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【填空题强化训练·50道必刷题】人教版数学九年级下册期末总复习
1．反比例函数的图象在第一、三象限，那么 ．
2． .
3．小明的身高为1.6米，他在阳光下的影长为0.8米，同一时刻，测得校园的旗杆的影长为4.5米，则该旗杆的高为 米.
4．已知A（2，y1），（3，y2）是反比例函数y＝ （k＜0）的两点，则y1 y2.
5．若则 .
6．在菱形 中， ，其周长为 ，则菱形的面积为 ．
7．如图所示，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为 时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似？
8．如图，平行于x轴的直线分别交反比例函数和的图像于点A和点B，点C是x轴上的动点，则的面积为 ．
9．如果，那么 ．
10．如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进米到点，又测得仰角为，已知该高楼的高度为米，则 米．
11．如果两个相似多边形面积的比为25：49，则它们的相似比为 ．
12．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若，则△ABC与△DEF的面积比为 .
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝ .
14．小明在空中距地面30米的热气球上看向地面上的一个雕塑，如果此时热气球与雕塑相距50米，那么小明看雕塑时的俯角约等于 度(备用数据：sin37°＝cos53°≈0.6)
15．如图，方桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影（正方形）示意图，已知方桌边长1.2 m，桌面离地面1.2 m，灯泡离地面3.6 m，则地面上阴影部分的面积为 ．
16．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O， ，则 ＝ ．
17．如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上，请添加一个条件： ，使△ADE∽△ACB．
18．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点A、B两点，点C在x轴上运动，连接 ，点Q为 中点，若点C运动过程中， 的最小值为1，则点B的坐标为 ．
19．如图，某景区门口的柱子上方挂着一块景点宣传牌CD，宣传牌的一侧用绳子AD和BC牵引着两排小风车，经过测量得到如下数据：AM＝2米，AB＝4米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长度约为 米．（ ≈1.73，结果精确到0.1米）
20．在南海阅兵式上，某架“直-8”型直升飞机在海平面上方1200米的点A处，测得其到海平而观摩点B的俯角为60°，此时点A、B之间的距离是 米.
21．如果 ＝ ，那么 ＝ ；
22．若反比例函数的图象经过点，则k的值是 .
23．如图，直线，如果，，，那么线段BE的长是 ．
24．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为1．当时，的取值范围是 ．
25．正方形的边长与对角线的比是 ；等边三角形的边长与高的比是
26．如图，l1∥l2∥l3，已知AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，CH＝ cm.
27．如图，反比例函数 的图象经过A，B两点，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，连结AD，已知 .则 = .
28．如图，梯形 中， ， ，且 交 于点 ， ．如果 ， ，那么 的长是 ．
29．如图，在 中， ， ，延长 至点 ，使 ，则 .
30．直线y＝2x＋b与反比例函数y＝的图象交于A（1，m），B（﹣2，n）两点，点C（2，t）也在该反比例函数的图象上，则m，n，t的大小关系为 ．（用“＜“连接）
31．已知：如图，在中，点是斜边的中点，过点作于点，连接交于点；过点作于点，连接交于点；过点作于点，…，如此继续，可以依次得到点，，…，，分别记，，，…，的面积为，，，…，设的面积为1，则 （用含n的代数式表示）.
32．如图，在矩形中，，，是上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，若时，则 ．
33．在△ABC中，CO是AB边上的中线，∠AOC＝60°，AB＝2，点P是直线OC上的一个动点，则当△PAB为直角三角形时，边AP的长为 .
34．如图，在 中， ，点D、E分别在 、 上，点F在 内.若四边形 是边长为1的正方形，则 .
35． 如图，是一个长为，宽为，高为的长方体纸盒，当一只小蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到点时，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长度是 ．
36．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为 ．
37．如图，在中，，分别是边，上的点，，重心在上，若，则四边形的面积为 ．
38．如图，直线 轴于点 ，且与反比例函数 及 的图象分别交于A，B两点，连结OA，OB，已知 的面积为4，则 .
39．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，点P在边AB上，若△APC为以AC为腰的等腰三角形，则tan∠BCP= ．
40．如图，∠MAN=60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是 .
41．如图所示的是一个长方体的表面展开图，其中四边形ABCD是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的体积是 .
42．如图，在 中，点E是 的中点， ， 的延长线交于点F.若 的面积为1，则四边形 的面积为 .
43．如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤，其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）.
44．如图，在 中， ， 于点 ， 于点 ．交 于点 ，点 在直线 上运动， ， ， ，则 的最小值是 ．
45．如图，在矩形ABCD和矩形AEGH中，AD∶AB=AH∶AE=1∶2.则DH∶CG∶BE= .
46．如图，在中，，过作于点为的角平分线，连接，过作交于点，交延长线于点．则下列四个结论，其中一定正确的是 ．（填写正确序号）
①；②；③；④．
47．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，AF⊥BC于点F，BH⊥AC于点H.交AF于点G，点D在直线AF上运动，BD＝DE，∠BDE＝135°，∠ABH＝45°，当AE取最小值时，BE的长为 .
48．如图，一次函数 与坐标轴交于 、 两点，反比例函数 与一次函数只有一个交点 ，过点 作 轴垂线，垂足为 ，若 ， ，则 的面积为 .
49．如图，在中，，，，点为上一点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，．
（1）当点D是的中点时，的最小值为 ；
（2）当，且点Q在直线上时，连接，则的值为 ．
50．如图，过原点的直线与反比例函数y= （x>0）、反比例函数y= （x>0）的图象分别交于A、B两点，过点A作y轴的平行线交反比例函数y= （x>0）的图象于C点，以AC为边在直线AC的右侧作正方形ACDE，点B恰好在边DE上，则正方形ACDE的面积为 ．
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【填空题强化训练·50道必刷题】人教版数学九年级下册期末总复习
1．反比例函数的图象在第一、三象限，那么 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】利用反比例函数的图象与系数的关系（①当k>0时，反比例函数的图象在第一、三象限；②当k<0时，反比例函数的图象在第二、四象限）可得，求出m的取值范围，最后利用二次根式的性质分析求解即可.
2． .
【答案】
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得原式=2×+3×，计算即可.
3．小明的身高为1.6米，他在阳光下的影长为0.8米，同一时刻，测得校园的旗杆的影长为4.5米，则该旗杆的高为 米.
【答案】9
【解析】【解答】设旗杆为xm，根据题意得：
，
解得：x=9.
所以旗杆为9米.
故答案为：9.
【分析】设旗杆为xm，根据在同一时刻物高与影长的比相等得到 ，然后利用比例性质求出x即可.
4．已知A（2，y1），（3，y2）是反比例函数y＝ （k＜0）的两点，则y1 y2.
【答案】＜
【解析】【解答】解：∵反比例函数y＝ 的k＜0，
∴x＞0时，y随着x的增大而增大，
∵2＜3，
∴y1＜y2，
故答案为：＜.
【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数增减性，结合函数的横坐标，即可得到答案.
5．若则 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故答案为.
【分析】将已知的等式变形可将a用含b的代数式表示，然后将a代入所求代数式计算即可求解.
6．在菱形 中， ，其周长为 ，则菱形的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点 作 于点 ，
菱形 中，其周长为 ，
，
，
菱形 的面积 ．
故答案为： ．
【分析】过点 作 于点 ，根据菱形的四条边都相等，菱形的AB=AD=2cm，利用解直角三角形可得，利用菱形的面积=底×高，进行计算即可.
7．如图所示，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为 时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似？
【答案】1.5
【解析】【解答】解：当 ＝ 时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，
解得，x＝1.5，
故答案为：1.5.
【分析】根据相似多边形的定义列出比例式，代入计算得到答案.
8．如图，平行于x轴的直线分别交反比例函数和的图像于点A和点B，点C是x轴上的动点，则的面积为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（a，），
将y=代入中，得：，
∴点B的坐标为（，），
∴△ABC的面积为=3，
故答案为：3．
【分析】设点A的坐标为（a，），可得点B的坐标为（，），再利用三角形的面积公式可得△ABC的面积为=3。
9．如果，那么 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，即，
∴，
故答案为：．
【分析】根据可得，再求出即可。
10．如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进米到点，又测得仰角为，已知该高楼的高度为米，则 米．
【答案】30
【解析】【解答】解：根据题意可得，AB⊥DB，
在直角三角形ADB中，tan∠ADB=tan30°==，BD=45；
在直角三角形ABC中，tan∠ACB=tan60°==，BC=15；
∴CD=a=BD-BC=45-15=30；
故答案为：30.
【分析】根据题意，在直角三角形中，由锐角三角函数的定义分别求出BD和BC，作差即可得到a的值。
11．如果两个相似多边形面积的比为25：49，则它们的相似比为 ．
【答案】5：7
【解析】【解答】解：因为两个相似多边形面积的比为 ，且 ，
所以它们的相似比为5：7，
故答案为：5：7．
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算即可。
12．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若，则△ABC与△DEF的面积比为 .
【答案】4：9
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AC//DF，
∴∠ACO=∠DFO，∠OAC=∠ODF，
∴△OAC∽△ODF，
∴
∴△ABC与△DEF的相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：9.
故答案为：4：9.
【分析】结合位似的性质可得△ABC与△DEF的相似比为2：3，进而可得△ABC与△DEF的面积比为4：9.
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝ .
【答案】
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBD，
∵CD∥AB，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠D＝∠CBE，
∴CD＝BC＝6，
∴△AEB∽△CED，
∴ ，
∴CE＝ AC＝ ×8＝3，
BE＝ ，
DE＝ BE＝ .
故答案为： .
【分析】由勾股定理可得AC，根据角平分线的概念可得∠ABE＝∠CBD，根据平行线的性质可得∠D＝∠ABD，推出CD＝BC＝6，证明△AEB∽△CED，然后根据相似三角形的性质计算即可.
14．小明在空中距地面30米的热气球上看向地面上的一个雕塑，如果此时热气球与雕塑相距50米，那么小明看雕塑时的俯角约等于 度(备用数据：sin37°＝cos53°≈0.6)
【答案】37
【解析】【解答】如图所示：
由题意可得出：小明看见雕塑时的俯角为∠DAB＝∠B，AC＝30m，AB＝50m，
sinB＝ ＝0.6，
故∠B＝37°．
故答案为37．
【分析】根据题意画出图形，进而得出∠DAB＝∠B，AC＝30m，BC＝40m，利用锐角三角函数关系求出即可．
15．如图，方桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影（正方形）示意图，已知方桌边长1.2 m，桌面离地面1.2 m，灯泡离地面3.6 m，则地面上阴影部分的面积为 ．
【答案】3.24 m2
【解析】【解答】解：根据题意由图可知，
，
由于面积比等于相似比的平方，故地面上阴影部分的面积为
×1.2×1.2=3.24m2．
【分析】将四棱锥中高的比转化为相似比解答即可。
16．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O， ，则 ＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，
∴ ，
则 ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
故答案为：
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
17．如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上，请添加一个条件： ，使△ADE∽△ACB．
【答案】∠1＝∠C或∠2＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB（答一个即可）
【解析】【解答】解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A
∴△AED∽△ABC，故添加条件∠AED=∠B可证其相似；
∵∠2=∠B，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，故添加条件∠2=∠B可证其相似；
根据两边对应成比例且夹角相等，故添加条件AD∶AC＝AE∶AB可证其相似．
故答案为∠1＝∠C或∠2＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB（答一个即可）．
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
18．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点A、B两点，点C在x轴上运动，连接 ，点Q为 中点，若点C运动过程中， 的最小值为1，则点B的坐标为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：点A、B关于原点对称，故O是 的中点，而Q为 中点，
故 是 的中位线，
则 ，故当 最小时， 也最小，
当 轴时， 最小，此时 ，
即点B的纵坐标为 ，
将点B的纵坐标代入 得： ，解得： ，
故点B的坐标为 ， ，
故答案为： ， ．
【分析】由题意得到OQ是三角形ABC的中位线，故当BC最小时，OQ也最小，当BC垂直x轴时，BC最小，此时BC=2OQ=2，即可求解。
19．如图，某景区门口的柱子上方挂着一块景点宣传牌CD，宣传牌的一侧用绳子AD和BC牵引着两排小风车，经过测量得到如下数据：AM＝2米，AB＝4米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长度约为 米．（ ≈1.73，结果精确到0.1米）
【答案】1.5
【解析】【解答】在Rt△AMD中，
∵∠DMA=90°，∠MAD=45°，AM=2米，
∴DM= （米），
∵AB＝4米，
∴BM=2+4=6（米），
在Rt△BMC中，
∴ （米），
∴ （米），
∵ ≈1.73，
∴CD≈1.5（米），
故答案为：1.5.
【分析】在Rt△AMD中求出DM长，在Rt△BMC中求出CM长，即可求出CD的长度.
20．在南海阅兵式上，某架“直-8”型直升飞机在海平面上方1200米的点A处，测得其到海平而观摩点B的俯角为60°，此时点A、B之间的距离是 米.
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意得： 米，
点A、B之间的距离是 米.
故答案为 .
【分析】根据 特殊角的三角函数值，结合直角三角形的性质，求出答案即可。
21．如果 ＝ ，那么 ＝ ；
【答案】5
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，
∴设x=3k，y=k，
∴ ；
故答案为5
【分析】根据已知条件求得x=3y，再代入求值。
22．若反比例函数的图象经过点，则k的值是 .
【答案】6
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
解得：，
故答案为：6.
【分析】将（2，3）代入y=中进行计算可得k的值.
23．如图，直线，如果，，，那么线段BE的长是 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：如图，过点D作DG∥AC交CF于点G，交BE于点H，
∵，
∴，四边形ABHD和四边形ACGD是平行四边形，
∴BH=AD=CG=2， ，
∵，
∴FG=4，
∵BE∥CF，
∴△DEH∽△DFG，
∴ ，
∴HE=1，
∴BE=BH+HE=3．
故答案为：3
【分析】过点D作DG∥AC交CF于点G，交BE于点H，先证明△DEH∽△DFG，再利用相似三角形的性质可得，再求出HE的长，最后利用BE=BH+HE计算即可。
24．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为1．当时，的取值范围是 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：由正比例函数和反比例函数的对称性得：点的横坐标为，
∴不等式的解集为或.
故答案为：或．
【分析】先根据正比例函数和反比例函数的对称性求出点B的横坐标，进而根据从图象角度看，求不等式的解集，就是求正比例函数图象在反比例函数图象下方部分对应的自变量的取值范围解答即可.
25．正方形的边长与对角线的比是 ；等边三角形的边长与高的比是
【答案】1：；2：
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°
设AB=BC=a，
则根据勾股定理得：
AC===a，
∴==；
则正方形的边长与对角线的比是；
如图所示：
∵△EFG是等边三角形，EH是高
∴EF=FG=GE，∠EFH=60°，∠EHF=90°，
∴∠FEH=30°，
设EF=FG=GE=b，
∴FH=EF=b，
则根据勾股定理得：
EH===，
∴==，
则等边三角形的边长与高的比是2：；
故答案为：；2：.
【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质及勾股定理即可得出正方形的边长与对角线的比和等边三角形的高与边长的比，计算即可得出结果.
26．如图，l1∥l2∥l3，已知AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，CH＝ cm.
【答案】5
【解析】【解答】∵直线l1∥l2∥l3，
∴ ＝ ，
∵AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，
∴ ＝ ，
解得：CH＝5（cm），
故答案为：5.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知条件求出CH即可.
27．如图，反比例函数 的图象经过A，B两点，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，连结AD，已知 .则 = .
【答案】
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥x轴于点H，交BD于点F，
∴四边形ACOH，四边形ACDF，四边形ODBE均为矩形，
∵S矩形BDOE＝4，反比例函数（x＞0）经过B点，k＞0，
∴k＝4
∴S矩形ACOH＝4，
∵AC＝1
∴OC＝4÷1＝4，
∴CD＝OC OD＝OC BE＝4 1＝3，
∴S矩形ACDF＝1×3＝3，
∴.
故答案为：.
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，交BD于点F，易证四边形ACOH，四边形ACDF，四边形ODBE均为矩形，利用反比例函数的几何意义可求出k的值及矩形ACOH的面积；再结合已知条件求出OC，CD的长，然后利用矩形的面积公式求出矩形ACDF的面积，利用反比例函数的几何意义可求出△ACD的面积.
28．如图，梯形 中， ， ，且 交 于点 ， ．如果 ， ，那么 的长是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，BE∥AD，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ AB∥CD，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】根据AB∥CD，BE∥AD得到四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质得到BE=AD，DE=AB=3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
29．如图，在 中， ， ，延长 至点 ，使 ，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：过点A 作AF⊥BC于点，过点D 作DE⊥AC交AC的延长线于点E，
∵ ，
∴∠B=∠ACF，sin∠ACF= = ，
设AF=4k，则AC=5k，CD= ，由勾股定理得：FC=3k，
∵∠ACF=∠DCE，∠AFC=∠DEC=90°，
∴△ACF∽△DCE，
∴AC：CD=CF：CE=AF：DE，即5k： =3k：CE=4k：DE，
解得：CE= ，DE=2k，即AE=AC+CE=5k+ = ，
∴在Rt△AED中， DE：AE=2k： = .
故答案为： .
【分析】通过做辅助线利用等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系，将问题转化到在Rt△AED中，求出两条直角边的长即可。
30．直线y＝2x＋b与反比例函数y＝的图象交于A（1，m），B（﹣2，n）两点，点C（2，t）也在该反比例函数的图象上，则m，n，t的大小关系为 ．（用“＜“连接）
【答案】n＜t＜m
【解析】【解答】解：∵直线y＝2x+b与反比例函数的图象交于两点A（1，m），B（﹣2，n），
∴，
解得 ，
∴反比例函数解析式为．
∵点C（2，t）也在该反比例函数的图象上，
∴C（2，2），即t＝2，
∴n＜t＜m.
故答案为：n＜t＜m．
【分析】将A、B的坐标代入直线与反比例函数解析式中可求出m、n、b、k的值，得到反比例函数解析式，然后将C（2，t）代入求出t的值，据此进行比较.
31．已知：如图，在中，点是斜边的中点，过点作于点，连接交于点；过点作于点，连接交于点；过点作于点，…，如此继续，可以依次得到点，，…，，分别记，，，…，的面积为，，，…，设的面积为1，则 （用含n的代数式表示）.
【答案】
【解析】【解答】解：，
，
，，
，
点是斜边的中点，
（三角形中位线定理），
，即，
又，
与同底等高，
，
又，
，
，
，
，
，
，即，
又，
与同底等高，
，
同理可得：，
归纳类推得：，其中n为正整数，
的面积为1，
，
故答案为：．
【分析】证明三角形相似，根据相似三角形的面积是相似比的平方，求出，归纳类推得：．
32．如图，在矩形中，，，是上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，若时，则 ．
【答案】80
【解析】【解答】解：连接，
由题意得：，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：80．
【分析】连接OF，先利用，求出，再求出点E的坐标，最后将点E的坐标代入解析式求出k的值即可.
33．在△ABC中，CO是AB边上的中线，∠AOC＝60°，AB＝2，点P是直线OC上的一个动点，则当△PAB为直角三角形时，边AP的长为 .
【答案】 或 或1
【解析】【解答】解：如图1，当∠APB＝90°，点P在CO的延长线上时，
∵AO＝BO，∴PO＝BO，
∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，
∴△BOP为等边三角形，
∴∠ABP＝60°，
∵AB＝2，
∴AP＝AB sin60°＝2× ；
如图2，当∠ABP＝90°时，
∵∠AOC＝∠BOP＝60°，
∴BP＝ ，
在直角△ABP中，由勾股定理，得AP＝ ；
如图3，当∠APB＝90°时，点P在CO上时，
∵AO＝BO，∠APB＝90°，
∴PO＝AO，
∵∠AOC＝60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP＝AO＝1；
综上，AP＝ 或 或1.
故答案为： 或 或1.
【分析】当∠ABP＝90°时，如图2，易得∠BOP＝60°，进而可利用三角函数求出BP的长，再根据勾股定理即可求出AP的长；当∠APB＝90°时，分两种情况讨论：①如图1，点P在CO的延长线上时，利用直角三角形的性质可得PO＝BO，进而可得△BOP为等边三角形，然后利用锐角三角函数可得AP的长；②如图3，点P在CO上时，易证△AOP为等边三角形，再利用等边三角形的性质可得结论.
34．如图，在 中， ，点D、E分别在 、 上，点F在 内.若四边形 是边长为1的正方形，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，
∵四边形 是边长为1的正方形，
∴∠C=90°，
∴AB= ，
∵ ，
∴ ，
∴ FM=1，
∵BF= ，
∴ .
故答案是： .
【分析】连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，由正方形的性质可得∠C=90°，利用勾股定理可得AB的值，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系可求出FM的值，由勾股定理可得BF的值，最后根据三角函数的概念求解即可.
35． 如图，是一个长为，宽为，高为的长方体纸盒，当一只小蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到点时，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长度是 ．
【答案】
【解析】【解答】
如图1，
当 小蚂蚁沿着长方体的 前面和右侧面爬行时， 蚂蚁爬行的最短路径的长度 为
如图2，
当 小蚂蚁沿着长方体的左侧面和上底面爬行时， 蚂蚁爬行的最短路径的长度 为
如图3，
当 小蚂蚁沿着长方体的前面和上底面爬行时， 蚂蚁爬行的最短路径的长度 为
∵
∴ 则这只蚂蚁爬行的最短路径的长度是
故答案为.
【分析】
把长方体展开，得到不同的三种情况，根据勾股定理，把蚂蚁爬行的路径求出了，进行比较即可.
36．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为 ．
【答案】y
【解析】【解答】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，
则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，
∵PA⊥BC，
∴∠PAC＝90°，
∴∠PAC＝∠PBD，
∴△PAC∽△PBD，
∴
∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，
∴，
∴y.
故答案为：y.
【分析】连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，由圆周角定理可得∠C＝∠D，∠PBD＝90°，证明△PAC∽△PBD，然后根据相似三角形的性质可得y与x的关系式.
37．如图，在中，，分别是边，上的点，，重心在上，若，则四边形的面积为 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：如图所示，连接并延长交于点D
∵点G是的重心
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴四边形的面积．
故答案为：10．
【分析】
此题考查了相似三角形的判定（平行）、重心的性质（重心到顶点的距离是到对边中点距离的两倍）、相似三角形的面积比等于相似比的平方的知识点.如图所示，连接并延长交于点D，根据重心的性质得到相似比，然后得到，利用平行证明出，再根据相似三角形的性质求出大三角形面积，最后用大三角形面积减去小三角形面积得到四边形面积．
38．如图，直线 轴于点 ，且与反比例函数 及 的图象分别交于A，B两点，连结OA，OB，已知 的面积为4，则 .
【答案】8
【解析】【解答】解：∵反比例函数及，
∴S△AOP=k1，S△BOP=k2，
∴△AOB的面积为k1﹣k2，
∴k1﹣k2＝4，
∴k1﹣k2＝8.
故答案为：8．
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：S△AOP=k1，S△BOP=k2，再由△AOB的面积为4可得k1﹣k2＝4，整理即可求得k1﹣k2的值.
39．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，点P在边AB上，若△APC为以AC为腰的等腰三角形，则tan∠BCP= ．
【答案】 或
【解析】【解答】∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC= =3．
如图1，当AC=AP时，作PD⊥BC于D，则BP=AB-AP=2，
∵∠C=90°，PD⊥BC，
∴PD∥AC，
∴ ，
∴ ，
解得，BD=1.6，PD=1.2，
则CD=4-1.6=2.4，
tan∠BCP= ；
如图2，当CP=CA时，作CE⊥AB于E，PD⊥BC于D，
∵∠C=90°，CE⊥AB，
∴AC2=AE·AB，
解得，AE=1.8，
∵CP=CA，
∴PE=AE=1.8，
则BP=1.4，
PD∥AC，
∴ ，
∴ ，
解得，BD= ，PD= ，
则CD=4- = ，
tan∠BCP= ，
故答案为 或 ．
【分析】利用勾股定理求出AC=3，再分类讨论，利用相似三角形的性质和锐角三角函数计算求解即可。
40．如图，∠MAN=60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是 .
【答案】 【解析】【解答】解：过点B作BC1⊥AN于点C1，BC2⊥AM于点B，交AN于点C2，
在Rt△ABC1中，∠A=60°，AB=2
∴BC1=ABsin∠A=2×sin60°=；
在Rt△ABC2中，∠A=60°，AB=2
∴BC2=ABtan∠A=2×tan60°=；
∴BC的取值范围是.
故答案为：.
【分析】点点C在射线AN上运动时，△ABC由锐角三角形变为直角三角形再变为钝角三角形，根据题意画出图形，在Rt△ABC1和Rt△ABC2中，利用解直角三角形分别求出BC1，BC2的值，即可得到BC的取值范围。
41．如图所示的是一个长方体的表面展开图，其中四边形ABCD是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的体积是 .
【答案】16 cm3
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴EF=cm，
∴AB=4Ccm，
∴原长方体的体积是4×2×2=16cm3.
故答案为：16cm3.
【分析】根据展开图中的数据可得长方体的长宽高，再根据长方体的体积公式进行计算即可求解.
42．如图，在 中，点E是 的中点， ， 的延长线交于点F.若 的面积为1，则四边形 的面积为 .
【答案】3
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，AB∥CD，点E是CD中点，
∴EC是△ABF的中位线；
在△ABF和△CEF中，
∠B=∠DCF，∠F=∠F，
∴△ABF∽△ECF，
∴ ，
∴S△ABF：S△CEF=1：4；
又∵△ECF的面积为1，
∴S△ABF=4，
∴S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3.
故答案为：3.
【分析】根据 ABCD的对边互相平行的性质及中位线的性质知EC是△ABF的中位线；然后根证明△ABF∽△CEF，再由相似三角形的面积比是相似比的平方及△ECF的面积为1求得△ABF的面积；最后根据图示求得S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3.
43．如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤，其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）.
【答案】②③
【解析】【解答】解：①∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD；
故①错误；
②作AG⊥BC于G，
∵∠ADE=∠B=α，tan∠α=，
∴，
∴，
∴cosα=，
∵AB=AC=15，
∴BG=12，
∴BC=24，
∵CD=9，
∴BD=15，
∴AC=BD．
∵∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC，∠ADE=∠C=α，
∴∠EDB=∠DAC，
在△ACD与△DBE中，
，
∴△ACD≌△BDE（ASA）．
故②正确；
③当∠BED=90°时，由①可知：△ADE∽△ABD，
∴∠ADB=∠AED，
∵∠BED=90°，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且tan∠α=，AB=15，
∴
∴BD=12．
当∠BDE=90°时，易证△BDE∽△CAD，
∵∠BDE=90°，
∴∠CAD=90°，
∵∠C=α且cosα=，AC=15，
∴cosC=，
∴CD=．
∵BC=24，
∴BD=24﹣=
即当△DCE为直角三角形时，BD=12或．
故③正确；
④易证得△BDE∽△CAD，由②可知BC=24，
设CD=y，BE=x，
∴，
∴，
整理得：y2﹣24y+144=144﹣15x，
即（y﹣12）2=144﹣15x，
∴0＜x≤，
∴0＜BE≤．
故④错误．
故正确的结论为：②③．
故答案为：②③．
【分析】①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；
②由CD=9，则BD=15，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；
③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；
④依据相似三角形对应边成比例即可求得．
44．如图，在 中， ， 于点 ， 于点 ．交 于点 ，点 在直线 上运动， ， ， ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接 ， ，
，
，
为等边三角形，
平分
平分
，
，
即
，
点轨迹为直线 ，
当 时， 最小，
此时 ，
，
故答案为：
【分析】如图，连接CG，CE．证明 ，推出 ，推出 ，推出点E的运动轨迹是直线EC，推出当AE⊥EC时，AE的值最小，再利用勾股定理求出BE即可．
45．如图，在矩形ABCD和矩形AEGH中，AD∶AB=AH∶AE=1∶2.则DH∶CG∶BE= .
【答案】
【解析】【解答】解：连接AC，AG，
∵在矩形ABCD和矩形AEGH中，
∴∠DAH+∠HAB=90°，∠BAE+∠HAB=90°，HG=AE，
∴∠DAH=∠BAE，
∵AD∶AB=AH∶AE=1∶2，
∴△ADH∽△ABE，
∴DH：BE=AD：AB=1：2，
在Rt△AHG中，HG=2AH，
∴，
∴AH：AG：AE=1：：2，
当AH与DA重合时，将矩形AHGE绕着点A旋转至矩形AHGE，
∴△ACG∽△ABE∽△ADH，
∴
∴DH：CG：BE=1：：2.
故答案为：1：：2
【分析】连接AC，AG，利用矩形的性质和余角的性质可证得HG=AE，∠DAH=∠BAE，利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ADH∽△ABE，利用相似三角形的对应边成比例，可得到DH：BE的比值，利用勾股定理可表示出AG的长，可得到AH：AG：AE的比值；再证明△ACG∽△ABE∽△ADH，利用相似三角形的对应边成比例，可求出DH：CG：BE的坐标.
46．如图，在中，，过作于点为的角平分线，连接，过作交于点，交延长线于点．则下列四个结论，其中一定正确的是 ．（填写正确序号）
①；②；③；④．
【答案】①③④
【解析】【解答】解：①∵在中，，为的角平分线，
∴，
在中，，
故结论①一定正确；
②过点作交的延长线于，如图1所示：
则，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故结论②不正确；
③过点作交的延长线于于于，如图2所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故结论③一定正确；
④∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故结论④一定正确，
综上所述：一定正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】根据角平分线定义可得，根据三角形内角和定理可得，在中，根据三角形内角和定理可判断①；过点作交的延长线于，则，根据等角对等边可得，根据平行线分线段成比例定理可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可判断②；过点作交的延长线于于于，根据补角可得∠BAP，再根据角之间的关系可得，根据角平分线性质可得，，则，再根据角平分线判定定理可得是的平分线，则，再根据三角形外角性质可得，再根据角之间的关系可判断③；根据全等三角形性质可得，根据边之间的关系可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断④.
47．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，AF⊥BC于点F，BH⊥AC于点H.交AF于点G，点D在直线AF上运动，BD＝DE，∠BDE＝135°，∠ABH＝45°，当AE取最小值时，BE的长为 .
【答案】2
【解析】【解答】解：如图，连接CG，CE.
∵BH⊥AC，
∴∠BHA＝90°，
∵∠ABH＝45°，
∴∠BAC＝45°，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠BAF＝∠CAF＝22.5°，BF＝CF，
∴GB＝GC，
∴∠BGF＝∠CGF＝67.5°，
∴∠GBF＝∠GCF＝22.5°，
∵DB＝DE，∠BDE＝135°，
∴∠DBE＝∠DEB＝22.5°，
∴∠DBE＝∠GBC＝∠DEB＝∠GCF，
∴△DBE∽△GBC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠DBG＝∠EBC，
∴△DBG∽△EBC，
∴∠BGD＝∠BCE＝112.5°，
∵∠ACB＝67.5°，
∴∠ACE＝45°，
∴点E的运动轨迹是直线EC，
∴当AE⊥EC时，AE的值最小，最小值＝ AC＝2 ，
此时∠BAE＝90°，BE＝ ＝ ＝2 ，
故答案为：2 .
【分析】如图，连接CG，CE.证明△DBG∽△EBC，推出∠BGD＝∠BCE＝112.5°，推出∠ACE＝45°，推出点E的运动轨迹是直线EC，推出当AE⊥EC时，AE的值最小，再利用勾股定理求出BE即可.
48．如图，一次函数 与坐标轴交于 、 两点，反比例函数 与一次函数只有一个交点 ，过点 作 轴垂线，垂足为 ，若 ， ，则 的面积为 .
【答案】6
【解析】【解答】∵一次函数 与坐标轴交于 、 两点，
∴ ， ，即 ， ，
∴ ，
∵一次函数 与反比例函数 与一次函数只有一个交点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵过点 作 轴垂线，垂足为 ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，过点F作 轴垂线，垂足为M，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
故答案为：6.
【分析】根据一次函数 与坐标轴交于 、 两点，得 、 ，结合勾股定理计算得 ；再根据一次函数 与反比例函数 与一次函数只有一个交点 ，通过一元二次方程根的判别式计算，得到k，从而得到点C坐标；过点 作 轴垂线，垂足为 ，通过勾股定理性质得 ，从而计算得BC；结合 和 ，分别得 和 ；过点F作 轴垂线，垂足为M，通过证明 ，得 ，最后通过三角形面积关系计算，即可得到答案.
49．如图，在中，，，，点为上一点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，．
（1）当点D是的中点时，的最小值为 ；
（2）当，且点Q在直线上时，连接，则的值为 ．
【答案】；或
【解析】【解答】解：（1）当点是的中点时，如图所示，以为圆心，以长为半径作圆，交于点，则为最小值，
，，，
，
是的中点，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图：
，
，
，
，
，
点、、在同一条直线上，由旋转得：
，
分两种情况：
当点在上，过点作，交于点，
，
，
，
∴，解得：，
，
，
；
当点在的延长线上，过点作，交于点，
同理可得，
综上所述：的值为或，
故答案为：或．
【分析】（1）根据勾股定理得到长，当点在上时，最小，计算即可；
（2）现根据三角形的面积求出长，然后利用勾勾股定理求出长，分“当点在上”、“当点在的延长线上”，两种情况，分别进行计算即可解答．
50．如图，过原点的直线与反比例函数y= （x>0）、反比例函数y= （x>0）的图象分别交于A、B两点，过点A作y轴的平行线交反比例函数y= （x>0）的图象于C点，以AC为边在直线AC的右侧作正方形ACDE，点B恰好在边DE上，则正方形ACDE的面积为 ．
【答案】4 -4
【解析】【解答】 解： 设直线AB的解析式为y=kx，A（m， ），B（n， ），C（m， ），
∴ ，
∴k= = ，
∴n= m，
∵AC=AE，即 =n-m，
∴ = m-m，解得： = -1，
∵S正方形=AC2=（ ）2=4× =4（ -1）=4 -4.
【分析】设直线AB的解析式为y=kx，A（m， ），B（n， ），则C（m， ），根据直线的解析式求得k= = ，进而求得n= ，根据AC=AE，求得 = -1，因为S正方形=AC2=（ ）2，即可求得正方形ACDE的面积.
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