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【解答题强化训练·50道必刷题】浙教版数学九年级上册期末总复习
1．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E.
（1）求证：AC⊥BD.
（2）若AB=10，AC=16，求OE的长.
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP∥DE，交⊙O于点P，连结OP．
（1）求证：BD=DC．
（2）求，∠BOP的度数．
3．春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏，将两张相同形状大小的卡片球上分别标上哪吒、敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上太乙真人、申公豹、李靖，放入不透明的乙袋中．
（1）从甲1袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是______；
（2）先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片，求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
4．已知二次函数的图像与轴交于，两点，且点在点左侧．若该二次函数的顶点为点，连接，，求的面积．
5．已知：关于x的函数y=kx2+k2x﹣2的图象与y轴交于点C，
（1）当k=﹣2时，求图象与x轴的公共点个数；
（2）若图象与x轴有一个交点为A，当△AOC是等腰三角形时，求k的值．
（3）若x≥1时函数y随着x的增大而减小，求k的取值范围．
6．食品厂加工生产某规格的食品的成本价为30元/千克，根据市场调查发现，当出厂价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保准盈利的情况下，工厂采取降价措施，调査发现：出厂价每降低1元，每天可多销售50千克.
（1）若出厂价降低2元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润；
（2）求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系；
（3）当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大 最大利润为多少元
7．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次.第一档次（最低）的产品一天能生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件.
（1）若生产第档次的产品一天的总利润为元（其中为正整数，且），求出与之间的函数关系式；
（2）若生产第档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次；
8．周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽．已知ABCDEF，点C在AG上，AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE．测得GE＝5米，EN＝12.3米，NN′＝6.2米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米？（结果精确到0.01米）
9．已知二次函数 y=x2+bx 的图象经过点(1，2)．
（1）求b的值．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
10．小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数的图象经过点C.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标.
11．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由．
12．如图，四边形OABC是矩形，点A，C在坐标轴上，点B坐标为(-1，3)，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H．
（1）求直线BD的表达式．
（2）求点H到x轴的距离．
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D，F，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．(提示：两直线垂直，斜率乘积为-1)
13．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，另有一个可以自由旋转的圆盘．被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1、2、3（如图所示）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去．
（1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；
（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．
14．如图，取某一位置的水平线为轴，建立平面直角坐标系后，小山坡可近似地看成抛物线：的一部分．小球在离点的点处抛出，落在山坡的点处（点在小山坡的坡顶的右侧），小球的运动轨迹为抛物线：的一部分．
（1）求小山坡的坡顶高度；
（2）若测得点的高度为，求抛物线的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）当小球运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，请直接写出的取值范围．
15．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，若四边形DEFB为菱形，且AB=8，BC=12，求菱形DEFB的边长．
16．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点平分.
（1）求证：DB平分，并求的度数.
（2）过点作，交AB的延长线于点，若，求此圆的半径.
17．如图，在正方形中有一点P，连接、，旋转到的位置．
（1）若正方形的边长是8，．求阴影部分面积；
（2）若，，，求的长．
18．如图，
AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在⊙O上，FD恰好经过圆心O，连结FB．
（1）若∠F=∠D，求∠F的度数．
（2）若CD=24，BE=8，求⊙O的半径．
19．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC＝15，高AH＝10，求正方形DEFG的边长和面积.
20．一个不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同.求下列事件的概率：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球.
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球.
21．如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是 的中点，判断四边形OACB的形状并证明你的结论.
22．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点在该抛物线上，已知当点在点处时，点恰与点重合．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当点在第二象限内时，求的取值范围．
（3）若点也在该抛物线上，且恒有，求的取值范围．
23．如图，要测量河宽，可在两岸找到相对的两点A、B，先从B出发与AB成90°方向向前走50米，到C处立一标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D处，在D处转90°，沿DE方向走到E处，若A、C、E三点恰好在同一直线上，且DE=17米，你能根据题目提供的数据和图形求出河宽吗？
24．如图，在正方形网格中，△ 的顶点分别为O（0，0），B（3，-1），C（2，1）.
（1）以点O（0，0）为位似中心，按相似比2：1在位似中心的异侧将△ 放大为△ ' '，放大后点 ， 两点的对应点分别为 '， '，画出△ ' '，并写出点 '， '的坐标： '（ ， ）， '（ ， ）；
（2）在（1）中，若点 ( ， )为△ 内部任一点，写出变化后点 的对应点 '的坐标（ ， ）.
25．如图，在矩形中，，点是射线上一点，连接，作于点．
（1）当点在的延长线上，且交于点，写出至少三个与相似的三角形；
（2）设，求出与之间的函数关系式，并直接写出当点在边（点不与点重合，可与点重合）上时，的取值范围．
26．如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．
27．某景区有两个景点需购票游览，售票处出示的三种购票方式如下：
方式1：只购买景点A，30元/人；
方式2：只购买景点B，50元/人﹔
方式3：景点A和B联票，70元/人.
预测，四月份选择这三种购票方式的人数分别有2万、1万和1万.为增加收入，对门票价格进行调整，发现当方式1和2的门票价格不变时，方式3的联票价格每下降1元，将有原计划只购买A门票的400人和原计划只购买B门票的600人改为购买联票.
（1）若联票价格下降5元，则购买方式1门票的人数有 万人，购买方式2门票的人数有 万人，购买方式3门票的人数有 万人.请计算门票总收入有多少 万元？
（2）当联票价格下降x（元）时，请求出四月份的门票总收入w（万元）关于x（元）之间的函数表达式，并求出联票价格为多少元时，四月份的门票总收入最大？最大值是多少？
28．甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中.
（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；
（2）从袋巾随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由.
29．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON 的顶点O 在 AB 上，OM，ON 分别交CA，CB 于点 P，Q，∠MON 绕点O任意旋转.当OB=2OA 时，求 的值.
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30．如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数表达式和一次函数表达式；
（2）若点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标；
（3）若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标．
31．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F．写出图中任意一对相似三角形，并说明理由．
32．某商场销售成本为每件元的商品据市场调查分析，如果按每件元销售，一周能卖出件；若销售单价每涨元，每周销量就减少件设销售单价为元．
（1）若按每件元销售，每周销量为______件；毛利润为______元
（2）求出一周销售量（件）与（元）的函数关系式．
（3）设一周销售获得毛利润元，写出与的函数关系式，并求出一周毛利润的最大值以及此时的销售单价．
33．已知线段 ， 且 ．
（1） 求 的值．
（2） 若线段 满足 ， 求 的值．
34．如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB=BE，求BC与AB的比值．
35．已知点为二次函数图像上的点，求代数式的值．
36．如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F.
（1）求证：△BCF≌△BA1D．
（2）当∠C=α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由。
37．某摩托车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y(件)与售价x(元)的关系式为：y=-2x+400；
（1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元；
（2）若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大
38．如图，水管内原有积水的水面宽CD=4cm，水深GH=1cm．因几天连续下雨水面上升1cm（即EG=1cm），求此时水面AB的宽是多少？
39．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．
①画出△ABC，并将它绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．
②以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2，并计算△A2B2C2的面积．
40．在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ．
（1）如图1，当时，若点C的坐标为 ，是等腰直角三角形，，，直接写出x、y满足的数量关系式．
（2）如图2，E为y轴负半轴上一点，且，C为第一象限内一点，，且，直线EC交x轴于点H，求的值；
（3）如图3，当时，在 中， ，若，求 长．（用含m的式子表示）
41．如图①是一个立方体纸盒，图②③分别是该立方体纸盒两种不同的表面展开图.
（1）如图②，连结 AB，CD，猜想 AB，CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图③，连结MN，GH交于点P，求的值.
42． 在二次函数y=x2+2mx+m-1中，
（1）若该二次函数图象经过(0，0)，求该二次函数的解析式和顶点坐标.
（2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（3）若m<0时，点A(n-2，p)，B(2，q)，C(n，p)都在这个二次函数图象上且m-1>q>p，求n的取值范围.
43．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
（1）若对于，，有，求的值；
（2）若对于，，存在，求的取值范围．
44．如图，已知，，，将边绕点C逆时针旋转角至的位置，连接.
（1）求的度数；
（2）过点作的垂线，与交于点E，交的延长线于点F，连接.求证：是等腰直角三角形.
45．（1）已知正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图① ，将△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，OC′与CD交于点M，OB′与BC交于点N，请猜想线段CM与BN的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图② ，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO′C′，连接AO′、DC′，请猜想线段AO′与DC′的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图③ ，已知矩形ABCD和Rt△AEF有公共点A，且∠AEF=90°，∠EAF=∠DAC=α，连接DE、CF，请求出的值（用α的三角函数表示）．
46．已知关于的二次函数.
（1）该函数的图象与轴只有一个交点，求与之间的关系.
（2）若，当时，随的增大而增大，求的取值范囲.
（3）若，该函数的象不经过第三累限，求的取值范围.
47．如图，已知△ABC 内接于⊙O，点 D在AC上，且AB=AD=DC，E 是BC的中点，连结AE交直径BC 于点 F，连结 BD.
（1）求证：AE⊥BD；
（2）若 BC=10，求AE的长；
（3）连结 EO 并延长，交 AC 于点 G，连结OD，求 的值.
48．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点．
（1）在点中，点 是线段关于原点O的“伴随点”；
（2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围 ；
（3）已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，直接写出n的最大值 和n的最小值 ．
49．已知二次函数 .
（1）当 时，函数的最大值与最小值之差为 2，求 的值；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
50．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．请结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．
设函数（实数为常数）的图象为图象．
（1）求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）是否存在非负整数，使图象与轴的公共点都是整点？若存在，求所有非负整数的值；若不存在，请说明理由．
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【解答题强化训练·50道必刷题】浙教版数学九年级上册期末总复习
1．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E.
（1）求证：AC⊥BD.
（2）若AB=10，AC=16，求OE的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
∵ ∠CAB=∠ACB
∴BO⊥AC，即AC⊥BD
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=8
∵AC⊥BD
∴OB==6
∵BE⊥AB
∴∠AOB=∠ABE=90°
又∠EAB共用
∴△AOB~△ABE
∴OB：OA=BE：AB，解得BE=；
∴OE==
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，可得OA=OC；根据等腰三角形三线重合的性质，可得AC⊥BD；
(2)根据平行四边形的性质，可得OA=8；根据勾股定理，可得OB的值；根据三角形相似的判定和性质，可得BE的值；根据勾股定理，可得OE的值.
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP∥DE，交⊙O于点P，连结OP．
（1）求证：BD=DC．
（2）求，∠BOP的度数．
【答案】（1）证明：如图，连结AD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
∵AB=AC，∴BD=DC
（2）解：∵∠BAC=30°，AB=AC，
∴∠ABC=×(180°-30°)=75°．
∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，
∴∠EDC=∠BAC=30°．
∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°，
∴∠OBP=∠ABC-∠PBC=45°．
∵OB=OP，∴∠OPB=∠OBP=45°，
∴∠BOP=90°
【解析】【分析】(1)连结AD，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，而AB=AC，再根据等腰三角形的性质即可得到；
(2)根据圆内接四边形的性质得到∠EDC=∠BAC=30°，然后利用平行线的性质得到∠PBC=∠EDC=30°，所以∠OBP=∠ABC-∠PBC=45°，进而可得出结论.
3．春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏，将两张相同形状大小的卡片球上分别标上哪吒、敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上太乙真人、申公豹、李靖，放入不透明的乙袋中．
（1）从甲1袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是______；
（2）先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片，求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
C D E
A
B
共有6种等可能的结果，其中卡片人物恰好哪吒和李靖的结果有：，共1种，
∴卡片人物恰好哪吒和李靖的概率
【解析】【解答】解：（1）根据已知条件可知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，
∴卡片人物恰好是哪吒的概率为．
故答案为：；
【分析】（1）根据已知条件，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，利用概率公式可得答案；
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及卡片人物恰好哪吒和李靖的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，
∴卡片人物恰好是哪吒的概率为．
故答案为：；
（2）解：列表如下：
C D E
A
B
共有6种等可能的结果，其中卡片人物恰好哪吒和李靖的结果有：，共1种，
∴卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．
4．已知二次函数的图像与轴交于，两点，且点在点左侧．若该二次函数的顶点为点，连接，，求的面积．
【答案】解：，图像与轴交于，两点，且点在点左侧，顶点为点，
∴，，，
函数图象如下，
∴，的高是点纵坐标的绝对值，即，
∴，即的面积为．
【解析】【分析】先求出点A、B、P的坐标，再求出的底和高，最后用三角形的面积公式求解。
5．已知：关于x的函数y=kx2+k2x﹣2的图象与y轴交于点C，
（1）当k=﹣2时，求图象与x轴的公共点个数；
（2）若图象与x轴有一个交点为A，当△AOC是等腰三角形时，求k的值．
（3）若x≥1时函数y随着x的增大而减小，求k的取值范围．
【答案】解 （1）方法一：当k=﹣2时，函数为y=﹣2x2+4x﹣2，
∵b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×（﹣2）=0
∴图象与x轴公共点只有一个．
方法二：当k=﹣2时，函数为y=﹣2x2+4x﹣2，
令y=0，则﹣2x2+4x﹣2=0，
解得：x1=x2=1，
∴图象与x轴公共点只有一个；
（2）当△AOC是等腰三角形时，
∵∠AOC=90°，OC=2，
∴可得OA=OC=2
∴点A的坐标为（2，0）或（﹣2，0）．
把x=2，y=0代入解析式 得2k2+4k﹣2=0，
解得 k1=﹣1+，k1=﹣1﹣，
把x=﹣2，y=0代入解析式 得﹣2k2+4k﹣2=0，
解得 k1=﹣k1=1．
∴k的值为﹣1+或﹣1﹣或1；
（3）由“x≥1时函数y随着x的增大而减小”可知，抛物线开口向下，
∴k＜0，且对称轴在直线x=1的左侧，
∴﹣≤1，即-≤1．
解不等式组，
解得﹣2≤k＜0．
【解析】【分析】（1）△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点（或者把k=2代入函数关系，直接求得抛物线与x轴的交点横坐标）；
（2）根据△AOC是等腰直角三角形易求点A的坐标为（2，0）或（﹣2，0）．把点A的坐标代入函数解析式，通过方程来求k的值；
（3）由“k≥1时函数y随着x的增大而减小”可知，抛物线开口向下．则k＜0，且对称轴在直线x=1的左侧，故﹣≤1，即-≤1．
6．食品厂加工生产某规格的食品的成本价为30元/千克，根据市场调查发现，当出厂价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保准盈利的情况下，工厂采取降价措施，调査发现：出厂价每降低1元，每天可多销售50千克.
（1）若出厂价降低2元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润；
（2）求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系；
（3）当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大 最大利润为多少元
【答案】（1）解：(48-30-2)(500+50*2)=9600(元)
答： 若出厂价降低2元，该工厂销售此规格的食品每天的利润为9600元
（2）解：由题意可得：每千克利润为：元，销售数量为：千克，
∴；
（3）解：
∴当时（符合实际），W取得最大值9800
∴当降价4元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为9800元.
【解析】【分析】本题考查的是二次函数的实际应用；
（1）先求出每千克利润可得：48-30-2，再求出销售数量可得：500+50*2，根据每千克利润乘以销售数量可求出总利润；
（2）先求出每千克利润可得：，再求出销售数量可得：，根据每千克利润乘以销售数量可求出利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系；
（3）先将二次函数化为顶点式可得：，再根据二次函数的性质可求出 工厂销售此食品每天获得的利润 最大值.
7．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次.第一档次（最低）的产品一天能生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件.
（1）若生产第档次的产品一天的总利润为元（其中为正整数，且），求出与之间的函数关系式；
（2）若生产第档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次；
【答案】（1）解：.
（2）解：由题意，得.
解得，（不合题意，舍去）.
答：该产品的质量档次为第5档次.
【解析】【分析】
(1) 生产第档次的产品 一天的产量是76-4(x-1)件，每件利润是10+2(x-1)，根据“一天的总利润 = 每件利润 ×生产的件数”列出关系式，再化简即可。
(2)根据(1)中所得关系式，计算当y=1080时的x值即可得出结果。
8．周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽．已知ABCDEF，点C在AG上，AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE．测得GE＝5米，EN＝12.3米，NN′＝6.2米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米？（结果精确到0.01米）
【答案】解：延长MM′交DE于H，如图，则HM＝EN＝12.3米，CD＝GE＝5米，MM′＝NN′＝6.2米，
∵CD∥HM，
∴∠ADC＝∠DMH，
∴Rt△ACD∽Rt△DHM，
∴，
∵AB∥MM′，
∴△ABD∽△MM′D，
∴，即，
解得AB≈2.52（米）．
答：遮阳篷的宽AB是2.52米．
【解析】【分析】延长MM′交DE于H，如图，则HM＝EN，CD＝GE，MM′＝NN′，由平行线的性质可得∠ADC＝∠DMH，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得Rt△ACD∽Rt△DHM，于是可得比例式，同理可得△ABD∽△MM′D，得比例式，根据两个比例式的结论并结合已知可求解.
9．已知二次函数 y=x2+bx 的图象经过点(1，2)．
（1）求b的值．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
【答案】（1）解：将(1，2)代入 y=x2+bx，得 2=1+b，
解得 b=1．
（2）解：配方，化为顶点式为
∴该二次函数图象的顶点坐标为
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入可求出b的值.
（2）将二次函数解析式转化为顶点式，可得到顶点坐标.
10．小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数的图象经过点C.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标.
【答案】（1）解：∵ 点C（2，2）在反比例函数的图象上 ，
∴2=，
∴k=4，
∴反比例函数的表达式为（x>0）.
（2）解：过点C作CM⊥AO，交AO于点M，
[ERRORIMAGE:https://tikupic.21cnjy.com/2025/12/17/64/7d/647d5d7aa6c17d49e36daba41894a014_190x139.png]
∵△ACO为等腰直角三角形，
∴AO=2CM，
∵ 点C的坐标为（2，2），
∴AO=4，
∴设点D旋转前的坐标为（a，4），
∴点D顺时针旋转90°后的坐标为（4，-a），
∵（4，-a）在反比例函数图象上 ，
∴，
∴a=-1，
∴点D旋转前的坐标为（-1，4）.
【解析】【分析】（1）将点C（2，2）代入反比例函数表达式，即可得出答案；
（2）过点C作CM⊥AO，交AO于点M，根据题意设点D旋转前的坐标为（a，4），则点D顺时针旋转90°后的坐标为（4，-a），将（4，-a）代入反比例表达式中，即可得出答案.
11．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是，∴盒子中球的总数为：（个），
∴盒子中黑球的个数为：（个）；
∴任意摸出一个球是黑球的概率为：
（2）解：能
理由∵任意摸出一个球是红球的概率为∴盒子中球的总量为：，
∴可以将盒子中的白球拿出3个
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到所有等可能的结果数及任意摸出一个球是黑球的情况数，再根据概率公式进行计算.
（2）利用已知可求出盒子中球的总量，据此可得答案.
12．如图，四边形OABC是矩形，点A，C在坐标轴上，点B坐标为(-1，3)，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H．
（1）求直线BD的表达式．
（2）求点H到x轴的距离．
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D，F，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．(提示：两直线垂直，斜率乘积为-1)
【答案】（1）解：∵点B坐标为(-1，3) ，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，D(3，0)，E(3，1)，设直线BD的表达式为y=k×+b，则解得
故直线BD的表达式为y=
（2）解：同理可得直线OE的表达式为y=
联立
解得
故点H到x轴的距离为
（3）解：点N坐标为()或()或()
【解析】【解答】解：（3）直线BD的表达式为y=，则点F()
①当FD是矩形的一条边时，当点M在x轴上时，如图．
∵MF⊥BD，则直线MF的表达式为y=
当y=0时，x=后，即点M
点F向右平移3个单位，再向下平移个单位得到点 D，
则点M向右平移3个单位，再向下平移个单位得到点N，
则点N；当点M在y轴上时，同理可得点N；
②当FD是矩形的对角线时，此时点M在原点O处，则点N(3，)
综上，满足条件的点N的坐标为()或(-3，)或(3，)
【分析】(1)由旋转的性质可得，故D(3，0)，E(3，1)，再利用待定系数法求得直线BD的解析式.
(2)先利用待定系数法求得直线OE的解析式，再联立方程组求得交点H的坐标，进而得到点H到x轴的距离.
(3)由直线BD的解析式可得点F的坐标，当MF⊥BD时，通过一次函数的性质求得直线MF的表达式为y=，进而得到点M的坐标为，再利用平移的性质求得点N坐标为；当MD⊥BD时，通过一次函数的性质求得直线MD的表达式为y=，进而得到点M坐标为(0，-4)，再利用平移的性质求得点N坐标为；当FD是矩形的对角线时，此时点M在原点O处，则点N的坐标为.
13．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，另有一个可以自由旋转的圆盘．被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1、2、3（如图所示）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去．
（1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；
（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．
【答案】解：（1）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况，
∴P（和小于4）==，
∴小颖参加比赛的概率为：；
（2）不公平，
∵P（小颖）=，
P（小亮）=．
∴P（和小于4）≠P（和大于等于4），
∴游戏不公平；
可改为：若两个数字之和小于5，则小颖去参赛；否则，小亮去参赛．
【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两指针所指数字之和和小于4的情况，则可求得小颖参加比赛的概率；
（2）根据小颖获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平；使游戏公平，只要概率相等即可．
14．如图，取某一位置的水平线为轴，建立平面直角坐标系后，小山坡可近似地看成抛物线：的一部分．小球在离点的点处抛出，落在山坡的点处（点在小山坡的坡顶的右侧），小球的运动轨迹为抛物线：的一部分．
（1）求小山坡的坡顶高度；
（2）若测得点的高度为，求抛物线的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）当小球运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：，
∴小山坡的坡顶高度为；
（2）解：∵点的高度为，∴点的纵坐标为3，
令，
解得，，
∵点在小山坡的坡顶的右侧，
∴，
点的坐标为，
当时，，
，即，
由题意得：，
∴，
∴点的坐标为，
将，代入得，
解得，
∴抛物线的函数解析式为。
（3）解：，
∴L1的顶点坐标
由（2）可得：点的坐标为，
，
在中，当时，，
∵当小球运动到坡顶正上方时，与坡顶距离超过3米，
，
解得：，
的取值范围是．
【解析】【分析】（1）将化为顶点式， 小山坡的坡顶高度是实际就是求的最大值，将化为顶点式即可得到答案。
（2）先求出点和点的坐标，再将点和点的坐标代入得到，求出的值即可得到答案；
（3）由（1）可得L1顶点坐标为 ，由（2）可得：点的坐标为，从而得到，在中，当时，，根据当小球运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，得出，解不等式即可得到答案．
（1）解：，
∴小山坡的坡顶高度为；
（2）解：∵点的高度为，
∴点的纵坐标为3，
令，
解得，，
∵点在小山坡的坡顶的右侧，
∴，
点的坐标为，
当时，，
，即，
由题意得：，
∴，
∴点的坐标为，
将，代入得，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（3）解：，
∴小山坡的坡顶高度为，
由（2）可得：点的坐标为，
，
在中，当时，，
∵当小球运动到坡顶正上方时，与坡顶距离超过3米，
，
解得：，
的取值范围是．
15．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，若四边形DEFB为菱形，且AB=8，BC=12，求菱形DEFB的边长．
【答案】解：设菱形DEFB的边长为x，
∵四边形DEFB是菱形，
∴BD=DE=BF=x，DE∥BF，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = ，
∵AB=8，BC=12，
∴ = ，
解得：x= ，
即菱形DEFB的边长为 。
【解析】【分析】 设菱形DEFB的边长为x，根据菱形的性质可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，代入数据求解即可.
16．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点平分.
（1）求证：DB平分，并求的度数.
（2）过点作，交AB的延长线于点，若，求此圆的半径.
【答案】（1）解：∵∠BAC＝∠ADB，
∴弧AB＝弧BC，
∴∠ADB＝∠CDB，即DB平分∠ADC．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴弧AD＝弧CD，
∴弧AD＋弧AB＝弧CD＋弧BC，
∴弧BAD＝弧BCD，
∴BD是圆的直径，
∴∠BAD＝90°
（2）解：∵∠BAD＝90°，CF∥AD，
∴∠F＋∠BAD＝180°，
∴∠F＝90°．
∵弧AD＝弧CD，
∴AD＝DC．
∵AC＝AD，
∴AC＝AD＝CD，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝60°．
∵DB平分∠ADC，
∴∠CDB＝∠ADC＝30°．
∵BD是圆的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴BC＝BD．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝120°，
∴∠FBC＝60°，
∴∠FCB＝90°-60°＝30°，
∴FB＝BC．
∵BF＝2，
∴BC＝8，
∴BD＝2BC＝16．
∵BD是圆的直径，
∴半径的长为BD＝4
【解析】【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得弧AB＝弧BC，进而可得∠ADB＝∠CDB，再证弧BAD＝弧BCD，推出BD是圆的直径，可得∠BAD＝90°；
（2）先证∠F＝90°，△ADC是等边三角形，进而证明△BCD和△BFC是含30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得BC＝BD，FB＝BC，即可求出半径．
17．如图，在正方形中有一点P，连接、，旋转到的位置．
（1）若正方形的边长是8，．求阴影部分面积；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）解：如图，∵正方形，旋转到的位置，
∴，，，
∵，
∴，
∵，∴．
（2）解：连接，
根据题意，，，∴，
∵，，∴，
∴，解得．
【解析】【分析】(1) 根据题意，利用扇形的面积公式，结合，即可求解；
(2) 连接，求得，根据勾股定理计算得出的长，结合，即可求解.
（1）如图，∵正方形，旋转到的位置，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）连接，
根据题意，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得．
18．如图，
AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在⊙O上，FD恰好经过圆心O，连结FB．
（1）若∠F=∠D，求∠F的度数．
（2）若CD=24，BE=8，求⊙O的半径．
【答案】（1）解：∵OF=OB，∴∠B=∠F，
∴∠DOB=∠B+∠F=2∠B．
∵∠DOE+∠D=90°，
∴2∠B+∠D=90°．
∵∠F=∠B=∠D，∴2∠D+∠D= 90°，
∴∠D=30°．
∴∠F= 30°；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵AB⊥CD，
∴CE= DE= CD= ×24=12．
在Rt△ODE中，OE=OB- BE=r- 8，0D=r，
∵OE2+ DE2=OD2 ，
∴(r-8)2+122=r2 ，解得r=13，
∴⊙O的半径为13.
【解析】【分析】（1）由OF=OB可得∠B=∠F，根据三角形外角的性质可得∠DOB=∠B+∠F=2∠B，从而得出∠DOE+∠D=2∠B+∠D=90°，结合∠B=∠D可求出∠D的度数，继而得解；
（2）设⊙O的半径为r，由垂径定理可得DE= CD=12，在Rt△ODE中，利用勾股定理建立关于r的方程并解之即可.
19．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC＝15，高AH＝10，求正方形DEFG的边长和面积.
【答案】解：高AH交DG于M，
设正方形DEFG的边长为x，则DE=MH=x，
∴AM=AH﹣MH=10﹣x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴ ，即 ，
∴x=6，
∴正方形DEFG的面积为：x2=36.
答：正方形DEFG的边长和面积分别为6，36.
【解析】【分析】高AH交DG于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则DE=MH=x，所以AM=10-x，再证明△ADG∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比得出 ，然后根据比例建立方程求出x，再计算x2的值即可.
20．一个不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同.求下列事件的概率：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球.
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球.
【答案】（1）解：∵红、黄、蓝、白的球各一个，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率为
（2）解：列表得：
红 黄 蓝 白
红 (红， 红) (黄， 红) (蓝， 红) (白， 红)
黄 (红， 黄) (黄， 黄) (蓝， 黄) (白， 黄)
蓝 (红， 蓝) (黄， 蓝) (蓝， 蓝) (白， 蓝)
白 (红， 白) (黄， 白) (蓝， 白) (白， 白)
所有等可能的情况数有16种，其中两次都为红球的情况数有1种，
∴两次都是红球的概率为
【解析】【分析】(1)列举出所有的可能情况，计算概率即可；
(2)列表得出所有等可能的情况数，找出两次都是红球的情况数，即可求出所求的概率.
21．如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是 的中点，判断四边形OACB的形状并证明你的结论.
【答案】解：四边形OACB是菱形，理由如下：
∵ C是 的中点，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OA=OC=OB，
∴△AOC和△BOC是等边三角形，
∴OA=AC=OB=BC，
∴四边形OACB是菱形.
【解析】根据同弧所对的圆心角相等，可得∠AOC=∠BOC=60°，结合同圆的半径相等，得出△AOC和△BOC是等边三角形，从而根据四边形的四条边相等判断出四边形OACB是菱形.
22．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点在该抛物线上，已知当点在点处时，点恰与点重合．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当点在第二象限内时，求的取值范围．
（3）若点也在该抛物线上，且恒有，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵在该抛物线上，当点在点处时，点恰与点重合，
∴，点Q的横坐标为3，
∴，
将代入得，，
抛物线的函数表达式；
（2）解：令，则．
或．
解得，．
所以抛物线与轴的交点坐标为，．
点在第二象限，
，
，
点在对称轴直线的右侧，随的增大而减小，
当时，，当时，，
；
（3）解：令，
解得或，
，
，
解得，
，
所以符合条件的两种情况如图所示：
①当点、位于对称轴两侧时，如图1，
∴
解得，
∴；
②当点P、Q位于对称轴同侧时，如图2
，
解得：，
综上所述：或．
【解析】【分析】（1）由题易得，再代入二次函数y=ax2-2ax+3求出a的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）令（1）所求抛物线解析式中的y=0算出对应的x的值，可得点A、B的坐标，由P在第二象限可知，进而根据不等式性质得到，再根据增减性求解即可；
（3）由易得0，再分类讨论，①当点、位于对称轴两侧时，②当点P、Q位于对称轴同侧时，利用增减性和对称性建立不等式求解即可．
（1）∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵在该抛物线上，当点在点处时，点恰与点重合，
∴，点Q的横坐标为3，
∴，
将代入得，，
抛物线的函数表达式；
（2）解：令，则．
或．
解得，．
所以抛物线与轴的交点坐标为，．
点在第二象限，
，
，
点在对称轴直线的右侧，随的增大而减小，
当时，，当时，，
；
（3）令，
解得或，
，
，
解得，
，
所以符合条件的两种情况如图所示：
①当点、位于对称轴两侧时，如图1，
∴
解得，
∴；
②当点P、Q位于对称轴同侧时，如图2
，
解得：，
综上所述：或．
23．如图，要测量河宽，可在两岸找到相对的两点A、B，先从B出发与AB成90°方向向前走50米，到C处立一标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D处，在D处转90°，沿DE方向走到E处，若A、C、E三点恰好在同一直线上，且DE=17米，你能根据题目提供的数据和图形求出河宽吗？
【答案】解：∵先从B处出发与AB成90°角方向走50米到C处，然后方向不变继续朝前走10米到D处，
∴∠ABC=90°，BC=50m，CD=10m，
又∵在D处转90°，沿DE方向走到E处，
∴∠EDC=90°，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
∵A、C、E三点恰好在同一直线上，
∴∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴ ，即 ，
∴AB=85m.
∴河宽为85米.
【解析】【分析】根据两角分别相等可证△ABC∽△EDC，可得，据此求出AB的长.
24．如图，在正方形网格中，△ 的顶点分别为O（0，0），B（3，-1），C（2，1）.
（1）以点O（0，0）为位似中心，按相似比2：1在位似中心的异侧将△ 放大为△ ' '，放大后点 ， 两点的对应点分别为 '， '，画出△ ' '，并写出点 '， '的坐标： '（ ， ）， '（ ， ）；
（2）在（1）中，若点 ( ， )为△ 内部任一点，写出变化后点 的对应点 '的坐标（ ， ）.
【答案】（1）-6；2；-4；-2
（2）-2x；-2y
【解析】【解答】解：(1)图形如图，
B'(-6，2)，C'(-4，-2).
故答案为：-6；2；-4；-2.
(2)M'(-2x，-2y).
故答案为：-2x；-2y.
【分析】(1)延长BO，CO，根据相似比，在延长线上分别截取BO，CO的2倍，找到点B'，C'，接着顺次连接所作各点，即可得到位似图形△OB'C'，再根据点的位置写出点的坐标即可.
(2)M'的坐标的横坐标、纵坐标分别是M的坐标的2倍的相反数.
25．如图，在矩形中，，点是射线上一点，连接，作于点．
（1）当点在的延长线上，且交于点，写出至少三个与相似的三角形；
（2）设，求出与之间的函数关系式，并直接写出当点在边（点不与点重合，可与点重合）上时，的取值范围．
【答案】（1）解：在矩形中，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
；
（2），
【解析】【解答】（2）解：由（1）知，，
，
在矩形中，，
，
又，，
，
即，
在直角中，
，
点在边（点不与点重合，可与点重合），
，
，
综上所述，与之间的函数关系式为，．
【分析】（1）根据矩形性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，，利用两角对应相等，两个三角形相似即可得到，，即可得出与相似的三角形有，，，；
（2）根据相似三角形性质得到，即可求解出与之间的函数关系式，根据点在边（点不与点重合，可与点重合）即可得到的取值范围，从而求得的取值范围．
（1）解：在矩形中，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，
在矩形中，，
，
又，，
，
即，
在直角中，
，
点在边（点不与点重合，可与点重合），
，
，
综上所述，与之间的函数关系式为，．
26．如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．
【答案】解：连接OA，过点O作OD⊥AB，
∵AB=12，
∴AD= AB= ×12=6，
∵相邻两条平行线之间的距离均为4，
∴OD=8，
在Rt△AOD中，
∵AD=6，OD=8，
∴OA= = =10．
答：⊙O的半径为：10．
【解析】【分析】 连接OA，过点O作OD⊥AB， 根据垂径定理得出 AD= AB= ×12=6， 在Rt△AOD中，利用勾股定理即可算出 OA的长。
27．某景区有两个景点需购票游览，售票处出示的三种购票方式如下：
方式1：只购买景点A，30元/人；
方式2：只购买景点B，50元/人﹔
方式3：景点A和B联票，70元/人.
预测，四月份选择这三种购票方式的人数分别有2万、1万和1万.为增加收入，对门票价格进行调整，发现当方式1和2的门票价格不变时，方式3的联票价格每下降1元，将有原计划只购买A门票的400人和原计划只购买B门票的600人改为购买联票.
（1）若联票价格下降5元，则购买方式1门票的人数有 万人，购买方式2门票的人数有 万人，购买方式3门票的人数有 万人.请计算门票总收入有多少 万元？
（2）当联票价格下降x（元）时，请求出四月份的门票总收入w（万元）关于x（元）之间的函数表达式，并求出联票价格为多少元时，四月份的门票总收入最大？最大值是多少？
【答案】（1）1.8；0.7；1.5；186.5
（2）解：由题意得四月份的门票总收入w（万元）关于x（元）之间的函数表达式为，
当x=9，即联票价格为61元时，四月份的门票总收入最大，最大值是188.1万元.
【解析】【解答】解：（1）方式3的联票价格每下降1元，将有原计划只购买A门票的400人和原计划只购买B门票的600人改为购买联票，
当联票价格下降5元时，购买方式1门票的人数有20000-5400=18000人，
购买方式2门票的人数有10000-5600=7000人，
购买方式3门票的人数有10000+5400+5600=15000人，
购买方式1门票的人数有1.8万人，购买方式2门票的人数有0.7万人，购买方式2门票的人数有1.5万人，
门票总收入有多少有301.8+500.7+（70-5）1.5=186.5万元，
故答案为：1.8；0.7；1.5；186.5；
【分析】（1）根据题意数量关系直接求解；
（2）根据题意列出函数解析式，然后利用二次函数性质求最大值即可.
28．甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中.
（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；
（2）从袋巾随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由.
【答案】（1）解：三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：
（2）解：这个游戏不公平.
画树状图得：
共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，
（甲胜），（乙胜），（甲胜）（乙胜），
这个游戏不公平.
【解析】【分析】（1）用概率公式可求解；
（2）根据题意画出树状图，然后由树状图的信息可知：共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，根据概率公式计算甲胜和乙胜的概率，比较大小即可判断游戏的公平性.
29．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON 的顶点O 在 AB 上，OM，ON 分别交CA，CB 于点 P，Q，∠MON 绕点O任意旋转.当OB=2OA 时，求 的值.
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【答案】解：过点O 作OG⊥AB 交 BC 于点 G.设OG=2x，
[ERRORIMAGE:https://tikupic.21cnjy.com/2025/08/06/71/1c/711cb39c662cbf38917382f2c39ccdfb_232x139.jpeg]
∵∠ABC=30°，
∴GB=2OG=4x，
∴OB=2 x，
∴∠AOP=∠GOQ，
∵∠A+∠B=∠OGB+∠B=90°，
∴∠A=∠OGB，
∴△AOP∽△GOQ，
∴
【解析】【分析】作OG⊥AB，设OG=2x，则可得OB、GB、OA的长度，由△AOP~△GOQ可得OP与OQ的比值.
30．如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数表达式和一次函数表达式；
（2）若点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标；
（3）若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标．
【答案】（1）解：点在反比例函数图象上，，
反比例函数表达式为，
，得，
，
将点和点代入得，
解得，
∴一次函数表达式为；
（2）解：作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，
设，代入得，
解得，
令，得
.
（3）解：如图，过作轴于，过作轴于，设，∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵在的图象上，
∴，即，
解得：，，
∴或.
【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，轴对称最短路径问题：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，据此求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可．
（3）如图，过作轴于，过作轴于，设，证明，可得，可得，再解方程可得答案；
（1）解：点在反比例函数图象上，
，
反比例函数表达式为，
，得，
，
将点和点代入得，
解得，
∴一次函数表达式为；
（2）解：作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，
设，代入得，
解得，
令，得
；
（3）解：如图，过作轴于，过作轴于，设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵在的图象上，
∴，即，
解得：，，
∴或.
31．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F．写出图中任意一对相似三角形，并说明理由．
【答案】解：①△AFD∽△EFC，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BE，
∴∠DAF＝∠CEF，∠DAF＝∠CEF，
∴△AFD∽△EFC．
②△EFC∽△EAB，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠EFC＝∠EAB，∠FCE＝∠ABE，
∴△EFC∽△EAB．
③△EAB∽△AFD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠DAF＝∠E，
∴△EAB∽△AFD．
综上所述有三对三角形相似，它们是：△AFD∽△EFC；△EFC∽△EAB；△EAB∽△AFD．
【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理证明得到答案即可。
32．某商场销售成本为每件元的商品据市场调查分析，如果按每件元销售，一周能卖出件；若销售单价每涨元，每周销量就减少件设销售单价为元．
（1）若按每件元销售，每周销量为______件；毛利润为______元
（2）求出一周销售量（件）与（元）的函数关系式．
（3）设一周销售获得毛利润元，写出与的函数关系式，并求出一周毛利润的最大值以及此时的销售单价．
【答案】（1）；
（2）解：由题意得，，
一周销售量件与元的函数关系式为；
（3）解：由题意得，
，
，
当时，毛利润有最大值，最大值为，
与的函数关系式为，一周毛利润的最大值为元，此时的销售单价为元．
【解析】【解答】（1）解：由题意得，若按每件元销售，每周销量为（件），
毛利润为（元）．
故答案为：；．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
（1）根据题意可得，按每件元销售，每周销量为（件），根据利润销售数量（售价成本），进行计算即可；
（2）直接根据“如果按每件元销售，一周能卖出件；若销售单价每涨元，每周销量就减少件”，列出解根据一次函数的性质，即可求解；
（3）利用“利润销售数量（售价成本）”可得关于的二次函数，然后确定其最大值，即可求解．
（1）解：由题意得，若按每件元销售，每周销量为（件），
毛利润为（元）．
故答案为：；．
（2）解：由题意得，，
一周销售量件与元的函数关系式为；
（3）解：由题意得，
，
，
当时，毛利润有最大值，最大值为，
与的函数关系式为，一周毛利润的最大值为元，此时的销售单价为元．
33．已知线段 ， 且 ．
（1） 求 的值．
（2） 若线段 满足 ， 求 的值．
【答案】（1）解：∵，
∴设a=2k，b=3k，c=4k，
∴.
（2）解：∵ 线段 满足 ，
∴2k+3k+4k=27，
∴k=3.
∴a=6，b=9，c=12，
∴a－b+c=6－9+12=9
【解析】【分析】（1）根据设a=2k，b=3k，c=4k，代入分式求值即可；
（2）把a=2k，b=3k，c=4k，代入等式得到关于k的方程，求解即可得a，b，c的值，进而可计算 的值.
34．如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB=BE，求BC与AB的比值．
【答案】解：∵矩形ABCD∽矩形ECDF，∴，即∴BC2﹣BC AB﹣CD2=0，解得，BC=CD，∵BC、CD是正数，∴
【解析】【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可．
35．已知点为二次函数图像上的点，求代数式的值．
【答案】解：∵点在二次函数图像上
∴
∴
∵
把代入得
【解析】【分析】由点A在抛物线上，把点A（a，2）代入抛物线解析式可得关于a的等式，化简所求代数式然后对比得到的a的等式，发现隐含的倍数关系，求解。
36．如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F.
（1）求证：△BCF≌△BA1D．
（2）当∠C=α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由。
【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，∠A=∠C，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置，∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，在△BCF与△BA1D中， ，
∴△BCF≌△BA1D
（2）解：四边形A1BCE是菱形，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置，∴∠A1=∠A，∵∠ADE=∠A1DB，∴∠AED=∠A1BD=α，∴∠DEC=180°﹣α，∵∠C=α，∴∠A1=α，∴∠ABC=360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC=180°﹣α，∴∠A1=∠C，∠A1BC=∠AEC，∴四边形A1BCE是平行四边形，∴A1B=BC，
∴四边形A1BCE是菱形
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质，根据两个三角形的两个角及其夹边相等，两个三角形全等，可证明△BCF≌△BA1D。
（2）利用旋转的性质，旋转前后，两个图形的对应角相等，对应线段相等，进行角度相等的证明；根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，判定四边形A1BCE是平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形为菱形得出四边形A1BCE是菱形。
37．某摩托车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y(件)与售价x(元)的关系式为：y=-2x+400；
（1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元；
（2）若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大
【答案】（1）.解：依题意得，
整理得：，
解得或180，
∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，
不合题意舍去，
答：当售价为60元时，利润达到5600元．
（2）解：设利润为元，则
+12800
∵获利不得高于进价的80%，40×80%=32；
∴，
∵，
∴当时，W随着x的增大而增大
∴当时，W最大．
答：售价定为72元时，月销售利润达到最大．
【解析】【分析】（1）根据利润等于每间的利润乘以销量可以列方程，因式分解解方程即可；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式；根据二次函数的性质，配方法求最值即可.
38．如图，水管内原有积水的水面宽CD=4cm，水深GH=1cm．因几天连续下雨水面上升1cm（即EG=1cm），求此时水面AB的宽是多少？
【答案】解：如图所示，连接OA、OC．
设⊙O的半径是R，则OG=R﹣1，OE=R﹣2．
∵OH⊥CD，
∴CG= CD=2cm．
在直角△COG中，根据勾股定理，得
R2=22+（R﹣1）2，
解得，R= （cm）．
在直角△AOE中，根据勾股定理，得
AE= = = cm．
根据垂径定理，得AB=2AE=2 cm．
故此时水面AB的宽是2 cm．
【解析】【分析】连接OA、OC．设⊙O的半径是R，则OG=R﹣1，OE=R﹣2．根据垂径定理，得CG=2cm．在直角△OCG中，根据勾股定理求得R的值，再进一步在直角△OAE中，根据勾股定理求得AE的长，从而再根据垂径定理即可求得AB的长．
39．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．
①画出△ABC，并将它绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．
②以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2，并计算△A2B2C2的面积．
【答案】解：△ABC，△A1B1C1、△A2B2C2如图所示，
C1（3，3）
=4 S△ABC=4（2×4﹣ 1 2﹣ 1 4﹣ 2 2）=12．
【解析】【分析】根据三点的坐标画出图形，再根据旋转的性质得到△A1B1C1，因为位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比，画出△A2B2C2.
40．在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ．
（1）如图1，当时，若点C的坐标为 ，是等腰直角三角形，，，直接写出x、y满足的数量关系式．
（2）如图2，E为y轴负半轴上一点，且，C为第一象限内一点，，且，直线EC交x轴于点H，求的值；
（3）如图3，当时，在 中， ，若，求 长．（用含m的式子表示）
【答案】（1）解：如图1，过点C作轴于点D，
∵，
∴，
∵x轴 轴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图2，
由（1）得 ，
∵，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴；
（3）解：如图3，∵ ，
∴，
∵，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴，
设，
∴，
∴，
设 ，则 ，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质以及坐标与图形.（1）过点C作轴于点D，先利用角的运算可推出，再结合，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，再利用线段的运算可求出x、y满足的数量关系式；
（2）由（1）得 ，再结合，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得； ，据此可得 ，通过变形可求出答案；
（3）设，设 ，则 ，利用角的运算可推出，再结合，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得： ，据此可列出方程，利用勾股定理可列出方程，两个方程联立可得，通过变形可求出关系式．
（1）解：如图1，过点C作轴于点D，
∵，
∴，
∵x轴 轴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图2，
由（1）得 ，
∵，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴；
（3）解：如图3，
∵ ，
∴，
∵，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴，
设，
∴，
∴，
设 ，则 ，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴．
41．如图①是一个立方体纸盒，图②③分别是该立方体纸盒两种不同的表面展开图.
（1）如图②，连结 AB，CD，猜想 AB，CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图③，连结MN，GH交于点P，求的值.
【答案】（1）解：AB⊥CD，
理由如下：
把线段AB向右平移一个小正方形边长的距离，则点B与点C重合，点A的对应点为点A1.
∵A1E=CF，CE=DF，∠A1EC=∠CFD，
∴△A1EC≌△CFD，
∴∠A1CE=∠CDF，
∴∠A1CE+∠DCF=∠CDF+∠DCF=90°，
∴A1C⊥CD.
∵AB//A1C，
∴AB⊥CD
（2）解：记MN与BC交于点A，则点A是MN的中点.
∵BM//CN，BM=CN，
∴∠AMB=∠ANC，∠ABM=∠ACN，
∴△ABM≌△ACN(ASA)，
∴AB=AC，
设NH=2a，则AG=3a.
∵NH//AG，
∴△NPH∽△APG
∴
设NP=2k，AP=3k，则AN=NP+AP=5k
∴AM=AN=5k，
∴MP=AM+AN-NP=8k，
∴
【解析】【分析】(1)AB⊥CD.把线段AB向右平移一个小正方形边长的距离，则点B与点C重合，点A的对应点为点A1，证明△A1EC≌△CFD，得到∠A1CE=∠CDF，即可得到∠A1CE+∠DCF=90°，进而得到A1C⊥CD，即可求证；
(2)记MN与BC交于点A，则点A是MN 的中点.证明△ABM≌△ACN得到AB=AC，设NH=2a，则AG=3a，证明△NPH∽△APG，得到.设NP=2k，AP=3k，分别求出AM=5k，MP=8k，即可求出的值.
42． 在二次函数y=x2+2mx+m-1中，
（1）若该二次函数图象经过(0，0)，求该二次函数的解析式和顶点坐标.
（2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（3）若m<0时，点A(n-2，p)，B(2，q)，C(n，p)都在这个二次函数图象上且m-1>q>p，求n的取值范围.
【答案】（1）解： y =x2+2mx+m -1图象经过 (0，0) ，
∴m -1=0，解得：m=1，
∴
∴对称轴直线x=-1，顶点为（-1，-1）.
（2）证明：，
∴ 不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（3）解：点 A(n-2，p)，C(n，p) 在二次函数图象上 ，
∴对称轴为直线，化简得：n=1-m，
把 B(2，q) 代入解析式，得：4+4m+m-1=q，即q=5m+3，
已知 m-1>q ，即m-1>5m+3，解得：m＜-1，即得：n＞2，
抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ q>p
∴
当时，解得，不符合题意，舍去；
当时，即n+2(1-n)＜-2，解得：n＞4.
∴ n的取值范围是n＞4.
【解析】【分析】（1）把 (0，0)代入解析式可得m=1，进而可得函数解析式和顶点坐标；
（2）根据可得不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
（3）根据点 A(n-2，p)，C(n，p) 在二次函数图象上 ，由对称轴可得n=1-m，把 B(2，q) 代入解析式，得q=5m+3，然后根据二次函数的性质可得，分类讨论，分别求解即可.
43．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
（1）若对于，，有，求的值；
（2）若对于，，存在，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意知，．
．
．
（2）解：，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
设抛物线上的四个点的坐标为，，，．
点A关于对称轴的对称点为．
抛物线开口向上，点是抛物线顶点，
．
ⅰ．当时，．
．
．
不存在，不符合题意．
ⅱ．当时，．
．
．
存在，符合题意．
ⅲ．当时，
的最小值为．
，
存在，符合题意．
ⅳ．当时，．
．
．
存在，符合题意．
ⅴ．当时，．
．
．
不存在，不符合题意．
综上所述，的取值范围是．
【解析】【分析】（1）将，代入解析式可得，再化简可得，再根据二次函数的对称轴即可求出答案.（2）根据二次函数性质与系数的关系可得当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小设抛物线上的四个点的坐标为，，，，则点A关于对称轴的对称点为，分情况讨论：当时，当时，．当时，当时，当时，根据题意建立不等式，结合函数性质即可求出答案.
（1）解：由题意知，．
．
．
（2），
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
设抛物线上的四个点的坐标为，，，．
点A关于对称轴的对称点为．
抛物线开口向上，点是抛物线顶点，
．
ⅰ．当时，．
．
．
不存在，不符合题意．
ⅱ．当时，．
．
．
存在，符合题意．
ⅲ．当时，
的最小值为．
，
存在，符合题意．
ⅳ．当时，．
．
．
存在，符合题意．
ⅴ．当时，．
．
．
不存在，不符合题意．
综上所述，的取值范围是．
44．如图，已知，，，将边绕点C逆时针旋转角至的位置，连接.
（1）求的度数；
（2）过点作的垂线，与交于点E，交的延长线于点F，连接.求证：是等腰直角三角形.
【答案】（1）解：∵CA＝CD，∠ACD＝α，∴∠CDA＝∠CAD＝90°－α．
∵CA＝CB，CA＝CD，∴CB＝CD．
又∠BCD＝90°－α，∴∠CDB＝∠CBD＝45°＋α．
∴∠ADB＝∠CDA＋∠CDB＝90°－α＋45°＋α＝135°．
（2）解：∵CB＝CD，CE⊥BD，∴DE＝BE．∴CF垂直平分BD．
∴FD＝FB．
∴∠FBD＝∠FDB＝180°－∠ADB＝45°．
在△FBD中，∠BFD＝180°－∠FBD－∠FDB＝90°．
∴△BFD是等腰直角三角形．
【解析】【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质分别用α表示∠CAD和∠CDB，然后即可求∠ADB；
（2）利用旋转的性质可以证明CE是BD的垂直平分线，然后利用（1）的结论即可证明．
45．（1）已知正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图① ，将△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，OC′与CD交于点M，OB′与BC交于点N，请猜想线段CM与BN的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图② ，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO′C′，连接AO′、DC′，请猜想线段AO′与DC′的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图③ ，已知矩形ABCD和Rt△AEF有公共点A，且∠AEF=90°，∠EAF=∠DAC=α，连接DE、CF，请求出的值（用α的三角函数表示）．
【答案】解：（1）CM=BN．理由如下：如图①，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，
∵△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，
∴∠B′OC′=∠BOC=90°，
∴∠B′OC+∠COC′=90°，
而∠BOB′+∠B′OC=90°，
∴∠B′OB′=∠COC′，
在△BON和△COM中
，
∴△BON≌△COM（ASA），
∴CM=BN；
（2）如图②，连接DC′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，
∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，
∴AC=AB，BC=BO，
∴BD=AB，
∵△BOC绕点B逆时针方向旋转得到△B′OC′，
∴∠O′BC′=∠OBC=45°，OB=O′B，BC′=BC，
∴BC′=BO′，
∴==，
∵∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠2，
∴△BDC′∽△BAO′，
∴==，
∴DC′=AO′；
（3）如图③，在Rt△AEF中，cos∠EAF=；
在Rt△DAC中，cos∠DAC=，
∵∠EAF=∠DAC=α，
∴==cosα，∠EAF+∠FAD=∠FAD+∠DAC，即∠EAD=∠FAC，
∴△AED∽△AFC，
∴==cosα．
【解析】【分析】（1）如图1①，根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，再根据旋转的性质得∠B′OC′=∠BOC=90°，然后利用等角的余角相等得∠B′OB′=∠COC′，则可根据“ASA”判断△BON≌△COM，于是得到CM=BN；
（2）如图②，连接DC′，根据正方形的性质得AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，于是可判断△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，
则AC=AB，BC=BO，所以BD=AB；再根据旋转的性质得∠O′BC′=∠OBC=45°，OB=O′B，BC′=BC，则BC′=BO′，所以==，再证明∠1=∠2，则可根据相似的判定定理得到△BDC′∽△BAO′，利用相似比即可得到DC′=AO′；
（3）如图③，根据余弦的定义，在Rt△AEF中得到cos∠EAF=；在Rt△DAC中得到cos∠DAC=，由于∠EAF=∠DAC=α，所以==cosα，∠EAD=∠FAC，则可根据相似的判定定理得到△AED∽△AFC，利用相似比即可得到=cosα．
46．已知关于的二次函数.
（1）该函数的图象与轴只有一个交点，求与之间的关系.
（2）若，当时，随的增大而增大，求的取值范囲.
（3）若，该函数的象不经过第三累限，求的取值范围.
【答案】（1）解：当该函数的图象与x轴只有一个交点时，
(x-2a)(x-b-1)=0只有一个根，
∴2a=b+1；
（2）解：当a=1时，二次函数与x轴两交点的横坐标为2和b+1；
∵函数的二次项系数大于0
∴函数的开口向上
∵ 当时，随的增大而增大
∴b+1≤3+3-2，
解得b≤3；
（3）解：∵
∴ 二次函数为y=(x-2m)(x+m-2)
∵该图象不经过第三象限，
∴当与x轴只有一个交点时，2m=2-m，
解得m=；
当与x轴有两个交点时，2m+2-m>0且2m(2-m)≥0，
解得0≤m≤2；
∴m=或0≤m≤2.
【解析】【分析】（1）根据因式分解法解方程，可知方程的两根为2a和b+1，当方程与x轴只有一个交点时，两根相等，据此可得答案；
（2）根据a=1，可知方程的对称轴，再根据函数的增长性质，结合开口方向，列不等式即可；
（3）根据因式分解法解方程，可知方程的两根为2m和2-m，根据图象与象限的关系，分类讨论与x轴交点的个数，列等式和不等式即可.
47．如图，已知△ABC 内接于⊙O，点 D在AC上，且AB=AD=DC，E 是BC的中点，连结AE交直径BC 于点 F，连结 BD.
（1）求证：AE⊥BD；
（2）若 BC=10，求AE的长；
（3）连结 EO 并延长，交 AC 于点 G，连结OD，求 的值.
【答案】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∵E是 的中点，
（2）解：令AE交BD于点P， 连接BE， EC，
∵ BC是⊙O的直径，
∵ E是 的中点，
C，
∵AB= AD， AE⊥BD，
由勾股定理得：
（3）解：∵∠BAC = 90°， AB= AD，
∴△ABD是等腰直角三角形.
∴∠ABD=∠ADB =45°，
∴∠BAE=∠EAC =45°，
∵AD = DC， OD经过圆心，
∴OD⊥AC，
∴∠BDO=∠EAG =45°，
∵AE⊥BD， ∠AFB=∠OFE，
∴∠DBO=∠AEG，
∵∠BDO =∠EAG =45°，
∴△BDO∽△EAG，
设AB=a， 则AC=2a，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：
在 中，
【解析】【分析】(1)根据BC是⊙O的直径， 得出 根据圆周角定理 ，再利用等腰三角形的三线合一的性质解答即可；
(2)令AE交BD于点P， 连接BE， EC， 根据BC是⊙O的直径，得出 根据条件 得出 结合勾股定理解答即可；
(3)根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到△BDO∽△EAG，根据对应边成比例设AB=a， 则AC=2a，求出BC长，进而求出EP长，根据相似三角形的面积比等于相似逼得平方解答即可.
48．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点．
（1）在点中，点 是线段关于原点O的“伴随点”；
（2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围 ；
（3）已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，直接写出n的最大值 和n的最小值 ．
【答案】（1）和
（2）
（3）；
【解析】【解答】（1）解：∵，，
轴，
如图所示，点绕点O顺时针旋转得到的对应点分别为：，
其中点，在线段上，
∴和是线段关于原点O的“伴随点”，
故答案为：和；
（2）
解：，，，
在第一象限，
∵点是关于原点O的“伴随点”，
∴点在第二象限，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则：，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
在第一象限，
，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴，
当在上时，m值最小，即，解得：，
当在上时，m值最大，即，解得：，
∴。
故答案为：。
（3）
解：∵抛物线的解析式为，
∴其关于原点对称的抛物线解析式为，
如图，绕点O逆时针旋转得到，其中，
∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，
∴当过时，n的值最大，
把代入得，
解得：，
n的最大值为，
当过时，n的值最小，
把代入得，
解得：，
n的最小值为．
故答案为：；。
【分析】（1）根据“伴随点”的定义进行判断即可求出答案.
（2）根据“伴随点”的定义可得点在第二象限，过点作轴于点，过点作轴于点，则：，根据旋转性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据两点间距离可得，再根据第一象限内点的坐标特征可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得，当在上时，m值最小，当在上时，m值最大，建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据对称性质可得其关于原点对称的抛物线解析式为，将绕点O逆时针旋转得到，根据抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点时n有最大值，当抛物线过点时n有最小值，将点A'，C'坐标代入解析式即可求出答案.
（1）解：∵，，
轴，
如图所示，点绕点O顺时针旋转得到的对应点分别为：，
其中点，在线段上，
∴和是线段关于原点O的“伴随点”，
故答案为：和；
（2）解：，，，
在第一象限，
∵点是关于原点O的“伴随点”，
∴点在第二象限，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则：，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
在第一象限，
，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴，
当在上时，m值最小，即，解得：，
当在上时，m值最大，即，解得：，
∴。
故答案为：。
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴其关于原点对称的抛物线解析式为，
如图，绕点O逆时针旋转得到，其中，
∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，
∴当过时，n的值最大，
把代入得，
解得：，
n的最大值为，
当过时，n的值最小，
把代入得，
解得：，
n的最小值为．
故答案为：；。
49．已知二次函数 .
（1）当 时，函数的最大值与最小值之差为 2，求 的值；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）解： ，对称轴 ，
分类讨论： ① 当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，解得 ，
不符合题意， 舍去.
② 当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，解得 ，
不符合题意， 舍去.
③当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，解得 或 不符合题意，舍去.
④当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，
解得 或 不符合题意，舍去.
综上， 或 .
（2）解：分类讨论：
① 当 时，即 ，当 时， ，即 ，解得 ，故 .
② 当 时，即 ，
当 时， ，即 ，解得 ，不符合题意，舍去.
③当 时，即 ，
当 时， ，即 ，解得 ，故 .
综上，
【解析】【分析】（1）利用函数解析式可求出抛物线的对称轴，再分情况讨论：① 当 时，即 ，分别求出当x=-1时y的最小值和x=1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，再作出判断；② 当 时，即 ，分别求出当x=1时y的最小值和x=-1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范围作出判断；③当 时，即 ，分别求出当 时y的最小值和x=1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范围作出判断；④当 时，即 ，分别求出当 时y的最小值和x=-1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范围作出判断；综上所述可得到符合题意的a的值.
（2）分类讨论： 当 时，可求出当x=1时y的最小值，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集；② 当 时，求出当x=2时y的最小值，据此可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集；③当 时，可求出当 时y的最小值，据此可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集，综上所述可得到 恒成立的a的取值范围.
50．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．请结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．
设函数（实数为常数）的图象为图象．
（1）求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）是否存在非负整数，使图象与轴的公共点都是整点？若存在，求所有非负整数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：①当，即时，函数为一次函数．
当时，，解得：，
∴图象与轴有公共点；
②当，即时，函数为二次函数．
当时，为一元二次方程，
，
∵，∴，
∴一元二次方程总有实数根，
∴图象与轴总有公共点．
综上所述，无论取什么实数，图象与轴总有公共点．
（2）解：存在非负整数，使图象与轴的公共点都是整点．
理由如下：
①当时，由（1）知，图象与轴有公共点，不符合题意；
②当时，函数为二次函数，
当时，为一元二次方程，将方程左边分解因式，
可得：，∴或，
∴或，
∵是非负整数，∴，∴，
∴当是8的因数且时，是整数，
∴或或，∴或或，
综上所述，存在非负整数，使图象与轴的公共点都是整点，
非负整数的值为0或2或6．
【解析】【分析】（1）分类讨论： ①当，即时，函数为一次函数；②当，即时，函数为二次函数，再分别求解即可；
（2）分类讨论： ①当时， ②当时，再分别求解即可.
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