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【填空题强化训练·50道必刷题】浙教版数学九年级下册期末总复习
1．已知⊙O的半径为10，直线AB与⊙O相切，则圆心O到直线AB的距离为 ．
2．已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是 .
3．在中，，，则的值为 ．
4．如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．
5．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是
6．几个相同的正方体叠合在一起，该组合体的主视图和俯视图如右图所示，那么组合体中正方体的个数至多有 个.
7．如图，AB与 相切于点B，AO的延长线交GO于点C，连接BC，若 ABC=120 ，OC=3，则弧BC的长为 ．(结果保留 )
8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．
9． 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O相切，A 为切点，连结BC.已知∠ACB=50°，则∠B的度数为 .
[ERRORIMAGE:http://tikupic.21cnjy.com/2025/08/03/f9/54/f954a7c928cef0bee2d20e904c66d26e_117x106.jpeg]
10．已知：如图，在△ABC中，cos∠ABC= ，sin∠ACB= ，AC=2，分别以AB，AC为边向△ABC形外作正方形ABGF和正方形ACDE，连接EF，点M是EF的中点，连接AM，则AM的长为 ．
11．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．若⊙O的半径为5，∠CDE=20°，则 的长为 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E，如果AC＝2，BC＝4，那么cot∠CAE＝ ．
13．已知部分锐角三角函数值：sin15°=，sin30°=，sin45°=，sin75°=，计算cos75°= ．（提示：sin2x+cos2x=1）
14．如图，⊙O的半径OA=3，点B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，且BC=OA，连接OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为 .
15．已知甲、乙两楼相距 米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为 ，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为 ，那么甲楼高是 米．
16．如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4，则图中阴影部分的面积为 ．
17．如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 .
18．一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为 cm.
19．如图，已知点A是双曲线 在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线 上运动，则k的值是 ．
20．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为 ．
21．已知，AB是⊙O的一条直径 ，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点，若CD= ，则⊙O半径的长为 ．
22．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若 ，则tan∠DEC的值是 .
23．如图，某人在山坡坡脚 处测得电视塔尖点 的仰角为 ，沿山坡向上走到 处再测得点 的仰角为 ，已知 米，山坡坡度为，且 ，， 在同一条直线上，则此人所在位置点 的铅直高度为 米.
24．如图，在中，，如果，，那么的长为 ．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴上，分别以A，B两点为圆心，长为半径作弧，在右侧交于点C，若点C的纵坐标为3，则点B的纵坐标为 ．
26．在Rt△ABC中，∠C = 90°， ， ，那么BC = ．
27．如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为4π的圆，那么这个圆锥的左视图的面积是 .
28．如图，△ABC内接于⊙O，DA、DC分别切⊙O于A、C两点，∠ABC=114°，则∠ADC的度数为 °．
29．圆锥的底面积为25π，母线长为1 3cm，这个圆锥的底面圆的半径为 cm，高为 cm，侧面积为 cm2.
30． 如图，四边形中，，，，．连接，则的最大值为 ．
31．如图， 在中， ，I是内心，O是外心，则 ．
32．若圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是 ．
33．用计算器计算:sin 51°30'+cos 49°50'-tan 46°10'的值约是 .
34．如图，I是△ABC的内心，∠B＝60°，则∠AIC＝ ．
35．在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为 ．
36．已知一个圆锥的底面直径为 ，母线长 ，则这个圆锥的表面积是 （结果保留）
37．如图是一个无盖的长方体盒子的展开图（重叠部分不计）
，根据图中数据.则该无盖长方体盒子的容积为
38．计算： ．
39．如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数（k>0，x>0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为
40．如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高AO为 ．
41．如图，在 中， ，D、E分别是 、 的中点，连接 ，在直线 和直线 上分别取点F、G，连接 、 .若 ，且直线 与直线 互相垂直，则 的长为 .
42．如图，在Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB=90°，点A在反比例函数的图象上，若点B的坐标为，则该反比例函数的表达式为 .
43．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，1955年希腊发型了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQO使得∠O=90°，点Q在在直角坐标系y轴正半轴上，点P在x轴正半轴上，点O与原点重合，∠OQP=60°，点H在边QO上，点D、E在边PO上，点G、F在边PQ上，那么点P坐标为 ．
44．棱长分别为，的两个正方体如图放置，点，，在同一直线上，顶点在棱上，点是棱的靠近点的三等分点，一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点爬到点，它爬行的最短距离是
45．一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，则 °．
46．如图，在中，将沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为 ．
47．如图，在中，，BC＝1，，将线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，连接BD交AC于点E．过点C作于点F，CF交AB于点G．给出下列四个结论：
①，②，③，④．
其中正确的结论是 ．（请写出所有正确结论的序号）
48．如图1装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，为台面截线，．
（1）在图1中，过点作于点，若，则 ；
（2）如图2，将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，但不能使水溢出，则的最大长度为 ．（参考数据：，结果保留）
49．如图，在中，， ，点，分别在边，上，且，为的中点，当的值最大时，的值为 ．
50．如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD于点F、M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP．下列四个结论：①AM＝PN；②DM+DN＝DF；③若P是BC中点，AB＝3，则EM＝2；④BF NF＝AF BP；⑤若PM∥BD，则CE＝BC．其中正确的结论是 ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【填空题强化训练·50道必刷题】浙教版数学九年级下册期末总复习
1．已知⊙O的半径为10，直线AB与⊙O相切，则圆心O到直线AB的距离为 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为10，直线AB与⊙O相切，
∴圆心到直线AB的距离等于圆的半径，
∴d=10；
故答案为：10；
【分析】先求出圆心到直线AB的距离等于圆的半径，再求解即可。
2．已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是 .
【答案】21π
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积＝ ×2π×3×7＝21π.
故答案为：21π
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算.
3．在中，，，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴可设，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】首先根据正切的定义可设，则，再根据勾股定理即可得出，进而根据余弦定义即可得出。
4．如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：连接，
∵以为直径的半圆O与相切于点D，
∴，，
∴
设，则，
在中：，即：，
解得：，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵为等腰三角形，
当时，，
当时，
∵，
∴点与点重合，
∴，
不存在的情况；
综上：的长为或．
故答案为：或．
【分析】连接，利用勾股定理求出圆的半径，然后根据平行线分线段成比例得到的长，再利用勾股定理求和的长，然后分和两种情况进行求解即可．
5．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是
【答案】
【解析】【解答】解：连接PO，AO，
∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，
∴∠APO=∠BPO，AC=EC，DE=BD，PA=PB，
∴PA+PB=△PCD的周长=3r，
∴PA=PB=1.5r，
故答案为：．
【分析】利用切线长定理得出PA=PB=1.5r，再结合锐角三角函数关系得出答案．
6．几个相同的正方体叠合在一起，该组合体的主视图和俯视图如右图所示，那么组合体中正方体的个数至多有 个.
【答案】10
【解析】【解答】解：第一层有1+2+3＝6个正方体，第二层最多有4个正方体，所以这个几何体最多有6+4＝10个正方体.
故答案为：10.
【分析】由所给视图可得此几何体有3列，3行，2层，分别找到第二层的最多个数，加上第一层的正方体的个数即为所求答案.
7．如图，AB与 相切于点B，AO的延长线交GO于点C，连接BC，若 ABC=120 ，OC=3，则弧BC的长为 ．(结果保留 )
【答案】
【解析】【解答】解：连接OB
∵AB与 ⊙ O 相切于点B
∴OB⊥AB
∴∠OBA=90°
∵∠ ABC=120° ，
∴∠ABO+∠OBC=90°+∠OBC=120° ，
∴∠OBC=120°-90°=30°
∵OB=OC
∴∠C=∠OBC=30°
∴∠BOC=180°-2×30°=120°
∴弧BC的长为：
故答案为：
【分析】根据切线的性质及已知条件求出∠OBC的度数，再根据等腰三角形的性质，求出∠BOC的度数，然后利用弧长公式计算即可。
8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．
【答案】cm
【解析】【解答】解：要使正方形面积最大，则所要截取的正方形为圆内接正四边形.根据题意画出图形，如图所示：
连接OB、OC，过O作OE⊥BC，
∴△OBC是等腰直角三角形
∵OE⊥BC，OB=OC
∴OE=BE=EC，
∵OB=10
∴BE=sin45°×10=
∴BC=2BE=2×5=
故答案为：cm.
【分析】先根据题意画出图形，再连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，由垂径定理及正方形的性质求出OE、BE的长再由勾股定理即可求解。
9． 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O相切，A 为切点，连结BC.已知∠ACB=50°，则∠B的度数为 .
[ERRORIMAGE:http://tikupic.21cnjy.com/2025/08/03/f9/54/f954a7c928cef0bee2d20e904c66d26e_117x106.jpeg]
【答案】40°
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，
∴BA⊥AC，即∠BAC=90°，
∵∠ACB=50°，
∴∠B=90°-∠ACB=90°-50°=40°．
故答案为：40°．
【分析】由切线的性质得到∠BAC=90°即可得出结果．
10．已知：如图，在△ABC中，cos∠ABC= ，sin∠ACB= ，AC=2，分别以AB，AC为边向△ABC形外作正方形ABGF和正方形ACDE，连接EF，点M是EF的中点，连接AM，则AM的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过F作AE的平行线，交AM的延长线于H，则∠HFM=∠AEM，∠H=∠EAM，
∵点M是EF的中点，
∴FM=EM，
∴△FHM≌△EAM，
∴AE=FH=AC，AM=MH= AH，
∵四边形ABCF是正方形，
∴AF=BA，
∵∠AFH+∠FAE=180°，∠CAB+∠HFA=180°，
∴∠AFH=∠BAC，
在△AFH和△BAC中，
，
∴△AFH≌△BAC（SAS），
∴AH=BC=2AM，
即AM= BC，
如图，过A作AP⊥BC于P，
∵cos∠ABC= ，sin∠ACB= ，AC=2，
∴AP=AC×sin∠ACB=2× = ，CP= AC=1，∠BAP=45°=∠ABP，
∴BP=AP= ，
∴BC= +1，
∴AM= BC= ，
故答案为： ．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及解直角三角形的运用 ，过F作AE的平行线，交AM的延长线于H，构造全等三角形，得出AE=FH=AC，AM=MH=AH，再根据△AFH≌△BAC（SAS），即可得到AM=BC，最后过A作AP⊥BC于P，求得BC的值，即可得到AM的长．
11．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．若⊙O的半径为5，∠CDE=20°，则 的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图
，
∵过点D作⊙O的切线交AC于点E，
∴∠ODE=90°，
由角的和差，得
∠1=180°﹣∠CDE﹣∠ODE=180°﹣20°﹣90°=70°，
∵∠1=∠2=70°，
∴∠3=40°，
=2×5π× = ，
故答案为： ．
【分析】根据切线的性质和角的和差，得出∠1=∠2=70°，∠3=40°，再根据弧长公式求出BD弧的长
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E，如果AC＝2，BC＝4，那么cot∠CAE＝ ．
【答案】2
【解析】【解答】∵∠CAE+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
∵CD为AB边上的中线，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B，
∴∠CAE=∠B，
∴cot∠CAE＝cot∠B＝ .
故答案为：2.
【分析】根据直角三角形的性质得到AD＝CD＝BD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠CAD，∠DCB＝∠B，根据余角的性质得到∠CAE＝∠B，进而得到 cot∠CAE＝2.
13．已知部分锐角三角函数值：sin15°=，sin30°=，sin45°=，sin75°=，计算cos75°= ．（提示：sin2x+cos2x=1）
【答案】
【解析】【解答】解：∵sin15°=，
∴cos75°=sin（90°﹣75°）=sin15°= ．
故答案为．
【分析】根据互余两角三角函数的关系：cosA=sin（90°﹣∠A）即可求解．
14．如图，⊙O的半径OA=3，点B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，且BC=OA，连接OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为 .
【答案】 或
【解析】【解答】解：连接OB
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∵BC=OA=3，
∴OB=BC=3，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵当 是直角三角形时，
① 时，
∵OB=BC=2， 是等腰直角三角形，
∴OC= ，
∵
∴ ；
②当 是直角三角形时， ，连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
故答案为： 或
【分析】情况一：当 时，连接OB，根据切线的性质得到 ，根据勾股定理得到 ；情况二： 时 是等腰直角三角形， .
15．已知甲、乙两楼相距 米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为 ，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为 ，那么甲楼高是 米．
【答案】
【解析】【解答】由题意，画出图形如下，其中AD长表示甲楼的高度，BC长表示乙楼的高度，AB表示地面，且 ， ， 米，
过点D作 于点F，则四边形ABFD是矩形，
， 米，
，
是等腰三角形，
米，
，
，
在 中， （米），
（米），
则甲楼高 （米），
故答案为： ．
【分析】先依据题意画出图形，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得 米，再根据解直角三角形可得CF的长，然后根据线段的和差即可得．
16．如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】 π﹣4
【解析】【解答】如图，过O作OE⊥CA于点E，
∵DB为⊙O的切线，
∴∠DBA=90°，
∵∠D=30°，
∴∠BOC=60°，
∴∠COA=120°，
∵OC=OA=4，
∴∠OAE=30°，
∴OE=2，CA=2AE=4
∴S阴影=S扇形COA﹣S△COA= ﹣ ×2×4 = π﹣4 ，
故答案为： π﹣4 ．
【分析】阴影部分面积等于扇形面积减三角形面积，求三角形面积缺高，因此需要作高，由切线的性质可得∠DBA=90°，由已知∠D=30°可得∠COA=120°，可算出高OE的长，进而算出阴影面积.
17．如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 .
【答案】
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径是r，
∴，
∴r=，
∴这个圆锥的底面半径是.
【分析】根据圆锥侧面展开图是扇形，底面圆的周长等于扇形的弧长，利用弧长公式和圆周长公式列出方程，解方程求出r的值，即可得出答案.
18．一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为 cm.
【答案】9
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面周长为：2π×6=12π，
∴圆锥侧面展开图的弧长为12π.
设圆锥的母线长为R，
∴ ，解得R=9cm.
故答案为：9.
【分析】求得圆锥的底面周长，利用弧长公式，根据圆锥底面圆的周长等于侧面扇形的弧长即可建立方程，求解即可.
19．如图，已知点A是双曲线 在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线 上运动，则k的值是 ．
【答案】﹣3
【解析】【解答】解：∵双曲线 的图象关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
连接OC，如图所示，
∵△ABC是等边三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°，
∴tan∠OAC= = ，
∴OC= OA，
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF，
∴△OFC∽△AEO，相似比 ，
∴面积比 ，
∵点A在第一象限，设点A坐标为（a，b），
∵点A在双曲线 上，
∴S△AEO= ab= ，
∴S△OFC= FC OF= ，
∴设点C坐标为（x，y），
∵点C在双曲线 上，
∴k=xy，
∵点C在第四象限，
∴FC=x，OF=﹣y．
∴FC OF=x （﹣y）=﹣xy=﹣ ，
故答案为：﹣3 ．
【分析】根据反比例函数的性质得出OA=OB，连接OC，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OC= OA，求出△OFC∽△AEO，相似比 ，求出面积比 ，求出△OFC的面积，即可得出答案．
20．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为 ．
【答案】52
【解析】【解答】解：∵一圆内切于四边形ABCD
∴AD+BC=DC+AB=10+16=26
∴四边形ABCD的周长为：2（DC+AB）=2×26=52
故答案为：52
【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等，就可得出AD+BC=DC+AB，就可求出四边形ABCD的周长。
21．已知，AB是⊙O的一条直径 ，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点，若CD= ，则⊙O半径的长为 ．
【答案】1
【解析】【解答】如图，连接DO，
∵CD是⊙O切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
∵AB是⊙O的一条直径，AC=3BC，
∴AB=2BC=OC=2OD，
∴∠C=30°，
∴OD= CD，
∵CD= ，
∴OD=BC=1．
【分析】出现切线时，连接半径，利用切线的性质定理和三角函数求出半径.
22．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若 ，则tan∠DEC的值是 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于点 ，
在 与 中，
，
，
， ，
，tan∠ADB＝ ＝ ，
设AB＝a，则AD＝2a，
∴BD＝ a，
∵S△ABD＝ BD AE＝ AB AD，
∴AE＝CF＝ a，
∴BE＝FD＝ a，
∴EF＝BD﹣2BE＝ a﹣ a＝ a，
∴tan∠DEC＝ ＝ ，
故答案为： .
【分析】过点 作 于点 ，证明 ，可得 ， ，由tan∠ADB＝ ＝ ，可设AB＝a，则AD＝2a，由勾股定理求出BD＝ a，根据S△ABD＝ BD AE＝ AB AD，可求出AE＝CF＝ a，继而可得BE＝FD＝ a，利用EF=BD-2BE求出EF，据此tan∠DEC＝ 即可求出结论.
23．如图，某人在山坡坡脚 处测得电视塔尖点 的仰角为 ，沿山坡向上走到 处再测得点 的仰角为 ，已知 米，山坡坡度为，且 ，， 在同一条直线上，则此人所在位置点 的铅直高度为 米.
【答案】
【解析】【解答】解：过点作，，如图所示，
四边形为矩形，设，则.
山坡坡度为，
，
.
米，，
.
由题意知为等腰直角三角形，
，
，
解得：，
所以点的铅直高度为米.
故答案为：
【分析】过点作，，则四边形为矩形，可设，则，由坡度可得，从而求出易得△PEC为等腰直角三角形，可得CE=PE，据此建立方程并解之即可.
24．如图，在中，，如果，，那么的长为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：在中
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】根据，可得，再求出AC的长即可。
25．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴上，分别以A，B两点为圆心，长为半径作弧，在右侧交于点C，若点C的纵坐标为3，则点B的纵坐标为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：在x轴上分别取点M和N，使得，
由题知，是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
过点C作x轴的垂线，垂足为D，
在中，，
∴，
∴．
又∵点A的坐标为，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴点B的纵坐标为．
故答案为：．
【分析】在x轴上分别取点M和N，使得，由题意用角角边可证△BAM≌△ACN，由全等三角形的对应边相等可得AM=CN，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△CDN中，用锐角三角函数sin∠CNA=求出CN的值，在Rt△BOM中，用锐角三角函数tan∠BMO=求出BO的值，于是点B的纵坐标可求解．
26．在Rt△ABC中，∠C = 90°， ， ，那么BC = ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，
∴可设BC＝a，AC＝3a，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴a2+（3a）2＝40，
解得a＝2，
∴BC＝2，
故答案为：2．
【分析】如图，由Rt△ABC中，tanA＝ ，可设BC＝a，AC＝3a，利用勾股定理可得BC2+AC2＝AB2，即得a2+（3a）2＝40，求出a值即可.
27．如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为4π的圆，那么这个圆锥的左视图的面积是 .
【答案】4
【解析】【解答】设圆锥的底面圆的半径为r，则πr2=4π，解得r=2，
因为圆锥的主视图是等边三角形，
所以圆锥的母线长为4，
所以它的左视图的高= ，
所以左视图的面积为 ×4×2 =4 ，
故答案为：4 .
【分析】先利用圆的面积公式得到圆锥的底面圆的半径为2，再利用等边三角形的性质得母线长，然后根据勾股定理计算圆锥的高，继而根据三角形面积公式进行求解即可得.
28．如图，△ABC内接于⊙O，DA、DC分别切⊙O于A、C两点，∠ABC=114°，则∠ADC的度数为 °．
【答案】48
【解析】【解答】如图，在⊙O上取一点K，连接AK、KC、OA、OC．
∵四边形AKCB内接于圆，
∴∠AKC+∠ABC=180°，
∵∠ABC=114°，
∴∠AKC=66°，
∴∠AOC=2∠AKC=132°，
∵DA、DC分别切⊙O于A、C两点，
∴∠OAD=∠OCB=90°，
∴∠ADC+∠AOC=180°，
∴∠ADC=48°
故答案为48°．
【分析】根据圆内接四边形对角互补求出∠AKC=66°，即可得∠AOC=2∠AKC=132°，由切线性质可知∠OAD=∠OCB=90°，在四边形AOCD中可求∠ADC。
29．圆锥的底面积为25π，母线长为1 3cm，这个圆锥的底面圆的半径为 cm，高为 cm，侧面积为 cm2.
【答案】5；12；65π
【解析】【解答】解：设底面圆的半径为r，
=25π，解之r=5
设圆锥的高为h
=12
圆锥的侧面积=π×5×13=65π
故答案为：5，12，65π
【分析】根据圆锥的底面积为25π，由圆的面积可求出底面圆的半径；圆锥的母线、高、底面圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理可求出圆锥的高；根据圆锥的侧面积=πRr（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），可求出圆锥的侧面积。
30． 如图，四边形中，，，，．连接，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
如图，过点C作CD的垂线，截取，连接BE、DE，
∵CD=3，
∴，
∴，
∵tan∠ABC=2，
∴，
∵CE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE=90°-∠ACE，
∴，
∴，
即，
∴，
当B、E、D三点共线时，BD取最大值，最大值为.
故答案为：.
【分析】过点C作CD的垂线，截取，连接BE、DE，根据勾股定理求出DE的长，证明，根据相似三角形的性质得到，即可求出BE的值，根据，当B、E、D三点共线时，BD取最大值，即可得到答案.
31．如图， 在中， ，I是内心，O是外心，则 ．
【答案】140°
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠BIC=125°，I是内心，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵O是外心，
∴ ，
故答案为：140°．
【分析】先利用三角形内角的性质得出∠BIC=125°，则可计算角A的度数，再利用圆周角定理得出 。
32．若圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：设这个圆锥的母线长是，
依题意得：圆锥的底面周长为：，
∴展开后扇形的弧长为，
∴，
∴，
即这个圆锥的母线长是，
故答案为：6．
【分析】设这个圆锥的母线长是，先求出圆锥的底面周长，即侧面展开后扇形的弧长，再根据弧长公式计算即可．
33．用计算器计算:sin 51°30'+cos 49°50'-tan 46°10'的值约是 .
【答案】0.3860
【解析】【解答】解：sin 51°30'+cos 49°50'-tan 46°10'≈0.78261+0.64501-1.0416≈0.3860.
故答案为：0.3860.
【分析】考查计算器的用法；分别求出sin 51°30'，cos 49°50'，tan 46°10'再代入即可。
34．如图，I是△ABC的内心，∠B＝60°，则∠AIC＝ ．
【答案】120°
【解析】【解答】∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=120°
∵三角形的内切圆的圆心是三角形三个角的平分线的交点，
∴∠IAC= ∠BAC，∠ICA= ∠BCA，
∴∠IAC+∠ICA= （∠BAC+∠BCA）=60°
∴∠AIC=180°﹣60°=120°
故答案为120°．
【分析】根据三角形的内切圆的圆心是三角形三个角的平分线的交点即可求解．
35．在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为 ．
【答案】7或17
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，cos∠B= ，
∴
解得BC=7或BC=17．
故答案为：7或17．
【分析】根据在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，可以利用余弦定理求得BC的长，从而可以解答本题．
36．已知一个圆锥的底面直径为 ，母线长 ，则这个圆锥的表面积是 （结果保留）
【答案】
【解析】【解答】解：圆锥的表面积 ．
故答案为： ．
【分析】根据圆锥的底面直径可得其底面积为=，借助母线长又得其侧面积=，据此即可解答。
37．如图是一个无盖的长方体盒子的展开图（重叠部分不计）
，根据图中数据.则该无盖长方体盒子的容积为
【答案】
【解析】【解答】解：由图可得，高=10cm，长=30-10=20cm，宽=50-20=30cm
∴容积=10×20×30=6000cm3
故答案为：6000.
【分析】先分别求出这个长方体的长宽高，再根据体积公式进行计算即可得出答案.
38．计算： ．
【答案】
【解析】【解答】解： ，
= ，
= ，
故答案为： ．
【分析】代入特殊角的三角函数值，根据绝对值的性质、负整数指数幂的运算性质分别化简，然后根据二次根式的减法法则以及有理数的减法法则进行计算.
39．如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数（k>0，x>0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为
【答案】24
【解析】【解答】解：点C在函数（k>0，x>0）的图象上，
可设C，
⊙A 与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，
BC⊥x轴，
OB=a，，
△ACD的面积为6，
，
即，
解得：k=24，
k的值为24.
故答案为：24.
【分析】设C，根据切线的定义可得OB=a，，再结合△ACD的面积为6，得出方程，解方程即可得到k的值.
40．如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高AO为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：由题意知：展开图扇形的弧长是2×3 ＝6 ，
设母线长为L，则有 ×6 L＝15 ，
解得：L＝5，
∵由于母线，高，底面半径正好组成直角三角形，
∴在直角△AOC中高AO＝ ＝4．
故填：4.
【分析】利用圆锥底面周长跟侧面展开的弧长相等，求出母线AC的长度，再利用勾股定理求出AO的长度即可。
41．如图，在 中， ，D、E分别是 、 的中点，连接 ，在直线 和直线 上分别取点F、G，连接 、 .若 ，且直线 与直线 互相垂直，则 的长为 .
【答案】4或2
【解析】【解答】解：如图，当点F在点D右侧时，
过点F作FM∥DG，交直线BC于点M，过点B作BN⊥DE，交直线DE于点N，
∵D，E分别是AB和AC中点，AB= ，
∴DE∥BC，BD=AD= ，∠FBM=∠BFD，
∴四边形DGMF为平行四边形，
则DG=FM，
∵DG⊥BF，BF=3DG，
∴∠BFM=90°，
∴tan∠FBM= =tan∠BFD，
∴ ，
∵∠ABC=45°=∠BDN，
∴△BDN为等腰直角三角形，
∴BN=DN= ，
∴FN=3BN=9，DF=GM=6，
∵BF= = ，
∴FM= = ，
∴BM= ，
∴BG=10-6=4；
当点F在点D左侧时，过点B作BN⊥DE，交直线DE于N，过点B作BM∥DG，交直线DE于M，延长FB和DG，交点为H，
可知：∠H=∠FBM=90°，四边形BMDG为平行四边形，
∴BG=MD，BM=DG，
∵BF=3DG，
∴tan∠BFD= ，
同理可得：△BDN为等腰直角三角形，BN=DN=3，
∴FN=3BN=9，
∴BF= ，
设MN=x，则MD=3-x，FM=9+x，
在Rt△BFM和Rt△BMN中，
有 ，
即 ，
解得：x=1，即MN=1，
∴BG=MD=ND-MN=2.
综上：BG的值为4或2.
故答案为：4或2.
【分析】分当点F在点D右侧时，当点F在点D左侧时，两种情况，分别画出图形，结合三角函数，勾股定理以及平行四边形的性质求解即可.
42．如图，在Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB=90°，点A在反比例函数的图象上，若点B的坐标为，则该反比例函数的表达式为 .
【答案】
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥y轴交y轴于点C，过点B作BD⊥x轴交x轴于点D，
则∠COA+∠AOD=90°，
[ERRORIMAGE:https://tikupic.21cnjy.com/2025/12/17/e8/58/e8581f909404051ba0d20c3edfaf74b0.png]
∵ ∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOD=90°，
∴∠COA=∠BOD，
∴tan∠COA=tan∠BOD==，
∴，
∴OC=3AC，
∵ 点B的坐标为，
∴OB==，
∵，
∴tan∠B=，
∴，
∴OA=，
∵AC2+OC2=OA2，
∴AC2+9AC2=10，
∴AC=1，
∴OC=3，
∴点A的坐标为（1，3），
∴3=，
∴k=3，
∴反比例函数的表达式为.
【分析】过点A作AC⊥y轴交y轴于点C，过点B作BD⊥x轴交x轴于点D，先说明∠COA=∠BOD，则tan∠COA=tan∠BOD=，再根据已知条件求出OA的长度，接着根据勾股定理求出AC的长度，即可得出点A的坐标，进而得出答案.
43．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，1955年希腊发型了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQO使得∠O=90°，点Q在在直角坐标系y轴正半轴上，点P在x轴正半轴上，点O与原点重合，∠OQP=60°，点H在边QO上，点D、E在边PO上，点G、F在边PQ上，那么点P坐标为 ．
【答案】（7 +6，0）
【解析】【解答】延长BA交QR于点M，连接AR，AP，
在△ABC与△GFC中，
又∵
∴△QHG是等边三角形.
则
在 中，
在 中，
∴点P的坐标为
故答案为：
【分析】 延长BA交QR于点M，连接AR，AP，先利用SAS判断出△ABC≌△GFC，然后根据全等三角形的性质得出∠ C G F = ∠ B A C = 30 ， 进一步得出HGQ=60 ，然后周角的定义得出BAC+∠DAH=180，再根据二直线平行同旁内角互补得出RHA+∠DAH=180 ，再根据同角的补角相等得出RHA=∠BAC=30 ，进而判断出△QHG是等边三角形.根据余弦的定义得出AC的长，从而根据正方形的性质得出 Q H = H A = H G = A C = 2 ，在 Rt △ H M A 中根据正弦定义得出HM的长，在 Rt △ A M R 中， M R = A D = A B = 4 ，进而求出QR，QP，PR的长，从而得出P点的坐标。
44．棱长分别为，的两个正方体如图放置，点，，在同一直线上，顶点在棱上，点是棱的靠近点的三等分点，一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点爬到点，它爬行的最短距离是
【答案】
【解析】【解答】解：如图，有两种展开方法：
方法一：∵，
∴，
方法二：∵，
∴．
∵，
∴最短距离是： ．
故答案为： ．
【分析】这道题目要求我们计算一只蚂蚁从点A爬到点P的最短距离，其中A和P分别位于两个正方体的顶点上，我们需要结合几何知识和展开图的方法来解决这个过程.
45．一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，则 °．
【答案】15
【解析】【解答】
解：如图
∵AB∥CF，∠A=60°，
∴∠ACM=∠A=60°，
∵∠BCA=0°，
∴∠BCD=30°，
∵∠EFD=90°，∠E=45°，
∴∠EDC=∠E+∠EFD=135°，
∴∠DBC=180°-30°-135°=15°
【分析】 根据平行线的性质求出∠ACM，根据平角求出∠BCD，根据三角形外角性质求出∠BDC，根据三角形内角和定理求出即可．
46．如图，在中，将沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：延长交于点D，过点B作于点H，连接，
∵和是圆周角所对的弧，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
整理得，
解得或（舍去），
∴，，
在，，
故答案为：．
【分析】延长交于点D，过点B作于点H，连接，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，根据等腰三角形三线合一性质，得到，设，则，结合已知根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，整理可得，在中，利用勾股定理得到，即，解方程求出a的值，在Rt△ABH中，用勾股定理计算即可求解.
47．如图，在中，，BC＝1，，将线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，连接BD交AC于点E．过点C作于点F，CF交AB于点G．给出下列四个结论：
①，②，③，④．
其中正确的结论是 ．（请写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，
∴
∴
∵
∴
∴则①正确；
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴为等边三角形，
∴
∴则②正确，
∵
∴
∴
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，
∴
∴则③错误，
过点B作BH⊥DF，过点A作AM⊥BD，
∵
∴
∵
∴
∴
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，
∴
∵
∴
∵
则
解得：
则
∴
则
∴则④正确，
综上所述，正确的结论有：①②④，
故答案为：①②④.
【分析】由∠BAC得正切函数定义及特殊锐角三角函数值得，结合旋转的性质得到进而由∠FAC的正弦函数可求出CF的长度，即可判断①；根据旋转的性质和等边三角形的性质即可判断②；易知：进而即可判断③；通过等面积法即可求出AM的长度，再根据等角对等边即可判断④.
48．如图1装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，为台面截线，．
（1）在图1中，过点作于点，若，则 ；
（2）如图2，将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，但不能使水溢出，则的最大长度为 ．（参考数据：，结果保留）
【答案】8；
【解析】【解答】解：（1）连接，如图：
∵水槽横截面是以为直径的半圆，且，
∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
则．
故答案为：8；
（2）水槽向右滚动时，的长度会发生变化，当点D和点B重合时，水不溢出，且的长度最大，连接和，如图，
则，
∵，水槽横截面是以为直径，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
则．
故答案为：．
【分析】（1）连接，，由题意得，根据垂径定理可得，再根据勾股定理可得DE=4，即可求出答案.
（2）当点D和点B重合时，水不溢出，且的长度最大，连接和，根据和求得，结合圆周角定理得，利用弧长公式即可求得答案．
49．如图，在中，， ，点，分别在边，上，且，为的中点，当的值最大时，的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点 作 且，连接，取 的中点，连接，．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
，
在和中，
，
∴，
，，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点， ，
∴，
同理由 的中点为可得：，
在中，，设，则，
根据勾股定理，得，
，
∴，
∵，
∴，
∴，即 的最大值为．
此时，，三点共线，
又∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】过点 作 且，连接，取 的中点，连接，．结合已知条件利用SAS证明，再证明出，在， 设，则， 利用勾股定理及三角函数的概念得到=，结合三角形三边关系可得到即可知当，，三点共线时， 的最大值为， 再利用AA证明即可解答．
50．如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD于点F、M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP．下列四个结论：①AM＝PN；②DM+DN＝DF；③若P是BC中点，AB＝3，则EM＝2；④BF NF＝AF BP；⑤若PM∥BD，则CE＝BC．其中正确的结论是 ．
【答案】①②③⑤
【解析】【解答】解：如图，过点P作PG⊥AD，则ABPG为矩形，∠PGD=90°，
∴AB=PG，∠GNP+∠GPN=90°，
在正方形ABCD中，∠ADM=90°，AD=AB，
∴PG=AD，
∵NP⊥AE，
∴∠ANF+∠NAF=90°，
∴∠NAF=∠GPN，
∴△PGN≌△ADM，
∴AM=PN，故①正确；
如图，过点F作FH⊥BD，连接CF，
在正方形ABCD中，∠ADF=∠ABF=∠CBF=45°，FH⊥BD，AB=BC，
∴△HFD为等腰直角三角形，
∴DH=DF，FD=FH，
∵BF=BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS）
∴AF=CF，∠BAF=∠BCF，
在四边形ABPF中，∠ABP=∠AFP=90°，
∴∠BAF+∠BPF=90°，
∵∠FPC+∠BPF=90°，
∴∠BAF=∠FPC=∠BCF，
∴PF=CF=AF，
由①知：AM=PN，即AM-AF=PN-PF，
∴FN=FM，
∵∠HFD=∠NFM=90°，
∴∠NFH=∠DFM
∴△NFH≌△MFD（SAS）
∴NH=DM，
∴DM+DN=NH+DN=DH=DF，故②正确；
连接AP，如图，由P是BC中点 ，则BP=PC=1.5，
∴AP==，
由②知：AP=PF，
∴PF=AP=，
设CE=x，则PE=1.5+x，BE=3+x，
∴AE=，
sinE=，即，
解得x=6或-4（舍）
∴CE=6，AE=，BE=9，
∵cosE=，
∴，
∴ME=，故③正确；
由题意知：∠AFN=90°，∠BPF＞90°，
∴△AFE与△APF不相似，则BF NF≠AF BP，故④错误；
∵PM∥BD，
∴∠MPC=∠DBC=45°=∠CMP=∠CDB=45°，
∴PC=CM，
可设PC=CM=a，BCCD=AD=AB=b，CE=c，
则PM=a，DM=b-a，BE=b+c，PE=a+c，
∵AF=PF，∠AFN=∠PFM=90°，FN=FM，
∴△AFN≌△PFM（SAS），
∴AN=PM=a，
∵AD∥CE，
∴△ADM∽△ECM，
∴，即，解得a=
∵AN∥PE，
∴△AFN∽△EFP，
∴，即，
∵AB∥DM ，
∴△DMF ∽△BAF，
∴，即，
∴
把a=代入中，并整理得b+c=2b+c，
解得，
∴CE=BC，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤.
【分析】过点P作PG⊥AD，证明△PGN≌△ADM，可得AM=PN，故①正确；如图，过点F作FH⊥BD，连接CF，易得△HFD为等腰直角三角形，可得DH=DF，FD=FH，证明△ABF≌△CBF（SAS），可得AF=CF，∠BAF=∠BCF，利用四边形内角和及补角的性质可推∠BAF=∠FPC=∠BCF，可得PF=CF=AF，再证△NFH≌△MFD（SAS），可得NH=DM，从而得出
DM+DN=NH+DN=DH=DF，故②正确；连接AP，由勾股定理求出AP，利用AP=PF可求出PF，设CE=x，则PE=1.5+x，BE=3+x，由勾股定理求出AE的长，利用sinE=建立关于x方程并解之，可得CE=6，AE=，BE=9，再利用cosE=，可求出CM，即可判断③；由题意知：∠AFN=90°，∠BPF＞90°，则△AFE与△APF不相似，故BF NF≠AF BP，故④错误；
可设PC=CM=a，BCCD=AD=AB=b，CE=c，则PM=a，DM=b-a，BE=b+c，PE=a+c，证明
△AFN≌△PFM（SAS），可得AN=PM=a，证明△ADM∽△ECM可得，据此求出a=，同理可证△AFN∽△EFP，△DMF ∽△BAF，分别得出，，即得，把a=代入中，并整理得b+c=2b+c，则CE=BC，故⑤正确.
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