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【解答题强化训练·50道必刷题】沪科版数学九年级下册期末总复习
1．小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局．
（1）一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少．
（2）如果用A，B，C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用，，分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明．
2．（1）已知关于x的一元二次方程，若，是原方程的两根，且，求的值．
（2）从1，2，3，4中任取一个数记为b，再从余下的三个数中，任取一个数记为c，求关于x的方程有实数根的概率．
3．中华文化之瑰宝——“四大名著”，即《水浒传》、《三国演义》、《西游记》 和《红楼梦》，在中国文学史上有着极其重要的地位.
（1）若从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是 .
（2）若从这四大名著中随机抽取两套(先随机抽取一套，不放回，再随机抽取另一套)， 请用画树状图或列表的方法，求抽到的两套恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率。
4．如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区剩余3个空车位，甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车。
（1）甲停在A区的概率是 .
（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙停在相同区域的概率。
5．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口.
（1）试用树形图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；
（2）求至少有一辆汽车向左转的概率.
6．有甲、乙两个不透明口袋，每个口袋里装有四个小球（小球除字母不同外，其余均相同），甲袋中的四个小球上分别写着字母“g”“o”“o”“d”，乙袋中的四个小球上分别写着字母“l”“u”“c”“k”，小红从每个口袋中各随机摸出一球．
（1）请用列表法（或画树状图）表示小红摸出的所有可能结果．
（2）求小红刚好摸到“o”和“k”的概率．
7．某中学为了解本校中考体育情况，随机抽取了部分学生的体育成绩进行统计分析，发现最低分为 45 分，且成绩为45分的学生占抽查人数的10%，现将抽查结果绘制成了如下不完整的折线统计图，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）此次抽查的学生人数为 人，抽查的学生体育考试成绩的中位数是 分，抽查的女生体育考试成绩的平均数是 分；
（2）补全折线统计图；
（3）为了今后中考体育取得更好的成绩，学校决定分别从成绩为50分的生和女生中各选一名参加“经验座谈会”，若成绩为50分的男、女生中各有两名体育特长生，请用列表或画树状图的方法求出所选的两名学生刚好都不是体育特长生的概率．
8．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D在⊙O外，延长DC，AB相交于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点G，DG＝DC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，点F为线段OA的中点，CE＝8，求DF的长．
9．某高中在开展“选科走班”教学改革之前，先进行调查：要求该校某班每位学生在思想政治、化学、地理、生物4门学科中选择2门．将调查统计结果制成了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题：
（1）该班共有学生 人，扇形图中化学所对应扇形的圆心角为 度；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）求该班小华同学恰好选中化学和生物的概率．
10．随着时代的发展，科技的进步，进入移动支付时代后，支付方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．某超市为方便顾客购物付款，可供顾客选择的付款方式有以下四种：A．现金支付，B．刷卡支付，C．微信支付，D．支付宝支付．每种付款方式被选择的可能性是相同的．
（1）小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为_____；
（2）若甲、乙两人在该超市购物，请你通过列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择不同付款方式的概率．
11．如图，
四边形ABCD内接于半圆O，AB为半圆O的直径．若D为的中点，AB=4．
（1）求∠DCB的度数．
（2）求四边形ABCD面积的最大值．
12．从一幅扑克牌中选取红桃J、红桃Q、黑桃K三张扑克牌，正面朝下洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张，放回洗匀，小亮再从中随机抽取一张．用画树状图（或列表）的方法，求小明和小亮抽取的扑克牌的牌面均是红桃的概率．
13．日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度.小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察.如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段DE为日晷的底座，点为日晷与底座的接触点，OA，OB，OF为不同时刻晷针的影长所在位置，DE与相切于点C，AB为直径，点在，OF，OB的延长线分别与DE相交于点E，D，连接AC，BC，已知.
（1）求证：；
（2）若，求BC的长.
14．如图， 和 是⊙ 的两条切线，A，B是切点．C是 上任意一点，过点C画⊙ 的切线，分别交 和 于D，E两点，已知 ，求 的周长．
15． 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．
（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 ；
（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°，∠ACB=50°，请解答下列问题：
（1）∠CAD的度数；
（2）设AD、BC相交于E，AB、CD的延长线相交于F，求∠AEC、∠AFC的度数；
（3）若AD=6，求图中阴影部分的面积．
17．有一类随机事件概率的计算方法：设试验结果落在某个区域S中的每一点的机会均等，用A表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P（A）=．有一块边长为30cm的正方形ABCD飞镖游戏板，假设飞镖投在游戏板上的每一点的机会均等．求下列事件发生的概率：
（1）在飞镖游戏板上画有半径为5cm的一个圆（如图1），求飞镖落在圆内的概率；
（2）飞镖在游戏板上的落点记为点O，求△OAB为钝角三角形的概率．
18．如图1，重庆特色的九宫格火锅分九格：四角格、十字格、中心格（中心格一般为正方形）．隔板的设计有以下两种：①横纵隔板两两垂直交于隔板的三等分点如图2所示；②横纵隔板两两垂直交于圆锅边缘（圆）八等分点如图3所示．已知圆锅直径为40cm．
（1）求图2的中心格面S1；
（2）求两种设计的中心格面积S1与S2差．
19． 为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》(依次用A、B、C表示)三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有《九章算术》的概率．
20．如图所示，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4 ，BC=3 .求以直角边所在直线为轴，把△ABC 旋转一周得到的圆锥的侧面积.
21．盒子中有4个球，每个球上写有1～4中的一个数字，不同的球上数字不同．
（1）若从盒中取三个球，以球上所标数字为线段的长，则能构成三角形的概率是多少？
（2）若小明从盒中取出一个球，放回后再取出一个球，然后让小华猜两球上的数字之和，你认为小华猜和为多少时，猜中的可能性大．请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A( 2， 2)，B( 4， 1），C( 4， 4)．
（1）作出 ABC关于原点O成中心对称的 A1B1C1.
（2）作出点A关于x轴的对称点A'.若把点A'向右平移a个单位长度后落在 A1B1C1的内部（不包括顶点和边界），求a的取值范围.
23．如图1，，是的弦，且，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，若，，，求的半径．
24．甲、乙、丙、丁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
25．如图，在⊙O中有折线BACO，OC=1，AC=，∠A=30°，∠C=90°．求弦AB的长．
26．川北木偶、川北剪纸、高坪竹编是南充尤为出名的三项传统文化．学校九年级甲、乙两班各有5名同学特别熟悉这三项传统文化中的一项，具体如下表．
项目 川北木偶 川北剪纸 高坪竹编
甲班 2 2 1
乙班 1 2 2
（1）若从甲班5名同学中随机抽取一名，求抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率．
（2）若从两班各5名同学中分别随机抽取一名，求都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率．
27．如图，有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘A，B，每个转盘都被分成3个大小相同的扇形，指针位置固定，游戏规定，转动两个转盘各一次，转盘停止后若A盘指针指示区域数字比B盘指针指示区域数字大则小明胜，否则小亮胜（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．你认为这个游戏规则公平吗？为什么？
28．如图，AB是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接AD，GD，AG.
（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明；
（2）已知BE=2，AE=8，求CD的长.
29． 2022年东奥会在北京举办.现有如图所示“2022·北京冬梦之约”的四枚邮票供小明选择，依次记为，背面完全相同.将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好.
（1）小明从中随机抽取一枚，恰好抽到是（冰墽墩）概率是 （直接写出结果）.
（2）小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚.请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是（冰墩墩）和（雪容融）的概率.
30．日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段DE为日晷的底座，点C为日晷与底座的接触点，DE与相切于点C，AB为的直径，点A，B，F均在上，且OA，OB，OF为不同时刻晷针的影长，OF，OB的延长线分别与DE相交于点E，D，连接AC，BC，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
31．为响应“非遗进校园”活动，某校开设了四类非遗文化社团：粤剧，粤绣，英歌舞，醒狮，每位同学只能选择其中一个社团参加．学校随机调查了部分参与社团的学生的情况，根据调查结果绘制了不完整的统计图（如图）：
（1）本次共调查了________名学生，其中参与社团的人数是________人；
（2）学校计划从，，，四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中和两个社团的概率．
32．设⊙O的圆心O到直线的距离为d，半径为r，且直线与⊙O相切.d，r是一元二次方程（m+9）x2-（m+6）x+1=0的两根，求m的值.
33．一个不透明的布袋中装有1个红球，1个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，是白球的概率为．
（1）直接写出布袋中白球的个数；
（2）从布袋中先摸出一个球后放回，再摸出一个球，请用列表或画树状图法求两次摸到的球都是白球的概率．
34．某校在“庆祝建党100周年”系列活动中举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛．九年级某班“班级党史知识竞赛”中，有A，B，C，D四名同学的竞赛成绩为满分．
（1）若该班要随机从4名满分同学中选取1名同学参加学校的党史知识竞赛，A同学被选中的概率是______．
（2）该班4位满分同学中A和B是女生，C和D是男生，若要从4名满分同学中随机抽取两名同学参加学校的党史知识竞赛，请用画树状图或列表的方法求出抽到两名女生的概率．
35．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为．
（1）求截面中弦的长；
（2）求截面中有水部分弓形的面积．
36．已知：AB为⊙O的直径，∠A=∠B=90°，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为，AD=2．
①求BC的长；
②延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．
37．有两个布袋，甲袋中装有两个完全相同的球，分别标有数字“1”“2”；乙袋中装有三个完全相同的球，分别标有数字“1”“2”“3”．小颖和小明共同设计了一个游戏：小颖每次从甲袋中随机摸出一个球，小明就从乙袋中随机摸出一个球．如果小颖所摸球上的数字与小明所摸球上的数字之和为偶数，则小颖获胜；如果和为奇数，则小明获胜．你认为这个游戏公平吗？请用概率知识说明理由．
38．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的民族性运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径 ，圆柱体部分的高 ，圆锥体部分的高 ，求出这个陀螺的表面积（结果保留 ）.
39．某机械传动装置在静止时如图，连杆PB与点B运动所形成的⊙O交于点A，测得PA=4cm，AB=6cm，⊙O半径为5cm，求点P到圆心O的距离．
40．2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加知识竞赛的学生共有 人；
（2）扇形统计图中， ，等级对应的圆心角为 度；
（3）小永是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选人，参加区举办的知识竞赛，求小永被选中参加区知识竞赛的概率．
41．如图，AB是⊙O的直径， = ，且AB=5，BD=4，求弦DE的长．
42．2010年2月中旬，沿海各地再次出现用工荒，甲乙两人是技术熟练的工人，他们参加一次招聘会，听说有三家企业需要他们这类人才，虽然对三家企业的待遇状况不了解，但是他们一定会在这三家企业中的一家工作．三家企业在招聘中有相同的规定：技术熟练的工人只要愿意来，一定招，但是不招在招聘会中放弃过本企业的工人．甲乙两人采用了不同的求职方案：
甲无论如何选位置靠前的第一家企业；而乙则喜欢先观察比较后选择，位置靠前的第一家企业，他总是仔细了解企业的待遇和状况后，选择放弃；如果第二家企业的待遇状况比第一家好，他就选择第二家企业；如果第二家企业不比第一家好，他就只能选择第三家企业．
如果把这三家企业的待遇状况分为好、中、差三个等级，请尝试解决下列问题：
（1）好、中、差三家企业按出现的先后顺序共有几种不同的可能？
（2）你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己找到待遇状况好的企业的可能性大？请说明理由？
43．（1）如图1，PA、PB是⊙O的两条弦，AB为直径，C为的中点，弦CD⊥PA于点E，写出AB与AC的数量关系，并证明；
（2）如图2，PA、PB是⊙O的两条弦，AB为弦，C为劣弧的中点，弦CD⊥PA于E，写出AE、PE与PB的数量关系，并证明．
44．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
45．如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当DE=1，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积．
46．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径R=5，tanA=，求线段CD的长．
47．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
48．如图在等边中，的平分线交轴于点D，C的坐标为
（1）如图1，求点坐标.
（2）如图2，为轴上任意一点，以CE为边，在第一象限内作等边，延长FB交轴于点，求OG的长.
（3）如图3，在（1）条件下，M为轴正半轴上点上方的任意一点，在BM右上方作交AD延长线于点，求证：是定值.
49．如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径是6cm，下底面直径为4cm，母线长为EF=8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用 表示） ．
50．某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径，杯底直径，杯壁母线．请你解决下列问题：
（1）小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．
①图2中弧的长为______，弧的长为______；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧所在圆的圆心，如图3所示．求弧所在圆的半径及它所对的圆心角的度数．
（2）小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．
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【解答题强化训练·50道必刷题】沪科版数学九年级下册期末总复习
1．小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局．
（1）一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少．
（2）如果用A，B，C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用，，分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明．
【答案】（1）解：从“象、虎、鼠”三张牌中，一次出牌小刚出“象”牌的概率是；
（2）解： 画树状图如图所示．
由树状图可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种．
∴P（一次出牌小刚胜小明）．
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画出树状图，得到所有的等可能的结果，再找出小刚胜小明的可能结果数，然后利用概率公式求解即可．
（1）解：从“象、虎、鼠”三张牌中，一次出牌小刚出“象”牌的概率是；
（2）解： 画树状图如图所示．
由树状图可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种．
∴P（一次出牌小刚胜小明）．
2．（1）已知关于x的一元二次方程，若，是原方程的两根，且，求的值．
（2）从1，2，3，4中任取一个数记为b，再从余下的三个数中，任取一个数记为c，求关于x的方程有实数根的概率．
【答案】解：（1），
，
，是原方程的两根，
，.
，
，
解得：，；
（2）关于x的方程有实数根，
画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中满足的有6种结果，
关于x的方程有实数根的概率为：．
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系求得，；然后由已知条件可以求得，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；
（2）画树状图，共有12种等可能结果，其中能使关于x的方程有实数根的有6种结果，再由概率公式求解即可．
3．中华文化之瑰宝——“四大名著”，即《水浒传》、《三国演义》、《西游记》 和《红楼梦》，在中国文学史上有着极其重要的地位.
（1）若从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是 .
（2）若从这四大名著中随机抽取两套(先随机抽取一套，不放回，再随机抽取另一套)， 请用画树状图或列表的方法，求抽到的两套恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率。
【答案】（1）
（2）解：记《水浒传》、《三国演义》和《红楼梦》分别为A、B、C、D，
列树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两套恰好是《水浒传》和《三国演义》的有2种，
∴抽到的两套恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率为
【解析】【解答】解：(1)从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是，
故答案为：.
【分析】(1)直接利用概率公式求解即可；
(2)列树状图展示所有12种等可能的结果数，找出学生乙和学生丙都没有抽到《西游记》的结果数，然后根据概率公式求解.
4．如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区剩余3个空车位，甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车。
（1）甲停在A区的概率是 .
（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙停在相同区域的概率。
【答案】（1）
（2）解：(2)解：分别将A、B两个停车区域的空车位记为
A1，A2 ，B1，B2，B3.
A1 A2 B1 B2 B3
A1 （A2，A1） （B1，A1） （B2，A1） （B3，A1）
A2 （A1，A2） （B1，A2） （B2，A2） （B3，A2）
B1 （A1，B1） （A2，B2） （B2，B1） （B3，B1）
B2 （A1，B2） （A2，B2） （B1，B2） （B3，B2）
B3 （A1，） （A2，B3） （B1，B3） （B2，B3）
由表可知所有可能出现的结果有20种，它们每种出现的可能性相同。
所有的结果中，满足“甲、乙两人停在相同区域”（记为事件A）的结果有8种，
所以P(A)=
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
甲停在A区的概率是
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出满足“甲、乙两人停在相同区域”的结果，再根据概率公式即可求出答案.
5．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口.
（1）试用树形图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；
（2）求至少有一辆汽车向左转的概率.
【答案】解： （1）根据题意，可以画出如下的“树形图”：
∴这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果
（2）由（1）中“树形图”知，至少有一辆汽车向左转的结果有5种，且所有结果的可能性相等
∴P（至少有一辆汽车向左转）＝
【解析】【分析】（1）画树状图求解．可以得到一共有9种情况；
（2）由（1）中“树形图”知，至少有一辆汽车向左转的结果有5种，且所有结果的可能性相等根据概率公式求解即可．
6．有甲、乙两个不透明口袋，每个口袋里装有四个小球（小球除字母不同外，其余均相同），甲袋中的四个小球上分别写着字母“g”“o”“o”“d”，乙袋中的四个小球上分别写着字母“l”“u”“c”“k”，小红从每个口袋中各随机摸出一球．
（1）请用列表法（或画树状图）表示小红摸出的所有可能结果．
（2）求小红刚好摸到“o”和“k”的概率．
【答案】解：（1）列表如下：
乙
甲 l u c k
g （g，l） （g，u） （g，c） （g，k）
o （o，l） （o，u） （o，c） （o，k）
o （o，l） （o，u） （o，c） （o，k）
d （d，l） （d，u） （d，c） （d，k）
由列表可知，共有16种可能的结果，并且每种结果出现的可能性相同．
（2）共有16种可能的结果，其中刚好能摸到“o”“k”的有2种．
P（摸到“o”“k”）==．
【解析】【分析】（1）列表求出所有的情况数即可解答．
（2）根据上题得到的情况数结合概率公式计算即可解答．
7．某中学为了解本校中考体育情况，随机抽取了部分学生的体育成绩进行统计分析，发现最低分为 45 分，且成绩为45分的学生占抽查人数的10%，现将抽查结果绘制成了如下不完整的折线统计图，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）此次抽查的学生人数为 人，抽查的学生体育考试成绩的中位数是 分，抽查的女生体育考试成绩的平均数是 分；
（2）补全折线统计图；
（3）为了今后中考体育取得更好的成绩，学校决定分别从成绩为50分的生和女生中各选一名参加“经验座谈会”，若成绩为50分的男、女生中各有两名体育特长生，请用列表或画树状图的方法求出所选的两名学生刚好都不是体育特长生的概率．
【答案】（1）50；48.5；48；
（2）女生得分50分的有5人，所以补全图形如图；
（3）设得分50分的男生分别为男1、男2、男3、男4，其中男1、男2是体育特长生，
得分50分的女生分别为女1、女2、女3、女4、女5，其中女1、女2是体育特长生，
列表如下：
由表可知，一共有20种等可能情况，其中都不是体育特长生的有6种情况，
所以， （都不是体育特长生） ．
【解析】【解答】解：（1）抽查的学生人数为： 人；
由图可知，得分为45分的人数为： ，
得分为46分的人数为： ，
得分为47分的人数为： ，
得分为48分的人数为： ，
得分为49分的人数为： ，
所以，第25人的得分为48分，第26人的得分为49分，
中位数为 ；
得分50分的女生人数为： 人．
所以，女生成绩的平均数为： ；
故答案为：50，48.5，48；
【分析】（1）根据得分为45分的学生人数与所占的百分比列式计算即可求出被抽查的学生人数为50；根据中位数的定义找出第25、26两个人的得分，然后求出平均数即可；先求出的50分的女生人数是5，再根据平均数的求法列式求解即可；
（2）根据得50分的女生人数为5，补全折线图即可；
（3）列出图表，然后根据概率公式列式计算即可得解。
8．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D在⊙O外，延长DC，AB相交于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点G，DG＝DC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，点F为线段OA的中点，CE＝8，求DF的长．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵DG＝DC，
∴∠DGC＝∠DCG，
∵∠DGC＝∠AGF，
∴∠DCG＝∠AGF，
∵DF⊥AB，
∴∠AFG＝90°，
∴∠A+∠AGF＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠DCG+∠ACO＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由(1)知，，
∵OC＝6，CE＝8，
∵OA＝6，点F为线段OA的中点，
∴EF＝13，
∵∠DFE＝∠OCE＝90°，∠E＝∠E，
∴△OCE∽△DFE，
【解析】【分析】（1）连接OC，利用等边对等角及对顶角的性质可推出∠DCG＝∠AGF，利用垂直的定义可证得∠AFG=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可推出∠A+∠AGF＝90°；再利用等腰三角形的性质可推出∠DCG+∠ACO＝90°，即可证得OC⊥DE，利用切线的判定定理可证得结论.
（2）利用切线的性质可知∠OCE=90°，利用勾股定理求出OE的长，同时利用线段中点的定义可求出OF的长，根据EF=OF+OE可求出EF的长；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，证得△OCE∽△DFE，利用相似三角形的对应边成比例可求出DF的长.
9．某高中在开展“选科走班”教学改革之前，先进行调查：要求该校某班每位学生在思想政治、化学、地理、生物4门学科中选择2门．将调查统计结果制成了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题：
（1）该班共有学生 人，扇形图中化学所对应扇形的圆心角为 度；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）求该班小华同学恰好选中化学和生物的概率．
【答案】（1）45，72
（2）解：补全条形统计图，如下图所示．
（3）解：把思想政治、化学、地理、生物分别记为A，B，C，D，画树状图如图所示：
由上图可知，所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为化学、生物的结果有2种：，，
∴P（小华恰好选中化学、生物）．
【解析】【解答】解：（1）全班人数为：（人）
选择“化学”的人数为：（人）
对应的扇形的圆心角为：
故答案为：45；72．
【分析】（1）根据选“地理”的人数和百分比可求出全班人数，先求出选择“化学”的人数，进而可求得对应的扇形的圆心角；
（2）求出选择“化学”的人数，即可补全条形统计图；
（3）画树状图，求出所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为化学、生物的结果有2种，根据概率公式即可求解．
10．随着时代的发展，科技的进步，进入移动支付时代后，支付方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．某超市为方便顾客购物付款，可供顾客选择的付款方式有以下四种：A．现金支付，B．刷卡支付，C．微信支付，D．支付宝支付．每种付款方式被选择的可能性是相同的．
（1）小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为_____；
（2）若甲、乙两人在该超市购物，请你通过列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择不同付款方式的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表知，共有16种等可能结果，其中甲、乙两人选择不同付款方式的结果有12种，
∴甲、乙两人选择不同付款方式的概率为．
【解析】【解答】（1）解：小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为；
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出甲、乙两人选择不同付款方式的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为；
（2）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表知，共有16种等可能结果，其中甲、乙两人选择不同付款方式的结果有12种，
∴甲、乙两人选择不同付款方式的概率为．
11．如图，
四边形ABCD内接于半圆O，AB为半圆O的直径．若D为的中点，AB=4．
（1）求∠DCB的度数．
（2）求四边形ABCD面积的最大值．
【答案】（1）解：∵AB为直径，D为的中点，
∴∠A=45° ，
∴∠DCB= 180°-∠A= 180°-45°= 135°．
（2）解：连结BD，OC交于点E，当四边形ABCD面积最大时，即△BCD面积最大，当OC⊥BD时，CE最大，
∵AB=4，
∴BD=AD=，
∴OE=，
∴S△BCD的最大值为-2，
∴S四边形ABCD的最大值为S△ABD+S△BCD= +2．
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理结合等腰直角三角形得到∠A=45° ，进而根据圆内接四边形的性质即可求解；
（2）连结BD，OC交于点E，当四边形ABCD面积最大时，即△BCD面积最大，当OC⊥BD时，CE最大，进而根据勾股定理结合题意得到BD=AD=，从而即可得到OE，再根据三角形的面积结合S四边形ABCD的最大值为S△ABD+S△BCD即可求解。
12．从一幅扑克牌中选取红桃J、红桃Q、黑桃K三张扑克牌，正面朝下洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张，放回洗匀，小亮再从中随机抽取一张．用画树状图（或列表）的方法，求小明和小亮抽取的扑克牌的牌面均是红桃的概率．
【答案】解：根据题意，画树状图如下，
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，其中满足小明和小亮抽取的扑克牌的牌面均是红桃的结果有4种，所以（小明和小亮抽取的扑克牌的牌面均是红桃）．
【解析】【分析】画出树状图，确定所有等可能的结果数量和小明和小亮抽取的扑克牌的牌面均是红桃 的数量，再利用概率公式计算即可。
13．日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度.小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察.如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段DE为日晷的底座，点为日晷与底座的接触点，OA，OB，OF为不同时刻晷针的影长所在位置，DE与相切于点C，AB为直径，点在，OF，OB的延长线分别与DE相交于点E，D，连接AC，BC，已知.
（1）求证：；
（2）若，求BC的长.
【答案】（1）证明：为圆直径，
，
，
，
.
即
（2）解：连接OC，如图所示：
，
，
是圆的切线，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE=90°，
∴∠OCE=∠ACB，
∴△OCE∽△BCA，
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理得到，进而结合平行线的性质得到，从而即可求解；
（2）连接OC，根据等腰三角形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，再等量代换得到，根据切线的性质得到OC⊥EC，从而结合题意等量代换得到∠OCE=∠ACB，根据相似三角形的判定与性质证明△OCE∽△BCA得到，代入数值即可求解.
14．如图， 和 是⊙ 的两条切线，A，B是切点．C是 上任意一点，过点C画⊙ 的切线，分别交 和 于D，E两点，已知 ，求 的周长．
【答案】解：∵DA、DC是圆O的切线，
∴DA=DC，
同理可得EC=EB，
∴C△PDE=PD+PE+DE=PD+PE+DC+CE=PD+PE+DA+EB=PA+PB=10cm．
【解析】【分析】根据 DA、DC是圆O的切线， 得出DA=DC，同理可得EC=EB，再根据周长公式求解即可。
15． 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．
（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 ；
（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2）解：解法示例：
用树状图列出所有等可的结果：
等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）．
在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次，
P（抽取的书签价好1张为“春”，张为“秋”）．
【解析】【分析】（1）由简单时间概率公式得出结果；
（2）将事件的所有可能情况利用树状图或列表逐一表示，并找出符合事件的结果，即为概率.
16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°，∠ACB=50°，请解答下列问题：
（1）∠CAD的度数；
（2）设AD、BC相交于E，AB、CD的延长线相交于F，求∠AEC、∠AFC的度数；
（3）若AD=6，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：（1）∵弧AC=弧AC，
∴∠ADC=∠ABC=60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD=180°﹣∠ACD﹣∠ADC=30°，
答：∠CAD的度数是30°．
（2）∵∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=70°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=70°﹣30°=40°，
∴∠BCD=∠BAD=40°，
∴∠AEC=∠ADC+∠BCD=100°，
∵∠AFC=∠ABC﹣∠BCF=60°﹣40°=20°，
答：∠AEC=100°，∠AFC=20°．
（3）连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，
∵∠CAD=30°，AO=3，
∴OQ=OA=，
由勾股定理得：AQ=，
由垂径定理得：AC=2AQ=，
∵∠AOC=2∠ABC=120°，
∴阴影部分的面积是S扇形OAC﹣S△AOC=，
答：图中阴影部分的面积是3π﹣．
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求出∠ADC、∠ACD的度数，相减即可；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠BAC，根据三角形的外角性质求出即可；
（3）连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，求出∠AOC的度数，求出高OQ和弦AC，求出扇形和三角形的面积，相减即可．
17．有一类随机事件概率的计算方法：设试验结果落在某个区域S中的每一点的机会均等，用A表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P（A）=．有一块边长为30cm的正方形ABCD飞镖游戏板，假设飞镖投在游戏板上的每一点的机会均等．求下列事件发生的概率：
（1）在飞镖游戏板上画有半径为5cm的一个圆（如图1），求飞镖落在圆内的概率；
（2）飞镖在游戏板上的落点记为点O，求△OAB为钝角三角形的概率．
【答案】解：（1）∵半径为5cm的圆的面积=π 52=25πcm2，
边长为30cm的正方形ABCD的面积=302=900cm2，
∴P（飞镖落在圆内）===；
（2）如图可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形．
∵S半圆= π 152=，
∴P（△OAB为钝角三角形）==．
【解析】【分析】（1）分别计算半径为5cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；
（2）根据题意及结合图形可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形，然后计算以AB为直径的半圆的面积，然后用半圆的面积除以正方形的面积即可求△OAB为钝角三角形的概率．
18．如图1，重庆特色的九宫格火锅分九格：四角格、十字格、中心格（中心格一般为正方形）．隔板的设计有以下两种：①横纵隔板两两垂直交于隔板的三等分点如图2所示；②横纵隔板两两垂直交于圆锅边缘（圆）八等分点如图3所示．已知圆锅直径为40cm．
（1）求图2的中心格面S1；
（2）求两种设计的中心格面积S1与S2差．
【答案】（1）解：如图2，过点O作 OB⊥AP于点B，连接OA，
由题意得：OA＝20cm，AH＝HI＝IP，由中心格是正方形可得：，
设OB＝xcm，则AB＝3x cm，
在Rt△ABO中，
由勾股定理得：x2+9x2＝400，
∴x2＝40，
；
（2）解：如图3，过点C作CF⊥DG，垂足为F，连接CG、DE，
由题意得：CD＝CE＝20cm，CF＝FG，
∵横纵隔板两两垂直交于圆锅边缘八等分点，如图3所示，
∴圆锅边缘每段弧的度数为45°，
∴，∠CGF＝45°，
∴．∠DCG＝∠CGF﹣∠CDF＝22.5°＝∠CDF，
∴，
，
∴在Rt△CDF 中，由勾股定理得：CF2+FD2＝CD2，
即 CF2＝400，
∴
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）过点O作 OB⊥AP于点B，连接OA，则有OA＝20cm，AH＝HI＝IP，进而得到，设OB＝xcm，则AB＝3x cm， 利用勾股定理求得x的值即可求解；
（2）过点C作CF⊥DG，垂足为F，连接CG、DE， 可得CD＝CE＝20cm，CF＝FG，利用圆周角定理求得∠CDF的度数为22.5°，进而得到， 再利用勾股定理求得，从而得到S2 ，即可求解.
19． 为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》(依次用A、B、C表示)三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有《九章算术》的概率．
【答案】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为4种，
所以抽取两本书中有《九章算术》的概率==.
【解析】【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出抽取两本书中有《九章算术》的结果数，然后根据概率公式计算．
20．如图所示，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4 ，BC=3 .求以直角边所在直线为轴，把△ABC 旋转一周得到的圆锥的侧面积.
【答案】解：∵∠C=90°，AC=4 ，BC=3，∴AB=5
若以直角边AC所在直线为轴，则所得圆锥侧面积为π·BC·AB=15π
若以直角边BC所在直线为轴，则所得圆锥侧面积为π·AC·AB=20π
【解析】【分析】利用勾股定理求出AB的长，然后利用圆锥的表面积公式分别减计算即可.
21．盒子中有4个球，每个球上写有1～4中的一个数字，不同的球上数字不同．
（1）若从盒中取三个球，以球上所标数字为线段的长，则能构成三角形的概率是多少？
（2）若小明从盒中取出一个球，放回后再取出一个球，然后让小华猜两球上的数字之和，你认为小华猜和为多少时，猜中的可能性大．请说明理由．
【答案】解：（1）从盒中取三个球，共有1、2、3，1、2、4，1、3、4，2、3、4四种情况
其中能构成三角形的只有2、3、4这一种情况．故P（构成三角形）=；
（2）由题意小华猜和为5时，猜中的可能性大，因为数字5出现的概率最大，为．
【解析】【分析】（1）将所有等可能的结果列举出来，利用三角形的三边关系进行判断后利用概率公式进行计算即可；
（2）确定和为5的概率最大即可得到猜和为多少时猜中的可能性大．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A( 2， 2)，B( 4， 1），C( 4， 4)．
（1）作出 ABC关于原点O成中心对称的 A1B1C1.
（2）作出点A关于x轴的对称点A'.若把点A'向右平移a个单位长度后落在 A1B1C1的内部（不包括顶点和边界），求a的取值范围.
【答案】（1）如下图：
（2）解：A′如图所示。
a的取值范围是4＜a＜6.
【解析】【分析】（1）分别作出点A、B、C关于圆点O对称的点，然后顺次连接即可；
（2）作出点A关于X轴的对称点即可。再向右平移即可。
23．如图1，，是的弦，且，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，若，，，求的半径．
【答案】（1）证明：，
，
，即，
；
（2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，，
，，
又，，
，
，
在中，，
设的半径为，中，，
，
解得，即的半径为13．
【解析】【分析】（1）根据相等弦长所对弧长相等可得，再根据弧之间的关系可得，即AB=CD，即可求出答案.
（2）过点作于点，交于点F，连接，，根据垂径定理可得，，
根据得出，在中，根据勾股定理可得EF=8， 设的半径为，中， 根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案。
（1）证明：，
，
，即，
；
（也可通过证明三角形全等解决）
（2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，，
，，
又，，
，
，
在中，，
设的半径为，中，，
，
解得，即的半径为13．
24．甲、乙、丙、丁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】解：画树状图：
共有12个等可能的结果，其中恰好是甲乙的占2个，
所有恰好选中甲、乙两位同学的概率= =
【解析】【分析】"四选二“事件可分为两步骤，第一步骤4种情况，第二步骤3种情况和上一层的每个分支分别对应，共12种机会均等的结果，关注的结果有2种，套概率公式即可求出结果.
25．如图，在⊙O中有折线BACO，OC=1，AC=，∠A=30°，∠C=90°．求弦AB的长．
【答案】解：如图，延长CO，交AB于点P，过点O作OH⊥AB于点H，
在Rt△PCA中，∠A=30° ，AC=，得PC=2，AP=4，
∴OP=PC-OC=1．
在Rt△POH中，∠OPH=60°，得PH= ，
∴AH= ．由垂径定理，得AB=2AH=7．
【解析】【分析】 如图，延长CO，交AB于点P，过点O作OH⊥AB于点H， 利用含30 ° 角的直角三角形的性质，由AC求出PC与AP，从而可求得OP，同理求得PH，可得AH的长，最后利用垂径定理 ，求得AB的长.
26．川北木偶、川北剪纸、高坪竹编是南充尤为出名的三项传统文化．学校九年级甲、乙两班各有5名同学特别熟悉这三项传统文化中的一项，具体如下表．
项目 川北木偶 川北剪纸 高坪竹编
甲班 2 2 1
乙班 1 2 2
（1）若从甲班5名同学中随机抽取一名，求抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率．
（2）若从两班各5名同学中分别随机抽取一名，求都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率．
【答案】（1）解：由题意可得，从从甲班5名同学中随机抽取一名，一共有5种等可能的结果，其中抽到对川北木偶特别熟悉同学的结果有种，
∴抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率为.
（2）解：分别用A、B、C表示川北木偶、川北剪纸、高坪竹编，
列表如下：
甲乙 A A B B C
A
B
B
C
C
由表格可知，从两班各5名同学中分别随机抽取一名，共有25种等可能出现的结果，其中都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的情况有4种，
都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率．
【解析】【分析】（1）从从甲班5名同学中随机抽取一名，一共有5种等可能的结果，其中抽到对川北木偶特别熟悉同学的结果有2种，从而接利用概率公式计算概率即可；
（2）根据题意，用表格列举出所有等可能的情况数， 由表格可知，从两班各5名同学中分别随机抽取一名，共有25种等可能出现的结果，其中都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的情况有4种， 然后利用概率公式计算概率即可．
（1）解：由题意可得，从从甲班5名同学中随机抽取一名，一共有5种等可能的结果，其中抽到对川北木偶特别熟悉同学的结果有种，
∴抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率为
（2）解：分别用A、B、C表示川北木偶、川北剪纸、高坪竹编，
列表如下：
甲乙 A A B B C
A
B
B
C
C
由表格可知，从两班各5名同学中分别随机抽取一名，共有25种等可能出现的结果，其中都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的情况有4种，
都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率．
27．如图，有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘A，B，每个转盘都被分成3个大小相同的扇形，指针位置固定，游戏规定，转动两个转盘各一次，转盘停止后若A盘指针指示区域数字比B盘指针指示区域数字大则小明胜，否则小亮胜（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．你认为这个游戏规则公平吗？为什么？
【答案】解：这个游戏规则不公平， 列表如下
由上表可知，共有9种等可能的结果，其中A盘指示数字比B盘指示数字大的有4种结果，即（9，3），（9，5），（9，8），（5，3），其它结果5种
∴P（小明胜）= ，P（小亮胜）= ，
∴这个游戏规则不公平.
【解析】【分析】通过列表可知两个转盘指针指向的数字有9种等可能的结果，其中
A盘指示数字比B盘指示数字大的有4种结果，其他情况5种，故P（小明胜）= ，P（小亮胜）= ，小明小亮胜的概率不相等，故游戏不公平。
28．如图，AB是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接AD，GD，AG.
（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明；
（2）已知BE=2，AE=8，求CD的长.
【答案】（1）解：∠AGD=∠ADC，证明如下
∵AB⊥CD
∴
∴∠AGD=∠ADC
（2）解：连接OC
由BE=2，AE=8得AB=10，即半径为5，OE=OB-BE=3，
由勾股定理得CE=，CD=2CE=8，即CD=8.
【解析】【分析】(1)直接由垂径定理即可说明；
(2)由已知可得圆的半径，连接OC，由勾股定理得CE的长，即可得CD的长.
29． 2022年东奥会在北京举办.现有如图所示“2022·北京冬梦之约”的四枚邮票供小明选择，依次记为，背面完全相同.将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好.
（1）小明从中随机抽取一枚，恰好抽到是（冰墽墩）概率是 （直接写出结果）.
（2）小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚.请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是（冰墩墩）和（雪容融）的概率.
【答案】（1）
（2）解：树状图如图所示：
由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中抽到的两枚邮票恰好是（冰墩墽）和（雪容融）的情况有2种，
∴小颖同学抽到的两枚邮票恰好是（冰墽墽）和（雪容融）的概率为.
【解析】【解答】解：（1）小明从中随机抽取一枚，恰好抽到是（冰墽墩）概率是：
故答案为：.
【分析】（1）根据概率计算公式，计算即可求解；
（2）利用树状图法将满足题意的情况全画出来，最后根据概率计算公式，计算即可求解.
30．日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段DE为日晷的底座，点C为日晷与底座的接触点，DE与相切于点C，AB为的直径，点A，B，F均在上，且OA，OB，OF为不同时刻晷针的影长，OF，OB的延长线分别与DE相交于点E，D，连接AC，BC，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵AB为的直径，
∴
∴
∵
∴
即.
（2）解：连接OC，如图，
∵
∴
∵
∴
∴
∵EC为的切线，
∴
∴
∴
∴
∴
∴.
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，得到即进而根据平行线的性质即可求证；
（2）连接OC，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到：进而可证明进而得到进而代入计算即可求解.
31．为响应“非遗进校园”活动，某校开设了四类非遗文化社团：粤剧，粤绣，英歌舞，醒狮，每位同学只能选择其中一个社团参加．学校随机调查了部分参与社团的学生的情况，根据调查结果绘制了不完整的统计图（如图）：
（1）本次共调查了________名学生，其中参与社团的人数是________人；
（2）学校计划从，，，四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中和两个社团的概率．
【答案】（1）50；5
（2）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中同时选中和两个社团的结果有：，，共2种，
同时选中和两个社团的概率为．
【解析】【解答】
（1）
解：本次共调查了（名学生，
参与社团的人数是（人．
故答案为：50；5．
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比可求得本次调查的学生人数；根据各小组频数之和等于样本容量可求得社团的人数；
（2）由题意，列表可得出所有等可能的结果数以及同时选中和两个社团的结果数，再用概率公式计算可求解．
（1）解：本次共调查了（名学生，
参与社团的人数是（人．
故答案为：50；5．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中同时选中和两个社团的结果有：，，共2种，
同时选中和两个社团的概率为．
32．设⊙O的圆心O到直线的距离为d，半径为r，且直线与⊙O相切.d，r是一元二次方程（m+9）x2-（m+6）x+1=0的两根，求m的值.
【答案】解： ∵⊙O的圆心O到直线的距离为d，半径为r，且直线与⊙O相切，
∴d=r，
∵d，r是一元二次方程（m+9）x2-（m+6）x+1=0的两根，
∴△=0，
即[-（m+6）]2-4（m+9） 1=0，
解得：m=0或-8.
【解析】【分析】由直线和圆的位置关系可知，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，于是可得d=r；根据一元二次方程的根的判别式可得b2-4ac=0，把a、b、c的值代入可得关于m的方程，解方程可得m的值。
33．一个不透明的布袋中装有1个红球，1个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，是白球的概率为．
（1）直接写出布袋中白球的个数；
（2）从布袋中先摸出一个球后放回，再摸出一个球，请用列表或画树状图法求两次摸到的球都是白球的概率．
【答案】（1）布袋中白球的个数为2个；
（2）解：根据题意，画出树状图，如下：
一共有16种等可能情况，其中两次都摸到白球的有4次，
∴ 两次摸到的球都是白球的概率为．
【解析】【解答】（1）解：设布袋中白球的个数为x个，根据题意得：
，
解得：．
经检验：是原方程的解，且符合题意，
即布袋中白球的个数为2个；
故答案为：2个
【分析】本题考查列表法或树状图法求概率.
（1）设布袋中白球的个数为x个，根据 从中任意摸出1个球，是白球的概率为 ，利用概率公式可列出方程，解方程可求出x的值，再进行检验可求出答案；
（2）根据题意，先画出树状图，据此可求出等可能情况的结果数，再求出其中两次都摸到白球的结果数，利用概率公式进行计算可求出答案．
（1）解：设布袋中白球的个数为x个，根据题意得：
，
解得：．
经检验：是原方程的解，且符合题意，
即布袋中白球的个数为2个；
（2）解：根据题意，画出树状图，如下：
一共有16种等可能情况，其中两次都摸到白球的有4次，
∴ 两次摸到的球都是白球的概率为．
34．某校在“庆祝建党100周年”系列活动中举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛．九年级某班“班级党史知识竞赛”中，有A，B，C，D四名同学的竞赛成绩为满分．
（1）若该班要随机从4名满分同学中选取1名同学参加学校的党史知识竞赛，A同学被选中的概率是______．
（2）该班4位满分同学中A和B是女生，C和D是男生，若要从4名满分同学中随机抽取两名同学参加学校的党史知识竞赛，请用画树状图或列表的方法求出抽到两名女生的概率．
【答案】（1）
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽到两名女生的结果有2种，
∴选中的2名同学恰好来自同一个班级的概率为．
【解析】【解答】（1）若该班要随机从4名满分同学中选取1名同学参加学校的党史知识竞赛，A同学被选中的概率是，
故答案为：；
【分析】本题考查树状图法求概率.
（1）根据题意4名满分同学中选取1名同学，再利用概率公式进行计算可求出答案；
（2）先画出树状图，据此可得12种等可能的结果，抽到两名女生的结果有2种，再利用概率公式进行计算可求出答案．
（1）若该班要随机从4名满分同学中选取1名同学参加学校的党史知识竞赛，A同学被选中的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽到两名女生的结果有2种，
∴选中的2名同学恰好来自同一个班级的概率为．
35．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为．
（1）求截面中弦的长；
（2）求截面中有水部分弓形的面积．
【答案】（1）解：如图：
作交于，连结
∴OB=12cm.
是圆心，，
cm，
(cm)，
（cm），
cm．
即弦AB长cm.
（2）解：连结
，，
，
(cm2)．
即截面中有水部分弓形的面积为cm2．
【解析】【分析】（1）连接OB，作交于，于是OB=12，OC=6，AC=BC.利用勾股定理可求出BC长，从而可得AB长；
（2）根据OB=2OC可得到∠BOC度数，从而得∠AOB.弓形面积=对应圆心角的扇形面积－三角形面积.
36．已知：AB为⊙O的直径，∠A=∠B=90°，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为，AD=2．
①求BC的长；
②延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．
【答案】解：①过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB为⊙O的直径，∠A=∠B=90°，
∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，
∴DF=AB=2，BF=AD=2，
∵DE与⊙O相切，
∴DE=AD=2，CE=BC，
设BC=x，
则CF=BC﹣BF=x﹣2，DC=DE+CE=2+x，
在Rt△DCF中，DC2=CF2+DF2，
即（2+x）2=（x﹣2）2+（2）2，
解得：x= ，
即BC=；
②∵AB为⊙O的直径，∠A=∠B=90°，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△GCE，
∴AD：CG=DE：CE，AE：EG=AD：CG，
∵AD=DE=2，
∴CG=CE=BC=，
∴BG=BC+CG=5，
∴AE：EG=4：5，
在Rt△ABG中，AG= =3，
∴EG=AG=．
【解析】【分析】①过点D作DF⊥BC于点F，由切线长定理可得DE=AD=2，CE=BC，设BC=x，由在Rt△DCF中，DC2=CF2+DF2，即可得方程（2+x）2=（x﹣2）2+（2）2，解此方程即可求得答案；
②易证得△ADE∽△FEC，由相似三角形的对应边成比例，可得AE：EG=4：5，由勾股定理即可求得AG的长，继而求得答案．
37．有两个布袋，甲袋中装有两个完全相同的球，分别标有数字“1”“2”；乙袋中装有三个完全相同的球，分别标有数字“1”“2”“3”．小颖和小明共同设计了一个游戏：小颖每次从甲袋中随机摸出一个球，小明就从乙袋中随机摸出一个球．如果小颖所摸球上的数字与小明所摸球上的数字之和为偶数，则小颖获胜；如果和为奇数，则小明获胜．你认为这个游戏公平吗？请用概率知识说明理由．
【答案】解：根据已知画出树状图：
所以每次游戏可能出现的结果为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6种．
此时，小颖获胜的概率为，小明获胜的概率也为．
所以游戏公平．
【解析】【分析】根据已知甲袋中装有两个完全相同的球，分别标有数字“1”“2”；乙袋中装有三个完全相同的球，分别标有数字“1”“2”“3”，得出树状图，求出即可．
38．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的民族性运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径 ，圆柱体部分的高 ，圆锥体部分的高 ，求出这个陀螺的表面积（结果保留 ）.
【答案】解：
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴在 中， .
∴所求表面积
.
【解析】【分析】利用已知条件可得到在Rt△ECD中，DE=4，CD=3，利用勾股定理求出EC的长，然后利用 陀螺 的表面积=底面圆的面积+圆柱的侧面积+圆锥的侧面积列式计算即可.
39．某机械传动装置在静止时如图，连杆PB与点B运动所形成的⊙O交于点A，测得PA=4cm，AB=6cm，⊙O半径为5cm，求点P到圆心O的距离．
【答案】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
∵AB=6cm，
∴AD=BD= AB=3，
∴PD=PA+AD=4+3=7．
在Rt△AOD中，
∵OA=5，
∴OD= = =4．
在Rt△OPD中，OP= = = ．
【解析】【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AD=BD= AB=3，根据PD=PA+AD可得出PD的长，再根据勾股定理求出OD及OP的长即可．
40．2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加知识竞赛的学生共有 人；
（2）扇形统计图中， ，等级对应的圆心角为 度；
（3）小永是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选人，参加区举办的知识竞赛，求小永被选中参加区知识竞赛的概率．
【答案】（1）40
（2），
（3）设小永用表示，其他三位同学分别用、、，从中任意选取人，所有可能出现的情况如下：
共有种等可能出现的情况，其中小永被选中的有种，
所以小永被选中参加区知识竞赛的概率为．
【解析】【解答】（1）（人），
故答案为：，
（2），．
故答案为：，；
【分析】
本题主要考查条形统计图与扇形统计图综合，用列表法或树状图法求概率；
（1）根据等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数=12÷30%；
（2）m=等级的频数除以总人数；圆心角度数=°乘以等级所占的比例即可；
（3）树状图表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可．
41．如图，AB是⊙O的直径， = ，且AB=5，BD=4，求弦DE的长．
【答案】解：连接AD，
∵ = ，
∴AD=DE，
又∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=5，BD=4，
∴DE=AD= =3，
∴DE的长为3．
【解析】【分析】连接AD，在Rt△ABD中利用勾股定理求出AD，根据等弧对等弦得出AD=DE．
42．2010年2月中旬，沿海各地再次出现用工荒，甲乙两人是技术熟练的工人，他们参加一次招聘会，听说有三家企业需要他们这类人才，虽然对三家企业的待遇状况不了解，但是他们一定会在这三家企业中的一家工作．三家企业在招聘中有相同的规定：技术熟练的工人只要愿意来，一定招，但是不招在招聘会中放弃过本企业的工人．甲乙两人采用了不同的求职方案：
甲无论如何选位置靠前的第一家企业；而乙则喜欢先观察比较后选择，位置靠前的第一家企业，他总是仔细了解企业的待遇和状况后，选择放弃；如果第二家企业的待遇状况比第一家好，他就选择第二家企业；如果第二家企业不比第一家好，他就只能选择第三家企业．
如果把这三家企业的待遇状况分为好、中、差三个等级，请尝试解决下列问题：
（1）好、中、差三家企业按出现的先后顺序共有几种不同的可能？
（2）你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己找到待遇状况好的企业的可能性大？请说明理由？
【答案】解：（1）按出现的先后顺序共有6种不同的情况：①好中差，②好差中，③中好差，④中差好，⑤差好中，⑥差中好．
（2）设甲找到待遇状况好的企业的概率为P甲，乙找到待遇状况好的企业的概率为P乙．，，
∵P甲＜P乙，
∴乙找到好工作的可能性大．
【解析】【分析】（1）列举出所有情况即可；
（2）分别算出相应可能性，比较即可
43．（1）如图1，PA、PB是⊙O的两条弦，AB为直径，C为的中点，弦CD⊥PA于点E，写出AB与AC的数量关系，并证明；
（2）如图2，PA、PB是⊙O的两条弦，AB为弦，C为劣弧的中点，弦CD⊥PA于E，写出AE、PE与PB的数量关系，并证明．
【答案】解：（1）AB=AC．理由如下：∵AB为直径，C为的中点，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC；（2）AE=PB+PE．理由如下：在AE上截取AF=BP，连结AC、BC、FC、PC，如图2，∵C为劣弧的中点，即=，∴AC=BC，在△CAF和△CBP中：，∴△CAF≌△CBP，∴CF=CP，∵弦CD⊥PA于E，∴EF=EP，∴AE=AF+EF=PB+PE．
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和勾股定理得到AB=AC；
（2）在AE上截取AF=BP，连结AC、BC、FC、PC，如图2，由= 得到AC=BC，再证明△CAF≌△CBP，得到CF=CP，由于弦CD⊥PA于E，根据等腰三角形的性质得EF=EP，于是有AE=PB+PE．
44．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
【答案】解：如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC＝
∵AD平分∠CAB，
∴ ，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝5 ；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可得∠CAB＝∠BDC＝90°，利用勾股定理求出AC的长，再利用圆心角、弧、弦的关系可得DC=BD，在等腰直角△BDC中利用勾股定理求出BD、CD即可；
（2）连接OB，OD，证明△OBD是等边三角形，从而得出BD＝OB＝OD=5．
45．如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当DE=1，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵点D在圆上，
∴DE为⊙O的切线.
（2）解：∵∠C=30°，DE=1，∠DEC=90°，
∴DC=2，
∵OD∥BC，
∴∠ODA=30°，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°，
∴OA= ，
∴阴影部分面积S= ﹣ ×2× = ﹣ ．
【解析】【分析】（1）根据中位线的性质，可得出OD⊥DE，得知DE为圆的切线。
（2）根据OA的长度以及扇形面积的公式求出扇形面积，再减去三角形的面积可得出阴影部分面积。
46．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径R=5，tanA=，求线段CD的长．
【答案】解：（1）直线DE与⊙O相切．
理由如下：连接OD．
∵OA=OD
∴∠ODA=∠A
又∵∠BDE=∠A
∴∠ODA=∠BDE
∵AB是⊙O直径
∴∠ADB=90°
即∠ODA+∠ODB=90°
∴∠BDE+∠ODB=90°
∴∠ODE=90°
∴OD⊥DE
∴DE与⊙O相切；
（2）∵R=5，
∴AB=10，
在Rt△ABC中
∵tanA==
∴BC=AB tanA=10×=，
∴AC===，
∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB
∴△BCD∽△ACB
∴
∴CD===．
【解析】【分析】（1）连接OD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出OD⊥DE，进而得出答案；
（2）得出△BCD∽△ACB，进而利用相似三角形的性质得出CD的长．
47．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
【答案】（1）解：连接OB，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC= ∠BOC=45°；
（2）解：过点O作OE⊥BC于点E， ∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2，∴BE= ∴BC=2BE=2×
【解析】【分析】（1）由圆内接正方形的性质可知，正方形ABCD的中心角为90°，根据同圆或等圆中圆周角等于圆心角的一半，可以求得∠BPC的度数；
（2）由题意可知，OB=OC=8，再由解直角三角形可以求得BC的长。
48．如图在等边中，的平分线交轴于点D，C的坐标为
（1）如图1，求点坐标.
（2）如图2，为轴上任意一点，以CE为边，在第一象限内作等边，延长FB交轴于点，求OG的长.
（3）如图3，在（1）条件下，M为轴正半轴上点上方的任意一点，在BM右上方作交AD延长线于点，求证：是定值.
【答案】（1）解：如图1中，
为等边三角形，
而，
在中， ，
为的平分线，
，
，
点坐标为
（2）解：如图2，作于，轴于，
为等边三角形，
，
，
，
，
而，
，
在和中，
，
，
平分，
，
，
，
．
（3）解：在上截取，连接，如图3，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
而，
为等边三角形
，
，
，
，
点四点共圆，
，
在和中，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得，利用角平分线的性质得出，即可求出；
（2）作于，轴于，由为等边三角形得到，根据四边形内角和得到，根据等角的补角相等得，则可证明，根据角平分线的判定得平分，然后利用进行计算即可；
（3）在上截取，连接，通过证明，得到，则，即可证出最终结果．
49．如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径是6cm，下底面直径为4cm，母线长为EF=8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用 表示） ．
【答案】解：设扇形OAB的圆心角为n°
弧长AB等于纸杯上开口圆周长：
弧长CD等于纸杯下底面圆周长：
可列方程组 ，解得
所以扇形OAB的圆心角为45°，OF等于16cm
纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积即
S纸杯表面积
【解析】【分析】设扇形OAB的圆心角为n°，然后根据弧长AB等于纸杯上开口圆周长和弧长CD等于纸杯下底面圆周长，列关于n和OF的方程组，解方程组可得出n和OF的值，然后根据纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积，计算即可．
50．某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径，杯底直径，杯壁母线．请你解决下列问题：
（1）小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．
①图2中弧的长为______，弧的长为______；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧所在圆的圆心，如图3所示．求弧所在圆的半径及它所对的圆心角的度数．
（2）小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．
【答案】（1）①，；
②证明：设它所对的圆心角的度数为，
的长，的长，
所以，
，
而，
解得，
即，
因为，
解得；
（2）如图4，连接，，它们相交于点，
四边形为正方形，
，，
，，
为等边三角形，
，
易证，
，
，
垂直平分，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
即正方形纸片的边长为．
【解析】【解答】（1）①杯口圆的半径为，杯底圆的半径为，
，，
故答案为，；
【分析】
（1）①直接根据圆的周长公式计算；
②设它所对的圆心角的度数为，根据弧长公式分别得到和的长，然后把它们相比即可得到，得，加上，可求得，再利用弧长公式得到，于是可求出；
（2）如图4，连接，，它们相交于点，先证明为等边三角形得到，再证明，于是可判断垂直平分，所以，由勾股定理计算出，由为等腰直角三角形和得到，则，然后根据正方形的性质得．
（1）解：①杯口圆的半径为，杯底圆的半径为，
，，
故答案为，；
②证明：设它所对的圆心角的度数为，
的长，的长，
所以，
，
而，
解得，
即，
因为，
解得；
（2）解：如图4，连接，，它们相交于点，
四边形为正方形，
，，
，，
为等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
即正方形纸片的边长为．
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