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【精选热题·期末50道解答题专练】上海市数学七年级上册总复习
1．先化简，再求值： ，其中x=﹣3．
2．“渝昆高铁”云南段已于2019年12月20日正式开工建设，甲、乙两个工程队计划参与其中一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．若乙队单独施工，完成该项工程需要多少天？
3．先化简，再求值：，其中是最大的负整数，的相反数是2．
4． 如图， △ABC 和△A'B'C'关于直线l 对称， . 求∠B'的度数和AB 的长.
5．已知a-2b=3，2b-c=-5，c-d=10，求(a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值．
6．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则 ， （请用含a，b的代数式表示，只需表示，不必化简）．
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是
（3）运用（2）中得到的公式，计算：．
7．判断代数式 的值是否能等于1，并说明理由.
8．如图，已知点A（2，3）和直线y=x，
（1）点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点（0，0）的对称点为点C；写出点B、C的坐标；
（2）若点D是点B关于原点（0，0）的对称点，判断四形ABCD的形状，并说明理由．
9．有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，分别为个小方块的面积．
（1）请用图中所给图形的边长与面积，表示其中的等量关系_______．
（2）利用（1）中的结论解决：若，则_____，_____．
（3）如图2所示，线段的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
（4）若实数满足，求代数式的值．
10．为帮助雅安地震灾区人们重建家园，某中学学生积极捐献．已知高中部捐款总额为7200元，初中部捐款总额为6000元，高中部人数比初中部人数多80人，而且初中部和高中部人均捐款恰好相等．求该校学生总数是多少人．
11．一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地，设前一小时行驶的速度为xkm/h.
（1）直接用含x的式子表示提速后走完剩余路程的时间为 h.
（2）求汽车实际走完全程所花的时间.
（3）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以akm/h的速度行驶，另一半路程以bkm/h的速度行驶（a≠b），则用时t1小时；若用一半时间以akm/h的速度行驶，另一半时间以bkm/h的速度行驶，则用时t2小时.请比较t1，t2的大小，并说明理由.
12．关于x的整式，当x取任意一组相反数m与时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式”．
（1）若整式A是关于x的“奇整式”，当x取1与时，对应的整式值分别为，，则 ；
（2）判断式子是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由；
（3）对于整式，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和．
①这个“偶整式”是 ，“奇整式”是 ；
②当x分别取，，，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是 ．
13．先化简，再求值： ，其中 ， .
14．某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求.商厦又用 万元购进第二批这种衬衫，所购数量是第一批进量的 倍，但单价贵了 元.商厦销售这种衬衫时每件定价 元，最后剩下 件按八折销售，很快售完.在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？
15．先化简，再求值：，其中.
16．随着虹桥综合交通枢纽的 开工建设，“大虹桥”将成为上海“后世博”阶段重要的经济亮点，上海将形成东有“大浦东”，西有“大虹桥”的“双引擎”格局。现有一个工程，要整修一段全长为1200米的道路，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际工作效率比原来提高20%，结果提前4小时完成任务，求原计划每小时修路的长度是多少米？
17．小明家距学校2000米，某天他步行去上学，走到路程的一半时发现忘带作业，此时离上课时间还有25分钟，于是他立刻步行回家取，随后骑车返回学校，在上课前5分钟到达了学校.若小明骑车的平均速度是步行速度的5倍，求小明步行的平均速度.
18．先化简，再求值：，其中m只能在0，1，这三个值中取一个合适的值．
19．先化简再求值，其中，.
20．先化简，再求值： 其中小明的解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程.
解：原式=
=a-2+4②
=a+2.③
当a=时，原式=
21．先化简，再求值： ，其中a是方程2x2+x﹣3=0的解．
22．习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．为打造书香校园，某中学计划选购甲、乙两种文学名著，已知甲种书籍每本价格比乙种书籍每本价格多10元，用1000元单独购买甲种书籍与用800元单独购买乙种书籍数量相同．求甲、乙两种书籍每本价格分别为多少元？
23．京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长 ，是我国最繁忙的铁路干线之一.如果从北京到上海的客车速度是货车速度的2倍，客车比货车少用 ，那么货车的速度是多少？（精确到 ）
24．如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°得到三角形EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，求∠ADC的度数．
25．设 ，求x2+y2﹣2xy的值．
26．先化简，再求值： ，然后从 中，选择一个合适的整数作为x的值代入求值.
27．如图是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B、C三点在小正方形的顶点上，请在图①、②中各画一个凸四边形，使其满足以下要求：
（1）请在图①中取一点D（点D必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C、D为顶点的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）请在图形②中取一点D（点D必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
28．小明在计算一个多项式与 的差时，因误以为是加上 而得到答案 ，求这个多项式及这个问题的正确答案
29． 已知A＝4m（2m2﹣1）+4m，B＝8m．
（1）化简整式A，并求m＝﹣1时A的值；
（2）若C＝A﹣B．
①将C因式分解；
②若m为整数，直接写出整式C能否被16整除．
30．某校开展劳动实践活动，八年级承包了一项劳动任务，1班单独劳动1 小时后，为了加快进度，2班也加入劳动，这样共用3小时完成了任务，已知2班单独劳动需要4小时完成.
（1）1班单独完成此项劳动任务需要多少小时
（2）若两个班从一开始就合作，需要多少小时完成此项劳动任务
31．因式分解与整式的乘法是互逆关系， 请利用 解决下列问题．
（1）简便计算： ．
（2） 判断 ( 为整数) 是奇数还是偶数？
32．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．
33．已知方程 的解是k，求关于x的方程x2+kx=0的解．
34．先化简，后求值，已知 ， ，当 ， 时，计算 的值.
35．复课返校后，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，已知跳绳的单价比毽子的单价多4元，用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的毽子数量相同，求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
36．小明解方程 的过程如图.请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程.
37．先化简，再求值：，其中a、b均为有理数，且a为最大的负整数，b为绝对值最小的有理数．
38．2023年5月19日，慈善一日捐活动中，我校师生积极捐款，已知上午捐款4800元，下午捐款6000元，下午捐款人数比上午捐款人数多50人，且上午和下午的人均捐款数相等，那么当天参加捐款的人数是多少？
39．先化简再求值：÷（﹣x﹣2），其中x=﹣3．
40．分解因式：x4﹣5x2+4．
41．某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．现该公司分别花费960元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份牛肉面比每份杂酱面的价格贵5元，求每份牛肉面的价格．
42．小刚同学由于粗心，把“”看成了“”，算出的结果为，其中．
（1）求的正确结果；
（2）若，求的值．
43．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是 ；
（2）用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1： ▲ ；
方法2： ▲ ；
并写出二个代数式之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系，解决问题：若，求的值；
（4）根据（2）中的等量关系，直接写出和之间的关系 ；若，分别求出和的值 ；
（5）【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．根据图③，写出一个代数怛等式： ；
（6）已知，利用上面的规律求的值．
44．试求 被x-1除所得的余式
45．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，求：①a＋b的值；②a4－b4的值．
46．阅读下面例题，并解答问题。
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值
解：设另一个因式为 ，得
则 ∴ 解得： ，
∴另一个因式为 ，m的值为—21
请仿照上面的方法解答下面的问题：
已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值。
47．用平方差公式进行因式分解在数的运算中有着广泛的应用，比如，数的整除性探究中的应用．
例： 能被2009整除吗？
解：
∵ 中有因数2009，
∴ 一定能被2009整除．
请你试一试：已知数字 恰能被两个在60和70之间的整数整除，求出这两个数．
48．已知x4+4x2+3x+4 中含有一个因式x2+ax+1．
（1）求a的值．
（2）因式分解x4+4x2+3x+4．
49．已知实数a，b，c，m，n满足3m+n=，mn=.
（1）说明：b2-12ac为非负数.
（2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数 说明你的理由.
50．如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．
（1）由图2可以直接写出（a+b）2，（a-b）2，ab之间的一个等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，解决下列问题：3x+4y＝10，xy＝2，求3x-4y的值；
（3）两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y．若x2+y2＝58，BE＝4，求图中阴影部分面积和．
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【精选热题·期末50道解答题专练】上海市数学七年级上册总复习
1．先化简，再求值： ，其中x=﹣3．
【答案】解：原式= ，当x=﹣3时，原式= ．
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
2．“渝昆高铁”云南段已于2019年12月20日正式开工建设，甲、乙两个工程队计划参与其中一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．若乙队单独施工，完成该项工程需要多少天？
【答案】解：设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，
∵甲队单独施工30天完成该项工程的，
∴甲队单独施工90天完成该项工程，
根据题意可得：，
解得：，
检验得：是原方程的根且符合题意．
答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程．
【解析】【分析】设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
3．先化简，再求值：，其中是最大的负整数，的相反数是2．
【答案】解：
，
是最大的负整数，的相反数是2，
，，
当，时，原式．
【解析】【分析】先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项化简，然后根据相反数及有理数的分类求出x、y的值，再代入化简结果计算即可．
4． 如图， △ABC 和△A'B'C'关于直线l 对称， . 求∠B'的度数和AB 的长.
【答案】解：∵ △ABC 和△A'B'C'关于直线l 对称 ，
∴∠B'=∠B=90°，AB=A'B'=6.
【解析】【分析】根据轴对称图形的性质来解决问题.
5．已知a-2b=3，2b-c=-5，c-d=10，求(a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值．
【答案】解：∵a-2b=3，2b-c=-5，c-d=10，
∴原式=a-c+2b-d-2b+c
=(a- 2b)+(2b-c)+(c-d)
=3-5+ 10
=8．
【解析】【分析】将待求式子利用去括号法则“括号前是负号，去掉括号和负号，括号内的每一项都要变号；括号前是正号，去掉括号和正号，括号内的每一项都不变号”先去括号，再利用加法的交换律和结合律将式子变形为含“ a-2b ”、“ 2b-c ”、“c-d ”的式子的形式，最后整体代入计算可得答案.
6．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则 ， （请用含a，b的代数式表示，只需表示，不必化简）．
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是
（3）运用（2）中得到的公式，计算：．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：
．
【解析】【解答】解：（1）由图形可知，图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，
故答案为：，；
（2）∵图1和图2中的阴影部分面积相等，
∴以上结果可以验证乘法公式为：，
故答案为：；
【分析】（1）根据平方差公式的几何背景求解。图1中阴影部分面积用大正方形面积减去小正方形面积表示即可，图2中阴影部分面积用长方形面积公式表示即可；
（2）根据平方差公式的几何背景求解。根据（1）的结果，即可得到答案；
（3）根据平方差公式求解。在原式前面乘以，运用（2）中得到的公式计算，即可得到答案．
7．判断代数式 的值是否能等于1，并说明理由.
【答案】解：代数式 的值不能等于1.
理由：
，
，
代数式 的值不能等于1.
【解析】【分析】根据异分母分式减法法则可将原式化为，据此判断.
8．如图，已知点A（2，3）和直线y=x，
（1）点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点（0，0）的对称点为点C；写出点B、C的坐标；
（2）若点D是点B关于原点（0，0）的对称点，判断四形ABCD的形状，并说明理由．
【答案】解：（1）∵A（2，3），
∴点A关于直线y=x的对称点B（3，2），
点A关于原点（0，0）的对称点C（﹣2，﹣3）；
（2）∵B（3，2），
∴点B关于原点（0，0）的对称点D（﹣3，﹣2），
∵点B与点D关于O对称，
∴BO=DO，
∵点A与点C关于O对称，
∴AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点（0，0）的对称点为点C，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【解析】【分析】（1）根据两个点关于y=x对称，这两个点的横纵坐标正好相反；两点关于原点对称，那么这两个点的横坐标互为相反数可直接写出答案；
（2）首先根据两点关于原点对称，那么这两个点的横坐标互为相反数可直接写出D点坐标，再根据矩形的判定方法可得四边形ABCD是矩形．
9．有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，分别为个小方块的面积．
（1）请用图中所给图形的边长与面积，表示其中的等量关系_______．
（2）利用（1）中的结论解决：若，则_____，_____．
（3）如图2所示，线段的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
（4）若实数满足，求代数式的值．
【答案】（1）
（2），
（3）解：连接，设，，依题意，
∴阴影部分面积为
∴；
（4）解：设，，
∵，
∴，，
∴
．
【解析】【解答】解：（1）由题意得：，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
由图可知a＜b，
∴a-b＜0，
∴ a-b=-1；
故答案为：25；-1；
【分析】（1）根据4个小方块的面积和与大正方形的面积相等求解即可；
（2）根据（1）中的结论，得，从而整体代入计算可得第一空答案；根据，从而整体代入计算后再开平方求出a-b的值，最后结合图形判断出a-b＜0，从而得出答案；
（3）连接AC，设，，依题意，，根据及完全平方公式的恒等变形得，从而整体代入计算即可求解；
（4）设，，根据，得出，，利用完全平方公式的恒等变形得，然后整体代入计算可得答案.
10．为帮助雅安地震灾区人们重建家园，某中学学生积极捐献．已知高中部捐款总额为7200元，初中部捐款总额为6000元，高中部人数比初中部人数多80人，而且初中部和高中部人均捐款恰好相等．求该校学生总数是多少人．
【答案】解：设该校初中部有x人，则高中部有（x+80）人，
根据题意得：=，
去分母得：7200x=6000x+480000，
解得：x=400，
经检验x=400是分式方程的解，且符合题意，
∴x+80=400+80=480（人），480+400=880（人），
则该校学生总数是880人．
【解析】【分析】设该校初中部有x人，则高中部有（x+80）人，根据初中部和高中部人均捐款恰好相等列出方程，求出方程的解即可得到结果．
11．一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地，设前一小时行驶的速度为xkm/h.
（1）直接用含x的式子表示提速后走完剩余路程的时间为 h.
（2）求汽车实际走完全程所花的时间.
（3）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以akm/h的速度行驶，另一半路程以bkm/h的速度行驶（a≠b），则用时t1小时；若用一半时间以akm/h的速度行驶，另一半时间以bkm/h的速度行驶，则用时t2小时.请比较t1，t2的大小，并说明理由.
【答案】（1）
（2）解：依题意，得
解得x=60，
经检验：x=60是原方程的解，且符合题意，
答：汽车实际走完全程所花的时间为h.
（3）解：t1>t2.理由：
均为正数，且即∴t1>t2.
【解析】【解答】解：（1）∵前一小时行驶的速度为xkm/h，则提速后速度为km/h，
∴提速后走完剩余路程的时间为：
故答案为：；
【分析】（1）根据题意得到：提速后速度为km/h，则得到提速后走完剩余路程的时间为：即可求解；
（2）根据"提速后比原计划提前40min到达目的地"，据此列出分式方程为：解得：进而将x的值代入即可求解；
（3）根据时间等于路程除以速度，据此分别求出：t1，t2，进而将其作差比较即可求解.
12．关于x的整式，当x取任意一组相反数m与时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式”．
（1）若整式A是关于x的“奇整式”，当x取1与时，对应的整式值分别为，，则 ；
（2）判断式子是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由；
（3）对于整式，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和．
①这个“偶整式”是 ，“奇整式”是 ；
②当x分别取，，，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是 ．
【答案】（1）0
（2）解：奇整式 理由：将代入中可得；
∵与互为相反数，
∴该式为奇整式
（3）；；35
【解析】【解答】（1）由定义可知，整式的值互为相反数，
故答案为：0；
（3）①，
∵，，
∴是偶整式，是奇整式．
②由于是偶整式，是奇整式，
∴当x分别取，，，0，1，2，3时，
的值分别为10，5，2，1，2，5，10；
当x取互为相反数的值时的值也互为相反数，即和为0；
∴这七个整式的值之和是；
故答案为：35．
【分析】(1)根据“奇整式”的定义直接可得结果；
(2)将整式化简，即可判断；
(3)①将所求的代数式变形为，再求解即可；
②根据“偶整式”和“奇整式”的特点，分别求出x5 - x3+x的七个数之和，x2+1的7个数之和，再求和即可.
13．先化简，再求值： ，其中 ， .
【答案】解：
当 ， ，
上式
【解析】【分析】先利用去括号法则分别去括号，再合并同类项将原式化简，最后将a、b值代入计算即可.
14．某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求.商厦又用 万元购进第二批这种衬衫，所购数量是第一批进量的 倍，但单价贵了 元.商厦销售这种衬衫时每件定价 元，最后剩下 件按八折销售，很快售完.在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？
【答案】解：设第一批购进x件衬衫，则第二批购进了2x件，
依题意可得： ，
解得x=2000.
经检验x=2000是方程的解，
故第一批购进衬衫2000件，第二批购进了4000件.
设这笔生意盈利y元，
可列方程为：y+80000+176000=58（2000+4000-150）+80%×58×150，
解得y=90260.
答：在这两笔生意中，商厦共盈利90260元.
【解析】【分析】根据题意找出等量关系即第二批衬衫的单价-第一批衬衫的单价=4元，列出方程，可求得两批购进衬衫的数量；再设这笔生意盈利y元，可列方程为y+80000+176000=58（2000+4000-150）+80%×58×150，可求出商厦的总盈利.
15．先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式
当，
原式
【解析】【分析】根据分式的混合运算将原式化简，再将x值代入计算即可.
16．随着虹桥综合交通枢纽的 开工建设，“大虹桥”将成为上海“后世博”阶段重要的经济亮点，上海将形成东有“大浦东”，西有“大虹桥”的“双引擎”格局。现有一个工程，要整修一段全长为1200米的道路，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际工作效率比原来提高20%，结果提前4小时完成任务，求原计划每小时修路的长度是多少米？
【答案】解： 设原计划每小时修x米，
根据题意得：，
解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解，
答：原计划每小时修50米.
【解析】【分析】 设原计划每小时修x米，根据原计划的工作时间-实际的工作时间=4，列出方程，然后解方程，即可得出答案.
17．小明家距学校2000米，某天他步行去上学，走到路程的一半时发现忘带作业，此时离上课时间还有25分钟，于是他立刻步行回家取，随后骑车返回学校，在上课前5分钟到达了学校.若小明骑车的平均速度是步行速度的5倍，求小明步行的平均速度.
【答案】解：设小明步行的平均速度为每分钟x米，由题意得，
＝25﹣5，
解得，x＝70，
检验，x＝70是原方程的解
答：小明步行的平均速度为70米/分钟.
故答案是70米/分钟.
【解析】【分析】根据“路程÷速度=时间”，设设小明步行的平均速度为每分钟x米，根据题意列出方程即可求出答案.
18．先化简，再求值：，其中m只能在0，1，这三个值中取一个合适的值．
【答案】解：原式
，且，．
∴当时，原式．
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将m的值代入计算即可。
19．先化简再求值，其中，.
【答案】解：原式＝
＝
＝
当时
原式＝
.
【解析】【分析】根据去括号、合并同类项法则即可对原式进行化简，然后将x、y的值代入计算即可.
20．先化简，再求值： 其中小明的解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程.
解：原式=
=a-2+4②
=a+2.③
当a=时，原式=
【答案】解：错误步骤的序号是①.
正确的解答过程如下： 当 2时，原式
【解析】【分析】 根据分式的加减运算顺序和法则即可判断错误位置，先将两分式通分，再计算加法，继而约分即可化简，最后将a的值代入计算即可.
21．先化简，再求值： ，其中a是方程2x2+x﹣3=0的解．
【答案】解：解：原式= ，
= ，
= ．
由2x2+x﹣3=0得到：x1=1，x2=﹣ ，
又a﹣1≠0即a≠1，
所以a=﹣ ，
所以原式= =﹣ ．
【解析】【分析】先化简代数式、解方程，然后结合分式的性质对a的值进行取舍，并代入求值即可．本题考查了分式的化简求值．解答该题时，一定要注意分式的分母不等于零这一限制性条件，以防错解该题．
22．习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．为打造书香校园，某中学计划选购甲、乙两种文学名著，已知甲种书籍每本价格比乙种书籍每本价格多10元，用1000元单独购买甲种书籍与用800元单独购买乙种书籍数量相同．求甲、乙两种书籍每本价格分别为多少元？
【答案】解：设甲种书籍每本价格为x元，
由题意可列方程
解得
经检验是原分式方程的解
乙种书籍：（元/本）
答：甲种书籍每本价格为50元，则乙种书籍每本价格为40元．
【解析】【分析】设甲种书籍每本价格为x元，可得乙种书籍每本价格为元，结合用1000元单独购买甲种书籍与用800元单独购买乙种书籍数量相同，建立方程，解方程即可求出答案.
23．京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长 ，是我国最繁忙的铁路干线之一.如果从北京到上海的客车速度是货车速度的2倍，客车比货车少用 ，那么货车的速度是多少？（精确到 ）
【答案】解：设货车的速度为
由题意得
经检验 是该方程的解
答：货车的速度是 千米/小时
【解析】【分析】设货车的速度为xkm/h，则客车的速度是2xm/h，客车行完全程需要的时间是小时，货车行完全程需要的时间是小时，根据北京到上海客车比货车少用6h，列出方程，求解并检验即可。
24．如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°得到三角形EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，求∠ADC的度数．
【答案】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC＝180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE＝180°，
∴∠ADC＝∠E+20°，
∵∠ACE＝90°，AC＝CE
∴∠DAC+∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45°
在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，
即45°+70°+∠ADC＝180°，
解得：∠ADC＝65°，
【解析】【分析】先求出 ∠ADC＝∠E+20°， 再求出 45°+70°+∠ADC＝180°， 最后计算求解即可。
25．设 ，求x2+y2﹣2xy的值．
【答案】解：∵x2+y2﹣2xy=（x﹣y）2，
∴把x=2+ ，y=﹣2+ 代入得：
原式=（2+ +2﹣ ）2
=16
【解析】【分析】直接利用完全平方公式分解因式，进而将已知数据代入求出答案．
26．先化简，再求值： ，然后从 中，选择一个合适的整数作为x的值代入求值.
【答案】解：
，
∵ ，
∴整数 ，0，1，
∵ ， ，
∴x不能取0和1，
当 时，原式 .
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再从
中选取一个使分式有意义的整数值代入计算即可.
27．如图是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B、C三点在小正方形的顶点上，请在图①、②中各画一个凸四边形，使其满足以下要求：
（1）请在图①中取一点D（点D必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C、D为顶点的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）请在图形②中取一点D（点D必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
【答案】解：（1）如图所示：四边形ABCD即为所求；
（2）如图所示：四边形ABCD即为所求．
【解析】【分析】（1）直接利用中心对称图形的性质，得出答案即可；
（2）直接利用轴对称图形的性质，得出答案即可．
28．小明在计算一个多项式与 的差时，因误以为是加上 而得到答案 ，求这个多项式及这个问题的正确答案
【答案】解：被减式＝
＝
＝3x2-5x+11，
正确答案为：3x2-5x+11 （ ）
＝3x2-5x+11
＝x2-8x+18．
【解析】【分析】应先根据一个加数等于和减去另一个加数算出被减式，进而减去减式即可．
29． 已知A＝4m（2m2﹣1）+4m，B＝8m．
（1）化简整式A，并求m＝﹣1时A的值；
（2）若C＝A﹣B．
①将C因式分解；
②若m为整数，直接写出整式C能否被16整除．
【答案】（1）解：A＝8m3﹣4m+4m＝8m3．当m＝﹣1时原式＝8×（﹣1）3＝﹣8．
（2）解：①当A＝8m3，B＝8m时，C＝A﹣B＝8m3﹣8m＝8m（m+1）（m﹣1）．②能
【解析】【分析】（1）利用单项式乘多项式法则对整式A进行化简，再将m的值代入计算即可求解；
（2）① 根据A、B，先求出C，再利用提公因式法、平方差公式进行因式分解即可求解；
② 根据化简的结果为C＝8m（m+1）（m﹣1），需讨论m的奇偶性，当m为奇数，即m=2n+1（n为整数）时，
C＝8m（m+1）（m﹣1）=8（2n+1）(2n+2)(2n)=32n(n+1)(2n+1)，此时能被16整除；
当m为偶数，即m=2n（n为整数）时，
C＝8m（m+1）（m﹣1）=16n（2n+1）(2n-1)，此时能被16整除；
综上所述，整式C能被16整除.
30．某校开展劳动实践活动，八年级承包了一项劳动任务，1班单独劳动1 小时后，为了加快进度，2班也加入劳动，这样共用3小时完成了任务，已知2班单独劳动需要4小时完成.
（1）1班单独完成此项劳动任务需要多少小时
（2）若两个班从一开始就合作，需要多少小时完成此项劳动任务
【答案】（1）解：设1班单独完成此项劳动任务需要x小时，
根据题意，得
解得x=6，
经检验，x=6是原分式方程的解，且符合题意.
答：1班单独完成此项劳动任务需要6小时
（2）解：设两班从一开始就合作，需要y小时完成此项任务，
根据题意，得
解得y=2.4，
经检验，y=2.4是原分式方程的解，且符合题意.
答：两班从一开始就合作，需要2.4小时完成此项劳动任务.
【解析】【分析】（1）设1班单独完成此项劳动任务需要x小时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设两班从一开始就合作，需要y小时完成此项任务，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
31．因式分解与整式的乘法是互逆关系， 请利用 解决下列问题．
（1）简便计算： ．
（2） 判断 ( 为整数) 是奇数还是偶数？
【答案】（1）解：原式 ．
（2）解：=n（n+1）
当n为奇数，则n+1为偶数：
当n为偶数，则n+1为奇数；
即n与n+1始终一奇一偶，
所以是偶数
【解析】【分析】（1）提取公因式8.7，即可简便计算；
（2）先将化成n（n+1），分n为奇数、偶数两种情况，判断n+1的奇偶性，从而可知n与n+1始终一奇一偶，通过奇数×偶数=偶数即可判断 ( 为整数) 的奇偶性.
32．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．
【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
点B旋转到点B2所经过的路径长为：=π．
故点B旋转到点B2所经过的路径长是π．
【解析】【分析】（1）根据网格特点，找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）分别找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，观察可知点B所经过的路线是半径为，圆心角是90°的扇形，然后根据弧长公式进行计算即可求解．
33．已知方程 的解是k，求关于x的方程x2+kx=0的解．
【答案】解：解方程 ．
方程两边同时乘以（x﹣1），
得：1=x﹣1，
解得x=2．
经检验，x=2是原方程的解，所以原方程的解为x=2．
即k=2．
把k=2代入x2+kx=0，得x2+2x=0．
解得x1=0，x2=﹣2
【解析】【分析】先求出方程 的解从而得到k的值，再代入x2+kx=0，用提公因式法解答．
34．先化简，后求值，已知 ， ，当 ， 时，计算 的值.
【答案】解：∵ ， ，
∴
，
把 ， 代入，
得原式 .
【解析】【分析】运用多项式的加法法则，合并同类项，将2A-3B的表达式化简，最后代入x和y的值求值即可.
35．复课返校后，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，已知跳绳的单价比毽子的单价多4元，用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的毽子数量相同，求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
【答案】解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元
依题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意
∴
答：跳绳的单价为20元，毽子的单价为16元．
【解析】【分析】设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，根据题意列出方程，再求解即可。
36．小明解方程 的过程如图.请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程.
【答案】解：小明的解法有三处错误：
步骤①去分母错误；步骤②去括号错误；步骤⑥之前缺少“检验”步骤.
正确的解答过程如下：
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
两边同除以 ，得 .
经检验， 是原方程的解，
∴原方程的解是 .
【解析】【分析】观察原解答过程，可发现解法有三处错误的地方：去分母（漏乘了右边的1），去括号（括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的各项符号都要变号），分式方程必须检验，再写出正确的解答过程即可。
37．先化简，再求值：，其中a、b均为有理数，且a为最大的负整数，b为绝对值最小的有理数．
【答案】解：原式
，
因为a为最大负整数，所以；因为b为绝对值最小有理数，所以，
把代入得．
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再将a、b的值代入计算即可。
38．2023年5月19日，慈善一日捐活动中，我校师生积极捐款，已知上午捐款4800元，下午捐款6000元，下午捐款人数比上午捐款人数多50人，且上午和下午的人均捐款数相等，那么当天参加捐款的人数是多少？
【答案】解：设上午捐款人数为人，则下午捐款人数为人，
根据题意得：
，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
（人），
当天参加捐款的人数是：（人），
答：当天参加捐款的人数是450人．
【解析】【分析】设上午捐款人数为人，则可用x表示出下午捐款人数，列出分式方程，解这个分式方程后记得验根，然后求得 当天参加捐款的人数 ，最后作答.
39．先化简再求值：÷（﹣x﹣2），其中x=﹣3．
【答案】解：原式=÷
=﹣
=﹣，
当x=﹣3时，原式=﹣=﹣．
【解析】【分析】原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
40．分解因式：x4﹣5x2+4．
【答案】解：x4﹣5x2+4=（x2﹣1）（x2﹣4）=（x+1）（x﹣1）（x+2）（x﹣2）．
【解析】【分析】原式利用十字相乘法分解后，再利用平方差公式分解即可得到结果．
41．某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．现该公司分别花费960元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份牛肉面比每份杂酱面的价格贵5元，求每份牛肉面的价格．
【答案】解：设每份杂酱面的价格为元，则每份牛肉面的价格为元，
根据题意，得．
解得．
经检验：是原方程的解．
则每份牛肉面的价格为：（元．
答：每份牛肉面的价格为15元．
【解析】【分析】设每份杂酱面的价格为元，则每份牛肉面的价格为元，根据“购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多”列出关于的分式方程，解方程即可求出答案.
42．小刚同学由于粗心，把“”看成了“”，算出的结果为，其中．
（1）求的正确结果；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：由题意可得∶，
∴
，
∴
；
（2）解：
，
当时，
原式
．
【解析】【分析】（1）根据题意移项合并同类项得出A，进而利用整式的加减运算法则计算即可解答；
（2）直接利用（1）中所求得出，进而利用整式的加减运算法则化简，再把x的值代入计算即可解答．
（1）解：由题意可得∶
，
∴
，
∴
；
（2）
，
当时，
原式
．
43．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是 ；
（2）用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1： ▲ ；
方法2： ▲ ；
并写出二个代数式之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系，解决问题：若，求的值；
（4）根据（2）中的等量关系，直接写出和之间的关系 ；若，分别求出和的值 ；
（5）【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．根据图③，写出一个代数怛等式： ；
（6）已知，利用上面的规律求的值．
【答案】（1）
（2）解：方法一：利用整体思想，边长为的正方形其面积为，
方法二：利用分割思想，阴影部分面积边长为的大正方形面积个长为宽为的矩形面积，
三个代数式之间的数量关系为：，或：；
（3）解：，且，
，
（4）；12；14
（5）
（6）解：，
．
【解析】【解答】解：（1）由图（2）知：阴影部分正方形的边长为：a-b
（2）方法1：由（1）知阴影部分正方形的边长为a-b
方法2：
∴
∵x+y=10，xy=16
∴x-y=±6
∴方程两边同时除以m得：
(5)由图（3）可知：这个长方体的长为a+b，宽为a+b，高为a+b
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景与实际应用.
（1）由图形②可看出正方形的边长为a-b即可得出答案；
（2）方法一：利用整体思想，由（1）知正方形的边长为a-b，则正方形的面积为；
方法二：利用整体减局部的思想，，两个式子表示的都是阴影部分的面积，所以相等，即可得出答案.
（3）根据（2）中的结论代入求值即可.
（4）根据（2）中的结论即可直接写出关系式，由两边同时除以m可得出代入即可得出答案；
（5）利用两种方法求长方体的体积，方法一：利用整体思想根据图中数据分别表示出长方体的长宽高，代入公式得出长方体的体积；方法二：利用拆分法，由图可看出大的长方体是由一个棱长为a的正方体，一个棱长为b的正方体，3个长和高为a，宽为b的长方体与3个长和高为b，宽为a的长方体组成；把这些图形的体积都加起来则为大长方体的体积；即可得出关系式；
（6）利用（5）中得出的关系式，变形代值即可得出答案.
44．试求 被x-1除所得的余式
【答案】解：原式=（x128-1）+（x110-1）-（x32-1）+（x8-1）+（x2-1）-（x-1）+2
∵（a-b）× (an 1+an 2b+an 3b2+ +abn 2+bn 1)=an-bn，
∴x128-1，x110-1，x32-1，x8-1，x2-1，x-1都可被x-1整除，
∴原式被x-1除所得的余数为2.
【解析】【分析】由于x285 的次数太高，采用一般的竖式除法显然不易得到结果；所以可将原式变形：（x128-1）+（x110-1）-（x32-1）+（x8-1）+（x2-1）-（x-1）+2；利用公式（a-b）× (an 1+an 2b+an 3b2+ +abn 2+bn 1)=an-bn，这样，各个括号内的二项式都被x-1整除，所以原式除以x-1后的余数即为2．
45．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，求：①a＋b的值；②a4－b4的值．
【答案】（1）解：两个阴影图形的面积和可表示为：
a2＋b2或 (a＋b)2－2ab
（2）解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
（3）解：∵a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，
∴①(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab
＝53＋2×14=81
∴a＋b＝±9，
又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9．
②∵a4－b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)，
且∴a－b＝±5
又∵a＞b＞0，
∴a－b＝5，
∴a4﹣b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)＝53×9×5＝2385．
【解析】【分析】（1）第一种表示方法为：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积即可，即（a+b）2-2ab；第二种表示方法为：阴影部分的面积为两个正方形的面积之和，即a2+b2；
（2）因为两种方法表示的为同一个阴影的面积即两种表示方法为相等的关系，即(a+b)2-2ab=a2+b2；
（3）由（2）题中的等量关系即可求得a+b的值，再根据（2）题中的等量关系可以表示（a-b）2+2ab=a2+b2，可求出a-b的值，将a4-b4进行因式分解，即可求出它的值。
46．阅读下面例题，并解答问题。
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值
解：设另一个因式为 ，得
则 ∴ 解得： ，
∴另一个因式为 ，m的值为—21
请仿照上面的方法解答下面的问题：
已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值。
【答案】解：设另一个因式为 ，得 ，
则 ，
∴ ，
解得：，
∴另一个因式为 ，m的值为65 .
【解析】【分析】设另一个因式为(2x+a) ，根据恒等的关系列等式，根据等式两边x的相同指数项的系数对应相等，列出方程求解即可.
47．用平方差公式进行因式分解在数的运算中有着广泛的应用，比如，数的整除性探究中的应用．
例： 能被2009整除吗？
解：
∵ 中有因数2009，
∴ 一定能被2009整除．
请你试一试：已知数字 恰能被两个在60和70之间的整数整除，求出这两个数．
【答案】解：
=
= ；
= ；
∴ 可被63与65整除，
即所求在60和70之间的两个整数是63和65．
【解析】【分析】 利用平方差公式数字可变形为 = = = ，利用结果判断即可.
48．已知x4+4x2+3x+4 中含有一个因式x2+ax+1．
（1）求a的值．
（2）因式分解x4+4x2+3x+4．
【答案】（1）解：设
.
（2）解：.
【解析】【分析】（1）首先设x4+4x2+3x+4=(x2+ax+1)(x2+bx+4)，进而根据多项式乘以多项式法则求出(x2+ax+1)(x2+bx+4)的积，即可得到a与b的关系，求解可得a、b的值；
（2）根据（1）中所求的a、b的值，及因式分解的定义即可得出答案.
49．已知实数a，b，c，m，n满足3m+n=，mn=.
（1）说明：b2-12ac为非负数.
（2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数 说明你的理由.
【答案】（1）解：因为3m+n=，mn=，
所以b=a(3m+n)，c=amn，则b2-12ac=[a(3m+n)]2-12a2mn
=a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn
=a2(9m2-6mn+n2)
=a2(3m-n)2，
因为a，m，n是实数，
所以a2(3m-n)2≥0，
所以b2-12ac为非负数.
（2）解：m，n不可能都为整数.
理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：m，n都为奇数；或m，n为整数，且其中至少有一个为偶数.
①当m，n都为奇数时，3m+n必为偶数，又因为3m+n=，
所以b=a(3m+n).
因为a为奇数，
所以a(3m+n)必为偶数，这与b为奇数矛盾；
②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，mn必为偶数，
又因为mn=，
所以c=amn，
因为a为奇数，
所以amn必为偶数，这与c为奇数矛盾.
综上所述，m，n不可能都为整数.
【解析】【分析】(1)根据题意，可得b=a(3m+n)，c=amn，将其代入原式中，再利用公式法与提公因式法进行因式分解，可得原式 根据a， m， n是实数， 可知 即可证 为非负数.
(2)m，n不可能都为整数.理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，分别进行论证讨论即可.
50．如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．
（1）由图2可以直接写出（a+b）2，（a-b）2，ab之间的一个等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，解决下列问题：3x+4y＝10，xy＝2，求3x-4y的值；
（3）两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y．若x2+y2＝58，BE＝4，求图中阴影部分面积和．
【答案】（1）(a+b)2=(a-b)2+4ab
（2）解：由（1）得：(3x+4y)2=(3x-4y)2+4×3x×4y.
∴(3x-4y)2=(3x+4y)2-48xy
∴(3x-4y)2=100-96=4.
∴3x-4y=±2；
（3）解：∵ABCD，AEFG为正方形，边长分别为x，y，BE=4，
∴DG=BE=4，即x-y=4，
∴(x-y)2=16.
∴x2-2xy+y2=16.
∵x2+y2=58，
∴2xy=42.
∴x2+2xy+y2=42+58.
∴(x+y)2=100.
∵x>0，y>0，
∴x+y=10.
∴S阴影=
【解析】【解答】解：（1）整体看图2的面积为：(a+b)2，利用割补法看图2的面积为：4ab+(a-b)2，
∴(a+b)2=(a-b)2+4ab；
故答案为：(a+b)2=(a-b)2+4ab；
【分析】（1）根据图2中大正方形的面积等于小正方形的面积与四个小长方形的面积之和即可得出答案；
（2）利用（1）中的结论可得(3x-4y)2=(3x+4y)2-48xy，从而代值计算即可得出答案；
（3）由题意易得x-y=4，将x-y=4两边平方后再结合已知可求出2xy=42，进而即可求出x2+2xy+y2=42+58，即(x+y)2=100，然后开方可得x+y=10，最后利用三角形面积计算公式，由阴影部分的面积等于S△DCF+S△BEF，列式后整体代入计算可得答案.
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