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【解答题强化训练·50道必刷题】浙教版数学八年级上册期末总复习
1．已知，，是中点，过点作交于点．若，，求的长．
2．一个零件的形状如图所示，已知AC=3 ，AB=4 ，BD=12 求CD的长.
3．数学兴趣小组打算测量教室内花瓶的内径，经过搜索资料，发现了一个可以使用的工具—卡钳，它能够解决无法直接测量的问题，可以测量内径长度，于是小组成员决定使用卡钳完成本次任务.利用卡钳测量花瓶内径的示意图如图所示，已知AD=BC，O是线段AD和BC的中点.
利用卡钳测量内径的步骤为：
①将卡钳A，B两端伸入在花瓶内；
②打开卡钳，使得A，B两端卡在内壁；
③测量出点C与点D间的距离，即为花瓶内径的长度AB.
请你写出这样测量的理由.
4．如图，小方格都是边长为1的正方形
（1）求的长度．
（2）用勾股定理的知识证明：．
5．若方程组的解满足﹣1＜x+y＜1，求k的取值范围．
6．项目式学习
背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现象仍较为突出．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）是否为时间（分钟）的函数？
素材 每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据：时间（分钟）12345…总水量（毫升）1015202530…
问题探究和问题解决
任务1 请在下图的平面直角坐标系内描出上表每对数据所对应的点．
任务2 请根据上表中的数据和所描的点，判断和（、为常数）哪一个能正确反映总水量与时间的函数关系？请求出这个关系式．
任务3 ①同学们继续观察，当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议．
7．如图，DE是△ABC的边AB上的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．
（1）求∠C的度数；
（2）若DE＝1，求EC的长．
8．A，B两地相距20km，小刚从A地出发，步行速度为5km/h，他与B地的距离为y(km)，步行所用的时间为x(h).
（1）求y关于x的函数表达式，及自变量x的取值范围.
（2）当x=2时，求y的值.
9．如图，在中，，点D在边上（不与点A、点C重合），连接．
（1）当时，
①当时，则______°．
②求与之间的数量关系．
（2）当，平分时，求线段之间的数量关系．
10． 在平面直角坐标系中， 对于点 P (x1， y1)、点Q(x2， y2) 满足x1x2+y1y2=m， 其中m为常数， 则称点P与点Q互为“m阶和谐点”， 例如： 点P (-1， 3)与Q (4， 2) 互为“2阶和谐点”
（1）下列选项中，是点A(1，2)的“8阶和谐点”的有 (填序号)
①(4， 2) ②(2， 1) ③(-2， 5) ④ (3， 3)
（2） 若点P(m+7， 3m-1) 与点Q (2， 1) 互为“a阶和谐点”， 点P到坐标轴的距离相等， 求a的值；
（3） 点A(3，a) 和点B(0， 4) 互为“0阶和谐点”， 点C是y轴上的动点， 若△ABC 的面积为9，求点C的坐标.
11．有一块空白地，如图，，，，，，试求这块空白地的面积．
12．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，作于点，且为的中点．
（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
13．如图所示，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以16海里、时的速度沿南偏东方向航行，乙船沿北偏东方向航行.3小时后，甲船到达岛．若B，C两岛相距60海里，则乙船的速度是多少？
14．坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息：
信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人．此前校租用6辆大型客车，4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元．
信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车．
任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？
任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用．
15．如图所示，在△BCD中，BC=4，BD=5.
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=130°，求∠C的度数.
16．如图所示，为了提醒同学们用电安全，小安同学为学校设计了一个安全用电的标识贴在学校的所有插座附近，图中的点A、D、C、F在同一条直线上，且，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
17．松北物业公司为了美化小区，计划对面积为1800平方米的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？
（2）若松北物业公司每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，每天需付给乙队的绿化费用为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
18．如图，在中，是的平分线，且，.
（1）求各内角的度数；
（2）求的度数.
19．某商店销售A，B两种服号的商品，销售1台A型和2台B型商品的利润和为400元，销售2台A型和1台B型商品的利润和为320元．
（1）求每台A型和B型商品的销售利润；
（2）商店计划购进A，B两种型号的商品共10台，其中A型商品数量不少于B型商品数量的一半，设购进A型商品m台，这10台商品的销售总利润为w元，求该商店购进A，B两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？
20．如图，，垂足分别为D，E，．求的长．
21．解不等式（组）：
（1）解不等式，并在数轴上表示解集；
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
22．解不等式组，并写出它的正整数解．
23．已知一次函数y＝2x﹣4．
（1）完成列表，并作出该函数的图象；
（2）设图象与x、y轴分别交于点A、B，求线段AB的长．
24．已知关于x，y的方程组和的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若直线与直线分别交y轴于点A、B，两直线交于点P，求的面积．
25．如图，已知∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝44°，求∠BDE的度数．
26．如图，在△ABC中，，点D在边AC上，BD=8，CD=2.
（1）猜想∠ADB的度数，并说明理由；
（2）若AB=17，求△ABC的面积.
27．如图，和中，，，和交于点．
（1）与全等吗？为什么？
（2）过点作，过点作，试判断和的数量关系，并说明你判断的理由
28． 某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克．
（1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？
（2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克．
①若这两种水果按标价出售，求的取值范围；
②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值．
29．如图，在中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作，交ED的延长线于点F.
（1）求证；
（2）当，，时，求AC的长.
30． 在今年的月日第个植树节期间，某校组织师生开展了植树活动．在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗．已知用元购买甲种树苗的棵数与用元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少元．
（1）求甲种树苗每棵多少元；
（2）若准备用不超过元购买甲、乙两种树苗共棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
31．如图，在锐角三角形ABC中，AB = 13，AC = 15，点D是BC边上一点，BD = 5，AD = 12，求BC的长度．
32．如图，在中，，是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，，，连接．
（1）如图1，当点在线段上时，求证：．
（2）设，．
①如图1，当点在线段上时，则，之间有怎样的数量关系？写出证明过程；
②当点在线段的延长线上时，则，之间有怎样的数量关系？请在图2中画出完整图形并证明你的结论．
33．已知一次函数（k、b是常数，）的图象过，.
（1）求函数的表达式.
（2）若函数（m，n是常数，）的图象过，当时，x的取值范围为 .
34．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若，，，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．
35．x取哪些整数时，不等式与都成立？
36．当 x取何正整数值时， 代数式 与 的值的差大于1.
37．如图，中，平分，求的度数
38．在平面直角坐标系中，已知点．根据下列条件回答问题：
（1）当点M在x轴或y轴上时，分别求出点M的坐标；
（2）当点M在第四象限的角平分线上，求a的值；
（3）若经过点M，的直线与x轴平行，且，求点M，N的坐标．
39．如图，，直线与分别交于点E，F，上有一点G且，．求的度数．
40． 如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，DB平分∠ADC，AC和BD交于点E，求证：
（1）∠AED= 90°．
（2）△ADC是等腰三角形．
41．如图所示为一个三级台阶(点P 在墙脚，BP 侧靠墙)，它的每一级的长、宽、高分别为 5d m，3 dm和 1 dm. A和B 是这个台阶的两个相对端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，求这只蚂蚁所爬行的最短路线的长.
42．等腰三角形的三边长分别为3x-2，4x-3，7，求等腰三角形的周长．
43．阅读下面解题过程，再解答后面的问题．
学习了一元一次不等式组的解法，老师给同学们布置了一个任务，请大家探究并求出不等式 的解集．
小丽类比有理数的乘法法则，根据“同号两数相乘，积为正”可以得到：①或②，解不等式组①得，解不等式组②得，所以原不等式解集为或．请你仿照上述方法，求不等式的的解集．
44．小明爱动脑商，善于探奈，经探究，他认为，如下方法就可以作出 的平分线；先在边 上取 两点，在边 上取 两点，使 ， ，然后连接 交点为 ，作射线 即为 的平分线，你认为他的探究结果对吗？请说明理由
45． 对于不等式：（且），当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题：
（1）解关于的不等式：；
（2）若关于的不等式：，其解集中无正整数解，求的取值范围；
（3）若关于的不等式：，当时，在上总存在的值使得其成立，求的取值范围．
46．已知，且满足，过作轴，垂足为．
（1）求点坐标；
（2）如图，分别以，为边作等边和，试判定线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图，过作轴，垂足为，点、分别为线段、上的两个动点不与端点重合，满足，设，，，试探究的值是否为定值？如果是，直接写出此定值；如果不是，请举例说明．
47．如图，直线的函数解析式为，与x轴交于点D，直线经过点，，直线，交于点C．
（1）求直线的函数解析式；
（2）求面积；
（3）在直线上是否存在点P，使得面积是面积的2倍？如果存在，请求出P坐标，如果不存在，说明理由．
48．如图，在中，，垂足为点，点在上，为的中点，连接并延长至点，使得，连接．请判断线段与线段的关系，并说明理由．
49．在平面直角坐标系中，直线：分别交x，y轴于B，A两点，直线过点，交x轴于点D，交直线于点C，其中点C的横坐标为1．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）若点G是y轴上一点，且，求点G的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为x轴上一点，且，直接写出点P的坐标．
50．S、J和R三人在火车上担任刹车员、司炉和司机(不一定依此顺序).
今天火车上只有三位乘客，而且很凑巧，三位乘客的姓也是S、J和R.为了把工作人员和乘客区分开，让我们把乘客称为先生—S先生、J先生和R先生.
此外，我们还知道：
①R先生住在底特律市；
②刹车员住在芝加哥和底特律之间的某地；
③住在芝加哥的乘客和刹车员同姓；
④刹车员的一位邻居也是一位乘客，他的年薪正好是刹车员的三倍(年薪为整数)；
⑤J先生一年恰好挣20000元，得靠政府救济过日子；
⑥S的台球打得比司炉好；
现在要问，谁是司机
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【解答题强化训练·50道必刷题】浙教版数学八年级上册期末总复习
1．已知，，是中点，过点作交于点．若，，求的长．
【答案】解：连接，
∵是中点，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】本题考查垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）和勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方），根据垂直平分线可以得到，然后根据勾股定理求出长是解题的关键．
2．一个零件的形状如图所示，已知AC=3 ，AB=4 ，BD=12 求CD的长.
【答案】解：在直角三角形ABC中，BC= ＝ =5，在直角三角形BCD中，CD＝ = =13
【解析】【分析】在直角三角形ABC中，由勾股定理求出BC的长，然后在直角三角形BCD中，由勾股定理求出CD的长即可。
3．数学兴趣小组打算测量教室内花瓶的内径，经过搜索资料，发现了一个可以使用的工具—卡钳，它能够解决无法直接测量的问题，可以测量内径长度，于是小组成员决定使用卡钳完成本次任务.利用卡钳测量花瓶内径的示意图如图所示，已知AD=BC，O是线段AD和BC的中点.
利用卡钳测量内径的步骤为：
①将卡钳A，B两端伸入在花瓶内；
②打开卡钳，使得A，B两端卡在内壁；
③测量出点C与点D间的距离，即为花瓶内径的长度AB.
请你写出这样测量的理由.
【答案】解：∵AD=BC，O是线段AD和BC的中点，
∴OA=OD=OB=OC
在△AOB和△DOC中，
∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，
∴△AOB≌△DOC(SAS)，
∴AB=CD，
故点C与点D间的距离，即为花瓶内径的长度AB.
【解析】【分析】根据对顶角相等，可以得出∠AOB=∠DOC，因为点O是AD，BC的中点，所以OA=OD=OB=OC，即可利用SAS证明△AOB≌△DOC，就可以得到AB=CD.
4．如图，小方格都是边长为1的正方形
（1）求的长度．
（2）用勾股定理的知识证明：．
【答案】（1）解：如图1，
在Rt△ABE中，AE=3，BE=2，
∴AB= = ，
在Rt△BCF中，BF=3，CF=2，
∴BC= = ；
（2）证明：如图2，连接AC，
在Rt△ACG中，AG=5，CG=1，
∴AC= ，
结合(1)可得 =
∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠ABC=90°.
【解析】【分析】（1）根据网格的特点以及勾股定理求得AB，BC的长，即可求解；
（2）勾股定理求得AC，进而勾股定理的逆定理证明ABC是以AC为斜边的直角三角形，即可求解．
5．若方程组的解满足﹣1＜x+y＜1，求k的取值范围．
【答案】解：
①+②得：，
∴，
∵，
∴，
即，
解得．
【解析】【分析】观察方程的特征，x，y的系数之和相等，则可以把两个方程相加后，用含k的式子表示出，再代入到求解k的取值范围即可．
6．项目式学习
背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现象仍较为突出．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）是否为时间（分钟）的函数？
素材 每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据：时间（分钟）12345…总水量（毫升）1015202530…
问题探究和问题解决
任务1 请在下图的平面直角坐标系内描出上表每对数据所对应的点．
任务2 请根据上表中的数据和所描的点，判断和（、为常数）哪一个能正确反映总水量与时间的函数关系？请求出这个关系式．
任务3 ①同学们继续观察，当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议．
【答案】解：任务1：如图，描点如下：
任务2：由数据和画图可知（k，b为常数）才能正确反映总水量y与时间t的函数关系；
点和都在此函数的图象上
解得：，
；
任务3：①当时，则
解得：，
当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间为12分钟；
②每分钟浪费的水（15-10）÷（2-1）=5（毫升），60分钟浪费的水5×60=300（毫升）
照此漏水速度，此水龙头1小时会浪费300毫升水；
③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换．
【解析】【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键．
任务1：根据表格数据描点即可；
任务2：根据上表中的数据和所描的点，（k、b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系；再利用待定系数法求解解析式即可；
任务3：①把代入解析式即可得到答案；
②先求出每分钟浪费的水，再求60分钟浪费的水；
③答案不唯一，合理即可．
7．如图，DE是△ABC的边AB上的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．
（1）求∠C的度数；
（2）若DE＝1，求EC的长．
【答案】解：(1)因为DE垂直平分AB，
所以BE＝AE，
所以∠EAB＝∠B＝30°
又因为AE平分∠BAC，
所以∠BAC＝2∠EAB＝60°.
所以∠C＝180°－∠B－∠BAC＝90°．
(2)由(1)可知EC⊥AC，
又因为DE⊥AD，AE平分∠DAC，
所以EC＝DE＝1．
【解析】【解答】解：（1）∵DE是△ABC的边AB上的垂直平分线，
∴ BE＝AE，
∴∠BAE＝∠B＝30°.
∵ AE平分∠BAC，
∴∠CAB＝2∠BAE＝60°.
∵ ∠C + ∠B + ∠CAB=180°，
∴∠C+30°+60°=180°，解得∠C＝90°．
（2）∵∠C＝90°，
∴EC⊥AC，
∵AE平分∠DAC， DE⊥AD，DE＝1，
∴ EC＝DE＝1．
【分析】（1）先利用线段垂直平分线的性质与“在同一个三角形中，等边对等角”，求得∠BAE，
结合角的平分线定义求得∠CAB，最后利用三角形内角和定理得到关于∠C的方程求解；
（2）先根据（1）中得到的∠C＝90°说明EC⊥AC，再利用角的平分线的性质求解．
8．A，B两地相距20km，小刚从A地出发，步行速度为5km/h，他与B地的距离为y(km)，步行所用的时间为x(h).
（1）求y关于x的函数表达式，及自变量x的取值范围.
（2）当x=2时，求y的值.
【答案】（1）解：y=20-5x，0≤x≤4．
（2）解：x=2时，y=20-5x=20-5×2=10．
【解析】【分析】（1）根据与B地的距离=AB两地距离-小刚走的路程，自变量的取值范围考虑实际意义，即可求得；
（2）将x=2代入函数表达式，即可求得.
9．如图，在中，，点D在边上（不与点A、点C重合），连接．
（1）当时，
①当时，则______°．
②求与之间的数量关系．
（2）当，平分时，求线段之间的数量关系．
【答案】（1）①20
②∵，
∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，在截取，连接，截取，连接，∵，
∴.
∵平分，
∴.
∵，
∴.
∵是的外角，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【解析】【解答】解：（1）①∵，且，
∴.
∵，
∴，
∴；
故答案为：20；
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定以及三角形内外角和定理.
对于（1）①，由AB=AC得∠ABC=∠C=50°，∠BAC=80°，再结合得∠ADB=∠BAD=50°，求出答案；
②由AB=AC得，由BD=AB得∠ADB=∠BAD，结合外角性质得∠ABD=4∠C-180°；
（2）在截取，连接，根据“边角边”证明，可得，即可说明，故BC=BF+FC=BD+AD..
（1）解：①∵，且，
∴.
∵，
∴，
∴；
故答案为：20；
②∵，
∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，在截取，连接，截取，连接，
∵，
∴.
∵平分，
∴.
∵，
∴.
∵是的外角，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
10． 在平面直角坐标系中， 对于点 P (x1， y1)、点Q(x2， y2) 满足x1x2+y1y2=m， 其中m为常数， 则称点P与点Q互为“m阶和谐点”， 例如： 点P (-1， 3)与Q (4， 2) 互为“2阶和谐点”
（1）下列选项中，是点A(1，2)的“8阶和谐点”的有 (填序号)
①(4， 2) ②(2， 1) ③(-2， 5) ④ (3， 3)
（2） 若点P(m+7， 3m-1) 与点Q (2， 1) 互为“a阶和谐点”， 点P到坐标轴的距离相等， 求a的值；
（3） 点A(3，a) 和点B(0， 4) 互为“0阶和谐点”， 点C是y轴上的动点， 若△ABC 的面积为9，求点C的坐标.
【答案】（1）①③
（2）解：∵点.P(m+7，3m-1)到坐标轴的距离相等，
)或m+7=3m-1，解得 或m=4，
∵点P与点Q (2，1)互为“a阶和谐点，
a=2×11+1×11=33，
∴a的值是 或33
（3）解：∵点A(3，a)和点B(0，4)互为“0阶和谐点”，
∴点A(3，0)，
∵点C是y轴上的动点，
∴设C(0，c)，
∵点B(0，4)，
的面积为9，
或10，
点C的坐标为((0，-2))或(0，10)
【解析】【解答】解：点A(1，2)的“8阶和谐点，
故①符合题意，②
(2，1)1×2+2×1=4≠8，故②不符合题意，
③(-2，5)-2×1+2×5=8，故③符合题意，
④(3，3)1×3+2×3=9≠8，故④不符合题意，
故答案为：①③；
【分析】(1)根据“m阶和谐点”定义逐个计算验证即可；
(2)先根据点P到坐标轴的距离相等，求出m的值，再根据“m阶和谐点”定义求出a值；
(3)先求出a值再根据三角形的面积求出C点的坐标.
11．有一块空白地，如图，，，，，，试求这块空白地的面积．
【答案】解：如图，连接，
在中，
∵，，，，
∴，
∴，（取正值）．
在中，∵，．
∴，
∴为直角三角形，．
∴．
答：这块空白地的面积是．
【解析】【分析】连接，先根据勾股定理即可求出AC，进而根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，最后运用即可求解。
12．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，作于点，且为的中点．
（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）由垂直平分线的定义可得AD是BE的垂直平分线，再利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=CE；
（2）先利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得到∠EAC的度数，再通过三角形的外角性质求得∠AEB的度数，然后由三角形的内角和定理及等腰三角形的性质得到∠BAE的度数，进而由角的和差求得∠BAC的度数．
13．如图所示，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以16海里、时的速度沿南偏东方向航行，乙船沿北偏东方向航行.3小时后，甲船到达岛．若B，C两岛相距60海里，则乙船的速度是多少？
【答案】解：由题意得∠CAB=180°-40°-50°=90°，
∵AB=16×3=48（海里），BC=60海里，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=（海里）．
则乙船的速度是36÷3=12海里/时
【解析】【分析】先根据题意进行角的运算得到∠CAB的度数，再根据勾股定理结合题意计算求出AC，从而即可求解。
14．坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息：
信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人．此前校租用6辆大型客车，4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元．
信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车．
任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？
任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用．
【答案】任务一：解：设一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元．根据题意得：
解得
所以一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元．
任务二：解：设租用辆大型客车，租用辆中型客车．根据题意得：
解得
为正整数，所以可以为8或9．
方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车
方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车．
方案一的费用为：（元）
方案二的费用为：（元）
方案一的花费最少，比预算节省200元．
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组和不等式组的实际应用，并分析选择最优方案。
任务一，结合信息1中的条件，累出二元一次方程组，分别求出x和y的值即可；
任务二，结合任务一的计算结果和信心2，列出不等式组，求出m的取值范围后，即可得出m只有8和9两个整数可以取，因此分别分析并计算即可。
15．如图所示，在△BCD中，BC=4，BD=5.
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=130°，求∠C的度数.
【答案】（1）解：在△BCD中，BD-BC又因为BC=4，BD=5，所以5-4（2）解：因为AE∥BD，∠BDE=130°，所以∠AEF=130°.
所以∠AEC=180°-∠AEF=50°.
又因为∠A+∠C+∠AEC=180°，∠A=55°，
所以∠C=75°.
【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系得到BD-BC（2）先根据平行线的性质得到∠AEF=130°.，进而即可得到∠AEC，再根据三角形内角和定理进行角的运算即可求解。
16．如图所示，为了提醒同学们用电安全，小安同学为学校设计了一个安全用电的标识贴在学校的所有插座附近，图中的点A、D、C、F在同一条直线上，且，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先利用线段的和差及等量代换可得，利用平行线的性质可得，再利用“SAS”证出即可；
（2）利用全等三角形的性质可得，再结合，利用角的运算求出∠E的度数即可.
17．松北物业公司为了美化小区，计划对面积为1800平方米的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？
（2）若松北物业公司每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，每天需付给乙队的绿化费用为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
【答案】（1）解：设乙工程队每天能完成的绿化面积为x平方米，则甲工程队每天能完成的绿化面积为2x平方米
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的根且符合题意，
答：甲工程队每天能完成的绿化面积为100平方米，乙工程队每天能完成的绿化面积为50平方米．
（2）解：设应安排甲工程队工作天，则乙工程队工作天，根据题意得：，
解得：，
∴a的最小值为10．
答：甲工程队至少应工作10天．
【解析】【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是2x平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为400平方米区域的绿化时甲队比乙队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲工程队工作a天，则需安排乙工程队工作天，根据总费用=0.4×甲工程队工作时间+0.25×乙工程队工作时间结合这次的绿化总费用不超过8万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
18．如图，在中，是的平分线，且，.
（1）求各内角的度数；
（2）求的度数.
【答案】（1）解：，
（2）解：
【解析】【解答】（1）∵是的平分线，，
∴∠ABD=∠CBD=∠A，
∵，
∴∠A+3∠A+2∠A=180°，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，∠C=90°；
（2）∵∠A=∠ABD=30°，
∴∠ADB=180°-30°-30°=120°.
【分析】（1）证明∠ABD=∠CBD=∠A，用三角形内角和定理建立方程求解；
（2）根据（1）可得∠A=∠ABD=30°，再用三角形内角和定理求解。
19．某商店销售A，B两种服号的商品，销售1台A型和2台B型商品的利润和为400元，销售2台A型和1台B型商品的利润和为320元．
（1）求每台A型和B型商品的销售利润；
（2）商店计划购进A，B两种型号的商品共10台，其中A型商品数量不少于B型商品数量的一半，设购进A型商品m台，这10台商品的销售总利润为w元，求该商店购进A，B两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？
【答案】（1）解：设A型利润x元/台，B型利润y元/台，由“销售1台A型和2台B型商品的利润和为400元，销售2台A型和1台B型商品的利润和为320元”可得：
，
∴
答：A型利润80元/台，B型利润160元/台；
（2）解：设A型m台，则B型（10﹣m）台，
∴，
∴，W＝80m+160（10﹣m），
∴W＝﹣80m+1600，
∵k＝﹣80＜0，
∴W随m增大而减小，
∴当m＝4时，Wmin＝﹣80×4+1600＝1280，
答：A型4台，B型6台，总利润最大．
【解析】【分析】(1)设A型利润x元/台，B型利润y元/台，由“销售1台A型和2台B型商品的利润和为400元，销售2台A型和1台B型商品的利润和为320元”列方程组，计算即可解答；
（2）设A型m台，则B型（10﹣m）台，由A型商品数量不少于B型商品数量的一半列不等式，计算得m的值，再列出利润W＝﹣80m+1600，利用一次函数的性质即可解答.
20．如图，，垂足分别为D，E，．求的长．
【答案】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴．
【解析】【分析】先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
21．解不等式（组）：
（1）解不等式，并在数轴上表示解集；
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】（1）解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得．
这个不等式的解集在数轴上的表示如下图所示．
（2）解：解不等式，得．
解不等式，得．
则不等式组的解集为．
所以，不等式组的整数解为1、2、3．
【解析】【分析】（1）先求出不等式的解集，再在出数轴表示出解集即可；
（2）先求出不等式组的解集，再找出不等式组的整数解即可．
22．解不等式组，并写出它的正整数解．
【答案】解：，
由①，得x≥﹣1，
由②，得x＜3．
所以该不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
所以满足条件的正整数解为：1、2．
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
23．已知一次函数y＝2x﹣4．
（1）完成列表，并作出该函数的图象；
（2）设图象与x、y轴分别交于点A、B，求线段AB的长．
【答案】（1）解：列表
x 0 2
y -4 0
（2）解：令x=0代入y＝2x﹣4得y=﹣4
令y=0代入y＝2x﹣4得x=2
∴OA=2，OB=4
∴AB==2
【解析】【分析】（1）利用列表、描点法作出函数图象即可；
（2）先求出一次函数与坐标轴的两个交点，可得AO和OB的长，再利用勾股定理求出AB的长即可.
24．已知关于x，y的方程组和的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若直线与直线分别交y轴于点A、B，两直线交于点P，求的面积．
【答案】（1）解：根据题意得
解得
将代入方程组，
得
解得
即，
（2）解：∵，，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
∴，，
∴
联立解得
∴点P的横坐标为（，）
∴
【解析】【分析】（1）由题意两个方程组是同解，因而可以先求解已知数据方程组 解得，再把x，y的值代入到方程组中，解此方程组，即可求得a与b的值；
（2）根据a与b的值可得两直线的函数解析式，从而可求得点A、B的坐标，即可求得AB的长度；联立两直线的函数解析式可求得点P的坐标，从而可得点P的横坐标，利用面积公式即可求得的面积．
25．如图，已知∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝44°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）解：证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，
∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝44°，
∴∠C＝∠EDC＝68°，
∴∠BDE＝∠C＝68°
【解析】【分析】（1）∠A=∠B，AE=BE，∠1=∠2，再根据角的转化，利用全等三角形（ASA）证明三角形AEC≌△BED.
（2）由AEC≌△BED，的出CE=DE，∠C=∠BDE，再根据等腰三角形的性质的出角C的度数，即可求出∠BDE的度数.
26．如图，在△ABC中，，点D在边AC上，BD=8，CD=2.
（1）猜想∠ADB的度数，并说明理由；
（2）若AB=17，求△ABC的面积.
【答案】（1）解：∠ADB=90°，理由如下：
∵，
而，
∴，
∴∠BDC=90°，
∴
（2）解：在Rt△ABD中，
由勾股定理得，
∵CD=2，
∴AC=AD+CD=15+2=17，
∴
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理可得∠BDC=90°，再根据补角即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系可得AC，再根据三角形面积即可求出答案.
27．如图，和中，，，和交于点．
（1）与全等吗？为什么？
（2）过点作，过点作，试判断和的数量关系，并说明你判断的理由
【答案】（1）解：，理由如下，
在和中，
，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证出即可；
（2）根据平行线的性质可得，再结合全等三角形的性质可得，最后利用等量代换可得.
28． 某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克．
（1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？
（2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克．
①若这两种水果按标价出售，求的取值范围；
②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值．
【答案】（1）解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克，
依题意得：，
解得：．
答：购买A种水果2千克，B种水果1千克．
（2）解：①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，
∴，
解得：，
∴结合实际可得：；
②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，
∴，
解得：.
【解析】【分析】（1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
29．如图，在中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作，交ED的延长线于点F.
（1）求证；
（2）当，，时，求AC的长.
【答案】（1）证明：是BC边上的中线，
.
，
.
在和中，
.
（2）解：，
.
.
，
.
.
，
.
，
.
.
的长是3.
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到，由是边上的中线，得到，即可证明出；
（2）根据题意得出，再由等量代换确定，等角对等边得出，进而得出，利用全等三角形的性质即可求出AC.
30． 在今年的月日第个植树节期间，某校组织师生开展了植树活动．在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗．已知用元购买甲种树苗的棵数与用元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少元．
（1）求甲种树苗每棵多少元；
（2）若准备用不超过元购买甲、乙两种树苗共棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【答案】（1）解：设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元，
依题意列方程得，
，
解得，
经检验是原方程的解，
答：甲种树苗每棵元
（2）解：设购买乙种树苗的棵，则购买甲种树苗的棵，
根据题意，得，
解得，
∵为整数，
∴的最小值为，
答：至少要购买乙种树苗棵．
【解析】【分析】（1）设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元，根据题意列出方程分式方程，解方程即可得到答案；
（2）设购买乙种树苗的棵，则购买甲种树苗的棵，根据题意列出方程一元一次不等式，解不等式即可得到答案.
31．如图，在锐角三角形ABC中，AB = 13，AC = 15，点D是BC边上一点，BD = 5，AD = 12，求BC的长度．
【答案】解：在△ABD中，
∵ AB=13，BD=5，AD=12，
∴，
∴
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
∴ BC = BD + CD = 5+9 =14
【解析】【分析】根据已知条件可得BD2+AD2=AB2，利用勾股定理逆定理知△ABD为直角三角形，且∠ADB=90°，利用勾股定理可得CD，然后根据BC=BD+CD进行计算.
32．如图，在中，，是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，，，连接．
（1）如图1，当点在线段上时，求证：．
（2）设，．
①如图1，当点在线段上时，则，之间有怎样的数量关系？写出证明过程；
②当点在线段的延长线上时，则，之间有怎样的数量关系？请在图2中画出完整图形并证明你的结论．
【答案】（1）解：，，
在和中，；
（2）解：①理由：，
，，
，，即；
②
理由：，，
在和中，
，，
，，，
即．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再利用全等三角形的判定方法证明求解即可；
（2）①利用全等三角形的性质求出 ， 再计算求解即可；
②先求出 ， 再求出 ， 最后利用全等三角形的性质证明求解即可。
33．已知一次函数（k、b是常数，）的图象过，.
（1）求函数的表达式.
（2）若函数（m，n是常数，）的图象过，当时，x的取值范围为 .
【答案】（1）解：把 ，代入 得
解得：
所以函数表达式为：
（2）
【解析】【解答】解：（2）∵m>0，
∴ 经过一三象限，y随x的增大而增大.
两个函数图象如图所示：
由题意，当 时，x>2.
【分析】（1）根据待定系数法即可求得k和b的值，从而得一次函数表达式；
（2）作出两个一次函数的图象，根据图象，函数值小的函数图象位于函数值大的图象下方. 时，y1的图象在y2下方.
34．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若，，，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．
【答案】（1）解： 点M，N不是线段AB的勾股分割点，理由如下：
∵，，，
∴，
∴以AM，MN，NB为边的三角形不是一个直角三角形，
∴点M，N不是线段AB的勾股分割点.
（2）解：设，则，
①当BN为最大线段时，
根据题意得，，即，
解得，
②当MN为最大线段时，
根据题意得，，即，
解得，
综上所述，BN的长为5或3．
【解析】【分析】（1）可以利用勾股定理判断三边能否构成直角三角形，从而可得到结论.
（2）设BN长为x，则MN=8-x，分BN是最大边和MN为最大边两种情况利用勾股定理，得到关于x的方程，求解即可.
35．x取哪些整数时，不等式与都成立？
【答案】解：解得
∵，
∴，
解得，
∴
x的整数解为0，1，2，3，4．
【解析】【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分，再找出整数x的值即可.
36．当 x取何正整数值时， 代数式 与 的值的差大于1.
【答案】解：由题意得：
3（x+3）-2（2x-1）＞6
解之：
所以符合条件的正整数为1，2，3，4
【解析】【分析】利用已知条件可得到关于x的不等式，先去分母（不等式右边的1不能漏乘），再去括号（括号外的数要与括号里的每一项相乘，不能漏乘，同时注意符号问题），移项合并，然后将x的系数化为1，可得到不等式的解集，然后求出不等式的正整数解.
37．如图，中，平分，求的度数
【答案】解：∵，
∴.
∵平分，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴．
答：的度数是．
【解析】【分析】先利用角的运算求出∠BAC的度数，再利用角平分线的定义可得，再结合，利用角的运算求出即可．
38．在平面直角坐标系中，已知点．根据下列条件回答问题：
（1）当点M在x轴或y轴上时，分别求出点M的坐标；
（2）当点M在第四象限的角平分线上，求a的值；
（3）若经过点M，的直线与x轴平行，且，求点M，N的坐标．
【答案】（1）解：若在轴上，则，
，
，
若在轴上，则，
，
，
在轴上，的坐标是；在轴上，的坐标是；
（2）解：在第四象限的角平分线上，
，
解得，
的值为1.
（3）解：经过点，的直线与轴平行，
，
解得：，
，
，
，
解得或，
或．
【解析】【分析】（1）分类讨论：①若在轴上，则；②若在轴上，则，再求出a的值，从而可得点M的坐标；
（2）利用第四象限的角平分线上点坐标的特征可得，再求出a的值即可；
（3）先求出点M的坐标，再结合MN=5，利用两点之间的距离公式列出方程，求出b的值，从而可得点N的坐标.
（1）解：若在轴上，则，
，
，
若在轴上，则，
，
，
在轴上，的坐标是；在轴上，的坐标是；
（2）解：在第四象限的角平分线上，
，
解得，
的值为1；
（3）解：经过点，的直线与轴平行，
，
解得，
，
，
，
解得或，
或．
39．如图，，直线与分别交于点E，F，上有一点G且，．求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】先根据平行线的性质即可得到，从而得到，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
40． 如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，DB平分∠ADC，AC和BD交于点E，求证：
（1）∠AED= 90°．
（2）△ADC是等腰三角形．
【答案】（1）证明：∵AB//CD，
.
平分平分，
，
，
（2）证明：平分，
.
，
，
，
是等腰三角形.
【解析】【分析】（1）由二直线平行，同旁内角互补得∠BAD+∠ADC=180°，由角平分线定义得∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠ADC，结合三角形内角和定理可得答案；
（2）由角平分线的定义可得，根据平行线的性质得，结合等腰三角形的判定，即可证明△ADC是等腰三角形．
41．如图所示为一个三级台阶(点P 在墙脚，BP 侧靠墙)，它的每一级的长、宽、高分别为 5d m，3 dm和 1 dm. A和B 是这个台阶的两个相对端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，求这只蚂蚁所爬行的最短路线的长.
【答案】解：如图，将台阶展开，连结AB.
∵AC=3×3+1×3=12(dm)，BC=5dm，
∴ 这只蚂蚁所爬行的最短路线的长为13dm
【解析】【分析】将台阶展开成平面图形，根据勾股定理求出AB长即可解答.
42．等腰三角形的三边长分别为3x-2，4x-3，7，求等腰三角形的周长．
【答案】解：①当3x-2是底边时，则腰长为：4x-3，7，
∴4x-3＝7，
∴x＝2.5，
∴3x-2＝5.5，
∴等腰三角形的周长＝7+7+5.5＝19.5；
②当4x-3是底边时，则腰长为：3x-2，7，
∴3x-2＝7，
∴x＝3，
∴4x-3＝9，
∴等腰三角形的周长＝7+7+9＝23；
③当7是底边时，则腰长为：3x-2，4x-3，
∴3x-2＝4x-3，
∴x＝1，
∴3x-2＝1，4x-3＝1，
∵1+1＜7，
∴不能构成三角形．
则三角形的周长为19.5或23．
【解析】【分析】分①当3x-2是底边时 ， ②当4x-3是底边时 ， ③当7是底边时，三种情况，根据等腰三角形两腰相等建立方程，求解得出x的值，从而得出三角形三边的长，进而根据三角形三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的，利用周长的计算方法算出答案.
43．阅读下面解题过程，再解答后面的问题．
学习了一元一次不等式组的解法，老师给同学们布置了一个任务，请大家探究并求出不等式 的解集．
小丽类比有理数的乘法法则，根据“同号两数相乘，积为正”可以得到：①或②，解不等式组①得，解不等式组②得，所以原不等式解集为或．请你仿照上述方法，求不等式的的解集．
【答案】解：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”可得
① 或② ，
解不等式组①可得不等式组无解，
解不等式组②得 ，
综上所述，原不等式的解集为 ．
【解析】【分析】本题考查多项式相乘积的正负问题，根据有理数乘法法则“同号得正，异号得负"，把多项式的积拆解成两个多项式同号或异号，注意要考虑全面。题目中，两个多项式相乘积为负，说明两个多项式，一正一负，所以有两种情况。
44．小明爱动脑商，善于探奈，经探究，他认为，如下方法就可以作出 的平分线；先在边 上取 两点，在边 上取 两点，使 ， ，然后连接 交点为 ，作射线 即为 的平分线，你认为他的探究结果对吗？请说明理由
【答案】解：小明探究的结果是正确的
理由如下：
在△AOD和△BOC中，
∵ ， ，
∴OB=CD
∴
∴ ，
在△PCD和△PAB中，
∴
∴
在△AOP和△COP中，
∴
∴
即 是 的平分线
【解析】【分析】由SAS证明△AOD≌△BOC得出 ，由AAS证明 得 ，再由SSS证明 可得 ，从而可得结论.
45． 对于不等式：（且），当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题：
（1）解关于的不等式：；
（2）若关于的不等式：，其解集中无正整数解，求的取值范围；
（3）若关于的不等式：，当时，在上总存在的值使得其成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵2＞1，
∴5x-1＞3x-1，
解得x＞0.
（2）解：∵， ，
∴kx-1＞5x-2，
整理得(k-5)x＞-1.
假设k=5，则x不论取何值不等式均成立，当然也包括正整数，故此假设不成立；
假设k-5＞0，则有，此时解集中明显含有正整数解，故此假设不成立；
假设k-5＜0，则有，若要使解集中不含正整数解，则必须有，解得k≤4.
故k的取值范围是：k≤4.
（3）解：∵ ，
∴x-k＜5x-2，整理得.
又∵ 上总存在x的值使得成立，
∴，解得k＞6.
故k的取值范围是：k＞6.
【解析】【分析】（1）根据题干提示信息，得出关于x的不等式，解出即可；
（2）从条件得出关于x的不等式(k-5)x＞-1，若解集中无正整数解，即x不能大于某个数，因为这种情况下x总可以取到整数解，所以只能取到小于1的值；
（3）原式解得，根据（3）的条件，不能大于-1.
46．已知，且满足，过作轴，垂足为．
（1）求点坐标；
（2）如图，分别以，为边作等边和，试判定线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图，过作轴，垂足为，点、分别为线段、上的两个动点不与端点重合，满足，设，，，试探究的值是否为定值？如果是，直接写出此定值；如果不是，请举例说明．
【答案】（1）解：由题得，，
；
（2）解：如图，连接，
由得，
为等腰直角三角形，
，
，为等边三角形，
，，
，
即，
在中，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
（3）解：如图，在轴负半轴取点，使得，连接，
在和中，
，
≌，
，，
又，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据绝对值及平方的定义即可求出答案.
（2）连接，根据等腰直角三角形的判定定理可得为等腰直角三角形，再根据等边三角形的性质，三角形外角性质可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，再根据其性质即可求出答案.
（3）在轴负半轴取点，使得，连接，根据全等三角形判定定理可得≌，再根据其性质可得，，又，可得，可判断≌，再根据全等三角形性质即可求出答案.
47．如图，直线的函数解析式为，与x轴交于点D，直线经过点，，直线，交于点C．
（1）求直线的函数解析式；
（2）求面积；
（3）在直线上是否存在点P，使得面积是面积的2倍？如果存在，请求出P坐标，如果不存在，说明理由．
【答案】解：（1）设直线l的函数解析式为y=kx+b，将A（5，0）、B（4，-1）代入y=kx+b得
解得：
∴直线l的函数解析式为y=x-5
（2）联立两直线解析式成方程组
解得：，
∴点C的坐标为（3，-2）
当y=-2x+4=0时，x=2
∴点D的坐标为（2，0）
∴S=AD |y|= ×（5-2）×2=3
（3）假设存在P点
∵面积是面积的2倍，且和同底
∴|y|=2|y|=4
当y=x-5=-4时，x=1，
此时点P的坐标为（1，-4）
当y=x-5=4时，x=9
此时点P的坐标为（9，4）
综上所述：在直线l上存在点P（1，-4）或（9，4），使得ADP面积是ADC面积的2倍．
【解析】【分析】这道题主要考查了一次函数的解析式求解、直线交点坐标的求法以及三角形面积的计算与应用；
（1）根据直线 经过的两点坐标，利用待定系数法设y=kx+b，代入两点坐标列方程组求解k和b的值；
（2）先联立直线与 的方程求出交点C的坐标，再求出直线与x轴交于点D 的坐标，最后根据三角形面积公式求△ADC的面积；
（3）对于存在性问题，先假设存在对应点， 再根据面积是面积的2倍进行求解（ 注意本题中和同底），如果有对应点求出则说明存在，反之不存在.
48．如图，在中，，垂足为点，点在上，为的中点，连接并延长至点，使得，连接．请判断线段与线段的关系，并说明理由．
【答案】解：且，理由如下：
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
∵为中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴且．
【解析】【分析】利用全等三角形的判定与性质证明即可。
49．在平面直角坐标系中，直线：分别交x，y轴于B，A两点，直线过点，交x轴于点D，交直线于点C，其中点C的横坐标为1．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）若点G是y轴上一点，且，求点G的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为x轴上一点，且，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：把代入中得：，
，
设直线的函数表达式为，
，
，
直线的函数表达式为；
（2）解：在中，令，则，
，
，
在中，令，则，
，，
，
设，
连接，过作轴于，如图，
，，，
，
，
，
，
解得或，
或；
（3）点的坐标为或，
【解析】【解答】解：（3）①当点在轴的正半轴时，
过点作于点，轴于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，设交轴于点，如图，
，
，，
，
．
，轴，，，，
四边形，，为矩形，
，，，，，
，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，．
设，则，，
，
，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
令，则，
，
，；
②当点在轴的负半轴时，
过点作于点，轴于点，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，设交轴于点，如图，
，
，，
，
．
，轴，，，，
四边形，，为矩形，
，，，，，
，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，．
设，则，，
，
，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
令，则，
．
．
综上，点为轴上一点，且，点的坐标为或，．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）设 ，连接，过作轴于，利用点的坐标表示出相应线段的长度，利用，求得，再利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论；
（3）利用分类讨论的方法，分两种情况讨论解答：①当点在轴的正半轴时，过点作于点，轴于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，设交轴于点，利用矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到：，，设，则，，列出方程求得值，进而求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，令，求得值，则结论可求；②当点在轴的负半轴时，过点作于点，轴于点，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，设交轴于点，利用同样的方法解答即可．
50．S、J和R三人在火车上担任刹车员、司炉和司机(不一定依此顺序).
今天火车上只有三位乘客，而且很凑巧，三位乘客的姓也是S、J和R.为了把工作人员和乘客区分开，让我们把乘客称为先生—S先生、J先生和R先生.
此外，我们还知道：
①R先生住在底特律市；
②刹车员住在芝加哥和底特律之间的某地；
③住在芝加哥的乘客和刹车员同姓；
④刹车员的一位邻居也是一位乘客，他的年薪正好是刹车员的三倍(年薪为整数)；
⑤J先生一年恰好挣20000元，得靠政府救济过日子；
⑥S的台球打得比司炉好；
现在要问，谁是司机
【答案】解：由 ⑥知司炉不姓S，则司机和刹车员必有一人姓S，
∵①R先生住在底特律市，
由②③④⑤可知刹车员的邻居是S先生，则J先生住在芝加哥，
∴刹车员姓J，
∴司机姓S.
【解析】【分析】由 ⑥知司炉不姓S，则司机和刹车员必有一人姓S，再由①②③④⑤可知刹车员姓J，从而可得S是司机.
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