中小学教育资源及组卷应用平台
【解答题强化训练·50道必刷题】浙教版数学九年级下册期末总复习
1．小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图在矩形广场 边 的中点 处有一座雕塑.在某一时刻，小红到达点 处，爸爸到达点 处，此时雕塑在小红的南偏东 方向，爸爸在小红的北偏东 方向，若小红到雕塑的距离 ，求小红与爸爸的距离 .（结果精确到 ，参考数据： ， ， ）
2．如图，为了建设一条贯穿山峰的东西方向隧道 ， 在规划中首先需要测量 之间的距离.无人 机保持离水平道路 的坚直高度， 从点 的正上方点 出发， 沿正东方向飞行 到达点 ， 测得点 的俯角为 . 求 的长度. (参考数据： )
3．如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请回答下列问题：
（1）说出该几何体的形状．
（2）你根据图中数据，计算这个密封纸盒的侧面积为多少？
4．如图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知跑步机手柄 与地面 平行，踏板 长为 ， 与地面 的夹角 ，支架 长为 ， ，求跑步机手柄 所在直线与地面 之间的距离.（结果精确到 .参考数据： ， ， ， ）
5．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据： ≈1.7， ≈1.4）
6．如图是一个正方体的平面展开图，标注了A字母的是正方体的正面，如果正方体的左面与右面标注的式子相等．
（1）求x的值．
（2）求正方体的上面和底面的数字和．
7．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一个竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离OC为0.7米，顶端B距墙顶A的距离AB为0.6米.如果保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为1.5米，顶端E距墙顶D的距离DE为1米，点A、B、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上， ， ，则墙的高度为多少米？
8．今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测.某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB.如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上， 垂足为点B， ， ， ，求AB的高度.（精确到 ）（参考数据： ﹐ ﹐ ， ）
9．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC的位置关系，并说明理由.
10．图1是一款平板电脑支架，图2是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知，，当AB、BC转动到时，（以下结果都精确到0.1，参考数据：）．
（1）求点B到AE的距离
（2）求点C到AE的距离．
11．（1）用计算器计算并验证sin25°+sin46°与sin71°之间的大小关系：
（2）若α、β、α+β都是锐角，猜想sinα+sinβ与sin（α+β）的大小关系：
（3）请借助如图的图形证明上述猜想．
12．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有 3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字-1，-2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为(x，y).
（1）用画树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M(x，y)在函数y=-x+1的图象上的概率；
（3）在平面直角坐标系xOy中，☉O的半径是2，求过点M(x，y)能作☉O的切线的概率.
13．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且．
（1）求的长及的正弦值．
（2）若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标．
14．如图所示，圆柱的底面半径为3 cm，高为4 cm.若沿图中的线AB把圆柱的侧面展开，你认为会得到什么图形？请你求出这个侧面展开图的面积．
15．某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示.小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°.请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度.（结果精确到0.1 米， ）
16．如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树顶A的仰角为60°，求这棵树的高度AB．
17．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆形的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B、C两点．如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径，发现直尺的长度不够．
（1）写出此图中相等的线段．
（2）请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法．（写出主要解题过程）
18．已知电视发射塔BC，为稳固塔身，周围拉有钢丝地锚线(如图线段AB)，若AB＝60m，并且AB与地面成45°角，欲升高发射塔的高度到CB′，同时原地锚线仍使用，若塔升高后使地锚线与地面成60°角，求电视发射塔升高了多少米？(即BB′的高度)
19．已知：如图，在 中， ，垂足为 ，若 .求 的长.
20．如图，是圆的弦，是圆外一点，，交于点，交圆于点，且．
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
21．深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度.（ ≈1.7）
22．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径如图，若这个输水管道有水部分的水面宽，水最深的地方的高度为．
（1）求这个圆形截面的半径．
（2）求图中阴影部分的面积．
23．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB．如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，AB⊥CB于点B，在C处测得气球A的仰角为45°，向前走140米到达点D，在D处测得气球A的仰角为52°，求AB的高度．（参考数据：sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28）
24．如图，某渔船沿正东方向以10海里/时的速度航行，在A处测得岛在北偏东的方向，1小时后渔船航行到处，测得岛在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁.
（1）处离岛有多远
（2）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险
（3）如果渔船在处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险
参考数据：.
25． 如图，已知∠BAC=90°，AB=AC，直线l 与以AB 为直径的圆相切于点B，点E 是圆上异于点A，B的任意一点，直线AE 与l 相交于点D.
（1）如果AD=10，BD=6，求 DE 的长.
（2）连接CE，过点 E 作CE 的垂线交直线AB 于点 F，当点 E 在什么位置时，相应的点 F 位于线段AB 上、位于AB 的延长线上(写出结果，不要求证明) 无论点 E 如何变化，总有BD=BF.请你就上述三种情况任选一种说明理由.
26．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角α为30°，看这栋楼底部的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高？
27．如图，是的角平分线，，以点为圆心，为半径画圆，过点作的垂线，交的延长线于点D
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
28．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：）
29．如图所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，在同一条直线上求灯管支架的长度．
30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BD于点B．已知∠A = 45°，∠C= 60°， ，求AD的长．
31．如图所示，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=80°，点C是⊙O上不同于A、B的任意一点，求∠ACB的度数．
32．如图1是吊车的实物图，图2是吊车工作示意图．吊车作业时是通过液压杆CD的伸缩使起重臂AB绕点B转动的，从而使得起重臂升降作业（起重臂AB的长度也可以伸缩）在某次起重作业中，学习兴趣小组测经过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图3，起重臂米，点B到地面的距离米，钢丝绳所在直线AF垂直地面于点F，点B到AF的距离米．求点A到地面的距离AF的长为多少米？
33．如图，在中，，，分别是边上的中线和高，，，求，的长．
34．如图，以边长为1的正方形ABCD的一边AB为直径作是的切线，交AD于点F，E为切点，连结BE.求的面积.
35．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，AB=5，BD=1，tanB= 1．
（1）求AD的长；
（2）求sinα的值．
36．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5， ≈1.7）
37．“东方之星”客船失事之后，本着“关爱生命，救人第一”的宗旨．搜救部门紧急派遣直升机到失事地点进行搜救，搜救过程中，假设直升机飞到A处时，发现前方江面上B处有一漂浮物，从A测得B处的俯角为30°，已知该直升机一直保持在距江面100米高度飞行搜索，飞行速度为10米每秒，求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可到达漂浮物的正上方？（结果精确到0.1，≈1.73）
[ERRORIMAGE:http://tikupic.21cnjy.com/b9/5d/b95db918286c27ce5529a0098751f7e5.png]
38．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81， ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）
39． 如图，AB，AC 的长均为3.2m，梯子的顶端离地面的高度AD为 求：
（1）∠ACB 的度数.
（2）梯脚B 与C 之间的距离.
40．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）．
41．如图，的外角.的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作，交CM于点D.
（1）求证：BE=CE.
（2）EF为⊙O的切线.
42．如图，在等边三角形中，于点．动点从点出发，沿线段向点以每秒个单位长度的速度运动，过点作，垂足为点．点出发后，以为边向上作等边三角形，设点的运动时间为秒，和的重合部分面积为．
（1）_______（含的代数式表示）；
（2）求点落在线段上时的值；
（3）当时，求与之间的函数关系式．
43．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连结AC，BC.过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F.
（1）求证；∠BCD=∠BOE.
（2）若，求BD的长.
44．欧多克索斯约公元前400年出生于尼多斯，约公元前347年卒于尼多斯，精通数学、天文学、地理学．他认为所谓的黄金分割，指的是把长为的线段分为两部分，使其中较长部分与全部之比，等于较短部分与较长部分之比，其比值为．现在，我们也把顶角为的等腰三角形叫黄金三角形．
图1 图2
（1）如图1，在，的平分线交腰于点．请你根据上述材料利用所学知识，证明点为腰的黄金分割点；
（2）如图2，在中，为斜边上的高，，若是的黄金分割点，求的长．
45．如图，在中，，，，点D为的中点，动点P在上（点P与点C不重合），做点C关于直线的对称点，连接、．
（1）线段的长为______________．
（2）设到的距离为h，求h的最大值．
（3）当是锐角三角形时，求的取值范围．
（4）当直线与的一条边平行时，直接写出的长．
46．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点F在AB上，连结CF并延长，交⊙O于点D，连结BD，作BE⊥CD，垂足为E.
（1）求证：△DBE∽△ABC.
（2）若AF=2，求ED的长.
47．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，连结BE．
（1）求证：IE=BE．
（2）若IE=4，AE=8，求DE的长．
48． 如图 是 的直径， 是弦 延长线上一点， 过点 作 于点 ， 过点 作 的切线， 交 于点 ．
（1） 求证： ；
（2） 若 是 的中点， ，求 的长．
49．如果给出一个任意角，只使用圆规和一把没有标出尺度的直尺．不可能把这个角三等分．其实，在数学上，从未没有不允许使用其他工具来三等分一个角度．为了实现这一目的．人们想出了很多机械工具，并把这种工具称为三分角器，我们每个人都可以制作出这样一个三分角器，用厚纸板或者薄铁片都可以，这样，绘图的时候就可以使用它了．如图所示的阴影部分就是一个实际大小的三分角器，其简图如图2所示．已知A、B、O三点共线，其中，，以点O为圆心，为直径作圆，直线与相切于点B，的顶点S放到这个三分角器的直线上，的一边过点A、另一边与相切于点N，与相交于点Q．
（1）求证：
（2）连接，如果，求的值；
（3）连接，记，，的面积分别为，，，若，1，求的长．
50．油井A位于油库P南偏东75°方向，主输油管道AP=12km，一新建油井B位于点P的北偏东75°方向，且位于点A的北偏西15°方向．
（1）求∠PBA；
（2）求A，B间的距离；
（3）要在AP上选择一个支管道连接点C，使从点B到点C处的支输油管道最短，求这时BC的长．（结果保留根号）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【解答题强化训练·50道必刷题】浙教版数学九年级下册期末总复习
1．小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图在矩形广场 边 的中点 处有一座雕塑.在某一时刻，小红到达点 处，爸爸到达点 处，此时雕塑在小红的南偏东 方向，爸爸在小红的北偏东 方向，若小红到雕塑的距离 ，求小红与爸爸的距离 .（结果精确到 ，参考数据： ， ， ）
【答案】解：解：过点P作PE⊥BC，如图：
根据题意，则四边形ABEP是矩形，
∴ ，
在Rt△APM中，PM=30，∠APM=45°，
∴ ，
∵点M是AB的中点，
∴ ，
∴ ，
在Rt△PEQ中，∠PQE=60°， ，
∴ ；
∴小红与爸爸的距离
【解析】【分析】过点P作PE⊥BC，则四边形ABEP是矩形，由解直角三角形求出 ，则 ，然后求出PQ即可.
2．如图，为了建设一条贯穿山峰的东西方向隧道 ， 在规划中首先需要测量 之间的距离.无人 机保持离水平道路 的坚直高度， 从点 的正上方点 出发， 沿正东方向飞行 到达点 ， 测得点 的俯角为 . 求 的长度. (参考数据： )
【答案】解：如图，过B作BE⊥CD交CD于点E，
由题意可得，∠C=∠CAB=90°，
∴四边形CEBA是矩形，
∴BE=AC=240m，AB=CE，
∵∠BDE=37°，
∴tan37°=，
∴DE=≈320m，
∴AB=CE=CD-DE=600-320=280m.
【解析】【分析】过B作BE⊥CD交CD于点E，先证出四边形CEBA是矩形，得出BE=AC=240m，AB=CE，根据锐角三角函数定义得出DE=320m，利用AB=CE=CD-DE即可得出AB=280m.
3．如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请回答下列问题：
（1）说出该几何体的形状．
（2）你根据图中数据，计算这个密封纸盒的侧面积为多少？
【答案】解：（1）由该几何体的三视图知道其是一个六棱柱；
（2）∵其高为12cm，底面多边形边长为5cm，
∴其侧面积为6×5×12=360（cm2）．
故这个密封纸盒的侧面积为360cm2．
【解析】【分析】（1）根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱；
（2）这个密封纸盒的侧面积是六个侧面的面积．
4．如图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知跑步机手柄 与地面 平行，踏板 长为 ， 与地面 的夹角 ，支架 长为 ， ，求跑步机手柄 所在直线与地面 之间的距离.（结果精确到 .参考数据： ， ， ， ）
【答案】解：如图，过C点作FG⊥AB于F，交DE于G.
∵CD与地面DE的夹角∠CDE为15°，∠ACD为75°，
∴∠ACF=∠FCD-∠ACD=∠CGD+∠CDE-∠ACD=90°+15°-75°=30°，
∴∠CAF=60°，
在Rt△ACF中，CF=AC sin∠CAF= m，
在Rt△CDG中，CG=CD sin∠CDE=1.5·sin15°，
∴FG=FC+CG= +1.5·sin15°≈1.3m.
故跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3m.
【解析】【分析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G，在Rt△ACF中，根据锐角三角函数sin∠CAF=可求得CF的值，在Rt△CDG中，根据锐角三角函数sin∠CDE=可求得CG的值，由线段的构成FG=FC+CG可求解.
5．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据： ≈1.7， ≈1.4）
【答案】解：过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
∵∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640，
∴CD=320，AD=320 ，
∴BD=CD=320，BC=320 ，
∴AC+BC=640+320 ≈1088，
∴AB=AD+BD=320 +320≈864，
∴1088﹣864=224（公里），
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．
【解析】【分析】将实际问题转化为数学问题，可知∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640，在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用解直角三角形分别求出BC、BD、AD的长，再求出AC+BC，然后求出AC+BC-AB的值，即可解答。
6．如图是一个正方体的平面展开图，标注了A字母的是正方体的正面，如果正方体的左面与右面标注的式子相等．
（1）求x的值．
（2）求正方体的上面和底面的数字和．
【答案】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“A”与“﹣2”是相对面，
“3”与“1”是相对面，
“x”与“3x﹣2”是相对面，
（1）∵正方体的左面与右面标注的式子相等，
∴x=3x﹣2，
解得x=1；
（2）∵标注了A字母的是正方体的正面，左面与右面标注的式子相等，
∴上面和底面上的两个数字3和1，
∴3+1=4．
【解析】【分析】（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，然后列出方程求解即可；
（2）确定出上面和底面上的两个数字3和1，然后相加即可．
7．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一个竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离OC为0.7米，顶端B距墙顶A的距离AB为0.6米.如果保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为1.5米，顶端E距墙顶D的距离DE为1米，点A、B、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上， ， ，则墙的高度为多少米？
【答案】解：设墙的高度为x米，即
，
在 中，由勾股定理得
在 中，由勾股定理得
即
解得
所以，墙的高度为3米.
【解析】【分析】设墙的高度为x米，即AC=DF=x，则BC=x-0.6，EF=x-1，由勾股定理表示出OB2、OE2，然后根据OB=OE就可求出x的值.
8．今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测.某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB.如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上， 垂足为点B， ， ， ，求AB的高度.（精确到 ）（参考数据： ﹐ ﹐ ， ）
【答案】解：设AB=xm，
在Rt△ABC中，∠ACB=52°，
∴BC= ，
在Rt△ABD中，∠ADB=60°，
∴BD= ，
又∵CD=200m，BC=CD+BD，
∴ ，
解得 ，
答：AB的高度约为984m.
【解析】【分析】设AB=xm，根据三角函数的概念可得BC、BD，然后根据BC=CD+BD就可求出x的值.
9．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC的位置关系，并说明理由.
【答案】解：⊙A与直线BC相交.
过A作AD⊥BC，垂足为点D.
∵AB=AC，BC=16，
∴BD= BC= ×16=8，
在Rt△ABC中，AB=10，BD=8，
∴AD= =6，
∵⊙O的半径为7，
∴AD＜r，
⊙A与直线BC相交.
【解析】【分析】
过A作AD⊥BC，垂足为点D，由等腰三角形的三线合一可得BD=
BC，在Rt△ABC中， 用勾股定理可求得AD的值，把AD的值与圆的半径比较大小可知AD
＜r，根据直线和圆的位置关系可得⊙A与直线BC相交。
10．图1是一款平板电脑支架，图2是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知，，当AB、BC转动到时，（以下结果都精确到0.1，参考数据：）．
（1）求点B到AE的距离
（2）求点C到AE的距离．
【答案】（1）解：如图，过点B作BM⊥AE，垂足为M，
在RtABM中，∠BAE=60°，AB=20cm，
∴BM=AB sin60°=20×≈17.3（cm）．
（2）解：如图，过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
∴∠AMB=∠BME=∠CNM=∠CDM=∠CDB=90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴DM=CN，
∵∠ABC=45°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABM=15°，
在Rt△BCD中，BC=10cm，
∴BD=BC cos15°≈10×0.97=9.7（cm），
∴DM=BM-BD=17.3-9.7=7.6（cm），
∴DM=CN=7.6cm，
∴点C到AE的距离为7.6cm．
【解析】【分析】（1）过点B作BM⊥AE，垂足为M，在RtABM中，利用∠A的正弦函数求出BM的长；
（2）过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，得到矩形MNCD，由矩形性质得出DM=CN，进而得出∠ABM=30°，∠CBD=15°，再利用∠CBD的余弦函数可求出BD，即可计算得出答案．
11．（1）用计算器计算并验证sin25°+sin46°与sin71°之间的大小关系：
（2）若α、β、α+β都是锐角，猜想sinα+sinβ与sin（α+β）的大小关系：
（3）请借助如图的图形证明上述猜想．
【答案】解：（1）sin25°+sin46°＞sin71°
sin25°+sin46°=0.423+0.719=1.142，sin71°=0.956，
∴sin25°+sin46°＞sin71°；
（2）sinα+sinβ＞sin（α+β）；
（3）证明：∵sinα+sinβ=+，sin（α+β）=，
∵OB＞OA，
∴＞，
∴+＞+=．
∵AB+BC＞AE，
∴＞，
∴sinα+sinβ＞sin（α+β）．
【解析】【分析】（1）根据计算器，可得有理数的运算，根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）根据（1）的结果，可得答案；
（3）根据正弦函数，可得+，根据不等式的性质，可得＞，根据三角形三边的关系，可得AB+BC＞AE，再根据不等式的性质，可得答案．
12．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有 3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字-1，-2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为(x，y).
（1）用画树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M(x，y)在函数y=-x+1的图象上的概率；
（3）在平面直角坐标系xOy中，☉O的半径是2，求过点M(x，y)能作☉O的切线的概率.
【答案】（1）解：画树状图如图所示：
共有9种等可能的结果，它们是(0，-1)，(0，-2)，(0，0)，(1，-1)，
(1，-2)，(1，0)，(2，-1)，(2，-2)，(2，0).
（2）解：在直线y=-x+1的图象上的点有(1，0)，(2，-1)，
∴点M(x，y)在函数y=-x+1的图象上的概率为.
（3）解：在☉O上的点有(0，-2)，(2，0)，在☉O外的点有(1，-2)，(2，-1)，
(2，-2)，
∴过点M(x，y)能作☉O的切线的点有5个.
∴过点M(x，y)能作☉O的切线的概率为.
【解析】【分析】(1)根据题意画出树状图，即可得共有9种等可能的结果.
(2)根据(1)得共有9种等可能的结果，在直线y=-x+1的图象上的点有(1，0)，(2，-1)两种，根据概率公式即可求解.
（3）根据(1)得共有9种等可能的结果， 在☉O上的点有(0，-2)，(2，0)，在☉O外的点有(1，-2)，(2，-1)，(2，-2)，共5种，根据概率公式即可求解.
13．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且．
（1）求的长及的正弦值．
（2）若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标．
【答案】（1）解：，
．
在中，
，
，，
，．
（2）解：联结，设．
在中，
，，
，
①当点D在C左侧时，，．
，，
，
，
，
，．
②当点D在点C右侧时，，．
，
．
在中，，
，
，．
综上所述，，．
【解析】【分析】本题主要考查勾股定理、三角函数及三角形相似的判定及性质；（1）根据已知条件可得，结合正切的定义求得，运用勾股定理及正弦的定义即可求解；
（2）连接AC， 设 ，分 ①点D在C左侧；②点D在点C右侧，两种情况进行讨论结合三角形相似即可求解.
14．如图所示，圆柱的底面半径为3 cm，高为4 cm.若沿图中的线AB把圆柱的侧面展开，你认为会得到什么图形？请你求出这个侧面展开图的面积．
【答案】解：若沿图中的线AB把圆柱的侧面展开，会得到长方形．
因为这个长方形的长是圆柱底面的圆的周长，长方形的宽是圆柱的高，因此侧面展开图的面积为2×π×3×4＝24π(cm2)．
【解析】【分析】把圆柱侧面沿AB展开，得到的图形是长方形；按长方形的面积计算方法即可求出侧面展开图的面积．
15．某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示.小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°.请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度.（结果精确到0.1 米， ）
【答案】解：∵∠PAC=45°，∠PCA=90°，
∴AC=PC，
∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，∠PCA=90°，
∴∠BPQ=∠PBQ=30°，
∴BQ=PQ，CQ= BQ，
设BQ=PQ=x，则CQ= BQ= x，
根据勾股定理可得BC= = x，
∴AB+BC=PQ+QC
即60+ x=x+ x
解得：x=60+ =60+20×1.732=94.64≈94.6，
∴PQ的高度为94.6米.
【解析】【分析】先根据题意得出AC=PC，BQ=PQ，CQ= BQ，设BQ=PQ=x，则CQ= BQ= x，根据勾股定理可得BC= x，根据AB+BC=PQ+QC即可得出关于x的方程求解即可.
16．如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树顶A的仰角为60°，求这棵树的高度AB．
【答案】解：设AG=x．
在Rt△AFG中，
∵tan∠AFG= ，
∴FG= ，
在Rt△ACG中，∵∠GCA=45°，
∴CG=AG=x，
∵DE=10，
∴x﹣ =10，
解得：x=15+5
∴AB=15+5 +1=16+5 （米）．
答：电视塔的高度AB约为16+5 米．
【解析】【分析】设AG=x，分别在Rt△AFG和Rt△ACG中，表示出CG和GF的长度，然后根据DE=10m，列出方程即可解决问题．
17．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆形的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B、C两点．如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径，发现直尺的长度不够．
（1）写出此图中相等的线段．
（2）请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法．（写出主要解题过程）
【答案】解：（1）根据切线长定理，知AB=AC；（2）连接OB、OA．根据切线长定理，得∠OAB=60°．在直角三角形AOB中，得OB=AB，则只需测得AB的长，即可求得圆的直径．
【解析】【分析】（1）根据切线长定理，知AB=AC；
（2）连接OB、OA．根据切线长定理，得∠OAB=60°，利用解直角三角形的知识，得OB=AB，从而求得圆的直径．
18．已知电视发射塔BC，为稳固塔身，周围拉有钢丝地锚线(如图线段AB)，若AB＝60m，并且AB与地面成45°角，欲升高发射塔的高度到CB′，同时原地锚线仍使用，若塔升高后使地锚线与地面成60°角，求电视发射塔升高了多少米？(即BB′的高度)
【答案】解：在Rt△ABC中，sin45°＝
∴BC＝AB·sin45°＝ （米），
在Rt△A′B′C中，sin60°＝
∴B′C＝A′B′·sin60°＝AB·sin60°＝ （米）
∴BB′＝B′C－BC＝ 米
故答案为： 米
【解析】【分析】升高的高度就是B′C－BC，分别在直角三角形中，利用三角函数求出B′C 和BC即可求解．
19．已知：如图，在 中， ，垂足为 ，若 .求 的长.
【答案】解：在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴
∴
【解析】【分析】在 中，根据60 角的正切函数及 ，可求得CD的长，又在 中根据勾股定理可求得BD的长，从而求得答案.
20．如图，是圆的弦，是圆外一点，，交于点，交圆于点，且．
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：（1）直线BC与圆O相切，理由为：
连接OB，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，又∠APO=∠CPB
∴∠CBP=∠APO，
∵OA⊥OC，
∴∠A+∠APO=90°，
∴∠OBA+∠CBP=90°即∠OBC=90°，
∴OB⊥BC，
∴直线BC与圆O相切；
（2）∵OA⊥OC，∠A=30°，OP=1
∴OA=，∠APO=60°即∠CPB=60°，
∵CP=CB，
∴△PCB为等边三角形，
∴∠PCB=60°，
∵∠OBC=90°，
∴∠BOD=30°，
∴BC=OB·tan30°=1，
∴==，
答：图中阴影部分的面积为．
【解析】【分析】（1）连接OB，根据等边对等角可得∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，则∠CBP=∠APO，再根据角之间的关系可得∠OBC=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据正切定义及特殊角的三角函数值可得OA=，∠APO=60°即∠CPB=60°，再根据等边三角形判定定理可得△PCB为等边三角形，则∠PCB=60°，即∠BOD=30°，根据正切定义及特殊角的三角函数值可得BC=1，再根据，结合三角形面积，扇形面积即可求出答案.
21．深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度.（ ≈1.7）
【答案】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，
由题意得AB=57米，DE=30米，∠DAB=30°，∠DCF=45°，
在Rt△ADE中，tan∠DAE= ，
∴AE= ≈51（米），
∵AB=57米，
∴BE=AB-AE=6（米），
∵CB⊥BE，FE⊥BE，CF⊥EF，
∴四边形BCFE为矩形，
∴CF=BE=6（米），
在Rt△DFC中，∠CDF=45°，
∴DF=CF=6（米），
∴BC=EF=DE-DF=30-6=24（米）.
答：教学楼BC的高度约为24米.
【解析】【分析】 过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，由题意得AB=57米，DE=30米，∠DAB=30°，∠DCF=45°，根据∠DAE的正切函数可得AE，则BE=AB-AE=6米，易得四边形BCFE为矩形，则CF=BE=6米，由等腰直角三角形的性质可得DF=CF=6米，然后根据BC=EF=DE-DF进行计算.
22．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径如图，若这个输水管道有水部分的水面宽，水最深的地方的高度为．
（1）求这个圆形截面的半径．
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：如图，过点作的垂线交于点，交于点，连接、，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在中利用勾股定理，得，即，
解得，
答：这个圆形截面的半径是；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
【解析】【分析】（）过点作的垂线交于点，交于点，连接、设，再利用垂径定理和勾股定理计算即可；
（）利用割补法求解即可，即根据“阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积”．
（1）解：如图，过点作的垂线交于点，交于点，连接、，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在中利用勾股定理，得，即，
解得，
答：这个圆形截面的半径是；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB．如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，AB⊥CB于点B，在C处测得气球A的仰角为45°，向前走140米到达点D，在D处测得气球A的仰角为52°，求AB的高度．（参考数据：sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28）
【答案】解：设AB＝x m，
在Rt△ABC中，
在Rt△ABD中，
∵tan∠ADB＝，
∴tan52°＝，
∴BD＝．
∵CD＝CB﹣DB，
∴x﹣＝140，
解得：x≈640．
答：AB的高度约为640米．
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用.设，根据正切函数的定义可求出，的长度，利用可列出方程，解方程可求出答案．
24．如图，某渔船沿正东方向以10海里/时的速度航行，在A处测得岛在北偏东的方向，1小时后渔船航行到处，测得岛在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁.
（1）处离岛有多远
（2）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险
（3）如果渔船在处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险
参考数据：.
【答案】（1）解：如图，
根据题意，得∠CAB=90°-60°=30°，∠CBE=90°-30°=60°，AB=10，
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，
∴∠ACB=60°-30°=30°，
∴∠ACB=∠CAB，
∴BC=AB=10，即B处离岛C有10海里；
（2）解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠BDC=90°，
∵，BC=10，
∴，
∵，
∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；
（3）解：如图，过点C作CG⊥BF于G，
∴∠BGC=90°，
∵∠CBE=60°，∠EBF=15°，
∴∠CBG=60°+15°=75°，
∵，BC=10，
∴，
∵9.66>9，
∴如果渔船在处改为向东偏南方向航行，无触礁危险.
【解析】【分析】（1）根据题意求出∠CAB=30°，∠CBE=60°，AB=10，利用三角形外角的性质得∠CBE=∠CAB+∠ACB，从而求出∠ACB=∠CAB=30°，进而根据“等角对等边”得BC=AC=10；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，得∠BDC=90°，然后解直角三角形求出CD的值，最后进行比较即可求解；
（3）过点C作CG⊥BF于G，得∠BGC=90°，然后求∠CBG=75°，接下来接直角三角形求出CG的值，最后进行比较即可求解.
25． 如图，已知∠BAC=90°，AB=AC，直线l 与以AB 为直径的圆相切于点B，点E 是圆上异于点A，B的任意一点，直线AE 与l 相交于点D.
（1）如果AD=10，BD=6，求 DE 的长.
（2）连接CE，过点 E 作CE 的垂线交直线AB 于点 F，当点 E 在什么位置时，相应的点 F 位于线段AB 上、位于AB 的延长线上(写出结果，不要求证明) 无论点 E 如何变化，总有BD=BF.请你就上述三种情况任选一种说明理由.
【答案】（1）解：连接BE，
∵BD是切线，
∴∠AEB=∠ABD=90°，
又∵∠DAB=∠BAE，
∴△ABE∽△ADB，
∴，
（2）解：设M是上半圆的中点，当E在BM弧上时，F在直径AB上当E在AM弧上时，F在BA的延长线上，当E在下半圆时，F在AB的延长线上，
∵AB是直径， AC、BD是切线， ，
，
，
，
，
，
，
【解析】【分析】(1)证明△ABE∽△ADB，即可得到对应边成比例， 代入数值计算解答即可；
(2)设M是上半圆的中点，当E在BM弧上时，F在直径AB上当E在AM弧上时，F在BA的延长线上，当E在下半圆时，F在AB的延长线上，证明△CAE∽△FBE，Rt△DBE∽Rt△BAE， 根据对应边成比例解答即可.
26．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角α为30°，看这栋楼底部的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高？
【答案】解：如图，过点A作 于点D
＝30°，β＝60°
AD＝120
∴BD=AD·tan =120×tan30°
因此，这栋楼高约为 m
【解析】【分析】，过点A作AD⊥BC于点D ，利用解直角三角形可推出 AD·tan =120×tan30° ，由此可求出BD的长；利用解直角三角形求出CD的长，然后根据BC=BD+CD，代入计算求出BC的长.
27．如图，是的角平分线，，以点为圆心，为半径画圆，过点作的垂线，交的延长线于点D
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：过点作垂足为点E，如图，
∴
由作图知，是的切线，且
∴
∵是的角平分线
∴
∴是的切线.
（2）解：在中，
∵
∴
∵是的切线，是的切线，
∴
∴
设的半径为，则
∴
在中，
∴，
解得，
在中，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【解析】【分析】（1）过点作垂足为点E，先证出再结合OE是圆的半径，即可证出是的切线；
（2）设的半径为，则利用勾股定理求出r的值，再证出利用相似三角形的性质可得最后将数据代入求出即可.
28．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：）
【答案】解：如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
当时，则，
此时，，
∴，
当时，则，
∴，
而，，
∴点离地面的高度升高了，升高了．
【解析】【分析】延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，先证出四边形是平行四边形，再分情况：当时，求出，再求出；当时，求出，最后求出，可得点离地面的高度升高了，升高了．
29．如图所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，在同一条直线上求灯管支架的长度．
【答案】解：延长交于点，
在中，，
，
，
，，
，
在中，，
，
在中，，，
，
，
是等边三角形，
，
答：灯管支架的长度为
【解析】【分析】延长交于点，在中，利用正切函数的定义得到：，结合题意即可求出AD和AF的长度，然后在中，利用三角函数即可求出AG的长度，然后在中，根据三角形内角和定理得到，进而证明是等边三角形，进而即可求解.
30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BD于点B．已知∠A = 45°，∠C= 60°， ，求AD的长．
【答案】解：过点D作DE⊥BC于E
∵ 在Rt△CDE中，∠C = 60°， ，
∴ ，
∵ AB⊥BD，∠A = 45°，
∴∠ADB = 45°.
∵AD∥BC，
∴∠DBE =∠ADB = 45°
∴ 在Rt△DBE中，∠DEB = 90°， ，
∴ ，
又∵ 在Rt△ABD中，∠ABD= 90°，∠A = 45°，
∴ ．
【解析】【分析】过点D作DE⊥BC于E，在Rt△CDE中，∠C = 60°， ，则可求出DE，由已知可推出∠DBE =∠ADB = 45°，根据直解三角形的边角关系依次求出BD，AD即可.
31．如图所示，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=80°，点C是⊙O上不同于A、B的任意一点，求∠ACB的度数．
【答案】解：连接OA、OB，在AB弧上任取一点C，连接AC、BC． ∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠OAP=∠OBP=90°． ∵∠APB=80°，在四边形OAPB中，可得∠AOB=100°． 分两种情况讨论： ①若C点在劣弧AB上，则∠ACB=130°； ②若C点在优弧AB上，则∠ACB=50°．
【解析】【分析】
连接OA、OB，在AB弧上任取一点C，连接AC、BC ，
分两种情况讨论： ①若C点在劣弧AB上； ②若C点在优弧AB上；用圆内接四边形的对角互补即可求解。
32．如图1是吊车的实物图，图2是吊车工作示意图．吊车作业时是通过液压杆CD的伸缩使起重臂AB绕点B转动的，从而使得起重臂升降作业（起重臂AB的长度也可以伸缩）在某次起重作业中，学习兴趣小组测经过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图3，起重臂米，点B到地面的距离米，钢丝绳所在直线AF垂直地面于点F，点B到AF的距离米．求点A到地面的距离AF的长为多少米？
【答案】解：在中，
由勾股定理得米
∵，，
∴
∵四边形BEFG是矩形
∴米
∴米
答：A到地面的距离AF的长为7.8米．
【解析】【分析】在Rt△ABG中，根据勾股定理可求出AG的值，易得四边形BEFG为矩形，则GF=BE=1.8米，然后根据AF=AG+GF进行计算.
33．如图，在中，，，分别是边上的中线和高，，，求，的长．
【答案】解：∵是的中线，
∴
∴
∴，
∵，
∴在Rt△ABC中，，
∴设，，
由勾股定理得：，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴的长为，的长为10．
【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数可得 在Rt△ABC中，，设，， 由勾股定理可求得BC=3x=6，即可求得x的值，进而得出AB的长度，再根据三角形的面积计算公式，即可求得CH的长度。
34．如图，以边长为1的正方形ABCD的一边AB为直径作是的切线，交AD于点F，E为切点，连结BE.求的面积.
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为1，
∴AD=DC=CB=AB=1，∠D=90°.
由已知，得DA，CF，BC都是的切线，点A，E，B为切点，
∴FA=FE，CB=CE.
设.
则，.
在Rt中，，即，
解得，
【解析】【分析】本题考查圆的切线长定理及正方形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线定理是关键。设由正方形的性质AD=DC=CB=AB=1，∠D=90°. 可得AF=x，由DA，CF，BC是切线得EF=x，DF=1-x，根据正方形性质可得CF=1+x，根据勾股定理求解可得DF，可得答案.
35．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，AB=5，BD=1，tanB= 1．
（1）求AD的长；
（2）求sinα的值．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB=，AB＝7，
∴可设AC＝3x，BC＝4x，
∵AC3+BC2＝AB2，
∴（3x）2+（4x）3＝52，
解得，x＝﹣1（舍去），x=1，
∴AC＝3，BC＝4，
∵BD＝5，
∴CD＝3，
∴.
（2）解：过点D作DE⊥AB于点E，
在Rt△BED中，tanB＝，
∴可设DE＝3y，则BE＝4y，
∵BE2+DE2＝BD2，
∴（4y）2+（3y）2＝12，
解得，y＝﹣(舍去)，或y＝，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据三角函数，设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理列出一元一次方程，求得AC，CD，再根据勾股定理即可确定AD；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，根据三角函数，设DE=3y，BE=4y，根据勾股定理列一元一次方程，求出DE，再根据三角函数的定义即可求得.
36．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5， ≈1.7）
【答案】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，
设CD=x米．
在Rt△ADC中，∠DAC=25°，
所以tan25°= =0.5，
所以AD= =2x．
Rt△BDC中，∠DBC=60°，
由tan 60°= = ，
解得：x≈3．
即生命迹象所在位置C的深度约为3米．
【解析】【分析】过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt△BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值．
37．“东方之星”客船失事之后，本着“关爱生命，救人第一”的宗旨．搜救部门紧急派遣直升机到失事地点进行搜救，搜救过程中，假设直升机飞到A处时，发现前方江面上B处有一漂浮物，从A测得B处的俯角为30°，已知该直升机一直保持在距江面100米高度飞行搜索，飞行速度为10米每秒，求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可到达漂浮物的正上方？（结果精确到0.1，≈1.73）
[ERRORIMAGE:http://tikupic.21cnjy.com/b9/5d/b95db918286c27ce5529a0098751f7e5.png]
【答案】【解答】解：过点A作AD⊥BD于点D，由题意得：∠ABC=30°，AD=100米，在Rt△ABD中，=tan∠ABC，∴BD===米，∵飞行速度为10米每秒，∴飞行时间为÷10=≈17.3秒，∴该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行17.3秒可到达漂浮物的正上方．[ERRORIMAGE:http://tikupic.21cnjy.com/69/f1/69f19c08a50bbcf799fd95f2e4f5ec52.png]
【解析】【分析】过点A作AD⊥BD于点D，由题意得：∠ABC=30°，AD=100米，在Rt△ABD中， =tan∠ABC，求得BD的长后除以速度即可得到时间．
38．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81， ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）
【答案】解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，∵CD=12米，∠DCE=60°，∴DE=CD sin60°=12× =6 米，CE=CD cos60°=12× =6米．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，∴四边形DEE′D′是矩形，∴DE=D′E′=6 米．∵∠D′CE′=39°，∴CE′= ≈12.8，∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8（米）．答：学校至少要把坡顶D向后水平移动6.8米才能保证教学楼的安全．
【解析】【分析】假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，利用解直角三角形求出DE、CE的长，再利用矩形的判定证明四边形DEE′D′是矩形，从而可求出D′E′的长，然后在△D′CE′中，利用解直角三角形求出CE′的长，利用EE′=CE′﹣CE求解即可。
39． 如图，AB，AC 的长均为3.2m，梯子的顶端离地面的高度AD为 求：
（1）∠ACB 的度数.
（2）梯脚B 与C 之间的距离.
【答案】（1）解：∵ 在 Rt△ACD 中，AD=
∵∠ACB 为锐角，
∴∠ACB=60°
（2）解：∵在Rt△ACD中，cos∠ACB=
1.6(m).
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2CD=3.2m.
∴ 梯脚 B 与C 之间的距离为3.2m
【解析】【分析】(1)在 中先计算 的正弦值，再确定 的度数；
(2)根据已知和 的度数先确定 的形状，再求出B、C间距离.
40．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）．
【答案】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH= ，
∴CH=AH tan∠CAH，
∴CH=AH tan∠CAH=6tan30°=6× =2 ，
∵DH=1.5，
∴CD=2 +1.5，
在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED= ，
∴CE= =4+ ≈5.7（米），
答：拉线CE的长约为5.7米
【解析】【分析】过点A作AH⊥CD，垂足为H，在Rt△ACH中求出CH，在Rt△ECD中，再求出EC即可．
41．如图，的外角.的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作，交CM于点D.
（1）求证：BE=CE.
（2）EF为⊙O的切线.
【答案】（1）∵四边形ACBE是圆内接四边形，
∴∠EAM=∠EBC，
∵AE平分∠BAM，
∴∠BAE=∠EAM，
∵∠BAE=∠BCE，
∴∠BCE=∠EAM，
∴∠BCE=∠EBC，
∴BE=CE
（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，
∵OB=OC，EB=EC，
∴直线EO垂直平分BC，
∴EH⊥BC.∵EF∥BC，
∴EH⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和角平分线的定义得到∠EAM=∠EBC，∠BAE=∠BCE，然后根据圆周角定理的推论得到∠BCE=∠EBC，根据等角对等边证明即可；
（2）连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，即可得到直线EO垂直平分BC，进而得到EH⊥EF，证明结论即可.
42．如图，在等边三角形中，于点．动点从点出发，沿线段向点以每秒个单位长度的速度运动，过点作，垂足为点．点出发后，以为边向上作等边三角形，设点的运动时间为秒，和的重合部分面积为．
（1）_______（含的代数式表示）；
（2）求点落在线段上时的值；
（3）当时，求与之间的函数关系式．
【答案】（1）；
（2）解：点落在线段上时，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：分两种情况：①当时，分别过点、作，于、两点，如图所示：
由（）得，，
∵，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
，
即；
当时，如图所示：
由①得，，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
，
即，
综上可得．
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据等边三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据等边三角形性质可得，，，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得GE=EF，CE，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当时，分别过点、作，于、两点，根据等边三角形性质可得，则，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得ME，GE，GP，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得NQ，再根据三角形面积即可求出答案；当时，由①得，，，解直角三角形可得QE，QP，再根据，结合四边形性质，三角形面积即可求出答案.
43．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连结AC，BC.过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F.
（1）求证；∠BCD=∠BOE.
（2）若，求BD的长.
【答案】（1）证明：连接OC，如图：
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，
∵OF⊥BC，
∴∠BEO=∠BOE+∠OBE=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠BCD=∠BOE；
（2）解：过B作BH⊥CD于H，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵sin∠CAB=，AB=10，
∴BC=6，
∵OF⊥BC，
∴AC∥OF，
∴∠BOE=∠CAB，
∵∠BCD=∠BOE，
∴∠CAB=∠BCD，
∴sin∠DCB=sin∠CAB=
∴BH=，
∵OC⊥CD，BH⊥CD，
∴BH∥OC，
∴△BDH∽△ODC，
∴，
解得BD=．
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可知∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，再根据角度之间的等量关系进行转换得出结论；
（2）首先根据圆周角定理可知∠ACB=90°，再根据三角函数值求出BC的长度，通过平行线的性质结合（1）的结论可知sin∠DCB的值，从而求出了BH的长度，通过证出△BDH∽△ODC，得到线段比的关系，就可求出答案.
44．欧多克索斯约公元前400年出生于尼多斯，约公元前347年卒于尼多斯，精通数学、天文学、地理学．他认为所谓的黄金分割，指的是把长为的线段分为两部分，使其中较长部分与全部之比，等于较短部分与较长部分之比，其比值为．现在，我们也把顶角为的等腰三角形叫黄金三角形．
图1 图2
（1）如图1，在，的平分线交腰于点．请你根据上述材料利用所学知识，证明点为腰的黄金分割点；
（2）如图2，在中，为斜边上的高，，若是的黄金分割点，求的长．
【答案】（1）证明：在中，为的平分线，，．，即点为腰的黄金分割点；
（2）解：点是的黄金分割点，．又，是斜边上的高，．
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到∠B和∠ACB的度数，进而运用角平分线的性质得到，再结合题意运用相似三角形的判定与性质即可求解；
（2）根据黄金分割点的定义得到，进而结合题意解直角三角形即可求解。
45．如图，在中，，，，点D为的中点，动点P在上（点P与点C不重合），做点C关于直线的对称点，连接、．
（1）线段的长为______________．
（2）设到的距离为h，求h的最大值．
（3）当是锐角三角形时，求的取值范围．
（4）当直线与的一条边平行时，直接写出的长．
【答案】（1）
（2）解：当动点P在BC上，做点C关于直线PD的对称点时，点在以点D为圆心，为半径的圆上，所以当时，到AC的距离最大，即h最大，所以延长交于E，当时，则h最大，最大值为，
∵点D为AB的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵点C关于直线的对称点，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：是锐角三角形时，则是锐角三角形，
当时，
∵点D为AB的中点，
∴
∴
∵，
∴
∴
当时，
∵
∴点P上的中点，
∴
∴的取值范围是．
（4） 或或
【解析】【解答】解：（1）∴∠ACB＝90°，AC＝1，，
∴根据勾股定理，得．
（4）解：①当时，1）当在左侧时，如图，过点D作于E，延长交于F，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
由轴对称可得：，，
设，则，，
由勾股定理，得，
解得（舍去），；
∴；
2）当在左侧时，如图，过点D作于E，于F，
同理可得，，，
由轴对称得，，
设，则，
∴，
由勾股定理，得，
解得：（舍去），；
②当时，
∵
∴，
由轴对称得，
∴
∵
∴
∴，
∴．
综上，当直线与的一条边平行时，的长为 或或．
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）当动点P在BC上，做点C关于直线PD的对称点时，点在以点D为圆心，为半径的圆上，所以当时，到AC的距离最大，即h最大，所以延长交于E，当时，则h最大，最大值为，根据垂径定理可得，再根据勾股定理可得DE，再根据对称性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）是锐角三角形时，则是锐角三角形，分情况讨论：当时，根据等边对等角可得，再根据余弦定义建立方程，解方程节课求出答案.当时，根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
（4）分情况讨论：①当时，当在左侧时，过点D作于E，延长交于F，根据勾股定理可得DE，再根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，由轴对称可得：，，设，则，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当在左侧时，过点D作于E，于F，同理可得，，，由轴对称得，，设，则，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当时，根据直线平行性质可得，由轴对称得，再根据角之间的关系可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
46．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点F在AB上，连结CF并延长，交⊙O于点D，连结BD，作BE⊥CD，垂足为E.
（1）求证：△DBE∽△ABC.
（2）若AF=2，求ED的长.
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，
∵ BE⊥CD，
∴ ∠ BED=90°，
∴ ∠ BED=∠ACB，
∵ 同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠ CAB=∠ CDB，
∴ △DBE∽△ABC.
（2）解：过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图所示：
∵∠ACB=90°，
由勾股定理可得AB=5，
∴，
，解得AG=1，
∵AF=2，∴ GF=AF-AG=1，
∴ AC=FC，
∴ ∠CAF=∠CFA=∠BFD=∠BDF，
∴ BD=BF=AB-AF=3，
∵ 由(1)得△DBE∽△ABC，
∴，即，解得
∴ ED的长为.
【解析】【分析】(1)、根据圆周角定理和同弧所对的圆周角相等证明即可.
(2)、过点C作CG⊥AB，由勾股定理得AB，再根据余弦及边之间的关系的BD，然后根据△DBE∽△ABC，得到，将数值代入计算即可.
47．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，连结BE．
（1）求证：IE=BE．
（2）若IE=4，AE=8，求DE的长．
【答案】（1）证明：如图，连结IB．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBD．
又∵∠BIE=∠BAD+∠ABI，
∴∠BIE=∠CAD+∠IBD=∠DBE+∠IBD=∠IBE，
∴BE=IE
（2）解：在△BED和△AEB中，
∵∠EBD=∠CAD=∠EAB，∠BED=∠AEB，
∴△BED∽△AEB，∴
∵IE=4，∴BE=4．∵AE=8，
∴DE==2
【解析】【分析】(1)连接IB，只要证明∠IBE=∠BIE即可；
(2)由于BE(与IE相等)，DE，AE分别在△BED和△AEB中，可以构造三角形相似利用对应边成比例求DE 的长.
48． 如图 是 的直径， 是弦 延长线上一点， 过点 作 于点 ， 过点 作 的切线， 交 于点 ．
（1） 求证： ；
（2） 若 是 的中点， ，求 的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵CF与相切，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，
∴∠FCD+∠OCA=90°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠OCA，
∴∠A+∠FCD=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠D+∠A=90°，
∴∠D=∠FCD，
∴FC=FD；
（2）解：如图，过点F作FG⊥DC于G，连接BC，
由（1）得FC=FD，∠A+∠D=90°，
∴DG=CG，
∵E是OB的中点，OA=OB=2，
∴BE=1，AE=3，AB=4，
∵，
∴AD=5，
∵AB是的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A+∠D=90°，
∴∠D=∠B，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴设GF=3x，DF=5x，
在中，根据勾股定理得，
∴，
解得：，
∴.
【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得∠OCF=90°，从而得∠FCD+∠OCA=90°，根据等腰三角形“等边对等角”的性质得∠A=∠OCA，从而有∠A+∠FCD=90°，然后求出∠D+∠A=90°，进行等量代换有∠D=∠FCD，即可根据等腰三角形的判定得证结论；
（2）过点F作FG⊥DC于G，连接BC，根据等腰三角形“三线合一”性质得DG=CG，然后求出BE、AE、AB的值，接下来利用正弦的定义得AD的值，由圆周角定理推论得∠ACB=90°，从而得∠D=∠B，进而利用正弦的定义求出AC的值，则可求出CD、DG的值，设GF=3x，DF=5x，利用勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出FD的值.
49．如果给出一个任意角，只使用圆规和一把没有标出尺度的直尺．不可能把这个角三等分．其实，在数学上，从未没有不允许使用其他工具来三等分一个角度．为了实现这一目的．人们想出了很多机械工具，并把这种工具称为三分角器，我们每个人都可以制作出这样一个三分角器，用厚纸板或者薄铁片都可以，这样，绘图的时候就可以使用它了．如图所示的阴影部分就是一个实际大小的三分角器，其简图如图2所示．已知A、B、O三点共线，其中，，以点O为圆心，为直径作圆，直线与相切于点B，的顶点S放到这个三分角器的直线上，的一边过点A、另一边与相切于点N，与相交于点Q．
（1）求证：
（2）连接，如果，求的值；
（3）连接，记，，的面积分别为，，，若，1，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∵与相切于点N，
∴，又，，
∴，
∴，即，
∴
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，则，
∴，整理得，
∴，
解得，或（舍去），
∴（负值已舍去），
∴
（3）解：如图2，连接、，过Q作于T，
∴，又，
∴，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
由（2）知，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，
∴，整理，得，
解得或，
∵，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）分别得到，，即可得到，进而得到结论即可；
（2）根据全等得到，即可得到，根据对应边成比例得到，求得的值即可求出正切；
（3）连接、，过Q作于T，即可得到，根据对应边成比例得到得到，，然后推导得到，求出，，进而得到，根据题意列方程求出OS解题即可．
（1）证明：∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∵与相切于点N，
∴，又，，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，则，
∴，整理得，
∴，
解得，或（舍去），
∴（负值已舍去），
∴；
（3）解：如图2，连接、，过Q作于T，
∴，又，
∴，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
由（2）知，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，
∴，整理，得，
解得或，
∵，
∴，
∴．
50．油井A位于油库P南偏东75°方向，主输油管道AP=12km，一新建油井B位于点P的北偏东75°方向，且位于点A的北偏西15°方向．
（1）求∠PBA；
（2）求A，B间的距离；
（3）要在AP上选择一个支管道连接点C，使从点B到点C处的支输油管道最短，求这时BC的长．（结果保留根号）
【答案】解：如图：（1）∵∠BPA=15°×2=30°，
∠BAP=75°﹣15°=60°，
∴∠PBA=180°﹣30°﹣60°=90°；
（2）AB=APsin30°=12×=6km；
（3）过B作BC⊥AP，
BC=AB sin60°=6×=3．
【解析】【分析】（1）根据方向角进行解答；
（2）利用三角函数解答；
（3）作出AP上的垂线解答．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
