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【解答题强化训练·50道必刷题】华东师大版数学九年级下册期末总复习
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交边AC于点E，若AD=6，求的长（结果保留π）．
2．某学校24个班进行广播操比赛，比赛打分包括以下三项：服装统一、进退场有序、动作规范整齐．每项测试均由五位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将服装统一、进退场有序、动作规范整齐三项的测试成绩按，，的比例计算出每班的总评成绩．八年级（1）班、（2）班的三项测试成绩和总评成绩如表，这24个班级的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图．
班级 测试成绩/分 总评成绩/分
服装统一 进退场有序 动作规范整齐
八年级（1）班 82 72 80 78
八年级（2）班 80 84 ▲ ▲
（1）在“动作规范整齐”这一项中，五位评委给八年级（2）班打出的分数如下：82，79，80，87，82．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分；
（2）请你计算八年级（2）班的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩选出15个班级进行评奖．试分析八年级（1）班、（2）班能否入选，并说明理由．
3．体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表，有一个数据被污染了，只知道这一组的频率为2%．
次数x
频数 1 2 25 15 2
（1）组距是 ，组数是 ；
（2）求全班的学生人数；
（3）求跳绳次数x在范围的学生占全班学生的百分比．
4．如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，∠B=28°，求∠BOC的度数．
5．已知二次函数的图象经过，，求二次函数的表达式．
6．某产品每件成本28元，在试销阶段产品的日销售量y（件）与每件产品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示．为维持市场物价平衡，最高售价不得高出83元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
7．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x＝2，顶点为D.求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积.
8．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．
（ 1 ）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标；
（ 2 ）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（ 3 ）在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
9． 如图，AB是⊙O的直径．菱形AOCD交⊙O于点C，点E．
（1）连结AC，求证：．
（2）连结BC，若AB＝25，BC＝15，求AE的长．
10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和对称轴．
（2）P为y轴上的一点．若点P向左平移n个单位，将与抛物线上的点P1重合；若点P向右平移2n个单位，将与抛物线上的点P2重合．已知n＞0．
①求n的值．
②若点C在抛物线上，且在直线P1P2的上方（不与点P1，P2重合），求点C纵坐标的取值范围．
11．如图，顶点M（0，﹣1）在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，连结AM，BM．
（1）求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？
12．已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长．
13． 如图，四边形内接于，且，过点的切线与的延长线交于点．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
14．某超市购入一批进价为10元盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值．
销售单价元 12 14 16 18 20
销售量盒 56 52 48 44 40
（1）求与的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求的值．
15．对于“已知，求的最大值”这个问题，小明是这样求解的：
∵，∴，∴
∴，所以的最大值为.
请你按照这种方法计算：当时，的最小值.
16． 如图， 圆内接四边形ABDC， AB是⊙O的直径， OD⊥BC交BC于点E.
（1） 求证： 点 D为的中点；
（2） 若BE=4， AC=6，求DE 的长.
17．我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元的工艺品，投放市场试销后发现每天的销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数。当售价为22元/件时，每天销售量为780件；当售价为25元/件时，每天销售量为750件。
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果该工艺品售价最高不超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价-成本）
18．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC．
（1）求证：GE＝BE；
（2）若AG＝6，BG＝4，求CD的长．
19．已知二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象交于两点A（﹣2，﹣5）和B（1，4），且二次函数图象与y轴的交点在直线y=2x+3上，求这两个函数的解析式．
20．我市为加强学生的安全意识，组织了全市学生参加安全知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答以下问题．
（1）一共抽取了 个参赛学生的成绩；表中a＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中“B”对应的圆心角度数；
（4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，则所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是多少？
21．已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标为（－3，0），（1，0），且与y轴的交点坐标为（0，－3），求这个二次函数的解析式
22．在期末评选优秀班干部的投票选举中，小华、小颖、小亮、小聪每人得到赞成票数如下，在表中填写每人获得的赞成总票数．
23．已知抛物线的顶点坐标（2，3）且过点（3，4），求抛物线的解析式．
24．根据大数据显示，我国人口出生人数逐年减少，人口问题十分严峻，为扭转这一局面，我国出台政策：加强宣传教育；改进教育体制；发展经济和就业；加强生育政策，某地针对政策进行了宣传，几个月后针对民众对四大政策支持情况进行调查统计，并绘制了如下两个统计图．
整理数据
（1）调查的民众人数为 ▲ ，其中支持发展经济和就业的民众数为 ▲ ，并补全图1；
（2）求类在扇形统计图中对应的圆心角度数；
（3）分析数据
①根据以上信息分析民众对四大政策支持情况；
②若所调查地区人口数约为45万，请你估计该地支持改进教育体制与发展经济和就业的人数．
25．已知抛物线y=2x2+bx+c经过点（3，0），（0，-6）.
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断点A（-2，8）是否在抛物线上，请说明理由.
26．为了加强对青少年防溺水安全教育，某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七、八年级中随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，共分成四组：）
七年级10名学生的成绩：96，86，96，86，99，96，90，100，89，82
八年级10名学生的成绩在C组中的数据：94，90，92
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 93 38.44
八年级 92 99 34
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ， ， ．
（2）根据以上数据，你认为在此次防溺水安全知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）．
27．某学校以随机抽样的方式开展了“中学生喜欢数学的程度”的问卷调查，调查的结果分为不喜欢、一般、比较喜欢、非常喜欢四个等级，图、图是根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）等级所占的圆心角为 ；
（2）请直接在图中补全条形统计图；
（3）若该校有学生人，请根据调查结果，估计“比较喜欢”的学生人数为多少人．
28．已知如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，M是AC的中点，点N在AB上（不同于A、B），将△ANM绕点M逆时针旋转90°得△A1PM
（1）画出△A1PM
（2）设AN=x，四边形NMCP的面积为y，直接写出y关于x的函数关系式，并求y的最大或最小值．
29．为迎接我市青少年读书活动，某校倡议同学们利于课余时间多阅读，为了了解同学们的读书情况，在全校随机调查了部分同学在一周内的阅读时间，并用得到的数据绘制了统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）被抽查学生阅读时间的中位数为 小时，众数为 小时，平均数为 小时；
（2）已知全校学生人数为2400人，请你估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有多少人？
30．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以边AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E.
（1）求证：BD＝DC；
（2）若∠BAC＝40°，求弧DE的度数.
31．为了深化改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团．为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：
某校被调查学生选择社团意向统计表
选择意向 所占百分比
文学鉴赏 a
科学实验 35%
音乐舞蹈 b
手工编织 10%
其他 c
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数及a，b，c的值；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的人数．
32．如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离.
33．某商品现在的售价每件60元，每星期可卖出300；市场调查发现，每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品进价为40元，如何定价，才能使利润最大？
34．如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画圆，与边相切于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
35．二次函数（，为常数）的图像经过点，．
（1）求二次函数的表达式，并写出该二次函数图象的顶点坐标；
（2）求当时，的范围．
36．如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）
（1）把△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B1C1；
（2）如果网格中小正方形的边长为1，求点B旋转到B1所经过的弧形路径长．
37．某校为了解九年级学生的体质情况举行体育测试，以九年级班学生的体育测试成绩为样本，按，，，四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图：
说明：级：分分；级：分分；级：分分；级：分以下级成绩为优秀，级成绩为良好，级成绩为合格，级成绩为不合格
其中级成绩单位：分为：；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
请你结合所给信息，解决下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中级所在的扇形的圆心角度数是 ；九年级班学生的体育测试成绩的中位数是 ；
（3）若该校九年级有名学生，诪你用此样本估计体育测试中达到良好及良好以上的学生人数约为多少人．
38．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．每台机器产生的次品数p（千件）与每台机器的日产量x（千件）（生产条件要求4≤x≤12）之间变化关系如表：
日产量x（千件/台） … 5 6 7 8 9 …
次品数p（千件/台） … 0.7 0.6 0.7 1 1.5 …
已知每生产1千件合格的元件可以盈利1.6千元，但没生产1千件次品将亏损0.4千元．（利润=盈利﹣亏损）
（1）观察并分析表中p与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识求出p（千件）与x（千件）的函数解析式；
（2）设该工厂每天生产这种元件所获得的利润为y（千元），试将y表示x的函数；并求当每台机器的日产量x（千件）为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？
39．2010年春季以来，我国西南地区遭受了严重的旱情，某校学生会自发组织了“保护水资源从我做起”的活动．同学们采取问卷调查的方式，随机调查了本校150名同学家庭月人均用水量和节水措施情况．以下是根据调查结果作出的统计图的一部分．
请根据以上信息解答问题：
（1）补全图1和图2；
（2）如果全校学生家庭总人数约为3000人，根据这150名同学家庭月人均用水量，估计全校学生家庭月用水总量．
40．小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接．
（1）求k的值；
（2）求扇形的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．
41．已知抛物线C：y=x2+（2m﹣1）x﹣2m．
（1）若m=1，抛物线C交x轴于A，B两点，求AB的长；
（2）若一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点，求m的取值范围；
42．某超市以每件元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于元经过市场调查发现，该文具每天的销售量件与销售单价元之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价元
每天的销售量件
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？
（3）该超市要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为多少元？最大利润是多少元？
43．如图①，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点BF与CD相交于点G.
（1）求证：CD=BF.
（2）若BE=1，BF=4，求GE 的长.
（3）如图②，连结GO，OF，求证：2∠EOG+
44．已知：如图，在Rt中，，点在AB边上.以BD为直径的与AC相切于点.连结DE并延长，交BC的延长线于点.
（1）求证：.
（2）若，求的半径.
45． 已知函数y=-x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点(0，-3)，(-2，5).
（1）求b，c的值；
（2）当-4≤x≤0时，求y的最大值；
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，请求出m的值.
46．如图，点 M，N 在抛物线 上，点 M 在点 N 的右边，若△MNE 的两条边ME，NE 所在的直线与抛物线都有唯一公共点，且S△MNE=2，设 M，N两点的横坐标分别为m，n，求m 与n的数量关系.
47．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱.
（1）请求出这种水果批发价（元/千克）与购进数量（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
48．在平面直角坐标系中，点A是抛物线的顶点．
（1）求点A的坐标（用含的代数式表示）；
（2）若射线与轴所成的锐角为，求的值；
（3）将点向左平移4个单位得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，求出的取值范围．
49．已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1.
（1）求b的值.
（2）点在抛物线上，点在抛物线上.
①若，且，求h的值；
②若，求h的最大值.解答：
50．如图，在中，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作与AC相切于点，在AC边上取一点，使，连接DF．
（1）判断直线DF与的位置关系，并说明理由；
（2）当时，求的半径．
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【解答题强化训练·50道必刷题】华东师大版数学九年级下册期末总复习
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交边AC于点E，若AD=6，求的长（结果保留π）．
【答案】解：解：如图，连接OB，OE，
∵∠ABC=90°，∠C=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BOE=2∠BAC=120°，
∵AD=6，
∴OD=3，
∴的长为=2π．
【解析】【分析】接OB ，OE ， 根据∠ABC=90°，∠C=30°，得∠BAC=60°，再根据圆周角定理可得：∠BOE=2∠BAC=120°，可求出答案。
2．某学校24个班进行广播操比赛，比赛打分包括以下三项：服装统一、进退场有序、动作规范整齐．每项测试均由五位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将服装统一、进退场有序、动作规范整齐三项的测试成绩按，，的比例计算出每班的总评成绩．八年级（1）班、（2）班的三项测试成绩和总评成绩如表，这24个班级的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图．
班级 测试成绩/分 总评成绩/分
服装统一 进退场有序 动作规范整齐
八年级（1）班 82 72 80 78
八年级（2）班 80 84 ▲ ▲
（1）在“动作规范整齐”这一项中，五位评委给八年级（2）班打出的分数如下：82，79，80，87，82．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分；
（2）请你计算八年级（2）班的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩选出15个班级进行评奖．试分析八年级（1）班、（2）班能否入选，并说明理由．
【答案】（1）82；82；82
（2）解：八年级（2）班的总评成绩为：（分）；
答：八年级（2）班的总评成绩为分；
（3）解：八年级（2）班确定能入选，八年级（1）班不一定能入选，理由如下：
由直方图可知：80分及以上的有14个班级，
∵八年级（2）班的总评成绩大于80分，八年级（1）班的总评成绩小于80分，
故八年级（2）班确定能入选，八年级（1）班不一定能入选．
【解析】【解答】（1）解：将数据排序后：79，80，82，82，87，位于中间一位的是，故中位数为：分；
出现次数最多的是：82，故众数为：分；
平均数是分；
【分析】（1）根据中位数，众数，平均数的定义即可求出答案.
（2）根据加权平均数即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义，结合题意即可求出答案.
（1）解：将数据排序后：79，80，82，82，87，位于中间一位的是，故中位数为：分；
出现次数最多的是：82，故众数为：分；
平均数是分；
（2）解：八年级（2）班的总评成绩为：（分）；
答：八年级（2）班的总评成绩为分；
（3）解：八年级（2）班确定能入选，八年级（1）班不一定能入选，理由如下：
由直方图可知：80分及以上的有14个班级，
∵八年级（2）班的总评成绩大于80分，八年级（1）班的总评成绩小于80分，
故八年级（2）班确定能入选，八年级（1）班不一定能入选．
3．体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表，有一个数据被污染了，只知道这一组的频率为2%．
次数x
频数 1 2 25 15 2
（1）组距是 ，组数是 ；
（2）求全班的学生人数；
（3）求跳绳次数x在范围的学生占全班学生的百分比．
【答案】（1）20；6
（2）解：，即全班有50名学生
（3）解：跳绳次数x在范围的学生有（名），
占全班学生的百分比为．
【解析】【解答】（1）由题意可得组距是20，组数为6，
【分析】（1）根据表格中数据即可求解；
（2）根据这一组的频率为2%，从而得到全班的人数；
（3）根据（2）中求得全班的人数和表格中的数据可求得跳绳次数x在的范围的学生占全班学生的百分比，从而求解.
4．如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，∠B=28°，求∠BOC的度数．
【答案】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣28°=62°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=62°，而∠ACO=∠BOC+∠B，∴∠BOC=62°﹣28°=34°．
【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余可知∠A=90°﹣28°=62°，由同圆半径相等可得∠ACO=∠A=62°，再利用三角形外角性质∠ACO=∠BOC+∠B，即可求出∠BOC。
5．已知二次函数的图象经过，，求二次函数的表达式．
【答案】解：∵二次函数的图象经过，，
∴，解得，
∴二次函数解析式为．
【解析】【分析】根据二次函数的图象经过，，列方程组，解出、的值，从而得到二次函数解析式．
6．某产品每件成本28元，在试销阶段产品的日销售量y（件）与每件产品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示．为维持市场物价平衡，最高售价不得高出83元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
【答案】解：（1）当30＜x≤40时，设此段的函数解析式为：y=kx+b，
解得，k=﹣3，b=156
∴当30＜x≤40时，函数的解析式为：y=﹣3x+156；
当40＜x≤80时，设此段函数的解析式为：y=mx+n，
解得，m=，n=56，
∴当40＜x≤80时，函数的解析式为：y=；
当80＜x≤83时，y=16；
由上可得，y与x之间的函数关系式是：y=；
（2）当30＜x≤40时，
w=（x﹣28）y
=（x﹣28）（﹣3x+156）
=﹣3x2+240x﹣4368
=﹣3（x﹣40）2+432
∴当x=40时取得最大值，最大值为w=432元；
当40＜x≤80时，
w=（x﹣28）y
=（x﹣28）（）
=
=，
∴当x=70时，取得最大值，最大值为w=882元；
当80＜x≤83时，w=（x﹣28）×16
∴当x=83时，取得最大值，最大值为w=880元；
由上可得，当x=70时，每日点的销售利润最大，最大为882元，
即要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为70元，此时每日销售利润是882元．
【解析】【分析】（1）根据函数图象可知该函数分为三段，然后分别设出相应的函数解析式，根据图象提供的信息求出相应的函数解析式即可解答本题；
（2）根据第（1）问中的函数解析式可以求出所对应的利润，然后求出各段的最大利润然后进行比较即可解答本题．
7．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x＝2，顶点为D.求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积.
【答案】解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
把A（1，0），C（0，6）代入得： ，
解得： ，
则二次函数解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6；
∵y＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点D的坐标为（2，﹣2），
由A（1，0），对称轴为直线x＝2可知另一个与x轴的交点B（3，0），
∴AB＝2，
∴S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC＝ ＝8.
【解析】【分析】根据二次函数的对称轴为直线x＝2，设出二次函数解析式，把A与C坐标代入求出a与k的值，确定出二次函数解析式；然后将解析式配成顶点式找出函数图象顶点D的坐标，进而根据对称性求得B的坐标，根据S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC求得即可.
8．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．
（ 1 ）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标；
（ 2 ）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（ 3 ）在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
【答案】解：⑴如图所示：即为所求，
∴由图象可得；
⑵如图所示：即为所求，
∴由图象可得；
⑶由（2）的图象可得：点A旋转到点所经过的路径为圆弧，
∵，
∴点A旋转到点所经过的路径长为．
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、O的对应点，再连接并直接写出点的坐标即可；
（2）利用旋转的性质找出点A、B、O的对应点，再连接并直接写出点的坐标即可；
（3）利用弧长公式求出答案即可。
9． 如图，AB是⊙O的直径．菱形AOCD交⊙O于点C，点E．
（1）连结AC，求证：．
（2）连结BC，若AB＝25，BC＝15，求AE的长．
【答案】（1）证明：连接AC，如图，
∵四边形OADC为菱形，
∴AC平分∠OAD，
即∠EAC＝∠BAC，
∴；
（2）解：连接BE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵，
∴OC⊥BE，
∴EF＝BF，
∴OF为△ABE的中位线，
∴OF＝AE，
在Rt△OBF中，BF2＝OB2-OF2＝（）2-OF2，
在Rt△CBF中，BF2＝BC2-CF2＝152-（-OF）2，
∴（）2-OF2＝152-（-OF）2，
解得OF＝，
∴AE＝2OF＝7．
【解析】【分析】（1）连接AC，利用菱形的性质可证得∠EAC＝∠BAC，利用在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，可证得结论.
（2）连接BE，利用圆周角定理可证得∠AEB=90°，利用垂径定理可证得EF=BF，由此可证得OF为△ABE的中位线，利用三角形的中位线定理可推出OF＝AE；然后利用勾股定理可求出OF的长，即可得到AE的长.
10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和对称轴．
（2）P为y轴上的一点．若点P向左平移n个单位，将与抛物线上的点P1重合；若点P向右平移2n个单位，将与抛物线上的点P2重合．已知n＞0．
①求n的值．
②若点C在抛物线上，且在直线P1P2的上方（不与点P1，P2重合），求点C纵坐标的取值范围．
【答案】（1）把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
又∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
（2）①∵点P向左平移n个单位，将与抛物线上的点P1重合；若点P向右平移2n个单位，将与抛物线上的点P2重合．
∴设点P（0，p），则P1（-n，p），P2（2n，p），
∴，
解得：n1=0，n2=2，
∵n＞0．
∴n=2；
②∵n=2，点P1（-n，p）在抛物线上，
∴，
∴，
∴直线P1P2为y=-5，
∵，
∴当x=1时，y有最大值4，
∴点C在抛物线上，且在直线P1P2的上方（不与点P1，P2重合），点C纵坐标的取值范围为．
【解析】【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，可得到抛物线解析式，再化为顶点式，即可求解；
（2）①设点P（0，p），可用p、n表示出P1、P2两点坐标，将P1、P2坐标带入抛物线解析式可得关于n的方程，求解即可；
②由①可得P1、P2两点坐标，从而得到直线P1P2的解析式，再利用抛物线的解析式求出 y的最大值 ，即可分析求点C纵坐标的取值范围 ．
（1）解：把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
（2）解：①∵点P向左平移n个单位，将与抛物线上的点P1重合；若点P向右平移2n个单位，将与抛物线上的点P2重合．
∴设点P（0，p），则P1（-n，p），P2（2n，p），
∴，
解得：n1=0，n2=2，
∵n＞0．
∴n=2；
②∵n=2，
∴，
∴，
∴直线P1P2为y=-5，
∵，
∴当x=1时，y有最大值4，
∴点C在抛物线上，且在直线P1P2的上方（不与点P1，P2重合），点C纵坐标的取值范围为．
11．如图，顶点M（0，﹣1）在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，连结AM，BM．
（1）求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？
【答案】解：∵点A是直线y=x+1与x轴的交点，∴A（﹣1，0）．设顶点为（0，﹣1）的抛物线的解析式为y=ax2﹣1，∵点A（﹣1，0）在抛物线y=ax2﹣1上，∴0=a﹣1，∴a=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）解方程组 ，得 ，，故点B的坐标为（2，3）；（3）设平移后的抛物线的解析式为y=（x﹣m）2+2m，把y=x代入y=（x﹣m）2+2m，得x=（x﹣m）2+2m，整理得，x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，由题可得△=（2m+1）2﹣4×1×（m2+2m）=1﹣4m≥0，解得m≤．故当m≤时，平移后的抛物线总有不动点．
【解析】【分析】（1）由点A是直线y=x+1与x轴的交点可求出点A的坐标，将抛物线的解析式设成顶点式，然后把点A的坐标代入该解析式，就可解决问题；
（2）只需解直线与抛物线的解析式组成的方程组，然后解这个方程组就可解决问题；
（3）将平移后的抛物线的解析式设成顶点式，然后把y=x代入该解析式，得到关于x的一元二次方程，要使平移后的抛物线总有不动点，只需该一元二次方程的根的判别式大于等于0即可．
12．已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长．
【答案】解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，
∴PA=PB=12，
∵过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，
∴EB=EQ，FQ=FA，
∴△PEF的周长是：PE+EF+PF=PE+EQ+FQ+PF，
=PE+EB+PF+FA=PB+PA=12+12=24，
答：△PEF的周长是24．
【解析】【分析】根据切线长定理得出PA=PB，EB=EQ，FQ=FA，代入PE+EF+PF=PE+EQ+FQ+PF即可求出答案．
13． 如图，四边形内接于，且，过点的切线与的延长线交于点．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接并延长交圆于，连接，
过点的切线与的延长线交于点，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
且，，
，
又，
，
∽，
，
即，
．
【解析】【分析】（1）连接并延长交圆于，连接，利用角的运算和等量代换可得，利用等弧所对的圆周角相等可得，再结合，可得；
（2）先证出 ∽， 可得，再将数据代入求出，即可得到.
14．某超市购入一批进价为10元盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值．
销售单价元 12 14 16 18 20
销售量盒 56 52 48 44 40
（1）求与的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求的值．
【答案】（1）解：设．
．
解得：．
；
（2）解：设日销售利润为元．
．
答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）解：
．
最大利润为392元，
．
整理得：．
．
解得：，．
当时，，
每盒糖果的利润（元），故舍去．
∴．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求解；
（2）设日销售利润为w元，根据总利润=每千克糖果的利润×销售数量可建立出w关于x的函数解析式，再把函数解析式配成顶点式，结合函数解析式的性质可得答案；
（3） 赠送礼品后，每千克糖果的利润为(x-10-m)元，根据总利润=每千克糖果的利润×销售数量可建立出w关于x的函数解析式，进而根据日销售获得的最大利润为392元，结合顶点纵坐标公式建立方程，求解得出m的值，再检验即可得出符合题意的答案.
15．对于“已知，求的最大值”这个问题，小明是这样求解的：
∵，∴，∴
∴，所以的最大值为.
请你按照这种方法计算：当时，的最小值.
【答案】解：∵∴
∴
∵，，，∴
∴，∴
∴的最小值为2.
【解析】【分析】根据 ，可用m的代数式表示n，或用n的代数式表示m，并代入 中，得到关于m或n的一元二次函数，结合 m、n的取值范围进行分析。
16． 如图， 圆内接四边形ABDC， AB是⊙O的直径， OD⊥BC交BC于点E.
（1） 求证： 点 D为的中点；
（2） 若BE=4， AC=6，求DE 的长.
【答案】（1）证明： ∵AB是⊙O 的直径， OD⊥BC，
即点D为BC的中点
（2）解：∵AB是⊙O 的直径， OD⊥BC，
∴BE=EC=4， ∴BC=8，
∵AB是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°，
∴DE=OD-OE=5-3=2.
【解析】【分析】(1)由垂径定理可得；
(2)先根据垂径定理求出BC=8，圆周角定理得∠ACB=90°，根据勾股定理得到AB，得到半径OD=OB=5，由勾股定理求出OE=3，由DE=OD-OE求解即可.
17．我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元的工艺品，投放市场试销后发现每天的销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数。当售价为22元/件时，每天销售量为780件；当售价为25元/件时，每天销售量为750件。
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果该工艺品售价最高不超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价-成本）
【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），把x=22，y=780和x=25，y=750代入y=kx+b，得
解得
∴y与x的函数关系式为y=-10x+1000．
（2）解：设该工艺品每天获得的利润为w元，则w=y（x-20）=（-10x+1000）（x-20）=-10（x-60）2+16000，（20≤x≤100）；
∵-10＜0，∴当20＜x≤30时，w随x的增大而增大．所以当售价定为30元/件时，该工艺品每天获得的利润最大．W最大=-10（30-60）2+16000=7000元．答：当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为7000元．
【解析】【分析】（1）y与x是一次函数，则可设y=kx+b，运用待定系数法求；
（2）设该工艺品每天获得的利润为w元，根据总利润=销售量×单件利润，列出w关于x的函数解析式，由x的取值范围，讨论x为何值时，w最大.
18．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC．
（1）求证：GE＝BE；
（2）若AG＝6，BG＝4，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵D是的中点，
∴∠ECG＝∠ECB，
∵CD⊥AB，
∴∠CEG＝∠CEB＝90°，
∴∠CGE＝∠CBE，
∴CG＝CB，
∵CE⊥BG，
∴EG＝EB；
（2）解：∵AG＝6，BG＝4，
∴AB＝6+4＝10，
∴OC＝OB＝AB＝5，
∴OG＝OB﹣BG＝5﹣4＝1，
由（1）知GE＝BE＝BG＝2，
∴OE＝OG+GE＝1+2＝3，
∴CE＝＝4，
∵直径AB⊥CD，
∴CD＝2CE＝2×4＝8．
【解析】【分析】（1）根据D是的中点，由圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理推出，得到，由等腰三角形的性质推出；
（2）根据AG＝6，BG＝4，求出AB的长为10，得到，据此再求出，由勾股定理求出，由垂径定理即可得到，即可求出CD的长．
19．已知二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象交于两点A（﹣2，﹣5）和B（1，4），且二次函数图象与y轴的交点在直线y=2x+3上，求这两个函数的解析式．
【答案】解：∵y=2x+3与y轴交点为（0，3），
∴二次函数与y轴交点为（0，3），
将（0，3），A（﹣2，﹣5）和B（1，4）分别代入二次函数y1=ax2+bx+c得，
，解得 ，
∴二次函数的解析式为：y1=x2+2x+3；
∵将A（﹣2，﹣5）和B（1，4）代入y2=mx+n得，﹣2m+n=﹣5，m+n=4，解得m=3，n=1，
∴一次函数y2=mx+n的解析式为：y2=3x+1
【解析】【分析】先求出直线y=2x+3与y轴的交点，再把此交点坐标与A（﹣2，﹣5）和B（1，4）分别代入二次函数y1=ax2+bx+c，求出a、b、c的值即可得出其解析式；将A（﹣2，﹣5）和B（1，4）代入y2=mx+n求出m、n的值即可得出一次函数的解析式．
20．我市为加强学生的安全意识，组织了全市学生参加安全知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答以下问题．
（1）一共抽取了 个参赛学生的成绩；表中a＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中“B”对应的圆心角度数；
（4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，则所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是多少？
【答案】（1）40；6
（2） 补图如下，
（3） 解：360°×=72°.
答：扇形统计图中“B”对应的圆心角度数 为72°.
（4）解： .
答：所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是 65%.
【解析】【解答】解：（1）抽取的总人数14÷35%=40（人）
a=40-8-12-14=6.
故答案为：40 ；6
【分析】（1）从统计表中D组有14人，扇形统计图中知D组所占比列为35%，列式14÷35%计算即得抽取的总人数；a=总人数-B组人数-C组人数-D组人数，代入计算即得.
（2）根据（1）中结果及表格数据补图即可.
（3）直接用360°乘以B组人数所占百分比即得.
（4）根据计算即可.
21．已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标为（－3，0），（1，0），且与y轴的交点坐标为（0，－3），求这个二次函数的解析式
【答案】解：依题意，设函数的解析式为
将点 代入，得
∴
∴所求函数解析式为 ，即
【解析】【分析】根据题目信息设函数的表达式为交点式，代入与 轴的交点坐标进而求解.
22．在期末评选优秀班干部的投票选举中，小华、小颖、小亮、小聪每人得到赞成票数如下，在表中填写每人获得的赞成总票数．
【答案】解：填表如下：
【解析】【分析】计算票数临时记录中数字的笔画数即可求解．
23．已知抛物线的顶点坐标（2，3）且过点（3，4），求抛物线的解析式．
【答案】解：设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2+3，
∵（3，4）在抛物线y＝a（x﹣2）2+3上，
∴a（3﹣2）2+3＝4，
∴解得：a＝1，
∴此抛物线的解析式：y＝（x﹣2）2+3．
【解析】【分析】已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将点（3，4）代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数法的值，也就求出了抛物线的解析式．
24．根据大数据显示，我国人口出生人数逐年减少，人口问题十分严峻，为扭转这一局面，我国出台政策：加强宣传教育；改进教育体制；发展经济和就业；加强生育政策，某地针对政策进行了宣传，几个月后针对民众对四大政策支持情况进行调查统计，并绘制了如下两个统计图．
整理数据
（1）调查的民众人数为 ▲ ，其中支持发展经济和就业的民众数为 ▲ ，并补全图1；
（2）求类在扇形统计图中对应的圆心角度数；
（3）分析数据
①根据以上信息分析民众对四大政策支持情况；
②若所调查地区人口数约为45万，请你估计该地支持改进教育体制与发展经济和就业的人数．
【答案】（1）调查的民众人数为（人），
支持发展经济和就业的民众数为（人），
补全图1如图所示：
，
故答案为：，；
（2）解：由题意得：类在扇形统计图中对应的圆心角度数为：；
（3）解：①由题意得：支持发展发展经济和就业的人数最多，支持改进教育体制的人数最少；
②支持改进教育体制的人数为：（万人），
支持发展经济和就业的人数为（万人）
该地支持改进教育体制的人数为万人，支持发展经济和就业的人数为万人．
【解析】【分析】（1）基本关系：总数=部分÷该部分的点比，据此求解即可；
（2）基本关系：圆心角的度数=360°×扇形所占的百分率，据此求解即可；
（3）①根据统计图的相关数据即可解答；②用万人乘以支持改进教育体制与发展经济和就业的人数所占的比例即可得出答案．
25．已知抛物线y=2x2+bx+c经过点（3，0），（0，-6）.
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断点A（-2，8）是否在抛物线上，请说明理由.
【答案】（1）解：把（3，0），（0，-6）代入 y=2x2+bx+c 得：
解得
抛物线的表达式为y=2x2-4x-6；
故答案为：y=2x2-4x-6.
（2）解：不在，理由如下，
把x=-2代入y=2x2-4x-6，得：y=10，
所以（-2，8）不在抛物线y=2x2-4x-6上．
【解析】【分析】（1）本题主要考察待定系数法求二次函数解析式，抛物线经过某点，只需要将某点的坐标代入解析式中就可以求出未知参数，从而得出解析式；
（2）判断一点是否在抛物线上，只需要将点的坐标代入已知的抛物线解析式中，满足则在，不满足则不在.
26．为了加强对青少年防溺水安全教育，某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七、八年级中随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，共分成四组：）
七年级10名学生的成绩：96，86，96，86，99，96，90，100，89，82
八年级10名学生的成绩在C组中的数据：94，90，92
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 93 38.44
八年级 92 99 34
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ， ， ．
（2）根据以上数据，你认为在此次防溺水安全知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）．
【答案】（1）40；93；96
（2）解：八年级的成绩更好．因为七、八两个年级的平均数、中位数相同，而八年级成绩的众数大于七年级，成绩的方差小于七年级．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：，
，
∵在七年级10名学生的竞赛成绩中96出现的次数最多，
∴c=96，
故答案为：40；93；96.
【分析】（1）根据统计图中的数据，结合中位数和众数的定义计算求解即可；
（2）根据中位数，平均数，众数，结合题意判断即可。
27．某学校以随机抽样的方式开展了“中学生喜欢数学的程度”的问卷调查，调查的结果分为不喜欢、一般、比较喜欢、非常喜欢四个等级，图、图是根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）等级所占的圆心角为 ；
（2）请直接在图中补全条形统计图；
（3）若该校有学生人，请根据调查结果，估计“比较喜欢”的学生人数为多少人．
【答案】（1）126
（2）解：被调查的总人数为20÷10％=200(人）
则C等级人数为200 (20+46+64)=70(人)
补全图形如下：
（3）解：1000×=350(人)
答：估计“比较喜欢”的学生人数约为350人．
【解析】【解答】解：（1）C等级所占的百分比为1-10％-23％-32％=35％，
∴ C等级所占的圆心角为360°×35％=126°.
故答案为：（1）126.
【分析】（1）先根据扇形统计图计算出C等级所占的百分比，再求C等级所占的圆心角即可；
（2）先根据A组的人数和所占比例求出总人数，再求出C等级人数来补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体，用总人数×样本中的比较喜欢所占比例，即可求得.
28．已知如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，M是AC的中点，点N在AB上（不同于A、B），将△ANM绕点M逆时针旋转90°得△A1PM
（1）画出△A1PM
（2）设AN=x，四边形NMCP的面积为y，直接写出y关于x的函数关系式，并求y的最大或最小值．
【答案】（1）解：如图所示：△A1PM，即为所求；
（2）解：过点M作MD⊥AB于点D，
∵AB=BC=4，∠ABC=90°，M是AC的中点，
∴MD=2，
设AN=x，则BN=4﹣x，
故四边形NMCP的面积为：
y= ×4×4﹣ x×2﹣ x×（4﹣x）
= x2﹣3x+8
= （x﹣3）2+ ，
故y的最小值为：
【解析】【分析】（1）根据旋转的定义，画出旋转90度的△A1PM。
（2）做出辅助线，根据题意表示出四边形NMCP的面积，通过配方法二次函数，得到最小值。
29．为迎接我市青少年读书活动，某校倡议同学们利于课余时间多阅读，为了了解同学们的读书情况，在全校随机调查了部分同学在一周内的阅读时间，并用得到的数据绘制了统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）被抽查学生阅读时间的中位数为 小时，众数为 小时，平均数为 小时；
（2）已知全校学生人数为2400人，请你估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有多少人？
【答案】（1）2；2；2.34
（2）解：（人，
答：估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有864人．
【解析】【解答】（1）总人数为：12+20+10+5+3=50（人），
中位数为：第25和第26为学生，其处在2小时之间，则中位数为：2
阅读两小时的学生人数最多为20人，则众数为：2
平均数为：
故答案为：2，2，2.34
【分析】（1）根据中位数，众数，平均数定义即可求出答案，
（2）不少于3小时的学生人数有10+5+3，计算占比，再乘以总人数即可求出答案。
30．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以边AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E.
（1）求证：BD＝DC；
（2）若∠BAC＝40°，求弧DE的度数.
【答案】（1）证明：连结AD，如图：
∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC
∴BD=DC；
（2）解：连接OD、OE，如图：
∴为弧DE的度数，
∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠DAE=∠BAC=20°
∴∠DOE=2∠DAC=40°
∴弧DE的度数为40°.
【解析】【分析】（1）连接AD，根据"直径所对的圆周角为直角"得到：AD⊥BC，最后根据等腰三角形性质即可证明BD=CD；
（2）连接OD、OE，则∠DOE为弧DE的度数，根据等腰三角形的性质求出∠DAE的度数，最后根据圆周角定理即可求出∠DOE的度数，进而根据弧、弦及圆心角之间的关系可得答案.
31．为了深化改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团．为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：
某校被调查学生选择社团意向统计表
选择意向 所占百分比
文学鉴赏 a
科学实验 35%
音乐舞蹈 b
手工编织 10%
其他 c
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数及a，b，c的值；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的人数．
【答案】解：（1）本次调查的学生总人数是70÷35%=200（人），
b==20%，
c==5%，
a=1﹣35%﹣20%﹣10%﹣5%=30%；
（2）选择文学欣赏的人数是：200×30%=60（人），
选择手工纺织的人数是：200×10%=20（人），
；
（3）该校共有1200名学生，估计全校选择“科学实验”社团的人数是1200×35%=420（人）．
【解析】【分析】（1）根据选择科学实验的人数是70人，所占的百分比是35%，即可求得调查的总人数，进而根据百分比的意义求解；
（2）根据百分比的意义求得选择文学欣赏和手工纺织的人数，即可补全直方图；
（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
32．如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离.
【答案】解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB=30cm，CD=16cm，
∴AE= AB= ×30=15cm，CF= CD= ×16=8cm，
在Rt△AOE中，
OE= = =8cm，
在Rt△OCF中，
OF= = =15cm，
∴EF=OF﹣OE=15﹣8=7cm．
答：AB和CD的距离为7cm．
【解析】【分析】 过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC， 根据平行线的性质得出 OF⊥CD， 根据垂径定理得出AE，CF的长， 在Rt△AOE中， 利用勾股定理算出OE的长， 在Rt△OCF中， 利用勾股定理算出OF的长，最后根据 EF=OF﹣OE 即可算出答案。
33．某商品现在的售价每件60元，每星期可卖出300；市场调查发现，每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品进价为40元，如何定价，才能使利润最大？
【答案】解：设每件商品降价 元时，对应的利润为 元，据题意得 ，
其中 ，整理得 ．
配方得 ．
，
∴当 时， 有最大值6125．
∴ ．
答：当商品定价为57.5元时，利润最大．
【解析】【分析】先求出 ， 再求出 当 时， 有最大值6125，最后计算求解即可。
34．如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画圆，与边相切于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，
在和中，，
，
，
又是的切线，点是切点，
，即，
是半径，
是的切线；
（2）解：设的半径为，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得（负值舍去），
∴的半径为．
【解析】【分析】（1）连接，根据全等三角形判定定理可得，则，由切线的性质可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）设的半径为，解求出，，则，再解求出，由勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
35．二次函数（，为常数）的图像经过点，．
（1）求二次函数的表达式，并写出该二次函数图象的顶点坐标；
（2）求当时，的范围．
【答案】（1）解：∵二次函数（，为常数）的图像经过点，，
∴，
解得：，
∴二次函数表达式为，
∴顶点坐标为；
（2）解：当时，，解得或，
当时，，
∵抛物线开口向上，
∴当时，x的取值范围为．
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法求出抛物线的解析式，再化一般式为顶点式即可；
（2）先利用抛物线上点的坐标特征求出与x轴的交点横坐标，然后结合二次函数的性质求解即可．
（1）解：∵二次函数（，为常数）的图像经过点，，
∴，
解得：，
∴二次函数表达式为，
∴顶点坐标为；
（2）解：当时，，
解得或，
当时，，
∵抛物线开口向上，
∴当时，x的取值范围为．
36．如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）
（1）把△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B1C1；
（2）如果网格中小正方形的边长为1，求点B旋转到B1所经过的弧形路径长．
【答案】（1）解：△A1B1C1如图所示，
（2）解：∵OB= ，
∴点B旋转到B1所经过的弧形路径长=
【解析】【分析】（1）根据△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°找到旋转后的A1、B1、C1三个点，相连可得旋转后的三角形。
（2）根据勾股定理以及弧长公式，可求解。
37．某校为了解九年级学生的体质情况举行体育测试，以九年级班学生的体育测试成绩为样本，按，，，四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图：
说明：级：分分；级：分分；级：分分；级：分以下级成绩为优秀，级成绩为良好，级成绩为合格，级成绩为不合格
其中级成绩单位：分为：；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
请你结合所给信息，解决下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中级所在的扇形的圆心角度数是 ；九年级班学生的体育测试成绩的中位数是 ；
（3）若该校九年级有名学生，诪你用此样本估计体育测试中达到良好及良好以上的学生人数约为多少人．
【答案】（1）解：总人数为人，
人，
级人数为人，补全统计图如下：
（2）；
（3）解：人，
九年级达到良好及良好以上的学生人数约为人．
【解析】【解答】解：（2）图中级所在的扇形的圆心角度数=
九（1）班共有50人，中位数就是第25和26人所对应的成绩，这两个成绩求平均数=
故答案为：；.
【分析】(1)用D级的人数除以D级的百分比求出总人数，然后用总人数乘以B级的百分比求出B级的人数，补全条形统计图即可.
（2）先用C级的人数除以总人数算出C级所占百分比，然后用360°乘以C级百分比就是C级所在扇形的圆心角度数，九（1）班共有50人，中位数就是第25和26人所对应的成绩，这两个成绩求平均数即可.
（3）先算出样本中良好及良好以上人数所占百分比，然后用总人数乘以百分比算出人数即可.
38．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．每台机器产生的次品数p（千件）与每台机器的日产量x（千件）（生产条件要求4≤x≤12）之间变化关系如表：
日产量x（千件/台） … 5 6 7 8 9 …
次品数p（千件/台） … 0.7 0.6 0.7 1 1.5 …
已知每生产1千件合格的元件可以盈利1.6千元，但没生产1千件次品将亏损0.4千元．（利润=盈利﹣亏损）
（1）观察并分析表中p与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识求出p（千件）与x（千件）的函数解析式；
（2）设该工厂每天生产这种元件所获得的利润为y（千元），试将y表示x的函数；并求当每台机器的日产量x（千件）为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？
【答案】解：（1）根据表格中的数据可以得出：p与x是二次函数关系，且图象经过的顶点坐标为（6，0.6），
设函数解析式为p=a（x﹣6）2+0.6，把（8，1）代入，的
4a+0.6=1
解得a=0.1，
所以函数解析式为p=0.1（x﹣6）2+0.6=0.1x2﹣1.2x+4.2；
（2）y=10[1.6（x﹣p）﹣0.4p]
=16x﹣20p
=16x﹣20（0.1x2﹣1.2x+4.2）
=﹣2x2+40x﹣84（4≤x≤12）
y=﹣2x2+40x﹣84
=﹣2（x﹣10）2+116，
∵4≤x≤12
∴当x=10时，y取得最大值，最大利润为116千元
答：当每台机器的日产量为10千件时，所获得的利润最大，最大利润为116千元．
【解析】【分析】（1）由表格中的数据可以看出p与x是二次函数关系，根据对称点找出顶点坐标（6，0.6），设出顶点式代入点求得函数即可；
（2）根据实际利润=合格产品的盈利﹣生产次品的亏损将生产这种元件所获得的实际利润y（万元） 表示为日产量x（万件）的函数；再进一步求得最值即可．
39．2010年春季以来，我国西南地区遭受了严重的旱情，某校学生会自发组织了“保护水资源从我做起”的活动．同学们采取问卷调查的方式，随机调查了本校150名同学家庭月人均用水量和节水措施情况．以下是根据调查结果作出的统计图的一部分．
请根据以上信息解答问题：
（1）补全图1和图2；
（2）如果全校学生家庭总人数约为3000人，根据这150名同学家庭月人均用水量，估计全校学生家庭月用水总量．
【答案】解：（1）
（2）全体学生家庭月人均用水量为=9040（吨）．
答：全校学生家庭月用水量约为9040吨．
【解析】【分析】（1）用水为3吨的家庭数=150﹣10﹣42﹣32﹣16=50户，淘米水浇花占的比例=1﹣30%﹣44%11%=15%；
（2）全校学生家庭月用水总量=3000×150户用水的平均用水量．
40．小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接．
（1）求k的值；
（2）求扇形的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．
【答案】（1）解：将代入到中，
得：，
解得：
（2）解：过点A作OD的垂线，交x轴于G，
∵，
∴AG=1，，
，
∴半径为2；
∵，
∴∠AOG=30°，
由菱形的性质可知，∠AOG=∠COG=30°，
∴∠AOC=60°，
∴圆心角的度数为60°
（3）解：∵，
∴
∴
在菱形OBEF中，S△FHO=S△BHO，
∵
∴
∴S阴影=S△FBO+S菱形AOCD-S扇形AOC
【解析】【分析】(1)将代入中即可求解；
(2)利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据菱形的性质求解；
(3)先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出，进而根据S阴影=S△FBO+S菱形AOCD-S扇形AOC即可求解.
41．已知抛物线C：y=x2+（2m﹣1）x﹣2m．
（1）若m=1，抛物线C交x轴于A，B两点，求AB的长；
（2）若一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点，求m的取值范围；
【答案】解：（1）m=1时，抛物线为：y=x2+x﹣2，
令y=0得到：x2+x﹣2=0，解得x=﹣2或1，
所以点A（﹣2，0），点B（1，0），
所以AB=3．
（2）由消去y得到：x2+（2m﹣1﹣k）x﹣2m﹣mk=0，
∵一次函数y=kx+mk的图象与抛物线有唯一公共点，
∴△=0，
∴（2m﹣1﹣k）2+8m+4mk=0，
整理得：﹣4m2﹣4m=（k+1）2，
∵（k+1）2≥0，
设y=﹣4m2﹣4m，当y≥0时，﹣1≤m≤0，
∴﹣1≤m≤0时，一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点．
【解析】【分析】（1）求出抛物线解析式令y=0，求出抛物线与x轴的交点，即可求出线段AB的长．
（2）列方程组根据△=0，得：﹣4m2﹣4m=（k+1）2，设y=﹣4m2﹣4m由y≥O确定m的取值范围．
42．某超市以每件元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于元经过市场调查发现，该文具每天的销售量件与销售单价元之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价元
每天的销售量件
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？
（3）该超市要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为多少元？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为．
把和代入得
解得
故与之间的函数关系式为；
（2）解：根据题意，得．
解得，．
，
．
答：销售单价为元；
（3）解：设销售这种文具每天获利元，
则，
，
抛物线开口向下．
对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，
答：要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为元，最大利润是元．
【解析】【分析】
(1)利用表格中的两组数据，设与之间的函数关系式为，通过待定系数法即可确定一次函数关系式；
(2)根据利润公式，结合已知利润值建立方程，解方程并检验解的合理性，即可解答；
(3)将利润表达式转化为二次函数，利用二次函数的性质：抛物线开口向下，顶点坐标为（20，200） ，根据自变量的取值范围当时，随的增大而增大，即可确定当时，取得最大值，求出最大利润及对应单价即可解答.
43．如图①，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点BF与CD相交于点G.
（1）求证：CD=BF.
（2）若BE=1，BF=4，求GE 的长.
（3）如图②，连结GO，OF，求证：2∠EOG+
【答案】（1）证明：，
，
，
，
.
（2）解：如图，连接AF、OD，
设半径为r，
，
，
，
，，
，
，
，解得，
，
，
，，
，
，
.
（3）证明：如图，连接OC、CF、BD，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【解析】【分析】(1)先利用垂径定理证得，进而得到，再通过圆心角定理证得CD=BF.
(2)设半径为r，利用垂径定理得到DE=2，再通过勾股定理列出关于r的方程，解得r值，进而求得AF的长度，然后通过相似三角形的性质计算出GE的长度.
(3)由圆心角定理可得CF=BD，通过AAS判定，进而得到，再通过SSS判定，证得，然后利用垂径定理证得，由圆周角定理得到，即可证得.
44．已知：如图，在Rt中，，点在AB边上.以BD为直径的与AC相切于点.连结DE并延长，交BC的延长线于点.
（1）求证：.
（2）若，求的半径.
【答案】（1）证明：如图，连接OE，
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC，即∠OEC＝90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEC＝∠ACB．
∴OE//BC．
∴∠OED＝∠F．
∵OE=OD，
∴∠OED＝∠ODE．
∴∠F＝∠ODE．
∴BD=BF
（2）∵cosB＝，
∴设BC=3x，AB=5x．
∵CF=1，
∴．
由（1）知，BD=BF，∴．
∴．
∴，
∴，
∵OE//BF，
∴∠AOE＝∠B．
∴，
即，解得，
．
∴⊙O的半径为
【解析】【分析】（1）根据AC与⊙O相切于点E， 利用圆的切线的性质可得：∠OEC＝90°，进而可推出∠OEC＝∠ACB，利用平行线的判定可得：OE//BC．进而可得：∠OED＝∠F、根据半径相等，利用等腰三角形的性质可得∠OED=∠F，进而可得∠F＝∠ODE，根据等角对等边可证明结论．
（2）根据cosB＝，利用余弦的定义可设BC=3x，AB=5x，利用线段的运算可求出BD，OE，AO，根据OE//BF，利用平行线的性质可得：∠AOE＝∠B，从而．据此列出方程：，解方程看求出x的值，据此可求出⊙O的半径．
45． 已知函数y=-x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点(0，-3)，(-2，5).
（1）求b，c的值；
（2）当-4≤x≤0时，求y的最大值；
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，请求出m的值.
【答案】（1）解：把(0，-3)，(-2，5)分别代入y=-x2+bx+c，得b=-6，c=-3.
（2）解：∵y=-x2-6x-3=-(x+3)2+6，
又∵-4≤x≤0，
∴当x=-3时，y有最大值为6.
（3）解：①当-3当x=0时，y有最小值为-3，
当x=m时，y有最大值为-m2-6m-3，
∴-m2-6m-3+(-3)=2.
∴m=-2或m=-4(舍去).
∴m=-2.
②当m≤-3时，
当x=-3时，y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为-4.
∴-(m+3)2+6=-4.
∴m=-3-或m=-3+(舍去).
综上所述，m=-2或-3-.
【解析】【分析】(1) 用待定系数法， 把(0，-3)，(-2，5)分别代入y=-x2+bx+c 可得。
(2) 由题意得：y=-x2-6x-3=-(x+3)2+6且-4≤x≤0，即可得到答案。
(3) 根据对称轴为x=-3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可。
46．如图，点 M，N 在抛物线 上，点 M 在点 N 的右边，若△MNE 的两条边ME，NE 所在的直线与抛物线都有唯一公共点，且S△MNE=2，设 M，N两点的横坐标分别为m，n，求m 与n的数量关系.
【答案】解：由题意，知M(m，m2)，N(n，n2)，
设直线ME 的解析式为y=k(x-m)+m2，
联立
得
依题意，知方程有两个相等的实数根，
∴m+m=k，即k=2m，
∴直线ME：
同理可得直线NE：
联立
解得
过点 N 作 NP∥x 轴交直线ME 于点 P，
【解析】【分析】根据题意可知点M和N的坐标，然后设直线ME的解析式，根据ME和NE所在线直与抛物线均只有一个交点，联立直线和抛物线解析式，表示出点E和P的坐标，然后根据S△MNE=2，可得到m和n的数量关系.
47．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱.
（1）请求出这种水果批发价（元/千克）与购进数量（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：根据题意得：
（，为整数），
答：这种水果批发价（元/千克）与购进数量（箱）之间的函数关系式为
（，为整数）；
（2）解：设李大爷每天所获利润是元，
由题意得：，
，为正整数，且，
时，取最大值，最大值为（元），
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元.
【解析】【分析】（1）根据当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元，进先列式即可；
（2） 设李大爷每天所获利润是元， 根据总利润=每千克利润×销售量列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可.
48．在平面直角坐标系中，点A是抛物线的顶点．
（1）求点A的坐标（用含的代数式表示）；
（2）若射线与轴所成的锐角为，求的值；
（3）将点向左平移4个单位得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，求出的取值范围．
【答案】（1）解：∵，∴顶点；
（2）解：作轴于点H，
∵射线与x轴所成的锐角，
∴，
∴，
解得：或，
∴m的值为1或；
（3）解：∵点向左平移4个单位得到点Q，∴，且轴，
由（1）知，
设，消掉m，得，
∴点A在直线上移动，
∵抛物线与线段只有一个公共点，
由上图知，当A点与P点重合时，符合条件，此时，
当顶点A沿直线向上移动时，抛物线与线段PQ均只有一个交点，
当抛物线过Q点时，
即当时，，
解得或，
当时，抛物线为，
此时抛物线与线段的交点有P点和Q点两个交点，不符合题意，舍去，
当时，抛物线正好经过点，符合题意，
所以当且时，抛物线与线段有有一个交点．
【解析】【分析】（1）直接将二次函数的解析式变形成顶点式，即可求解．
（2）作轴于H，得出为等腰直角三角形（在等腰直角三角形中，两条直角边长度相等），即，由（1）得出关于m的方程解方程即可；
（3）由（1）得出顶点A在直线上移动，求出A点与P点重合时，和抛物线过Q点时两个临界值得出取值范围并验证即可．
（1）∵，
∴顶点；
（2）解：作轴于点H，
∵射线与x轴所成的锐角，
∴，
∴，
解得：或，
∴m的值为1或；
（3）解：∵点向左平移4个单位得到点Q，
∴，且轴，
由（1）知，
设，消掉m，得，
∴点A在直线上移动，
∵抛物线与线段只有一个公共点，
由上图知，当A点与P点重合时，符合条件，此时，
当顶点A沿直线向上移动时，抛物线与线段PQ均只有一个交点，
当抛物线过Q点时，
即当时，，
解得或，
当时，抛物线为，
此时抛物线与线段的交点有P点和Q点两个交点，不符合题意，舍去，
当时，抛物线正好经过点，符合题意，
所以当且时，抛物线与线段有有一个交点．
49．已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1.
（1）求b的值.
（2）点在抛物线上，点在抛物线上.
①若，且，求h的值；
②若，求h的最大值.解答：
【答案】（1）解：∵抛物线 的顶点横坐标为 ， 的顶点横坐标为 1，
∴，∴
（2）解：∵点 在抛物线 上，
∴，
∵ 在抛物线 上，
∴，
∴.
①∵，∴，
∴，
∵，，∴，∴，∴；
②将代入，
，
，
，
∴当，即时，h取最大值.
【解析】【分析】(1)根据题意求出y=-x2+2x的顶点坐标为(1，1)，确定抛物线y=-x2+bx(b为常数)的顶点横坐标为2，即可求解；
(2)根据题意得出，y1+h=-(x1+t)2+4(x1+t)，然后整理化简得h=-t2-2x1t+2x1+4t.①将h=3t 代入求解即可；②将x=t-1代入整理为顶点式，即可得出结果.
50．如图，在中，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作与AC相切于点，在AC边上取一点，使，连接DF．
（1）判断直线DF与的位置关系，并说明理由；
（2）当时，求的半径．
【答案】（1）解：直线与相切，理由如下：
如图，连接OE，过点O作于点P
相切于点
，OE为的半径
点，分别为，的中点
四边形ODCE是矩形
在和中，
，即OP为的半径
则直线与相切；
（2）解：设的半径为，则，
点，分别为，的中点
在中，
由（1）已证：
在中，，即
解得或（不符题意，舍去）
故的半径为1．
【解析】【分析】（1）连接OE，过点O作于点P，先根据切线的性质得到，OE为的半径，再根据三角形中位线定理结合平行线的性质即可求出∠ODC的度数，进而根据矩形的判定与性质得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，再根据切线的判定即可求解；
（2）设的半径为，则，根据中位线定理得到，再结合题意根据勾股定理即可得到，由（1）已证：，根据三角形全等的性质得到，进而根据勾股定理即可求解。
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