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【解答题强化训练·50道必刷题】北师大版数学九年级上册期末总复习
1．如图，直线AB：y=k1x+b与x轴、y轴分别相交于点A（1，0）和点B（0，2），以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点，求k2的取值范围．
2．育才中学音乐组围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其他活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两种统计图.请根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了 名学生；扇形统计图中喜欢“声乐”部分扇形的圆心角为 度.
（2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率.
3．一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其余都相同.小明将球搅匀后从箱子里随机摸出1个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验.多次试验的结果记录在表格：
摸球次数 100 400 600 700 1000 1300 1500
摸到白球的频率 0.702 0.724 0.731 0.746 0.749 0.751 0.750
（1）当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于 （结果精确到0.01）左右，从箱子中随机摸一个球，估计摸到蓝球的概率是 ；
（2）从该箱子里随机摸出1个球，放回，再摸出1个球，求摸到两个球中1个是蓝球、1个是白球的概率.
4． 随着新能源汽车技术的提高，电能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某4S店新能源汽车销售量自2023年起逐月增加，据统计，该4S店1月份销售新能源汽车32辆，3月份销售了50辆.
（1）求该4S店这两个月的月平均增长率；
（2）若月平均增长率保持不变，求该4S店4月份卖出多少辆新能源汽车.（答案若含有小数则只取整数部分，不四舍五人）
5．某工厂要加工一批圆柱形茶叶罐，如图，设计者给出了茶叶罐的两种视图(单位：mm).若某种茶叶10g 需要占用14cm3的容积，则一个这种茶叶罐可以盛放多少该种茶叶(结果精确到1g，π≈3.14)
6．如图所示，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF=DE.
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AE=3，AD=4，∠DAE=90°，试判断当BE的长为多少时，四边形AECF为菱形，并说明理由.
7．先化简再求值： ，其中a使反比例函数 的图象分别位于第二、四象限.
8．直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在APP上对一款成本价为40/件的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每星期可卖出300件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降价元，每星期可多卖出10件，在顾客得实惠的前提下，电商还想获得元利润，每件小商品的售价应定为多少元？这时电商每月能售出小商品多少件？
9．一个矩形的长比宽多1，面积是12，求这个矩形的周长.
10．如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD=1，DC＝3，BC＝，AD=．求DE的长．
11．反比例函数 与 在第一象限内的图象如图所示，过x轴上点A作y轴的平行线，与函数 ， 的图象交点依次为P、Q两点.若PQ＝2，求PA的长.
12．如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡的点E处有一棵盛开的桃花的小桃树，他想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚下的距离，即DE的长度，小华站在点B的位置，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E，且BC＝2.7米，CD＝11.5米，∠CDE＝120°，已知小华的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出DE的长度．（结果保留根号）
13．为防止病菌滋生，某校定期对教室进行喷雾消毒，某次消毒作业时，喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量（）是时间（min）的正比例函数，喷雾完成后是的反比例函数（如图）．
（1）当时，求关于的函数解析式；
（2）已知每立方米空气中含药量不低于时，消毒效果最好，求本次消毒每立方米空气中含药量不低于的时长．
14．某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元，求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率．
15．用适当的方法解下列方程：．
16．已知关于x的方程.
（1）求证：不论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长.
17．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
18．甲、乙两人做游戏，规则如下：每人手中各持分别标有“1”、“2”、“3”的三张纸牌，甲、乙背靠背同时从各自的纸牌中随机抽取一张，规定纸牌数字大的获胜，数字相同时不分胜负．请你用树状图或列表法求甲获胜的概率．
19．如图 ， 在直角坐标系中，已知 ， 设函数 与函数 的图象相交于点 和点 ． 已知点 的横坐标是 2 ， 点 的纵坐标是 -4 ．
（1） 求 的值．
（2）过点 作 轴的垂线， 过点 作 轴的垂线， 在第二象限相交于点 ； 过点 作 轴的垂线， 过点 作 轴的垂线， 在第四象限相交于点 ． 求证： 直线 经过原点．
20．重庆火锅，源于明末清初的重庆嘉陵江畔、朝天门等码头船工纤夫的粗放餐饮方式，后随着社会的发展，历史的变迁，重庆火锅的独特风味渐渐受人们的喜爱，每逢假期，全国各地有大量游客来到重庆品尝地道美味的火锅．据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同．
（1）求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？
（2）后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价．
21．某海岛位于北纬 ，全年气候温暖湿润，光照充足，非常适合种植柑橘.2022 年某合作社种植“红美人”柑橘平均亩产量为 800kg，为了提高“红美人”柑橘产量，引进先进的种植技术，到 2024 年平均亩产量达到 1352kg.
（1）若 2022 年到 2024 年种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率相同，求种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率.
（2）2025 年该合作社计划种植“红美人”柑橘面积 10 亩，每亩种植成本为 3 万元，为了扩大产量，决定增加“红美人”柑橘种植面积.经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少 0.1 万元，求该合作社应增加种植面积多少亩才保持种植总成本不变.
22．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点落在函数的图象上，点落在轴正半轴上，且．
（1）求的值；
（2）求直线所对应的函数表达式．
23．关于x 的方程．
（1）方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
24．一块长方形菜地的面积是150cm2，如果它的长减少5cm，那么它就成为正方形菜地，求这个长方形菜地的长和宽
25．如图，足球场边有一路灯P，在灯下足球门横梁AB在地面上的影子为CD，经测量得知CD=10.8米，已知足球门横梁AB=7.2米，高AE=BF=2.44米，
试求路灯P距地面的高度．
26．小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为：1、2、4的三个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和为奇数，则小颖胜；若两次数字之和为偶数，则小丽胜．试分析这个游戏对双方是否公平？请用树状图或列表法说明理由．
27．为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题：
（1）分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？
28．某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台．设每台电风扇降价元．
（1）降价后平均每天的销售量为 ，每台的利润为 ．
（2）若要使每天销售利润达到1540元，求的值．
（3）请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由．
29．近年来网上购物交易额呈逐渐增加趋势．据报道，某网上商城2013年的交易额是25亿元，2015年达到了49亿元．这两年的交易额平均年增长的百分率是多少？若该网上商城2016年的交易额以这个百分率增长，预计到2016年底交易额将达到多少亿元？
30．如图，在直角坐标系中，是等腰直角三角形，斜边在x轴上，且点B的坐标是，直线经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，以为边在第一象限内作正方形．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）求直线所对应的函数关系式．
31．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳．
32．某公司有甲、乙两种品牌的打印机，其中甲品牌有A、B两种型号，乙品牌有C、D、E三种型号．某中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机．
（1）利用树状图或列表法写出所有的选购方案；
（2）如果各种型号的打印机被选购的可能性相同，那么C型号打印机被选购的概率是多少？
33．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，
求：（1）AO的长；
（2）求S△BOD
34．如图所示，一个农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于房墙的一边留一个宽的门．
（1）所围成矩形猪舍的长、宽分别是多少时，猪舍面积为？
（2）为做好猪舍的卫生防疫，现需要对围成的矩形进行硬底化，若以房墙的长为矩形猪舍一边的长，且已知硬底化的造价为60元/平方米，请你帮助农户计算矩形猪舍硬底化需要的费用．
35．如图，有4张分别印有版西游记人物图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净.
现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，摚匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、摚匀，再从中任意取出1张卡片.求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片上的图案为“孙悟空”的概率为 .
（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张上的图案为“唐僧”的概率.
36．某种商品平均每天可销售60件，每件盈利 100元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价 1元，商场平均每天可多售出2件.据此规律，请回答：
（1）当商场日销售量为80件时，商场日盈利可达到多少元.
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 8 400 元
37．将一块面积为 的矩形菜地的长减少 ，它就变成了正方形，求原菜地的长.
38．某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为 100 元，由于物价上涨，到2023年每辆汽车的日租金上涨到121元.
（1）求2021 年至 2023 年每辆汽车的日租金的年平均增长率.
（2）经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；每辆汽车的日租金每增加1元，就要少租出2辆.已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元.
①在每辆汽车日租金121元的基础上，设每辆汽车的日租金上涨 y元，则每辆汽车的日租金为 ▲ 元，实际能租出 ▲ 辆车；
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元 (日收益=总租金一各类费用)
39．今年是农历癸卯年，即兔年，如图，现有三张正面印有不同兔图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小希从中随机抽取一张卡片，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求小希两次抽出的卡片图案相同的概率．
40． 如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，AD： BD=5：3，CF=6，求 DE 的长.
41．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价/元
日销售量/件
（1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
42．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别是E，F，并且BE=DF。
求证；四边形ABCD是菱形。
43．有一块长为a米，宽为b米的长方形场地，计划在该场地上修建宽均为x米的两条互相垂直的道路，余下的四块长方形场地建成草坪．
（1）已知，且四块草坪的面积和为264平方米，则每条道路的宽x为多少米？
（2）若，且四块草坪的面积和为264平方米，则原来矩形场地的长和宽各为多少米？
（3）已知，现要在场地上修建若干条宽均为2米的纵横小路，假设有m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（其中，m，n为常数），使草坪地的总面积为132平方米，则 （直接写出答案）．
44．在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
45．如图， 为正方形 对角线的交点， 平分 ， 交 于点 ， 延长 到点 ，使 ， 连结 ， 交 的延长线于点 ， 连结 ．
（1） 求证： ．
（2） 判断 与 之间有何关系， 请证明你的结论．
（3） 若 ， 求正方形 的边长．
46．已知矩形，，，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G．
（1）如图①；当时，连接，求的长；
（2）如图②，当边经过点D时，延长交于点P，求的长；
（3）连接，点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ．
47．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
（1）“快乐方程”的“快乐数”为________；
（2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
48．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在函数y=（k>0，x>0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=（k>0，x>0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．
49．人教版数学八年级下册教材的数学活动——折纸．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为．
（1）如图1，连接，直接写出；
（2）在图1基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点，将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由；
（3）将图1中的矩形纸片换成正方形纸片，按图1步骤折叠，并延长交于点，连接得到图3，，求的长．
50．王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22-22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x-1）2+3的最小值为 ．
（2）求代数式x2+10x+32的最小值．
（3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
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【解答题强化训练·50道必刷题】北师大版数学九年级上册期末总复习
1．如图，直线AB：y=k1x+b与x轴、y轴分别相交于点A（1，0）和点B（0，2），以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点，求k2的取值范围．
【答案】解：（1）将A（1，0），B（0，2）代入y=k1x+b，得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y=-2x+2．
（2）作DF⊥x轴于F，则∠AFD=90°，
∵正方形ABCD，
∴BA=AD，∠BAD=90°，∠BAO+∠DAF=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAF．
在△ADF和△BAO中，，
∴△ADF≌△BAO（AAS），
∴AF=BO=2，DF=AO=1，OF=OA+AF=3，
∴点D的坐标为（3，1）．
（3）同（2）可得出点C的坐标为（2，3）．
当双曲线过点D时，k2=3×1=3；
当双曲线过点C时，k2=2×3=6，
∴当双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点时，k的取值范围为3≤k2≤6
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入一次函数解析式可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到一次函数解析式.
（2）作DF⊥x轴于F，利用正方形的性质和余角的性质可证得BA=AD，∠ABO=∠DAF，利用AAS证△ADF≌△BAO，利用全等三角形的性质可得到相关线段的长，可得到点D的坐标.
（3）同（2）可求出点C的坐标，分别求出当双曲线分别过点C和点D时的k的值，即可得到k的取值范围.
2．育才中学音乐组围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其他活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两种统计图.请根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了 名学生；扇形统计图中喜欢“声乐”部分扇形的圆心角为 度.
（2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率.
【答案】（1）50；57.6
（2）解：画树状图如下（用A、B、C、D分别表示“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目）：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的有2种结果，
∴恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率为：.
【解析】【解答】解：根据题意得8÷16％=50（人）.故答案为：50；
喜欢“声乐”部分扇形的圆心角为：16％×360°=57.6°.故答案为：57.6；
【分析】（1） 用喜欢“声乐”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用喜欢“声乐”的人数所占的百分比乘以360°就会得到扇形统计图中喜欢“声乐”部分扇形的圆心角度数；
（2）画树状图把所有的等可能结果表示出来，再找出恰好选中“舞蹈、声乐”两项的结果有几种，最后根据概率的计算公式进行计算即可.
3．一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其余都相同.小明将球搅匀后从箱子里随机摸出1个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验.多次试验的结果记录在表格：
摸球次数 100 400 600 700 1000 1300 1500
摸到白球的频率 0.702 0.724 0.731 0.746 0.749 0.751 0.750
（1）当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于 （结果精确到0.01）左右，从箱子中随机摸一个球，估计摸到蓝球的概率是 ；
（2）从该箱子里随机摸出1个球，放回，再摸出1个球，求摸到两个球中1个是蓝球、1个是白球的概率.
【答案】（1）0.75；0.25
（2）解：由(1)得摸到白球的概率率为0.75，
∴可估计口袋中自球有4×0.75=3(个)，蓝球的个数有1个；
将第一个口袋中3个白球分别记为A1，A2，A3，蓝球记为B，
列表如下：
A1 A2 A3 B
A1 A1，A1 A1，A2 A1，A3 A1，B
A2 A2，A1 A2，A2 A2，A3 A2，B
A3 A3，A1 A3，A2 A3，A3 A3，B
B B，A1 B，A2 B，A3 B，B
共有16种等可能的结果，其中摸到1个蓝球、1个白球的情况有6种，
∴摸到1个蓝球、1个白球的概率为
【解析】【解答】解：(1)当摸球次数很大时，摸到自球的频率将会接近0.75；
1-0.75=0.25；
故答案为：0.75，0.25.
【分析】(1)根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.75，根据利用频率估计概率，可估计摸到蓝球的概率为1-0.75=0.25；
(3)先利用列表法展示所有16种等可能的结果数，再找出两个球颜色相同所占结果数，然后根据概率公式求解.
4． 随着新能源汽车技术的提高，电能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某4S店新能源汽车销售量自2023年起逐月增加，据统计，该4S店1月份销售新能源汽车32辆，3月份销售了50辆.
（1）求该4S店这两个月的月平均增长率；
（2）若月平均增长率保持不变，求该4S店4月份卖出多少辆新能源汽车.（答案若含有小数则只取整数部分，不四舍五人）
【答案】（1）解：设1月到3月销量的月平均增长率为，根据题意列方程：
，
解得（不合题意，舍去），，
即；答：1月到3月自行车销量的月平均增长率为；
（2）解：.
即售出62辆新能源汽车答：该商城4月份卖出62辆自行车.
【解析】【分析】（1）设1月到3月销量的月平均增长率为， 根据3月份的销售量=（1月份的销售量+x）2，列出关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的x的值即可求解；
（2）根据4月份的销售量=3月份的销售量（1+增长率），即可求解.
5．某工厂要加工一批圆柱形茶叶罐，如图，设计者给出了茶叶罐的两种视图(单位：mm).若某种茶叶10g 需要占用14cm3的容积，则一个这种茶叶罐可以盛放多少该种茶叶(结果精确到1g，π≈3.14)
【答案】解：由给出的这种茶叶罐的主视图和俯视图，可知这种茶叶罐的底面圆直径为100mm，高为150mm，
∴ 这种茶叶罐的容积为 150÷1000=375π(cm3).
∵375π÷14×10≈841(g)，
∴ 一个这种茶叶罐大约可以盛放841g该种茶叶.
【解析】【分析】先根据茶叶罐的主视图和俯视图得出其底面直径和高，进而求出茶叶罐容积，再结合茶叶每10g所需容积，计算出该茶叶罐可盛放茶叶的重量.
6．如图所示，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF=DE.
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AE=3，AD=4，∠DAE=90°，试判断当BE的长为多少时，四边形AECF为菱形，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
（2）解：当BE=1.4时，四边形AECF为菱形.
理由如下：
如图所示，连接AC交BD于点G.
∵AE=3，AD=4，∠DAE=90°，
∴BF=DE=5.
∵四边形AECF为菱形，
∴AC⊥EF，AE=AF=3，
∴DE·AG=AE·AD，
∴AG=2.4.
在Rt△AGF中，FG==1.8，
∴BE=BF-2FG=1.4.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得AD=CB，AD∥CB，则∠ADE=∠CBF，再根据全等三角形判定定理即可求出答案；
（2）连接AC交BD于点G，根据勾股定理可得BF=DE=5，由菱形性质可得AC⊥EF，AE=AF=3，再根据三角形面积得DE·AG=AE·AD，即AG=2.4，在Rt△AGF中，根据勾股定理即可求出答案.
7．先化简再求值： ，其中a使反比例函数 的图象分别位于第二、四象限.
【答案】解：∵a使反比例函数 的图象分别位于第二、四象限，
∴ ，
∴
=
= .
【解析】【分析】根据 a使反比例函数 的图象分别位于第二、四象限可得a＜0，根据异分母分式相加减，先通分为同分母分式，再加减和分式÷分式，交换除式的分子分母，与被除式相乘以及负数的绝对值等于它的相反数可化简原式.
8．直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在APP上对一款成本价为40/件的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每星期可卖出300件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降价元，每星期可多卖出10件，在顾客得实惠的前提下，电商还想获得元利润，每件小商品的售价应定为多少元？这时电商每月能售出小商品多少件？
【答案】解：设每件商品售价应定为元，则每件商品的销售利润为元，每月的销售量为（件），
依题意得：，
解得．
∵在顾客得实惠的前提下，
∴，
当时，
答：每件小商品的售价应定为元，这时电商每月能售出小商品件．
【解析】【分析】 设每件商品售价应定为元，则每件商品的销售利润为元，每月的销售量为（件）， 根据总利润=单件的利润×销售量列出方程并解之即可.
9．一个矩形的长比宽多1，面积是12，求这个矩形的周长.
【答案】解：设这个矩形的宽为x，则长为
∵设这个矩形的面积是12，
∴
解这个方程，得，（不合题意，舍去）
.
.
∴这个矩形的周长为14
【解析】【分析】设宽为，则长为，再根据矩形面积公式列出方程，求出长和宽，利用周长计算即可求解。
10．如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD=1，DC＝3，BC＝，AD=．求DE的长．
【答案】解：∵BD＝1，DC＝3，
又∵，
∴BD2+CD5＝BC2，
∴△BCD是直角三角形且∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AC＝，
又∵E点为AC的中点，
∴DE＝＝3．
【解析】【分析】首先按照勾股定理的逆定理算出∠BDC=90°，其次算出AC的长，最后根据"直角三角形斜边中线等于斜边一半"这一性质，即可求出DE的长.
11．反比例函数 与 在第一象限内的图象如图所示，过x轴上点A作y轴的平行线，与函数 ， 的图象交点依次为P、Q两点.若PQ＝2，求PA的长.
【答案】解：设P（m，n），则Q（m，n+2）.
根据题意，知 ，解得
∴PA=
【解析】【分析】设P（m，n），可得Q（m，n+2），将点P代入 中，将点Q代入 中，建立方程组，求出m、n的值，从而求出PA的长.
12．如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡的点E处有一棵盛开的桃花的小桃树，他想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚下的距离，即DE的长度，小华站在点B的位置，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E，且BC＝2.7米，CD＝11.5米，∠CDE＝120°，已知小华的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出DE的长度．（结果保留根号）
【答案】解：过E作EF⊥BC，
∵∠CDE＝120°，
∴∠EDF＝60°，
设EF为x，DF＝ x，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴ ，
即 ，
解得：x＝9+2 ，
∴DE＝ =6 +4，
答：DE的长度为6 +4．
【解析】【分析】 过E作EF⊥BC， 根据邻补角求出∠EDF＝60°，设EF为x，可得DF＝x，根据两角分别相等可证△ABC∽△EFC，利用相似三角形的对应边成比例可求出x的值，利用DE=2DF即可求出结论.
13．为防止病菌滋生，某校定期对教室进行喷雾消毒，某次消毒作业时，喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量（）是时间（min）的正比例函数，喷雾完成后是的反比例函数（如图）．
（1）当时，求关于的函数解析式；
（2）已知每立方米空气中含药量不低于时，消毒效果最好，求本次消毒每立方米空气中含药量不低于的时长．
【答案】（1）解：当时，设关于的函数解析式为，
把代入解析式得：，
解得：，
∴当时，关于的函数解析式为；
（2）解：根据题意得，当时，关于的函数解析式为，
把代入得：；
把代入得：．
∵，
∴本次消毒每立方米空气中含药量不低于的时长为.
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量y（mg）是时间x（min）的函数解析式，再把y=4代入两个解析式求值，再相减即可.
14．某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元，求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率．
【答案】解：设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）．
答：该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为20%．
【解析】【分析】设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x，根据该企业2015年及2017年的年利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
15．用适当的方法解下列方程：．
【答案】解：
解得：．
∴原方程的解为：
【解析】【分析】由题意，将方程的左边分解因式，然后可将原方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解．
16．已知关于x的方程.
（1）求证：不论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长.
【答案】（1）证明：∵，
∴k取任何实数值，方程总有实数根.
（2）解：∵斜边上，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，
∴.
则，
，
解得.
由（k不可能取负数），
故的周长.
【解析】【分析】（1）本题根据一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根，所以只需要即可.
（2）本题先根据勾股定理求出k的值，再根据一元二次方程根与系数的关系b+c即可.
17．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
【答案】解：∵点B（2，n）、P（3n﹣4，1）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，∴ ．解得：m=8，n=4．∴反比例函数的表达式为y= ．∵m=8，n=4，∴点B（2，4），P（8，1）．过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．在△BDP和△BDP′中， ∴△BDP≌△BDP′．∴DP′=DP=6．∴点P′（﹣4，1）．将点P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得： ，解得： ．∴一次函数的表达式为y= x+3．
【解析】【分析】由点B（2，n）、P（3n﹣4，1）在反比例函数的图象上，求出m、n的值，得到反比例函数的表达式，得到点B（2，4），P（8，1），根据题意BC⊥x轴于点C，且∠PBC=∠ABC，求出点P′的坐标，用待定系数法求出一次函数的表达式.
18．甲、乙两人做游戏，规则如下：每人手中各持分别标有“1”、“2”、“3”的三张纸牌，甲、乙背靠背同时从各自的纸牌中随机抽取一张，规定纸牌数字大的获胜，数字相同时不分胜负．请你用树状图或列表法求甲获胜的概率．
【答案】解：列表得：
乙甲 1 2 3
1 （1，1） （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，2） （2，3）
3 （3，1） （3，2） （3，3）
∵共有9种等可能的结果，甲获胜的有3种情况，∴甲获胜的概率是：=．
【解析】【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与甲获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案．
19．如图 ， 在直角坐标系中，已知 ， 设函数 与函数 的图象相交于点 和点 ． 已知点 的横坐标是 2 ， 点 的纵坐标是 -4 ．
（1） 求 的值．
（2）过点 作 轴的垂线， 过点 作 轴的垂线， 在第二象限相交于点 ； 过点 作 轴的垂线， 过点 作 轴的垂线， 在第四象限相交于点 ． 求证： 直线 经过原点．
【答案】（1）解：函数与函数的图象交于点和点，且点的横坐标是2，
，
，
点的纵坐标是，
，
，
，
，
则，．
（2）解：根据函数可得点的坐标为，点的坐标为，，
∴点的坐标为，，点的坐标为，
设的表达式为，
则，，
解得：，，
则的表达式为，
当时，，
所以直线经过原点．
【解析】【分析】（1）已知两函数图象相交于点 和点 ． 已知点 的横坐标是2 ， 点 的纵坐标是-4 ， 则将分别代入两表达式中得，即可求出的值，再把代入函数中即可求出点的坐标，再将点的坐标代入中即可得出答案；
（2）根据函数可得点的坐标为，点的坐标为，，可得点的坐标为，，点的坐标为，用待定系数法求出直线的表达式，即可得证．
20．重庆火锅，源于明末清初的重庆嘉陵江畔、朝天门等码头船工纤夫的粗放餐饮方式，后随着社会的发展，历史的变迁，重庆火锅的独特风味渐渐受人们的喜爱，每逢假期，全国各地有大量游客来到重庆品尝地道美味的火锅．据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同．
（1）求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？
（2）后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价．
【答案】（1）解：设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据题意，得
解得：
经检验，是原方程的解；
答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元
（2）解：设降价元，依题意得，
解得：或（舍去）
∴降价后每份毛肚的实际售价为（元）
答：降价后每份毛肚的实际售价为元
【解析】【分析】（1）设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为， 根据第二次所购数量与第一次购进数量相同．可得出方程，解方程并检验，即可求解；
（2）设降价元，根据售价×销量=销售额，可得出，解方程，即可求解．
（1）解：设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据题意，得
解得：
经检验，是原方程的解；
答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元
（2）解：设降价元，依题意得，
解得：或（舍去）
∴降价后每份毛肚的实际售价为（元）
答：降价后每份毛肚的实际售价为元
21．某海岛位于北纬 ，全年气候温暖湿润，光照充足，非常适合种植柑橘.2022 年某合作社种植“红美人”柑橘平均亩产量为 800kg，为了提高“红美人”柑橘产量，引进先进的种植技术，到 2024 年平均亩产量达到 1352kg.
（1）若 2022 年到 2024 年种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率相同，求种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率.
（2）2025 年该合作社计划种植“红美人”柑橘面积 10 亩，每亩种植成本为 3 万元，为了扩大产量，决定增加“红美人”柑橘种植面积.经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少 0.1 万元，求该合作社应增加种植面积多少亩才保持种植总成本不变.
【答案】（1）解：设种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率为x，根据题意得：
解得，，(舍去)
“红美人”平均亩产量的年增长率为
（2）解：设2025年该合作社应增加种植面积m亩。
解得，(舍去)，
2025年该合作社应增加种植面积20亩
【解析】【分析】(1)设种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率为，根据2022年某合作社种植“红美人”柑橘平均亩产量为800kg，到2024年平均亩产量达到1352kg，列出一元二次方程解之取符合题意的值即可；
(2)设该合作社应增加种植面积m亩，根据2025年该合作社计划种植“红美人”柑橘面积10亩，每亩种植成本为3万元，种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少0.1万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可.
22．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点落在函数的图象上，点落在轴正半轴上，且．
（1）求的值；
（2）求直线所对应的函数表达式．
【答案】（1）解：，，
，，
由平移可知：线段向下平移个单位，再向右平移个单位，得到线段，
，
，
点和点在函数的图象上，
，
，
；
（2）解：直线所对应的函数表达式为．
将，代入得，，
解得，
直线所对应的函数表达式为．
【解析】【分析】（1）根据题意可得B，D点坐标，根据线段平移性质可求出A点坐标，继而得到C点坐标，将A，C点坐标代入函数解析式即可求出答案。
（2）设直线所对应的函数表达式为，根据待定系数法即可求出答案。
23．关于x 的方程．
（1）方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得：．
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得：．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程方程有两个相等的实数根可得，据此解答即可；
（2）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得出，据此解答即可．
（1）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得：．
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得：．
24．一块长方形菜地的面积是150cm2，如果它的长减少5cm，那么它就成为正方形菜地，求这个长方形菜地的长和宽
【答案】解：因为长减少5cm，菜地就变成正方形，所以设长方形的宽xm，则长为（x+5）m
根据题意得：x(x+5)=150解得：x=10，x=-15（舍去）则x+5=15
答：这个长方形菜地的长为15m，宽为10m。
【解析】【分析】设长方形的宽为x，即长为5+x，根据张方形的面积即可得到关于x的方程，求出答案即可。
25．如图，足球场边有一路灯P，在灯下足球门横梁AB在地面上的影子为CD，经测量得知CD=10.8米，已知足球门横梁AB=7.2米，高AE=BF=2.44米，
试求路灯P距地面的高度．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，
∴ ，
∴ ，
∵AE∥PG，
∴ ，
即 ，
∴PG=7.32（m），
答：路灯P距地面的高度为7.32m．
【解析】【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△PAB∽△PCD，可得比例式，同理可得，将已知条件代入计算即可求解。
26．小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为：1、2、4的三个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和为奇数，则小颖胜；若两次数字之和为偶数，则小丽胜．试分析这个游戏对双方是否公平？请用树状图或列表法说明理由．
【答案】解：根据题意可列表如下：
和 1 2 4
1 2 3 5
2 3 4 6
4 5 6 8
由表格可知，共有9种等可能结果，其中和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果．
∴，，
∴游戏对双方不公平．
【解析】【分析】利用列表法求出所有等可能的情况数，再求出概率并比较大小即可。
27．为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题：
（1）分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？
【答案】（1）解：设，
∵函数经过点，
∴，，
∴；
根据函数图象可得
∴药物燃烧时；，
设，
∵函数经过点，
∴，，
∴；
根据函数图象可得
∴药物燃烧后；
（2）解：令，则，，
答：至少需要分钟后学生才能回教室．
【解析】【分析】（1）根据（10，8），分别利用待定系数法求出药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数解析式，并根据题意写出自变量的取值范围即可；
（2）将y=1.6代入（1）所求的反比例函数解析式算出对应的x的值，再减去药物燃烧时间所用时间即可得出药物燃烧完毕后， 至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室.
（1）解：设，
∵函数经过点，
∴，，
∴；
根据函数图象可得
∴药物燃烧时；，
设，
∵函数经过点，
∴，，
∴；
根据函数图象可得
∴药物燃烧后；
（2）令，则，，
答：至少需要分钟后学生才能回教室．
28．某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台．设每台电风扇降价元．
（1）降价后平均每天的销售量为 ，每台的利润为 ．
（2）若要使每天销售利润达到1540元，求的值．
（3）请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由．
【答案】（1）24+4x；60-5x
（2）解：依题意，可列方程：
(60-5x)(24+4x)=1540，
解方程得：，
答：x的值为1或5
（3）解：不能。依题意，可列方程：（60-5x）（24+4x）=2000，
化简得x2-6x+28=0，
Δ=（-6）2-4×1×28=-76＜0．
故方程无实数根．
故该电风扇每天销售利润不能达到2000元
【解析】【解答】解：(1)降价后平均每天的销售量：24+5x÷5×4=24+4x，降价后销售的每台利润：60-5x；
故答案为：24+4x；60-5x.
【分析】(1)降价后平均每天的销售量=24+降价的钱数÷5×4，每台的利润=原利润-降价；
(2)根据每台的盈利×销售的件数=1540元，即可列方程求解；
(3)根据每台的盈利×销售的件数=2000元，即可列方程，再根据根的判别式求解.
29．近年来网上购物交易额呈逐渐增加趋势．据报道，某网上商城2013年的交易额是25亿元，2015年达到了49亿元．这两年的交易额平均年增长的百分率是多少？若该网上商城2016年的交易额以这个百分率增长，预计到2016年底交易额将达到多少亿元？
【答案】解：设这两年的交易额平均年增长的百分率是x，
由题意得：25（1+x）2=49，
解得：x1=0.4，x2=﹣2.4（舍去），
49（1+40%）=68.6（亿元）
答：2016年底将达到68.6亿元
【解析】【分析】首先设这两年的交易额平均年增长的百分率是x，提高后的交易额=提高前的交易额（1+增长率），则2014年的常量是25（1+x），2015年的产量是25（1+x）2，即可列方程求得增长率．
30．如图，在直角坐标系中，是等腰直角三角形，斜边在x轴上，且点B的坐标是，直线经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，以为边在第一象限内作正方形．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）求直线所对应的函数关系式．
【答案】（1）过点A作于M，
∵是等腰直角三角形，斜边在x轴上，点B的坐标是，
∴，
∴点A的坐标为，
∵直线经过点A，
∴，
解得；
（2）直线与x轴交于D，
∴取y=0，则，解得x=3.
∴点D的坐标为（3，0），
∴，
∵点A的坐标为，
∴点M的坐标为（1，0），
∴OM=1.
∴，
作轴于N，
∵，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线EF所对应的函数关系式为．
【解析】【分析】（1）作于M，求出A的坐标，代入函数解析式求出k；
（2）先求出点D的坐标，可得OD的长，再求出点M的坐标，可得MO，再利用MD=OD-OM求得MD的长，再利用AAS证明，从而可求得DN，EN，再利用ON=OD+DN求出ON，从而可得点E的坐标，再根据EF//AD，设出直线EF的解析式，将点E的坐标代入求出解析式．
（1）解：作于M，
∵是等腰直角三角形，斜边在x轴上，且点B的坐标是，
∴，
∴，
∵直线经过点A，
∴，
解得；
（2）∵直线经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，
∴，
∴，
∴，
作轴于N，
∵，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线EF所对应的函数关系式为．
31．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳．
【答案】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x，
由题意得：，
化简得：，
解得：（舍去）；
答：进馆人次月平均增长率为；
（2）解：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次；
由于进馆人次的月平均增长率为，
则第四个月的进馆人次为：；
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【解析】【分析】（1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据题意求出第四个月的进馆人数，再比较大小即可求出答案.
32．某公司有甲、乙两种品牌的打印机，其中甲品牌有A、B两种型号，乙品牌有C、D、E三种型号．某中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机．
（1）利用树状图或列表法写出所有的选购方案；
（2）如果各种型号的打印机被选购的可能性相同，那么C型号打印机被选购的概率是多少？
【答案】解：（1）所列树状图或列表为：
C D E
A A、C A、D A、E
选购方案：（A、C）、（A、D）、（A、E）、（B、C）、（B、D）、（B、E）．
（2）由（1）知，C型号打印机被选购的概率是=．
【解析】【分析】（1）用树状图或列表法分2步列举出所有情况即可；
（2）C型号打印机被选中的情况数除以总情况数即可．
33．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，
求：（1）AO的长；
（2）求S△BOD
【答案】解：（1）∵△OBD∽△OAC，
∴＝＝，
∵BO＝6，
∴AO＝10；
（2）∵△OBD∽△OAC，＝，
∴＝，
∵S△AOC＝50，
∴S△BOD＝18
【解析】【分析】（1）根据相似三角形对应边成比例可得＝＝，再代入BO＝6，可得出AO长；
（2）根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得＝，进而可得出S△BOD．
34．如图所示，一个农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于房墙的一边留一个宽的门．
（1）所围成矩形猪舍的长、宽分别是多少时，猪舍面积为？
（2）为做好猪舍的卫生防疫，现需要对围成的矩形进行硬底化，若以房墙的长为矩形猪舍一边的长，且已知硬底化的造价为60元/平方米，请你帮助农户计算矩形猪舍硬底化需要的费用．
【答案】（1）解：设所围成矩形猪舍平行于墙的一边长为，则垂直于墙的一边长为，
依题意得：，
解得：，，
，
，
∴，
答：所围成矩形猪舍的长、宽分别是，时，猪舍面积为；
（2）解：∵以房墙的长为矩形猪舍一边的长，
∴矩形的另一边长为
∴（元）．
答：矩形猪舍硬底化需要的费用为5040元．
【解析】【分析】（1）设所围成矩形猪舍平行于墙的一边长为xm，根据建筑材料长度和门的宽度表示出垂直于墙的一边的长度，再根据矩形面积公式列出方程求解，最后结合墙长对解进行取舍；
（2）已知以房墙的长为矩形猪舍一边的长，可先求出垂直于房墙的一边的长度，进而得到矩形猪舍面积，再根据造价求出总费用。
35．如图，有4张分别印有版西游记人物图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净.
现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，摚匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、摚匀，再从中任意取出1张卡片.求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片上的图案为“孙悟空”的概率为 .
（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张上的图案为“唐僧”的概率.
【答案】（1）
（2）两树状图为：
共有 16 种等可能的结果， 其中两次取出的 2 张卡片中至少有 1 张图案为“ 店僧”的结果数为 7， 所以两次取出的 2 张卡片中至少有 1 张图案为 “ 店僧”的概率
【解析】【解答】解：（1）第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为，
故答案为：.
【分析】(1)直接根据概率公式计算；
(2)画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的结果数，然后根据概率公式求解.
36．某种商品平均每天可销售60件，每件盈利 100元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价 1元，商场平均每天可多售出2件.据此规律，请回答：
（1）当商场日销售量为80件时，商场日盈利可达到多少元.
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 8 400 元
【答案】（1）解：因为销量增加了20件，则每件商品降价 10元，
∴日盈利为(100-10)×80=7 200(元).
（2）解：设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到 8 400 元，
由题意，得(100-x)(60+2x)=8 400，
化简，得x2-70x+1 200=0，
解得x1=30，x2=40，
∵该商场要尽快减少库存，则x=30不合题意，舍去.
∴x=40.
答：每件商品降价40元时，商场日盈利可达到 8 400 元.
【解析】【分析】（1）先求出销量增加了20件，则每件商品降价10元， 再列式求解即可；
（2）根据题意找出等量关系求出 (100-x)(60+2x)=8400， 再解方程求解即可。
37．将一块面积为 的矩形菜地的长减少 ，它就变成了正方形，求原菜地的长.
【答案】解：设原菜地的长为 ，则原矩形菜地的宽
由题意得：
解得： ， (不合题意，舍去)
答：原菜地的长为 .
【解析】【分析】设原菜地的长为 ，根据正方形的性质可得原矩形菜地的宽，再根据矩形的面积公式列出方程求解即可.
38．某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为 100 元，由于物价上涨，到2023年每辆汽车的日租金上涨到121元.
（1）求2021 年至 2023 年每辆汽车的日租金的年平均增长率.
（2）经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；每辆汽车的日租金每增加1元，就要少租出2辆.已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元.
①在每辆汽车日租金121元的基础上，设每辆汽车的日租金上涨 y元，则每辆汽车的日租金为 ▲ 元，实际能租出 ▲ 辆车；
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元 (日收益=总租金一各类费用)
【答案】（1）解：设2021年至2023年每辆汽车的日租金的年平均增长率为x.
根据题意，得100(1+x)2=121，
解得x1=0.1=10%，x2=-2.1(不符合题意，舍去).
答：2021年至2023年每辆汽车的日租金的年平均增长率为10%
（2）解：①(121+y)；(300-2y)
②根据题意，得(121+y)(300-2y)-31(300-2y)-10[300-(300-2y)]=28200，
化简、整理，得y2-50y+600=0，
解得y1=20，y2=30.
答：当每辆汽车的日租金上涨20元或30元时，该租赁公司的日收益可达28200元
【解析】【解答】解：(2)①根据题意得：在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨y元，则每辆汽车的日租金为(121+y)元，
实际能租出(300-2y)辆.
故答案为：(121+y)，(300 -2y).
【分析】(1)设2021年至2023年日租金的平均增长率为x，利用2023年每辆汽车的日租金=2021年每辆汽车的日租金×(1+2021年至2023年日租金的平均增长率)2，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)①利用每辆汽车的日租金=121+每辆汽车日租金上涨的钱数，可用含y的代数式表示出每辆汽车的日租金：利用实际能租出的数量=300-2×每辆汽车日租金上涨的钱数，即可用含y的代数式表示出实际能租出的数量；
②利用日收益=总租金-各类费用，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论.
39．今年是农历癸卯年，即兔年，如图，现有三张正面印有不同兔图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小希从中随机抽取一张卡片，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求小希两次抽出的卡片图案相同的概率．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意画树状图如下：
共有6个等可能的结果，小希两次抽出的卡片图案相同的结果有3种，
∴（小希两次抽出的卡片图案相同）．
故答案为：
【分析】根据题意画出树状图，进而得到共有6个等可能的结果，小希两次抽出的卡片图案相同的结果有3种，再根据等可能事件的概率即可求解。
40． 如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，AD： BD=5：3，CF=6，求 DE 的长.
【答案】解：，
∴ 四边形 BFED 是平行四边形，
，
，
，
又∵，
，
又 ，
，
.
即
【解析】【分析】根据题意得到四边形 BFED 是平行四边形，即可得到DE=BF，然后根据平行线分线段成比例得到，即可求出BC长，进而求出BF长解答即可.
41．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价/元
日销售量/件
（1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设与之间的函数表达式为，
将，代入得
，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：依题意得，
整理得，
∴，
∴该商品日销售额不能达到元．
【解析】【分析】
（1）任意选择表格中两组数据，利用待定系数法先求出与之间的函数表达式；
（2）利用销售额每件售价销售量可得出关于的一元二次方程，再利用一元二次方程根的判别式进行验证即可．
（1）解：设与之间的函数表达式为，
将，代入得
，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：
依题意得，
整理得，
∴，
∴该商品日销售额不能达到元．
42．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别是E，F，并且BE=DF。
求证；四边形ABCD是菱形。
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥DC
∴∠AEB=∠AFD=90°
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF(AAS)
∴DA=AB，
∴平行四边形ABCD是菱形
【解析】【分析】平行四边形的对角相等，得 ∠B=∠D， 结合AE⊥BC，AF⊥DC和BE=DF，由角边角定理证明△ABE全等△ADF，再由全等三角形对应边相等得DA=AB，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定 四边形ABCD是菱形 .
43．有一块长为a米，宽为b米的长方形场地，计划在该场地上修建宽均为x米的两条互相垂直的道路，余下的四块长方形场地建成草坪．
（1）已知，且四块草坪的面积和为264平方米，则每条道路的宽x为多少米？
（2）若，且四块草坪的面积和为264平方米，则原来矩形场地的长和宽各为多少米？
（3）已知，现要在场地上修建若干条宽均为2米的纵横小路，假设有m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（其中，m，n为常数），使草坪地的总面积为132平方米，则 （直接写出答案）．
【答案】（1）解：四块矩形场地可合成长为米，宽为米的长方形．
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：每条道路的宽x为2米.
（2）解：，
，
又道路的宽度米，
四块矩形场地可合成长为米，宽为米的长方形．
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
．
答：原来矩形场地的长为26米，宽为13米．
（3）25
【解析】【解答】解：（3）根据题意：
即
此时，两数之积是33，则这两个数是1和33或者3和11
1、当14-n=1时，n=13
7-m=33
m=-26（不符合题意，舍去）
2、当14-n=33时，n=-19（不符合题意，舍去）
3、当14-n=3时，n=11
7-m=11
m=-4（不符合题意，舍去）
4、当14-n=11时，n=3
7-m=3
m=4
故
故填：25
【分析】 (1)根据题意分别表示出长和宽，根据面积公式列等式得到一元二次方程，求解即可；
(2) 与(1)的思路相同，只是未知量变了；
(3)根据题意列出方程，发现2个因式的乘积是33，只有4种可能的情况，此时为确定m和n的值，分别讨论。得到m、n后再代入求值。
44．在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【答案】（1）∵反比例函数()的图象经过点A(3，4)，∴，
解得：，
∴原反比例函数解析式为：；
（2）①当直线的时，函数图象如图所示，
此时，不符合题意，舍去；
②当直线的时，函数图象如图所示，
设OC的长度为m，OB的长度为n，
∵的面积为的面积的2倍
∴，
∴，
∴OC的长为2，
∴当C点在y轴正半轴时，点C坐标为(0，2)，
∴
∵点A坐标为(3，4)，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
当C点在y轴负半轴时，点C坐标为(0， 2)，
∴
∵点A坐标为(3，4)，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
综上所述，直线解析式为：或.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可；
（2）分以及两种情况讨论直线解析式的位置，再结合的面积为的面积的2倍建立方程即可.
45．如图， 为正方形 对角线的交点， 平分 ， 交 于点 ， 延长 到点 ，使 ， 连结 ， 交 的延长线于点 ， 连结 ．
（1） 求证： ．
（2） 判断 与 之间有何关系， 请证明你的结论．
（3） 若 ， 求正方形 的边长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，
∵CF=CE，
∴△BCE≌△DCF（SAS）
∴∠BEC=∠DFC.
（2）解：OG∥BF，OG=BF；理由如下：
由（1）得∠BEC=∠F，
∵∠BEC+∠CBE=90°，
∴∠F+∠CBE=90°，
∴∠BGF=90°，
∴∠BGF=∠BGD=90°，
∵BE平分∠DBF，
∴∠DBG=∠CBG，
∵BG=BG，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴DG=FG，
∵O是正方形ABCD的对角线的交点，
∴O是BD的中点，
∴OG是△DBF的中位线，
∴OG∥BF，OG=BF.
（3）解：设BC=a，
则DC=BC=a，BF=BD=a，CF=BF-BC=（-1）a，
在Rt△DCF中，
a2+[(-1)a]2=12-6，
解得，a=±，
∵a＞0，
∴a=.
答：正方形ABCD的边长为.
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得BC=CD，∠BCD=∠DCF，结合已知用边角边可证△BCE≌△DCF，然后根据全等三角形的性质可求解；
（2）OG∥BF，OG=BF；理由如下：结合（1）的结论，首先用ASA判断出△DBG≌△FBG，得DG=FG，由正方形性质得O点是BD的中点，则OG是三角形DBF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可求解；
（3）设BC=a，在Rt△DCF中，用勾股定理可得关于a的方程，解方程即可求解.
46．已知矩形，，，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G．
（1）如图①；当时，连接，求的长；
（2）如图②，当边经过点D时，延长交于点P，求的长；
（3）连接，点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ．
【答案】（1）解：连接、，
∵是矩形，
∴，
又∵，，
∴，
由旋转可得，
∴；
（2）解：如图，连接，
由题意可知，在 中，，
根据勾股定理得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
【解析】【解答】解：（3）连接，交于点O，连接，，
∵是矩形，
∴，
∵点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，
根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，最大为：，
故答案为：．
【分析】（1） 连接、，由勾股定理求出AC=， 由旋转可得， 再利用勾股定理求出CF即可；
（2）连接，由勾股定理求出ED的长，再求出，从而得出DP=DA=5，利用PE=PD-DE计算即可；
（3）连接，交于点O，连接，，易得是的中位线，可得，解得点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，求出此时MB的长即可.
47．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
（1）“快乐方程”的“快乐数”为________；
（2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
【答案】（1）
（2）解：方程，
∴，
∵，
∴，
又方程是“快乐方程”，
∴4m+13是完全平方数，
∴或36，
∴，（舍去），
∴方程为可化为：，
∴，
故其“快乐数”数是；
（3）解：∵为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
设，a为整数，
则，
∴或或或或或或或
解得或或（舍）或(舍)，
∴方程为：或；
∵为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
，
当时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得：或（舍），
当时，，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得：，
综上，n的值为0或3．
【解析】【解答】解：（1）由定义可得：方程的“快乐数为：，
故答案为：；
【分析】（1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”；
（2）先计算，再跟m的取值范围得到4m+13的取值范围，再根据“快乐方程”为完全平方数，得到或36，最后根据m为整数，确定m的值，再代入方程，求其“快乐数”即可；
（3）由关于x的一元二次方程是“快乐方程”，计算，并令，分解因式即可求出整数m的值，再求出方程的“快乐数”，最后根据“开心数”的定义即可求出n的值．
48．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在函数y=（k>0，x>0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=（k>0，x>0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．
【答案】（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，∵ 点D的坐标为（4，3）， ∴ OF＝4，DF＝3，∴ OD＝5， ∴ AD＝5，∴ 点A坐标为（4，8）， ∴ k＝xy=4×8=32，∴ k＝32；
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数（x＞0）的图象D’点处，过点D’做x轴的垂线，垂足为F’．
∵DF＝3，∴D’F’=3，∴点D’的纵坐标为3，∵点D’在的图象上，∴ 3 ＝，解得＝， 即∴菱形ABCD平移的距离为．
【解析】【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、反比例函数的图象与性质以及图形的平移.（1）根据D点坐标利用勾股定理求得OD＝5，从而可得点A的坐标，代入反比例函数可得ｋ的值；
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数（x＞0）的图象D’点处，由题意可得平移后的纵坐标不变，代入反比例函数求出平移后点D的横坐标，进而求出平移距离.
49．人教版数学八年级下册教材的数学活动——折纸．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为．
（1）如图1，连接，直接写出；
（2）在图1基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点，将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由；
（3）将图1中的矩形纸片换成正方形纸片，按图1步骤折叠，并延长交于点，连接得到图3，，求的长．
【答案】（1）解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
垂直平分，
，
又再一次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，
，
是等边三角形，
，
．
（2）解：由（1）得，
四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
由折叠得，，
，
四边形是菱形．
（3）解：四边形是正方形，，，
由折叠得，，，
，，
，
，
∵，
，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）依据折叠的性质可得到是等边三角形，进而得到的度数，再根据折叠的性质即可求出的度数；
（2）根据是等腰三角形，利用三线合一即可得到，再判定四边形是平行四边形即可；
（3）利用HL可以证明，从而得到，再根据“所对的直角边等于斜边的一半”得出，最后根据勾股定理即可求出．
（1）解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
垂直平分，
，
又再一次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，
，
是等边三角形，
，
．
（2）解：由（1）得，
四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
由折叠得，，
，
四边形是菱形．
（3）解：四边形是正方形，
，，
由折叠得，，，
，，
，
，
∵，
，
∴，
在中，，
∴，
∴．
50．王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22-22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x-1）2+3的最小值为 ．
（2）求代数式x2+10x+32的最小值．
（3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
【答案】（1）3
（2）解：x2+10x+32＝x2+10x+25-25+32＝（x+5）2+7，
∵（x+5）2≥0，∴（x+5）2+7≥7．
当（x+5）2＝0时，（x+5）2+7的值最小，最小值是7，
∴x2+10x+32的最小值是7；
（3）解：
＝-（x2-6x）+5
＝-（x2-6x+9-9）+5
＝-（x-3）2+3+5
＝-（x-3）2+8，
∵（x-3）2≥0，
∴-（x-3）2≤0，
∴-（x-3）2+8≤8，
∴当（x-3）2＝0时，-x2+2x+5有最大值，最大值是8．
【解析】【解答】解：（1）当x=1时， （x-1）2+3有最小值，为3.
【分析】（1）直接代入x=1即可得出答案；
（2）对代数式x2+10x+32 进行配方，从而得出答案；
（3）对 代数式进行配方，根据-＜0，可得该代数式的最大值.
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