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【解答题强化训练·50道必刷题】北师大版数学九年级下册期末总复习
1．已知y=（m+1）是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小．
（1）求m的值；
（2）当自变量的值为多少时，函数有最值？最值是多少？
2．已知在直角中，，，，求和大小．
3．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．
4．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°．求∠BAD的度数．
5．已知如图：为测量一个圆的半径，采用了下面的方法：将圆平放在一个平面上，用一个含有30°角的三角板和一把无刻度的直尺，按图示的方式测量（此时，⊙O与三角板和直尺分别相切，切点分别为点C、点B），若量得AB＝5cm，试求圆的半径以及 的弧长.
6． 如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝3米，CD＝28米．∠CDE＝127°．已知小华的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．（参考数据：，）
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F．
（1）求证：CB平分∠ABD；
（2）若AB＝8，AD＝6，求CF的长．
8．如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
9．小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图1所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动．如图2是将其放置在水平桌面上的正面示意图，镜面为圆形，底座上的固定点A，B所在直线经过镜面的圆心O，如图3是其侧面示意图．现测得底座最高点A到桌面高为，C为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分）为．
（1）在镜面转动的过程中，求镜面上的点D到桌面的最短距离（即图3中的长）．
（2）如图4小兴妈妈通过转动镜面，测得，求此时镜面上的点D到桌面的距离．（精确到，参考数据：，，）
10．已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0
（1）试判断△ABC的形状．
（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．
11．如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°．居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
12．北京冬奥会首钢滑雪大跳台以飘带曲线构筑的建筑外形十分优美、流畅，向世界传递出了中国式的浪漫.某小组开展数学实践活动，在大跳台另一侧进行测量.如图，已知测倾器高度为1米，在测点A处安置测倾器，测得点P处的仰角∠PBE＝45°，在与点A相距7.8米的测点C处安置测倾器，测得点P处的仰角∠PDE＝50°（A，C与Q在一条直线上），求首钢大跳台起点到地面的高度PQ.（参考数据：tan50°≈1.20，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，计算结果精确到1米）
13．如图，在热气球上A处测得塔顶B的仰角为52°，测得塔底C的俯角为45°，已知A处距地面98米，求塔高BC．（结果精确到0.1米）
【参考数据：sin52°=0.79，cos52°=0.62，tan52°=1.28】
14．如图，甲地、乙地分别是小雨和小新两家的自留地，他们两家都用来种西瓜，两块地的四周都是宽度相同的田埂，甲地的面积是240m2．
（1）若小新家的地比小雨家的地多了50%，则小新家地的面积是 m2；
（2）在（1）的条件下，求田埂的宽度．
（3）小雨家今年的西瓜大丰收，若种西瓜的成本是0.5元/斤，以2元/斤进行销售时，每天可销售50斤西瓜，经调查发现：每斤西瓜隆价0.1元，每天就可多销售10斤西瓜，市场规定售价不得低于每斤1.5元，问定价为多少元时，每天获得的利润最大．
15．为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测，某高架路有一段限速每小时60km的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A 的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220m到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点的俯角是 45（注：四边形ABDC是梯形）。
（参考数据：
（1）求限速道路AB 的长.（结果精确到1m）
（2）如果李师傅在道路AB 上行驶的时间是1m in 20s，请判断他是否超速，并说明理由.
16．如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，E点是BC的中点，F是AB延长线上一点且FB=1．
（1）求经过点O、A、E三点的抛物线解析式；
（2）点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时△OAP的面积为2，请求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
17．城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：
18．已知抛物线的顶点坐标为(1，﹣2)，与y轴交于点(0，﹣4)，求抛物线的解析式．
19．如图③，点E，D分别是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且△ABE与△BCD能相互重合，DB的延长线交AE于点F．
（1）在图①中，求∠AFB的度数
（2）在图②中，∠AFB的度数为 度，图③中，∠AFB的度数为 度
（3）继续探索，可将本题推广到一般的正n边形情况，用含n的式子表示∠AFB的度数．
20．已知抛物线与直线交于点．
（1）求和的值；
（2）写出抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）对于二次函数，当在什么范围时，随的增大而减小
21．某风景区，风轩亭B在翠微阁A的正南方向，两个景点被一座小山阻隔，计划在A、B之间修建一条直通景观隧道（如图）．为测量A、B两点之间距离，在一条东西方向的公路l上选择P、Q两点分别观测A、B，已知点A在点P的北偏东方向上，点B在点Q的北偏东方向上，米，米，试求A、B两点之间的距离．（精确到1米，其中，）
22．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连结AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥BP于F．若AB=12，当点P在⊙O上运动时，线段EF的长会不会改变．若会改变，请说明理由；若不会改变，请求出EF的长．
23．如图，灯塔A在港口O的北偏东 方向上，且与港口的距离为80海里，一艘船上午9时从港口O出发向正东方向航行，上午11时到达B处，看到灯塔A在它的正北方向．试求这艘船航行的速度．（结果保留根号）
24．如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度（精确到0.1米）．（参考数据： ≈1.73）
25．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
26．在综合实践课上王老师带领大家利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=3m，经测量，得到其它数据如图所示，其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m.请你根据以上数据计算广告牌的高度GH.
27．如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度AB=60m，拱高PD=18m.
（1）求圆弧所在圆的半径OP的长.
（2）当水位上涨至跨度只有30m时，必须要采取紧急措施.若水位上涨至离拱顶4m，即PE=4m，此时是否需要采取紧急措施
28．如图，在中，，以为直径的与边交于点D．
（1）E为边上一点，添一个条件，使直线是的一条切线，并证明；
（2）在（1）的条件下，若，求的直径．
29． 16 世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行的过程.如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地平线的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭第二级.
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km.
①直接写出a，b的值.
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离.
（2）当a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km
30．已知函数y＝ax2﹣（2a+1）x+（a﹣1）的图象与坐标轴有且只有两个交点，求a的值．
31．图（1）为深圳某大型商场的自动扶梯、图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了3m，发现日光灯刚好在他的正上方，已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m．
（1）求图中到一楼地面的高度；
（2）求日光灯到一楼地面的高度．（，结果精确到0.1）
32．为了满足市民健身需求，市政部门在某公园内沿湖边修建了四边形循环步道，如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向米处．（参考数据：，，）
（1）求的长度（结果精确到米）；
（2）小沙准备从点跑步到点去见小渝，小沙决定选择一条较短线路，请计算说明小沙应选择路线，还是路线？
33．如图，已知反比例函数，的图象与直线交于点，，两点分别在轴和轴的正半轴上，为的中点，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线的表达式和的值．
34．光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n＝称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．明明制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点A按固定角度从空气射入液面（介质），如图2，装入某液体（介质），使光线折射后恰好落到点C，直线GH为法线．已知∠1＝53°，液面高度CF为12 cm，正方形ABCD的边长为30 cm．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求PE的长；
（2）求该液体（介质）的折射率n．
35．每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确
到个位，参考数据： ）
36．某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图.身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53°.如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75， .）
37．某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1： 3 ．在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 3 ≈1.73．）
38．现有一块直角三角形的材料， cm， cm，用它截下一个矩形，如图是截法示意图，求这种截法下矩形的最大面积是多少？
39．位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）
40．一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线形.当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面.已知球门高OB为，现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门.（忽略其他因素）
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？
41．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1： 的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈ ，计算结果用根号表示，不取近似值）．
42．如图，斜坡AB的坡角为33°，BC⊥AC，现计划在斜坡AB中点D处挖去部分坡体，用于修建一个平行于水平线CA且长为12m的平台DE和一条坡角为45°的新的陡坡BE．建筑物GH距离A处36米远（即AG为36米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角为36°．图中各点均在同一个平面内，且点C、A、G在同一条直线上，HG⊥CG，求建筑物GH的高度．（结果精确到1m）
（参考数据：sin33°，cos33°，tan33°，sin36°，cos36°，tan36°）
43．研究发现课堂上进行当堂检测效果很好.每节课40分钟，假设老师用于精讲的时间（单位：分钟）与学生学习收益的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间（单位：分钟）与学生学习收益的关系如图2所示（其中是抛物线的一部分，为抛物线的顶点），且用于当堂检测的时间不超过用于精讲的时间.
（1）老师精讲时的学生学习收益与用于精讲的时间之间的函数关系式为 ；
（2）求学生当堂检测的学习收益与用于当堂检测的时间的函数关系式；
（3）问“高效课堂”模式如何分配精讲和当堂检测的时间，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最大？（）
44．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，C为的中点，点D在线段上（），连接，将绕点C逆时针旋转得到，旋转角为（），连接，．
（1）求的值；
（2）如图，当点恰好落在y轴上时，交y轴于点E，求证：；
（3）当点D的坐标为，且时，求点的坐标．
45．已知点P的坐标为，点Q在x轴上（不与P重合），以为边，作菱形，使点M落在反比例函数的图象上．
（1）如图所示，若点P的坐标为，求出图中点M的坐标；
（2）点时，在（1）图中已经画出一个符合条件的菱形，请您在原图上画出另一个符合条件的菱形，并求点的坐标；
（3）随着m的取值不同，这样的菱形还可以画出三个和四个．当符合上述条件的菱形刚好能画出四个时，请求出m的取值范围．
46．抛物线y=ax2+bx﹣ 分别交x轴于点A（﹣1，0），C（3，0），交y轴于点B，抛物线的对称轴与x轴相交于点D．点P为线段OB上的点，点E为线段AB上的点，且PE⊥AB．
（1）求抛物线的表达式；
（2）计算 的值；
（3）请直接写出 PB+PD的最小值为 ．
47．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3：4（即斜面的铅直高度AF与水平宽度BF的比）.已知斜坡CD的长度为20m，∠C=18°，求斜坡AB的长.（结果精确到0.1m，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
48．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，F 是( 上一点，且 连结CF 并延长交AD的延长线于点 E，连结AC.
（1） 若 求 的度数.
（2）若⊙O的半径为4，且. ，求 AC 的长.
49．已知二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大．
（1）求的值．
（2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上．
若，求的最大值．
若，且时，始终有，求的值．
50．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，其中点的坐标为，抛物线与y轴交于点，，与抛物线交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，为第一象限内抛物线上的点，过点作，垂足为，将沿翻折得到，当点在轴上时，求点的坐标；
（3）如图②，连接，为轴正半轴上的点，若，求直线的解析式．
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【解答题强化训练·50道必刷题】北师大版数学九年级下册期末总复习
1．已知y=（m+1）是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小．
（1）求m的值；
（2）当自变量的值为多少时，函数有最值？最值是多少？
【答案】（1）解：∵（m+1）是关于x的二次函数，
∴m2+m=2，解得m=1或-2，
∵当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴m+1＜0，即m＜-1．
所以m=-2，m=1（不符合题意，舍）；
（2）解：当x=0时，y最大=0．
【解析】【分析】(1)根据二次函数的定义可知m=1或-2，图象当 x＞0时，y随x的增大而减小，说明开口向下，所以m＜-1，故m=-2；
(2)二次函数在顶点处有最值，由解析式可知该二次函数顶点坐标为(0，0)，所以当x=0时，y有最大值，且y最大=0．
2．已知在直角中，，，，求和大小．
【答案】解：∵在直角中，，，，，
∴，，即，
∴，
【解析】【分析】在直角中，由锐角三角函数cosA=并结合已知可求出AB的值；根据特殊角的三角函数值可求得∠A的度数，然后由直角三角形两锐角互余可求解.
3．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．
【答案】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3），得
解得
所以，所求函数的解析式为 ．
．
所以，这个函数图象的顶点坐标为（3，4），
对称轴为直线x = 3．
【解析】【分析】利用待定系数法将A、B、C的坐标分别代入中，可得关于a、b、c的三元一次方程组，解出a、b、c的值即得，然后将其化为顶点式，即可得出结论.
4．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°．求∠BAD的度数．
【答案】解：连结BD.
∵∠DBA=∠ACD=15°，∠BDA=90°，
∴∠BAD=75°
【解析】【分析】连接BD，如图，由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后由圆周角定理的推论可得∠ABD=∠ACD=15°，通过计算即可求出∠BAD的度数．
5．已知如图：为测量一个圆的半径，采用了下面的方法：将圆平放在一个平面上，用一个含有30°角的三角板和一把无刻度的直尺，按图示的方式测量（此时，⊙O与三角板和直尺分别相切，切点分别为点C、点B），若量得AB＝5cm，试求圆的半径以及 的弧长.
【答案】解：如图，连接OB，OA，OC，
则∠BAC＝180°﹣60°＝120°∠OBA＝∠OCA＝90°，
∵AB＝AC
∴△OBA≌△OCA
∴∠BAO＝ ∠BAC＝60°，
OB＝AB tan60°＝5 .
由以上可得∠BOA＝∠COA＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴ ＝2×5 π× ＝ π，
所以圆的半径以及 的弧长分别为：5 ， π.
【解析】【分析】连接OB，OA，OC，证明△OBA≌△OCA，从而得出∠BAO=60°，然后利用三角函数算出半径，利用弧长公式算出弧长.
6． 如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝3米，CD＝28米．∠CDE＝127°．已知小华的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．（参考数据：，）
【答案】解：过点E作EF⊥BD交BD的延长线于F，
设EF＝x米，
∵∠CDE＝127°，
∴∠DEF＝127°－90°＝37°，
在Rt△EDF中，tan∠DEF＝，
则DF＝EF tan∠DEF≈x，
由题意得：∠ACB＝∠ECF，
∵∠ABC＝∠EFC＝90°，
∴△ABC∽△EFC，
∴，即，
解得：x＝22.4，
∴，
∴（米），
答：DE的长度约为28米．
【解析】【分析】过点E作EF⊥BD交BD的延长线于F，设EF=x米，利用正切表示出DF长，证明△ABC∽△EFC，利用相似三角形性质得到关于x的分式方程求解x，最后利用正弦计算DE长.
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F．
（1）求证：CB平分∠ABD；
（2）若AB＝8，AD＝6，求CF的长．
【答案】（1）证明：∵ OC∥BD
∴∠OCB＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴CB平分∠ABD；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
由勾股定理得：，
∵ OC∥BD ，AO＝BO，
∴AF＝DF，
，
∵直径AB＝8，
∴OC＝OB＝4，
∴CF＝OC﹣OF＝4
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠OCB＝∠DBC，再根据等边对等角可得∠OCB＝∠OBC，及∠OBC＝∠DBC，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（2）根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，根据勾股定理可得DB，再根据平行线成比例定理可得，则AF＝DF，再根据三角形中位线定理可得OF，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
【答案】解：过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，由题意得：AC=40×10=400（米）．在直角△ACM中，∵∠A=30°，∴CM= AC=200米，AM= AC=200 米．在直角△BCM中，∵tan20°= ，∴BM=200tan20°，∴AB=AM﹣BM=200 ﹣200tan20°=200（ ﹣tan20°），因此A，B两地的距离AB长为200（ ﹣tan20°）米．
【解析】【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半和勾股定理，求出CM=AC÷2、AM的值，再由解直角三角形中正切的定义，求出BM=200tan20°，得到AB=AM﹣BM的值.
9．小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图1所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动．如图2是将其放置在水平桌面上的正面示意图，镜面为圆形，底座上的固定点A，B所在直线经过镜面的圆心O，如图3是其侧面示意图．现测得底座最高点A到桌面高为，C为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分）为．
（1）在镜面转动的过程中，求镜面上的点D到桌面的最短距离（即图3中的长）．
（2）如图4小兴妈妈通过转动镜面，测得，求此时镜面上的点D到桌面的距离．（精确到，参考数据：，，）
【答案】（1）解：∵直径，
．
∵A，B，O在同一水平面上，A到桌面的高为，
，
．
（2）解：过点D作交于点M（如图），
∵
∵
，
∵，
镜面上的点到桌面的最短距离
．
【解析】【分析】（1）根据圆的性质，经过圆心的直径最大，圆心外端的圆上点最远点，圆心内端的圆上点最近点，确定这两个点的位置，然后根据线段的和差DH=OH-OD计算即可求解；
（2）过点D作交于点M，根据锐角三角函数sin∠ODM=可求得OM的值，然后根据线段的和差MH=OH-OM计算即可求解．
10．已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0
（1）试判断△ABC的形状．
（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．
【答案】解：（1）∵（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，
∴tanA=1，sinB=，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，或者∠A=45°，∠B=120°，∠C=180°﹣45°﹣120°=15°，
∴△ABC是锐角三角形或钝角三角形；
（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，
∴原式=（1+）2﹣2﹣1，
=．
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论；
（2）根据（1）中∠A及∠B的值求出∠C的数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
11．如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°．居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
【答案】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F．
则AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，
EN＝AM，NF＝MC，
则DF＝CD－CF＝16.6－1.6＝15．
在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，
∴NF＝DF＝15．
∴EN＝EF－NF＝35－15＝20．
在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝ ，
∴BE＝EN·tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6°．
∴AB＝BE＋AE＝28.6＋1.6≈30．
答：居民楼AB的高度约为30m．
【解析】【分析】过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE=MN=CF=1.6，EF=AC=35，再根据锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度．
12．北京冬奥会首钢滑雪大跳台以飘带曲线构筑的建筑外形十分优美、流畅，向世界传递出了中国式的浪漫.某小组开展数学实践活动，在大跳台另一侧进行测量.如图，已知测倾器高度为1米，在测点A处安置测倾器，测得点P处的仰角∠PBE＝45°，在与点A相距7.8米的测点C处安置测倾器，测得点P处的仰角∠PDE＝50°（A，C与Q在一条直线上），求首钢大跳台起点到地面的高度PQ.（参考数据：tan50°≈1.20，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，计算结果精确到1米）
【答案】解：延长BD交PQ于点F，如图所示：
，，
，
，
，
设，
在中，，
，
，
则，
，
，
即，
解得：，
即，
，
，
答：首钢大跳台起点到地面的高度为47.8m.
【解析】【分析】延长BD交PQ于点F，则PF=BF，设PF=BF=x，根据三角函数的概念可得DF，由BF-DF=BD=7.8可得x的值，然后根据PQ=PF+FQ进行计算.
13．如图，在热气球上A处测得塔顶B的仰角为52°，测得塔底C的俯角为45°，已知A处距地面98米，求塔高BC．（结果精确到0.1米）
【参考数据：sin52°=0.79，cos52°=0.62，tan52°=1.28】
【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
由题意可知，在Rt△ADC中，
∠ADC=90°，∠CAD=45°，CD=98，
∴∠ACD=∠CAD=45°．
∴AD=CD=98．
在Rt△ABD中，
BD=AD×tan∠BAD=98×1.28=125.44．
∴BC=BD+CD=125.44+98=223.44≈223.4（米）．
答：塔高BC约为223.4米．
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据∠ACD=∠CAD=45°求出∠ACD=∠CAD=45°，从而得到AD=CD=98，再在Rt△ABD中，求出BC的长．
14．如图，甲地、乙地分别是小雨和小新两家的自留地，他们两家都用来种西瓜，两块地的四周都是宽度相同的田埂，甲地的面积是240m2．
（1）若小新家的地比小雨家的地多了50%，则小新家地的面积是 m2；
（2）在（1）的条件下，求田埂的宽度．
（3）小雨家今年的西瓜大丰收，若种西瓜的成本是0.5元/斤，以2元/斤进行销售时，每天可销售50斤西瓜，经调查发现：每斤西瓜隆价0.1元，每天就可多销售10斤西瓜，市场规定售价不得低于每斤1.5元，问定价为多少元时，每天获得的利润最大．
【答案】（1）360
（2）解：设田埂的宽度为x m，
由题意得：33x+33x+3x（22﹣2x）+240+360＝22×33，
解得x1＝1，x2＝21，
当x＝21时，22﹣2x＝22﹣2×21＝﹣20＜0，不符题意，舍去，
答：田埂的宽度为1m．
（3）解：设每斤西瓜应降y元，利润为w元，
由题意得：
＝﹣y2+100y+75，
＝﹣100（x﹣0.5）2+100，
当y＝0.5时，售价为2﹣y＝1.5，符合题意，
∴当定价为1.5元时，每天获得的利润最大．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得m2 ，
故答案为：360 .
【分析】（1）直接利用甲地的面积乘以（1+50%）代入数据计算即可求解；
（2）设田埂的宽度为x m， 根据田埂、甲、乙三者的面积之和等于大长方形的面积，得到关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的x的值即可求解；
（3）设每斤西瓜应降y元，利润为w元， 根据利润=（售价-成本）列出w关于y的二次函数，由二次函数的性质即可求解.
15．为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测，某高架路有一段限速每小时60km的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A 的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220m到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点的俯角是 45（注：四边形ABDC是梯形）。
（参考数据：
（1）求限速道路AB 的长.（结果精确到1m）
（2）如果李师傅在道路AB 上行驶的时间是1m in 20s，请判断他是否超速，并说明理由.
【答案】（1）解：如图，作，
，，，
设，
，
，
，
，解得，
.
（2）解：，
，
答：他超速了.
【解析】【分析】(1)设，利用锐角三角函数表示出CE、DE、DF的长度，由CD=220m可列出方程，解得，即可求得AB的长度.
(2)利用路程公式求得李师傅的速度，即可知超速了，单位的转换是本题易错点.
16．如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，E点是BC的中点，F是AB延长线上一点且FB=1．
（1）求经过点O、A、E三点的抛物线解析式；
（2）点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时△OAP的面积为2，请求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）A的坐标是（2，0），E的坐标是（1，2）．
设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：．
则抛物线的解析式是y=﹣2x2+4x；
（2）当△OAP的面积是2时，P的纵坐标是2或﹣2．
当﹣2x2+4x=2时，解得：x=1，则P的坐标是（1，2）；
当﹣2x2+4x=﹣2时，解得：x=1±，
此时P的坐标是（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2）；
（3）AF=AB+BF=2+1=3．
OA=2，则A是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；
当F是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；
当Q是直角顶点时，Q到AF的距离是AF=，若Q存在，则Q的坐标是（2﹣，），即（﹣，），不在抛物线上，总之Q不存在．
【解析】【分析】（1）首先确定A和E的坐标，利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）根据三角形的面积公式即可求得P的纵坐标，进而求得P的坐标；
（3）分成A是直角顶点，F是直角顶点，Q是直角顶点三种情况进行讨论，确定若构成等腰直角三角形时，Q是否在抛物线上即可．
17．城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：
【答案】解：如图，建立平面直角坐标系，
由题意知：，，
∵抛物线的最高点B，
∴设抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴，
∴ (米)，
答：步行通道的宽的长约为3.2米．
【解析】【分析】先建立平面直角坐标系，根据题意设抛物线的解析式为，再将点A代入即可得到抛物线的解析式，进而令即可求出x，从而得到，再根据即可求解；
18．已知抛物线的顶点坐标为(1，﹣2)，与y轴交于点(0，﹣4)，求抛物线的解析式．
【答案】解：∵抛物线的顶点坐标为(1，﹣2)，
∴设抛物线的解析式为 ，
∵抛物线经过点(0，﹣4)，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ．
【解析】【分析】利用待定系数法求函数解析式即可。
19．如图③，点E，D分别是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且△ABE与△BCD能相互重合，DB的延长线交AE于点F．
（1）在图①中，求∠AFB的度数
（2）在图②中，∠AFB的度数为 度，图③中，∠AFB的度数为 度
（3）继续探索，可将本题推广到一般的正n边形情况，用含n的式子表示∠AFB的度数．
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABE=∠BCD=120°．
∵△ABE与△BCD能相互重合，
∴∠E=∠D，∠DBC=∠BAE．
∵∠FBE=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠ACB=60°
（2）90；108
（3）解：由（1）（2）可知，在正n边形中，∠AFB=
【解析】【解答】解：
图②中，∵△ABE与△BCD能相互重合，
∴∠E=∠D．
∵∠FBE=∠CBD，∠D+∠CBD=90°，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=90°；
同理可得，图③中∠AFB=108°．
故答案为：90°，108°
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出∠AC=60°，再由补角的定义可得出∠ABE与∠BCD的度数，根据△ABE与△BCD能相互重合可得出∠E=∠D，∠DBC=∠BAE，由三角形外角的性质可得出结论；
（2）根据（1）中的方法可得出△BEF∽△BDC，进而可得出结论；
（3）根据（1）（2）的结论找出规律即可．
20．已知抛物线与直线交于点．
（1）求和的值；
（2）写出抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）对于二次函数，当在什么范围时，随的增大而减小
【答案】（1）解：∵ 点在 直线 上，
∴3=2m-1，
∴m=2，
∴点M（2，3）
∵点M（2，3）在 抛物线 上，
∴3=2×22+n
∴n=-5
∴m=2，n=-5。
（2）解：由（1）得：，
∴ 抛物线的顶点坐标 ：（0，-5）；对称轴是：直线x=0(或者说是y轴）。
（3）解： 二次函数中，2＞0，对称轴为y轴，
∴当x≤0时，y随x的增大而减小。
【解析】【分析】（1）先根据点在 直线 上，可求得m的值，然后再根据点M在抛物线 上，即可求得n的值；
（2）根据抛物线的解析式，可直接得出 抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）根据二次函数的二次线的系数以及抛物线的对称轴，即可得出当x≤0时，y随x的增大而减小。
21．某风景区，风轩亭B在翠微阁A的正南方向，两个景点被一座小山阻隔，计划在A、B之间修建一条直通景观隧道（如图）．为测量A、B两点之间距离，在一条东西方向的公路l上选择P、Q两点分别观测A、B，已知点A在点P的北偏东方向上，点B在点Q的北偏东方向上，米，米，试求A、B两点之间的距离．（精确到1米，其中，）
【答案】解：如图：
由题意得：，，，
在中，BQ=1200米，
∴（米），
（米），
∵米，
∴（米），
在中，（米），
∴（米），
∴A、B两点之间的距离约为米．
【解析】【分析】结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可。
22．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连结AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥BP于F．若AB=12，当点P在⊙O上运动时，线段EF的长会不会改变．若会改变，请说明理由；若不会改变，请求出EF的长．
【答案】解：EF的长不会改变．EF=6．
∵OE⊥AP于E，OF⊥BP于F，
∴AE=EP，BF=FP，
∴EF= AB=6．
【解析】【分析】由于OE、OF都经过圆心，且垂直于AP、BP，由垂径定理知E、F分别是AP、PB的中点，即EF是△APB的中位线，由此可得到EF= AB=6，因此EF的长不会改变．
23．如图，灯塔A在港口O的北偏东 方向上，且与港口的距离为80海里，一艘船上午9时从港口O出发向正东方向航行，上午11时到达B处，看到灯塔A在它的正北方向．试求这艘船航行的速度．（结果保留根号）
【答案】解：由题意知：∠AOB＝30°，
在Rt△AOB中，OB＝OA×cos∠AOB＝80× ＝40 （海里），
航行速度为： （海里/时）．
【解析】【分析】利用直角三角形性质边角关系，BO＝AO×cos30°求出BO，然后除以船从O到B所用时间即可．
24．如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度（精确到0.1米）．（参考数据： ≈1.73）
【答案】解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x，
在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=100，
∴DE=50，CE=50 ，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，
∴BC=x
则AF=AB﹣BF=AB﹣DE=x﹣50
DF=BE=BC+CE=x+50 ，
在Rt△AFD中，∠ADF=30°，tan30°= ，
∴ ，
∴x=50（3+ ）≈236.5，
经检验：x=50（3+ ）是原分式方程的解．
答：山AB的高度约为236.5米.
【解析】【分析】根据山顶A的仰角为45°可得出 △ABC是等腰三角形，所以AB=BC。设 AB=x，得出AF和DF关于x的关系式。根据tan30°=，把AF和DF关于x的关系式代入，解得x的值即可。
25．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
【答案】解：（1）设y=kx+b，
根据题意得
解得：
∴y=－2x+200
∵ 物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元 ，
∴30≤x≤60，
∴y关于x的函数关系式为：y=－2x+200（30≤x≤60）；
（2）该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式：
W=（x－30）（－2x+200）－450
=－2x2+260x－6450
=－2（x－65）2+2000（30≤x≤60）；
（3）W =－2（x－65）2+2000
∵-2＜0，且30≤x≤60在对称轴直线x=65的左侧，
∴w所x的增大而增大，
∴x=60时，w有最大值为1950元
∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大利润为1950元.
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，然后把 当x=60时 ，y=80；x=50时，y=100 分别代入，可得关于字母k、b得方程组，求解得出k、b的值，从而得到y关于x的函数关系式；进而根据“ 物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元 ”即可得到x的取值范围；
（2）根据利润=每千克化工原料的利润×销售数量-每天支付的其它费用，可建立出w关于x的函数关系式；
（3）根据（2）所得二次函数的增减性并结合x的取值范围求解即可.
26．在综合实践课上王老师带领大家利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=3m，经测量，得到其它数据如图所示，其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m.请你根据以上数据计算广告牌的高度GH.
【答案】解：延长CD交AH于点E，
设DE=x，则BE= x，
∵∠A=30°，
∴ = = ，
∴x=5 -4.5，
∴GH=EC=5 -1.5（m）
答：GH的长为（5 -1.5）m.
【解析】【分析】延长CD交AH于点E，设DE=x，则BE=x，CE=3+x，AE=10+x，根据∠A的正切函数可得x，据此解答.
27．如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度AB=60m，拱高PD=18m.
（1）求圆弧所在圆的半径OP的长.
（2）当水位上涨至跨度只有30m时，必须要采取紧急措施.若水位上涨至离拱顶4m，即PE=4m，此时是否需要采取紧急措施
【答案】（1）解：
如图，连接OA，
由垂径定理知，OP⊥AB，AD=AB=30m，
设OP=OA=x m，则OD=(x-18)m，
根据勾股定理知：OA2=AD2+OD2
∴x2=302+（x-18）2，
∴x=34
∴ 圆弧所在圆的半径OP的长 为34米
（2）解：
如图，连接OA'，
此时PE=4m，OA'=OP=34m，
∴OE=OP-PE=30m，
由勾股定理知：OA'2=A'E2+OE2，
∴342=A'E2+302，
∴A'E=16，
∴A'B'=32m，
∵32>30，
∴ 此时不需要采取紧急措施
【解析】【分析】⑴根据垂径定理及勾股定理列式求半径即可.
⑵根据垂径定理及勾股定理求A'E的长，从而得A'B'的长，再根据题意判定 是否需要采取紧急措施 .
28．如图，在中，，以为直径的与边交于点D．
（1）E为边上一点，添一个条件，使直线是的一条切线，并证明；
（2）在（1）的条件下，若，求的直径．
【答案】（1）解：添加E为的中点，
连接，如图，
则，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线．
（2）解：由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的直径长为．
【解析】【分析】（1）添加E为的中点，连接，根据等边对等角可得，再根据圆周角定理可得，则，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）由题意可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据勾股定理可得BD，再代入等式即可求出答案.
29． 16 世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行的过程.如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地平线的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭第二级.
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km.
①直接写出a，b的值.
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离.
（2）当a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km
【答案】（1）解：
∵抛物线 经过点(9，3.6)，∴ 81a +9 = 3.6，解得 直线 经过点(9，3.6)，( 解得b=8.1.
∴ 抛 物线 的 最 高 点 的 坐 标为
令 整理，得 15x+36=0，解得 (不合题意，舍去)，
在 中，令y=2.4，则 解得x=11.4.∵11.4-3=8.4(km)，
∴ 这两个位置之间的距离为8.4km
（2）解：在 中，当x=9时，y=81a+9.
∴ 火箭第二级的引发点的坐标为(9，81a+9).
设火箭落地点与发射点的水平距离为15km，则直线 经过点(9，81a+9)，(15，0).
解得
∴当 时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km
【解析】【分析】(1) ①将(9，3.6)代入即可求解；
②将 x变为 即可确定顶点坐标，得出y=2.4km，进而求得当y=2.4km时，对应的x的值，然后求差计算即可；
(2)求出当x=9时，y=81a+9， 分别将(9，81a+9)，(15，0)代入，求出a的值解答即可.
30．已知函数y＝ax2﹣（2a+1）x+（a﹣1）的图象与坐标轴有且只有两个交点，求a的值．
【答案】解：当a＝0时，函数为一次函数，图象为直线，正确；
当a≠0时，函数为二次函数，图象为抛物线，
①抛物线与x轴和y轴各有一个交点，则有（2a+1）2﹣4×a（a﹣1）＝0，
解得a＝；
②抛物线与x轴有两个交点，且有一个是原点，则有a﹣1＝0，
解得a＝1，
∴a的值为0或1或．
【解析】【分析】分两种情况：①a=0，②a≠0，再分别求解即可。
31．图（1）为深圳某大型商场的自动扶梯、图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了3m，发现日光灯刚好在他的正上方，已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m．
（1）求图中到一楼地面的高度；
（2）求日光灯到一楼地面的高度．（，结果精确到0.1）
【答案】（1）解：过点作于
设
的坡度为1：2.4
在Rt中，由勾股定理得：
解得：
答：到一楼地面的高度为5m．
（2）解：过点作于，过点作于，交BH于，如图所示：
则，四边形BGFH、四边形ADJH是矩形，
，
由（2）知
在Rt中，，
，
答：日光灯到一楼地面的高度为10.4m．
【解析】【分析】（1）过点作于，设，根据坡度比可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）过点作于，过点作于，交BH于，则，四边形BGFH、四边形ADJH是矩形，，根据矩形性质可得，由（2）知，根据边之间的关系可得AF，再根据正切定义可得CI，再根据边之间的关系即可求出答案.
32．为了满足市民健身需求，市政部门在某公园内沿湖边修建了四边形循环步道，如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向米处．（参考数据：，，）
（1）求的长度（结果精确到米）；
（2）小沙准备从点跑步到点去见小渝，小沙决定选择一条较短线路，请计算说明小沙应选择路线，还是路线？
【答案】（1）解：过点作交于点，如图，
由题意，得 ，
在中，，
∴，
在中，，且，
∴，
又∵，
∴的长度为米；
（2）解：由（）得：，，
∴，
在中，，且，
∴，
，
∴路线长为：，
路线长为：，
∴小沙应选择路线．
【解析】【分析】（1）过点作交于点，由题意得，，进而结合题意解直角三角形即可求出AD；
（2）由（）得，，进而得到AC，再根据题意解直角三角形求出AB、CB，从而即可求解。
33．如图，已知反比例函数，的图象与直线交于点，，两点分别在轴和轴的正半轴上，为的中点，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线的表达式和的值．
【答案】（1）解：过点作轴于点
，两点分别在轴和轴的正半轴上，为的中点，
，
∴
，两点的坐标分别为，
∴，
∴．
把代入中，得．
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：设直线的表达式为
直线过点，，两点的坐标分别为，，，，
，
即
即直线的表达式为，
由（1）知．，
在中，由勾股定理，得，
在中，，
．
【解析】【分析】（1）根据题意结合图形，可由全等或者一次函数解析式求出C点的坐标为（-1，2），代入解析式即可求出k值；
（2）直线AC上的三点坐标都已知，任意选两点用待定系数法都可以求出解析式；求角的余弦值首先要把这个角放在直角三角形中，故过C作CDY轴于D，根据余弦的定义，利用C点坐标即可求得。
34．光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n＝称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．明明制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点A按固定角度从空气射入液面（介质），如图2，装入某液体（介质），使光线折射后恰好落到点C，直线GH为法线．已知∠1＝53°，液面高度CF为12 cm，正方形ABCD的边长为30 cm．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求PE的长；
（2）求该液体（介质）的折射率n．
【答案】（1）解：∵正方形ABCD，
∴∠B＝∠BCD＝90°，AB//CD，
由题意可知EF//BC，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴□BCFE为矩形，
∴∠AEF＝∠EFC＝90°，BE＝CF=12，BC＝EF＝30，
∴AE＝AB－BE＝18，
∵GH为法线，
∴AB//GH//AC，
∴∠1＝∠EAB，
∴tan∠EAB＝＝，
∴PE＝24 cm．
（2）解：由（1）知PE＝24，EF＝30，
∴PF＝6，
∴在Rt△PFC中有PC＝，
∵GH//AC，
∴sin∠2＝sin∠PCF＝，
∴n＝．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到：进而可证明：四边形BCFE为平行四边形，且四边形BCFE为矩形，则据此求出AE的长度，根据GH为法线，则进而得到：最后利用锐角的三角函数的定义即可求出PE的长度；
（2）结合（1）可知：即可求出PF的长度，然后根据题意和三角函数的定义得到：最后根据折射率的计算公式计算即可.
35．每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确
到个位，参考数据： ）
【答案】解：过点A作AE⊥CD于点E，
∵∠BAC＝15°，
∴∠DAC＝90°﹣15°＝75°，
∵∠ADC＝60°，
∴在Rt△AED中，
∵ ，
∴DE＝2，
∵ ，
∴AE＝2 ，
∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△AEC中，
∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝75°﹣30°＝45°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣45°＝45°，
∴AE＝CE＝2 ，
∴ ，
∴AC＝2 ，
∴ 米．
答：这棵大树AB原来的高度是10米．
【解析】【分析】过点A作AE⊥CD于点E，由∠BAC＝15°可求出∠DAC的度数，在Rt△AED中由∠ADE＝60°，AD＝4可求出DE及AE的长度，在Rt△AEC中由直角三角形的性质可得出AE＝CE，故可得出CE的长度，再利用锐角三角函数的定义可得出AC的长，进而可得出结论．
36．某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图.身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53°.如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75， .）
【答案】解：延长BC交AD于点E，
∵BM＝CN且CN⊥DM，BM⊥DM
∴BM∥CN，
∴四边形BCNM是平行四边形，
∵∠CNM＝∠BMN＝90°
∴四边形BCNM是矩形，
同理：四边形CEDN是矩形，
∴DE＝CN＝BM＝1.6米
∠AEC＝90°
∵BC＝MN，
设AE=x米，
∵tan53°＝ ，tan30°＝ ，
∴CE＝ ≈0.75x， ≈1.73x，
∴BC＝BE－CE＝1.73x－0.75x＝0.98x，
又MN＝0.98，
∴0.98x＝0.98，
∴x＝1，
即AE＝1米
∵DE＝CN＝BM＝1.6米
∴AE＋DE＝1+1.6＝2.6米
答：测温门顶部A处距地面的高度约为2.6米.
【解析】【分析】延长BC交AD于点E，由题意根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BCNM是平行四边形， 再根据有一个角是直角的平行四边形是居可得四边形BCNM是矩形，同理可得四边形CEDN是矩形，则DE＝CN＝BM，设AE=x米，根据锐角三角函数tan53°＝ ，tan30°＝ 可将CE和BE用含x的代数式表示出来，由线段的构成BC＝BE－CE可将BC用含x的代数式表示出来，由BC=MN可得关于x的方程，解方程可求得x的值，然后根据测温门顶部A处距地面的高度=AE＋DE可求解.
37．某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1： 3 ．在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 3 ≈1.73．）
【答案】解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．
∵在Rt△BCF中，
=i=1：，
∴设BF=k，则CF= 3k ，BC=2k．
又∵BC=12，
∴k=6，
∴BF=6，CF= 6．
∵DF=DC+CF，
∴DF=40+6 ．
∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=，
∴AH=tan37°×（40+6）≈37.785（米），
∵BH=BF﹣FH，
∴BH=6﹣1.5=4.5．
∵AB=AH﹣HB，
∴AB=37.785﹣4.5≈33.3．
答：大楼AB的高度约为33.3米．
【解析】【分析】延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．在Rt△BCF中，由锐角三角函数得=i=1：，则设BF=k，则CF= 3k ，BC=2k．由BC的长求出k=6；从而得出BF=6，CF= 6；在Rt△AEH中，由锐角三角函数定义tan∠AEH=得AH≈37.785，又由BH=BF﹣FH得BH=4.5，由AB=AH﹣HB，得AB的值．
38．现有一块直角三角形的材料， cm， cm，用它截下一个矩形，如图是截法示意图，求这种截法下矩形的最大面积是多少？
【答案】解：∵四边形BFED是矩形，
∴EF∥CB，
∴ ，
∵ ，
∴△AEF∽△ACB，
∴ ，
∵ cm， cm，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ （ ），
∴当 时，S有最大值 ；
∴这种截法下矩形的最大面积是1200 cm2．
【解析】【分析】先求出 △AEF∽△ACB， 再利用相似三角形的性质计算求解即可。
39．位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）
【答案】解：∵在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，∴BC=2.3m，∵在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，∴tan70.5°= = ≈2.824，解得：AD≈4.2，答：像体AD的高度约为4.2m
【解析】【分析】根据解直角三角形的定义得到tan70.5°的值，求出像体AD的高度.
40．一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线形.当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面.已知球门高OB为，现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门.（忽略其他因素）
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？
【答案】（1）解：根据题意，可知抛物线的顶点坐标为（2，3），
设抛物线的函数表达式为 y＝a（x 2）2＋3，
把A（8，0）的坐标代入，得36a＋3＝0，
解得a＝，
∴抛物线的函数表达式为y＝（x 2）2＋3，
∴当x＝0时，y＝＞2.44，
∴球不能射进球门.
（2）解：设小明带球向正后方移动bm，则移动后的抛物线的函数表达式为y＝（x 2 b）2＋3，
把（0，2.25）代入得2.25＝（x 2 b）2＋3，
解得：b1＝1或b2＝ 5（不合题意，舍去），
∴当小明带球向正后方移动1m射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
【解析】【分析】（1）先利用顶点式求出二次函数的解析式y＝（x 2）2＋3，再将x=0代入求出y的值即可。
（2）将（0，2.25）代入解析式可得得2.25＝（x 2 b）2＋3，再求出b的值即可.
41．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1： 的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈ ，计算结果用根号表示，不取近似值）．
【答案】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．在Rt△BDN中，BD=30，BN：ND=1： ，∴BN=15，DN=15 ，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BN=15，BM=CN=60 ﹣15 =45 ，在Rt△ABM中，tan∠ABM= = ，∴AM=×45=60，∴AC=AM+CM=15+60 ．
【解析】【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在Rt△BDN中求出线段BN，在Rt△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题．本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．
42．如图，斜坡AB的坡角为33°，BC⊥AC，现计划在斜坡AB中点D处挖去部分坡体，用于修建一个平行于水平线CA且长为12m的平台DE和一条坡角为45°的新的陡坡BE．建筑物GH距离A处36米远（即AG为36米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角为36°．图中各点均在同一个平面内，且点C、A、G在同一条直线上，HG⊥CG，求建筑物GH的高度．（结果精确到1m）
（参考数据：sin33°，cos33°，tan33°，sin36°，cos36°，tan36°）
【答案】解：如图，把线段ED向两边延长，分别交BC于点F，交HG于点M，过点D作DP⊥AC，垂足为P．那么∠BFD=90°，∠DMH=90°，DP=MG，
∵新修建的斜坡BE的坡角为45°，
∴∠BEF=45°，
∴BF=EF，
∵斜坡AB的坡角为33°
∴∠DAC=∠BDF=33°，
∴tan∠BDF=，DE=12米，
∴，
∴BF≈18米，FD≈30米，
在BFD和DPA中，
，
∴BFDDPA，
∴DP=BF≈18米，PA=FD≈30米，
在矩形DPGM中，
MG=DP≈18米，
DM=PG=PA+AG≈30+36=66(米)，
在RtDMH中，HM=DM tan36°≈66≈46.2（米），
则GH=HM+MG≈46.2+18≈64（米）．
答：建筑物GH高约为64米．
【解析】【分析】把线段ED向两边延长，分别交BC于点F，交HG于点M，过点D作DP⊥AC，垂足为P，先利用解直角三角形的方法求出BF和FD的长，再利用“AAS”证明△BFD△DPA可得DP=BF≈18，PA=FD≈30，再利用线段的和差可得DM的长，然后利用解直角三角形可得HM的长，最后利用线段的和差可得HG的长。
43．研究发现课堂上进行当堂检测效果很好.每节课40分钟，假设老师用于精讲的时间（单位：分钟）与学生学习收益的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间（单位：分钟）与学生学习收益的关系如图2所示（其中是抛物线的一部分，为抛物线的顶点），且用于当堂检测的时间不超过用于精讲的时间.
（1）老师精讲时的学生学习收益与用于精讲的时间之间的函数关系式为 ；
（2）求学生当堂检测的学习收益与用于当堂检测的时间的函数关系式；
（3）问“高效课堂”模式如何分配精讲和当堂检测的时间，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最大？（）
【答案】（1）（）
（2）解：当时，
∵经过原点，且知顶点坐标为：A（8，64）
可设学习收益与当堂检测时间的关系是.
经过原点，
∴
∴a=－1.
（）.
当时，
学习收益与当堂检测时间的关系是.
（3）解：设当堂检测的时间为分钟（），则老师在课堂用于精讲的时间为分钟.
当时，，
当时，；
当时，，
随的增大而减小，
当时，，
综上，当时，取得最大值129，此时，
因此精讲33分钟，当堂检测7分钟，学习收益最大.
【解析】【解答】解：图1为正比例函数，设y1=kx（k≠0）
∵当x=1时，y=2，
∴k=2.
y1=2x（）
故答案为：y1=2x（）
【分析】（1）由图1可得y1是x的正比例函数，设y1=kx（k≠0），代入点坐标，即可得到y1关于x的函数关系式；
（2）由图2得y2是分段函数，第1段为抛物线，经过原点且已知顶点坐标，于是可设抛物线为顶点式，代入原点坐标即可求得抛物线解析式；第2段为平行于x轴的线段.于是可得关于x的函数关系式；
（3）因为y2是分段函数，高效课堂模式的时间分配也需要分段.每段把两个函数加起来即学习收益总量，得到每段的函数表达式后再计算每段的最大值，最后得到最大收益时的时间分配.
44．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，C为的中点，点D在线段上（），连接，将绕点C逆时针旋转得到，旋转角为（），连接，．
（1）求的值；
（2）如图，当点恰好落在y轴上时，交y轴于点E，求证：；
（3）当点D的坐标为，且时，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴，，
（2）证明：如图1，
由旋转的性质可得，
又，
∴，
∴，
∴，
又∵，
（3）解：∵C为的中点，∴，，
设，
①当在y轴左侧时，如图2，此时，
过点作轴于点M，过点C作，交的延长线于点N，
，
∴，
∴，
∴，
，①
，，
，
由勾股定理，得，
即，②
联立①②，解得或，
，
；
②当在y轴右侧时，如图3，此时，
过点作轴于点M，过点C作于点N，
同理可得：，
∴，
，①
，，
，
由勾股定理，得，
即，②
联立①②，解得或，
，
∴；
综上，的坐标为或
【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点，分别令y=-2x+4中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，可求出A、B两点坐标，再根据两点间的距离公式算出AB即可；
（2）由旋转的性质得，结合对顶角相等，由有两组角对应相等的两个三角形相似证得，由相似三角形对应边成比例得出，推出，进而根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得结论；
（3）①当在y轴左侧时，如图2，此时，过点作轴于点M，过点C作，交的延长线于点N，由等角的同名三角函数值相等并结合正切函数定义可得①，根据两点间的距离公式及勾股定理可得②，联立①②，求解可得点B'的坐标；②当在y轴右侧时，如图3，此时，过点作轴于点M，过点C作于点N，同理求解即可.
（1）解：∵直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴，，
即，，
；
（2）解：如图1，
由旋转的性质可得，
又，
∴，
∴，
∴，
又∵，
；
（3）解：∵C为的中点，
∴，，
设，
①当在y轴左侧时，如图2，此时，
过点作轴于点M，过点C作，交的延长线于点N，
，
∴，
∴，
∴，
，①
，，
，
由勾股定理，得，
即，②
联立①②，解得或，
，
；
②当在y轴右侧时，如图3，此时，
过点作轴于点M，过点C作于点N，
同理可得：，
∴，
，①
，，
，
由勾股定理，得，
即，②
联立①②，解得或，
，
∴；
综上，的坐标为或．
45．已知点P的坐标为，点Q在x轴上（不与P重合），以为边，作菱形，使点M落在反比例函数的图象上．
（1）如图所示，若点P的坐标为，求出图中点M的坐标；
（2）点时，在（1）图中已经画出一个符合条件的菱形，请您在原图上画出另一个符合条件的菱形，并求点的坐标；
（3）随着m的取值不同，这样的菱形还可以画出三个和四个．当符合上述条件的菱形刚好能画出四个时，请求出m的取值范围．
【答案】（1）解：如图，过点M作于T，设
，
是等边三角形，
，
，即，
解得：
（2）解：如图，过点作轴，交y轴点R，
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
由，解得或，
（3）如图，在x轴上分别取点，作，且轴，轴，
则，
，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
直线，直线，
如图，当过点P与x轴的夹角为的直线与反比例函数的交点的个数只有3个时，满足
条件的菱形只有3个，
设直线解析式为
，
，整理得：，
，
或
当时，，令，，
当时，，令，，
当或时，能做出菱形4个
【解析】【分析】（1）过点M作于T，设，表示PT和PM，然后根据勾股定理求出a的值解题；
（2）过点作轴，交y轴点R，此案求出点P、R的坐标，然后根据待定系数法求求出直线的解析式，联立两直线解析式求交点坐标即可解题；
（3）把问题转化为过点P与x轴的夹角为60°的直线与反比例函数图象的交点个数问题解答即可．
（1）解：如图，过点M作于T，设
，
是等边三角形，
，
，即，
解得：
；
（2）解：如图，过点作轴，交y轴点R，
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
由，解得或，
；
（3）如图，在x轴上分别取点，作，且轴，轴，
则，
，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
直线，直线，
如图，当过点P与x轴的夹角为的直线与反比例函数的交点的个数只有3个时，满足
条件的菱形只有3个，
设直线解析式为
，
，整理得：，
，
或
当时，，令，，
当时，，令，，
当或时，能做出菱形4个
46．抛物线y=ax2+bx﹣ 分别交x轴于点A（﹣1，0），C（3，0），交y轴于点B，抛物线的对称轴与x轴相交于点D．点P为线段OB上的点，点E为线段AB上的点，且PE⊥AB．
（1）求抛物线的表达式；
（2）计算 的值；
（3）请直接写出 PB+PD的最小值为 ．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点A（﹣1，0），C（3，0），
∴ ，解得： ，
∴抛物线的表达式y= x2﹣ x﹣
（2）解：当x=0时，y= x2﹣ x﹣ =﹣ ，
∴点B的坐标为（0，﹣ ）．
∵A（﹣1，0），B（0，﹣ ），
∴OA=1，OB= ，
∴AB=2，
∴sin∠ABO= ，
∴∠ABO=30°，
又∵PE⊥AB，
∴ =sin∠PBE=
（3）
【解析】【解答】解：（3）∵PE= PB，
∴过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE交y轴于点P，此时 取最小值．
∵A（﹣1，0），D（1，0），
∴AD=2．
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=30°，
∴AE= AD=1，
∴DE= ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【分析】（1）将A、C两点的坐标代入二次函数，求出二次函数解析式。
（2）根据正弦函数的定义，得到=sin∠PBE，求解出值。
（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE交y轴于点P，根据角的关系，求出最小值。
47．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3：4（即斜面的铅直高度AF与水平宽度BF的比）.已知斜坡CD的长度为20m，∠C=18°，求斜坡AB的长.（结果精确到0.1m，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
【答案】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，
由题意得：AF⊥BC，DE=AF，
∵斜面AB的坡度i=3：4，
∴=，
∴设AF=3x米，则BF=4x米，
在Rt△ABF中，AB===5x（米），
在Rt△DEC中，∠C=18°，CD=20米，
∴DE=CD sin18°≈20×0.31=6.2（米），
∴AF=DE=6.2米，
∴3x=6.2，
解得：x=，
∴AB=5x≈10.3（米），
∴斜坡AB的长约为10.3米．
【解析】【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，根据题意可得：AF⊥BC，DE=AF，再根据已知可设AF=3x米，则BF=4x米，然后在Rt△ABF中，利用勾股定理求出AB的长，再在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出AF的长，最后进行计算即可解答．
48．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，F 是( 上一点，且 连结CF 并延长交AD的延长线于点 E，连结AC.
（1） 若 求 的度数.
（2）若⊙O的半径为4，且. ，求 AC 的长.
【答案】（1）解：
∴∠DCF=∠BAC=25°.
∵四边形ABCD 内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∴ ∠ADC=180°-∠ABC=75°.
又∵∠ADC=∠DCE+∠E，
∴∠E=∠ADC-∠DCE=50°.
（2）解：∵ 四边形ABCD 内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=2∠ADC，
∴∠ABC=120°，∠ADC=60°，
如图，连结OA，OC，过点O 作OM⊥AC 于点M，
∴∠AOC=2∠ADC=120°，
∵OA=OC，OM⊥AC，
2 ，
∴ AC=2AM=4 .
【解析】【分析】 (1) 由四边形ABCD内接于圆，已知∠ABC=105°，根据圆内接四边形对角互补，可得∠ADC=75°，结合DF=BC，利用弦长相等对应圆周角相等，推导出∠DCE=∠BAC=25°，进而通过三角形外角或角度差求得∠E即可；
(2) 已知∠B=2∠ADC，结合圆内接四边形对角互补的条件，解出∠ADC=60°，进而通过圆心角与弦长的关系，结合三角函数的边角关系，计算AC的长度.
49．已知二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大．
（1）求的值．
（2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上．
若，求的最大值．
若，且时，始终有，求的值．
【答案】（1）函数，，
二次函数的顶点横坐标为，二次函数顶点横坐标为，
二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大，
，
（2）点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上，
，，
，
，
，
时，有最大值；
，
，
，
，
，
整理得，，
即，
，，
时，始终有，
的值不会随的变化而变化，
【解析】【分析】(1)分别求出两个函数的对称轴，建立方程求解即可；
(2)①先表示出，，再利用x2=2x1+1代入n表达式中，然后表示出，利用二次函数最值求解即可；
②同①表示出n-m=-2tx1-2x1-t2+2t=3t，建立关于t的方程求解即可.
50．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，其中点的坐标为，抛物线与y轴交于点，，与抛物线交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，为第一象限内抛物线上的点，过点作，垂足为，将沿翻折得到，当点在轴上时，求点的坐标；
（3）如图②，连接，为轴正半轴上的点，若，求直线的解析式．
【答案】（1）解：∵抛物线过点和，
代入可得：，
∴，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：延长EP交x轴于点H，如图所示：
令，可得
解得：，，
∴．
设点，则，
∵点，，，
∴点坐标为，
∴，.
∵CD//AB，PE⊥CD，
∴PE⊥x轴，
∴∠COF=∠PHF=90°，H(m，0).
∴OH=m.
根据翻折的性质可得，
∴∠CFP=∠AEP=90°，CF=CE=m，，
∴∠OCF+∠OFC=∠OFC+∠PFH，
∴∠OCF=∠PFH，
∴∴，
∴．即，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
整理得：，
解得：．
∵，
∴，
∴点的坐标为．
（3）解：由（2）得：，
∴OB=4.
令，可得解得：，，
∴．
∴OC=CD=3，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴∠CDO=∠COD=45°.
∴∠DOB=∠COK－∠COD=45°=∠COD，
∵， OD=OD，
∴，
∴OC=OB=4.
∴．
设直线的解析式为．
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）延长EP交x轴于点H，求得点B的坐标，设点，可得，于是可表示出PE和CE的长，由翻折的性质可得∠CFP=∠AEP=90°，CF=CE=m，，于是可证明，利用三角形的相似可得，代入数值可得，．再根据勾股定理以及可得，即可得点E的坐标．
（3）由点B的坐标得OB=4；求得，于是可证明△OCD是等腰直角三角形，进而可得∠DOB=∠COD=45°，利用ASA证明，利用全等三角形的性质可得OC=OB=4，故，再利用待定系数法求一次函数解析式即可．
（1）解：∵抛物线过点，
∴．
将代入，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：根据翻折的性质可得，如图③，过点作，垂足为．
令，可得
解得：，，
∴．
设点，，
又∵点，，
∴点坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴．
在中，，
∴，
∴，
整理可得：，
解得：．
∵，
∴，
∴点的坐标为．
（3）解：令，可得
解得：，，
∴．
如图④，过点作，垂足为．
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
即．
设直线的解析式为．
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
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