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【精选热题·期末50道解答题专练】沪科版数学九年级上册总复习
1．计算：
2．已知二次函数y=x2-bx+c的图象经过点(-2，3)和(1，6)，试确定二次函数的表达式。
3．已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式．
4．如图，抛物线（b，c是常数）与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点A和点B，已知．求，的值．
5．某抛物线的顶点为，且它与y轴交点的纵坐标为2，求这个抛物线的解析式。
6．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，已知点，点.
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）把直线沿轴负方向平移2个单位后得到直线，直线与双曲线交于、两点，当时，求的取值范围.
7． 某商家销售一种成本为30元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元）满足的函数关系式为，物价部门规定，该商品的销售单价不应超过60元．
（1）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润为9000元？
（2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润．
8．如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来. 已知MO=4m，CO=5m，DO=3m，∠AOD=70°，汽车从A处前行多少米，才能发现C处的儿童（结果保留整数）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75.）
9． 已知抛物线 过点 和 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2） 求抛物线的顶点 的坐标．
10．一块直角三角形木料板的一条直角边 长 ，面积为 ，现要把它加工成一个面积较大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图甲、乙，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计，结果可保留分数）
11．下课时，数学老师给大家布置了一个任务：请大家在不攀爬到楼顶上的情况下，测出学校逸夫综合楼的高度.根据老师所给的任务，小慧站在与逸夫综合楼底部B在同一水平面且距离10米的C处，通过测角器观察逸夫综合楼的顶端A，此时测角器的示数为60°，小慧又请小敏帮量得此时测角器与地面的距离CD长为1米，如图.请你帮小慧算出学校逸夫综合楼的高度（结果精确到0.1米，参考数据：，，）.
12． 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
13． 2018年底我市新湖一路贯通工程圆满竣工，若要在宽为40米的道路AD两边安装路灯，灯柱AB高10米，路灯的灯臂BC与灯柱AB成130°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路的中心线时照明效果最好，此时路灯的灯臂BC应为多少米？（结果精确到0.01）
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）.
14．如图，抛物线 交x轴于A，B 两点(A 在B 的左侧)，交 y 轴于点C，D 为第四象限的抛物线上一点，DE⊥BC 于点E.若△CDE 与△OBC 相似，求点 D 的坐标.
15．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为 （ 伸出部分不计）， 在同一直线上．量得 ，灯杆 长为 ，灯管 长为 ．求点 到桌面的距离．（结果精确到 ，参考数据： ）
16．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，以桥中心顶点为原点，建立如图1-2-5所示的平面直角坐标系，设其函数关系式为
x … -2 -1 0 1 2
y …… 0
（1）根据表中的数据，写出y 关于x 的函数表达式；
（2）完成上面自变量x与函数y 的对应值表；
（3）当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4m 时，求水面宽度 AB.
17．如图，点是菱形对角线上的一点，，求的长.
18．某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分．
方案 恒温工作 间歇加热工作
过程 ①从加热到；②保持进行加工。 ①从加热到；②自然降温到；③再次加热到；循环②③两个阶段。
加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元。（注：自然降温阶段不产生成本）
（1）求材料加热到的时间。
（2）求材料自然降温时，关于的函数表达式。
（3）已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，，为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）。仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？
19．如图，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点B在双曲线上，且满足，连接．
（1）求双曲线的表达式；
（2）若，求的值．
20．设二次函数（a是常数，）．
（1）若，求该函数图象的顶点坐标；
（2）若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式；
（3）若二次函数图象经过，两点，当，时，，求a的取值范围．
21．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
22．图①是一种手机平板支架、由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图、托板长，支撑板长，板固定在支撑板顶点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动，．
（1）若时，求点A到直线的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中调整为，再将绕点D逆时针旋转，使点B落在直线上即可、求旋转的角度．
（参考数：，，，，，，）
23．如图，用长为的细铁丝围成一个矩形（）．若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比）．
（1）求该矩形的长．（结果保留根号）
（2）求该矩形的面积．（结果保留根号）
24．如图，在边长为1的正方形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上（不与点 A，D重合），射线 BE 与射线 CD交于点 F.
（1）若 求 DF 的长.
（2）求证：AE·CF=1.
（3）以点 B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE 于点G.若EG=ED，求 ED的长.
25．已知点(2，0)在抛物线y＝﹣3x2+（k+3）x﹣k上，求此抛物线的对称轴．
26．为了丰富学生社会实践活动，学校组织学生到红色文化基地A和科技馆C参观学习.如图，A在C的正北方向，学校在点B处，A位于学校的北偏西30°方向的30km处，C位于学校西南方向，求红色文化基地A和科技馆C之间的距离.（结果保留根号）
27．如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽．
28．鼓楼是位于银川南门的一座古建筑，是银川老城区的标志性景观.在课外实践活动中，银川某校九年级数学兴趣小组决定测量鼓楼的高，他们的操作方法如下：如图，先在 处测得点 的仰角为 ，再往水城门的方向前进 米至 处，测得点 的仰角为 （点 ， ， 在一直线上），求鼓楼 的高.（结果保留根号）
29．如图，在直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点A（2，n）．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）在点A右侧的直线上取一点B，使AB=OA，过点B作BC//x轴，交反比例函数图象于点C．求点C的坐标．
30．二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣1 ﹣2 ﹣1 2 7 …
（1） 二次函数的图象开口向 ，对称轴为直线x＝ ．
（2）求该二次函数的解析式．
（3）直接写出当﹣3＜x＜3时，求y的取值范围 ．
31．用公式法求抛物线的顶点坐标．
32．在体育测试中，九年级的一名男生推铅球，已知铅球经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这个男生的出手处A点的坐标是，铅球路线的最高处B点的坐标是.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）该男生能把铅球推出去多远.
33．2022年我国成功举办了第24届“冬奥会”，冬奥会让冰雪运动走向大众．图1为滑雪大跳台的简化模型：段和段是长度均为的倾斜滑道，段为圆弧滑道，与平滑连接，段为结束区．运动员从助滑区的台端A点出发，在助滑道上获得高速度，至跳台区依靠惯性配合身体动作跃向空中，从跳台区的末端C点水平飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行．已知跳台高是，某位运动员的一次动作中，在离开跳台末端C点后水平前进了时，高度恰好下降了（忽略运动过程中所受的空气阻力），为方便研究，我们建立了如图2所示的平面直角坐标系．
（1）请写出抛物线的函数解析式．
（2）运动员在着陆区斜坡上着陆，可以利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若在终点区上着陆，则会增加受伤风险．请你判断这位运动员此次动作会在哪个区域着陆，并求出着陆点的坐标．
34．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．若．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积
35．课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图①，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为，利用图③，解答下列问题：
（1）若为，求此时窗户的透光面积；
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
36．如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，cotA＝ ，求tan∠DBC的值.
37．数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为．
（1）小组先探究函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格：
0 1 2 3 4 5 6 7 ．．．
2 1.5 1.2 0.75 0.6 ．．．
①表格中的___________；
②请在图3中画出对应的函数图象；
（2）该小组综合图2和图3发现，随着的增大而___________；（填“增大”或“减小”）
（3）若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由．
38．在边长为1的正方形ABCD中， 点E在边AD 上 （不与点 A、D 重合），射线BE与射线CD交于点F．
（1） 若 ， 求 的长．
（2） 求证： ．
（3） 以点 为圆心， 长为半径画弧， 交线段 于点 ． 若 ， 求 的长．
39．清明节假期，小红和小阳随爸妈去旅游，他们在景点看到一棵古松树，小红惊讶的说：“呀！这棵树真高！有60多米．”小阳却不以为然：“60多米？我看没有．”两个人争论不休，爸爸笑着说：“别争了，正好我带了一副三角板，用你们学过的知识量一量、算一算，看谁说的对吧！”
小红和小阳进行了以下测量：如图所示，小红和小阳分别在树的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜边正好经过树的最高点，这时，测得小红和小阳之间的距离为135米，他们的眼睛到地面的距离都是1.6米．通过计算说明小红和小阳谁的说法正确（计算结果精确到0.1）（参考数据 ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）
40．一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为．
（1）求抛物线的函数解析式（不写自变量的取值范围）；
（2）小球在斜坡上的落点的垂直高度为________米；
（3）若要在斜坡上的点处竖直立一个高4米的广告牌，点的横坐标为2，请判断小球能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；
（4）求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．
41．小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD＝10米．求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）．
42．如图，D、E分别是AC、AB上的点，连接DE，且，若，，，求BC的长．
43．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
44．已知二次函数，正比例函数.
（1）求证：二次函数的顶点在的图象上.
（2）若函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，求m的取值范围.
（3）若点都在（2）中函数y的图象上，且，求n的取值范围（结果用含m的代数式表示）.
45．已知二次函数，其中，为两个不相等的实数．
（1）当、时，求此函数图象的对称轴；
（2）当时，若该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围；
（3）若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由
46．如图所示，已知抛物线经过点A（－2，0）、B（4，0）、C（0，－8），抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y＝x－4交于B，D两点．
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G．当△QDG为直角三角形时，求点Q的坐标．
47．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点．已知点的坐标分别为和．
（1）求直线和反比例函数的解析式．
（2）请直接写出不等式的解集．
（3）若点在反比例函数图象上且，求点的坐标．
48．已知抛物线经过点，对称轴是直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在该抛物线上，且；求的取值范围；
（3）若设是抛物线与轴的一个交点的横坐标，记，比较与的大小．
49．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
（1）点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．
50．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具的每天销售数y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/件 … 36 34 32 …
（1）直接写出y与x之间的函数关系式：
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
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【精选热题·期末50道解答题专练】沪科版数学九年级上册总复习
1．计算：
【答案】解：原式=2 +1 × 2-
=2+
【解析】【分析】根据二次根式的化简 ，零指数幂运算法则，绝对值，特殊角的三角函数值计算即可。
2．已知二次函数y=x2-bx+c的图象经过点(-2，3)和(1，6)，试确定二次函数的表达式。
【答案】解：根据题意得
解得 ，所求二次函数表达式为y=x2+2x+3．
【解析】【分析】根据待定系数法，把 点(-2，3)和(1，6)的横纵坐标代入二次函数表达式，得到关于b，c的二元一次方程组，即可求解.
3．已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式．
【答案】解：∵二次函数解析式为：，由图象得，该函数经过三个点，
代入可得：，
解得，，
则这个二次函数的解析式为．
【解析】【分析】根据图像上的三个点，利用待定系数法，即可得出这个二次函数的解析式．
4．如图，抛物线（b，c是常数）与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点A和点B，已知．求，的值．
【答案】解：，点A和点B位于x负半轴和y负半轴，
点，点，
代入，得
，
解得，
即，的值分别为2，．
【解析】【分析】根据，的长，求出A、B点的坐标，然后运用待定系数法即可求出答案．
5．某抛物线的顶点为，且它与y轴交点的纵坐标为2，求这个抛物线的解析式。
【答案】解：图象的顶点为
设二次函数的解析式为，
将代入，得，解得，
二次函数的解析式为.
【解析】【分析】把顶点坐标代入顶点式中，再把y轴交点坐标（0，2）代入求解即可。
6．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，已知点，点.
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）把直线沿轴负方向平移2个单位后得到直线，直线与双曲线交于、两点，当时，求的取值范围.
【答案】解：（1）∵点在双曲线上，
∴，
又∵点（m，2）在双曲线上，
∴，
解得：，
∴，
∵，在直线上，
∴，
解得，，
∴直线和双曲线的解析式分别为：和.
（2）∵直线是直线沿轴负方向平移2个单位得到，
∴，
解方程组：得，
或
∴，，
∴当时，的取值范围是：或
【解析】【分析】（1）根据反比例函数图象上的点的坐标特征可知，把点B 代入双曲线求出a的值，即可得到双曲线的解析式；把点A代入双曲线求出m的值，确定A点坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式；
（2）根据平移的性质求出y3的解析式，再将y2、y3的解析式联立解方程组可求出点D和点E的坐标，然后根据y2高于y3的图象所对应的x的范围即为不等式的解集可求解．
7． 某商家销售一种成本为30元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元）满足的函数关系式为，物价部门规定，该商品的销售单价不应超过60元．
（1）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润为9000元？
（2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）解：设销售单价定为x元时，商家销售该商品每天获得的利润为9000元 ，
由题意得：（x-30）（-15x+1500）=9000，
解得：x1=40，x2=90，
∵ 该商品的销售单价不应超过60元 ，
∴x=40，
∴ 当销售单价定为40元时，商家销售该商品每天获得的利润为9000元 ；
（2）解：设该商品每天获得的利润W元，
∴W=（x-30）（-15x+1500）=-15（x-65）2+18375，
∵-10＜0，且x≤60，
∴当x=60时，W有最大值，最大值为18000，
∴当销售单价定为60元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大值为18000元.
【解析】【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售量，可列出方程并解之即可；
（2）根据总利润=单件利润×销售量，列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可.
8．如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来. 已知MO=4m，CO=5m，DO=3m，∠AOD=70°，汽车从A处前行多少米，才能发现C处的儿童（结果保留整数）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75.）
【答案】解：根据题意，在Rt△CMO中，MO＝4m，CO＝5m，
∴ ，
∵∠BOD＝∠MOC，∠BDO＝∠CMO＝90°，
∴△BDO∽△CMO，
∴ ，
∴ ，
∴BD＝2.25m，
在Rt△AOD中，
∵tan∠AOD＝ ，
∴AD＝3·tan70°≈3×2.75＝8.25（m），
∴AB＝AD－BD＝8.25－2.25＝6（m）.
答：汽车从A处前行约6米，才能发现C处的儿童.
【解析】【分析】根据题意可得MO＝4m，CO＝5m，利用勾股定理求出CM，证明△BDO∽△CMO，根据相似三角形的性质可得BD，根据三角函数的概念求出AD，然后根据AB＝AD-BD进行计算.
9． 已知抛物线 过点 和 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2） 求抛物线的顶点 的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线 过点 和 ，
∴对称轴是直线 ，即 ，
解得 ．
∴，
∵抛物线过点 ，
，
解得：．
∴抛物线的函数表达式是 .
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点B的坐标是 ．
【解析】【分析】（1）先利用点C、D的坐标求出抛物线的对称轴，再利用待定系数法求出b的值，再将点A的坐标代入解析式求出c的值即可；
（2）先利用配方法的计算方法及步骤将二次函数的一般式化为顶点式，再根据二次函数的顶点式直接求出其顶点坐标即可.
10．一块直角三角形木料板的一条直角边 长 ，面积为 ，现要把它加工成一个面积较大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图甲、乙，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计，结果可保留分数）
【答案】解：
甲同学：
设正方形的边长为
则
由正方形的性质得：
，即
解得
则正方形的面积为
乙同学：
设正方形的边长为 ，则
由正方形的性质得：
，即
解得
在 和 中，
，即
解得
则正方形的面积为
因
则甲同学的加工方法更好
【解析】【分析】先根据直角三角形的面积公式、勾股定理求出BC、AC的长，再根据相似三角形的判定与性质求出正方形的边长，然后求出两个正方形的面积，比较大小即可得．
11．下课时，数学老师给大家布置了一个任务：请大家在不攀爬到楼顶上的情况下，测出学校逸夫综合楼的高度.根据老师所给的任务，小慧站在与逸夫综合楼底部B在同一水平面且距离10米的C处，通过测角器观察逸夫综合楼的顶端A，此时测角器的示数为60°，小慧又请小敏帮量得此时测角器与地面的距离CD长为1米，如图.请你帮小慧算出学校逸夫综合楼的高度（结果精确到0.1米，参考数据：，，）.
【答案】解：如图，过点D作于点E，
则，，四边形BCDE是矩形.
∴（米），（米）.
Rt△AED中：，
即：，
∴（米）.
∴（米）.
【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，Rt△AED中，由仰角的定义得， 由正切定义 ，解出AE即可求解.
12． 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
【答案】（1）解：∵， 在反比例函数的图像 上，
∴k=1×4=4，
∴ 反比例函数的表达式 为；
∵点D（4，m）在 反比例函数上，
∴4m=4，
∴m=1，
∴点D（4，1），
∵， D（4，1），在 一次函数的图像 上，
∴，解得：，
∴ 一次函数 的表达式为：；
（2）解：设直线AB向下平移n个单位长度时， 直线与反比例函数图象只有一个交点 ，
由（1）知，一次函数 的表达式为：，
∴平移后的解析式为：-n
令，
整理为：x2-(5-n)x+4=0，
∴，
解得：n=1或9.
【解析】【分析】（1）首先根据点， 在反比例函数的图像 上，可求得 反比例函数的表达式 为；进而根据点D在反比例函数图象上，求得点D的坐标，在根据点C，D利用待定系数法求得一次函数表达式；
（2）设直线AB向下平移n个单位长度时， 直线与反比例函数图象只有一个交点 ，可得平移后的解析式为：-n，令，方程的解即为直线和反比例函数的交点，因为只有一个交点，即根的判别式为0，根据判别式等于0，即可求出n的值。
13． 2018年底我市新湖一路贯通工程圆满竣工，若要在宽为40米的道路AD两边安装路灯，灯柱AB高10米，路灯的灯臂BC与灯柱AB成130°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路的中心线时照明效果最好，此时路灯的灯臂BC应为多少米？（结果精确到0.01）
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）.
【答案】解：延长CB、OA交于点E，
∵∠ABC＝130°，
∴∠E＝40°，
∵AB＝10，
在Rt△ABE中，
∴sin40°＝ ，
∴BE＝15.625，
∴由勾股定理可知：AE≈12.00，
∵OA＝20，
∴OE＝12+20＝32，
在Rt△OEC中，
∴cos40°＝ ，
∴CE≈24.64，
∴BC≈24.64﹣15.625≈9.02.
【解析】【分析】 延长CB、OA交于点E，利用三角形外角的性质求出∠E的度数，在Rt△ABE中，利用解直角 三角形求出BE的长，利用勾股定理求出AE的长，从而得出OE的长.在Rt△OEC中，利用解直角三角形求出CE的长，由BC=CE-BE，即可求出BC的长.
14．如图，抛物线 交x轴于A，B 两点(A 在B 的左侧)，交 y 轴于点C，D 为第四象限的抛物线上一点，DE⊥BC 于点E.若△CDE 与△OBC 相似，求点 D 的坐标.
【答案】解：由题意可求得B(5，0)，
①当△CDE∽△BCO 时，∠DCE=∠CBO，∴CD∥AB，
∴由对称性可得
②当△CDE∽△CBO 时，∠BCO=∠DCE，作BF∥CD 交y轴于点F，
则∠FBC=∠DCE=∠BCO，∴FC=FB.设OF=t，则
由 得 解得
∴可求得直线 FB： 直线CD：
联立 可求得
∴点 D 的坐标为 或
【解析】【分析】先根据题意求解B，C的坐标，再分类讨论：当△CDE∽△BCO时，∠DCE=∠CBO，因此CD//AB，由对称性即可求得D的坐标，当△CDE∽△CBO时，∠BCO=∠DCE，作BF//CD交y轴于点F，利用勾股定理求解相关长度，进而求得D的坐标.
15．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为 （ 伸出部分不计）， 在同一直线上．量得 ，灯杆 长为 ，灯管 长为 ．求点 到桌面的距离．（结果精确到 ，参考数据： ）
【答案】解：如图所示：过点D作DF∥AB，过点D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB于点M，
由题意可得，四边形DNMF是矩形，
则∠NDF=90°，
∵∠A=60°，∠AND=90°，
∴∠ADN=30°，
∴∠EDF=135°-90°-30°=15°，
即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°，
又∵∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，
∴∠ABC=30°，则AC= AB=8cm，
∵灯杆CD长为40cm，
∴AD=48cm，
∴DN=AD cos30°≈41.52cm，
则FM=41.52cm，
∵灯管DE长为15cm，
∴sin15°= =0.26，
解得：EF=3.9，
故台灯的高为：3.9+41.52≈45.4（cm）．
【解析】【分析】先求出AD=48cm， 再求出sin15°= =0.26， 最后计算求解即可。
16．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，以桥中心顶点为原点，建立如图1-2-5所示的平面直角坐标系，设其函数关系式为
x … -2 -1 0 1 2
y …… 0
（1）根据表中的数据，写出y 关于x 的函数表达式；
（2）完成上面自变量x与函数y 的对应值表；
（3）当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4m 时，求水面宽度 AB.
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，
将（-1，-）代入上式，
即-=a，
则 y 关于x 的函数表达式
（2）解：当当x=-2时，=-， =-，
则图表中的值分别为，
（3）解：当y=-4时，即，
解得：x=±10，
则点A的坐标为（-10，-4），点B的坐标为（10，-4）
∴AB=10-(-10)=20m.
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为，将（-1，-）代入上式即可得出答案；
（2）将x=-2、x=1分别代入表达式即可得出答案；
（3）将y=-4代入表达式，求出A、B两点的坐标，即可得出答案.
17．如图，点是菱形对角线上的一点，，求的长.
【答案】解：∵四边形是菱形，
∴.
∴.
∵，
∴，
∴.
∴.
∴，
∵.
∴，
∴.
【解析】【分析】根据菱形的性质可得BC=CD，由等腰三角形的性质可得∠BDC=∠CBD，∠ODC=∠OCD，则∠OCD=∠DBC，证明△CDO∽△BDC，然后根据相似三角形的性质进行计算.
18．某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分．
方案 恒温工作 间歇加热工作
过程 ①从加热到；②保持进行加工。 ①从加热到；②自然降温到；③再次加热到；循环②③两个阶段。
加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元。（注：自然降温阶段不产生成本）
（1）求材料加热到的时间。
（2）求材料自然降温时，关于的函数表达式。
（3）已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，，为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）。仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？
【答案】（1）由图可知加热时，关于的函数为一次函数，
可设解析式为，
将点代入，得
解得
关于的函数解析式为．
当时，，解得．
第一次加热到时间为20分钟。
（2）由题意可设加热后关于的表达式为，
将（20，90）代入，得，
关于的表达式为
（3）由题意可知，加热时长为10分钟．
恒温阶段分钟，
费用为：元。
间歇加热工作：对于，令，得，
除第一次加热到需要10分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要20分钟．一天8小时中，加热时间为分钟，
费用为：元。
，因此仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本．
【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求出解析式，然后把 y=90时代入即可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解.
19．如图，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点B在双曲线上，且满足，连接．
（1）求双曲线的表达式；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：∵点在双曲线上，
∴，
∴．
（2）解：如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，如图所示：
则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵A的坐标为，
∴，．
∵中，，
∴，
∴，．
∴B的坐标为，
∴将代入得．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入双曲线解析式即可求出答案.
（2）分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，则，进行角之间的转换可得，则，再根据相似三角形相似比性质可得，，中，再根据锐角三角函数定义即可求出B的坐标为，将代入得，即可求出答案.
20．设二次函数（a是常数，）．
（1）若，求该函数图象的顶点坐标；
（2）若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式；
（3）若二次函数图象经过，两点，当，时，，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，有，
∴该函数图象的顶点坐标为；
（2）解：当时，，此时，
∴该抛物线图象不过点，
当时，
此时，
∴该抛物线图象不过点，
∴该抛物线过点，代入解析式，得，
解得：，
将代入二次函数的解析式，得，
∴二次函数的表达式为；
（3）解：∵二次函数（是常数，）
∴令，得，
解得：，
∴二次函数的图象与轴交于点，，
∴函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴，
当时，函数图象开口向上，
∵当，时，，
∴，
∴，
解得：，舍去；
当时，函数图象开口向下，
∵当，时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上所述，的取值范围是．
【解析】【分析】（1）将代入二次函数解析式并将其化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）先判断抛物线过点，代入解析式求得，即可求得抛物线的解析式；
（3）先求出二次函数的图象与轴的交点坐标，利用对称性得到函数图象的对称轴，然后分和两种情况，根据二次函数的增减性和已知条件列出关于的不等式并解之即可.
（1）解：当时，二次函数，
∴该函数的顶点坐标为；
（2）解：当时，，
此时，
∴该抛物线图象不过点，
当时，
此时，
∴该抛物线图象不过点，
∴该抛物线过点，代入得：，
解得：，
将代入二次函数的表达式为：，
整理得：，
故二次函数的表达式为：；
（3）解：∵，
∴，
∵二次函数（a是常数，）的图象与x轴交于点，，
∴函数图象的对称轴为直线，
当时，函数图象开口向上，
∵当，时，，
∴，
∴，
解得，舍去；
当时，函数图象开口向下，
∵时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴a的取值范围是．
21．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设一次函数的关系式为，由题图可知，函数图象过点和点．
把这两点的坐标代入一次函数，
得，
解得，
∴一次函数的关系式为；
（2）解：根据题意，则，整理得：；
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【解析】【分析】（1）根据图象上的两点和点，利用待定系数法，即可求得一次函数的关系式为；（2）根据（售价-进价）×销量=利润，即可得出，进一步转化为顶点式，根据函数的最值，即可得出当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
（1）设一次函数的关系式为，
由题图可知，函数图象过点和点．
把这两点的坐标代入一次函数，
得，
解得，
∴一次函数的关系式为；
（2）根据题意，则，
整理得：；
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
22．图①是一种手机平板支架、由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图、托板长，支撑板长，板固定在支撑板顶点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动，．
（1）若时，求点A到直线的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中调整为，再将绕点D逆时针旋转，使点B落在直线上即可、求旋转的角度．
（参考数：，，，，，，）
【答案】（1）解：如图，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，则四边形CFMN为矩形；
由题意可知，AC=AB-CB=115-35=80，CD=70，∠DCB=70°，∠CDE=60°，
在Rt△CDN中，
∠DCN=90°-60°=30°，
又∵∠DCB=70°，
∴∠BCN=70°-30°=40°，
∵AM⊥DE，CN⊥DE，
∴AMCN，
∴∠A=∠BCN=40°，
∴∠ACF=90°-40°=50°，
在Rt△AFC中，AF=AC sin50°=80×0.8≈64（mm），
∴AM=AF+FM=64+35≈64+59.5=123.5≈124（mm），
∴点A到直线DE的距离约为124mm．
（2）解：依题意画出图形，如图
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=35mm，CD=70mm，
∴
∴∠CDB26.6°，
∴CD旋转的角度=60°-26.6°=33.4°．
【解析】【分析】
（1） 过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，过点C作CN⊥DE则四边形CFMN为矩形
AM＝AF+FM，运用三角函数求出AF，FM可求出AM。
（2）先求出∠CDB的正切值，根据题中提供的数据得出相应的度数，再计算出CD旋转的度数即可。
23．如图，用长为的细铁丝围成一个矩形（）．若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比）．
（1）求该矩形的长．（结果保留根号）
（2）求该矩形的面积．（结果保留根号）
【答案】（1）解：设，那么，
经检验，是原方程的根，
，
答：矩形的长为．
（2）解：由（1）可知，，，
矩形的面积为：（）．
答：该矩形的面积为．
【解析】【分析】（1）此题告知了矩形的周长，根据矩形周长计算公式，若设，那么，然后根据与之比等于黄金比，代入解方程即可；
（2）利用矩形面积等于长乘以宽，直接计算出答案即可．
（1）解：设，那么，
经检验，是原方程的根，
，
答：矩形的长为．
（2）解：由（1）可知，，，
矩形的面积为：（）．
答：该矩形的面积为．
24．如图，在边长为1的正方形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上（不与点 A，D重合），射线 BE 与射线 CD交于点 F.
（1）若 求 DF 的长.
（2）求证：AE·CF=1.
（3）以点 B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE 于点G.若EG=ED，求 ED的长.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形
∴AD//BC，AB=AD=BC=CD=1，
∴△DEF∽△CBF
∴
∴
（2）证明：∵AB//CD
∴∠ABE=∠F，
又∵∠A=∠BCD=90°
∴△ABE∽△CFB
∴
∴AE·CF=AB·BC=1
（3）解：设EG=ED=x，则AE=AD-DE=1-x，BE=BG+GE=BC+GE=1+x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2
∴1+(1-x)2=(1+x)2
∴
∴
【解析】【分析】(1)通过证明△DEF∽△CBF，由相似三角形的性质可求解；
(2)通过证明△ABE∽△CFB，可得，可得结论；
(3)设EG=ED=x，则AE=1-x，BE=1+x，由勾股定理可求解.
25．已知点(2，0)在抛物线y＝﹣3x2+（k+3）x﹣k上，求此抛物线的对称轴．
【答案】解：∵点（2，0）在抛物线y＝﹣3x2+（k+3）x﹣k上，
∴0＝﹣3×22+（k+3）×2﹣k，
解得，k＝6，
∴抛物线y＝﹣3x2+（6+3）x﹣6＝﹣3x2+9x﹣6，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣ ，
即此抛物线的对称轴是直线x＝ ．
【解析】【分析】根据点（2，0）在抛物线y＝﹣3x2+（k+3）x﹣k上，可以求得k的值，然后即可得到该抛物线的对称轴．
26．为了丰富学生社会实践活动，学校组织学生到红色文化基地A和科技馆C参观学习.如图，A在C的正北方向，学校在点B处，A位于学校的北偏西30°方向的30km处，C位于学校西南方向，求红色文化基地A和科技馆C之间的距离.（结果保留根号）
【答案】解：如图，过点 作 交于点 ，
由题可知： ， ， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
.
【解析】【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用方位角的定义可求出∠ABD，∠CBD的度数，再利用解直角三角形求出AD，BD、CD的长，然后根据AC=AD+CD，可求出AC的长.
27．如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽．
【答案】解：如图：过点A作于点M，交于点N，
∵，
∴， ，
∴
∵，
∴，解得：，
∴．
答：河宽为．
【解析】【分析】
过点A作于点M，交于点N，易证，由相似三角形的性质可得，根据题境可知，代入计算出ＡＭ，最后由线段和差关系即可解答．
28．鼓楼是位于银川南门的一座古建筑，是银川老城区的标志性景观.在课外实践活动中，银川某校九年级数学兴趣小组决定测量鼓楼的高，他们的操作方法如下：如图，先在 处测得点 的仰角为 ，再往水城门的方向前进 米至 处，测得点 的仰角为 （点 ， ， 在一直线上），求鼓楼 的高.（结果保留根号）
【答案】解：由题意得， ， ， ， ，
在 中，
在 中，
.
鼓楼 的高是 米.
【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用解直角三角形证得AB=BC，再在Rt△ABD中，利用解直角三角形求出AB的长.
29．如图，在直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点A（2，n）．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）在点A右侧的直线上取一点B，使AB=OA，过点B作BC//x轴，交反比例函数图象于点C．求点C的坐标．
【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为：，
∵反比例函数的图象与直线y=x交于点A（2，n），
∴，解得：，
∴反比例函数的解析式为：.
（2）解：设C（a，），
∵BC∥x轴，
∴B点的纵坐标为，
∴=xB，
∴xB=，则B（，），
∵OA=AB，
∴A是OB的中点，
∴，解得：a=1，
∴C（1，2）.
【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为：，将点A的坐标分别代入反比例函数和一次函数的解析式可得关于k、n的方程组，解方程组即可求解；
（2）设C（a，），结合已知可将点B的坐标用含a的代数式表示出来，根据AB=OA可知点A是OB的中点，由线段的中点坐标公式可得关于a的方程，解方程即可求解.
30．二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣1 ﹣2 ﹣1 2 7 …
（1） 二次函数的图象开口向 ，对称轴为直线x＝ ．
（2）求该二次函数的解析式．
（3）直接写出当﹣3＜x＜3时，求y的取值范围 ．
【答案】（1）上；-1
（2）解：将代入
得：，
解得：，
二次函数的表达式为。
（3）-2≤y<14
【解析】【解答】解：（1）∵当x=-2时，y=-1；当x=0时，y=-1，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=-1，
∵-1＞-2，
∴二次函数的图象开口向上，
故答案为：上，-1.
（3）当x=-3时，y=x2+2x-1=2；
当x=3时，y=x2+2x-1=14．
又∵二次函数图象的顶点坐标为（-1，-2），抛物线开口向上，
∴当-3＜x＜3时，-2≤y＜14，
故答案为：-2≤y<14.
【分析】（1）当x=-2时，y=-1；当x=0时，y=-1，可得对称轴，-1＞-2可得出抛物线有最小值即开口向上；
（2）由表中数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当x=-3和x=3时y的值，结合顶点的坐标，即可求解.
31．用公式法求抛物线的顶点坐标．
【答案】解：∵，，，
∴，
，
∴该函数图象的顶点坐标为．
【解析】【分析】由题意先找出a、b、c的值，然后根据抛物线的顶点坐标公式“（，）”计算即可求解.
32．在体育测试中，九年级的一名男生推铅球，已知铅球经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这个男生的出手处A点的坐标是，铅球路线的最高处B点的坐标是.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）该男生能把铅球推出去多远.
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点是，
∴抛物线可设为，
又抛物线经过，
∴，解得，
∴二次函数的解析式是，
（2）解：令，得，
解得，.
答：该男生能把铅球推出去12米.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）将y=0代入可得，再求出x的值即可.
33．2022年我国成功举办了第24届“冬奥会”，冬奥会让冰雪运动走向大众．图1为滑雪大跳台的简化模型：段和段是长度均为的倾斜滑道，段为圆弧滑道，与平滑连接，段为结束区．运动员从助滑区的台端A点出发，在助滑道上获得高速度，至跳台区依靠惯性配合身体动作跃向空中，从跳台区的末端C点水平飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行．已知跳台高是，某位运动员的一次动作中，在离开跳台末端C点后水平前进了时，高度恰好下降了（忽略运动过程中所受的空气阻力），为方便研究，我们建立了如图2所示的平面直角坐标系．
（1）请写出抛物线的函数解析式．
（2）运动员在着陆区斜坡上着陆，可以利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若在终点区上着陆，则会增加受伤风险．请你判断这位运动员此次动作会在哪个区域着陆，并求出着陆点的坐标．
【答案】（1）解：∵运动员从跳台区的末端C点水平飞出，
∴抛物线的顶点为C，坐标为．
∵运动员在离开跳台末端C点后水平前进了时，高度恰好下降了，
∴抛物线上该点的坐标为．
∵抛物线的对称轴为y轴，
∴设抛物线的解析式为．
依题意，得，解得，
∴抛物线的函数解析式为．
（2）解： ∵，，
∴．
设直线的解析式为．
∵，，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∵抛物线与直线交于点和．
∵，
∴这位运动员此次动作会在斜坡上着陆点的坐标为．
【解析】【分析】（1）根据题意得和，结合图像的值抛物线的对称轴为y轴，设抛物线解析式为，根据待定系数法将点和代入解析式即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得DF=80，设直线的解析式为，根据待定系数法将点C，D坐标代入解析式可得直线的解析式为，联立两直线解析式，解方程组，再判断落点位置即可求出答案.
（1）解：∵运动员从跳台区的末端C点水平飞出，
∴抛物线的顶点为C，坐标为．
∵运动员在离开跳台末端C点后水平前进了时，高度恰好下降了，
∴抛物线上该点的坐标为．
∵抛物线的对称轴为y轴，
∴设抛物线的解析式为．
依题意，得，解得，
∴抛物线的函数解析式为．
（2）∵，，
∴．
设直线的解析式为．
∵，，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∵抛物线与直线交于点和．
∵，
∴这位运动员此次动作会在斜坡上着陆点的坐标为．
34．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．若．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积
【答案】（1）解：如图，过点作轴，垂足为，则，∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
∴，
解得：，，
∴ 一次函数 的表达式为，
∵，，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴点C的纵坐标为，
∴，
∵点C在反比例函数 的图象上，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接、，过作轴，垂足为点，
，解得：，，
∴点D的纵坐标为，
∴，，
∵，
∴
．
【解析】【分析】（1）先利用、的坐标，求出的函数表达式，再利用平行线分线段成比例，列出比例式求出点的坐标，可得反比例函数表达式；
（2）先列方程求出点的横坐标，再求出其纵坐标，然后利用，求出的面积．
35．课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图①，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为，利用图③，解答下列问题：
（1）若为，求此时窗户的透光面积；
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
【答案】（1）解：∵ AB=1， 上部改为由两个正方形组成的矩形，
∴ 正方形的边长为，
∴ AD=，
∴透光面积为AB×AD=m2，
答：窗户的透光面积为m2.
（2）解：变大，
设AB=xm，则AD=，
解得，设窗户面积为S，
则
∴ 与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有变大。
【解析】【分析】（1）根据矩形和正方形的性质可得AD=，根据矩形的面积公式计算即可求得；
（2）设AB的长为x，再表示出AD为，列出二次函数表达式，再根据自变量的取值范围求出最大值，比较大小即可.
36．如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，cotA＝ ，求tan∠DBC的值.
【答案】解：∵cotA＝ ，
∴设AE＝3x，ED＝4x，
∴由勾股定理可知：AD＝5x，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴ED＝CD＝4x，
在RtABC中
cotA＝ ＝ ，
∴BC＝12x，
∴tan∠DBC＝ ＝ .
故答案为tan∠DBC＝ .
【解析】【分析】设AE=3x，ED=4x，由勾股定理可知：AD=5x，根据角平分线的性质可知ED=CD=4x，再根据cotA＝ ＝ ，所以BC=12x，再根据锐角三角函数即可求出答案.
37．数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为．
（1）小组先探究函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格：
0 1 2 3 4 5 6 7 ．．．
2 1.5 1.2 0.75 0.6 ．．．
①表格中的___________；
②请在图3中画出对应的函数图象；
（2）该小组综合图2和图3发现，随着的增大而___________；（填“增大”或“减小”）
（3）若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由．
【答案】（1）解：①1；
②图象如下图所示，即为所求．
；
（2）增大
（3）解：不能，理由如下：
由题意，设（，b为常数） 将，代入，得，
∴
∴．
又∵，
∴．
∵由（2）知I随着m的增大而增大，
∴当时，．
∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量．
【解析】【解答】（1）解：①由题意，将代入中，
∴，
．
故答案为：1。
（2）解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，
又∵I随R的增大而减小，
∴I随着m的增大而增大．
故答案为：增大。
【分析】（1）①根据表格中的信息，将R的值代入中，然后再解方程，求出I的值，即可求出P的值；
②根据表格中的数据，然后将各个坐标在坐标轴上描出来，最后再进行连线即可；
（2）根据图象信息可知，R随着m的增大而减小，再结合（1）中画出的图像信息，可知，I随R的增大而减小，据此即可判断；
（3）依据题意，设（，b为常数） 将，代入，求出k，b的值，进而得到R与m的关系式，最后再结合（1）中求出的解析式，将R的关系式代入，即可判断。
（1）解：①由题意，将代入中，
∴，
．
故答案为：1．
②图象如下图所示，即为所求．
；
（2）解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，
又∵I随R的增大而减小，
∴I随着m的增大而增大．
故答案为：增大．
（3）解：不能，理由如下：
由题意，设（，b为常数） 将，代入，得，
∴
∴．
又∵，
∴．
∵由（2）知I随着m的增大而增大，
∴当时，．
∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量．
38．在边长为1的正方形ABCD中， 点E在边AD 上 （不与点 A、D 重合），射线BE与射线CD交于点F．
（1） 若 ， 求 的长．
（2） 求证： ．
（3） 以点 为圆心， 长为半径画弧， 交线段 于点 ． 若 ， 求 的长．
【答案】（1）解： 四边形 是正方形，
，
；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A=∠BCD=90°
．
又
，
（3）解：设 ，则 ，
．
在 Rt 中， ，
．
【解析】【分析】（1）由正方形性质得AD∥BC，AB=AD=BC=CD=1，由平行于三角形一边得直线截其他两边，所截三角形与原三角形相似得△DEF∽△CBF，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DF的长；
（2）由正方形性质得AB∥CD，∠A=∠BCD=90°，由二直线平行，内错角相等得∠ABE=∠F，由由两组角对应相等的两个三角形相似得△ABE∽△CFB，由相似三角形对应边成比例可得结论；
（3）设EG=ED=x，用含x的式子表示出AE、BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立方程求解即可.
39．清明节假期，小红和小阳随爸妈去旅游，他们在景点看到一棵古松树，小红惊讶的说：“呀！这棵树真高！有60多米．”小阳却不以为然：“60多米？我看没有．”两个人争论不休，爸爸笑着说：“别争了，正好我带了一副三角板，用你们学过的知识量一量、算一算，看谁说的对吧！”
小红和小阳进行了以下测量：如图所示，小红和小阳分别在树的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜边正好经过树的最高点，这时，测得小红和小阳之间的距离为135米，他们的眼睛到地面的距离都是1.6米．通过计算说明小红和小阳谁的说法正确（计算结果精确到0.1）（参考数据 ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）
【答案】如图，AB表示古松树的高，CD，EF分别表示小红和小阳的眼睛到地面的距离；
由题意得，四边形CDEF是矩形，
∴CD=BG=EF=1.6米，CF=DE=135米，
设AG=x米，
∵∠ACG=30°，∠AFG=45°，∠AGC=∠AGF=90°，
∴GF=AG=x，AC=2AG=2x，
∴CG=AC 米，
∴DE=BD+BE=CG+GF= x+x=135，
∴x≈49.28，∴AB=AG+GB=50.9米，
∴古松树高=50.9米＜60米，
∴小阳的说法正确．
【解析】【分析】三角函数的实际应用问题，只要构造直角三角形就可以解决问题。注意结果要取近似值，精确到0.1.
40．一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为．
（1）求抛物线的函数解析式（不写自变量的取值范围）；
（2）小球在斜坡上的落点的垂直高度为________米；
（3）若要在斜坡上的点处竖直立一个高4米的广告牌，点的横坐标为2，请判断小球能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；
（4）求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．
【答案】（1）由题意，设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为（或）
（2）
（3）解：能，理由如下：
对于一次函数，
当时，，即，
对于抛物线，
当时，，
因为，
所以小球能飞过这个广告牌．
（4）解：设小球在飞行的过程中离斜坡的高度为米，
则，
整理得：，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为，
答：小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为．
【解析】．【解答】（2）解：点在一次函数上，
设点的坐标为，
将点代入得：，
解得或（不符题意，舍去），
即小球在斜坡上的落点的垂直高度为米，
故答案为：．
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数的解析式.
（1）根据顶点坐标可设抛物线的解析式为，再将点代解析式可列出方程，解方程可求出a的值，据此可求出抛物线的函数解析式；
（2）设点的坐标为，根据 点在一次函数上， 将点A代入抛物线的解析式可列出方程， 解方程可求出的值，再进行取舍，据此可求出答案；
（3）令，根据一次函数的解析式求出点的坐标，再求出当时，抛物线的函数值，再比较两个函数值，据此可作出判断；
（4）设小球在飞行的过程中离斜坡的高度为米，先根据抛物线和一次函数的解析式可得，化简后再进行配方可得：，利用二次函数的性质可求出h的最大值，据此可求出小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度.
（1）解：由题意，设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为（或）．
（2）解：点在一次函数上，
设点的坐标为，
将点代入得：，
解得或（不符题意，舍去），
即小球在斜坡上的落点的垂直高度为米，
故答案为：．
（3）解：能，理由如下：
对于一次函数，
当时，，即，
对于抛物线，
当时，，
因为，
所以小球能飞过这个广告牌．
（4）解：设小球在飞行的过程中离斜坡的高度为米，
则，
整理得：，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为，
答：小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为．
41．小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD＝10米．求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）．
【答案】解：连结PA、PB，过点P作PM⊥AD于点M；延长BC，交PM于点N
则∠APM=45°，∠BPM=60°，NM=10米
设PM=x
在Rt△PMA中，AM=PM×tan∠APM=xtan45°＝x（米）
在Rt△PNB中，BN=PN×tan∠BPM=( －10)tan60°＝( －10) （米^
由AM+BN=46米，得x+(x－10) ＝46
解得，x= =
∴点P到AD的距离为 米
【解析】【分析】连接PA、PB，过点P作PM⊥AD于点M；延长BC，交PM于点N，将实际问题中的已知量转化为直角三角形中的有关量，设PM=x米，在Rt△PMA中，表示出AM，在Rt△PNB中，表示出BN，由AM+BN=46米列出方程求解即可．
42．如图，D、E分别是AC、AB上的点，连接DE，且，若，，，求BC的长．
【答案】解：∵ ，
∴；
∴，
∵，，
∴
∴．
【解析】【分析】根据有两个角相等的两个三角形是相似三角形，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，得到，即可求解得出答案.
43．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为
将代入解析式得：
∴抛物线的解析式为
令，则
解得：
∴入水处B点的坐标
（2）解：距点E的水平距离为5米，对应的横坐标为：
将代入解析式得：
∵
∴该运动员此次跳水失误了
（3）解：∵，，点E的坐标为
∴点M、N的坐标分别为：
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为顶点C距水面4米
，
∴当抛物线经过点时，把点M代入得：
同理，当抛物线经过点时，
由点D在之间可得：
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出y=-10时x值，即得点B坐标；
（2）距点E的水平距离为5米，对应的横坐标为，把x=代入解析式求出y值，求出的值与5比较即可；
（3）由题意得E，M，N（12，-10），当抛物线分别经过点M、点N时求出a值，继而得出范围.
44．已知二次函数，正比例函数.
（1）求证：二次函数的顶点在的图象上.
（2）若函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，求m的取值范围.
（3）若点都在（2）中函数y的图象上，且，求n的取值范围（结果用含m的代数式表示）.
【答案】（1）证明：∵.
∴顶点坐标为.
∴该函数图象的顶点在直线上
（2）解：∵，
∴对称轴为直线.
∴当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大.
∵当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大.
∴，则
（3）解：∵，
且点M，N都在函数y的图象上.
∴.
.
∴，
∴.
令，转化为求当在直线上方时，n的取值范围.
当时，
.
∴或.
又∵，
∴或
【解析】【分析】（1）可以用顶点坐标公式，也可以用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，求得二次函数的顶点坐标，再将顶点的横坐标代入正比例函数中，恰好等于顶点的纵坐标，即可证明二次函数的顶点在的图象上 .
（2）由，得到新函数，可以求出该函数图象的对称轴，因为当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，所以对称轴，解得。
（3）已知点都在（2）中函数y的图象上，得，，因为，所以，可以将这个不等式转化为w关于n的函数的函数值大于6时，n的取值范围，可以发现此二次函数图象开口向上，当w=6时，即，化简得，解得或，因此若，则或.
45．已知二次函数，其中，为两个不相等的实数．
（1）当、时，求此函数图象的对称轴；
（2）当时，若该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围；
（3）若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由
【答案】（1）解：当、时，二次函数可化为：，
此函数图象的对称轴为
（2）解：当时，二次函数可化为：，
抛物线对称轴为，
，
抛物线开口方向向上，
在时，随的增大而减小；
，
在时，随的增大而增大；
，
（3）解：若点，，均在该函数的图象上，
，
，
；
；
，
，整理得：
，为两个不相等的实数，
，
，解得：
【解析】【分析】（1）把和的值代入到函数解析式中可得抛物线解析式，再利用即可；
（2）把代入到函数解析式中可得，则抛物线开口向上，对称轴为直线，由二次函数的性质知，在对称轴左侧，随的增大而减小 ；在对称轴右侧，随的增大而增大 ，所以；
（3）先利用二次函数图象上点的坐标特征分别表示出，再整理得，由于，显然当时，，即存在这样的值.
46．如图所示，已知抛物线经过点A（－2，0）、B（4，0）、C（0，－8），抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y＝x－4交于B，D两点．
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G．当△QDG为直角三角形时，求点Q的坐标．
【答案】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c∵抛物线经过点A（－2，0）、B（4，0）、C（0，－8）∴，解得.
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－8
点D的坐标为（－1，－5）
（2）过P作PE∥y轴，交直线AB于点E
设P（x，x2－2x－8）则E（x，x－4）
∴PE＝x－4－(x2－2x－8)＝－x2＋3x＋4
∴S△BDP＝S△DEP＋S△BEP＝ PE·(xE－xD)＋ PE·(xB－xE)
＝ PE·(xB－xD)＝ PE＝ (－x2＋3x＋4)
＝－ (x－ )2＋
∴当x＝ 时，△BDP面积的最大值为
此时点P的坐标为（ ，－ ）
（3）设直线y＝x－4与y轴相交于点K，则K（0，－4）∵B（4，0），∴OB＝OK＝4，∴∠OKB＝∠OBK＝45°
∵QF⊥x轴，∴∠DQG＝45°
若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形①∠QDG＝90°，过D作DH⊥QG于H，∴QG＝2DH，
∴－x2＋3x＋4＝2(x＋1)，解得x 1＝－1（舍去），
x 2＝2，∴Q1（2，－2）
②∠DGQ＝90°，则DH＝QH，∴－x2＋3x＋4＝x+1，解得x 1＝-1（舍去），x 2＝3，∴P2（3，－1）综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，－2）或（3，－1）
【解析】【分析】（1）设出一元二次函数，利用待定系数法求出a、b、c的值；
（2）设出PE两点的坐标，从图中可以看出SBDP=SEPB+SEPD.运用二次函数的性质求出SBDP的的最值及P点的坐标；
（3）一次函数为y=x-4，则意味着∠OKB=∠OBK=45°，则如果△QDG是直角三角形，必定是等腰直角三角形。但接下来要分两种情况去进行讨论：①∠QDG=90°；②∠DGQ=90°.
47．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点．已知点的坐标分别为和．
（1）求直线和反比例函数的解析式．
（2）请直接写出不等式的解集．
（3）若点在反比例函数图象上且，求点的坐标．
【答案】（1）解：把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
∵在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，
此时或，
即不等式的解集为或；
（3）解：如图，当点为第一象限内的点时，如图，设射线与轴的交点为，过点作轴于点，，交轴于点，设，
过点作，交轴于点，则，
∴，，
，当时，，解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴为的角平分线，
∴点到的距离相等，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵、，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
由，
解得，，
∴；
当点为第三象限内的点时，
∵，
∴
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∵、，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
由，解得，，
∴点的坐标；
综上所述，点的坐标为或．
【解析】【分析】（）利用待定系数法求解；
（）根据的意义，结合图象求解；
（）分“点为第一象限内的点”、“点为第三象限内的点”两种情况，画出图形求解.
（1）解：把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可得，当或时，，
∴不等式的解集为或；
（3）解：如图，当点为第一象限内的点时，如图，设射线与轴的交点为，过点作轴于点，，交轴于点，设，则，，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，，
∵，
∴为的角平分线，
∴点到的距离相等，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
由，解得，，
∴；
过点作，交轴于点，则，
∵，
∴
设，则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
由，解得，，
∴点的坐标；
综上，点的坐标为或．
48．已知抛物线经过点，对称轴是直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在该抛物线上，且；求的取值范围；
（3）若设是抛物线与轴的一个交点的横坐标，记，比较与的大小．
【答案】（1）解：把代入中得．
∵对称轴是直线，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）解：由题意可得：．
∵对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值为，
∵点在该抛物线上，且，
∴当时，；
当时，；
∴t的最大值为2，t的最小值为-2，
∴；
（3）由m是抛物线与x轴的一个交点的横坐标，可得，
解得，
由可得．
∴
，
∵，
∴或，
∴当时，； 当时，．
【解析】【分析】（1）把代入解析式可得，再根据对称轴可得，解得，据此可得答案；
（2，由题意可得：对称轴是直线，，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，确定出当x=1时取得最大值，再分别求出当时，当时，得值即可得到答案；
（3）先根据题意得到，即，且，再把整体代入 的分子中把分子进行降次求解即可．
（1）解：把代入中得．
∵对称轴是直线，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵由（1）知：．
∵对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，当时，y有最大值为，
∵点在该抛物线上，且，
∴当时，；
当时，；
∴；
（3）解：∵m是抛物线与x轴的一个交点的横坐标，
∴，即．
∴
，
∵，
∴，
∴或，
∴当时，； 当时，．
49．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
（1）点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．
【答案】（1）解：点在这个反比例函数的图象上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：
，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：
，，
点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
【解析】【分析】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，连接交于，得到，再结合等腰三角形三线合一得到为边上的中线即，求出，进而求得，从而可判定点在这个反比例函数的图象上，解答即可；
（2）①根据正方形的性质求得，设点的坐标为，建立方程计算得到（负值舍去），从而得，，再利用待定系数法，解方程组即可得到结论；
②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，解答即可．
（1）解：点在这个反比例函数的图象上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：
，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：
，，
点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
50．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具的每天销售数y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/件 … 36 34 32 …
（1）直接写出y与x之间的函数关系式：
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）解：根据题意得：，
解得：，
又，，
答：销售单价应为18元.
（3）解：
，抛物线开口向下，
对称轴为直线，当时，w随x的增大而增大，
当时，w有最大值，.
答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元.
【解析】【解答】解：（1）设一次函数表达式为：y=kx+b，把（12，36）、（13，34）代入表达式中联立二元一次方程组求解，解得k=-2，b=60则y=2x+60.
故答案为：y=2x+60
【分析】（1）设一次函数表达式为：y=kx+b，把（12，36）、（13，34）代入表达式中联立二元一次方程组求解即可。
（2）根据一件商品的利润×总销售量=总利润列等式求出单价，再根据单价不低于进价且不高于19元确定取值即可。
（3）根据 中，a=-2有最大值，即x=20时有最大值，又因为10≤x≤19，因此x不能取x=20，当10≤x≤19时，y随x增大而增大，因此x=19时。w最大为198。
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