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【精选热题·期末50道解答题专练】华东师大版数学九年级上册总复习
1．为让学生感受传统文化魅力、学会规划时间，某图书馆在“世界读书日”期间推出“二十四节气·时光书签”限定套装作为阅读打卡的纪念礼。套装内有四枚同款金属书签，正面分别以“春之萌芽”、“夏之繁茂”、“秋之收获”、“冬之蓄力”为主题，融合对应季节的节气元素。已知书签的形状、大小、质地均相同，且背面也完全相同，现将四枚书签正面朝下放在桌面上。
（1）小亮从中随机抽取一枚，抽出的书签恰好是“秋之收获”的概率是 ；
（2）若将四种不同主题的书签分别用A，B，C，D表示，小亮从中随机抽取一枚后放回，再从中随机抽取一枚，请用画树状图或列表的方法求出小亮抽出的两枚书签恰好是同一主题的概率。
2．小华利用假期的时间到甘肃旅游，众多的旅游景点让小华难以抉择，于是小华将扑克牌中“A”的四种花色分别记为莫高窟（红桃A），嘉峪关（梅花A），敦煌雅丹国家地质公园（方片A），崆峒山（黑桃A），随后将这四张扑克牌正面朝下，从中随机抽取一张，作为自己的第一站旅游地点．
（1）小华抽中敦煌雅丹国家地质公园的概率为________；
（2）小华发现他的朋友也正在甘肃旅游，且他的朋友明天将会从莫高窟、嘉峪关、敦煌雅丹国家地质公园这三个景点中任意选择一个游览．若他们按照各自的旅游线路进行游览，请用列表或画树状图的方法，求小华和他的朋友明天去同一个景点的概率．
3． 已知点A(2，15)，B( ，3)，C(-5，2)， 。判断这些点中，哪些在阴影区域内，哪些不在阴影区域内。
4．某地2016年为做好“精准扶贫投资”，投入资金20万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年投入资金万元．求2016年到2018这两年的平均增长率为多少？
5．用计算器求sin 35°29'的值.(结果精确到0.001)
6．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角α为30°，看这栋楼底部的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高？
7．随着时代的发展，科技的进步，进入移动支付时代后，支付方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．某超市为方便顾客购物付款，可供顾客选择的付款方式有以下四种：A．现金支付，B．刷卡支付，C．微信支付，D．支付宝支付．每种付款方式被选择的可能性是相同的．
（1）小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为_____；
（2）若甲、乙两人在该超市购物，请你通过列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择不同付款方式的概率．
8．为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室.经预算，一共需要筹资30 000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊.
（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？
（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元.镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20 000元.经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了ａ%（其中）.则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了%，求ａ的值.
9．图1是一款平板电脑支架，图2是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知，，当AB、BC转动到时，（以下结果都精确到0.1，参考数据：）．
（1）求点B到AE的距离
（2）求点C到AE的距离．
10．如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．
(1)求教学楼AB的高度；
(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．
(参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈)
11．建筑是一门不断演化和创新的艺术，从古代的大理石殿堂到现代的钢铁森林，它的魅力在于其无限的可能性.近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．
图2为某广东厂家设计制造的双曲铝单板建筑的横截面，可以看作由两条曲线、（反比例函数图象的一支）和若干线段围成，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，如图2所示，取中点，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
请回答下列问题：
（1）如图2，求所在双曲线的解析式；
（2）如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？
（3）如图4，为通风透气避免潮湿，在某一时刻，打开遮光板，太阳光线经点恰好照射到点，请求出此时线段上光线无法直射部分即线段的长．
12．为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是 ▲ 人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；
（2）图②中扇形的圆心角度数为 度；
（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；
（4）计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率．
13．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在一网络直播平台上对一款成本价为 40 元的小商品进行直播销售，若按每件 60 元销售，则每天可卖出 20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加 10件.
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款小商品，则每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该款小商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该款小商品至少需打几折销售？
14．如图，某学校教学楼AB和市创业大厦CD之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处E，测得B，D处的俯角分别为68.5°，27.7°；然后操控无人机铅直起飞至比E处高20m的F处，再次测得这两处的俯角分别为70.8°.33.3°．已知点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，AC为水平地面，AB＝12m．请求出大厦CD的高度（结果精确到0.1m，参考数据见下表）．
科学计算粉按键顺序 计算结果（已取近似值）
0.94
2.87
0.37
2.54
0.66
0.53
15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持一定的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m处，小林驾驶一辆小轿车距大车车尾xm，此时红灯、大巴车车顶和小张的眼睛三点刚好在一条直线上，若大巴车车顶高于小林的水平视线0.8m，红灯下沿高于小林的水平视线3.2m，求x的值．
16．为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克10元的价格收购了6000千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题：
①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元；
②这批苹果平均每天有10千克损坏，不能出售；
③每天的冷藏费用为300元；
④这批苹果最多保存110天．
若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售．
（1）多少天后这批苹果的市场价为每千克13元？
（2）求3天后一次性全部售出所得的利润为多少元？
（3）若m天后一次性出售所得利润为9100元，求m的值．
17．如图，在一个长10cm，宽6cm的矩形铁皮的四角各截去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方形盒子．若长方形盒子的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求截去的小正方形的边长．
18．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，则方程就是“倍根方程”．
（1）根据上述定义，一元二次方程（填“是”或“不是”）“倍根方程”．
（2）若是“倍根方程”，求的值；
19．解读诗词(通过列方程算出周瑜去世时的年龄)：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄.
20．关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根.
21． 一个不透明的盒子里装有4 张书签，分别绘有“立春”“立夏”“立秋”“立冬”四个节气的景象，书签除图案外都相同，将4张书签充分搅匀.
（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“立夏”的概率为 .
（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“立春”，1张为“立秋”的概率.（请用画树状图或列表等方法说明理由）
22．学校进行实践活动，喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC进行数学实践活动，如图，河对岸有一码头A，小伟在河岸 处测得 ，沿河岸到达 处，在 处测得 ，已知河宽为20米，求 之间的距离．
23．（1）解方程：；
（2）若，请直接写出时x的取值范围．
24．现有一个不透明的口袋装有分别标有汉字“最”、“美”、“海”、“外”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美"的概率为：______．
（2）小明同学从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求出小明取出两个球上的汉字能组成“海外”的概率．
25．扬州中国大运河博物馆坐落于扬州三湾古运河畔，大运河博物馆整体由大运塔和博物馆主体两部分组成.周末汐汐和父母去大运河博物馆游玩，看到大运塔时觉得非常宏伟，想知道它的高度.于是汐汐走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37°，向前走了40米至点E处，测得此时塔尖A的仰角是45°，已知汐汐的眼睛离地面高度是1.2米，请聪明的你帮她求出塔AB的高度.（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
26．项目化学习项目
主题：最擅长的物理实验调查
项目背景：物理实验是物理教学过程中极其重要的一环，物理实验可以深化对物理知识的理解，通过操作和观察实验现象提升感官认知，理解物理规律．某校综合实践小组以“你最擅长的物理实验是什么”为主题展开项目学习．
驱动任务：调研擅长每种实验的人数和比例．
研究步骤：（1）制作如下问卷：
你最擅长的物理实验是什么？（要求每个学生必选且只能选择一项）A．伏安法测小灯泡正常发光时的电阻B．探究电磁铁的磁性强弱与电流大小的关系C．测量蜡块的密度D．测量物体运动的平均速度E．探究平面镜成像时像与物的关系
（2）发放和回收问卷；
（3）整理数据，并形成如下统计图表：
选项 占调查人数的百分比
A
B
C
D
E
解决问题：请根据图表提供的信息，完成下列任务．
（1）本次一共调查了 名学生，统计表中， ， ；
（2）请补全条形统计图；
（3）某堂物理实验课上，小军要从以上五个实验中任意选做两个，请用列表或画树状图的方法求小军恰好选中两个探究性实验B和E的概率．
27．“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，在第19届杭州亚运会中，吉祥物“莲莲”被认为最具山水诗气、受到人们的喜爱、某经销商销售大小两种规格的“莲莲”玩偶，第一周售出大玩偶200个、小玩偶300个，已知一个大玩偶的售价是一个小玩偶的售价的2倍少40元，第一周大玩偶和小玩偶的销售额相同.
（1）求两种玩偶的售价分别是多少元？
（2）该经销商发现人们对小玩偶的喜爱超过大玩偶，第二周准备调整运营模式，小玩偶原价销售，销量与第一周持平：大玩偶进行降价促销.经调查发现，大玩偶每降价1元，销量就会增加10件，若要使大玩偶的销售额比小玩偶的销售额多16000元，应把大玩偶降价多少元出售？（要求：大玩偶售价不低于小玩偶售价）
28．图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB＝873m，如图②．从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求吉塔的高度CD（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）
29．如图，某小区有甲、乙两座楼房，楼间距BC为50米，在乙楼顶部A点测得甲楼顶部D点的仰角为37°，在乙楼底部B点测得甲楼顶部D点的仰角为60°，则甲、乙两楼的高度分别为多少？(结果精确到1米，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73)
30．已知关于的方程．
（1）当为何值时，该方程是一元二次方程？
（2）当为何值时，该方程是一元一次方程？
31．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的动点．
（1）若AD=5，DE=3时，AE的长恰好是偶数，则AE的长为 ；
（2）若BC∥DE时，∠B=60°，∠CED=105°，求∠A的度数
32．在中，，分别是的对边．若，试解这个直角三角形．
33．嵊州市某小区门口安装了曲臂遥控连杆道闸，连杆主要由主动杆和辅助杆两部分组成，图是遥控连杆在某次升起时的示意图，OB 为主动杆，AB 为辅助杆，OA 是指连杆处在水平静止状态时，此时O，B，A在同一直线上，OA∥DE(DE 表示地平线)，现测得整个连杆的长度OA=4.5m ，桩的高度OE=1m .连结点 B 是 OA 的三等分点(OB >AB)，在升起的过程中，辅助杆A'B'始终平行于地平线，连杆在完全升起后的倾角
（1）OB 的长度为 m；
（2）求连杆在完全升起后辅助杆A'B'距离地面的高度.(参考数据： 0.17，tan80°≈5.67)
34．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求的值．
35．如图，△ABC中，DE//BC， DF//AC， AE=4， EC=2， BC=8．求 BF 和 CF 的长．
36．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶 ，坝高 ，斜坡 的坡度 ，求坝底 的长.（ ，结果精确到 ）
37．书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的通道．某中学为响应“全民阅读活动”，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆360人次．若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率．
38．郑州博物馆（新馆）位于郑州奥体中心附近，其主展馆以郑州出土的商代青铜方鼎为造型基础，整体建筑风格取鼎器粗犷与精美相统一的神韵，让人叹为观止．某校数学小组的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量郑州博物馆（新馆）的高度．如图，他们在处测得顶端的仰角为，沿方向前进到达处，又测得顶端的仰角为，已知测角仪的高度为，测量点与郑州博物馆（新馆）的底部在同一水平线上，求郑州博物馆（新馆）的高度（结果精确到；参考数据）．
39．现有四张正面分别写有、1、2、5的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将这四张卡片背面朝上并洗匀.先从中随机抽取1张卡片后不放回，再从余下的3张中随机抽取1张，用画树状图或列表的方法求抽到的两张卡片上的数字之积是负数的概率.
40． 如图是某校操场上的一种漫步机，图是其侧面结构示意图，已知主支架长为，且与水平地面基架的夹角为，前支架与所成的，扶手长为，．
（参考数据：，，，，，，结果精确到）
（1）求的度数；
（2）求漫步机的高度（点E到的距离）．
41．一个纸箱内装有三张正面分别标有数字﹣4，6，4的卡片，卡片除正面数字外其他均相同．将三张卡片搅匀后，从中随机摸出一张卡片记下数字，放回后搅匀，再从中随机摸出一张卡片并记下数字．请用列表法或画树状图法求两次取得数字的绝对值相等的概率．
42．已知x2﹣1＝15，求x的值．
43．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA=OC，OB=OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF，
（1）求证：△BOE=△DOF；
（2）求证：四边形DEBF是菱形；
（3）设AD∥EF，AD+AB=12，BD=4，求AF的长.
44．如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣（不计宽度，记为点A）组成，其侧面示意图为△ABC，测得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C′，当∠C′=30°时，求移动的距离即CC′的长（或用计算器计算，结果取整数，其中 =1.732， =4.583）
45． 2022年受新型冠状病毒疫情的影响，水果电商有了意想不到的机遇，据统计某水果电商平台1月份的销售额是225万元，第一季度的销售额是819万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某水果在电商平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？
46．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和A、B、C三点均为格点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2；
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）
47．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°， AC=8， sinB＝， 点D是斜边AB的中点，点E是边AC的中点，连接CD，点P为线段CD上一点，作点C关于直线EP对称点F，连结EF、PF，设DP长为x（x＞0）．
（1）AB的长为 ．
（2）求PF长度（用含x的代数式表示）．
（3）当点F落在直线CD上时，求x的值．
（4）当直线PF与△ABC的边BC或AC垂直时，直接写出x的值．
48．已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为7和9，另一条边长为偶数．
①请写出一个三角形，符合上述条件的第三边长．
②若符合上述条件的三角形共有a个，求a的值．
49．设等式 在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不等的实数，求 的值.
50．已知，，
（1）如图1，连接、，问与相等吗？并说明理由．
（2）若将绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在边上时，请写出、、之间关系，并说明理由．
（3）若绕点O旋转，当时，直线与直线交于点F，求的长．
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【精选热题·期末50道解答题专练】华东师大版数学九年级上册总复习
1．为让学生感受传统文化魅力、学会规划时间，某图书馆在“世界读书日”期间推出“二十四节气·时光书签”限定套装作为阅读打卡的纪念礼。套装内有四枚同款金属书签，正面分别以“春之萌芽”、“夏之繁茂”、“秋之收获”、“冬之蓄力”为主题，融合对应季节的节气元素。已知书签的形状、大小、质地均相同，且背面也完全相同，现将四枚书签正面朝下放在桌面上。
（1）小亮从中随机抽取一枚，抽出的书签恰好是“秋之收获”的概率是 ；
（2）若将四种不同主题的书签分别用A，B，C，D表示，小亮从中随机抽取一枚后放回，再从中随机抽取一枚，请用画树状图或列表的方法求出小亮抽出的两枚书签恰好是同一主题的概率。
【答案】（1）
（2）解：列表如下
第一次第二次 A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能结果，符合题意的有4种分
所以P（同一主题）=
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
小亮从中随机抽取一枚，抽出的书签恰好是“秋之收获”的概率是
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）列表，求出所有等可能的结果，再求出小亮抽出的两枚书签恰好是同一主题的结果，再根据概率公式即可求出答案.
2．小华利用假期的时间到甘肃旅游，众多的旅游景点让小华难以抉择，于是小华将扑克牌中“A”的四种花色分别记为莫高窟（红桃A），嘉峪关（梅花A），敦煌雅丹国家地质公园（方片A），崆峒山（黑桃A），随后将这四张扑克牌正面朝下，从中随机抽取一张，作为自己的第一站旅游地点．
（1）小华抽中敦煌雅丹国家地质公园的概率为________；
（2）小华发现他的朋友也正在甘肃旅游，且他的朋友明天将会从莫高窟、嘉峪关、敦煌雅丹国家地质公园这三个景点中任意选择一个游览．若他们按照各自的旅游线路进行游览，请用列表或画树状图的方法，求小华和他的朋友明天去同一个景点的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
红桃 梅花 方片
红桃 （红桃，红桃） （红桃，梅花） （红桃，方片）
梅花 （梅花，红桃） （梅花，梅花） （梅花，方片）
方片 （方片，红桃） （方片，梅花） （方片，方片）
黑桃 （黑桃，红桃） （黑桃，梅花） （黑桃，方片）
由列表可得，共有12种等可能的结果，其中抽到相同景点的结果有3种，
∴P（小华和他的朋友明天去同一个景点）。
【解析】【解答】（1）解：P（抽中敦煌雅丹国家地质公园）。
故答案为：
【分析】（1）用敦煌雅丹国家地质公园（方片A）除以四种花色的景点，即可求出概率
（2）对莫高窟、嘉峪关、敦煌雅丹国家地质公园三个景点进行列表，列出所有的可能性，然后再找出抽到相同的景点结果的个数，即可求解
（1）P（抽中敦煌雅丹国家地质公园）．
（2）列表如下：
红桃 梅花 方片
红桃 （红桃，红桃） （红桃，梅花） （红桃，方片）
梅花 （梅花，红桃） （梅花，梅花） （梅花，方片）
方片 （方片，红桃） （方片，梅花） （方片，方片）
黑桃 （黑桃，红桃） （黑桃，梅花） （黑桃，方片）
由列表可得，共有12种等可能的结果，其中抽到相同景点的结果有3种，
∴P（小华和他的朋友明天去同一个景点）．
3． 已知点A(2，15)，B( ，3)，C(-5，2)， 。判断这些点中，哪些在阴影区域内，哪些不在阴影区域内。
【答案】解：由图可知：图中阴影区域中点的横坐标的取值范围为：-1≤x≤3，纵坐标的取值范围为：3.5；
∵A(2，15)，纵坐标：15>3.5，
∴点A不在阴影区域内；
∴点B在阴影区域内；
横坐标：-5<-1，
∴点C不在阴影区域内；
∴点D在阴影区域内.
综上：点A，C不在阴影区域内，点B，D在阴影区域内
【解析】【分析】如图可知，图中阴影区域中点的横坐标的取值范围为：-1≤x≤3，纵坐标的取值范围为：3.5，然后根据A(2，15)，的位置进行判断即可.
4．某地2016年为做好“精准扶贫投资”，投入资金20万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年投入资金万元．求2016年到2018这两年的平均增长率为多少？
【答案】解：设2016年到2018这两年的平均增长率为，根据题意，得，
解得：，（不合题意，应舍去），
答：2016年到2018这两年的平均增长率为．
【解析】【分析】设平均增长率为x，由题意列出方程，求解方程即可得结果.
5．用计算器求sin 35°29'的值.(结果精确到0.001)
【答案】解:sin 35°29'≈0.58047≈0.580
【解析】【分析】考查计算器中"sin"的用法。
6．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角α为30°，看这栋楼底部的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高？
【答案】解：如图，过点A作 于点D
＝30°，β＝60°
AD＝120
∴BD=AD·tan =120×tan30°
因此，这栋楼高约为 m
【解析】【分析】，过点A作AD⊥BC于点D ，利用解直角三角形可推出 AD·tan =120×tan30° ，由此可求出BD的长；利用解直角三角形求出CD的长，然后根据BC=BD+CD，代入计算求出BC的长.
7．随着时代的发展，科技的进步，进入移动支付时代后，支付方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．某超市为方便顾客购物付款，可供顾客选择的付款方式有以下四种：A．现金支付，B．刷卡支付，C．微信支付，D．支付宝支付．每种付款方式被选择的可能性是相同的．
（1）小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为_____；
（2）若甲、乙两人在该超市购物，请你通过列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择不同付款方式的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表知，共有16种等可能结果，其中甲、乙两人选择不同付款方式的结果有12种，
∴甲、乙两人选择不同付款方式的概率为．
【解析】【解答】（1）解：小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为；
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出甲、乙两人选择不同付款方式的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为；
（2）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表知，共有16种等可能结果，其中甲、乙两人选择不同付款方式的结果有12种，
∴甲、乙两人选择不同付款方式的概率为．
8．为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室.经预算，一共需要筹资30 000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊.
（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？
（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元.镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20 000元.经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了ａ%（其中）.则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了%，求ａ的值.
【答案】解：（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000-x）元，
根据题意得：30000-x≥3x，
解得：x≤7500．
答：最多用7500元购买书桌、书架等设施；
（2）根据题意得：200（1+a%）×150（1-a%）=20000
整理得：a2+10a-3000=0，
解得：a=50或a=-60（舍去），
所以a的值是50．
【解析】【解答】（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000-x）元，利用“购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍”，列出不等式，解不等式即可求出答案.
（2）根据“自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了a%，且总集资额为20000元”列出方程，解方程即可求出答案.
9．图1是一款平板电脑支架，图2是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知，，当AB、BC转动到时，（以下结果都精确到0.1，参考数据：）．
（1）求点B到AE的距离
（2）求点C到AE的距离．
【答案】（1）解：如图，过点B作BM⊥AE，垂足为M，
在RtABM中，∠BAE=60°，AB=20cm，
∴BM=AB sin60°=20×≈17.3（cm）．
（2）解：如图，过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
∴∠AMB=∠BME=∠CNM=∠CDM=∠CDB=90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴DM=CN，
∵∠ABC=45°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABM=15°，
在Rt△BCD中，BC=10cm，
∴BD=BC cos15°≈10×0.97=9.7（cm），
∴DM=BM-BD=17.3-9.7=7.6（cm），
∴DM=CN=7.6cm，
∴点C到AE的距离为7.6cm．
【解析】【分析】（1）过点B作BM⊥AE，垂足为M，在RtABM中，利用∠A的正弦函数求出BM的长；
（2）过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，得到矩形MNCD，由矩形性质得出DM=CN，进而得出∠ABM=30°，∠CBD=15°，再利用∠CBD的余弦函数可求出BD，即可计算得出答案．
10．如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．
(1)求教学楼AB的高度；
(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．
(参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈)
【答案】解：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M．
设AB为x．
在Rt△ABF中，∠AFB=45°，
∴BF=AB=x，
∴BC=BF＋FC=x＋13．
在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB－BM=AB－CE=x－2，
又∵
∴，
解得：x≈12．
∴教学楼的高12m．
（2）由（1）可得ME=BC=x+13≈12+13=25．
在Rt△AME中，，
∴AE=．
∴A、E之间的距离约为27m．
【解析】【分析】（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M，设AB为x，先利用线段的和差求出BC=BF＋FC=x＋13．再利用正切的定义可得，最后求出x的值即可；
（2）先利用线段的和差求出ME的长，再利用解直角三角形的定义可得AE=．
11．建筑是一门不断演化和创新的艺术，从古代的大理石殿堂到现代的钢铁森林，它的魅力在于其无限的可能性.近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．
图2为某广东厂家设计制造的双曲铝单板建筑的横截面，可以看作由两条曲线、（反比例函数图象的一支）和若干线段围成，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，如图2所示，取中点，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
请回答下列问题：
（1）如图2，求所在双曲线的解析式；
（2）如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？
（3）如图4，为通风透气避免潮湿，在某一时刻，打开遮光板，太阳光线经点恰好照射到点，请求出此时线段上光线无法直射部分即线段的长．
【答案】（1）解：连接BD，如图
，，，为中点，，
∴BO=DO=20÷2=10m，EO=FO=10-2=8cm，
，
设所在双曲线的表达式为，
将点坐标代入表达式中，得：
解得：，
抛物线表达式为；
（2）解：根据题意得：点与点坐标分别为，，
设所在直线解析式为，
将、两点坐标代入得：，
解得，，
所在直线解析式为，
根据反比例函数图象轴对称的性质，曲线关于直线轴对称，
联立，解得，
联立，解得，
，
（3）解：如图，光线与曲线只有一个交点，设直线的解析式为，
将点，点代入得：，
解得，，
所在直线解析式为，
∵，
可设直线解析式为，
∴，
整理得：
∴
解得：，（舍去），
解析式为，
将分别代入，
解得：，
∴点，点，点点，
．
【解析】【分析】（1）首先根据条件求出EO=8cm，然后结合数轴以及象限的特点，即可得出，然后利用待定系数法解答即可求解；
（2）先利用待定系数法求出所在直线解析式为，再根据反比例函数图象轴对称的性质，可得曲线关于直线轴对称，然后联立，即可求解；
（3）先求出所在直线解析式为，再根据，可设直线解析式为，整理得，利用一元二次方程根的判别式得出，进而得到解析式为，即可求解．
（1）解：，，，为中点，，
，
设所在双曲线的表达式为，
将点坐标代入表达式中，得：
解得：，
抛物线表达式为；
（2）解：根据题意得：点与点坐标分别为，，
设所在直线解析式为，
将、两点坐标代入得：，
解得，，
所在直线解析式为，
根据反比例函数图象轴对称的性质，曲线关于直线轴对称，
联立，解得，
联立，解得，
，
（3）解：如图，光线与曲线只有一个交点，
设直线的解析式为，
将点，点代入得：，
解得，，
所在直线解析式为，
∵，
可设直线解析式为，
∴，
整理得：
∴
解得：，（舍去），
解析式为，
将分别代入，
解得：，
∴点，点，点点，
．
12．为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是 ▲ 人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；
（2）图②中扇形的圆心角度数为 度；
（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；
（4）计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率．
【答案】（1）解：因为参与活动的人数为36人，占总人数，
所以总人数人，
则参与活动的人数为：人；
补全统计图如下：
故答案为：120；
（2）90
（3）解：最喜爱“测量”项目的学生人数是：人；
答：估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是300人；
（4）解：列表如下：
第一项第二项
——
——
——
——
——
或者树状图如下：
所以，选中、这两项活动的概率为：.
【解析】【解答】解：（2） 图②中扇形的圆心角度数为360°×=90°.
故答案为：90.
【分析】（1）利用参与活动的人数除以其所占百分比即得参与调查总人数，再求出参与活动的人数即可补图；
（2）利用样本中参与C活动的人数所占的比例，再乘以360°即得结论；
（3）利用样本中最喜爱“测量”项目的学生所占的比例，乘以1200即得结论；
（4）利用树状图列举出所有等可能情况，再找出选中、这两项活动的结果，再利用概率公式计算即可.
13．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在一网络直播平台上对一款成本价为 40 元的小商品进行直播销售，若按每件 60 元销售，则每天可卖出 20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加 10件.
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款小商品，则每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该款小商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该款小商品至少需打几折销售？
【答案】（1）解：设每件售价应定为x元 ，根据题意得，
整理得，
解得，
∵ 商家想尽快销售完该款小商品，
∴需要销售量尽量大，
∴应选x=50.
答：每件售价应定为50元 ；
（2）解：设需要打a折，则有
∴a≤8
答：至少需要打八折.
【解析】【分析】（1）日利润=日销售量×每件利润，设每件售价应定为x元 ，根据，日利润保持不变列方程进行求解即可；
（2）设需要打a折，根据销售价格不超过（1）中的售价列不等式求解，得出a的最值即可.
14．如图，某学校教学楼AB和市创业大厦CD之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处E，测得B，D处的俯角分别为68.5°，27.7°；然后操控无人机铅直起飞至比E处高20m的F处，再次测得这两处的俯角分别为70.8°.33.3°．已知点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，AC为水平地面，AB＝12m．请求出大厦CD的高度（结果精确到0.1m，参考数据见下表）．
科学计算粉按键顺序 计算结果（已取近似值）
0.94
2.87
0.37
2.54
0.66
0.53
【答案】解：如图，延长AB交过E，F的水平线于G，H点，延长CD交过E，F的水平线于M，N点，
∵在Rt△EGB中，设GB＝x m，tan∠GEB，
∴GE，
∵在Rt△FHB中，tan∠HFB，
∴HF，
∵GE＝HF，
∴，
解得x≈153.9（m），
∴GB＝153.9m，
∴AH＝AB+GB+GH＝12+153.9+20＝185.9（m），
∵在Rt△EMD中，设MD＝y m，tan∠MED，
∴ME，
∵在Rt△NFD中，tan∠NFD，
∴FN，
∵ME＝FN，
∴，
解得y≈81.5（m），
∴MD＝81.5（m），
∴CN＝CD+MD+MN＝CD+81.5+20，
即CN＝CD+101.5，
∵AH＝CN，
∴CD+101.5＝185.9，
∴CD＝84.4（m），
答：大厦CD的高度约为84.4米．
【解析】【分析】延长AB交过E，F的水平线于G，H点，延长CD交过E，F的水平线于M，N点，设GB＝x m，根据正切定义可得GE，HF，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得GB＝153.9m，根据边之间的关系可得AH，设MD＝y m，根据正切定义可得ME，FN，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得MD＝81.5（m），再根据边之间的关系即可求出答案.
15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持一定的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m处，小林驾驶一辆小轿车距大车车尾xm，此时红灯、大巴车车顶和小张的眼睛三点刚好在一条直线上，若大巴车车顶高于小林的水平视线0.8m，红灯下沿高于小林的水平视线3.2m，求x的值．
【答案】解：当红灯A、大巴车车顶C和小张的眼睛E三点刚好在一条直线上，大巴车车顶高于小林的水平视线0.8m，红灯下沿高于小林的水平视线3.2m，如下图，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EAB，
∴，
∴，
解得，
∴．
【解析】【分析】先证明△ECD∽△EAB，可得，将数据代入可得，再求出x的值即可。
16．为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克10元的价格收购了6000千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题：
①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元；
②这批苹果平均每天有10千克损坏，不能出售；
③每天的冷藏费用为300元；
④这批苹果最多保存110天．
若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售．
（1）多少天后这批苹果的市场价为每千克13元？
（2）求3天后一次性全部售出所得的利润为多少元？
（3）若m天后一次性出售所得利润为9100元，求m的值．
【答案】（1）解：设x天后这批苹果的市场价为每千克13元？
0.1x+10=13
解得x=30。
∴30天后这批苹果的市场价为每千克13元；
（2）解：
元，
∴3天后一次性全部售出所得的利润为591元；
（3）解：由题意得，，
整理得：，
解得（舍去）或．
∴m的值为130.
【解析】【分析】（1）结合条件“ 该苹果的市场价预计每天每千克上涨元”，因此x天后，会上涨0.1x元，而原价为每千克10元，此时即可列出方程，求解x即可；
（2）求出三天后的单价（10+3×0.1）元、没有损坏的苹果质量（6000-10×3）千克，用“单价×数量”即可求出销售额，再减去购买苹果的成本6000×10元和冷藏费用300×3元，计算即可得到答案；
（3）根据“利润=销售额-购买苹果的成本-冷藏的费用”，分别确定利润为9100元、销售额为元、购买苹果的成本为6000×10元、冷藏费用300m元，然后建立方程得到一个一元二次方程，最后求解取正数即可．
（1）解：天，
答：30天后这批苹果的市场价为每千克13元；
（2）解：
元，
答：3天后一次性全部售出所得的利润为591元；
（3）解：由题意得，，
整理得：，
解得（舍去）或．
17．如图，在一个长10cm，宽6cm的矩形铁皮的四角各截去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方形盒子．若长方形盒子的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求截去的小正方形的边长．
【答案】解：设截去的小正方形边长是xcm，则盒子的底面为长为（10-2x）cm和宽为（6-2x）cm
由题意得：（10 2x）（6 2x）＝32
解得： （舍去）．
答：截去的小正方形边长是1cm．
【解析】【分析】 设截去的小正方形边长是x，根据矩形的面积公式，列出关于x的一元二次方程，求出答案即可。
18．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，则方程就是“倍根方程”．
（1）根据上述定义，一元二次方程（填“是”或“不是”）“倍根方程”．
（2）若是“倍根方程”，求的值；
【答案】（1）解：∵，
∴，
解得，
∵，
∴一元二次方程不是“倍根方程”；
（2）解：∵，
∴，
∵是“倍根方程”，
∴或，
∴或，
即或．
【解析】【分析】（1）先利用十字相乘法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）的计算方法及步骤求出x的值，再利用“倍根方程”的定义分析求解即可；
（2）先求出方程的解，再利用“倍根方程”的定义可得或，再求出或即可.
（1）解：∵，
∴，
解得，
∵，
∴一元二次方程不是“倍根方程”；
（2）解：∵，
∴，
∵是“倍根方程”，
∴或，
∴或，
即或．
19．解读诗词(通过列方程算出周瑜去世时的年龄)：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄.
【答案】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为 ，依题意得：
，
解得 ， ，
当 时， ，（不合题意，舍去），
当 时， （符合题意），
答：周瑜去世时的年龄为36岁.
【解析】【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3，根据“个位数字的平方等于他去世时的年龄”可得10(x-3)+x=x2，求出x的值，然后结合去世时的年龄大于30进行验证.
20．关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根.
【答案】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2＋t＝ b，2t＝8，
解得t＝4，b＝-6，
答：b的值为-6，方程的另一个根为4．
【解析】【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得2＋t＝-b，2t＝8，然后解方程组即可．
21． 一个不透明的盒子里装有4 张书签，分别绘有“立春”“立夏”“立秋”“立冬”四个节气的景象，书签除图案外都相同，将4张书签充分搅匀.
（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“立夏”的概率为 .
（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“立春”，1张为“立秋”的概率.（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种，
∴抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率为
【解析】【解答】解：(1)∵一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”“夏”，“秋”，“冬”四个季节，
∴从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为，
故答案为：.
【分析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种，再由概率公式求解即可.
22．学校进行实践活动，喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC进行数学实践活动，如图，河对岸有一码头A，小伟在河岸 处测得 ，沿河岸到达 处，在 处测得 ，已知河宽为20米，求 之间的距离．
【答案】解：如图，过点 作 于点 ，
， ，
在 中， 米，
在 中， （米 ，
米．
答： 之间的距离为 米．
【解析】【分析】先求出 ， ， 再计算求解即可。
23．（1）解方程：；
（2）若，请直接写出时x的取值范围．
【答案】解：（1），
∴
∴x+4=±5.
解得，；
（2）
【解析】【解答】解：（2）令 ，由（1）可知，方程的解为，；
∴函数与轴的交点为和，
，
抛物线开口向上，
时的取值范围是．
【分析】（1）可运用开平方法求解这个二元一次方程；
（2）由（1）可知函数与轴的交点为和，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
24．现有一个不透明的口袋装有分别标有汉字“最”、“美”、“海”、“外”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美"的概率为：______．
（2）小明同学从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求出小明取出两个球上的汉字能组成“海外”的概率．
【答案】（1）
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，小明取出两个球上的汉字的所有等可能的结果共有12种，其中，小明取出两个球上的汉字恰能组成“海外”的结果有2种，
则小明取出两个球上的汉字恰能组成“海外”的概率为，
答：小明取出两个球上的汉字恰能组成“海外”的概率为．
【解析】【解答】解：（1）解：由题意，从中任取一个球共有4种结果，
则从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美”的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可得；
（2）此题是抽取不放回类型，根据题意先画出树状图列举出所有等可能的结果数，由图可知，小明取出两个球上的汉字的所有等可能的结果共有12种，其中，小明取出两个球上的汉字恰能组成“海外”的结果有2种，然后利用概率公式求解即可得．
25．扬州中国大运河博物馆坐落于扬州三湾古运河畔，大运河博物馆整体由大运塔和博物馆主体两部分组成.周末汐汐和父母去大运河博物馆游玩，看到大运塔时觉得非常宏伟，想知道它的高度.于是汐汐走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37°，向前走了40米至点E处，测得此时塔尖A的仰角是45°，已知汐汐的眼睛离地面高度是1.2米，请聪明的你帮她求出塔AB的高度.（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
【答案】解：由题意得∠DCB＝∠EFB＝∠GBF＝∠BGD＝90°，CDEFAB，
则四边形DCFE、EFBG、DCBG均为矩形.
所以BG＝EF＝CD＝1.2米，DE＝CF＝40米，
在Rt△AGE中，∠AEG＝∠EAG＝45°，则AG＝EG.
设AG＝EG＝x米，
在Rt△AGD中，tan∠ADG＝，
则tan37°＝，，
解得：x＝120，
所以AG＝120米，
则AB＝120+1.2＝121.2（米）.
答：塔AB的高度为121.2米.
【解析】【分析】由题意得∠DCB＝∠EFB＝∠GBF＝∠BGD＝90°，CD∥EF∥AB，则四边形DCFE、EFBG、DCBG均为矩形，根据矩形的性质可得BG＝EF＝CD＝1.2米，DE＝CF＝40米，设AG＝EG＝x米，根据∠ADG的正切函数可得x的值，然后求出AB即可.
26．项目化学习项目
主题：最擅长的物理实验调查
项目背景：物理实验是物理教学过程中极其重要的一环，物理实验可以深化对物理知识的理解，通过操作和观察实验现象提升感官认知，理解物理规律．某校综合实践小组以“你最擅长的物理实验是什么”为主题展开项目学习．
驱动任务：调研擅长每种实验的人数和比例．
研究步骤：（1）制作如下问卷：
你最擅长的物理实验是什么？（要求每个学生必选且只能选择一项）A．伏安法测小灯泡正常发光时的电阻B．探究电磁铁的磁性强弱与电流大小的关系C．测量蜡块的密度D．测量物体运动的平均速度E．探究平面镜成像时像与物的关系
（2）发放和回收问卷；
（3）整理数据，并形成如下统计图表：
选项 占调查人数的百分比
A
B
C
D
E
解决问题：请根据图表提供的信息，完成下列任务．
（1）本次一共调查了 名学生，统计表中， ， ；
（2）请补全条形统计图；
（3）某堂物理实验课上，小军要从以上五个实验中任意选做两个，请用列表或画树状图的方法求小军恰好选中两个探究性实验B和E的概率．
【答案】（1）400；；15
（2）解：选项B的人数：（人），
选项C的人数：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：根据题意，列表如下：
A B C D E
A ——
B ——
C ——
D ——
E ——
由表可知，所有可能出现的结果共有20种，其中小军恰好选中实验B和E的结果有2种，所以P（小军恰好选中实验B和E）
【解析】【解答】（1）解：总人数：（人），
，
即，
∴，
即，
故答案为：400，，15。
【分析】（1）用A的人数除以其占比，即可求出调查的学生总人数；用E的人数除以调查的学生总人数，再乘以100%，即可求出n的值；用1分别减去A、C、D和E的占比，即可求出m的值
（2）结合（1）的结果，用调查的学生人数乘以B的占比，求出B的学生人数；用调查的学生人数乘以C的占比，即可求出C的学生人数，然后再将B和C的学生人数在条状图上补充完整即可
（3）采用列表法列举出所有的可能性，然后再根据题干要求找出“恰好选中实验B和E的结果”，最后再根据概率的公式，即可求解
（1）总人数：（人），
，
即，
∴，
即，
故答案为：400，，15；
（2）选项B的人数：（人），
选项C的人数：（人），
补全条形统计图如下：
（3）根据题意，列表如下：
A B C D E
A ——
B ——
C ——
D ——
E ——
由表可知，所有可能出现的结果共有20种，其中小军恰好选中实验B和E的结果有2种，所以P（小军恰好选中实验B和E）．
27．“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，在第19届杭州亚运会中，吉祥物“莲莲”被认为最具山水诗气、受到人们的喜爱、某经销商销售大小两种规格的“莲莲”玩偶，第一周售出大玩偶200个、小玩偶300个，已知一个大玩偶的售价是一个小玩偶的售价的2倍少40元，第一周大玩偶和小玩偶的销售额相同.
（1）求两种玩偶的售价分别是多少元？
（2）该经销商发现人们对小玩偶的喜爱超过大玩偶，第二周准备调整运营模式，小玩偶原价销售，销量与第一周持平：大玩偶进行降价促销.经调查发现，大玩偶每降价1元，销量就会增加10件，若要使大玩偶的销售额比小玩偶的销售额多16000元，应把大玩偶降价多少元出售？（要求：大玩偶售价不低于小玩偶售价）
【答案】（1）解：设小玩偶的售价为x元，则大玩偶的售价为（2x-40）元，由题意有：
200（2x-40）=300x
解得：x=80.
2x-40=120
答：小玩偶的售价为80元，则大玩偶的售价为120元；
（2）解：设应把大玩偶降价y元出售，则有：
（120-y）（200+10y）=300×80+16000.
解得：y1=20，y2=80
当y=80时，大玩偶售价为120-80=40<80，不符题意，舍去，
∴y=20，此时大玩偶售价为120-20=100.
答：把大玩偶降价20元出售.
【解析】【分析】（1） 设小玩偶的售价为x元，则大玩偶的售价为（2x-40）元，由题意得
200（2x-40）=300x，计算求解即可；
（2）设应把大玩偶降价y元出售，根据题意得（120-y）（200+10y）=300×80+16000，计算求解即可.
28．图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB＝873m，如图②．从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求吉塔的高度CD（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）
【答案】解：过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵AB⊥BD，CF⊥AB，DC⊥BD，
∴∠CDB＝∠B＝∠CFB＝90°．
∴四边形CDBF是矩形．
∴BF＝CD，CF＝BD＝873m．
∵CF∥BD∥AE，
∴∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°．
在Rt△ACF中，
∵tan∠ACF＝，
∴AF＝tan∠ACF CF
＝tan37°×873
≈0.75×873
≈654.75（m）．
在Rt△DBA中，
∵tan∠ADB＝，
∴AB＝tan∠ADB BD
＝tan45°×873
＝1×873
＝873（m）．
∴CD＝FB＝AB﹣AF
＝873﹣654.75
＝218.25
≈218.3（m）．
答：吉塔的高度CD约为218.3m．
【解析】【分析】过点C作CF⊥AB，垂足为F，首先判断出四边形CDBF是矩形，得BF＝CD，CF＝BD＝873m，由二直线平行，内错角相等得∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°，在Rt△ACF中，由∠ACF得正切函数可求出AF的长，在Rt△DBA中，由∠ADB得正切函数可求出AB的长，最后根据CD＝FB＝AB﹣AF可算出答案.
29．如图，某小区有甲、乙两座楼房，楼间距BC为50米，在乙楼顶部A点测得甲楼顶部D点的仰角为37°，在乙楼底部B点测得甲楼顶部D点的仰角为60°，则甲、乙两楼的高度分别为多少？(结果精确到1米，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73)
【答案】解：作AE⊥CD于点E，则四边形ABCE是矩形．
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan60°＝50× ≈87(米)，
在Rt△ADE中，DE＝AE·tan37°≈50×0.75≈38(米)，
∴AB＝CE＝CD－DE＝87－38＝49(米)．
答：甲、乙两楼的高度分别为87米，49米．
【解析】【分析】作AE⊥CD，这样出现两个直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可.
30．已知关于的方程．
（1）当为何值时，该方程是一元二次方程？
（2）当为何值时，该方程是一元一次方程？
【答案】（1）解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
答：当时，该方程是一元二次方程；
（2）解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得：，
答：当时，该方程是一元一次方程．
【解析】【分析】（）根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m的不等式，解不等式即可求解；
（）根据一元一次方程的“含有一个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m的不等式，解不等式即可求解.
（1）解：根据题意，，
解得：，
故当时，该方程是一元二次方程；
（2）解根据题意，且，
解得：，
故当时，该方程是一元一次方程．
31．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的动点．
（1）若AD=5，DE=3时，AE的长恰好是偶数，则AE的长为 ；
（2）若BC∥DE时，∠B=60°，∠CED=105°，求∠A的度数
【答案】（1）4或6
（2）解：∵BC∥DE，
∴∠ADE=∠B=60°，
∵∠CED=105°，
∴∠A=∠CED-∠ADE=105°-60°=45°．
【解析】【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得：5-3＜AE＜5+3，
∴2＜AE＜8，
∵AE的长恰好是偶数，
∴AE的长为4或6．
故答案为：4或6．
【分析】(1)由三角形三边关系定理得2
(2)由平行线的性质推出由三角形外角的性质解答即可
32．在中，，分别是的对边．若，试解这个直角三角形．
【答案】解：在中，
【解析】【分析】 在中， 根据已知条件利用勾股定理求得c的值，利用正切的定义求得 ，结合直角三角形的性质即可求解.
33．嵊州市某小区门口安装了曲臂遥控连杆道闸，连杆主要由主动杆和辅助杆两部分组成，图是遥控连杆在某次升起时的示意图，OB 为主动杆，AB 为辅助杆，OA 是指连杆处在水平静止状态时，此时O，B，A在同一直线上，OA∥DE(DE 表示地平线)，现测得整个连杆的长度OA=4.5m ，桩的高度OE=1m .连结点 B 是 OA 的三等分点(OB >AB)，在升起的过程中，辅助杆A'B'始终平行于地平线，连杆在完全升起后的倾角
（1）OB 的长度为 m；
（2）求连杆在完全升起后辅助杆A'B'距离地面的高度.(参考数据： 0.17，tan80°≈5.67)
【答案】（1）3
（2）解：过点 B'作 B'F⊥OA 于点 F，如图.
依题意，得(OB'=OB=3m.
在 Rt △B' FO 中， ∠B' OF = 80°，∠B'FO=90°，
即 解得
∴连杆在完全升起后辅助杆 A'B'距离地面的高度约为2.94+1=3.94(m).
【解析】【解答】解：∵OA=4.5m，且点B是OA的三等分点，OB>AB，
∴(m)
故答案为：3.
【分析】(1)根据连结点B是OA的三等分点(OB>AB)即可求解；
(2)过点B'作B'F⊥OA于F，在Rt△B'FO中，解直角三角形得B'F≈2.94m，进而可求解.
34．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求的值．
【答案】（1）证明：
，
，
，
方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
，．
为整数，且原方程有两个互不相等的正整数根，
．
答：的值为．
【解析】【分析】 (1) 方程总有2个实数根，我们要证明一元二次方程的判别式，即，得到，根据平方的非负性，我们得到方程总有2个实数根的结论；(2) 根据题意，先求方程的根，再根据根的代数式是正整数来讨论m的取值；在求根的过程中，公式法较麻烦，观察试算，发现可以用分解因数（十字相乘）法求解。
35．如图，△ABC中，DE//BC， DF//AC， AE=4， EC=2， BC=8．求 BF 和 CF 的长．
【答案】解： ， AE=4， EC=2， BC=8，
，
，
，
，
，
=8-= ．
【解析】【分析】利用平行线分线段成比例的性质列出比例式求解即可。
36．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶 ，坝高 ，斜坡 的坡度 ，求坝底 的长.（ ，结果精确到 ）
【答案】解：∵坝高BE＝CF＝30米，斜坡AB的坡角∠A＝30°，
∴tan30°＝ ，
即 ，
∴AE＝30 （m），
∵斜坡CD的坡度i＝1：3，
∴DF＝3×30＝90（m），
∴AD＝AE+EF+DF＝30 +8+90＝98+30 ≈149.96（m），
答：坝底宽AD的长约为149.96m.
【解析】【分析】由题得BE＝CF＝30米，∠A＝30°，根据∠A的正切函数可得AE，结合CD的坡度可求出DF，然后根据AD＝AE+EF+DF计算即可.
37．书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的通道．某中学为响应“全民阅读活动”，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆360人次．若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率．
【答案】解：设进馆人次的月平均增长率为，
依题意得：，
化简得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：进馆人次的月平均增长率为．
【解析】【分析】 设进馆人次的月平均增长率为，根据第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆360人次，进馆人次的月平均增长率相同，即可列出关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的x的值即可求解.
38．郑州博物馆（新馆）位于郑州奥体中心附近，其主展馆以郑州出土的商代青铜方鼎为造型基础，整体建筑风格取鼎器粗犷与精美相统一的神韵，让人叹为观止．某校数学小组的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量郑州博物馆（新馆）的高度．如图，他们在处测得顶端的仰角为，沿方向前进到达处，又测得顶端的仰角为，已知测角仪的高度为，测量点与郑州博物馆（新馆）的底部在同一水平线上，求郑州博物馆（新馆）的高度（结果精确到；参考数据）．
【答案】62
【解析】【解答】连接EF，延长EF交AB于点G，如图所示：
根据题意可得：EG⊥AB，CEDF=BG=1.5m，EF=CD=17m，
设FG=ym，则EG=EF+FG=（y+17）m，
在Rt△AFG中，∠AFG=45°，
∴AG=GF×tan45°=ym，
在Rt△AEG中，AG=EG×tan38°≈0.78×（y+17）m，
∴y=0.78×（y+17），
解得：y=60.3，
∴AG=60.3m，
∴AB=AG+BG=60.3+1.5=61.8≈62m，
∴郑州博物馆（新馆）的高度AB为62米，
故答案为：62.
【分析】连接EF，延长EF交AB于点G，设FG=ym，则EG=EF+FG=（y+17）m，再利用解直角三角形的方法求出AG=GF×tan45°=ym，AG=EG×tan38°≈0.78×（y+17）m，可得y=0.78×（y+17），求出y的值，再利用线段的和差求出AB的长即可.
39．现有四张正面分别写有、1、2、5的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将这四张卡片背面朝上并洗匀.先从中随机抽取1张卡片后不放回，再从余下的3张中随机抽取1张，用画树状图或列表的方法求抽到的两张卡片上的数字之积是负数的概率.
【答案】解：画树状图如圈。
由树状图知共有12种结果，其中两张卡片上的数字之积是负数的有6种、抽到的两张卡片上的数字之积是负数的概率.
【解析】【分析】先根据题意画出树状图，进而得到共有12种结果，其中两张卡片上的数字之积是负数的有6种，再根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
40． 如图是某校操场上的一种漫步机，图是其侧面结构示意图，已知主支架长为，且与水平地面基架的夹角为，前支架与所成的，扶手长为，．
（参考数据：，，，，，，结果精确到）
（1）求的度数；
（2）求漫步机的高度（点E到的距离）．
【答案】（1）解：在中，
∵，，
∴；
（2）解：过点作的平行线，
∵，
∴，
∵，
∴，
分别过点作于，于，
∵，，，，
∴，
，
∴漫步机的高度为．
【解析】【分析】（1）将已知条件在图上标示出来，易由三角形内角和公式求得的度数；
（2）漫步机的高度是点E到BD的距离，故先做辅助线表示出高度，可见高分两段：点E到过A的水平线的距离，可以先求出EA与水平方向的夹角，再由正弦值乘以AE来求；点A到底面BD的距离，可以用70°角的正弦值乘以AB来求，将两段高相加即可求出漫步机的高度。
41．一个纸箱内装有三张正面分别标有数字﹣4，6，4的卡片，卡片除正面数字外其他均相同．将三张卡片搅匀后，从中随机摸出一张卡片记下数字，放回后搅匀，再从中随机摸出一张卡片并记下数字．请用列表法或画树状图法求两次取得数字的绝对值相等的概率．
【答案】解：列树状图如下所示：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，
∵，，，
∴当两次摸到相同的数字，或者摸到一个4，一个-4，那么两次摸到的数的绝对值就相等，
∴由树状图可知两次取得数字的绝对值相等的结果数有5种，
∴P两次取得数字的绝对值相等．
【解析】【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
42．已知x2﹣1＝15，求x的值．
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】先求出 ， 再利用直接开平方法计算求解即可。
43．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA=OC，OB=OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF，
（1）求证：△BOE=△DOF；
（2）求证：四边形DEBF是菱形；
（3）设AD∥EF，AD+AB=12，BD=4，求AF的长.
【答案】（1）证明：，
四边形ABCD是平行四边形
，
在和中
（2）证明：
四边形DEBF是平行四边形
∵FO⊥BD，OB=OD
∴△BFD是等腰三角形，BF=DF
∴四边形DEBF是菱形
（3）解：
设，则
解得，
，
，
，
是等边三角形
，
∴四边形ADFE是平行四边形
如图，作于H
，
，
由勾股定理得，
由勾股定理得，
的长为
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形ABCD是平行四边形，则，再根据直线平行性质可得，，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，根据平行四边形判定定理可得四边形DEBF是平行四边形，再根据等腰三角形判定定理可得△BFD是等腰三角形，则BF=DF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（3）根据直线平行性质可得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，再根据平行四边形判定定可得四边形ADFE是平行四边形，则，作于H，再根据边之间的关系可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
44．如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣（不计宽度，记为点A）组成，其侧面示意图为△ABC，测得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C′，当∠C′=30°时，求移动的距离即CC′的长（或用计算器计算，结果取整数，其中 =1.732， =4.583）
【答案】解：过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D．
在△ABC中，∵AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，
∴BC=3cm．
当动点C移动至C′时，A′C′=AC=4cm．
在△A′DC′中，∵∠C′=30°，∠A′DC′=90°，
∴A′D= A′C′=2cm，C′D= A′D=2 cm．
在△A′DB中，∵∠A′DB=90°，A′B=5cm，A′D=2cm，
∴BD= = cm，
∴CC′=C′D+BD﹣BC=2 + ﹣3，
∵ =1.732， =4.583，
∴CC′=2×1.732+4.583﹣3≈5．
故移动的距离即CC′的长约为5cm．
【解析】【分析】过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D，先在△ABC中，由勾股定理求出BC=3cm，再解Rt△A′DC′，得出A′D=2cm，C′D=2 cm，在Rt△A′DB中，由勾股定理求出BD= cm，然后根据CC′=C′D+BD﹣BC，将数据代入，即可求出CC′的长．
45． 2022年受新型冠状病毒疫情的影响，水果电商有了意想不到的机遇，据统计某水果电商平台1月份的销售额是225万元，第一季度的销售额是819万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某水果在电商平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）解：设月平均增长率为x，则：225＋225（1＋x）＋225（1＋x）2＝819，
解得：x1＝0.2，x2＝－3.2（舍去），
∴月平均增长率是20%．
（2）解： 设售价应降低y元，则： ，
解得：y1＝4，y2＝2（舍去），
∴若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低4元．
【解析】【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程，并解出符合题意的 x 即可；
（2）设售价应降低y元，根据题意列出关于y的一元二次方程，并解出符合题意的 y 即可.
46．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和A、B、C三点均为格点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2；
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）
【答案】解：（1）所作图形如图所示：
（2）OA==，AC==4，
∵△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2；
∴A′C′=AC=2，
==，
∴OC′=OC=，OA′=OA=，
∴AA′=OA﹣OA′=，CC′=OC﹣OC′=，
∴四边形AA'C'C的周长=AC+CC′+A′C′+AA′
=4++2+
=6++．
【解析】【分析】（1）连结OA，分别取OA、OB、OC的中点A′、B′、C′，则△A′B′C′为所求；
（2）先利用勾股定理计算出OA═，AC=4，再利用位似的性质得到A′C′=AC=2，= =，则OC′=OC=，OA′=OA=，所以AA′=，CC′=，然后计算四边形AA′C′C的周长．
47．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°， AC=8， sinB＝， 点D是斜边AB的中点，点E是边AC的中点，连接CD，点P为线段CD上一点，作点C关于直线EP对称点F，连结EF、PF，设DP长为x（x＞0）．
（1）AB的长为 ．
（2）求PF长度（用含x的代数式表示）．
（3）当点F落在直线CD上时，求x的值．
（4）当直线PF与△ABC的边BC或AC垂直时，直接写出x的值．
【答案】（1）10
（2）解：∵点D是斜边AB的中点，AB＝10，
∴CD＝AB＝5，
∵DP长为x，
∴CP＝5﹣x，
∵作点C关于直线EP对称点F，
∴PF＝PC＝5﹣x；
（3）解：如图，当点F落在直线上时，
∵点E是边的中点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
解得；
（4）解： x＝1或3
【解析】【解答】解：(1)∵在中，，， ，
∴，
故答案为：；
(4)当时，延长交于点G，
在中，，
∴，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵在中， ，
∴，
解得；
当时，延长交于点M，则 ，
∴，
∴，
∴中，
∴
∵在中，
∴，
∴，
∴ ，
在中， ，
∴，
解得．
综上所述，x的值为1或3．
【分析】（1）在中，利用正弦的定义式求解即可；
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，进而得到，再由轴对称的性质可得；
（3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等边对等角得，于是有；由轴对称的性质可得，在可得方程，解得；
（4）分两种情况：当时，延长交于点G，利用勾股定理求得，则，利用轴对称的性质可得，，则，表示出则，在可得方程，解得；当时，延长交于点M，利用 得出，在 得到，在中，得到，，进而得到 ，在中建立方程，解得，据此可得答案．
48．已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为7和9，另一条边长为偶数．
①请写出一个三角形，符合上述条件的第三边长．
②若符合上述条件的三角形共有a个，求a的值．
【答案】【解答】两边长分别为9和7，设第三边是m，则9－7＜m＜7＋9，即2＜a＜16．①第三边长是4．（答案不唯一）；②∵2＜m＜16，∴m的值为4，6，8，10，12，14共六个，∴a＝6．
【解析】【分析】①根据三角形三边关系求得第三边的取值范围，即可求解；
②找到第三边的取值范围内的正整数的个数，即为所求．
49．设等式 在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不等的实数，求 的值.
【答案】解：由题意得，a-y≥0，a（y-a）≥0，a≠y，
∴a≤0.同理，x-a≥0，a（x-a）≥0，a≠x，
∴a≥0，∴a=0.
原式化简为 即 两边同时平方，得x=-y，
把 x = -y 代入原式， 得
【解析】【分析】要使等式有意义，4个被开方数（式）都必须是非负数，所以 ≥0，a（y-a）≥0，a-y≥0，观察4个被开方式的异同，可确定a 的符号，进一步可确定a的值，从而得出x与y之间的关系.
50．已知，，
（1）如图1，连接、，问与相等吗？并说明理由．
（2）若将绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在边上时，请写出、、之间关系，并说明理由．
（3）若绕点O旋转，当时，直线与直线交于点F，求的长．
【答案】（1）解：与相等；
理由如下：
，
，
即，
在和中
，
；
（2）解：结论：
理由如下：
如图：连接，
，
，
即
在和中
，
，，
，，，
，，
，
，
，
；
（3）解：如图：过点O作于点E，
，，
，
，
，
如图：当点F在的延长线上时，
，，
，
，
；
如图：当点F在线段上时，
，，
，
，
，
，
，
解得，
，
综上，的长为或．
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则AC=BD，即可求出答案.
（2）连接，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）过点O作于点E，根据勾股定理可得CD，再根据三角形面积可得OE，分情况讨论：当点F在的延长线上时，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案；当点F在线段上时，根据三角形内角和定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得OF，再根据边之间的关系即可求出答案.
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