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【精选热题·期末50道解答题专练】沪科版数学八年级上册总复习
1．直线上有点，平分，，且，求的度数．
2．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．
3．如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为．
（1）求第三边的范围；
（2）当第三边长为奇数时，求三角形的周长．
4．已知与成正比例，当时，．
（1）求与的函数表达式；
（2）试判断点是否在（1）中的函数图象上，请说明理由．
5．如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中画出格点△A'B'C'与△ABC成轴对称，且点A，B，C的对称点分别为点A'，B'，C'．例如，图1、图2中的格点△A'B'C'与△ABC成轴对称，请你在图3、图4、图5、图6中各画出一种格点△A'B'C'，使各图中的△A'B'C'与△ABC对称形式不同．
6．已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，相应的的面积与移动路程的关系图象如图2，若，根据图象信息回答下列问题：
（1）图1中____________；
（2）图2中____________； ____________．
（3）当的面积y为1时，请直接写出x的值____________．
7．已知：如图，已知△ABC，分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2．
8．已知，，．
（1）若点在第二象限内，且，，求点的坐标，并求的面积；
（2）若点在第四象限内，且的面积为8，，求点的坐标．
9．某市居民用电采用分段计费，即每月用电量不超过240千瓦时的部分，按每千瓦时0.4883元计费；每月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分，按每千瓦时0.5383元计费；每月用电量超过400千瓦时的部分，按每千瓦时0.7883元计费。
（1）设每月用电x(x>100)千瓦时，应缴电费y元，写出y关于x的函数关系式。
（2）小明家一月份用电量为320千瓦时，应缴电费多少元
10．（1）已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长．
（2）如图，，点B、F、C、E在同一条直线上，若，，求的长．
11．如图，在△ABC中，∠B=75°，AD⊥BC，∠C=∠CAD，求∠C，∠BAC的度数．
12．已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在y轴上；
（2）点P在第一象限且点P到x轴的距离为2
13．设a，b，c是的三边，
（1）化简
（2）若b，c满足，且a为方程的解，判断的形状并说明理由．
14．问题背景：
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
15．如图，点E、C在线段BF上，点A、D在BF同侧，AC、DE相交于点O．若OE＝OC，BE＝CF，∠B＝∠F，则∠A与∠D相等吗？ 说明理由．
16．如图，已知直线AB：=k+b与轴、轴分别交于A，B两点，且OA=2OB=8，轴上一点C的坐标为（6，0），P是直线AB上一点.
（1）求直线AB的函数表达式：
（2）连接OP和CP，当点P的横坐标为2时，求△COP的面积.
17．已知一次函数 的图象经过 两点.
（1） 求这个一次函数的解析式；
（2） 求一次函数 图象与 轴的交点坐标.
18．已知直线y＝ x+3与y轴交于A点，直线y＝x﹣2与x交于B点．①求经过A、B的直线解析式．②试求出S△AOB的面积．
19．如图，△AOB的边OA半面镜．∠AOB＝36°，在OB边上有点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好满足DC∥OB，已知入射光线、反射光线与半面镜的夹角相等，即∠ODE＝∠ADC，求∠DEB的度数．
20．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．（不添加辅助线）．
21．如图，在中，是边上的一点，．求证．
22．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．试探索BF与CF的数量关系，写出你的结论并证明．
23．如图中，，分别是的高和角平分线，，．求的度数．
24．在△ABC中，AB=AC，AB边上的中线CD把三角形的周长分成6和15的两部分，求三角形腰和底的长.
25．平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象交于点．
（1）求的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
26．指出下列图形中的轴对称图形，是轴对称图形的画出对称轴．
27．如图，已知 是 的平分线，求 的度数。
28．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AC=EB．
（1）求证：△ACB≌△EBD．
（2）若DB=12，求AC的长．
29．甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开往A城．由于墨迹遮盖，图中提供的只是两车距B城的路程s甲（千米）、s乙（千米）与行驶时间t（时）的函数图象的一部分．
（1）乙车的速度为多少千米/时；
（2）分别求出s甲、s乙与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；
（3）求出两城之间的路程，及t为何值时两车相遇；
（4）当两车相距300千米时，求t的值．
30．如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.∠A=30°，∠FCD=80°，求∠D.
31．如图，已知∠AOB和点C，D．
求作：点P，使得点P到∠AOB两边的距离相等，且PC＝PD．（要求：用直尺与圆规作图，保留作图痕迹）
32．已知：在中，，，于，平分，求．
33．如图，三角形 中， 是 上一点， 是 上一点， ， ， ，垂足为 ．求 是多少度？
34．甲、乙两人匀速步行从新华书店沿笔直的公路到某公园游玩，先到公园门口的人原地休息，从书店到公园门口共，已知甲先出发．在整个步行过程中，甲、乙两人的距离与甲出发的时间之间的关系如图所示．
（1）甲步行的速度是多少？
（2）乙步行的速度是多少？
（3）甲、乙两人相距最远是多少？
（4）求乙从书店出发到追上甲这个过程中，与甲出发的时间之间的解析式．
35．如图，在 中，∠B=32°，∠C=55°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，DF⊥AE于F，求∠ADF的度数.
36．已知，在△ABC中，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），连接AD，使∠DAE＝90°，AD＝AE
（1）如图1，当点D在线段BC上时，BD与CE的数量关系是 ，BD与CE的位置关系是 ，CE、BC、CD三条线段的数量关系是 ．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变
（3）如图3，当D运动到CB的延长线上，且A、E分别在直线的两侧，BC＝3，求CE的长．
37．卷蹄是云南少数民族的传统美食，素以色鲜味美、食法多样、易于贮存而深受人们的喜爱，其中尤以弥渡县一带所制最为有名，故又称“弥渡卷蹄”某经销商准备从一卷蹄加工厂购进甲、乙两种卷蹄进行销售，加工厂的厂长为了答谢经销商，对甲种卷蹄的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种卷蹄按元千克的价格出售，设经销商购进甲种卷蹄千克，付款元，与之间的函数关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种卷蹄共千克，其中甲种卷蹄不少于千克且不超过千克，如何分配甲、乙两种卷蹄的购进量，才能使经销商付款总金额最少？
38．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶甲车比乙车提早2h出发，并且甲车途中休息了1h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象.
（1）求出图中a= ，m= .
（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h)的函数表达式，并写出相应x的取值范围；
（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距30km.
39．新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国2018—2024年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到0.1）：
（年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
万个 43.2 45.3 53.0 69.6 79.8 92.1 104.5
（1）计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到1%）；
（2）小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似地表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数．
40．如图，请你用直尺和圆规作出弧AB的对称轴．（不写作法，保留作图痕迹）．
41． 求解下列各题
（1）如图（1），，点在外部，若，则
（2）如图（2），，点在内部，则之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）在图（2）中，将直线绕点按逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图（3），若，求的度数．
42．如图，O是内一点，，，．
（1）已知，为等边三角形．
①如图1，若点C与点M重合，请补充条件：______°，可得结论：；
②如图2，若点C在边上，在①补充的条件下，结论是否仍成立？并说明理由；
（2）如图3，请探究当与之间满足什么数量关系时，结论仍然成立，并说明理由．
43．某天早晨，张强从家跑步去体育锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走）．如图是两人离家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题：
（1）求张强返回时的速度；
（2）妈妈比按原速返回提前多少分钟到家？
（3）请直接写出张强与妈妈何时相距1000米？
44．在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图.
45．如图1，在中，，，，以点O为原点建立平面直角坐标系，点A，C关于y轴对称．
（1）判断是什么特殊三角形，并说明理由．
（2）如图2，若点D为x轴下方平面内一动点，且，连接，求线段的最大值．
（3）如图2，若点D坐标为，过点D的直线，将四边形分成面积相等的两部分时，请直接写出b的值．
46． 在平面直角坐标系中，已知点，，，且a和b满足．将线段AB平移，使得点A、B分别与点C、D重合．
（1）请直接写出点A、B、D的坐标：A ，B ，D ；
（2）如图1，若点P为直线AB上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线CD上时，则t的值为 ，若三角形的面积是三角形的面积的2倍，请求出点P的坐标；
（3）如图2，若点为平面直角坐标系内一点，且三角形ABQ的面积是三角形CDQ的面积的2倍，请探究m，n的数量关系，并写出你的探究过程．
47．如图，已知直线：与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点．
（1）求点的坐标及直线的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）点为直线上一动点，若有，求点的坐标．
48．在平面直角坐标系xOy中，对于A，A'两点，若在 y 轴上存在点T，使得 且TA=TA'，则称A，A'两点互相关联，把其中一个点叫作另一个点的关联点.已知点 M(-2，0)，N(-1，0)，点Q(m，n)在一次函数y=-2x+1的图象上.
（1）①如图，在点 B(2，0)，C(0，-1)，D(-2，-2)中，点 M 的关联点是 (填“B”“C”或“D”).
②若在线段 MN 上存在点 P(1，1)的关联点 P'，则点 P'的坐标是 .
（2）若在线段 MN 上存在点Q 的关联点Q'，求实数m 的取值范围.
（3）分别以点E(4，2)，Q为圆心，1为半径作⊙E，⊙Q.若对⊙E 上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G'，使得G，G'两点互相关联，请直接写出点 Q 的坐标.
49．A、B、C三个篮球队进行篮球比赛，每天赛1场．规定每场比赛后次日由胜队与另一队进行比赛，而负者则休息一天．如果最后结果是A队胜10场，B队胜12场，C队胜14场．问每队各打几场
50．如图，过△ABC的顶点A作AF⊥AB，且AF=AB，再作AH⊥AC，且AH=AC，BH交AC于E，CF交AB于D，BH与CF相交于点O．
求证：
（1）HB＝CF；
（2）HB⊥CF．
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【精选热题·期末50道解答题专练】沪科版数学八年级上册总复习
1．直线上有点，平分，，且，求的度数．
【答案】
2．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．
【答案】证明：∵在△ABD和△CBD中， ，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，
∴OE=OF．
【解析】【分析】三条边分别对应相等的两个三角形全等，即可证明
△ABD≌△CBD ，根据全等三角形的对应角相等，即可得到BD为∠ABC的平分线，根据角平分线上的点，到角两边的距离相等，即可证明OE=OF。
3．如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为．
（1）求第三边的范围；
（2）当第三边长为奇数时，求三角形的周长．
【答案】（1）解：三角形的一边长为，另一边长为，
，
即；
（2）解：由知，，
第三边的长为奇数，
第三边的长为，
三角形的周长为
【解析】【分析】 (1) 根据三角形三边的关系，三角形的第三边长在另两边的和与另两边的差之间； (2)的奇数只有9，故可求周长。
4．已知与成正比例，当时，．
（1）求与的函数表达式；
（2）试判断点是否在（1）中的函数图象上，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可设：，
当时，
解得：
与的函数表达式为.
（2）解：不在，理由如下：
当时，
点不在（1）中的函数图象上．
【解析】【分析】（1）根据题意可设，再把，代入求出k即可；
（2）把代入中，求出的值，与进行比较即可．
5．如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中画出格点△A'B'C'与△ABC成轴对称，且点A，B，C的对称点分别为点A'，B'，C'．例如，图1、图2中的格点△A'B'C'与△ABC成轴对称，请你在图3、图4、图5、图6中各画出一种格点△A'B'C'，使各图中的△A'B'C'与△ABC对称形式不同．
【答案】解：如图，△A'B'C'即为所求．
【解析】【分析】根据题意作图即可。
6．已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，相应的的面积与移动路程的关系图象如图2，若，根据图象信息回答下列问题：
（1）图1中____________；
（2）图2中____________； ____________．
（3）当的面积y为1时，请直接写出x的值____________．
【答案】（1）3
（2）9，26
（3）1或25或27
【解析】【解答】解：（1）由图象可得：点P在B点时，，，即，
故答案为：3；
解：(2)由图象可得：时，点P在上运动；时，点P在上运动，时，点P在上运动，时，点P在上运动，时，点P在上运动，
∴，
当点P在线段上，且在直线上时，，
∴，
故答案为：9，26；
解：（3）∵的面积y为1，，
∴点P到直线的距离为，
∴当点P在上时，，
当点P在上时，或，
∴或25或27，
故答案为：或25或27．
【分析】（1）由题设中的图象，当点P在B点时，得到，，得到的值，即可求解；（2）由题设中的图象，根据点P的运动位置，得到，结合三角形面积公式，求得m的值；再由点P在线段上，且在直线上时，得到，求得n的值，即可得到答案；
（3）由三角形面积公式，求得点P到直线的距离为，分 点P在上和 点P在上 ，两种情况讨论，分别求得x的值，即可得到答案.
7．已知：如图，已知△ABC，分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2．
【答案】解：如图所示．
【解析】【分析】根据关于坐标轴对称的点的坐标特点画出图形即可．
8．已知，，．
（1）若点在第二象限内，且，，求点的坐标，并求的面积；
（2）若点在第四象限内，且的面积为8，，求点的坐标．
【答案】（1）解：点在第二象限内，
，，
，，
，，
点的坐标为，
∴C到AB距离为3，即AB边上的高为3，
，，
∴AB=8
的面积
（2）解：的面积为8，点在第四象限内，
，
，
，
，
点的坐标为．
【解析】【分析】（1）先利用第二象限点的坐标特点横坐标小于0纵坐标大于0，得到C的坐标（-3，3），因此C到AB的距离为3，即AB边上的高为3，再根据坐标求出AB长，即可求出三角形ABC面积；
（2）由三角形面积公式可求出C到AB的距离为2，C在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负，即可写出C坐标为（4，-2）.
9．某市居民用电采用分段计费，即每月用电量不超过240千瓦时的部分，按每千瓦时0.4883元计费；每月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分，按每千瓦时0.5383元计费；每月用电量超过400千瓦时的部分，按每千瓦时0.7883元计费。
（1）设每月用电x(x>100)千瓦时，应缴电费y元，写出y关于x的函数关系式。
（2）小明家一月份用电量为320千瓦时，应缴电费多少元
【答案】（1）解：当x≤240时，y=0.4883x；
当240当x>400时，y=0.7883(x-400)+0.5383×(400-240)+0.4883×240=0.7883x-112；
（2）解：当x=320时，y=0.5383×320-12=160.256元.
【解析】【分析】（1）分为x≤240，240400三种情况分别列函数关系式即可；
（2）把x=320代入，求出函数值即可解题.
10．（1）已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长．
（2）如图，，点B、F、C、E在同一条直线上，若，，求的长．
【答案】解：（1）、c满足，a为方程的解，
又，，，
，，或（不满足三角形三边关系，舍去），
，，，
的周长；
（2），点B、F、C、E在同一条直线上，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出b和c的值，解绝对值方程，求出a的值，根据三角形两边的和大于第三边，由三角形两边的和大于第三边可推出三角形两边的差小于第三边确定a、b、c的值，即可求得的周长；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得，再根据可得到的长，从而得到的长．
11．如图，在△ABC中，∠B=75°，AD⊥BC，∠C=∠CAD，求∠C，∠BAC的度数．
【答案】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴在Rt△ACD中，∠CAD+∠C=90°，
∵∠C=∠CAD，
∴∠C=∠CAD=45°，
∵在△ABC中，∠B=75°，
∴∠BAC=180° ∠B ∠C
=180° 75° 45°
=60°．
【解析】【分析】由垂直的定义可得∠ADC=90°，利用直角三角形两锐角互余及∠C=∠CAD，可推出∠C=∠CAD=45°， 在△ABC中，利用三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数.
12．已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在y轴上；
（2）点P在第一象限且点P到x轴的距离为2
【答案】（1）解：∵点在y轴上，∴，
解得，
∴，
∴；
（2）解：∵点在第一象限且点P到x轴的距离为2，∴，
解得，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据点在y轴上点的横坐标为0，列出方程，求得m的值，即可得到答案；
（2）根据点P在第一象限且点P到x轴的距离为2，列出方程，求得m的值，即可得到答案.
13．设a，b，c是的三边，
（1）化简
（2）若b，c满足，且a为方程的解，判断的形状并说明理由．
【答案】（1）解：∵a，b，c是的三边，
∴，，
∴，，，
∴
（2）解：∵，
∴且，
∴，，
∵a为方程的解，
∴，
∴或，
当时，，故不合题意；
∴，
∴是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）首先根据三角形三边之间的关系，把绝对值符号去掉，然后合并同类项，即可得出结果；
（2）首先根据偶次方的非负性和绝对值的非负性，求得b=2，c=3的值，再解方程 求得a的两个值或， 根据三角形三边之间的关系，舍去不符合题意的值，然后根据三边数值，即可得出 是等腰三角形．
14．问题背景：
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【答案】（1）EF＝BE+DF
（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD-∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF.
【解析】【解答】（1）证明：在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD-∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为 EF＝BE+DF．
【分析】根据三角形全等的判定定理证明△ABE≌△ADG，通过角的和差关系求出∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，通过线段的和差关系即可求出．
15．如图，点E、C在线段BF上，点A、D在BF同侧，AC、DE相交于点O．若OE＝OC，BE＝CF，∠B＝∠F，则∠A与∠D相等吗？ 说明理由．
【答案】解：．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴，
即，
又∵．
∴．
∴．
【解析】【分析】 ．理由：由OE=OC可得，由可推出BC=EF，根据ASA证明，利用全等三角形的对应边相等即得结论.
16．如图，已知直线AB：=k+b与轴、轴分别交于A，B两点，且OA=2OB=8，轴上一点C的坐标为（6，0），P是直线AB上一点.
（1）求直线AB的函数表达式：
（2）连接OP和CP，当点P的横坐标为2时，求△COP的面积.
【答案】（1）解：∵OA＝2OB＝8，
∴A（8，0），B（0，4），
∵y＝kx+b的图象过点A、B，
∴，
解得：，
∴直线l的函数表达式为；
（2）解：∵P是直线l上一点，点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为＝3，
∵C（6，0），
∴OC＝6，
∴＝9．
【解析】【分析】（1）根据OA=2OB=8，把A、B两点坐标求出来，然后再求直线解析式；
（2）把x=2带入直线AB解析式，求出P点纵坐标，这样的底CO=6，高h为P点纵坐标，即可求出的面积。
17．已知一次函数 的图象经过 两点.
（1） 求这个一次函数的解析式；
（2） 求一次函数 图象与 轴的交点坐标.
【答案】（1）解：∵一次函数的图象经过，两点，
∴
解得
∴一次函数的表达式为．
（2）解：在中，当时，则，
解得，
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为．
【解析】【分析】（1）根据题意运用待定系数法求出一次函数解析式即可求解；
（2）根据一次函数与坐标轴的交点结合题意即可求解。
18．已知直线y＝ x+3与y轴交于A点，直线y＝x﹣2与x交于B点．①求经过A、B的直线解析式．②试求出S△AOB的面积．
【答案】解：①∵直线y＝ x+3与y轴交于A点，直线y＝x﹣2与x交于B点
∴点A(0，3)，点B(2，0)，
设AB的直线解析式为y＝kx+3，且过点B，
∴0＝2k+3，
∴k＝﹣ ，
∴AB的直线解析式为y＝﹣ x+3，
②∵S△AOB＝ ×AO×BO，
∴S△AOB＝ ×3×2＝3，
∴△AOB的面积为3．
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求一次函数解析式；（2）根据三角形面积公式求解.
19．如图，△AOB的边OA半面镜．∠AOB＝36°，在OB边上有点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好满足DC∥OB，已知入射光线、反射光线与半面镜的夹角相等，即∠ODE＝∠ADC，求∠DEB的度数．
【答案】解：如图，过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠3=∠1，
∵CD∥OB，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）；
∴∠2=∠3（等量代换）；
在 中，∠ODF=90 ，∠DOF=36 ，
∴∠2=90 ﹣36 =54 ；
在△DEF中，
∠DEB=180 ﹣2∠2=72 ．
【解析】【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，故∠1=∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数．
20．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．（不添加辅助线）．
【答案】解：（1.）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．（2.）证明：在△BDF和△CDE中∵∴△BDF≌△CDE（SAS）
【解析】【分析】由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）；
21．如图，在中，是边上的一点，．求证．
【答案】证明：在中，，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】根据在中，得到 ，再根据求得 ，利用三角形外角性质可得，再由等量代换即可求解.
22．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．试探索BF与CF的数量关系，写出你的结论并证明．
【答案】解：BF=2CF．
证明：连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°，
∵EF垂直平分AC，
∴AF=CF，
∴∠CAF=∠C=30°，
∴∠AFB=∠CAF+∠C=60°，
∴∠BAF=180°﹣∠B﹣∠AFB=90°，
∴BF=2AF，
∴BF=2CF．
【解析】【分析】连接AF，求出CF=AF，∠BAF=90°，再根据AB=AC，∠BAC=120°可求出∠B的度数，由直角三角形的性质即可求出BF=2AF=2CF，于是得到结论．
23．如图中，，分别是的高和角平分线，，．求的度数．
【答案】解：∵ 为 的高
∴在 中， ， ，
∴ （直角三角形两个锐角互余），
∴ ，
又∵ 为 的角平分线，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】根据高线的概念可得∠ADB=90°，则∠BAD=90°-∠B=54°，∠BAE=∠BAD-∠DAE=38°，由角平分线的概念可得∠CAE=∠BAE=38°，然后根据∠CAD=∠CAE-∠DAE进行计算.
24．在△ABC中，AB=AC，AB边上的中线CD把三角形的周长分成6和15的两部分，求三角形腰和底的长.
【答案】解：①情况一：AC+AD=6，BC+BD=15.
∵AD=BD，AB=AC，
∴2AD+AD=6，
∴AD=2.
∴AB=4，BC=13.
∵AB+AC＜BC，
∴不能构成三角形，故这种情况不成立.
②情况二：AC+AD=15，BC+BD=6.
同理①得AB=10，BC=1，
∵AB＋AC＞BC，AB－AC＜BC，
∴能构成三角形，腰长为10，底边长为1．
故这个等腰三角形的腰和底分别为10和1.
【解析】【分析】由于本题没有说明那一部分是6，那一部分是15，故需要分类讨论：①情况一：AC+AD=6，BC+BD=15，②情况二：AC+AD=15，BC+BD=6，根据中点的定义及AB=AC，利用等量代换列出方程，求解得出AB，BC的长，然后根据三角形三边的关系进行判断从而得出答案。
25．平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象交于点．
（1）求的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵函数的图象经过点，
∴，
∵一次函数的图象经过，
∴，
解得；
（2）
【解析】【解答】解：（2）如图所示：
，
由（1）得，一次函数解析式为：，
当时，，
把代入得，，
解得：，
观察图象，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，则．
【分析】（1）先根据题意求出m，进而即可求出b；
（2）由（1）得，一次函数解析式为：，运用待定系数法求一次函数的解析式即可求解。
26．指出下列图形中的轴对称图形，是轴对称图形的画出对称轴．
【答案】【解答】根据轴对称图形的定义可知：第一个、第二个、第四个图形都是轴对称图形．
对称轴如图：
【解析】【分析】根据轴对称图形的定义，即可作出判断．
27．如图，已知 是 的平分线，求 的度数。
【答案】解：∵ ，
，
是 的平分线，
.
【解析】【分析】先求出∠AOM的度数，再根据OB是 的平分线求出∠AOB，即可得到 的度数.
28．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AC=EB．
（1）求证：△ACB≌△EBD．
（2）若DB=12，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵∠ACB=∠DBC=90°，DE⊥AB，
，
.
在和中，
，
∴：△ACB≌△EBD
（2），
.
是BC的中点，
6.
【解析】【分析】( 1 )首先，从问题着手，本题让我们求证：△ACB≌△EBD．根据题中所给条件结合全等三角形的判定定理，已知∠ACB=∠DBC=90°得出从而得出，又已知AC=EB，利用ASA判定△ACB≌△EBD即可.
（2）根据已知条件可知：要想求出AC的长，只需求出EB的长即可，根据△ACB≌△EBD，可得出BC=DB，AC=EB，再根据E是BC的中点，得出从而求出：AC==6，故AC=6.
29．甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开往A城．由于墨迹遮盖，图中提供的只是两车距B城的路程s甲（千米）、s乙（千米）与行驶时间t（时）的函数图象的一部分．
（1）乙车的速度为多少千米/时；
（2）分别求出s甲、s乙与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；
（3）求出两城之间的路程，及t为何值时两车相遇；
（4）当两车相距300千米时，求t的值．
【答案】解：（1）120÷1=120千米/时，故答案为120；
（2）设s甲与t的函数关系为s甲=k1t+b，
∵图象过点（3，60）与（1，420），
∴
解得
∴s甲与t的函数关系式为s甲=﹣180t+600．
设s乙与t的函数关系式为s乙=k2t，
∵图象过点（1，120），
∴k2=120．
∴s乙与t的函数关系式为s乙=120t．
（3）当t=0，s甲=600，
∴两城之间的路程为600千米．
∵s甲=s乙，即﹣180t+600=120t，解得t=2．
∴当t=2时，两车相遇．
（4）当相遇前两车相距300千米时，s甲﹣s乙=300，
即﹣180t+600﹣120t=300，解得t=1．
当相遇后两车相距300千米时，s乙﹣s甲=300，
即 120t+180t﹣600=300．
解得t=3．
【解析】【分析】（1）根据点（1，120）在乙的函数关系式上可得乙车的速度；
（2）根据甲的函数关系式为一次函数解析式，乙的函数关系式为正比例函数解析式，找到相应的点代入即可求得相应的函数解析式；
（3）让甲的函数关系式的t=0即可求得两城之间的距离，让两个函数解析式的y相等即可求得两车相遇时t的值；
（4）让甲的函数关系式减去乙的函数关系式为300或乙的函数关系式减去甲的函数关系式为300即可求得所求的时间．
30．如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.∠A=30°，∠FCD=80°，求∠D.
【答案】解：∵DE⊥AB（已知），
∴∠FEA=90°（垂直定义），
∵在△AEF中，∠FEA=90°，∠A=30°（已知），
∴∠AFE=180° ∠FEA ∠A（三角形内角和是180）=180° 90° 30°=60°，
又∵∠CFD=∠AFE（对顶角相等），
∴∠CFD=60°，
∴在△CDF中，∠CFD=60°，∠FCD=80°（已知），
∴∠D=180° ∠CFD ∠FCD=180° 60° 80°=40°
【解析】【分析】由三角形内角和定理，可将求∠D转化为求∠CFD，即∠AFE，再在△AEF中求解即可．
31．如图，已知∠AOB和点C，D．
求作：点P，使得点P到∠AOB两边的距离相等，且PC＝PD．（要求：用直尺与圆规作图，保留作图痕迹）
【答案】如图，点P为所作.
【解析】【分析】作∠AOB的平分线和线段CD的垂直平分线，它们的交点为P点.
32．已知：在中，，，于，平分，求．
【答案】解：在中，，，
．
在中，，，
，
，
又平分，
．
在中，，，
．
【解析】【分析】本题考查三角形的内角和、角平分线、高线的应用，熟悉概念和性质是关键。 根据，得．据，得，根据平分得．可得．
33．如图，三角形 中， 是 上一点， 是 上一点， ， ， ，垂足为 ．求 是多少度？
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （或 ），
∵ ，
∴ （或 ），
∴ ．
【解析】【分析】由题意利用垂直线定义以及三角形内角和为180°进行分析计算即可得到 的度数.
34．甲、乙两人匀速步行从新华书店沿笔直的公路到某公园游玩，先到公园门口的人原地休息，从书店到公园门口共，已知甲先出发．在整个步行过程中，甲、乙两人的距离与甲出发的时间之间的关系如图所示．
（1）甲步行的速度是多少？
（2）乙步行的速度是多少？
（3）甲、乙两人相距最远是多少？
（4）求乙从书店出发到追上甲这个过程中，与甲出发的时间之间的解析式．
【答案】（1）解：甲步行的速度为，
答：甲步行的速度为；
（2）解：乙步行的速度：，
答：乙步行的速度为；
（3）解：乙走完全程的时间，
乙到达终点时，甲离终点距离是：，
∴甲、乙两人相距最远是；
（4）解：根据题意得：y=60x-80(x-4)=-20x+320，
∴ 乙从书店出发到追上甲这个过程中， y关于x的函数关系式为：y=-20x+320.
【解析】【分析】（1）甲先出发，由图形可知，甲走了240m，用了4分钟，由速度=路程÷时间就能求出甲步行的速度；
（2）由图形可知，16min时候，甲、乙两人相遇，就能求出乙步行的速度；
（3）先求出乙走完的路程的时间，乙最先到达终点时，此时看甲距离终点还有多远，就能求出甲、乙两人相距最远；
（4）乙从书店出发到追上甲这个过程中，根据甲所行的路程-乙所行的路程即可求出列出y关于x的函数关系式.
35．如图，在 中，∠B=32°，∠C=55°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，DF⊥AE于F，求∠ADF的度数.
【答案】解：∵∠B=32°，∠C=55°，
∴∠BAC=93°，
∵AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠BAE= ∠BAC=46.5°，∠BAD=90° 32°=58°，
∴∠FAD=∠BAD ∠BAE=11.5°，
∴∠ADF=78.5°.
【解析】【分析】首先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线的概念可得∠BAE的度数，由余角的概念求出∠BAD的度数，然后根据角的和差关系进行求解.
36．已知，在△ABC中，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），连接AD，使∠DAE＝90°，AD＝AE
（1）如图1，当点D在线段BC上时，BD与CE的数量关系是 ，BD与CE的位置关系是 ，CE、BC、CD三条线段的数量关系是 ．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变
（3）如图3，当D运动到CB的延长线上，且A、E分别在直线的两侧，BC＝3，求CE的长．
【答案】（1）BD＝CE；BD⊥CE；BC＝CE+CD
（2）解：BC＝CE-CD，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE，
∴BC＝BD-DC＝CE-CD；
（3）解：BC＝CD-CE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC-∠BAE＝∠DAE-∠BAE，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE，
∴BC＝CD-BD＝CD-CE，
∵CD＝5，BC＝3，
∴CE＝CD-BC＝8-3＝2．
【解析】【解答】解：（1）BD=CE，BD⊥CE，BC=CE+CD；理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∴BC=BD+DC=CE+CD；
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠BCE=45°+45°=90°，即BD⊥CE.
故答案为：BD=CE，BD⊥CE，BC=CE+CD；
【分析】（1）由题意根据角的构成和等式的性质可得∠BAD=∠CAE，由边角边可证△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，BD=CE，然后由线段和角的构成以及等腰三角形的性质可求解；
（2）由题意用边角边可证△ABD≌△ACE，于是可得BD=CE，然后由线段的构成可求解；
（3）同理可得△ABD≌△ACE，于是可得BD=CE，然后由线段的构成可求解.
37．卷蹄是云南少数民族的传统美食，素以色鲜味美、食法多样、易于贮存而深受人们的喜爱，其中尤以弥渡县一带所制最为有名，故又称“弥渡卷蹄”某经销商准备从一卷蹄加工厂购进甲、乙两种卷蹄进行销售，加工厂的厂长为了答谢经销商，对甲种卷蹄的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种卷蹄按元千克的价格出售，设经销商购进甲种卷蹄千克，付款元，与之间的函数关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种卷蹄共千克，其中甲种卷蹄不少于千克且不超过千克，如何分配甲、乙两种卷蹄的购进量，才能使经销商付款总金额最少？
【答案】（1）解：当时，
设，将代入，得
解得
所以当时，．
当时，
设，将，代入，得，
解得，
所以当时，，
所以与之间的函数关系式为；
（2）解：由题意，知，分两种情况：
当时，．
，
随的增大而增大，
当时，最小，最小值为．
当时，．
，
随的增大而减小，
当时，最小，最小值为．
，
当时，付款总金额最少，最少金额为元，
此时购进乙种卷蹄千克．
答：当购进甲种卷蹄千克，乙种卷蹄千克时，才能使经销商付款总金额最少．
【解析】【分析】（1）结合函数图象中的数据，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分类讨论：①当时，②当时，再分别列出函数解析式，最后利用一次函数的性质求解即可.
38．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶甲车比乙车提早2h出发，并且甲车途中休息了1h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象.
（1）求出图中a= ，m= .
（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h)的函数表达式，并写出相应x的取值范围；
（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距30km.
【答案】（1）50；1
（2）解：由（1）可知，m=1(h)，a=50(km)
看图可知
0~1h，甲车匀速行驶，设直线解析式为=kx
则当x=1h，=50
∴k=50，
∴=50x，0≤x＜1
1~2h，甲车停止状态，则y=50，1≤x＜2
2~3h，甲车继续匀速行驶，设直线解析式为=kx+b
，
解得k=50，b=-50
∴=50x-50，2≤x≤7
∴
（3）解：
①当 时，，
②当 时，，
∴2.4-2=0.4h 或 3.6-2=1.6h
∴当乙车 0.4 或 1.6h 行驶时，两车恰好相距 30km
【解析】【解答】解：（1）根据甲车中途休息1小时，根据图形可知，m=2-1=1，列方程得解得a=50；
根据甲车中途休息1小时，根据图形可知，m=2-1=1；
【分析】
（1）根据甲车途中休息了1h，根据图形可以推断出，m的值应该是1，根据匀速运动，速度=，根据图形，建立等量关系，，a=50；
（2）根据图形列出甲车的分段函数表达式；
（3）根据函数图象列出乙车一次函数表达式，根据已知条件，根据未知数x的取值范围，确定x的值.
39．新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国2018—2024年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到0.1）：
（年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
万个 43.2 45.3 53.0 69.6 79.8 92.1 104.5
（1）计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到1%）；
（2）小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似地表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数．
【答案】（1）解：由题意69.6 53.0 = 16.6
16.6÷ 53 = 0.313207547 ≈ 31.32 %
故 2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率 31%
（2）解：将A、B两点坐标代入 得，解得，b= 23859.66
y=11.84x-23859.66
k的实际意义，年份每增加1年，发明专利申请授权数量的增长11.84万个.
令x=2025，y=2025×11.84-23859.66= 116.34 万
故 我国2025年发明专利申请授权数116.3万个．
【解析】【分析】(1)求出2021与2020年 发明专利申请授权数的差，再用差除以2020的量，即可得增长率；
(2)将A、B两点坐标代入y=kx+b，求出k、b的值，年份增加1年，数量增加11.84万个，令x=2025，求出y的值，即为2025年发明专利申请授权数.
40．如图，请你用直尺和圆规作出弧AB的对称轴．（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】【解答】如图：
【解析】【分析】连接AB两点，作弧AB的垂直平分线，即是弧AB的对称轴．
41． 求解下列各题
（1）如图（1），，点在外部，若，则
（2）如图（2），，点在内部，则之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）在图（2）中，将直线绕点按逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图（3），若，求的度数．
【答案】（1）25
（2）解：．理由如下：
过点作，
，
，
，
．
（3）解：过点作交于，过点作，
，
，
，
，，
∴．
【解析】【解答】解：（1），
，
∵，
∴．
故答案为：25；
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BOD，再根据三角形的外角的性质可得∠P=∠BOD-∠D，即可求得；
（2）过点作，根据平行公理的推论可得PE∥CD，再根据平行线的性质可得BPD=∠1+∠2，即可求得；
（3）过点作交于，过点作，根据平行线的性质可得∠B=∠BPG，D=∠DPF，∠GPF=∠BMD=40°，根据各角的位置关系即可求得.
42．如图，O是内一点，，，．
（1）已知，为等边三角形．
①如图1，若点C与点M重合，请补充条件：______°，可得结论：；
②如图2，若点C在边上，在①补充的条件下，结论是否仍成立？并说明理由；
（2）如图3，请探究当与之间满足什么数量关系时，结论仍然成立，并说明理由．
【答案】（1）①120；
②依然成立，理由如下；
如图，连接，过作于点，过作于点，设与交于点，则，
∵是等边三角形，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
．
（2）解：当时，依然成立，
理由如下：如图，在上取点，使，
，
，
作于点于点，
，
，
在和中
，
，
，
平分，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【解析】【解答】（1）解：①延长到点，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：；
【分析】（1）①延长到点，根据等边三角形性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质及角之间的关系即可求出答案.
②连接，过作于点，过作于点，设与交于点，则，根据等边三角形性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线判定定理可得平分，则，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）在上取点，使，根据角之间的关系可得，作于点于点，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线定义可得，根据等角对等边可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：①延长到点，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：；
②依然成立，理由如下；
如图，连接，过作于点，过作于点，设与交于点，则，
∵是等边三角形，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
．
（2）解：当时，依然成立，
理由如下：如图，在上取点，使，
，
，
作于点于点，
，
，
在和中
，
，
，
平分，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
43．某天早晨，张强从家跑步去体育锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走）．如图是两人离家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题：
（1）求张强返回时的速度；
（2）妈妈比按原速返回提前多少分钟到家？
（3）请直接写出张强与妈妈何时相距1000米？
【答案】（1）解：3000÷（50﹣30）=3000÷20=150（米/分），
答：张强返回时的速度为150米/分。
（2）解：（45﹣30）×150=2250（米），点B的坐标为（45，750），
妈妈原来的速度为：2250÷45=50（米/分），
妈妈原来回家所用的时间为：3000÷50=60（分）
60﹣50=10（分），
答：妈妈比按原速返回提前10分钟到家。
（3）解：如图：
设线段BD的函数解析式为：y=kx+b，
把（0，3000），（45，750）代入得： ，解得： ，
∴y=﹣50x+3000，
线段OA的函数解析式为：y=100x（0≤x≤30），
设线段AC的解析式为：y=k1x+b1，
把（30，3000），（50，0）代入得： ，解得： ，
∴y=﹣150x+7500，（30＜x≤50）
当张强与妈妈相距1000米时，
即﹣50x+3000﹣100x=1000或100x﹣（﹣50x+3000）=1000或（﹣150x+7500）﹣（﹣50x+3000）=1000，
解得：x=35或x= 或x= ，
∴当时间为35分或 分或 分时，张强与妈妈何时相距1000米．
【解析】【分析】（1）由图像可知线段AC描述的是张强返回时y随x变化情形，据此可求出张强返回的速度；
（2）由（1）的结果可知B点坐标，从而求出妈妈原来的速度及原来到家时间，再与现在到家时间相比较即可知妈妈提前到家时间；
（3）先运用待定系数法分别求出线段BD、线段OA、线段AC的函数解析式，再根据张强和妈妈的相对位置，分张强和妈妈第一相遇前、第一相遇后且张强未到体育场前、张强从返回三种情形，逐个列方程求解即可。
44．在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图.
【答案】解：第一种情况以水平阴影两个正方形为对称轴，
第二种情况以水平阴影的两个正方形的铅直对称轴，
第三种情况以网格左上到右下对角线为对称轴，
在第一种对称轴上添加如图也可在2，3，4三个位置添加第5图，
，
在第三种情况添加第5个图形，也可在对称轴2，3，4位置添加.
【解析】【分析】轴对称图形特点是轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴， 为此，根据每项的条件先确定对称轴，然后作出对称图形即可.
45．如图1，在中，，，，以点O为原点建立平面直角坐标系，点A，C关于y轴对称．
（1）判断是什么特殊三角形，并说明理由．
（2）如图2，若点D为x轴下方平面内一动点，且，连接，求线段的最大值．
（3）如图2，若点D坐标为，过点D的直线，将四边形分成面积相等的两部分时，请直接写出b的值．
【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，点关于轴对称，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，连接，
∵，点关于轴对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴当共线时，线段有最大值为；
（3）解：设过点的直线交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
由（1）得是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是梯形，
∵，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴四边形的面积为，
又∵过点的直线，将四边形分成面积相等的两部分，
∴，
∴，即，
解得：，
∵轴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将，代入，得，
解得：，
∴．
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质求得，，从而得，进而根据等边三角形的判定得是等边三角形；
（2）连接，根据轴对称的性质求得，则，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，利用含30°的直角三角形的性质得，由勾股定理求出，最后得当共线时，求出线段的最大值；
（3）设过点的直线交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，先证明是等边三角形，结合（1）中的结论得，从而得，进而得四边形是梯形，然后求出，利用勾股定理得，于是根据梯形的面积公式求得四边形的面积，则求出的面积，利用三角形面积公式得，接下来求出，根据含30°的直角三角形的性质得的值，即可求得点坐标，最后将坐标代入直线解析式，解方程组即可.
（1）解：∵，点A，C关于y轴对称，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：连接，
∵，点A，C关于y轴对称，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∵，
∴当共线时，线段有最大值，
∴线段的最大值为；
（3）解：过点作轴于点，
∵点D坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，，
∴四边形的面积，
设过点的直线交于点，
由题意得的面积的面积，
∴，即，
解得，
过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，，，
∴点坐标为，
∴，
解得，
∴．
46． 在平面直角坐标系中，已知点，，，且a和b满足．将线段AB平移，使得点A、B分别与点C、D重合．
（1）请直接写出点A、B、D的坐标：A ，B ，D ；
（2）如图1，若点P为直线AB上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线CD上时，则t的值为 ，若三角形的面积是三角形的面积的2倍，请求出点P的坐标；
（3）如图2，若点为平面直角坐标系内一点，且三角形ABQ的面积是三角形CDQ的面积的2倍，请探究m，n的数量关系，并写出你的探究过程．
【答案】（1）；；
（2）解：t的值为1
2
①当点在线段CD的延长线时，当时，可以求得点，则点；②当点在线段CD上时，过点作轴于点K，过点作轴于点H，过点D作轴于点Q，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，综上所述，，．
（3）解：①当点Q在直线AB、CD之间时，
当点Q在y轴上时，记为，，，得，∴．
当点Q在x轴上时，同理：，
由面积公式，同底等高，得到点Q在直线上．
过点分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为S，T．
，
∴，∴．
②当点Q在直线CD的下方时，
当点Q在y轴上时，记为，，
，得，∴．
当点Q在x轴上时，同理：，
由面积公式，同底等高，得到点Q在直线上．
过点分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为N，M．
，
∴，
∴，综上所述：∴或．
【解析】【解答】解：（1） ∵，
∴a+4=0，2-b=0，
解得a=-4，b=2，
∴A（-4，0），B（0，2），
∵将线段AB平移，使得点A、B分别与点C、D重合 ，且C（0，-4），
∴线段AB向右平移4个单位，且向下平移4个单位，
∴D（0+4，2-4），即D（4，-2）.
故答案为：A（-4，0），B（0，2），D（4，-2）.
【分析】（1）根据偶次幂及二次根式的非负性确定a、b的值，再由将线段AB平移，使得点A、B分别与点C、D重合 ，先确定线段AB的平移方向和距离，再求出D的坐标即可；
（2） 分两种情况：①当点在线段CD的延长线时 ， 当点在线段CD上时， 据此分别画出图形，根据“ 三角形的面积是三角形的面积的2倍 ”建立方程并解之即可.
（3）分两种情况， ①当点Q在直线AB、CD之间时， 当点Q在y轴上时和 当点Q在x轴上时 ，先画出图形， 根据“ 三角形ABQ的面积是三角形CDQ的面积的2倍 ”进行解答即可； ②当点Q在直线CD的下方时，当点Q在y轴上时和 当点Q在x轴上时，先画出图形，根据“ 三角形ABQ的面积是三角形CDQ的面积的2倍 ”进行解答即可.
47．如图，已知直线：与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点．
（1）求点的坐标及直线的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）点为直线上一动点，若有，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵点在直线上
∴
即
设直线的表达式为，且直线过点，
∴
解，得
∴直线的解析式
（2）解：∵直线与轴交于点
∴
∴
∴
（3）解：作交于点，设，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
解得或，
∴或
【解析】【分析】（1）把点D的坐标代入直线y=2x+5中求出m的值，再根据待定系数法求出的函数表达式即可．
（2）先求出A点坐标，再根据坐标确定三角形ACD的底和高，利用三角形的面积公式求解即可；
（3）作PE⊥OB交AB于点E，设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示点P和点E的坐标，根据列方程即可求出m的值，进而可求出P点坐标。
48．在平面直角坐标系xOy中，对于A，A'两点，若在 y 轴上存在点T，使得 且TA=TA'，则称A，A'两点互相关联，把其中一个点叫作另一个点的关联点.已知点 M(-2，0)，N(-1，0)，点Q(m，n)在一次函数y=-2x+1的图象上.
（1）①如图，在点 B(2，0)，C(0，-1)，D(-2，-2)中，点 M 的关联点是 (填“B”“C”或“D”).
②若在线段 MN 上存在点 P(1，1)的关联点 P'，则点 P'的坐标是 .
（2）若在线段 MN 上存在点Q 的关联点Q'，求实数m 的取值范围.
（3）分别以点E(4，2)，Q为圆心，1为半径作⊙E，⊙Q.若对⊙E 上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G'，使得G，G'两点互相关联，请直接写出点 Q 的坐标.
【答案】（1）B；(-2，0)
（2）解：如图2-1中，当M，Q是互相关联点，设Q(m，-2m+1)， △MTQ是等腰直角三角形，
过点Q作QH⊥y轴于H，
∵∠QHT=∠MOT=∠MTQ=90°，
∴∠MTO+∠QTH=90° ， ∠QTH+∠TQH=90°，
∴∠MTO=∠TQH ，
∵ TM=TQ ，
∴△MOT≌△THQ(AAS)，
∴QH=TO=-m，TH=OM=2，
∴-2m+1=2-m，
∴m=-1.
如图2-2中，当N，Q是互相关联点，△NOQ是等腰直角三角形，此时m=0，
观察图象可知，当-1如图2-3中，当N，Q是互相关联点，△NTQ是等腰直角三角形，设Q(m，-2m+1)，
过点Q作QH⊥y轴于H，同法可证△NOT≌△THQ(AAS)
∴QH=TO=m，TH=ON=1，
∴1-2m+1=m，
∴
如图2-4中，当M，Q是互相关联点，△MTQ是等腰直角三角形，同法可得m=1，
观察图象可知，当时，在线段MN上存在点Q的关联点Q’
（3）解：如图3-1中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EG⊥OH于G，
设Q(t，-2t+1).
∵∠QHT=∠EGT=∠QTE=90°，
∴∠QTH+∠ETG=90°，∠ETG+∠GET=90°
∴∠HTQ=∠GET ，
∵TQ=TE ，
∴△THO≌△EGT(AAS)，
∴QH=TG=-t，TH=EG=4，
∵OH=-2t+1，OG=2，
∴-2t+1-4=2+t，
∴
∴
如图3-2中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EG⊥OH于G.设Q(1，-2t+1).
∵∠QHT=∠EGT=∠QTE=90°，
∴∠QTH+∠ETG=90°，∠ETG+∠GET=90°，
∴∠HTO=∠GET ，
∵TQ=TE ，
∴△THQ≌△EGT(AAS)，
∴QH=TG=t，TH=EG=4，
∵OH=2t-1，OG=2，
∴2t-1-4=t-2，
∴t=3，
∴Q(3，-5)
【解析】【解答】解：(1)如图1中，
①如图1中，取点T(0，2)，连接MT，BT，
∵M(-2，0)，B(2，0)，
∴OT=OM=OB=2，
∴△TBM是等腰直角三角形，
∴在点B(2，0)、C(0，-1)、D(-2，-2)中，点M的关联点是点B，
②取点T(0，-1) ，连接MT，PT，则△MTP是等腰直角三角形，
∴线段MN上存在点 P(1，1)的关联点P'，则点P'的坐标是(-2，0)，
故答案为：B；(-2，0).
【分析】(1)①根据关联点坐标变化规律列方程求解点T坐标，有解则是关联点，无解则不是；
②关联点的纵坐标等于0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可；
(2)根据关联点坐标变化规律得出关联点Q'，列不等式求解即可；
(3)根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E坐标求出点Q坐标即可.
49．A、B、C三个篮球队进行篮球比赛，每天赛1场．规定每场比赛后次日由胜队与另一队进行比赛，而负者则休息一天．如果最后结果是A队胜10场，B队胜12场，C队胜14场．问每队各打几场
【答案】解：先算出共打几场，再研究某个队负的场数与休息的天数之间的关系．根据篮球比赛规则知道，每场比赛一定会分出胜负，即各队胜场总和即比赛总场数．所以比赛共进行了10+12+14=36场，也就是赛了36天．
球队 胜 负 休息 合计
A 10 a1 a2 36
B 12 b1 b2 36
C 14 c1 c2 36
按上表所设，考虑A队，有两种情况：①A首场轮空，若A最后一天不负，则 ；若A最后一天负，则 ②A首场不轮空，若A最后一天不负，则 ；若A最后一天负，则 ．所以 或 或 ．由于 ，所以 是偶数． 与 奇偶性相同，它们不能相差1，所以 ．同理， ， ．所以A队打了10+ =23(场)，B队打了12+b1=24(场)，C队打了14+c1=25(场）．
【解析】【分析】根据题意先求出比赛共进行了几场，即可知道比赛了几天，按上表所设，考虑A队；有两种情况：①A首场轮空，若A最后一天不负；
②A首场不轮空，若A最后一天不负；根据题意结合奇数、偶数性质来分析即可得出答案.
逻辑推理问题，用到的数学知识并不多，主要依靠对已知条件的分析，寻找适当的突破口．常用枚举、归谬等方法．但对每个具体问题，需要自出机杼，自己想出合适的解法．
50．如图，过△ABC的顶点A作AF⊥AB，且AF=AB，再作AH⊥AC，且AH=AC，BH交AC于E，CF交AB于D，BH与CF相交于点O．
求证：
（1）HB＝CF；
（2）HB⊥CF．
【答案】（1）证明：∵AF⊥AB，AH⊥AC，
∴∠HAC＝∠BAF＝90°，
∴∠HAC+∠BAC＝∠BAF+∠BAC，
即∠BAH＝∠CAF．
在△HAB和△CAF中，
∴△HAB≌△CAF（SAS），
∴HB＝CF，∠B＝∠F．
（2）证明：在△AFD和△BOD中，
∠B＝∠F，∠ODB＝∠ADF，
∴∠DOB＝∠FAD，即HB⊥CF．
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到：进而利用"SAS"证明即可求解；
（2）根据全等的性质得到：根据对顶角相等得到：易知：即可求证.
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