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【精选热题·期末50道解答题专练】华东师大版数学八年级上册总复习
1．（1）若有理数x，y满足|x|＝8，|y|＝3，且|x+y|＝|x|+|y|，求x+y的值；
（2）若a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值为5，求的值．
2．下面的计算是否正确 如果不正确，应当怎样改正
（1）
（2）
（3）
（4）
3．下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解
(1)x+2y=(x+y)+y；
(2)p(q+h)= pq+ ph；
(3)
4)
4．下列各命题是真命题还是假命题 请说明理由.
（1）两个锐角的和是锐角；
（2）等角的余角相等；
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
5．已知的立方根是，算术平方根是3．
（1）求a、b的值；
（2）求的平方根．
6．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接．
（1）求证：；
（2）求的度数．
7．如图，在平面直角坐标系中，△COB的外接圆⊙M与y轴交于点．
（1）求OB的长．
（2）求CB的长．
8．如图所示，已知于点D，于点E，交于点G，交的延长线于点F，且．问：平分吗？并说明理由．
9．如图，已知： ，求 度数.
10．求下列各式中的x的值：（x+10）3=﹣343．
11．把，0，-2，|-3|表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“<”号连接．
（1）在数轴上把它们表示出来：
（2）用“<”号连接： .
12．学过勾股定理后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长米如图；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离为米，到旗杆的距离为米如图．根据以上信息，求旗杆的高度．
13．在中，，尺规作图的痕迹如图所示，若，，求线段CD的长．
14．写出定理“等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线相互重合”的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．
15．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉之间的距离AB的长为250m.现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m.
（1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长；
（2）试说明∠BMA=90°.
16．如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A 和B. 连接AC并延长到点D，使CD =CA. 连接BC 并延长到点E，使CE =CB. 连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
17．如图，在等腰 中， 是顶角， 是边 上任意一点（不与点 、 重合），过点 作 于点 ，交 的延长线于点 ，若 ，求 的度数.
18．如图∠B=90 ，AB＝16cm，BC＝12cm，AD＝21cm，CD=29cm，求四边形ABCD的面积.
19． 在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高线，∠ABD＝30°，求∠C的度数．
20．如图， 是 平分线上的一点，若 ，
证明：
21．如图，已知DE∥BC，∠ADE=∠EFC，试说明∠1=∠2的理由．
22．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形，
（1）若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要各型号卡片各多少张
（2）若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片9张，再取型卡片4张，还需型卡片 张.
（3）用一张型卡片，一张型卡片，一张型卡片紧密拼接成如下图所示的图形，若阴影部分的面积为型卡片的面积为48，求的值.
23．如图，已知三角形ABC中，点D、F、G在一条直线上，已知，，试判断∠C与∠AED的大小关系，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由．
解：结论：．理由如下：
∵（已知），
（ ），
∴（ ），
∴（ ），
∴（ ），
∵（已知），
∴ ，（ ），
∴（ ），
∴（ ）．
24．一个三角形三边长的比为3：4：5，它的周长为60，求这个三角形的面积。
25．若5a+1和a﹣19是数m的平方根，求m的值．
26．四边形中，，，，且于B．求的度数；
27．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
28．在ΔABC中，AB>BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D点，交AC于点E.
（1）若∠ABE=40°，求∠EBC的度数；
（2）若ΔABC的周长为41cm，一边为15cm，求ΔBCE的周长.
29． 在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）﹔在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）．
（1）图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是，（图①，图②长方形的长均为a个单位，宽均为b个单位），则 ， ， （填“＞”或“＝”或“＜”）﹔
（2）如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长和宽分别是多少m？
（3）如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5200元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5200元够吗？并说明理由．
30．若 ，求m的值.
31．如图，太阳光线AC与是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗 说说你的理由。
32．如图，已知 于点 ， ， 平分 ， .求 的度数.
33．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，点F在线段CD上，且∠3＝∠B
（1）求证：DE∥BC；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝4∠B，求∠1．
34．综合应用：在学习《完全平方公式》时，某兴趣小组发现：已知，，可以在不求a、b的值的情况下，求出的值．具体做法如下：
．
（1）若，，则 ；
（2）若m满足，求的值，同样可以应用上述方法解决问题．具体操作如下：
解：设，，
则，，
所以．
请参照上述方法解决下列问题：
①若，求的值；
②若，求的值；
（3）如图，某校园艺社团在三面靠墙的空地上，用长11米的篱笆（不含墙）围成一个长方形的花圃，面积为15平方米，其中墙足够长，墙墙，墙墙．随着学校社团成员的增加，学校在花圃旁分别以边向外各扩建两个正方形花圃，以边向外扩建一个正方形花圃（扩建部分如图所示虚线区域部分），求花圃扩建后增加的面积．
35．如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远的一个直角三角形空地斜边上的高进行了探究：两人在直角边 上距直角顶点 为 米远的点 处同时开始测量，点 为终点.小娟沿 的路径测得所经过的路程是 米，小燕沿 的路径测得所经过的路程也是 米，这时小娟说我能求出这个直角三角形的空地斜边上的高了，小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的空地斜边上的高了.你能求出这个直角三角形的空地斜边上的高吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由.
36．如图，在中，已知，D是斜边BC的中点，交AB于点E，连接CE.
（1）求证：；
（2）若，，求的周长.
37．如已知：如图，四边形 中 ， ， ，且 ．试求 的度数．
38．如图，，，，求证．
39．如图，是的角平分线，是的边上的中线．
（1）若的周长为13，，，求的长度；
（2）若，的面积为10，，求点到的距离．
40．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC=90°，CD=6m，AD=8m，BC=24cm，AB=26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？
41．已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，求它的周长.
42．如图，为修通铁路凿通隧道 ，量出 ， ， ， ，若每天凿隧道 ，问几天才能把隧道 凿通？
43．阅读第(1)题的解法，再解答第(2)题．
已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值．
解：因为
即5-a× =(2b-a)+ ×
所以2b-a=5，-a=
解得a=，b=
设x，y是有理数，并且满足x2+y×+2y=-4×+17，求×+y的值．
44．如图，在△ABC中，AB=AC ，点D在边BC上(点D不与点B，点C重合)，作∠ADE=∠B，DE交边AC于点E．
（1）求证：∠BAD=∠CDE；
（2）若DC=AB，求证：△ABD≌△DCE ；
（3）当∠B=50°，且△ADE是等腰三角形时，直接写出∠BDA的度数．
45．已知x，y为实数，且满足 ，求 的值.
46．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（1）如图1，当PM=AP，PN=BP且∠APM=∠BPN=90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，(Ⅰ)中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（3）在(2)的条件下，连接AB得到图3，当PN=2PM时，求∠PAB度数．
47．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得．
（1）请判断的形状，并说明理由．
（2）求的度数．
48．某地汛期来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图1，灯A射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯 B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯 A 转动的速度是a°/秒，灯 B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a-3b|+(a+b-4) =0.假定这一带江堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°.
（1）求a，b的值.
（2）若灯 B射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯 B射线到达BQ 之前，灯 A 转动几秒，两灯的光束互相平行
（3）如图2，两灯同时转动，在灯 A 射线到达AN 之前，若两灯射出的光束相交于点C，过点C作CD⊥AC，交 PQ 于点 D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC的值是否发生变化 若不变，请求出该值；若改变，请求出其取值范围.
49．某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表；
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
九（1）
85
九（2） 85
100
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
（3）计算两班复赛成绩的方差．
50．A，B，C，D，E，F是六名嫌疑人．审讯他们时，他们的供词如下：
A：“B、F作案了．” B：“D、A作案了．”
C：“B、E作案了．” D：“A、C作案了．”
E：“F、A作案了．”
已知：案件是两人合伙所干，上述供词中有一人是假话，另四人是半真半
假．问哪两人是罪犯
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【精选热题·期末50道解答题专练】华东师大版数学八年级上册总复习
1．（1）若有理数x，y满足|x|＝8，|y|＝3，且|x+y|＝|x|+|y|，求x+y的值；
（2）若a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值为5，求的值．
【答案】（1）解：∵ |x|＝8，|y|＝3，
∴ |x+y|＝|x|+|y| =11，
∴x+y=11或x+y=-11.
（2）解：∵ a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值为5，
∴a+b=0，cd=1，=5，
∴=-1，m=5或-5，
当m=5时， =0-1+（-1）×5=-6；
当m=-5时， =0-1+（-1）×（-5）=4；
因此的值为-6或4.
【解析】【分析】（1）根据题意得|x+y|=11，再根据绝对值的性质求出x+y的值即可.
（2）根据题意得a+b=0，cd=1，从而得=-1，再代入代数式求值即可.
2．下面的计算是否正确 如果不正确，应当怎样改正
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：不正确，改为a5
（2）解：不正确，改为x4
（3）解：不正确，改为y8
（4）解：正确
【解析】【分析】 (1)根据单项式乘法法则，系数相乘为 3 × 2 = 6 ，字母部分 a3 · a2= a3 + 2= a 5 ，故正确结果应为 6 a5，解答即可；
(2) 根据单项式乘法法则，系数相乘为 3 × （-4） = -12 ，字母部分 x2 · x2= x2 + 2= x4，故正确结果应为-12 x4，解答即可；
(3)根据单项式乘法法则，系数相乘为 5 × 3 = 15，字母部分y3 · y5= x3 + 5= y8，故正确结果应为15y8，解答即可；
(4)根据单项式乘法法则和积的乘方判断结果正确，解答即可.
3．下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解
(1)x+2y=(x+y)+y；
(2)p(q+h)= pq+ ph；
(3)
4)
【答案】解：（1）∵等式的右边不是几个因式的积，
∴从左到右的变形不是因式分解；
（2）∵等式的右边不是几个因式的积，
∴从左到右的变形不是因式分解；
（3）∵等式的右边不是几个因式的积，
∴从左到右的变形不是因式分解；
（4）∵等式的右边是两个因式的积，
∴从左到右的变形是因式分解.
【解析】【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式”并结合各选项可判断求解.
4．下列各命题是真命题还是假命题 请说明理由.
（1）两个锐角的和是锐角；
（2）等角的余角相等；
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【答案】（1）解： 与 的和为直角，所以 (1)为假命题
（2）解：等角的余角相等，所以 (2)为真命题
（3）解：在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，所以 (3)为真命题
【解析】【分析】（1）利用反例进行判断；
（2）根据余角的定义进行判断.
（3）根据垂线的性质进行判断.
5．已知的立方根是，算术平方根是3．
（1）求a、b的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是，算术平方根是3．
∴，，
解得：，；
（2）解：由（1）可得，，
∴，
∴的平方根为．
【解析】【分析】（1）如果一个数x的立方等于a，则这个数x就是a的立方根，据此得出，如果一个数x的平方等于a，则这个数x就是a的平方根，据此得，求解即可；
（2）先将（1）求出的a、b的值代入计算出结果，再根据平方根定义求出平方根即可．
（1）解：∵的立方根是，算术平方根是3．
∴，，
解得：，；
（2）解：由（1）可得，，
∴，
∴的平方根为．
6．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得、、是等腰三角形，
设，依题意得
，
解得，
，
为度
【解析】【分析】（1）利用正方形得AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°；根据等边三角形的性质得BE=CE，∠EBC=∠ECB=60°，推出∠ABE=∠DCE，由SAS证△ABE≌△DCE，由全等三角形的性质可得AE=DE；
（2）设，由（1）得、、是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，列方程求解即可．
7．如图，在平面直角坐标系中，△COB的外接圆⊙M与y轴交于点．
（1）求OB的长．
（2）求CB的长．
【答案】（1）解：连接AB，
∵
∴∠BAO=60°
在△AOB中，tan60°=，即，得OB=
（2）解：连接CM，
∵由(1)知AB=2OA=4，
∴MB=MC=2，
∵
∴∠BMC=90°
由勾股定理得CB=，CB=
【解析】【分析】(1)连接AB知∠BAO=60°，由正切值可得OB的长；
(2)连接CM，由(1)知AB的长，即知半径长，由勾股定理得BC的长.
8．如图所示，已知于点D，于点E，交于点G，交的延长线于点F，且．问：平分吗？并说明理由．
【答案】解：平分．
理由：∵，，
∴
∴，
∴，．
又∵，
∴，
∴平分．
【解析】【分析】先根据垂直得到，进而根据平行线的判定与性质即可得到，，进而结合题意运用角平分线的判定即可求解。
9．如图，已知： ，求 度数.
【答案】解：∵∠A=135°，∠B=45°，
∴∠A+∠B=135°+45°=180°，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠BFE=68°，
∵∠BFE=∠2，
∴∠2=68°.
【解析】【分析】由已知条件可得∠A+∠B=180°，推出AD∥BC，得到∠1=∠BFE=68°，然后根据对顶角的性质进行解答.
10．求下列各式中的x的值：（x+10）3=﹣343．
【答案】解：方程两边开立方得，x+10= ，即x+10=﹣7，即x=﹣17
故x=﹣17．
【解析】【分析】直接利用开方法求出x的值即可．
11．把，0，-2，|-3|表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“<”号连接．
（1）在数轴上把它们表示出来：
（2）用“<”号连接： .
【答案】（1）解：在数轴上表示各数如下，
（2）-2<0<<|-3|
【解析】【解答】解：（2）由数轴上的点所表示的数，右边的总是大于左边的可得-2<0<<|-3|.
故答案为：-2<0<<|-3|.
【分析】（1）在数轴上表示各数即可；
（2）利用数轴比较大小：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
12．学过勾股定理后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长米如图；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离为米，到旗杆的距离为米如图．根据以上信息，求旗杆的高度．
【答案】解：设米，
则，，
，
，
即：，
，
，
．
答：旗杆的高度为米．
【解析】【分析】利用勾股定理列方程求出 ， 再解方程即可。
13．在中，，尺规作图的痕迹如图所示，若，，求线段CD的长．
【答案】解：由作法得：平分，，
，即，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
即．
【解析】【分析】由角平分线的性质可得CD=DE，根据HL证明， 可得AE=AC=2，BE=AB-AC=3， 在中 ，由勾股定理求出BC=， 设，则， 在中 ，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
14．写出定理“等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线相互重合”的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．
【答案】解：原命题的逆命题为：
如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，求证：△ABC是等腰三角形.
该命题的逆命题是真命题，理由如下：
证明：平分，
.
又，
，
，
是等腰三角形.
∴该命题的逆命题是真命题.
【解析】【分析】一个命题包括题设与结论两部分，题设一般用如果领起，结论一般用那么领起，将一个命题的题设与结论互换位置即可得出该命题的逆命题；由垂直及角平分线定义可得∠ADC=∠ADB=90°，∠CAD=∠BAD，从而用ASA判断出△CAD≌△BAD，由全等三角形的对应边相等得AB=AC，从而根据等腰三角形的判断方法可得△ABC是等腰三角形，据此可得结论该命题的逆命题是真命题.
15．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉之间的距离AB的长为250m.现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m.
（1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长；
（2）试说明∠BMA=90°.
【答案】（1）解：由题意可知MN⊥AB，
在Rt△MNB中，，
∴AN=AB-BN=250-90=160（m）.
在Rt△AMN中，，
∴供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为200m
（2）证明：∵AB=250m，AM=200m，BM=150m，
∴
∴△ABM是直角三角形，
∴∠AMB=90°.
【解析】【分析】（1）根据题意得到MN⊥AB，进而根据勾股定理求出BN，从而得到AN，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理得到则△ABM是直角三角形，从而即可求解。
16．如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A 和B. 连接AC并延长到点D，使CD =CA. 连接BC 并延长到点E，使CE =CB. 连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
【答案】解：连接 ，由题意：
在△ACB与△DCE中，
.
即 的长就是 的距离.
【解析】【分析】本题考查三角形全等判定方法：ASA ，SAS ，AAS ，HL（直角三角形特有判定），本题使用SAS 。注意：SSA或ASS不能判定三角形全等。
17．如图，在等腰 中， 是顶角， 是边 上任意一点（不与点 、 重合），过点 作 于点 ，交 的延长线于点 ，若 ，求 的度数.
【答案】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝ ＝90°﹣ ∠A=90°﹣15°=75°，
∵MN⊥AB，
∴∠BNM＝90°，
∴∠NMB＝180°－90°﹣∠B=15°.
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B，然后在Rt△BMN中利用三角形内角和定理即可求得答案.
18．如图∠B=90 ，AB＝16cm，BC＝12cm，AD＝21cm，CD=29cm，求四边形ABCD的面积.
【答案】解：∵△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，
∴AC＝ ，
∵△ACD中，AD＝21cm，CD＝29cm，AC＝20cm，212＋202＝841＝292，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ ×AB×BC＋ ×AD×AC＝ ×16×12＋ ×21×20＝306cm2.
故答案是306.
【解析】【分析】先根据△ABC是直角三角形求出AC的长，再根据△ACD各边的长判断出△ACD是直角三角形，再利用S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD解答.
19． 在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高线，∠ABD＝30°，求∠C的度数．
【答案】解：
如图1，∵BD为AC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠A＝60°，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠C＝＝60°，
如图2，∵BD为AC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠BAD＝60°，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠C＝30°，
综上所述：∠C的度数为：60°或30°．
故答案为：60°或30°．
【解析】【分析】由题可知△ABC为等腰三角形，∠C的度数分两种情况讨论，即∠A为锐角与∠A为钝角时，根据∠ABD=30°，BD为AC边上的高求解即可。
20．如图， 是 平分线上的一点，若 ，
证明：
【答案】证明：过点D作 于点G， 于点H，则
是 平分线上的一点
在 和 中
即
【解析】【分析】过点D作 于点G， 于点H，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出DG=DH，根据同角的补角相等得出 ，由AAS可证 ，由全等的性质可得结论.
21．如图，已知DE∥BC，∠ADE=∠EFC，试说明∠1=∠2的理由．
【答案】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC（两直线平行，同位角相等），
又∵ ∠ADE=∠EFC ，
∴ ∠ABC=∠EFC ，
∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.
【解析】【分析】由两直线平行，同位角相等，得∠ADE=∠ABC，结合已知，由等量代换得∠ABC=∠EFC ，然后根据同位角相等，两直线平行，得AB∥EF，进而根据两直线平行，内错角相等，得∠1=∠2.
22．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形，
（1）若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要各型号卡片各多少张
（2）若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片9张，再取型卡片4张，还需型卡片 张.
（3）用一张型卡片，一张型卡片，一张型卡片紧密拼接成如下图所示的图形，若阴影部分的面积为型卡片的面积为48，求的值.
【答案】（1）解：拼成的长方形面积为：，
需要型号卡片3张，双型号卡片7张，型号卡片2张；
答：需要型号卡片3张，这型号卡片7张，"飞型号卡片2张
（2）12
（3）解：型卡片的面积为48，
又阴影部分的面积为32，
解得：（负值已舍去），
又，
，
【解析】【解答】解：（2）∵9张A型卡片的面积是9a2=（3a）2，4张B型卡片的面积是4b2=（2b）2，要想再由一些C型卡片拼成正方形，正方形的面积=边长×边长。∴它们的面积和必须构成完全平方式。∴（3a）2+12ab+（2b）2=（3a+2b）2.∴需要C型卡片12张.
【分析】（1）按照要求： 用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形， 可知：新长方形的面积=，所以可以得出结论：需要A型号卡片3张，C型号卡片7张，B型号卡片2张.
（2）因为9张A型卡片的面积是9a2=（3a）2，4张B型卡片的面积是4b2=（2b）2，要想再由一些C型卡片拼成正方形，正方形的面积=边长×边长。它们的面积和必须构成完全平方式。而（3a）2和（2b）2只有和12ab才能配成完全平方式（3a+2b）2，所以需要C型卡片12张.
（3）由C型卡片的面积为48，可知：由.而阴影部分的面积为32，进而可得方程进而解方程，求出a的值。（由于是实际问题，负值要舍去），再由ab=48，进而求出b的值即可.
23．如图，已知三角形ABC中，点D、F、G在一条直线上，已知，，试判断∠C与∠AED的大小关系，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由．
解：结论：．理由如下：
∵（已知），
（ ），
∴（ ），
∴（ ），
∴（ ），
∵（已知），
∴ ，（ ），
∴（ ），
∴（ ）．
【答案】解：．理由如下：
∵（已知），
（邻补角的定义），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴，（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）．
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质求解即可。
24．一个三角形三边长的比为3：4：5，它的周长为60，求这个三角形的面积。
【答案】解：∵三边长的比为3：4：5，它的周长是60cm，
∴三边长的比分别为：60× =15cm，60× =20cm，60× =25cm，
∵152+202=252，
∴这个三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积是：15×20÷2=150cm2.
【解析】【分析】由三角形三边的比和周长可求得三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理即可判断
这个三角形是直角三角形， 则三角形的面积即可求解。
25．若5a+1和a﹣19是数m的平方根，求m的值．
【答案】解：根据题意得：（5a+1）+（a﹣19）=0，
解得：a=3，
则m=（5a+1）2=162=256
【解析】【分析】由平方根的意义可知一个数的平方根互为相反数，所以可根据互为相反数的两个数的和为0可得关于a的方程（5a+1）+（a﹣19）=0，解方程即可求m的值。
26．四边形中，，，，且于B．求的度数；
【答案】解：如图，连接，
在中，
因为，
所以，
由勾股定理得；
在中，
因为，，，
所以，
所以，
所以．
【解析】【分析】连接，根据勾股定理可得AC，再根据勾股定理逆定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
27．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
【答案】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2
∴x2+52=（x+1）2
解得x=12
∴AB=12
∴旗杆的高12m．
【解析】【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
28．在ΔABC中，AB>BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D点，交AC于点E.
（1）若∠ABE=40°，求∠EBC的度数；
（2）若ΔABC的周长为41cm，一边为15cm，求ΔBCE的周长.
【答案】解：（1）∵AB=AC，DE是AB的垂直平分线，
∴∠A=∠ABE=40°．
∴∠ABC=∠ACB=（180°-40°）÷2=70°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=70°-40°=30°．
（2）∵△ABC的周长为41cm，一边长为15cm，AB＞BC，
当BC=15cm时，则AB=AC=（41-15）÷2=13cm，此时AB＜BC，与AB＞BC矛盾，舍去；
∴AB=AC=15cm，BC=41-15×2=11cm．
根据垂直平分线的性质可得BE=AE，
∴BE+CE=AE+CE=AC，
∴△BCE周长=BE+CE+BC=AC+BC=15+11=26cm．
【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得∠A=∠ABE =40°，然后根据三角形的内角各定理求出∠ABC=∠ACB=70°，最后作差即可求出答案；（2）根据等腰三角形的性质，结合AB＞BC可以计算得出AC=AB=15cm，然后利用线段垂直平分线的性质证明BE+CE=AC，最后即可得出ΔBCE的周长
29． 在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）﹔在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）．
（1）图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是，（图①，图②长方形的长均为a个单位，宽均为b个单位），则 ， ， （填“＞”或“＝”或“＜”）﹔
（2）如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长和宽分别是多少m？
（3）如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5200元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5200元够吗？并说明理由．
【答案】（1）；；
（2）解：设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，则：
，
（负值舍负），
长方形场地的长，
长方形场地的宽．
（3）解：设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为，
则，
（负值舍去），
长方形场地的宽，
长方形场地的长，
则两条小路的总面积为：，
将两条小路改铺成鹅卵石路面的总费用元，
，
．
答：总预算5200元够．
【解析】【解答】解：（1）由平移得： S1=b(a-1)，S2=b(a-1)，
∴ S1=S2；
故答案为：b(a-1)，b(a-1)，=；
【分析】（1）根据平移的性质，即可求得；
（2）根据正方形的面积和平移的性质，即可求得；
（3）设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为，根据长方形的面积即可求得长方形的长和宽，再求出两条小路的面积，根据每平米的费用×面积=总费用求出总费用，再与5200作比较，即可求得.
30．若 ，求m的值.
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
【解析】【分析】利用同底数幂的乘法化简，即可得到，再计算即可。
31．如图，太阳光线AC与是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗 说说你的理由。
【答案】解：影子一样长．
证明：∵AB⊥BC，A'B'⊥B'C'
∴∠ABC=∠A'B'C'=90°
∵AC∥A'C'
∴∠ACB=∠A'C'B'
在△ABC和△A'B'C'中，
∠ABC＝∠A'B'C'
∠ACB＝∠A'C'B'
AB＝A'B'
∴△ABC≌△A'B'C'(AAS)
∴BC=B'C'
即影子一样长．
【解析】【分析】先根据垂直得到∠ABC=∠A'B'C'=90°，再根据平行线的性质（同位角）得到∠ACB=∠A'C'B'，进而根据三角形全等的判定（AAS）与性质证明△ABC≌△A'B'C'得到BC=B'C'，从而即可求解。
32．如图，已知 于点 ， ， 平分 ， .求 的度数.
【答案】解：∵ ， 平分
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
【解析】【分析】由角平分线的概念以及已知条件可推出DC∥AB，得到∠DCB+∠B=180°，然后由∠DCB=∠DCA+∠ACB求出∠DCB的度数，从而即可求出答案.
33．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，点F在线段CD上，且∠3＝∠B
（1）求证：DE∥BC；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝4∠B，求∠1．
【答案】（1）证明：∵EF∥AB（已知），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝7∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE，
∵∠2＝4∠B，
∴∠8＝4∠ADE，
∵∠2+∠ADC＝180°，
∴4∠ADE+2∠ADE＝180°，
∴∠ADE＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∵EF∥AB，
∴∠1＝∠ADC＝60°．
【解析】【分析】（1）根据平行线的判断与性质进行解答即可；
（2）先求出∠ADC＝60°，再根据EF∥AB，得出∠1＝∠ADC＝60°。即可得出答案．
34．综合应用：在学习《完全平方公式》时，某兴趣小组发现：已知，，可以在不求a、b的值的情况下，求出的值．具体做法如下：
．
（1）若，，则 ；
（2）若m满足，求的值，同样可以应用上述方法解决问题．具体操作如下：
解：设，，
则，，
所以．
请参照上述方法解决下列问题：
①若，求的值；
②若，求的值；
（3）如图，某校园艺社团在三面靠墙的空地上，用长11米的篱笆（不含墙）围成一个长方形的花圃，面积为15平方米，其中墙足够长，墙墙，墙墙．随着学校社团成员的增加，学校在花圃旁分别以边向外各扩建两个正方形花圃，以边向外扩建一个正方形花圃（扩建部分如图所示虚线区域部分），求花圃扩建后增加的面积．
【答案】（1）37
（2）解：①设，，
则，，
所以；
②设，
则，
所以；
（3）解：设，
则，
所以扩建后增加的面积是：
．
答：扩建后增加的面积是61平方米．
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∵
∴
∴；
【分析】（1）由，，根据，代入计算，即可得到答案；
（2）①设，，得到，，再利用完全平方公式，进行化简得到，代入计算，即可得到答案；
②设，，得到，，再利用完全平方公式，化简运算，即可求解；
（3）设，，得到，，结合扩建后增加的面积是，利用完全平方公式，进行运算，即可得到答案.
（1）∵，，
∵
∴
∴；
（2）①设，，
则，，
所以；
②设，
则，
所以；
（3）设，
则，
所以扩建后增加的面积是：
．
答：扩建后增加的面积是61平方米．
35．如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远的一个直角三角形空地斜边上的高进行了探究：两人在直角边 上距直角顶点 为 米远的点 处同时开始测量，点 为终点.小娟沿 的路径测得所经过的路程是 米，小燕沿 的路径测得所经过的路程也是 米，这时小娟说我能求出这个直角三角形的空地斜边上的高了，小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的空地斜边上的高了.你能求出这个直角三角形的空地斜边上的高吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由.
【答案】解：Rt△ABC中，∠B=90°，
设BC=a米，AC=b米，AD=x米，
则9+a=x+b=18，
∴a=9米，b=18-x（米），
又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（9+x）2+a2=b2，
∴（9+x）2+92=（18-x）2，
解得：x=3，即AD=3（米），
∴AB=AD+DB=3+9=12米，BC=9米，AC=15米，
∴ ×5×12= ×13h，
解得：h= 米，
答：这个直角三角花台底边上的高为 米.
【解析】【分析】设BC=a米，AC=b米，AD=x米，根据“ .小娟沿 的路径测得所经过的路程是 米，小燕沿 的路径测得所经过的路程也是 米 ”列出方程组，求解得出a及B的值，进而根据勾股定理建立方程即可得到结论.
36．如图，在中，已知，D是斜边BC的中点，交AB于点E，连接CE.
（1）求证：；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）证明：∵D是斜边BC的中点，，
∴DE是线段BC的垂直平分线，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴，
即.
（2）解：∵D是斜边BC的中点，，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴.
又∵，∴，
∴的周长为.
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，再利用勾股定理及等量代换可得；
（2）利用直角三角形斜边上中线的性质可得，利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形的周长公式及等量代换求出答案即可.
37．如已知：如图，四边形 中 ， ， ，且 ．试求 的度数．
【答案】解：如图，连接AC
∵ ，
∴ ，∠BAC=45°
又∵ ， ，
∴△ACD为直角三角形
∴∠CAD=90°
∴ =135°
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理可得 ，再由勾股定理逆定理可得△ACD为直角三角形，即可求得．
38．如图，，，，求证．
【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】【分析】证明线段相等，通常证明线段所在的三角形全等，观察两个三角形，已知一组对边和一组对角相等，要证明全等还需要一组条件；观察图形，结合已知的一组等角，可得到另一组等角，至此整理思路证明全等、再证得对应边相等。
39．如图，是的角平分线，是的边上的中线．
（1）若的周长为13，，，求的长度；
（2）若，的面积为10，，求点到的距离．
【答案】（1）解：∵是的边上的中线，
∴，
又∵的周长为13，，，
∴
（2）解：∵，的面积为10，，
∴，
∵是的角平分线，
∴点到的距离
【解析】【分析】（1）利用三角形的中线可求出AE的长，再根据△ABE的周长为13，可求出AB的长.
（2）利用三角形的面积公式，由△ABD的面积可求出AD的长；再利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出点D到BC的距离.
40．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC=90°，CD=6m，AD=8m，BC=24cm，AB=26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？
【答案】解：连接AC，
在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=62+82=102，
在△ABC中，AB2=262，BC2=242，
而102+242=262，
即AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
S四边形ABCD=S△ACB-S△ACD= AC BC- AD CD，
= ×10×24- ×8×6=96.
所以需费用96×200=19200（元）.
【解析】【分析】连接AC，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AC2，由于AC2+BC2=AB2根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，由S四边形ABCD=S△ACB-S△ACD可得最终结果.
41．已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，求它的周长.
【答案】解：当4为腰，9为底时，
∵4+4＜9，
∴不能构成三角形；
当腰为9时，
∵9+9＞4，
∴能构成三角形，
∴等腰三角形的周长为：9+9+4＝22.
【解析】【分析】分两种讨论， 即当4为腰，当腰为9，首先根据三角形三边的关系分别判断能否构成三角形，再根据等腰三角形的性质求其周长即可.
42．如图，为修通铁路凿通隧道 ，量出 ， ， ， ，若每天凿隧道 ，问几天才能把隧道 凿通？
【答案】解：∵ ， ，
∴ .
∵在 中， ， ，
∴ .
∴需要天数为 （天）.
答：10天才能把隧道 凿通。
【解析】【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠C=90°，根据勾股定理可求出AC的长，然后除以每天凿隧道的长度，即可求出所需的天数.
43．阅读第(1)题的解法，再解答第(2)题．
已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值．
解：因为
即5-a× =(2b-a)+ ×
所以2b-a=5，-a=
解得a=，b=
设x，y是有理数，并且满足x2+y×+2y=-4×+17，求×+y的值．
【答案】解；因为x2+y×+2y=4×+17，
所以(x2 +2y)+y×=17-4×，
所以x2+2y=17，y=-4，
解得x=5，y=-4或x=-5，y=-4．
所以x+y=1或x+y=- 9．
【解析】【分析】将原等式变形为(x2 +2y)+y×=17-4×，根据等式两边的有理数相等，二次根式部分相等可得x2+2y=17，y=-4，解之即可.
44．如图，在△ABC中，AB=AC ，点D在边BC上(点D不与点B，点C重合)，作∠ADE=∠B，DE交边AC于点E．
（1）求证：∠BAD=∠CDE；
（2）若DC=AB，求证：△ABD≌△DCE ；
（3）当∠B=50°，且△ADE是等腰三角形时，直接写出∠BDA的度数．
【答案】（1）证明：∵∠ADE=∠B，∠BAD+∠B=∠ADC，∠CDE+∠ADE=∠ADC，
∴∠BAD=∠CDE ；
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE (SAS)；
（3）解：当∠BDA的度数为115或100°时，△ADE是等腰三角形．
【解析】【解答】解：（3）∵∠B=∠C=50，∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC= 180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°，
分三种情况讨论：
当DA=DE时，∠DAE=∠DEA，
∵∠ADE=∠B=50°，∠ADE+∠DAE+∠DEA=180°，
∴∠DAE=(180°-50°)÷2=65°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=80°-65°=15°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°- 50°-15°=115° ；
当AD=AE时，∠AED=∠ADE = 50° ，
∵∠ADE+∠AED+∠DAE= 180°，
∴∠DAE =180°-∠AED-∠ADE=180°-50°-50°=80°，
∵∠BAC= 80°，
∴∠DAE=∠BAE，
∴点D与点B重合，不合题意．
当EA=ED时，∠DAE=∠ADE= 50°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=80°-50°=30°，
∵∠B+∠BAD+∠BD4= 180°，
∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-30°=100° ，
综上所述，当∠BDA的度数为115或100°时，△ADE是等腰三角形．
【分析】（1）根据三角形外角性质及角的和差可求证；
（2）根据SAS求证；
（3） △ADE是等腰三角形 ，需分三种情况，DA=DE，AD=AE，EA=ED，分情况讨论得出答案.
45．已知x，y为实数，且满足 ，求 的值.
【答案】解：∵
∴
∴
∴
∵
∴1-x=0，1-y=0
∴x=1，y=1
将x=1，y=1代入 =0
【解析】【分析】利用二次根式的被开方数的非负性及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为0则这两个数都为0，列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，代入解答即可.
46．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（1）如图1，当PM=AP，PN=BP且∠APM=∠BPN=90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，(Ⅰ)中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（3）在(2)的条件下，连接AB得到图3，当PN=2PM时，求∠PAB度数．
【答案】（1）解：结论：BM=AN，BM⊥AN．
理由：如图1中，
∵MP=AP，∠APM=∠BPN=90°，PB=PN，
∴△MBP≌△ANP (SAS)，
∴MB=AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN=∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA=90°，
∴∠PMB+∠PNA=90°，
∴∠MCN=180°-∠PMB-∠PNA=90°，
∴BM⊥AN．
（2）解：结论成立
理由：如图2中，
∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM=∠BPN=60°
∴∠MPB=∠APN= 120°，
又∵PM=PA，PB=PN，
∴△MPB≌△APN (SAS)
∴MB=AN．
（3）解：如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．
∵△APM，△PBN都是等边三角形
∴∠APM=∠BPN=60°，PB= PN
∵点C是PB的中点，且PN=2PM，
∴2PC=2PA=2PM=PB=PN，
∵∠APC= 60°，
∴△APC为等边三角形，
∴∠PAC=∠PCA= 60°，
又∵CA= CB，
∴∠CAB=∠ABC= 30°，
∴∠PAB=∠PAC+∠CAB= 90°．
【解析】【分析】（1）通过SAS证明△MBP≌△ANP，可得结论；
（2）同理SAS证明△MPB≌△APN即可；
（3）根据等边三角形的性质，及线段之间的等量关系，可证明△PAC是等边三角形，从而得到∠PAB= 90°.
47．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得．
（1）请判断的形状，并说明理由．
（2）求的度数．
【答案】（1）答：为等腰三角形。
证明：∵绕点A逆时针旋转到的位置，
∴，
∴为等腰三角形。
（2）解：∵绕点A逆时针旋转到的位置，，∴，
∴，
∴
由（1）得，
∵，，
∴．
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知，然后根据等腰三角形的特点即可得出答案；
（2）根据旋转的性质得到，然后进行角度变形和平行线的性质特点，即可求出。
（1）解：为等腰三角形．
理由如下：
∵绕点A逆时针旋转到的位置，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：∵绕点A逆时针旋转到的位置，，
∴，
∴，
∴
由（1）得，
∵，，
∴．
∴，
∴．
48．某地汛期来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图1，灯A射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯 B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯 A 转动的速度是a°/秒，灯 B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a-3b|+(a+b-4) =0.假定这一带江堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°.
（1）求a，b的值.
（2）若灯 B射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯 B射线到达BQ 之前，灯 A 转动几秒，两灯的光束互相平行
（3）如图2，两灯同时转动，在灯 A 射线到达AN 之前，若两灯射出的光束相交于点C，过点C作CD⊥AC，交 PQ 于点 D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC的值是否发生变化 若不变，请求出该值；若改变，请求出其取值范围.
【答案】（1）解：∵
∴
∴
（2）解：设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当时，
解得：
②当时，
解得：
③当时，
解得：，则舍去，
综上所述，灯A转动15秒或82.5秒时， 两灯的光束互相平
（3）解：不变，
设灯A转动t秒，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴.
【解析】【分析】（1）根据非负数之和为0，则两个非负数均为0，据此即可求解；
（2）设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行，分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别列出方程即可求解；
（3）设灯A转动t秒，用含t的式子表示出∠BAC和∠BCD，进而即可求解.
49．某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表；
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
九（1）
85
九（2） 85
100
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
（3）计算两班复赛成绩的方差．
【答案】解：（1）由图可知九（1）班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100，
九（2）班5名选手的复赛成绩为：70、100、100、75、80，
∴九（1）的平均数为（75+80+85+85+100）÷5=85，
九（1）的中位数为85，
九（1）的众数为85，
把九（2）的成绩按从小到大的顺序排列为：70、75、80、100、100，
∴九（2）班的中位数是80；
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
九（1） 85 85 85
九（2） 85 80 100
（2）九（1）班成绩好些．因为九（1）班的中位数高，所以九（1）班成绩好些．（回答合理即可给分）
（3），．
【解析】【分析】（1）观察图分别写出九（1）班和九（2）班5名选手的复赛成绩，然后根据中位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可；
（2）在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好；
（3）根据方差公式计算即可：s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“等于差方的平均数”）
50．A，B，C，D，E，F是六名嫌疑人．审讯他们时，他们的供词如下：
A：“B、F作案了．” B：“D、A作案了．”
C：“B、E作案了．” D：“A、C作案了．”
E：“F、A作案了．”
已知：案件是两人合伙所干，上述供词中有一人是假话，另四人是半真半
假．问哪两人是罪犯
【答案】解：根据条件，5份供词中一份假的，其余4份半真半假．这4份中都有一个名字是罪犯．两个罪犯的名字在5份供词中一共出现4次． 在供词中，A出现3次，B出现2次，C出现1次，D出现1次，E出现1次，F出现2次．因此，只能是A与C，或A与D，或A与_E，或B与F合伙作案．
若A与C合伙作案，则D的供词全对，与已知矛盾．
若A与D合伙作案，则B的供词全对，与已知矛盾．
若B与F合伙作案，则A的供词全对，与已知矛盾．
所以，只能是A与E合伙作案，即罪犯是A和E．
【解析】【分析】说明解决这类逻辑推理问题，找到一个突破点是非常重要的．例如本题中，罪犯的名字一共出现四次就是一个突破口．
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