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【精选热题·期末50道填空题专练】沪科版数学九年级上册总复习
1．已知点C是AB的黄金分割点(AC 2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，则 填“”，“=”或“”．
3．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为 .
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=，则cosA= ．
5．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD＝ .
6．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，延长小正方形的对角线EF交边AB于点G，且BG：AG＝2：3.在EG的延长线上取点H，使∠AHB＝90°，分别以AH，BH为边在△AHB的外侧构造正方形，图中构成的阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1：S2＝ .若S1+S2＝39，则EH的长为 .
7．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形 沿 对开后，再把矩形 沿 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么 的值为 ．
8．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至腰部的长度与腰部至足底的长度之比是黄金分割比例．在设计人体雕像时，雕像（如图所示）的腰部以下长为a，身高b的，如果我们选择最美设计方案，当b为2米时，则a约为 米．（≈2.236，精确到0.01米）
9．某校要设计一座高的雕像(如图)，使雕像的点(肚脐)为线段(全身)的黄金分割点，上部(肚脐以上)与下部(肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为 (结果精确到)米． (，结果精确到)．
10．将抛物线向下平移k个单位后与坐标轴仅有两个交点，则 ．
11．如图，在中，点E在边上，与对角线交于点，若，的面积等于8，那么的面积等于 ，四边形的面积等于 ．
12．小明用一块含有角（）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示．若小明的眼睛与地面之间的垂直高度为，小明与树之间的水平距离为，则这棵树的高度约为 ．（结果精确到，参考数据：）
13．已知，若，则 ．
14．如图，路灯距离地面，身高的小明站在距离灯的底部（点）的处，则小明的影子的长为 m.
15．因为，，所以，由此猜想：当为锐角时，有，由此可知： ．
16．已知点（m，n）在直线y=x+b（b为常数）上，若mn的最小值为-1，则b= 。
17．已知反比例函数，当时，，则比例系数的值是 .
18．将函数化为的形式， 得 ．
19．两个相似三角形的一组对应边分别是5cm和3cm，若它们的面积之和为136cm2，则较大三角形的面积是 ．
20． 若 是关于x的二次函数，则m= .
21．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(cm)与粗细(横截面面积)x(cm2)之间的函数关系如图所示.如果将这个面团做成粗细为0.16 cm2 的拉面，那么做出来的面条的长度为 cm.
22．若正比例函数 y = kx 与反比例函数
y = 的一个交点坐标为 （-2， 3），则另一个交点为 ．
23．抛物线y＝x2-2x与x轴的交点坐标是 ．
24．如图所示，在中，，于D，下列四个结论中：
①；②；③；④．
其中正确的有 ．（填序号）
25．如图，已知，cm，cm，cm，那么 cm．
26．已知直角三角形的两直角边之和为4，则该三角形面积的最大值为 .
27．如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛 在轮船的北偏东45°方向；上午10：00，测得小岛 在轮船的北偏西30°方向，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为 海里（结果保留根号）.
28．在中，若，则 .
29．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离 千米.
30．已知二次函数，当时，对应的函数值有最大值是5，则m的值是 ．
31．如图，矩形 的边 在 轴上，点 是对角线 的中点，函数 的图象经过 两点，若 ，则直线 所对应的函数表达式是 .
32． 如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ．
33．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是 元．
34．二次函数y＝3（x+2）2﹣1图象的顶点坐标是 .
35．已知点A（a，y1），B（a＋1，y2）在反比例函数y（m是常数）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是 .
36．定义一种运算，计算 ．
37．二次函数y=-3x2的图象是一条 ，它关于 对称，开口 ，顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的 点，抛物线在x 轴的 方(除顶点外)．
38．已知点点在二次函数的图象上，且，那么a的取值范围是 ．
39．已知某人沿着坡比为1：2的斜坡走了 ，则他升高了 .
40．凸透镜成像示意图如图所示，是蜡烛通过凸透镜所成的像．已知蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，光线，则像离凸透镜的水平距离为 ．
41．已知是线段AB的黄金分割点，且，则线段 .
42．如图，若△ABC 内一点P 满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点 P 为△ABC 的布罗卡尔点.三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现的，后来被数学爱好者、法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名.布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮.已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，点 P 为△ABC 的布罗卡尔点，若. 则PB+PC= .
43．如图，A，B为反比例函数第一象限图象上任意两点，连接并延长交反比例函数图象另一支于点C，连接交x轴于点F，交y轴于点G，连接，连接并向两侧延长分别交x轴于点E，交y轴于点D.已知，，则 ，k的值为 .
44．如图，四边形是正方形，，取边上的一点使得，，且交正方形外角的平分线于点，则 ，过点作，交的延长线于点.则 .
45．如图，在中，，点D，E分别为边AC，BC上的点，且与BD交于点，若，则BE的长为 .
46．如图，在矩形纸片中，，，E、F分别为边中点，G、H分别为边上的一点，且，连结线段，现折叠纸片，点A、C的对应点分别为，，的延长线交边于点P，的延长线交于点Q，若，则 ．
47．如图，在四边形中，，点C是边上一点，且，取的三等分点F，连接，过点C作交于点G，延长交于点H，若，则的长为 ．
48．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在x轴正半轴上，C是AB边上一点，过A作AD∥OB交OC的延长线于D，OD＝3CD.若反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，C，且△ACD的面积为3，则k的值是 .
49．如图，四边形ABCD是正方形，AB=6，E是BC的中点，连接DE，DE的垂直平分线分别交AB、DE、CD于点M、O、N，连接EN，过E作EF⊥EN交AB于点F，则AF的长为 ．
50．若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做"整点".例如：都是"整点".抛物线与轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界)恰有七个整点，则的取值范围是 .
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【精选热题·期末50道填空题专练】沪科版数学九年级上册总复习
1．已知点C是AB的黄金分割点(AC 【答案】
【解析】【解答】解：∵点C是AB的黄金分割点(AC ∴ ，
解得：（负值舍去），
故答案为：.
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，据此列出方程，求解即可.
2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，则 填“”，“=”或“”．
【答案】
【解析】【解答】∵抛物线y=2(x-1)2+k，
∴对称抽x=1，开口向上，
∴点A(2，m)和点B（3，n)都在对称抽的右侧，
当x1时，y随x的增大而增大，
∵2<3，
∴m故答案为：<.
【分析】根据抛物线y=2(x-1)2+k，可知a=2，即开口向上；对称轴x=1；由于点A(2，m)和点B（3，n)都在对称抽的右侧，y随x的增大而增大，即可解答。
3．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为 .
【答案】3cm
【解析】【解答】解：如图，△ABC是等边三角形，过点A作AD⊥BC于D.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AB=6cm，
∴AD=AB sin60°=6×=3cm.
故答案为：3cm.
【分析】过点A作AD⊥BC于D，由等边三角形的各角都等于60度可得∠B=60°，然后在直角三角形ABD中，根据锐角三角函数sin60°=可求解.
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=，则cosA= ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意知，，
设，则
由勾股定理得
∴
故答案为：．
【分析】设，则，利用勾股定理求出AB=5a，再利用余弦的定义可得。
5．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD＝ .
【答案】
【解析】【解答】解：过D作DH⊥AC于H，
∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，
∴AC＝BC＝15，
∴∠CAD＝45°，
∴AH＝DH，
∴CH＝15﹣DH，
∵CF⊥AE，
∴∠DHA＝∠DFA＝90°，
∴∠HAF＝∠HDF，
又∵∠DHC=∠ACE
∴△ACE∽△DHC，
∴ ，
∵CE＝2EB，
∴CE＝10，
∴ ，
∴DH＝9，
∴AD＝ .
故答案为： .
【分析】过D作DH⊥AC于H，根据等腰直角三角形的性质可得AC＝BC＝15，∠CAD＝45°，AH＝DH，则CH＝15-DH，证明△ACE∽△DHC，根据相似三角形的性质可得DH，进而可得AD.
6．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，延长小正方形的对角线EF交边AB于点G，且BG：AG＝2：3.在EG的延长线上取点H，使∠AHB＝90°，分别以AH，BH为边在△AHB的外侧构造正方形，图中构成的阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1：S2＝ .若S1+S2＝39，则EH的长为 .
【答案】9：4；
【解析】【解答】解：如图，设小正方形EMFN的边长为x，
则∠EFM＝∠FEM＝∠BFH＝∠BHF＝45°，
∵∠AHB＝90°，
∴∠AHE＝90°-45°＝45°，
∴∠EAH＝90°，
∵∠AMB＝180°-∠EMF＝180°-90°＝90°，
∴∠AMB＝∠AHB＝∠MAH＝90°，
∴四边形AHBM是矩形，
∴BH＝AM，BH∥AM，
∴△AEG∽△BHG，
∴
∴
∴AM＝BH＝2x，
∴AE＝AM+EM＝2x+x＝3x，
∴AH＝AE＝3x，
∴
∵S1+S2＝39，
∴ ×（3x）2+ ×（2x）2＝39，
∴x2＝6，
∴EH＝
故答案为：9：4，6 .
【分析】设小正方形EMFN的边长为x，则∠EFM＝∠FEM＝∠BFH＝∠BHF＝∠AHE=45°，由邻补角的性质可得∠AMB＝180°-∠EMF＝90°，推出四边形AHBM是矩形，则BH＝AM，BH∥AM，由两角对应相等的两个三角形相似可得△AEG∽△BHG，根据相似三角形的性质可得AM＝BH＝2x，则AE=AM+EM＝3x，AH＝AE＝3x，由三角形的面积公式可得，根据S1+S2＝39可得x2，据此求解.
7．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形 沿 对开后，再把矩形 沿 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么 的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设 ，则 ，
由相似图形的性质得： ，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
则 ，
故答案为： ．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
8．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至腰部的长度与腰部至足底的长度之比是黄金分割比例．在设计人体雕像时，雕像（如图所示）的腰部以下长为a，身高b的，如果我们选择最美设计方案，当b为2米时，则a约为 米．（≈2.236，精确到0.01米）
【答案】1.24
【解析】【解答】解：由题意得，≈，即≈，
解得，a＝﹣1≈1.24（米），
故答案为：1.24．
【分析】根据黄金分割性质可得≈，即≈，再求出a的值即可。
9．某校要设计一座高的雕像(如图)，使雕像的点(肚脐)为线段(全身)的黄金分割点，上部(肚脐以上)与下部(肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为 (结果精确到)米． (，结果精确到)．
【答案】
【解析】【解答】解：设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m．
依题意，得
解得（不合题意，舍去）．
经检验，是原方程的根．
雕像下部设计的高度应该为：1.236m
故答案为：1.236m.
【分析】设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m．根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比可得关于x的方程，解方程即可求解．
10．将抛物线向下平移k个单位后与坐标轴仅有两个交点，则 ．
【答案】2或3
【解析】【解答】解：将抛物线向下平移k个单位后的解析式为，
∵此时抛物线与坐标轴仅有两个交点，
∴此时抛物线正好经过原点或抛物线的顶点在x轴上，
当平移后抛物线正好经过原点时，把代入
得：，
解得；
当平移后抛物线的顶点在x轴上时，
由的顶点为，
则，
解得，
综上可知，或3，
故答案为：2或3．
【分析】根据函数图象平移性质可得抛物线向下平移k个单位后的解析式为，，由抛物线与坐标轴仅有两个交点得到此时抛物线正好经过原点或抛物线的顶点在x轴上，再分情况讨论即可求出答案.
11．如图，在中，点E在边上，与对角线交于点，若，的面积等于8，那么的面积等于 ，四边形的面积等于 ．
【答案】18；22
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：18，22．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得AD∥BC，AD=BC，从而判断出△CEF∽△ADF，根据相似三角形对应边成比例可得，进而根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求出△ADF的面积，根据同高三角形的面积之比等于底之比可求△CDF的面积，据此就不难得出答案了.
12．小明用一块含有角（）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示．若小明的眼睛与地面之间的垂直高度为，小明与树之间的水平距离为，则这棵树的高度约为 ．（结果精确到，参考数据：）
【答案】8.4
【解析】【解答】解：易知四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4m，CD=AB=1.60m，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠DAE=60°，
∴tan∠DAE=，即tan60°=，
∴DE=4 tan60°=4×≈4×1.70=6.80(m)，
∴CE=CD+DE=6.80+1.60≈8.4(m).
故答案为：8.4.
【分析】由题意可得四边形ABCD是矩形，则AD=BC=4m，CD=AB=1.60m，根据三角函数的概念可得DE，然后根据CE=CD+DE进行计算.
13．已知，若，则 ．
【答案】5
【解析】【解答】∵，
∴a=5b，c=5d，
∴，
故答案为：5.
【分析】先求出a=5b，c=5d，再将其代入计算即可.
14．如图，路灯距离地面，身高的小明站在距离灯的底部（点）的处，则小明的影子的长为 m.
【答案】5
【解析】【解答】把路灯记为点C，△MAB∽△MOC，所以，假设AM的长为x，则，x=5m，所以小明的影子AM的长为5m。
【分析】把路灯记为点C，△MAB∽△MOC，结合相似三角形具有相似比的性质进行分析。
15．因为，，所以，由此猜想：当为锐角时，有，由此可知： ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：．
【分析】根据，利用公式计算即可．
16．已知点（m，n）在直线y=x+b（b为常数）上，若mn的最小值为-1，则b= 。
【答案】±2
【解析】【解答】解：将点（m，n）代入y=x+b中得，
n=m+b，
则mn=m(m+b)=m2+mb，
∵ mn的最小值为-1，
∴m＞0，且当时，mn取最小值，
则，
解得：b=±2；
故答案为：±2.
【分析】将点（m，n）代入y=x+b中得关于m，n的等式，再根据二次函数的性质，抛物线开口向上，存在最小值，利用二次函数顶点公式求最小值，即可得出关于b的方程，求解即可.
17．已知反比例函数，当时，，则比例系数的值是 .
【答案】-12
【解析】【解答】解：将x=-3，y=4代入得，，
∴ k=-12.
故答案为：-12.
【分析】将x=-3，y=4代入反比例函数，即可求得.
18．将函数化为的形式， 得 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】函数解析式可变形为y=(x2-8x+16)+8-3，然后对括号中的式子利用完全平方公式分解即可.
19．两个相似三角形的一组对应边分别是5cm和3cm，若它们的面积之和为136cm2，则较大三角形的面积是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵它们对应边分别为5cm和3cm，
∴它们的相似比是，
∴它们面积的比为，
∵它们的面积之和为136cm2，
∴较大三角形的面积是cm2．
故答案为：100cm2.
【分析】先求出两个相似三角形的相似比，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求出较大三角形的面积．
20． 若 是关于x的二次函数，则m= .
【答案】- 1或±2或±或±
【解析】【解答】解：①当m+1=0时，是二次函数，此时m=-1；
②当 m+1+2≠0时，是二次函数，此时m=±2；
③当 时，是二次函数，此时
④当 时，是二次函数，此时
综上所述，m=-1或±2或 或
故答案为： - 1或±2或±或±.
【分析】根据二次函数的定义，可得方程，根据解方程，可得答案.
21．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(cm)与粗细(横截面面积)x(cm2)之间的函数关系如图所示.如果将这个面团做成粗细为0.16 cm2 的拉面，那么做出来的面条的长度为 cm.
【答案】800
【解析】【解答】解：根据题意得，过
∴
当x=0.16时，
故答案为：800cm.
【分析】因为面条的总长度y(cm)是面条粗细(横截面面积)x (cm2)反比例函数，且从图象上可看出过(0.05，3200)，从而可确定函数式，再把x=0.16代入求出答案.
22．若正比例函数 y = kx 与反比例函数
y = 的一个交点坐标为 （-2， 3），则另一个交点为 ．
【答案】（2，-3）
【解析】【解答】解： 正比例函数 与反比例函数 的一个交点坐标为 ，
由对称性可得另一个交点为 ，
故答案为： ．
【分析】根据正比例函数y=kx与反比例函数 的两个交点关于原点对称，即可得出答案。
23．抛物线y＝x2-2x与x轴的交点坐标是 ．
【答案】（0，0），（2，0）
【解析】【解答】解：∵当y=0时x2-2x=0
∴x1=0，x2=2，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0）.
故答案为：（0，0），（2，0）.
【分析】由y=0可求出对应的x的值，可得到抛物线与x轴的交点坐标.
24．如图所示，在中，，于D，下列四个结论中：
①；②；③；④．
其中正确的有 ．（填序号）
【答案】②③④
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，
则结论①错误，
∴∠B=∠DAC，
则结论②正确；
∵∠ADC=∠BDA=90°，
∴，
∴，
∴，
则结论③正确；
∵∠B=∠B，∠BDA=∠BAC=90°，
∴，
∴，
∴，
则结论④正确；
综上所述：正确的有 ②③④；
故答案为：②③④ .
【分析】结合所给的图形，利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
25．如图，已知，cm，cm，cm，那么 cm．
【答案】
【解析】【解答】解：∵直线，
∴，
∵cm，cm，
∴，即，
cm，
∴，即，
，
故答案为：．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代值计算即可．
26．已知直角三角形的两直角边之和为4，则该三角形面积的最大值为 .
【答案】2
【解析】【解答】解：设直角三角形的一直角边为x，则另一直角边为4-x，其面积为y，
则
当x=2时，面积y有最大值，最大值为2.
故答案为：2.
【分析】设直角三角形的一直角边为x，面积为y，根据三角形的面积公式列函数解析式，配方得到顶点式，求出最大值即可.
27．如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛 在轮船的北偏东45°方向；上午10：00，测得小岛 在轮船的北偏西30°方向，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为 海里（结果保留根号）.
【答案】
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
∵∠ACD=45°，∠BCD=30°，
∴AD=CD×tan45°=CD，BD=CD×tan30°= ，
∵AB=AD+DB=CD+ =30×（10-8）=60，
∴CD= ，
∴轮船在航行中离小岛最近的距离约为 海里
故答案为 .
【分析】过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中AD=CD，在Rt△BCD中BD= ，由于AB=AD+DB=CD+ =60，据此解出CD即可.
28．在中，若，则 .
【答案】
【解析】【解答】∵，
∴sinA-1=0，，
∴sinA=1，cosB=，
∴∠A=90°，∠B=30°，
∴在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=60°，
故答案为：60°.
【分析】利用非负数之和为0的性质可得sinA-1=0，，再利用特殊角的三角函数值求出∠A和∠B的度数，最后利用三角形的内角和求出∠C的度数即可.
29．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离 千米.
【答案】
【解析】【解答】解：过B作BD⊥AC于点D.
在Rt△ABD中，BD=AB sin∠BAD=（千米），
∵△BCD中，∠CBD=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD=BD=（千米），
∴BC=BD=（千米）.
∴B，C两地的距离是千米.
故答案为：.
【分析】过B作BD⊥AC于点D，根据∠BAD的正弦函数可得BD，推出△BCD是等腰直角三角形，据此求解.
30．已知二次函数，当时，对应的函数值有最大值是5，则m的值是 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为直线，，
∴抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
①当时，在的范围内，y随x的增大而减小，
∴时，二次函数有最大值5，
∴，
解得，
∵，
∴，符合题意；
②当时，
∵顶点坐标为，
∴时，二次函数有最大值5，
∴，
解得
∵，不符合题意，舍去，
∴；
③当时，在的范围内，y随x的增大而增大，
∴时，二次函数有最大值5，
∴，
解得，此时不符合题意，
综上，m的值为或2．
故答案为：或2．
【分析】分三种情况，①当，②当时，③当时，根据二次函数的性质即可求出答案.
31．如图，矩形 的边 在 轴上，点 是对角线 的中点，函数 的图象经过 两点，若 ，则直线 所对应的函数表达式是 .
【答案】y=x-1
【解析】【解答】解： 时， ，
矩形 是正方形，
设点 坐标为 ，则 ， ， ，
是对角线 的中点，
点 ， ，
函数 的图象经过 、 两点，
，
解得 （负数舍去），
， ，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
直线 的表达式为y=x-1，
故答案为y=x-1.
【分析】易得四边形ABCD为正方形，设A（a，），则B（a，0），D（a+，），根据中点坐标公式可得点E的坐标。然后根据点A、E在反比例函数图象上可得a的值，进而得到B、D的坐标，然后利用待定系数法求解即可.
32． 如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AD=BC=CD=6，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠ADC=∠DCE=180°-120°=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠ADE=90°，
∴∠EDC=90°-∠DCE=90°-60°=30°，
∴CE=CD=3，
∴DE=CEtan∠DCE=CEtan60°=
∴BE=BC+CE=6+3=9，
∴
∵AD∥BE，
∴△AFD∽△EFB，
∴即
解之：；
∵AD∥BE，
∴△ADG∽△CEG，
∴即
解之：；
∴.
故答案为：.
【分析】利用菱形的性质和平行线的性质可证得AD=BC=CD=6，∠ADC=∠DCE=60°，利用垂直的定义和三角形内角和定理可证得∠EDC=30°，利用解直角三角形求出DE的长，可得到BE的长，利用勾股定理可求出AE的长；由AD∥BE，可证得△AFD∽△EFB，△ADG∽△CEG，利用相似三角形的性质可求出AF，AG的长；然后根据FG=AG-AF，代入计算求出FG的长.
33．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是 元．
【答案】1080
【解析】【解答】∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
∴面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的成本为：120×9＝1080（元）．
故答案为：1080．
【分析】利用相似多边形的性质求出扩大后的广告牌的面积，再计算即可。
34．二次函数y＝3（x+2）2﹣1图象的顶点坐标是 .
【答案】（﹣2，﹣1）
【解析】【解答】二次函数y＝3（x+2）2﹣1图象的顶点坐标是（﹣2，﹣1）.
故答案为：（﹣2，﹣1）.
【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k，顶点坐标为（h，k），据此解答.
35．已知点A（a，y1），B（a＋1，y2）在反比例函数y（m是常数）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是 .
【答案】﹣1＜a＜0
【解析】【解答】解：∵k＝﹣m2﹣1＜0，
∴反比例函数y（m是常数）的图象在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，
①当A（a，y1），B（a+1，y2）在同一象限
∵y1＞y2
∴a＞a+1
此不等式无解.
②当点A（a，y1）、B（a+1，y2）在不同象限
∵y1＞y2
∴a＜0，a+1＞0
解得：﹣1＜a＜0
故答案为：﹣1＜a＜0.
【分析】由k＝﹣m2﹣1＜0，可知反比例函数y（m是常数）的图象在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，分两种情况：①当A（a，y1），B（a+1，y2）在同一象限；②当点A（a，y1）、B（a+1，y2）在不同象限，据此分别解答即可.
36．定义一种运算，计算 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴；
故答案为：.
【分析】先根据定义的运算法则列式，再结合特殊角的三角函数值，和实数的混合运算法则进行计算即可．
37．二次函数y=-3x2的图象是一条 ，它关于 对称，开口 ，顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的 点，抛物线在x 轴的 方(除顶点外)．
【答案】抛物线；y轴；向下；（0，0）；最高；下
【解析】【解答】解：二次函数y=-3x2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，开口向下，顶点坐标是（0，0），顶点是抛物线上的最高点，抛物线在x 轴的下方(除顶点外)．
故答案为：y轴，向下，（0，0），最高，下.
【分析】二次函数的图象是抛物线，y=ax2（a≠0），当a＞0，开口向上，抛物线在x 轴的上方(除顶点外)，抛物线有最低点；当a＜0，开口向下，抛物线有最高点，抛物线在x 轴的下方(除顶点外)，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），据此可求解.
38．已知点点在二次函数的图象上，且，那么a的取值范围是 ．
【答案】a＞0
【解析】【解答】解：把点点分别代入得，，；
∵，
∴，
解得，a＞0；
故答案为：a＞0．
【分析】先将x=1和x=2分别代入求出，，再根据列出不等式求解即可。
39．已知某人沿着坡比为1：2的斜坡走了 ，则他升高了 .
【答案】
【解析】【解答】解：设垂直距离为xm，
∵坡比为1：2，
∴水平距离为2xm，
∵斜边长为20m，
∴x2+（2x）2=202，
∴x=4
，
∴他升高了4
m.
故答案为：4
.
【分析】设垂直距离为xm，根据坡比的定义得出水平距离为2xm，再利用勾股定理列出方程，求出x的值，即可得出答案.
40．凸透镜成像示意图如图所示，是蜡烛通过凸透镜所成的像．已知蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，光线，则像离凸透镜的水平距离为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：．
【分析】由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出，由相似三角形对应边成比例可得，再由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似可得，进而再根据相似三角形对应边成比例即可求解．
41．已知是线段AB的黄金分割点，且，则线段 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC为较长线段，
∴AC＝AB，
∵AB＝6，
∴．
故答案为：．
【分析】根据黄金分割的定义，知AC为较长线段，则AC＝AB，然后把AB＝6代入计算即可．
42．如图，若△ABC 内一点P 满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点 P 为△ABC 的布罗卡尔点.三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现的，后来被数学爱好者、法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名.布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮.已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，点 P 为△ABC 的布罗卡尔点，若. 则PB+PC= .
【答案】
【解析】【解答】解：作CH⊥AB于H.
∵CA=CB， CH⊥AB， ∠ACB=120°，
∴AH= BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30° ，
∴AB=2BH=2●BC. cos30° =BC，
∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，
∴∠PAB=∠PBC，
∴△PAB∽△PBC 得
故答案为：.
【分析】作CH⊥AB于H，根据已知条件利用等腰三角形的三线合一性质得到AH= BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30° ，即可计算得到AB，再利用AA判定△PAB∽△PBC ，再利用相似三角形的性质计算即可解答.
43．如图，A，B为反比例函数第一象限图象上任意两点，连接并延长交反比例函数图象另一支于点C，连接交x轴于点F，交y轴于点G，连接，连接并向两侧延长分别交x轴于点E，交y轴于点D.已知，，则 ，k的值为 .
【答案】；
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AM⊥X轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，
∴，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∵，
∴；
由对称性可知，
同理可得直线的解析式为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，.
【分析】过A作AM⊥X轴于M，过B作BN⊥x轴于N，首先判断出△AME∽△BNE，由相似三角形对应边成比例可得，根据反比例函数图象上的点的坐标特点，设，则，代入比例式可得；利用待定系数法求出直线AB的解析式，令解析式中的x=0算出对应的y的值，可得点D的坐标，从而可得OD的长；同理证△DOE∽△BNE，由相似三角形对应边成比例可得；根据对称性可得，利用待定系数法可得直线AC的解析式，令解析式中的x=0算出对应的y的值，可得点G的坐标，从而可得OG的长；然后根据三角形面积计算公式并结合三角形的面积建立方程可求出k的值.
44．如图，四边形是正方形，，取边上的一点使得，，且交正方形外角的平分线于点，则 ，过点作，交的延长线于点.则 .
【答案】；
【解析】【解答】解：过点F作FM⊥BC于点M， FN⊥CD于点N，
∵平分，
∴，
∴四边形CMFN是正方形，∴FM=CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△BAE∽△MEF，
∴
设FM=x，则CM=x，
∴解得x=
∴，
根据勾股定理可得EF= ；
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：.
故答案为：；
【分析】过点F作FM⊥BC于点M， FN⊥CD于点N，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得FM=FN，易得四边形CMFN是正方形，则FM=CM，根据正方形的性质结合已知得BE的长，根据同角的余角相等得∠FEM=∠BAE，判断出△BAE∽△MEF，根据相似三角形对应边成比例建立方程，可求出FM的长，进而由勾股定理算出EF的长；根据勾股定理算出DF的长，然后判断出△FDN∽△CDH，根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出CH.
45．如图，在中，，点D，E分别为边AC，BC上的点，且与BD交于点，若，则BE的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点C作CG⊥BC交AE的延长线于点G，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH，
∵∠AEB=45°，CG⊥BC，AH⊥BC
∴∠HAE=∠AEH=∠CEG=∠G=45°，
∴AH=EH，，
在Rt△CGE中，
，
设EF=x，则AE=x+7，AG=x+17，
在Rt△AHE中，AE2=HE2+AH2=2EH2，
即，
∴，
∴，
∵∠ADB=∠AEB，∠AFD=∠EFB，
∴∠CAG=∠FBE，
∵∠G=∠AEB=45°，
∴△ACG∽△BFE，即
∴，
即，
整理得：x2+7x-120=0，
解得：x=-15（舍去）或x=8，
∴.
故答案为：.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，过点C作CG⊥BC交AE的延长线于点G，根据等腰三角形底边上的高个底边上的中线重合可得BH=CH，根据有一个角是45度角的直角三角形是等腰直角三角形，等腰直角三角形底角所对的边相等可得AH=EH，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得EG=10，设EF=x，则AE=x+7，AG=x+17，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得EH的值，得出BE的值，根据三角形的外角等于与不相邻的两个内角之和可得∠CAG=∠FBE，根据有两个角对应相等的三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求得X的值，即可求解.
46．如图，在矩形纸片中，，，E、F分别为边中点，G、H分别为边上的一点，且，连结线段，现折叠纸片，点A、C的对应点分别为，，的延长线交边于点P，的延长线交于点Q，若，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，E、F分别是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在矩形ABCD中，，
∴，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
作于点M，于点N，连接，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
整理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【分析】根据SAS证明，得，根据折叠的性质，结合等腰三角形的判定可得，即可由，推导出，作于点M，于点N，证明，证明，根据相似三角形的性质求解即可。．
47．如图，在四边形中，，点C是边上一点，且，取的三等分点F，连接，过点C作交于点G，延长交于点H，若，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图①，过点E作交的延长线于点M．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴．
∵F是的三等分点，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点E作交的延长线于点M，先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用“ 点为的三等分点 ”求出，再证出，利用平行线的性质可得，求出，最后求出即可．
48．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在x轴正半轴上，C是AB边上一点，过A作AD∥OB交OC的延长线于D，OD＝3CD.若反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，C，且△ACD的面积为3，则k的值是 .
【答案】
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
AD∥OB
它们的面积比为1：4
△ACD的面积为3
△BCD的面积为12
反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，C
设，则
即
故答案为：.
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，由平行线的性质可得∠BFC=∠BEA，∠BCF=∠BAE，证明△BCF∽△BAE，根据相似三角形的性质可得，同理证明△ACD∽△BCD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得△BCD的面积，设A（a，），则OE=a，AE=，然后表示出CF，得到点C的坐标，进而表示出EF、OB，然后根据三角形的面积公式进行计算.
49．如图，四边形ABCD是正方形，AB=6，E是BC的中点，连接DE，DE的垂直平分线分别交AB、DE、CD于点M、O、N，连接EN，过E作EF⊥EN交AB于点F，则AF的长为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，
∴BC=CD=AB=6，∠B=∠C=90°，
∵E是BC中点，
∴BE=CE=BC=3，
设CN=x，则DN=6 x，
∵MN是线段DE的垂直平分线，
∴EN=DN=6 x，
在Rt△CEN中，CE2+CN2=EN2，
∴32+x2=（6 x）2，
解得：，
∴，
∵EF⊥EN，
∴∠FEN＝90°，
∴∠BEF＋∠CEN＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°，
∴∠BFE＝∠CEN，
∴△BFE∽△CEN，
∴BF∶BE＝CE∶CN，
∴
∴AF＝AB BF＝6 4＝2．
故答案为：2．
【分析】设CN＝x，则DN＝6 x，利用线段垂直平分线性质可得EN＝DN＝6 x，在Rt△CEN中，运用勾股定理建立方程求解即可求得CN的长，再证明△BFE∽△CEN，利用相似三角形性质即可求得答案．
50．若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做"整点".例如：都是"整点".抛物线与轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界)恰有七个整点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】【解答】解：由题意知，
y=tx2-4tx+4t-2=t(x-2)2-2，t>0，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为(2，-2)，对称轴是直线x=2.
∴点(2，0)，(2，-1)，(2，-2)必在该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围成的区域(包括边界)内.
①当该抛物线经过点(1，-1)和(3，-1)时，如图1，
将(1，-1)代入y=tx2-4tx+4t-2得，
-1=t-4t+4t-2，
解得t=1，
∴此时抛物线解析式为y=x2-4x+2.
当y=0时，x2-4x+2=0，
解得，，
∴x轴上的点(1，0)，(2，0)，(3，0)符合题意.
∴当t=1时，恰好有(1，0)，(2，0)，(3，0)，(1，-1)，(3，-1)，(2，-1)，(2，-2)，共7个整点符合题意.
∵t的值越大，抛物线的开口越小，t的值越小，抛物线的开口越大，
∴t<1.
②当该抛物线经过点(0，0)和点(4，0)时，如图2.
此时x轴上的点(1，0)，(2，0)，(3，0)符合题意.
将(0，0)代入y=tx2-4tx+4t-2得，0=4t-2，
解得.
∴此时抛物线解析式为.
当x=1时，.
∴(1，-1)符合题意.
当x=3时，得.
∴(3，-1)符合题意.
综上可知：当时，点(0，0)，(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(1，-1)，(3，-1)，(2，-1)，(2，-2)，都符合题意，共有9个整点符合题意，
∴不符合题.
∴，
综上所述，当时，该函数的图象与x轴所围成的区域(含边界)内有七个整点，
故答案为：.
【分析】由题意知，y=tx2-4tx+4t-2=t(x-2)2-2，t>0，则该抛物线开口向上，顶点坐标为(2，-2)，对称轴是直线x=2，点(2，0)，(2，-1)，(2，-2)必在该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围成的区域(包括边界)内，然后作图象代入点坐标，求t值，根据t的值越大，抛物线的开口越小，t的值越小，抛物线的开口越大，确定取值范围即可.
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