从而即可判断得出第一空答案；要乘积最小，结果一定是负数；而积为负，只能是正负相乘，从而即可判断得出第二空答案；
（2）根据绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，据此列出关于字母x、y的方程组，求解得出x、y的值，再代入待求式子按含括号的有理数的加减乘除混合运算的运算法则计算即可.
（1）解：由题意得；
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．机器人从点A开始，每次沿x轴向右移动1个单位长度：每一次都将机器人所在的位置记为原点．
（1）【发现】当机器人在初始位置A时，求p的值；
（2）【探究】当机器人向右移动1个单位长度时，求p的值；机器人每向右移动1个单位长度，p的值______（填“增加”或“减少”）______个单位长度；
（3）【拓展】设机器人向右移动了k个单位长度，用含k的代数式表示p．
【答案】（1）解：当机器人在初始位置A时，
∵，，
∴点A对应的数为0，点B对应的数为2，点C对应的数为3，
∴；
即p的值为5.
（2），减少，3
（3）解：设机器人向右移动了k个单位长度，
∵，，
∴点A对应的数为，点B对应的数为，点C对应的数为，
∴．
【解析】【解答】（2）解：当机器人向右移动1个单位长度时，
∵，，
∴点A对应的数为，点B对应的数为1，点C对应的数为2，
∴；
∵，
∴机器人每向右移动1个单位长度，p的值减少3个单位长度；
故答案为：减少，3.
【分析】 （1）先求出点A对应的数为0，点B对应的数为2，点C对应的数为3，再求出p的值即可；
（2）先求出点A对应的数为，点B对应的数为1，点C对应的数为2，即可得到的值；再利用即可得到机器人每向右移动1个单位长度，p的值减少3个单位长度即可；
（3）先求出求出点A对应的数为，点B对应的数为，点C对应的数为，再利用整式的加减求出p的值即可.
（1）解：当机器人在初始位置A时，
∵，，
∴点A对应的数为0，点B对应的数为2，点C对应的数为3，
∴；
即p的值为5；
（2）当机器人向右移动1个单位长度时，
∵，，
∴点A对应的数为，点B对应的数为1，点C对应的数为2，
∴；
∵，
∴机器人每向右移动1个单位长度，p的值减少3个单位长度；
故答案为：减少，3
（3）设机器人向右移动了k个单位长度，
∵，，
∴点A对应的数为，点B对应的数为，点C对应的数为，
∴．
9．探究并解决问题：
定义一种新的运算，叫做“ ”运算：．小圳按照“ ”运算的运算法则进行计算，例如，，，作出下列表格，
－3 0 1 5
－2 11 2 －1
3 －9 －3 －1 7
（1）_____，_____（用n来表示）；
（2）判断“”运算是否满足交换律，即对于任意有理数、，是否有？请通过代数推导说明理由．
（3）若，那么的值为多少？
【答案】（1）；；
（2）解：由题意得，，，
∴，
∴“ ”运算满足交换律；
（3）解：由题意得，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【解答】（1）解：由题意得，
；
；
故答案为：；；
【分析】（1）根据新定义，结合有理数的减法，乘法即可求出答案.
（2）根据新定义，结合交换律即可求出答案.
（3）根据新定义列式计算，结合有理数的乘方即可求出答案.
（1）解：由题意得，
；
；
故答案为：；；
（2）由题意得，，，
∴，
∴“ ”运算满足交换律；
（3）由题意得，
又∵，
∴，
∴，
∴．
10．
（1）画出数轴，并在数轴上表示下列各数：
，，0，，-（-4）
（2）比较它们的大小并用“<”连接： .
【答案】（1）解：-14=-1，=-2， -(-4)=4
画数轴并表示
（2）<<<0<-（-4）
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方，绝对值性质，去括号法则化简，再将各数在数轴上表示出来即可.
（2）根据数轴比较法比较大小即可求出答案.
11．如图，点P是 外一点，点M、N分别是 两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若 ， ， ，则线段QR的长为多少 ．
【答案】解： ，理由如下：
点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
， ．
， ， ，
， ， ．
．
【解析】【分析】先求出PM=MQ，PN=NR，再计算求解即可。
12．用方程解答下列各题：整理一批图书，由一人做80小时完成．现在计划先由一些人做2小时，再增加5人做8小时，完成这项工作的 ．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
【答案】解：设应先安排x人工作，根据题意得：
，
解得：x=2；
答：应安排2人工作．
【解析】【分析】设应先安排x人工作，根据前2小时完成的工作量+后8小时完成的工作量=完成的工作量，即可列出关于x的方程，解方程即得结果．
13．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简：|a+b|-2|b-1|-|a-c|-|1-c|+|b+c-1|.
【答案】解：由题意得，，，，，
则
．
【解析】【分析】先根据有理数在数轴上的表示结合题意得到，，，，，进而化简绝对值，根据整式的加减运算即可求解。
14．观察下列等式：
①；
②；
③；
（1）按以上规律写出第4个式子是 ；
（2）按以上规律写出第n个式子是 ；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）解：一定成立．理由：
【解析】【解答】解：（1）∵①；
②；
③；
∴④ .
故答案为： .
（2）由（1）得：第n个式子是： .
【分析】（1）根据①②③的式子，找出规律，写出第④个式子即可；
（2）由（1）中发现的规律，由特殊到一般，写出结论即可；
（3）利用整式的混合运算进行验证即可.
15．探索规律．
（1）观察上面的图，发现：
图①空白部分小正方形的个数是；
图②空白部分小正方形的个数是；
图③空白部分小正方形的个数是 ．
（2）像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律， ．
（3）运用规律计算：
【答案】（1）5；4
（2）；；
（3）解：
【解析】【解答】（1）根据规律可得图③空白部分小正方形的个数是
故答案为：5，4；
（2）
故答案为： ， ， ；
【分析】（1）根据所给等式规律进行求解即可；
（2）由（1）中规律进行总结即可求解；
（3）运用（2）中规律进行计算即可求解；
16．为庆祝六一儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼"比赛．如图所示，按照下面的规律，摆n个图．
（1）第5个图形需用火柴棒的根数为
（2）求第n个图形需用火柴棒的根数
【答案】（1）32
（2）6n+2
【解析】【解答】解：（1）第1个图形有8根火柴棒，
第2个图形有14根火柴棒，
第3个图形有20根火柴棒，
观察就会发现：后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，
∴第4个图形有26根火柴棒，
第5个图形有32根火柴棒，
故答案为：32；
（2）通过（1）所得的规律可得第n个图形需用火柴棒的根数为：6n+2.
故答案为：6n+2.
【分析】（1）借助图形，分别找出前几个图形中需要火柴棒的数量，观察发现，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，从而即可推出第5个图形需用火柴棒的根数；
（2）通过（1）所得的规律可得第n个图形有(6n+2)根火柴棒.
17． 有一批生产桌椅的木料，已知一块木料可以生产桌子2张或椅子5把，现有39块木料，如何分配可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）
【答案】解：设用x块木料生产桌子，则用（39-x）块木料生产椅子，
∴
解得：，
∴ 应该用15块木料生产桌子，剩下的块木料生产椅子.
【解析】【分析】设用x块木料生产桌子，则用（39-x）块木料生产椅子，根据"一张桌子需要配4把椅子"据此列出方程：，解此方程即可求解.
18．小奥的爸爸2月份工资总额为8200元，按规定工资超过5000元的部分，应按3%缴纳个人所得税.2月家庭开销增多（含纳税支出），月底只剩工资总额的25%，最后爸爸将所剩工资1600元全部存入了银行，年利率是2.6%，作为教育储备基金.
（1）小奥的爸爸要缴纳个人所得税多少元
（2）2月家庭开销共多少元
（3）这笔教育储备基金在3年后会产生多少利息
【答案】（1）解：（元）
答：小奥的爸爸要缴纳个人所得税96元.
（2）解：（元）
答：2月家庭开销共6078元
（3）解：（元）
答：这笔教育储备基金在3年后会产生124.8元利息.
【解析】【分析】（1）已知小奥的爸爸2月份工资总额为8200元，根据题意按规定工资超过5000元的部分，应按3%缴纳个人所得税，即可求出答案；
（2）2月家庭开销增为工资总额的25%，求解即可；
（3）用剩余的工资乘以年利率和存放年数即可求出答案.
19．某工地派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？
【答案】解：设x人去挖土，则有（48-x）人运土，
根据题意可得：5x=3（48-x），
解得：x=18，
48-18=30.
答：有18人挖土，有30人运土，刚好合适.
【解析】【分析】 设x人去挖土，则有（48-x）人运土，可得每天共挖土5x方，每天共运土3（48-x）方，根据挖土的方数=运土的方数刚好相等，列出方程，求出解即可.
20．已知|a+b|+2|b-3|=0，求a，b 的值.
【答案】解：∵|a+b|≥0，2|b-3|≥0，又∵|a+b|+2|b-3|=0，
∴|a+b|=0且2|b-3|=0，即a+b=0且b-3=0，∴a=-3，b=3.
【解析】【分析】根据绝对值的非负性得到a+b=0且b-3=0，求出a，b的值即可.
21．把下列各数分别填入相应的集合：+26，0，-8， ，-4.8，-17， ，0.6， .
自然数集 ；
正有理数集 ；
负有理数集 ；
非负数集 ；
整数集 ；
分数集 .
【答案】解：+26是自然数，正有理数，非负数，整数；
0是自然数，非负数，整数；
-8负有理数，整数；
是非负数，
-4.8是负有理数，分数；
-17负有理数，整数；
是正有理数，非负数，分数；
0.6是正有理数，非负数，分数；
是负有理数，分数.
∴自然数集{+26、0 ，正有理数集{+26、 、0.6}，负有理数集{-8、-4.8、-17、 ，非负数集 、 、 、0.6、 ，整数集{+26、0、-8、-17}，分数集{-4.8、 、0.6、 .
【解析】【分析】零和正整数统称自然数据此可得自然数集；根据正有理数大于0的有理数可得正有理数集；根据负有理数是小于0的有理数可得其集；根据非负数包含0、正数可得对应的集合；正整数、零和负整数统称整数，根据整数的概念可得其集；根据分数的概念可得其集合，但要注意有限小数和无限循环小数也可以化为分数.
22．已知线段AB=10，C，D 为直线AB 上的两点，且AC=6，BD=8.求CD 的长.
【答案】解：分四种情况讨论：
①图1中，CD=CB+BD=(AB-AC)+BD=4+8=12；
②图2中，CD =AB-AD-BC
=AB-(AB-BD)-(AB-AC)
=10-2-4
=4；
③图3中，CD=CA+AB+BD=24；
④图4中，CD=CA+AD=CA+(AB-BD)=6+2=8.综上所述，线段CD 的长为12或4 或24或8.
【解析】【分析】分为四种情况画图，然后根据线段的和差计算解答即可.
23．若多项式不含三次项及一次项，请你确定m，n的值，并求出的值．
【答案】解：∵
，
∴，解得，
∴
．
【解析】【分析】
先把原多项式合并同类项得：，又因为原多项式不含三次项及一次项可得，求出m、n的值，代入求值即可．
24．OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，且 ，求∠BOE的度数.
【答案】解：∵OD是∠COE的平分线， ，
∴ .
∵OB是∠AOC的平分线， ，
∴ .
∴ .
【解析】【分析】由角平分线定义得∠COE=2∠COD=70°，∠COB=∠AOB=30°，再由∠BOE=∠COE+∠COB进行计算.
25．定义新运算：若 N>0)，则b 叫作以a 为底 N 的对数，记作log2N=b.例如：因为 所以log5125=3.因为 ，所以log11121=2.
（1）填空： ， ；
（2）如果log5|m-4|=2，求m的值；
（3）若 log327+log4x=log232，求2(x-1)的值.
【答案】（1）1；4
（2）解：因为log5|m-4|=2，所以|m-4|=25，解得m=29或m=-21，所以m的值为29或-21.
（3）解：因为 所以3+log4x=5，所以.
当x=16时，2(x-1)=2×(16-1)=30.
【解析】【解答】解：(1)因为： ，所以log33=1.
因为 而 所以
故答案为1，4.
【分析】(1)根据“如果 则 进行解答即可；
(2)根据新定义的运算，得出再根据绝对值的定义求出答案即可；
(3)根据新定义的运算求出 ，进而得到 再根据新定义运算求出结果即可.
26．小明平时练习跳绳，每天跳绳10次，每次1分钟．下表记录他一天中10次，每次1分钟跳绳的数量（以160个为标准，超过标准的部分记为“＋”，少于标准的部分记为“－”）：
与标准的差值（单位：个）
次数 1 2 2 3 1 1
（1）小明这天跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？
（2）小明在这一天中，累计跳绳多少个？
【答案】（1）解：跳的最多的是（个），跳的最少的是（个），
（个）．
∴ 这天跳绳个数最多的一次比最少的一次多25个．
（2）解：（160-1）×1+（160-3）×2+（160+5）×2+（160+10）×3+（160+16）×1+（160+20）×1
=159+314+330+510+176+180
=1669（个）．
∴这一天中，累计跳绳次数是1669个
【解析】【分析】（1）根据正数和负数的意义，分别计算出跳的最多的一次和最少的一次，最后作差即可得到答案；
（2）先按照表格中的数据列式，即“ 与标准的差值为-1”对应的跳绳次数是（160-1）×1；“ 与标准的差值为-3”对应的跳绳次数是（160-3）×2；“ 与标准的差值为+5”对应的跳绳次数是（160+5）×2......依次列式，最后计算即可.
（1）解：根据表格数据可知：跳的最多的是（个），跳的最少的是（个），
∴（个）．
答∶ 这天跳绳个数最多的一次比最少的一次多25个．
（2）（个）．
答：这一天中，累计跳绳次数是1669个．
27．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且.
（1）a b，b c（用“＞”、“＜”或“＝”填空）
（2） ，
（3）化简.
【答案】（1）＞；＜
（2）0；
（3）解：根据题意得：，，，
则
.
【解析】【解答】解：（1）观察数轴根据，左边的数小于右边的数，可得：c
故答案为：>；<。
（2）因为，a和b在原点的两侧，
所以a与b互为相反数，
所以，
故答案为：0；-1.
【分析】（1）、根据数轴上的数左边的数小于右边的数，即可解答。
（2）、根据及a、b在数轴上的位置，判断出a与b互为相反数，即可解答。
（3）、根据及a、b在数轴上的位置，判断出，，，，再去掉绝对值进行化简。
28．有这样一道题：“当时，求多项式的值．”马小虎做题时把错抄成，王小真没抄错题，但他们做出的结果一样．你知道这是怎么回事吗？请说明理由．
【答案】解：
∵
＝
=
∵化简结果不含有字母a
∴代数式的值与a的取值无关．
【解析】【分析】先去括号得 ：，再利用加法的交换律得：最后合并同类项得：根据化简后整式不含有字母a，故代数式的值与a的取值无关．
29．某超市在双十一期间对顾客实行优惠政策，规定如下表：
一次性购物 优惠办法
低于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 9折优惠
不低于500元 其中500元的部分给予9折优惠，超出500元的部分给予8折优惠
（1）若小惠一次购物原价300元，她实际付款______元；若一次购物原价600元，她实际付款______元．
（2）若小惠在该超市一次购物元．当大于或等于500元时，她实际付款______元（用含的代数式表示并化简）．
（3）如果小惠两次购物合计850元（原价），第一次购物的原价为元，用含的代数式表示两次购物实际付款一共多少元？
【答案】（1）270；530
（2）
（3）解：小惠第一次购物货款为元，
小惠第二次购物货款为元，
小惠二次购物实际付款为：元．
【解析】【解答】解：（1）∵小惠一次购物原价300元， 低于500元但不低于200元，
∴ 9折优惠，
∴她实际付款（元）；
∵一次购物原价600元， 不低于500元，
∴其中500元的部分给予9折优惠，超出500元的部分给予8折优惠，
∴她实际付款（元）．
∴若小惠一次购物原价300元，她实际付款270元；若一次购物原价600元，她实际付款530元．
故答案为：270；530；
（2）当时，他实际付款元．
故答案为：；
【分析】（1）低于500元但不低于200元按9折付款即可；低于500元但不低于200元按8折付款其中500元的部分给予9折优惠，超出500元的部分给予8折优惠即可；
（2）等量关系为：当大于或等于500元时，实际付款折（购物款）折；
（3）两次购物小惠实际付款第一次购物款折折（第二次购物款）折，把相关数值代入计算可求两次购物实际付款一共多少元，进一步求出小惠两次购物一共节省了多少元即可求解．
（1）解：（元）；
（元）．
故若小惠一次购物原价300元，她实际付款270元；若一次购物原价600元，她实际付款530元．
故答案为：270；530；
（2）解： 当时，他实际付款元．
故答案为：；
（3）解：小惠第一次购物货款为元，
小惠第二次购物货款为元，
小惠二次购物实际付款为：元．
30．如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为5厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽6厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
【答案】解：设原来正方形纸的边长是，则第一次剪下的长条的长是，宽是，第二次剪下的长条的长是，宽是，
由题意得：，
解得：，
则．
答：每一个长条的面积为．
【解析】【分析】设原来正方形纸的边长是，根据“第一次剪下的长条的面积第二次剪下的长条的面积”列方程解题即可．
31．某出租车司机在一条东西公路上出租．向东记为正，向西记为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：，，，，，，，，，；
（1）出租车离开A地的最远距离是多？
（2）最后该出租车是否回到出发点？若没有，则在A地的什么地方？距离A地多远？
（3）若每千米收费元，则今天共收入多少元？
【答案】（1）解：根据题意得：
第一次距A的距离为：（千米），
第二次距A的距离为：（千米），
第三次距A的距离为：（千米），
第四次距A的距离为：（千米），
第五次距A的距离为：（千米），
第六次距A的距离为：（千米），
第七次距A的距离为：（千米），
第八次距A的距离为：（千米），
第九次距A的距离为：（千米），
第十次距A的距离为：（千米），
∴出租车离开A地的最远距离是千米.
（2）解：根据题意得：
（千米）.
∴该出租车没有回到出发点，在A的西边2千米位置.
（3）答：根据题意得：（元）.
∴今天共收入元．
【解析】【分析】（1）分别计算每次离开A的距离进行比较即可.
（2）把所走的路程相加得千米，然后根据正负数的意义解答即可.
（3）先求出所有路程的绝对值的和为
，再乘以，计算即可得解．
（1）解：第一次距A的距离为：（千米），
第二次距A的距离为：（千米），
第三次距A的距离为：（千米），
第四次距A的距离为：（千米），
第五次距A的距离为：（千米），
第六次距A的距离为：（千米），
第七次距A的距离为：（千米），
第八次距A的距离为：（千米），
第九次距A的距离为：（千米），
第十次距A的距离为：（千米），
答：出租车离开A地的最远距离是千米；
（2）解：（千米），
答：该出租车没有回到出发点，在A的西边2千米位置；
（3）答：（元），
答：今天共收入元．
32．小东与大家玩猜数游戏，小东说：“请大家随便选定三个一位数，按这样的步骤去算：①把第一个数乘以5，②减去5，③所得的差乘以2，④加上第二个数，⑤所得的和乘以10，⑥加上第三个数.只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所想的这三个一位数.”大家纷纷试了几次，小东都猜对了.你知道小东是怎样猜的吗 请用简要过程说明.
【答案】解：设这三个数分别是a，b，c，根据游戏规则，最后的得数是：
[（5a-5）×2+b]×10+c=（10a+b-10）×10+c=100a+10b+c-100，
∴将最后的得数加上 100，得到的三位数每一个数位上的数字，就对应所想的三个一位数.
【解析】【分析】设这三个数分别是a，b，c，根据游戏规则，列出最后的得数的关系式，再进行化简得到最终的表达式，即可解释如何通过最新结果推测出原始的三个一位数.
33．几何计算：如图，已知平分，求的度数．请补全解题过程．
解：因为
所以
所以
因为平分
所以．
【答案】解：因为，
所以，
所以
，
因为平分，
所以．
故答案为：；；；；；；．
【解析】【分析】根据角平分线的定义求出，根据角的和差求出，再由角平分线的定义求∠COD的度数即可．
34． 地球绕太阳公转的速度约是 声音在空气中的传播速度约是340 m/s， 比较两个速度的大小.
【答案】解：∵1.1×105km/h=
而3.06×104＞340，
∴地球绕太阳公转的速度大于声音在空气中的传播速度．
【解析】【分析】把地球公转的速度换算成m/s，然后与声音传播速度进行比较即可得出结论.
35．为积极倡导“阳光体育”运动，某班派6名同学参加“一分钟跳绳”比赛，负责记录成绩的嘉嘉以160次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中5名同学的成绩记录（单位：次）为：．
（1）求这5名同学的最好成绩与最差成绩相差多少次？
（2）若这6名同学的平均成绩超过了160次，求剩下的那名同学的成绩最少为多少．
【答案】（1）解：
（次），
答：这5名同学的最好成绩与最差成绩相差21次
（2）解：设剩下的那名同学的成绩可记为，由题意可得：，解得，
∴剩下的那名同学的成绩最少为（次），
答：剩下的那名同学的成绩最少为164次
【解析】【分析】
（1）分别确定出最好成绩与最差成绩，然后作差即可；
（2）剩下的那名同学的成绩可记为，根据题意先列出关于的不等式并求解得出有取值范围，再给加上160即可．
（1）解：
（次），
答：这5名同学的最好成绩与最差成绩相差21次；
（2）解：设剩下的那名同学的成绩可记为，
由题意可得：，解得，
∴剩下的那名同学的成绩最少为（次），
答：剩下的那名同学的成绩最少为164次．
36．某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆．已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为100元和200元，从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为80元和120元．设从甲仓库调往A县农用车x辆．
（1）甲仓库调往B县农用车___________辆，乙仓库调往A县农用车___________辆，乙仓库调往B县农用车___________辆；（用含x的代数式表示）
（2）写出该公司从甲、乙两座仓库调农用车到A、B两县所需要的总运费（用含x的代数式表示）；
（3）在（2）的基础上，求当从甲仓库调往A县农用车5辆时，总运费是多少元？
【答案】（1）；；；
（2）解：到A县的总运费：元，
到B县的总运费：元，
∴ 总运费=元，
答：该公司从甲、乙两座仓库调农用车到A、B两县所需要的总运费为元
（3）解：由（2）知，该公司从甲、乙两座仓库调农用车到A、B两县所需要的总运费为，
∴当时，原式，
答：到A、B两县所需要的总运费为2420元
【解析】【解答】解：（1）设从甲仓库调往A县农用车x辆，甲仓库共12辆，故甲仓库调往B县农用车辆，A县共需10辆，故乙仓库调往A县农用车辆，乙仓库共6辆，乙仓库调往B县农用车辆，
故填：；
【分析】（1）根据题意列出代数式，即可得出答案；
（2）分别求出到A县的总费用和到B县的总费用，利用总费用=到A县的总费用+到B县的总费用，即可得出答案；
（3）由（2）可得到A、B两县的总运费，把代入进行计算，即可得出答案．
（1）解：设从甲仓库调往A县农用车x辆，甲仓库共12辆，故甲仓库调往B县农用车辆，
A县共需10辆，故乙仓库调往A县农用车辆，乙仓库共6辆，乙仓库调往B县农用车辆，
故答案为：；
（2）解：到A县的总运费：元，
到B县的总运费：元；
所以，该公司从甲、乙两座仓库调农用车到A、B两县所需要的总运费为元；
（3）解：由（2）知，该公司从甲、乙两座仓库调农用车到A、B两县所需要的总运费为，
当时，原式，
∴到A、B两县所需要的总运费为2420元．
37．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．求该店客房有几间？设该店有客房x间．
（1）用含x的代数式填表：
每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人
第一种方案 7 x
第二种方案 9
（2）列出方程并完成本题解答．
【答案】（1）解：填表如下：
每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人
第一种方案 7 x
第二种方案 9
（2）解：根据题意可得：，
解得：，
∴该店有8间客房．
【解析】【分析】（1）根据每间客房住的人数×房间数=住下总人数，再根据有无空房和有无房住写出即可.
（2）房根据客总数相同列出一元一次方程求解即可.
（1）解：填表如下：
每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人
第一种方案 7 x
第二种方案 9
（2）解：根据题意可得：，
解得：，
故该店有8间客房．
38．把下列各数分别填在表示它所在的集合里：
－5， ，2015， ， ， ，3.14159，－0.36，0.
（ 1 ）负数集合{ …}；
（ 2 ）整数集合{ …}；
（ 3 ）分数集合{ …}.
【答案】解：上述数中负数有：－5， ， ，－0.36；
整数有：－5，2015， ， ，0；
分数有： ， ，3.14159，－0.36.
故答案为：－5， ， ，－0.36；－5，2015， ， ，0； ， ，3.14159，－0.36
【解析】【分析】（1）利用相反数和绝对值的求法将-（-4）和-|-13|化简，再根据负数就是在正数的前面添上“-”号，正整数，负整数和0统称为整数，正分数和负分数统称为分数，由此可求解。
39．某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查．问卷调查的结果分为A．“非常了解”、B．“比较了解”、C．“基本了解”、D．“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理成如下表格和频数分布直方图．
等级 频数 频率
非常了解 30 b
比较了解 0.25
基本了解 100 0.5
不太了解 20
合计 a 1
根据以上信息，请回答下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生1800人，请根据调查结果估计这些学生中“不太了解”垃圾分类知识的人数．
【答案】（1）200；0.15
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）解：1800×（1-0.15-0.25-0.5）＝180（人）．
答：估计这些学生中“不太了解”垃圾分类知识的人数为180人．
【解析】【解答】（1）解：被调查的总人数：a＝100÷0.5＝200（人），
∵a=200，
∴b＝30÷200＝0.15，
故答案为：200；0.15.
【分析】（1）先根据“基本了解”的人数及其对应频率求出总人数a的值，再利用“频率＝频数÷总人数”求出a的值即可；
（2）先求出“B”的人数再作出条形统计图即可；
（3）先求出“不太了解”垃圾分类知识对应的频率，再乘以总人数即可．
40．观察下列各式：
……
回答下列问题：
（1）猜想：(a×b)n= 。
（2）请用我们学过的知识，说明上式成立的理由。
（3）计算：
【答案】（1）an×bn
（2）解：(a×b)n= (a×b)(a×b)(a×b)...(a×b)=(a·a·a...a)(b·b·b...b)= an×bn.
（3）解：原式=(-0.125)2022×22022×42022×(-0.125)2×2
=(-0.125×2×4)2022×(-0.125)2×2
【解析】【解答】解：（1）猜想：(a×b)n= an×bn，
故答案为：an×bn.
【分析】（1）根据积的乘方，等于每个因式乘方的积，可得答案；
（2）根据同底数幂的乘法，可得积的乘方，根据积的乘方，可得答案；
（3）根据同底数幂的乘法，可得积的乘方，根据积的乘方，可得答案.
41．某商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏元，而按标价的七五折出售将赚元，问：
（1）每件服装的标价是多少元？
（2）每件服装的成本是多少元？
（3）为保证不亏本，最多能打几折？
【答案】（1）解：设每件衣服的标价为元，根据题意
得：－
解得：
答：每件衣服的标价为元
（2）解：元
答：每件衣服的成本是元
（3）解：设最多能打折，根据题意，
得： 解得：
答：最多能打折．
【解析】【分析】（1）首先设每件衣服的标价为元， 按标价的六折出售将亏元，而按标价的七五折出售将赚元， 列出方程，求出的值，得到答案；
（2）根据 每件服装按标价的六折出售将亏元， 列出算式，即可求解；
（3）设最多能打折，根据题意，列出方程，求出的值．
42．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何 译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车
【答案】解：设共有x人，根据题意，得 解得x=39， 辆，
则共有39人，15辆车
【解析】【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可.
43．如图1，有一块长方形纸板，长是宽的2倍，现将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．
（1）请在图1中的长方形纸板中画出无盖长方体盒子的示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
（2）如果无盖长方体盒子底面宽为，长是宽的3倍，原长方形纸板的长可以用两个不同的代数式表示，则这两个代数式分别为 或 ．
（3）如果原长方形纸板宽为，经过剪切折成的无盖长方体盒子底面的周长为（结果化成最简） ．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）（3＋2）；（2＋4）
（3）（6－8）
【解析】【解答】解：（2）解：∵ 无盖长方体盒子底面宽为cm，长是宽的3倍，
∴ 长为3cm，
∵ 高为cm
∴ 四个角各剪去的正方形的边长为cm
∴长方形纸板的长为＋3＋＝（3＋2）cm
长方形纸板的宽为＋＋＝（＋2）cm
∵长是宽的2倍，
∴长方形纸板的长还可以表示为2（＋2）＝（2＋4）cm
两个代数式分别为（3＋2）cm或（2＋4）cm，
故答案为：（3＋2），（2＋4）
（3）解：∵ 原长方形纸板宽为，长是宽的2倍
∴长为2cm
∴底面长为（2－2）cm，底面宽为（－2）cm，
∴ 无盖长方体盒子底面的周长为2[（2－2）＋（－2）]
＝2（3－4）
＝（6－8）cm
故答案为：（6－8）．
【分析】（1） 如图所示，在图1中的长方形纸板中画出无盖长方体盒子的示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕即可；
（2）两种表示方法分别为：第一种直接根据底面的长是宽的3倍，直接把底面的长表示为3a，从而得出原长方形纸板的长是（3a+2b）cm；第二种方法是先把原长方形纸板的宽为：（a+2b）cm，再根据长是宽的2倍，即可把原长方形纸板的长表示为：2（a+2b）cm，即（2a+4b)cm；
（3）首先根据原长方形纸板长和宽的关系表示出长为2xcm.进而表示出长方体盒子的底面的宽为(x-2b)cm，长为（2x-2b）cm，进而根据周长计算公式，即可得出盒子的底面周长为（6－8）cm。
44．如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为的长方形，再把其中一个面积为的长方形分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形分成两个面积为的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算：
（1）计算：；
（2）计算．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）将原式变形为，再计算即可；
（2）先将原式变形为，再求出答案即可.
45．如图①，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字。它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码和校验码”。
其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性。它的编制是按照特定的算法得来的。其算法如下：
步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即a=9+1+3+5+7+9=34；
步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即b=6+0+2+4+6+8=26；
步骤3：计算3a与b的和c，即c=3×34+26=128；
步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d=130；
步骤5：计算d与c 的差就是校验码X，即X=130-128=2。
请解答下列问题：
（1）《数学故事》的条形码为 978753454647Y，则校验码Y的值为 。
（2）如图②，某条形码中的一位数字被墨水污染了，请求出这个数字。
（3）如图③，条形码中被污染的两个数字的和是 5，这两个数字从左到右分别是 ， 。
【答案】（1）1
（2）设污染的数为m，a=9+1+2+1+1+2=16，b=6+0+0+8+m+0=14+m，c=3a+b=62+m，d=9+62+m=71+m。 ∵d是10的整数倍，∴d=80。 即71+m=80，∴m=9，故这个数字为9。
（3）1；4
【解析】【解答】解：(1)由题意，得a=7+7+3+5+6+7=35，b=9+8+5+4+4+4=34，c=3a+b=139，d=140，Y=d-c=140-139=1，
故答案为：1；
(3)可设这两个数字从左到右分别是p，q.由题意，得a=9+9+2+q+3+5=28+q，b=6+1+p+1+2+4=14+p，c=3a+b=98+(3q+p)，d=98+(3q+p)+9=107+3q+p。 ∵d为10的整数倍，p+q=5，∴d=112+2q=120，∴q=4，p=1，即这两个数字从左到右分别是1，4，
故答案为：1；4.
【分析】（1）根据题目中的算法步骤1-4，分别求出a、b、c、d的值，再根据步骤5得出Y的值即可；
（2）先用字母表示污染的数，再根据题目中的算法步骤1-4，分别求出a、b、c、d的值，再根据d为大于或等于c且为10的整数倍的最小数即可得出结果；
（3）先根据题目中的算法步骤1-4，分别求出a、b、c、d的值，再根据校验码为9，结合两个数字和为5即可求解.
46． 定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另一个角度数的两倍，我们把这条线叫作这个已知角的三等分线。
（1）如图，已知∠AOB=120°，若 OC 是∠AOB 的三等分线，求∠AOC 的度数。
（2）点O在线段AB 上（不含端点A，B），在直线 AB 同侧作射线OC，OD。设∠AOC=3t，∠BOD=5t，当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值。
【答案】（1）解：依题意，∠AOC+∠COB=120°，
且2∠AOC=∠COB，或∠AOC=2∠COB
当2∠AOC=∠COB时，
当∠AOC=2∠COB时，
综上，∠AOC=40°或80°
（2）解：因为5t<180°，所以t<36°
①当∠AOC=2∠COD时，如图1.
即 解得
②当2∠AOC=∠COD时，如图
即 解得
综上 或
【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，或者，列式计算即可；
（2）分两种情况讨论，或者，分别画出图形，再列式计算即可；
47．如图，数轴上有A，B，C三个点，A，B，C对应的数分别是a，b，10，满足|a+24|+|6+10|=0， 动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒．
（1）求a，b的值；
（2）写出点P表示的数（用含t的式子表示）；
（3）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数；
（4）当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，当P，Q两点相遇时，两点停止运动．直接写出在点Q开始运动后第几秒时，P， Q两点之间的距离为4．
【答案】（1）解：∵ |a+24|+|6+10|=0，
∴a+24=0，b+10=0，
解得：a=-24，b=-10.
（2）由题意可得：点P表示的数是-24+t.
（3）∵ 点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，
∴，
解得：或，
当时，；
当时，；
综上所述：点P对应的数是4或.
（4）点P运动到点B的时间为（秒），
设在点Q开始运动后第m秒时，P，Q两点之间的距离为4，
①当点P在点Q的右侧，且点Q还没追上点P时，
则3m+4=14+m，
解得：m=5；
②当点P在点Q的左侧，且点Q追上点P后，
则3m-4=14+m，
解得：m=9；
③当点Q到达点C后，且点P在点Q左侧时，
则14+m+4+3m-34=34，
解得：m=12.5；
综上所述： 在点Q开始运动后第5、9、12.5秒时，P， Q两点之间的距离为4．
【解析】【分析】（1）根据非负数的性质求出a+24=0，b+10=0，再计算求解即可；
（2）根据所给的数轴及题意求解即可；
（3）根据题意先求出，再解方程求出或，最后求解即可；
（4）先求出点P运动到点B的时间为14秒，再分类讨论，列方程求解即可。
48． 学校举办了迎新春中国象棋比赛，以下是部分选手的积分记录表：
选手 比赛总局数 胜局 平局 负局 积分
A 12 12 0 0 36
B 12 7 3 2 22
C 12 5 4 3 16
D 12 6 0 6 12
（1）请直接写出胜一局、平一局、负一局分别积几分；
（2）已知某选手E的负局数是胜局数的一半，他的胜局积分能等于平局积分的四倍吗？为什么？
【答案】（1）解：胜一局积3分、平一局积1分，负一局积-1分；
（2）解：
不能，理由如下：
设选手E负局数为x，依题意得：
3×2x＝4×1×（12-x-2x），
解得：x＝，不是整数，
故胜局积分不能等于平局积分的四倍．
【解析】【解答】解：（1）胜一局的积分为：36÷12＝3；
负一局的积分为：（12-3×6）÷6
＝（12-18）÷6
＝-6÷6
＝-1；
平一局的积分为：[16-3×5-（-1）×3]÷4
＝（16-15+3）÷5
＝4÷4
＝1；答：胜一局积3分、平一局积1分，负一局积-1分；
【分析】（1）由A可求胜一局的积分，由D可求负一局的积分，从而求出平一局的积分；
（2）不能，理由：设选手E负局数为x，则胜局数为2x，根据“ 他的胜局积分等于平局积分的四倍 ”列出方程并解之，然后检验即可得出结论.
49．在疫情防控期间，某工厂计划生产A，B两种消毒产品共140件，其中A种消毒产品的件数比B种消毒产品件数的3倍少20件．
（1）求工厂计划生产A，B两种消毒产品各多少件？（列一元一次方程解答）
（2）现需购买甲，乙两种材料，已知生产一件A产品需要甲种材料3千克，需要乙种材料1千克；生产一件B产品需要甲，乙两种材料各2千克．甲种材料单价为每千克5元，乙种材料单价为每千克3元，采购员小李分两次购买所需材料，第一次购买两种材料共200千克，受某些因素影响，第二次购买时做出了价格调整：甲材料的购买单价比第一次的购买价降低，乙材料的购买单价不变，两次购买完所需材料．设第一次购买甲种材料m千克；求第一次，第二次购买材料所支付的费用分别是多少．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）解：设工厂计划生产B种消毒产品x件，则工厂计划生产A种消毒产品（3x﹣20）件．
∴3x﹣20+x＝140，
解得：x＝40，
∴3x﹣20＝100，
答：工厂计划生产A种消毒产品100件，工厂计划生产B种消毒产品40件；
（2）解：①由题意，第一次购买甲种材料m千克，则购买乙种材料（200﹣m）千克；
∴第一次费用为5m+3（200﹣m）＝（600+2m）元；
∵100件A种消毒品和40件B种消毒品共需甲种材料100×3+2×40＝380千克，乙种材料100+2×40＝180千克，
∴第二次需采购甲种材料（380﹣m）千克，乙种材料180﹣（200﹣m）＝（m﹣20）千克；
∴第二次费用为元．
【解析】【分析】(1)设工厂计划生产B种产品x件，根据“生产A、B两种喜迎新春产品共”140件“与”A种的件数比B种件数的3倍少20件“列方程解出即可；
（2）根据题意直接表示出第一次支付的费用，再根据题意先求出总共需要的甲乙材料分别的千克数，进而求出第二次的千克数和费用。
50．如图，O为原点，长方形与的面积都为12，且能够完全重合，边在数轴上，．长方形可以沿数轴水平移动，移动后的长方形与重叠部分的面积记为S．
（1）如图1，求出数轴上点F表示的数．
（2）当S恰好等于长方形面积的一半时，求出数轴上点表示的数．
（3）在移动过程中，设P为线段的中点，点所表示的数能否互为相反数？若能，求点O移动的距离；若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）∵长方形OABC的面积为12，OA=3，
∴．
∵长方形OABC与ODEF能完全重合，
∴OF=OA=4．
∵O为原点，
∴点F表示的数为．
（2）当在长方形OABC内部时，即当长方形ODEF移动到如下图所示的长方形的位置时．
∵长方形OABC的面积为12，且S恰好等于长方形OABC面积的一半，
∴S=6，即长方形的面积为6．
∵长方形OABC与ODEF能够完全重合，长方形ODEF移动后为长方形，OA=3，
∴．
∴．
∴点表示的数为2．
当在长方形OABC内部时，即当长方形ODEF移动到如下图所示的长方形的位置时，设AB与交于点G．
∵长方形OABC的面积为12，且S恰好等于长方形OABC面积的一半，
∴S=6，即长方形的面积为6．
∴长方形的面积为．
∵长方形OABC与ODEF能够完全重合，长方形ODEF移动后为长方形，OA=3，
∴．
∴．
∴．
∴点表示的数为5．
综上，点表示的数为2或5．
（3）如下图所示，假设点O移动的距离为x时，点，P所表示的数互为相反数．
∵点O移动的距离为x，
∴，．
∴点表示的数为x．
∴点表示的数为．
∵OA=3，
∴点A表示的数为3．
∵点P为线段的中点，
∴点P表示的数为．
∴．
∴．
∴在移动过程中，点，P所表示的数能互为相反数，此时点O移动的距离为．
【解析】【分析】（1）利用长方形的面积公式求出OC的长，再求出OF的长，从而可得点F表示的数；
（2）分类讨论：①当在长方形OABC内部时，②当在长方形OABC内部时，先分别画出图形并求解即可；
（3）假设点O移动的距离为x时，点，P所表示的数互为相反数，先求出点表示的数为x和点表示的数为，再求出点P表示的数为，最后列出方程，求解即可.
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