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【解答题强化训练·50道必刷题】人教版数学九年级下册期末总复习
1．如图，某游乐园有一个滑梯高度AB，高度AC为3米，倾斜角度为58°．为了改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由58°减至30°，调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）
（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
2．如图，在Rt△ABC中，∠A=90 ，AB=6，BC=10，D是AC上一点，CD=5，DE⊥BC于E.求线段DE的长.
3．如图，小明在操场上放风筝，已知风筝线AB长100 米，风筝线与水平线的夹角α=37°，小王拿风筝线的手离地面的高AD为1.5米，求风筝离地面的高度BE（精确到0.1米）．
4．已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题．
（1）若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长；
（2）若，，求a，b，c的长．
5．如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明在D处用测角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知测角仪高DC=1.4m，BC=30m，请帮助小明计算出树高AB（取1.732，结果保留三个有效数字）．
6．已知α+β=90°，且sinα+cosβ=，求锐角α．
7．如图，有一建筑物在小山上，小山的斜坡的坡角为，在建筑物顶部有一座避雷塔，在坡底处测得避雷塔顶端的仰角为，在山顶处测得建筑物顶端的仰角为，已知在同一条垂直于地面的直线上，，，．
（1）求小山的高度；
（2）求避雷塔的高度．（结果精确到，，）
8． 如图，矩形中，点在对角线上，以为圆心，的长为半径的与、分别交于点、，且．
（1）请判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）当： 时，直线与相切只需填出比值即可．
9．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物 的高度，他们先在斜坡上的 处，测得建筑物顶端 的仰角为30°.且 离地面的高度 .坡底 ，然后在 处测得建筑物顶端 的仰角是60°，点 、 、 在同一水平线上，求建筑物 的高.（结果用含有根号的式子表示）
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sin A= ，求DE的长度.
11．我国无人机已广泛的应用在人们的生产和生活中．如图所示，某中学数学课外活动小组利用无人机测量沅江某一段江面的宽度，先在沅江两岸边上各选定一点A、B，且所在直线与江岸所在直线垂直，再在A点放飞无人机到一定高度后，然后在AB上方从A向B以的速度水平飞行．在M点处测得A点的俯角为，B点的俯角为，后在N点处测得B点的俯角为，求此段沅江江面的宽度（结果精确到米）（参考数据：，，，）
12．如图，正方形的顶点、分别在轴和轴上，反比例函数的图象经过点，，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若将正方形沿轴向右平移得到正方形．当点在反比例函数的图象上时，求出平移的距离．
13．已知一次函数 与反比例函数 的图象交于P（2，a）和Q（﹣1，﹣4），求这两个函数的解析式.
14．已知海岛A的周围6km的范围内有暗礁，一艘海轮在B处测得海岛A在北偏东30°的方向；向正北方向航行6km到达C处，又测得该岛在北偏东60°的方向，如果海轮不改变航向，继续向正北航行，有没有触礁的危险？
15．如图，在中，，为延长线上一点，，延长到点，且.
（1）求证：；
（2）若，求的长度.
16．如图，已知梯形ABCD，AB∥DC，△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，AB＝7，求CD的长．
17．小明在海湾森林公园放风筝．如图所示，小明在A处，风筝飞到C处，此时线长BC为40米，若小明双手牵住绳子的底端B距离地面1.5米，从B处测得C处的仰角为60°，求此时风筝离地面的高度CE．（计算结果精确到0.1米， ≈1.732）
18．如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为40米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A的仰角为30°，底端B的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB的高度．（精确到0.1米）
（参考数据：sin10°≈0.17， cos10°≈0.98， tan10°≈0.18， ≈1.41， ≈1.73）
19．如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h(结果取整数， ≈1.732)
20．小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多余部分涂黑；若图形不全，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为5cm，长方形的长为8cm，请计算修正后所折叠而成的长方形的表面积．
21．如图所示，已知在中，，点D，E分別在AB，AC上，以A，D，E为顶点的三角形和相似，且相似比为.试求AD，AE的长.
22．如图，在△ABC中，AC=1，AB=2，∠BAC=60°，求BC的长.
23．如图，是半圆所在圆的直径，点O为圆心，，弦，于E，交于D，连接、．
（1）求的长．
（2）设，求的值．
24． 如图，反比例函数 与一次函数 的图象交于点 A(1，3)，B(-2，n) 两点.
（1） 求反比例函数和一次函数的表达式.
（2） 若 ，请直接写出 x 的取值范围.
25．小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：）
26．大白将如图某个棱长为正方体木块固定于水平木板上，，将木板绕端点O旋转至（即），于点E，交于点，延长线于点G．
（1）求点到的距离；
（2）在（1）问的基础上求点C竖直方向上抬升的高度．（参考数据：，，．（1）（2）题中结果精确到个位）
27．为了测量水平地面上一栋建筑物AB的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：先在水平地面上放置一面平面镜，并在镜面上做标记点C，后退至点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜面上的标记点C重合，法线是FC，小军的眼睛与地面距离DE是1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求建筑物AB的高度．
28．已知两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式的解集．
29．如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）将一次函数向下平移5个单位长度后得到直线，当时，求x的取值范围．
30．如图，在中，D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长．
31．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）
32．如图，一次函数y=x+1的图象交y轴于点A，与反比例函数的图象相交于点B(m，2).求：
（1）反比例函数的表达式.
（2）△AOB的面积.
33．下列物体是由六个棱长为1cm的正方体组成如图的几何体．
（1）求出该几何体的体积和表面积；
（2）分别画出从正面、左面、上面看到的立体图形的形状．
34．如图所示，文峰塔是安阳著名古建筑.小明所在的课外活动小组在塔上距地面25米高的点D处，测得地面上点B的俯角 为 ，点D到塔中心轴 的距离 为6.5米；从地面上的点B沿 方向走11米到达点C处，测得塔尖A的仰角 为 .请你根据以上数据计算塔高 .（参考数据： ， 结果精确到0.1米）
35．红旗小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图1)，其侧面的示意图如图2所示，测得主立柱的一段AB=1.2m，支柱DE的底端D到A的距离.AD=0.6m，顶棚F处到支柱底端D的水平距离.DH=1.4m，在B处分别测得E处的仰角为5 ， F 处的仰角为26.5°.
（1） 求支柱DE 的高；
（2）求顶棚F处离地面的高度FH .(参考数据： ， 结果精确到0.1m)
36．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点，点，过点作轴于点．
（1）若是的中点，求的值．
（2）若点的横坐标为3，求点的坐标．
37．已知反比例函数 图象的一支如图所示，它经过点(3，-2).
（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支.
（2）求当y≤5，且y≠0时，自变量x的取值范围.
38．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， ≈1.41）．
39．“周末好去处，鳌山公园行”，鳌山公园的印鳌阁塔已成为市民常去的景点．某中学数学组进行综合实践活动，测量印鳌阁塔的高度．小彤同学在她与印鳌阁塔之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，她看着镜子来回移动，直至看到印鳌阁塔顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合．如图，此时测得，，，求印鳌阁塔的高度．
40．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角 ，在距A点10米处有一建筑物HQ.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角 ，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.
（参考数据： ， ）
41．太阳能光伏建筑是太阳能光伏系统与现代绿色环保住宅的完美结合，老刘准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°.求改建后南屋面边沿增加部分AD的长，(结果精确到0.1米)
(参考数据：sin18°≈031，cos18°≈0.95，tan18v≈0.32，sin36°≈0.59)
42．如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）
43．如图，抛物线过，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一点，且位于第一象限，当的面积为3时，求出点P的坐标；
（3）过B作于C，连接OB，点G是抛物线上一点，当时，请直接写出此时点G的坐标．
44．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为______；
②函数的“最优纵横值”为______；
（2）若二次函数图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求的值；
（3）若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优纵横值”为7，求的值．
45．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且，直线经过点A，C，点D为y轴左侧抛物线上一点，连接，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当点D在直线下方时，连接交于点E，求的最大值及此时点D的坐标；
（3）是否存在点D，使？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
46．如图，D为反比例函数 的图象上一点，过D作DE⊥ 轴于点E，DC⊥ 轴于点C，一次函数 的图象经过C点，与 轴相交于A点，四边形DCAE的面积为4，求 的值.
47．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果精确到0.1．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
48． 如图， 在直角坐标系中， Rt 的直角边 在 轴上， ． 反比例函数 的图象经过 边的中点 ．
（1）求这个反比例函数的表达式．
（2） 若 与 成中心对称， 且 的边 在 轴的正半轴上， 点 在这个反比例函数的图象上．
①求 的长．
②连结 ， 证明： 四边形 是正方形．
49．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于F，E两点，与反比例函数的图象交于点和点B．
（1）求b的值和反比例函数解析式；
（2）如图1，P为反比例函数的图象一点，使得，求P点坐标；
（3）若点M是x轴上的一点，点N为平面中的一点，是否存在这样的M，N两点，使得A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
50．某综合实践活动小组设计了简易电子体重科：制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻与踏板上人的质量之间的函数关系式为(其中为常数，120)，其图象如图1所示；在图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量．
温馨提示：①导体两端的电压、导体的电阻、通过导体的电流满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求的值．
（2）求关于的函数解析式．
（3）用含的代数式表示．
（4）若电压表量程为伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
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【解答题强化训练·50道必刷题】人教版数学九年级下册期末总复习
1．如图，某游乐园有一个滑梯高度AB，高度AC为3米，倾斜角度为58°．为了改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由58°减至30°，调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）
（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
【答案】解：Rt△ACD中，∵∠ADB=30°，AC=3米，∴AD=2AC=6（m）∵在Rt△ABC中，AB=AC÷sin58°≈3.53m，∴AD﹣AB=6﹣3.53≈2.5（m）．∴调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加2.5米
【解析】【分析】利用含30角得直角三角形的边之间的关系得出AD=2AC，再在在Rt△ABC中由sin58°得定义得出AB的长度，进而得出结论。
2．如图，在Rt△ABC中，∠A=90 ，AB=6，BC=10，D是AC上一点，CD=5，DE⊥BC于E.求线段DE的长.
【答案】解：∵∠C=∠C，∠A=∠DEC，∴△DEC∽△BAC， 则 解得：DE=3.
【解析】【分析】有两个角相等的两个三角形相似，可得比例式，问题得解。
3．如图，小明在操场上放风筝，已知风筝线AB长100 米，风筝线与水平线的夹角α=37°，小王拿风筝线的手离地面的高AD为1.5米，求风筝离地面的高度BE（精确到0.1米）．
【答案】解：∵AB=100米，α=37°，∴BC=AB sinα=100sin37°，∵AD=CE=1.5米，∴BE=BC+CE=100×sin37°+1.5≈100×0.60+1.5=61.5（米），答：风筝离地面的高度BE为：61.5米
【解析】【分析】根据正弦函数的定义，由BC=AB sinα得出BC的长，根据矩形的性质得出AD=CE，根据线段的和差即可得出答案。
4．已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题．
（1）若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长；
（2）若，，求a，b，c的长．
【答案】（1）解：∵是的比例中项线段，，，
∴，
解得：，（舍去），
∴长为6cm；
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴.
【解析】【分析】（1）根据比例中项的定义列式得到，代入的值即可得到的长；
（2）设，然后用表示的值，再代入中得到关于的方程，求解方程得到的值，即可得到的值.
（1）解：∵c是a，b的比例中项线段，
∴，
∴（负值舍去）
即c的长为；
（2）解：设
∴
∵，
∴，
∴
∴
5．如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明在D处用测角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知测角仪高DC=1.4m，BC=30m，请帮助小明计算出树高AB（取1.732，结果保留三个有效数字）．
【答案】解：过D作DE⊥AB，
∵在D处用测角仪测得树顶端A的仰角为30°，
∴∠1=30°，ED=CB=30cm，
∴AE=DE tan30°=30×=10，
∵DC=1.4m，
则树高AB=AE+EB=AE+DC=10+1.4=10+1.4≈18.7m．
答：树高AB约为18.7米．
【解析】【分析】此题可由D处用测角仪测得树顶端A的仰角为30°的正切值及BC的长再加上测角仪高DC求得．
6．已知α+β=90°，且sinα+cosβ=，求锐角α．
【答案】解：由α+β=90°，得sinα=cosβ．
sinα+cosβ=2sinα=，
sinα=，
α=60°．
【解析】【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得sinα=cosβ，根据特殊角三角函数值，可得答案．
7．如图，有一建筑物在小山上，小山的斜坡的坡角为，在建筑物顶部有一座避雷塔，在坡底处测得避雷塔顶端的仰角为，在山顶处测得建筑物顶端的仰角为，已知在同一条垂直于地面的直线上，，，．
（1）求小山的高度；
（2）求避雷塔的高度．（结果精确到，，）
【答案】（1）解：∵小山的斜坡的坡度为，，，∴，
∴，
∴中，，
则小山的高度为；
（2）解：如图，过点作，垂足为点，
∴则，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
又∵在中，，
∴，
又∵在同一条垂直于地面的直线上，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵在中，，
∴，
则避雷塔的高度约为．
【解析】【分析】（）根据坡度得出，然后根据正弦的定义解答即可；
（）过点作于点，即可得到是矩形，在中利用勾股定理求出，得到是等腰直角三角形，求出EG长，在中，利用正切求出FD长，再根据线段的和差解答即可．
（1）解：∵小山的斜坡的坡度为，，，
∴，
∴，
∴中，，
则小山的高度为；
（2）解：如图，过点作，垂足为点，
∴则，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
又∵在中，，
∴，
又∵在同一条垂直于地面的直线上，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵在中，，
∴，
则避雷塔的高度约为．
8． 如图，矩形中，点在对角线上，以为圆心，的长为半径的与、分别交于点、，且．
（1）请判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）当： 时，直线与相切只需填出比值即可．
【答案】（1）解：与相切，
证明：连接，
与交于点，
是半径，
在矩形中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
与相切；
（2）
【解析】【解答】解：（2）如图，当直线CB与⊙O相切时，设直线CB与⊙O相切于点G，
由（1）可知CE与⊙O相切，
∴∠OEC=∠OGC=90°，
∵OE=OG，OC=OC，
∴△OEC≌△OGC，
∴∠OCE=∠OCG，
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠OCE=∠OCG=∠DCE，
由矩形性质可知∠BCD=90°，AD=BC，
∴∠OCE+∠OCG+∠DCE=90°，
∴∠OCE=∠OCG=∠DCE=30°，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∵AD=BC，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）连接OE，证明∠AEO=∠DCE即∠AEO+∠DEC=∠DCE+∠DEC=90°，即可求得∠CEO=90°，即OE⊥CE，即可证得结论；
（2）如图，当直线CB与⊙O相切时，假设直线CB与⊙O相切于点G，证明△OEC≌△OGC，可得∠OCG=30°，在Rt△ABC中，根据∠ACB的正切值，即可求解．
9．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物 的高度，他们先在斜坡上的 处，测得建筑物顶端 的仰角为30°.且 离地面的高度 .坡底 ，然后在 处测得建筑物顶端 的仰角是60°，点 、 、 在同一水平线上，求建筑物 的高.（结果用含有根号的式子表示）
【答案】解：过点 作 ，交 于点 .
∵ ， ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∴
【解析】【分析】过点 作 ，交 于点 ，先证明四边形 为矩形，得到 ， ，再根据三角函数值得到 ，最后利用 即可算出答案；
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sin A= ，求DE的长度.
【答案】解：在Rt△ABC中，∵BC=6，sin A= ，∴AB=10，∴AC= =8.∵D是AB的中点
∴AD= AB=5，∵∠A=∠A，∠ADE=∠C=90°，∴△ADE∽△ACB，
∴ = ，即 = ，解得：DE=
【解析】【分析】在Rt△ABC中，由BC=6，sinA=，可得AB=，再由勾股定理求出AC，和AD；由∠A=∠A，∠ADE=∠C=90°，得△ADE∽△ACB，则求得DE。
11．我国无人机已广泛的应用在人们的生产和生活中．如图所示，某中学数学课外活动小组利用无人机测量沅江某一段江面的宽度，先在沅江两岸边上各选定一点A、B，且所在直线与江岸所在直线垂直，再在A点放飞无人机到一定高度后，然后在AB上方从A向B以的速度水平飞行．在M点处测得A点的俯角为，B点的俯角为，后在N点处测得B点的俯角为，求此段沅江江面的宽度（结果精确到米）（参考数据：，，，）
【答案】解：如图所示，分别过A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D两点，则四边形是矩形，∴，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴此段沅江江面的宽度约为．
【解析】【分析】分别过A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D两点，即可得到是矩形，求出MN的长，根据三角形的外角得到，进而得到，在和中利用三角函数解答即可．
12．如图，正方形的顶点、分别在轴和轴上，反比例函数的图象经过点，，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若将正方形沿轴向右平移得到正方形．当点在反比例函数的图象上时，求出平移的距离．
【答案】（1）解：过点作轴，垂足为，
四边形为正方形，
，，，
又，，，
，
，，，
设反比例函数的表达式为：，则，
反比例函数的表达式为：，
（2）解：平移后的纵坐标为4，将代入得：，．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定证明△OAB≌△MBC，继而由全等三角形的性质计算C点的坐标，求出反比例函数的解析式；
（2）根据点B1正好在反比例函数的图象，直接求出平移的距离。
13．已知一次函数 与反比例函数 的图象交于P（2，a）和Q（﹣1，﹣4），求这两个函数的解析式.
【答案】解：把Q（﹣1，﹣4）代入 ，则﹣4=﹣m，则m=4，则反比例函数的解析式是： ；在 中令x=2，则y=2，则P的坐标是（2，2）.
由题意得： ，解得： ，则一次函数的解析式是： .
【解析】【分析】由题意先把P、Q的坐标代入反比例函数的解析式可求得m、a的值，于是反比例函数的解析式和a的值可求解；再把求得的点P和已知的点Q的坐标代入一次函数的解析式可得关于k、b的方程组，解之可求解.
14．已知海岛A的周围6km的范围内有暗礁，一艘海轮在B处测得海岛A在北偏东30°的方向；向正北方向航行6km到达C处，又测得该岛在北偏东60°的方向，如果海轮不改变航向，继续向正北航行，有没有触礁的危险？
【答案】解：过点A作AD⊥BD于点D，在Rt△ACD中，
∵∠ACD＝60°，
∴∠DAC=30°，则AC=2CD， ＝ ，即CD＝ ，
同理，在Rt△ABD中，
则∠ABC=30°，则AB=2AD， ＝ ，
∴BD＝ ，
∴BC＝BD﹣CD＝ ﹣ ＝6，解得AD＝3 ＜6，
∴如果海轮不改变航向，继续向正北航行，有触礁的危险.
【解析】【分析】过点A作AD⊥BD于点D，在Rt△ACD中，通过∠ACD＝60°用AD表示出CD，在Rt△ABD中，通过∠ABC＝30°用AD表示出BD，算出AD和6比较即可.
15．如图，在中，，为延长线上一点，，延长到点，且.
（1）求证：；
（2）若，求的长度.
【答案】（1）解：∵，，∴；
（2）解：∵，∴. ∵，∴.
又∵，∴，∴.
∵，，∴，即的长度为1.
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据相似三角形的性质求出 ，再根据相似三角形的判定方法求出 ， 最后计算求解即可。
16．如图，已知梯形ABCD，AB∥DC，△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，AB＝7，求CD的长．
【答案】解：∵AB∥DC，∴△COD∽△AOB，∴ ，∵△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，∴ ，∴ ，又∵AB＝7，∴ ，∴CD＝ .
【解析】【分析】利用已知条件：AB∥DC，可证得△COD∽△AOB，得出对应边成比例，再根据△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，可得出两三角形的相似比为2：3，建立关于CD的方程，求解即可。
17．小明在海湾森林公园放风筝．如图所示，小明在A处，风筝飞到C处，此时线长BC为40米，若小明双手牵住绳子的底端B距离地面1.5米，从B处测得C处的仰角为60°，求此时风筝离地面的高度CE．（计算结果精确到0.1米， ≈1.732）
【答案】解：过点B作BD⊥CE于点D，
∵AB⊥AE，DE⊥AE，BD⊥CE，
∴四边形ABDE是矩形，
∴DE=AB=1.5米．
∵BC=40米，∠CBD=60°，
∴CD=BC sin60°=40× =20 ，
∴CE=CD+DE=20 +1.5≈20×1.73+1.5≈36.1（米）．
答：此时风筝离地面的高度CE是36.1米．
【解析】【分析】过点B作BD⊥CE于点D，由锐角三角函数的定义求出CD的长，根据CE=CD+DE即可得出结论．
18．如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为40米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A的仰角为30°，底端B的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB的高度．（精确到0.1米）
（参考数据：sin10°≈0.17， cos10°≈0.98， tan10°≈0.18， ≈1.41， ≈1.73）
【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△ADE中，∠AED=90°，tan∠1= ， ∠1=30°，∴AE=DE× tan∠1=40×tan30°=40× ≈40×1.73× ≈23.1在Rt△DEB中，∠DEB=90°，tan∠2= ， ∠2=10°，∴BE=DE× tan∠2=40×tan10°≈40×0.18=7.2∴AB=AE+BE≈23.1+7.2=30.3米．
【解析】【分析】根据已知底端B的俯角为10°，添加辅助线过点D作DE⊥AB于点E，先在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△DEB中，利用∠2的正切求出BE的长，然后根据AB=AE+BE，求出AB的长即可。
19．如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h(结果取整数， ≈1.732)
【答案】解：由题意得，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝10km，
在Rt△APM和Rt△BPM中，tanA＝ ，tanB＝ ＝1，
∴AM＝ ，BM＝h，
∵AM+BM＝AB＝10，
∴ ，
解得：h＝15﹣5 ≈6；
答：h约为6km.
【解析】【分析】根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值由 tanA＝ ，tanB＝ ＝1用含h的式子表示出AM，MB，进而根据 AM+BM＝AB＝10， 列出方程求解即可。
20．小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多余部分涂黑；若图形不全，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为5cm，长方形的长为8cm，请计算修正后所折叠而成的长方形的表面积．
【答案】解：（1）多余一个正方形如图所示：
2）表面积=52×2+8×5×4
=50+160
=210cm2．
故答案为210cm2．
【解析】【分析】（1）根据长方体的展开图判断出多余一个正方形；
（2）根据长方形和正方形的面积公式分别列式计算即可得解．
21．如图所示，已知在中，，点D，E分別在AB，AC上，以A，D，E为顶点的三角形和相似，且相似比为.试求AD，AE的长.
【答案】解：当DE∥BC且时，
∴
∴
解之：；
当DE与BC不平行且时，
∴
∴
解之：
【解析】【分析】根据题意，分情况讨论：当DE∥BC且时；当DE与BC不平行且时；分别利用相似三角形的性质可求出AD，AE的长.
22．如图，在△ABC中，AC=1，AB=2，∠BAC=60°，求BC的长.
【答案】解：过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，AD=AC·cosA=1×cos60°= ，CD=AC·sinA=1×sin60°= ，在Rt△BDC中，BD=AB-AD=2- = ，∴BC= = = = .
【解析】【分析】因为题中并没有给出“△ABC是直角三角形”这个条件，所以可以构造直角三角形，过C作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，AC已知，∠BAC=60°，从而可求得AD，CD；在Rt△BDC中，BD=AB-AD，由勾股定理即可求出BC的长度。
23．如图，是半圆所在圆的直径，点O为圆心，，弦，于E，交于D，连接、．
（1）求的长．
（2）设，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴．
在中，．
（2）解：∵是的直径，
∴.
在中，，
∴．
∵，
∴．
在中，．
【解析】【分析】（1）O是圆心，直径所对的圆周角是直角，，根据中位线的判定定理，可知OE是三角形ABC的中位线，OE的长是底边BC的一半，根据勾股定理OE可求；也可以根据平行线等分来判定E是AC 中点，再用勾股定理求OE的长；
（2）根据正切函数的定义，找到对边BC，BC用勾股定理可求，找对邻边CE，上一问已经证得E是AC中点，CE长可求，故 的值可求。
24． 如图，反比例函数 与一次函数 的图象交于点 A(1，3)，B(-2，n) 两点.
（1） 求反比例函数和一次函数的表达式.
（2） 若 ，请直接写出 x 的取值范围.
【答案】（1）解：∵反比例函数的图像过点A(1，3)
∴，即反比例函数表达式为
∵反比例函数图象过点B(-2，n)
∴
∵一次函数的图像过点A、B
∴
解得，，
即一次函数表达式为
（2）解：或
【解析】【解答】解：观察图象，y1≤y2的x的取值范围是或，
故答案为：或.
【分析】(1)用A(1，3)坐标代入用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)根据图象直接写出y1≤y2的x的取值范围即可.
25．小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：）
【答案】解：过点作于点，
设，则由题意得，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，，
∴，
解得：，
∴（米），
答：此河流的宽度为米．
【解析】【分析】由于三角形两个内角的度数已知，则可过顶点C作对边AB的垂线段CD构造和，再分别解直角三角形，即利用和的正切函数建立关于CD的一元一次方程并求解即可.
26．大白将如图某个棱长为正方体木块固定于水平木板上，，将木板绕端点O旋转至（即），于点E，交于点，延长线于点G．
（1）求点到的距离；
（2）在（1）问的基础上求点C竖直方向上抬升的高度．（参考数据：，，．（1）（2）题中结果精确到个位）
【答案】（1）解：在中，
∵，，
∴，
答：点到的距离约为；
（2）解：在中，
∵，，
∴，
∴，
答：点C竖直方向上抬升的高度为．
【解析】【分析】（1）先求出OB'的长，再根据正弦求解即可.
（2）先利用余弦求出GB'和B'C'的长，再根据 计算即可.
27．为了测量水平地面上一栋建筑物AB的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：先在水平地面上放置一面平面镜，并在镜面上做标记点C，后退至点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜面上的标记点C重合，法线是FC，小军的眼睛与地面距离DE是1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求建筑物AB的高度．
【答案】解：根据题意，易得∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
则△ABC∽△EDC，
所以＝，即＝，
解得：AB＝33，
答：建筑物AB的高度为33m．
【解析】【分析】先证明△ABC∽△EDC，可得＝，再将数据代入求出AB的长即可。
28．已知两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：把代入，
得，则反比例函数解析式为．
把代入，
得，解得：，
则点坐标为．
把代入得，
解得：，
则一次函数解析式为；
（2）解：直线与轴的交点为，在中，令，则，
即直线与轴交于点，
．
．
（3）或
【解析】【解答】（3）解：观察函数图象得到当或时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，
故不等式解集范围是或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数解析式为，再将点B坐标代入解析式可得点坐标为，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得直线与轴交于点，则OC=2，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
（3）当一次函数的图象在反比例函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（1）解：把代入，
得，则反比例函数解析式为．
把代入，
得，解得：，
则点坐标为．
把代入得，
解得：，
则一次函数解析式为；
（2）解：直线与轴的交点为，在中，令，则，
即直线与轴交于点，
．
．
（3）解：观察函数图象得到当或时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，
故不等式解集范围是或．
29．如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）将一次函数向下平移5个单位长度后得到直线，当时，求x的取值范围．
【答案】（1）解：将代入，得：，
∴反比例函数的表达式为：，
对于，当时，，
∴点B的坐标为，
将、代入，得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：
（2）解：将一次函数向下平移5个单位长度后得到直线，
如图所示，设直线与反比例函数交于C，D两点，
联立直线与反比例函数得，
，即，
∴解得，，
∴点C的横坐标为，点D的横坐标为，
∴由函数的图象可知，
当时，x的取值范围是：或．
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数，即可求得c的值，进而得到反比例函数的表达式，即B点坐标为（3，-2），将点A、点B的坐标代入一次函数，根据待定系数法即可求得一次函数的表达式；
（2）根据平移求出直线的表达式，画出图像，联立直线与反比例函数即可求得与的交点横坐标，观察函数图象即可确定x的取值范围.
30．如图，在中，D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长．
【答案】解：∵，，，
∴，即，
解得：，
∴．
∵，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，．
【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截的对应相等成比例”得到，，进而代值计算即可求出EF、FC的长.
31．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）
【答案】解：过点作于点，则四边形是矩形，
在中，，
．
∴．
∵，
∴在中，（米）．
答：斜坡的长约为10米．
【解析】【分析】过点作于点，则得到矩形ADEF；解中可得，则AF可知；再利用坡比解即可．
32．如图，一次函数y=x+1的图象交y轴于点A，与反比例函数的图象相交于点B(m，2).求：
（1）反比例函数的表达式.
（2）△AOB的面积.
【答案】（1）解：将点B（m，2）代入y=x+1，得m+1=2，
解得m=1，
∴B（1，2），
将点B（1，2）代入得k=2，
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：令y=x+1中的x=0得y=1，
∴A（0，1），
∴OA=1，
∴S△AOB=×OA×xB=×1×1=.
【解析】【分析】（1）将点B(m，2)代入一次函数y=x+1算出m的值，从而得点B的坐标，进而将点B的坐标代入求出k的值，得反比例函数的解析式；
（2）令一次函数的解析式中的x=0算出对应的函数值，可以求得点A的坐标，再根据（1）中求得的点B的坐标，进而根据S△AOB=×OA×xB即可求得△AOB的面积.
33．下列物体是由六个棱长为1cm的正方体组成如图的几何体．
（1）求出该几何体的体积和表面积；
（2）分别画出从正面、左面、上面看到的立体图形的形状．
【答案】解：（1）几何体的体积：1×1×1×6=6（cm3），
表面积：5+5+3+3+4+4=24（cm2）；
故答案为：6cm3，24cm2；
（2）如图所示：
【解析】【分析】（1）根据几何体的形状得出立方体的体积和表面积即可；
（2）主视图有3列，从左往右每一列小正方形的数量为2，2，1；左视图有2列，小正方形的个数为2，1；俯视图有3列，从左往右小正方形的个数为1，2，1．
34．如图所示，文峰塔是安阳著名古建筑.小明所在的课外活动小组在塔上距地面25米高的点D处，测得地面上点B的俯角 为 ，点D到塔中心轴 的距离 为6.5米；从地面上的点B沿 方向走11米到达点C处，测得塔尖A的仰角 为 .请你根据以上数据计算塔高 .（参考数据： ， 结果精确到0.1米）
【答案】解：如图，作 于F，由题意可得四边形 是矩形.
∵ ，
∴ .
在 中， ， ，
∴ .
∵ 且 ， .
∴ .
在 中， ，
∴ .
故文峰塔高大约 .
【解析】【分析】作 于F，则在直角△DBF中，根据正切可求得BF的长度，从而可得CF的长度，故可得OC的长度，由于△AOC是等腰直角三角形，所以可得AO的长度.
35．红旗小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图1)，其侧面的示意图如图2所示，测得主立柱的一段AB=1.2m，支柱DE的底端D到A的距离.AD=0.6m，顶棚F处到支柱底端D的水平距离.DH=1.4m，在B处分别测得E处的仰角为5 ， F 处的仰角为26.5°.
（1） 求支柱DE 的高；
（2）求顶棚F处离地面的高度FH .(参考数据： ， 结果精确到0.1m)
【答案】（1）解：设过点B的水平线交ED于点M，交FH于点N，
则四边形ABMD， DMNH， ABNH都是矩形， D+DH=0.6+1.4=2(m)，
HN= DM=AB=1.2m，
在Rt△EBM中，
∵∠EBM = 50°， BM =0.6m，
∴EM=BM·tan50°≈0.6×1.19≈0.7(m)
∴DE=DM+EM =1.2+0.7=1.9(m)，
答： 支柱DE的高为1.9m；
（2）解：在Rt△FBN中，
∵∠FBN =26.5°， BN =2m，
∴FN=BN·tan26.5°≈2×0.50=1(m)，
∴FH=FN+HN =1+1.2=2.2(m)，
答：顶棚F处离地面的高度FH为2.2m.
【解析】【分析】（1）设过点B的水平线交ED于点M，交FH于点N，先求出BM， BN，在Rt△EBM中， 求出EM即可解决问题；
(2)在Rt△FBN中， 求出FN即可解决问题.
36．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点，点，过点作轴于点．
（1）若是的中点，求的值．
（2）若点的横坐标为3，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点和点，
∴当时，由得，
∴，则，
∵是的中点，
∴，则，
将代入中得，
∴点C坐标为，
∵点C在函数图象上，
∴；
（2）解：∵点的横坐标为3，
∴将代入中，得，
∴，则，
∴，
解方程得，
∵，
∴，又，
∴点D坐标为．
【解析】【分析】（1）先根据一次函数与坐标轴的交点即可得到点A的坐标，进而得到OA，从而结合题意即可得到OE，即点C的横坐标，再代入一次函数的解析式即可求出点C的纵坐标，进而根据待定系数法即可求出反比例函数k的值；
（2）先根据题意求出反比例函数的解析式，进而根据反比例函数与一次函数的交点问题结合题意即可求解.
37．已知反比例函数 图象的一支如图所示，它经过点(3，-2).
（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支.
（2）求当y≤5，且y≠0时，自变量x的取值范围.
【答案】（1）解：∵反比例函数图象的一支如图所示，它经过点(3，-2).
∴
∴反比例函数解析式为：
补画其函数图象如下，
（2）解：当时，
∴当，且时，.
【解析】【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k的值，进而补全函数图象即可；
（2）先求出当时，x的值，最后根据反比例函数的增减性即可求解.
38．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， ≈1.41）．
【答案】解：过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，
∴BE＝16+x，
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°＝ ＝ ≈0.40，
解得：x≈10.7（m），
经检验x≈10.7是原分式方程的解
∴AD≈10.7+1.6＝12.3（m），
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m．
【解析】【分析】过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC=MN=16m，DE=CN=BM=1.6m，求得CE=AE，设AE=CE=x，得到BE=16+x，解直角三角形即可得到答案．
39．“周末好去处，鳌山公园行”，鳌山公园的印鳌阁塔已成为市民常去的景点．某中学数学组进行综合实践活动，测量印鳌阁塔的高度．小彤同学在她与印鳌阁塔之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，她看着镜子来回移动，直至看到印鳌阁塔顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合．如图，此时测得，，，求印鳌阁塔的高度．
【答案】解：由题可知：，，
，
，，，
答：印鳌阁塔的高度为
【解析】【分析】根据已知条件证明，利用相似三角形的性质得到，将数据代入计算即可求解.
40．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角 ，在距A点10米处有一建筑物HQ.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角 ，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.
（参考数据： ， ）
【答案】解：由题意得，AH=10米，BC=10米，在 中， ，∴AB=BC=10，在 中， ，∴ ，∴ （米），∵2.7米 米，∴该建筑物需要拆除.
【解析】【分析】由题意得，AH=10米，BC=10米，在Rt△ABC中，根据等腰直角三角形的性质得出AB=BC=10，在Rt△DBC 中， ∠CDB=30 ，利用正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由DB=，算出BD，然后根据DH=AH AD=AH (DB AB)即可算出DH的长，再与3米比大小即可得出答案。
41．太阳能光伏建筑是太阳能光伏系统与现代绿色环保住宅的完美结合，老刘准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°.求改建后南屋面边沿增加部分AD的长，(结果精确到0.1米)
(参考数据：sin18°≈031，cos18°≈0.95，tan18v≈0.32，sin36°≈0.59)
【答案】解：∵∠BDC=90°，BC=10， ，
∴ = ，
∵在Rt△BCD中，
∴ ，
∴在Rt△ACD中， ，
∴ = （米）．
答：改建后南屋面边沿增加部分 的长约为1.9米。
【解析】【分析】根据锐角三角函数的性质计算得到CD的长度，在直角三角形ACD中，根据锐角三角形函数的性质，即可得到AD的长度。
42．如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）
【答案】解：如图，过点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，
由题意可知：OD⊥AC，AC=10cm，，
∵∠AOM=160°，
∴∠AOD=20°，
∵OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∴∠OAD=70°，
∵∠OAB=115°，
∴∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴AC=BC=10cm，
在Rt△ABC中，
cos∠BAC=，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AOD中，
cos∠AOD=，
∴，
∴点B到桌面的距离为
【解析】【分析】 如图，过点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，易求∠ABC=∠BAC=45°，可得AC=BC=10cm， 在Rt△ABC中， 求出 ，根据AB+AO+OM=31.64，求出AO=12cm，在Rt△AOD中，由cos∠AOD=可求出OD，根据BC+OD+OM即可求出点B到桌面的距离.
43．如图，抛物线过，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一点，且位于第一象限，当的面积为3时，求出点P的坐标；
（3）过B作于C，连接OB，点G是抛物线上一点，当时，请直接写出此时点G的坐标．
【答案】解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx
得
解得
∴抛物线表达式为：y=-x2+4x；
（2）设P点横坐标为m，
当1＜m＜4时，如图，过点P作PM∥y轴，交AB于点M，连接BP、AP，
由于A（4，0），B（1，3）
∴，
∴PM=2，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（4，0），B（1，3）代入y=kx+b，
，
解得，
∴直线AB的解析式为y=-x+4，
设，，
则PM=，
∴，
解得，m=2或m=3，
∴P点坐标为或
当0＜m＜1时，如图，过点P作PN∥x轴，交AB于点N，连接BP、AP，
∴，
∴PN=2，
设，
则N点横坐标为m+2，
∴，
由于PN两点纵坐标相同，
∴，
解得，（舍去），
∴P点坐标为，
综上所述，点P坐标为，，.
（3）点G坐标为，．
【解析】【解答】解：（3）如下图，过点A作AE⊥x轴，过点G作GE⊥y轴，交AE于点E，
易得∠BAC=45°，
若，
则∠OBC=∠GAE，
∴△BOC∽△AGE，即AE=3GE，
设，则
解得，n=3或n=4（舍去）
∴G，
如下图，连接AG交BC于点F，
若，
则∠OBC=∠GAO，
易得，△OBC≌△FAC，
∴F（1，1）
可得直线AF的解析式为
联立解析式
解得，x=4（舍去）或x= ，
∴G，
综上所述，G，G.
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）设P点横坐标为m，分情况讨论：当1＜m＜4时，过点P作PM∥y轴，交AB于点M，连接BP、AP，通过三角形的面积先求出PM的长， 设直线AB的解析式为y=kx+b， 根据待定系数法将点A，B坐标代入直线解析式可得 直线AB的解析式为y=-x+4， 设，， 根据两点间距离公式可得PM，建立方程，解方程可得P点坐标；当0＜m＜1时，如图，过点P作PN∥x轴，交AB于点N，连接BP、AP，先通过三角形面积求出PN的长，设，则N点横坐标为m+2，即，根据题意建立方程，解方程可得P点坐标，即可求出答案.
（3）分情况讨论：点G在AB上方， 过点A作AE⊥x轴，过点G作GE⊥y轴，交AE于点E， 可得 ∠BAC=45°， 若， 则∠OBC=∠GAE， 根据相似三角形判定定理可得 △BOC∽△AGE，即AE=3GE， 设，则 ，解方程可得G点坐标；点G在AB下方， 连接AG交BC于点F，， 则∠OBC=∠GAO，再根据全等三角形判定定理可得△OBC≌△FAC， 则F（1，1） 可得直线AF的解析式为 ，联立直线与抛物线解析式即可得点G坐标.
44．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为______；
②函数的“最优纵横值”为______；
（2）若二次函数图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求的值；
（3）若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优纵横值”为7，求的值．
【答案】（1）①②
（2）解：∵二次函数的顶点在直线上，
，
，
，
，
∵最优纵横值为，
，
；
（3）解：∵二次函数的顶点在直线上，
，
，
，
∵当时，二次函数的最优纵横值为，当 即时，则时，有最大值为，
解得或(舍去)，
当 即时，则时，有最大值为，
，
解得或(舍去)。
故的值为或．
【解析】【解答】
（1）
解：①点的“纵横值”为
故答案为：；
②，
，
，
时，的最大值是，
故答案为：；
【分析】
（1）①由“纵横值”的概念直接计算即可；
②由“纵横值”的概念得，则在范围内，y随x的增大而减小，即当时有“最优纵横值”；
（2）先由二次函数的对称轴公式可得，则整理得，由最优纵横值为可得，即
（3）由抛物线的顶点坐标在直线上得，则整理得关于x的二次函数，即，则其对称轴为直线，由于当时二次函数的最优纵横值为，则需要分类讨论，即当时，随x的增大而增大，即当时 有最大值为；当时，随x的增大而减小，即当时 有最大值为，再分别解关于h的方程并对根进行取舍即可．
（1）解：①点的“纵横值”为
故答案为：；
②，
，
，
时，的最大值是，
故答案为：；
（2）解：∵二次函数的顶点在直线上，
，
，
，
，
∵最优纵横值为，
，
，
（3）解：∵二次函数的顶点在直线上，
，
，
，
∵当时，二次函数的最优纵横值为，当 即时，则时，有最大值为，
解得或(舍去)，
当 即时，则时，有最大值为，
，
解得或(舍去)。
故的值为或．
45．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且，直线经过点A，C，点D为y轴左侧抛物线上一点，连接，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当点D在直线下方时，连接交于点E，求的最大值及此时点D的坐标；
（3）是否存在点D，使？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，则点，
将点C的坐标代入一次函数表达式得：，
则一次函数表达式为：，
令，得，∴点，
把A、C两点坐标代入二次函数解析式中，得：，解得：，
则抛物线的表达式为：
（2）解：由，得，
∴点，
设直线交y轴于点N，设点，
设直线的表达式为：，
则，解得：，
直线的表达式为：，
令，得，
∴点，，
过点D作轴交于点H，则点，
则
，
∵，则有最大值，
当时，的最大值为，
此时点
（3）解：存在，理由：
当点D在下方时，由点A、C的坐标知，，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
设点，则；
过点D作轴于E，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得：（舍去），，则点；
当点D在的上方时，如图，设交x轴于点F，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
设直线解析式为，把点F坐标代入得：，
∴直线的表达式为：，
联立直线的表达式与抛物线表达式得：，
解得：，（舍去），
即点；
综上，点D的坐标为：或．
【解析】【分析】（1）先求出A、C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）先求B（1，0），设点，利用待定系数法求出直线的表达式为，设直线交y轴于点N，则点，，过点D作轴交于点H，则点，根据可得关于m的关系式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分两种情况：当点D在下方时，画出图形，设点，则，过点D作轴于E，证明，可得，据此建立关于m方程，解之即可；当点D在的上方时，画出图形，设交x轴于点F，先求出F坐标，求出直线CD的解析式，再与抛物线解析式联立方程组，解之即可.
46．如图，D为反比例函数 的图象上一点，过D作DE⊥ 轴于点E，DC⊥ 轴于点C，一次函数 的图象经过C点，与 轴相交于A点，四边形DCAE的面积为4，求 的值.
【答案】解：当x=0时，y=-x+2=2
，∴C（0，2），
当y=0时，0=-x+2，
解得x=2，∴A（2，0），
四边形DCAE的面积=（DC+EA）×OC÷2=4，
∴（DC+DC+OA）×OC=8，
即（2DC+2）×2=8，
解得DC=1，
∴D（-1，2），
∴k=xy=-2.
【解析】【分析】分别求出直线与坐标轴的交点坐标，则OC和OA的线段长可知，然后根据四边形DCAE的面积列关系式即可求出DC的长，则D点坐标可知，反比例函数函数k值也可求.
47．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果精确到0.1．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
【答案】解：过点E作EG⊥BC于点G，AH⊥EG于点H．
∵EF∥BC，
∴∠GEF=∠BGE=90°
∵∠AEF=143°，
∴∠AEH=53°．
∴∠EAH=37°．
在△EAH中，AE=1.2，∠AHE=90°，
∴sin∠EAH=sin 37°
∴
∴EH=1.2×0.6=0.72．
∵AB⊥BC，
∴四边形ABGH为矩形．
∵GH=AB=1.2，
∴EG=EH+HG=1.2+0.72=1.92≈1.9
【解析】【分析】过点E作EG⊥BC于点G，AH⊥EG于点H，则∠AHE=90°．先求出∠AEH=53°，则∠EAH=37°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH=AE sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．
48． 如图， 在直角坐标系中， Rt 的直角边 在 轴上， ． 反比例函数 的图象经过 边的中点 ．
（1）求这个反比例函数的表达式．
（2） 若 与 成中心对称， 且 的边 在 轴的正半轴上， 点 在这个反比例函数的图象上．
①求 的长．
②连结 ， 证明： 四边形 是正方形．
【答案】（1）解：∵反比例函数（k＞0）的图象经过点D（3，1），
∴k=3×1=3，
∴反比例函数表达式为；
（2）解：①∵D为BC的中点，
∴BC=2，
∵△ABC与△EFG成中心对称，
∴△ABC≌△EFG，
∴GF=BC=2，GE=AC=1，
∵点E在反比例函数的图象上，
∴E（1，3），即OG=3，
∴OF=OG﹣GF=1；
②连接AF、BE，如图所示：
∵AC=1，OC=3，
∴OA=GF=2，
在△AOF和△FGE中，∵AO=FG，∠AOF=∠FGE，OF=GE，
∴△AOF≌△FGE（SAS），
∴∠GFE=∠FAO=∠ABC，
∴∠GFE+∠AFO=∠FAO+∠BAC=90°，
∴EF∥AB，且EF=AB，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴AF=EF，
∴四边形ABEF为菱形，
∵AF⊥EF，
∴四边形ABEF为正方形．
【解析】【分析】（1）根据题意运用待定系数法即可求解；
（2）①先根据中点得到BC，进而根据中心对称的性质结合三角形全等的性质得到GF=BC=2，GE=AC=1，再根据反比例函数k的几何意义结合题意即可求解；
②连接AF、BE，进而即可得到OA=GF=2，根据三角形全等的判定与性质证明△AOF≌△FGE（SAS）得到∠GFE=∠FAO=∠ABC，从而即可得到∠GFE+∠AFO=∠FAO+∠BAC=90°，再根据平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定结合题意即可求解。
49．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于F，E两点，与反比例函数的图象交于点和点B．
（1）求b的值和反比例函数解析式；
（2）如图1，P为反比例函数的图象一点，使得，求P点坐标；
（3）若点M是x轴上的一点，点N为平面中的一点，是否存在这样的M，N两点，使得A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点，
当时，，即点，
将点A的坐标代入反比例函数表达式，
得：，
即反比例函数的表达式为：；
（2）解：对于，当时，，
∴，
令，则，
∴
由于和的底都可以看成，在轴负半轴截取，，过点M作直线，则直线m和反比例函数交点即为点P，
同理在点E上方取，过点作直线和反比例函数交点也为所求的点P，
∵，
则直线m、n的表达式分别为：和，
联立直线和双曲线，
解得：，，
当时，；当时，，
点P的坐标为或；
联立直线和双曲线和，
解得：，
当时，；当时，，
点P的坐标为或，
综上可知，点P的坐标为或或或；
（3）解：存在，点N的坐标为：或或或或．
【解析】【解答】解：（3）存在，理由：设点，
联立方程组得，
解得，，
∴，
∴
当为对角线时，
由中点坐标公式和得：
，
解得：，
即点；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或或；
综上，点N的坐标为：或或或或．
【分析】（1）将点A(2，b)代入直线，算出b的值，从而得到点A的坐标；将点A的坐标代入 反比例函数算出k的值，从而可得反比例函数的解析式；
（2）首先根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出点E、F得坐标；由于和的底都可以看成，根据同底三角形的面积关系等于对应底上的高之间的关系及平行线间的距离处处相等，故在轴负半轴截取，，过点M作直线，则直线m和反比例函数交点即为点P，同理在点E上方取，过点作直线和反比例函数交点也为所求的点P；根据互相平行直线的斜率相同求出直线和得解析式，联立直线m直线和双曲线及直线n与双曲线，求出交点即可；
（3）首先连着直线AB与双曲线求解得出点A、B得坐标；然后分类讨论：①当为对角线时，由中点坐标公式和得列出方程组，即可求解；②当或为对角线时，同理可解．
（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点，
当时，，即点，
将点A的坐标代入反比例函数表达式，得：，
即反比例函数的表达式为：；
（2）解：对于，当时，，
∴，
令，则，
∴
由于和的底都可以看成，在轴负半轴截取，，过点M作直线，则直线m和反比例函数交点即为点P，
同理在点E上方取，过点作直线和反比例函数交点也为所求的点P，
∵，
则直线m、n的表达式分别为：和，
联立直线和双曲线，
解得：，，
当时，；当时，，
点P的坐标为或；
联立直线和双曲线和，
解得：，
当时，；当时，，
点P的坐标为或，
综上可知，点P的坐标为或或或；
（3）解：存在，理由：
设点，
联立方程组得，
解得，，
∴，
∴
当为对角线时，
由中点坐标公式和得：
，解得：，
即点；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或或；
综上，点N的坐标为：或或或或．
50．某综合实践活动小组设计了简易电子体重科：制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻与踏板上人的质量之间的函数关系式为(其中为常数，120)，其图象如图1所示；在图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量．
温馨提示：①导体两端的电压、导体的电阻、通过导体的电流满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求的值．
（2）求关于的函数解析式．
（3）用含的代数式表示．
（4）若电压表量程为伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
【答案】（1）解：将代入，
得
解得
（2）解：由题意得，可变电阻两端的电压电源电压一电表电压，即可变电阻电压．
，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
，化简得．
．
（3）解：将代入，
得，
化简得．
（4）解：，且，
随的增大而增大，
取最大值6时，
(千克)．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，根据即可得出的值；
（2）首先根据电流相等可得出，再把的阻值为30欧代入进去，即可得出；
（3）：将代入，经过整理即可得出
（4）根据函数性质，m随的增大而增大，根据得最大值6，即可得出m的最大值。
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