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【精选热题·期末50道填空题专练】上海市数学八年级上册总复习
1．化简： =
2．若，且m，n为两个连续的整数，则的值为 ．
3．如图：在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D，若BD＝2，AC＝6，则△ACD的面积为 ．
4．用四舍五入法对2.1415取近似数并精确到0.01，得到近似值是 ．
5．已知、均为正整数，若，，则的最大值为 ．
6．计算 ．
7．如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则 的度数为 .
8．禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入 元
9．如图.在 中， ， 平分 ， 于E，若 ，则 的长为 .
10．计算： .
11．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也向右滑，则梯子的长度为 .
12．如果y＝+1，则2x＋y的值是 .
13．比较大小： （用“>”，“<”或“=”填空）．
14．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
15． 定义运筫 “ *” 的运筫法则为： ， 其中 为非负实数， 且 ，则
16．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是 .
17． 如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AB+CD=8，且△BPC的面积为12，则AD的长为 .
18．已知1.766，5.586，则 .
19．已知-2x-1＝0，则x＝ ．
20．若a＜1，化简 ＝ .
21．如果 那么 。
22．请阅读材料，并解决实际问题：海伦—秦九韶公式：海伦（约公元 年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为 ， ， ，记 ，那么这个三角形的面积 .这个公式称海伦公式.秦九韶（约 — ），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式 .它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平.通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式.问题：在 中， ， ， ，用海伦—秦九韶公式求 的面积为 .
23．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为 ．
24．一个长方形的长为 ， 宽为 ，则这个长方形的面积是
25．化简： 的结果是 ．
26．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
27．如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，以点B为旋转中心，将线段BO逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO′.则下列结论：
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到；
②连接OO′，则OO′=4；
③∠AOB=150°；
④S四边形AOBO′=6+4 .
其中正确的结论是 .
28．如图，从一个大正方形中裁去面积为和 的两个正方形，则余下阴影部分的面积为 .
29．对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如；若，则 ．
30．我们通过在网格内画正方形，利用面积可表示出一些相应的无理数.如图(每个小正方形的边长为1)，在4×4的网格中所画出的阴影正方形的边长为 .
31． ．
32．586300用科学记数法表示为 ，2.70×105精确到 位，42600精确到千位是 ．
33．Rt△ABC中，∠B＝90°，D为BC上的一点，若DC＝DA＝5，△ACD的面积为10，则BD的长为 ．
34．若 ， 是关于x的方程 的两个实数根，且 ，则k的值是 .
35．已知数 的大小关系如图所示：则下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .其中正确的有 （请填写编号）.
36．全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代．中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为 ．
37．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为 .
38．若-2xm-ny2与3x4y2m是同类项，则m-3n的立方根是
39． ．
40． 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为 ．
41．如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到边的距离等于 ．
42．如图，AD是△ABC的高，AD=BD=4，E是AD上的一点，BE=AC=5，AE=1，BE的延长线交AC于点F，则EF= .
43．如图，在△ABC中，AB=AC=2 ，∠BAC=120°，点D，E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为 ．
44．已知， ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是 .
45．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A旋转，使点C落在AB边上的点E处，点B落在点D处，连接BD，CE，延长CE交BD于点F，则EF的长为
46．如图，若 ，BF平分 ，DF平分 ， ，则 ．
47．图1是小慧在“天猫 双11”活动中购买的一张多档位可调节靠椅，档位调节示意图如图2所示，已知两支脚AB＝AC＝10分米，BC＝12分米，O为AC上固定连接点，靠背OD＝10分米.档位为Ⅰ档时，OD∥AB.档位为Ⅱ档时，OD'⊥AC.当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背頂端D向后靠的水平距离（即EF）为 分米.
48．如图，在 ABC中，AH是高，AE BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若 ，BH＝1，则BC＝ .
49．如图，在直角坐标系中，△ABC是边长为a的等边三角形，点B始终落在y轴上，点A始终落在x轴上，则OC的最大值是 .
50．如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为 ．
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【精选热题·期末50道填空题专练】上海市数学八年级上册总复习
1．化简： =
【答案】
【解析】【解答】解：原式=6 -
=5 ，
故答案为5 ．
【分析】先化简二次根式，再计算即可．
2．若，且m，n为两个连续的整数，则的值为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵4＜7＜9
∴，
∴，
∵
∴m＝2，n＝3，
∴m+n＝5，
故答案为：5．
【分析】根据4＜7＜9可得，再结合可得m＝2，n＝3，最后将m、n的值代入计算即可。
3．如图：在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D，若BD＝2，AC＝6，则△ACD的面积为 ．
【答案】6
【解析】【解答】如图，作DQ⊥AC于Q．
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=2，
∴DB=DQ=2，
∵AC=6，
∴S△ACD AC DQ ×6×2=6．
故答案为：6．
【分析】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=2，再根据三角形的面积公式计算可得．
4．用四舍五入法对2.1415取近似数并精确到0.01，得到近似值是 ．
【答案】2.14
【解析】【解答】解：四舍五入法对2.1415取近似数并精确到0.01，得到近似值是2.14，
故答案为：2.14．
【分析】根据精确度的要求，判断小数点后的第三位数字，根据四舍五入取近似值即可.
5．已知、均为正整数，若，，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
，
为正整数，，
，
，
，
，
，
为正整数，
的最大值为，
故答案为：．
【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用"夹逼法"，通过找到相邻的完全平方数确定其范围，再结合整数条件求解．先估算出的范围，得到，进而得到，求出，即可得到答案．
6．计算 ．
【答案】
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】先利用立方根和绝对值的性质化简，再计算即可。
7．如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则 的度数为 .
【答案】45°
【解析】【解答】解：如图，连接AC.
根据勾股定理可以得到：
AC=BC= ，AB= ，
∵ ，即 ，
∴△ABC是等腰直角三角形.
∴∠ABC=45°.
故答案为：45°.
【分析】连接AC，利用勾股定理分别求出AC2+BC2的值及AB2的值，然后可证得AC2+BC2=AB2，利用勾股定理的逆定理可求出∠ACB的度数，同时可证得AC=BC，即可求出∠ABC的度数.
8．禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入 元
【答案】10800
【解析】【解答】解：在中，
∵，
∴AC=5．
在中，，，
而，
即，
∴，
即：
=．
∴需费用：（元）．
故答案为：10800．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证出，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形ABCD的面积，再利用“总费用=单价×总面积”列出算式求解即可.
9．如图.在 中， ， 平分 ， 于E，若 ，则 的长为 .
【答案】4
【解析】【解答】解：由题意： 平分 ， 于 ，
， ，
又 为公共边，
，
，
在 中， ，由勾股定理得：
，
故答案是：4.
【分析】利用角平分线的定义及垂直的定义可证得∠CAD=∠EAD，∠AED=∠C=90°，利用AAS证明△ACD≌△AED，利用全等三角形的性质可求出DE的长；再利用勾股定理求出BE的长.
10．计算： .
【答案】-6
【解析】【解答】 .
故答案为：-6.
【分析】利用立方根和算术平方根的性质，先算开方，再化简绝对值，然后利用有理数减法法则进行计算.
11．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也向右滑，则梯子的长度为 .
【答案】
【解析】【解答】解： 设梯子的长度为x，
根据勾股定理得，
，
，
解得：.
故答案为：5.
【分析】根据勾股表示出，在直角三角形COD中根据勾股定理求出AB即可.
12．如果y＝+1，则2x＋y的值是 .
【答案】9
【解析】【解答】解：由题意得x-4≥0，4-x≥0.
解得x=4，
把x=4代入，可求出y=1，
则2x＋y=9.
故答案为：9.
【分析】根据二次根式有意义的条件分别列不等式求出x的值，则可求出y值，然后代值计算即可.
13．比较大小： （用“>”，“<”或“=”填空）．
【答案】＞
【解析】【解答】解：因为 ＜ ＜ ，
所以2＜ ＜3
所以，-3＜- ＜-2
故答案为：＞
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
14．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k≠0且k≤1
【解析】【解答】由题意可知：△＝4-4k≥0，
∴k≤1，
∵k≠0，
∴k≠0且k≤1，
故答案为：k≠0且k≤1；
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式组求解即可。
15． 定义运筫 “ *” 的运筫法则为： ， 其中 为非负实数， 且 ，则
【答案】
【解析】【解答】
解：
=
故答案为：.
【分析】根据公式：代入计算即可.
16．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是 .
【答案】
【解析】【解答】解：设另一个根为α，则，
解得：，
所以，另一个根为，
故答案为：.
【分析】设另一个根为α，根据根与系数的关系可得α+3+=3，求解可得α，即方程的另一个根.
17． 如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AB+CD=8，且△BPC的面积为12，则AD的长为 .
【答案】6
【解析】【解答】解：如图，
过点P作PE⊥BC，
∵AB∥CD，AD过点P，且与AB垂直.
∴AD⊥CD，
∵ PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB ，
∴AP=EP=DP，
∠ABP=∠EBP，∠ECP=∠DCP，
易证△ABP≌△EBP，△ECP≌△DCP，
∴AB=AE，CE=CD，
∵ AB+CD=8，
∴BC=BE+CE=AB+CD=8，
∵ △BPC的面积为12 ，
即BC×EP=12，
∴EP=3，
∴AD=AP+DP=2EP=6，
故答案为：6.
【分析】根据平行线性质知AD⊥CD，根据角平分线性质知AP=EP=DP，结合“ AB+CD=8，且△BPC的面积为12 ”知EP的长，从而知AD的长.
18．已知1.766，5.586，则 .
【答案】55.86
【解析】【解答】解：∵5.586 ，
∴.
故答案为：55.86
【分析】利用被开方数的小数点每向右移动两位，算术平方根的小数点向右移动一位，据此可得答案.
19．已知-2x-1＝0，则x＝ ．
【答案】0或-1或-
【解析】【解答】解： ∵-2x-1＝0，
∴=2x+1，
∴2x+1=0或2x+1=1或2x+1=-1，
解得：x= - 或x=0或x=-1，
故答案为： 0或-1或- .
【分析】根据题意先求出=2x+1，再根据立方根求出2x+1=0或2x+1=1或2x+1=-1，最后计算求解即可。
20．若a＜1，化简 ＝ .
【答案】﹣a
【解析】【解答】解：∵a＜1，
∴a﹣1＜0，
＝|a﹣1|﹣1
＝﹣（a﹣1）﹣1
＝﹣a＋1﹣1
＝﹣a.
故答案为：﹣a.
【分析】根据a的范围，a﹣1＜0，化简二次根式即可.
21．如果 那么 。
【答案】±8
【解析】【解答】解：∵
∴.
【分析】根据平方根的定义求出x.
22．请阅读材料，并解决实际问题：海伦—秦九韶公式：海伦（约公元 年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为 ， ， ，记 ，那么这个三角形的面积 .这个公式称海伦公式.秦九韶（约 — ），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式 .它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平.通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式.问题：在 中， ， ， ，用海伦—秦九韶公式求 的面积为 .
【答案】
【解析】【解答】 解： 在 中， ， ， ，
，
的面积为 ，
故答案为： .
【分析】利用△ABC的三边长可求出p的值；再将p的值及三边长代入公式进行计算，可求出△ABC的面积.
23．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，，
∵，
∴，
∴△CBA是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
即点D表示的数为：，
故答案为：．
【分析】根据数轴图可知：AB=2，BC=2，再根据勾股定理可得：在Rt△ABC中，，根据图中尺规作图的方法可得：，根据线段的和差运算可知：，最后根据数轴与实数的对应关系可得：点D表示的数为：，由此可得出答案．
24．一个长方形的长为 ， 宽为 ，则这个长方形的面积是
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意可得：×=，
故答案为：.
【分析】先利用长方形的面积公式列出算式，再利用同底数幂的乘法的计算方法分析求解即可.
25．化简： 的结果是 ．
【答案】
【解析】【解答】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．
原式= - =
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算即可。
26．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】x≥2
【解析】【解答】因为分式分母不能为0，二次根式被开方数大于等于0，所以且且，取解的公共部分，所以得到x≥2.
故本题正确答案为x≥2.
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解即可。
27．如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，以点B为旋转中心，将线段BO逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO′.则下列结论：
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到；
②连接OO′，则OO′=4；
③∠AOB=150°；
④S四边形AOBO′=6+4 .
其中正确的结论是 .
【答案】①②③④
【解析】【解答】解：如图，连接OO′；
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=CB；
由题意得：∠OBO′=60°，OB=O′B，
∴△OBO′为等边三角形，∠ABO′=∠CBO，
∴OO′=OB=4；∠BOO′=60°，
∴选项②正确；
在△ABO′与△CBO中，
，
∴△ABO′≌△CBO（SAS），
∴AO′=OC=5，
△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到，
∴选项①正确；
在△AOO′中，∵32+42=52，
∴△AOO′为直角三角形，
∴∠AOO′=90°，∠AOB=90°+60°=150°，
∴选项③正确；
∵S四边形AOBO′= ，
∴选项④正确.
综上所述，正确结论为①②③④.
故答案为：①②③④.
【分析】如图，连接OO′，先证明△OBO′为等边三角形，得到OO′=OB=4，据此判断②正确；根据ASA可证△ABO′≌△CBO，可得AO′=OC=5，利用旋转的性质即可判断①；根据勾股定理的逆定理证明△AOO′为直角三角形且∠AOO′=90°，从而求出∠AOB的度数，然后判断③；利用S四边形AOBO′=△BOO′的面积+AOO′的面积求出结果，然后判断④.
28．如图，从一个大正方形中裁去面积为和 的两个正方形，则余下阴影部分的面积为 .
【答案】
【解析】【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，
大正方形的边长是 ，
余下阴影部分的面积是 .
故答案为： .
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，反之边长等于面积的算术平方根，据此并结合图形可得大正方形的边长，进而根据阴影部分的面积=大正方形的面积-两小正方形的面积列出式子，根据二次根式的混合运算计算即可得出答案.
29．对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如；若，则 ．
【答案】或2
【解析】【解答】解：由题意知，当时，，
解得，或，
∵时，，
∴，不符合要求，舍去；
∵时，，
∴符合要求；
当时，，
解得，或，
∵时，，
∴符合要求；
∵时，，
∴，不符合要求，舍去；
综上所述，或，
故答案为：或2．
【分析】
应分类讨论，当时，；当时，，计算求出满足要求的解即可．
30．我们通过在网格内画正方形，利用面积可表示出一些相应的无理数.如图(每个小正方形的边长为1)，在4×4的网格中所画出的阴影正方形的边长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：CD==，
故答案为：.
【分析】根据勾股定理即可得出结果.
31． ．
【答案】18
【解析】【解答】解：
；
故答案为：18．
【分析】利用二次根式的乘法计算方法求解即可。
32．586300用科学记数法表示为 ，2.70×105精确到 位，42600精确到千位是 ．
【答案】；千；
【解析】【解答】586300用科学记数法表示为 ，
2.70×105精确到千位，
42600精确到千位是 ．
故答案为： ，千， ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.精确到千位，应该看百位上的数字，用四舍五入法得出近似值，再用科学记数法表示即可. 对于2.70×105精先将其还原，看7后面第一个0所在的位置即得，据此分别解答即可.
33．Rt△ABC中，∠B＝90°，D为BC上的一点，若DC＝DA＝5，△ACD的面积为10，则BD的长为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：设 ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
∵ 的面积为10，
∴ ，
即 ，
解得： ， （舍去），
∴ 的长为3，
故答案为：3．
【分析】利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
34．若 ， 是关于x的方程 的两个实数根，且 ，则k的值是 .
【答案】 或
【解析】【解答】解：根据题意 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ，
解得 或 .
∵方程有两个实数根
∴△≥0，即（2k﹣3）2﹣4k2≥0，
解得 ，
∴ 或 .
故答案为： 或 .
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分别列式，结合 ， 整理得出关于k的二元一次方程求解，再由方程有两个实数根，根据△≥0，列出不等式求出m的范围，前后结合即可得出k值.
35．已知数 的大小关系如图所示：则下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .其中正确的有 （请填写编号）.
【答案】②③⑤
【解析】【解答】解：由数轴知b<0
①b+a+( c)<0，故原式错误；
②( a) b+c>0，故正确；
③ ，故正确；
④bc a<0，故原式错误；
⑤ ，故正确；
其中正确的有②③⑤.
【分析】根据数轴得到b<036．全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代．中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为 ．
【答案】7×10﹣9
【解析】【解答】数据0.000000007用科学记数法表示为7×10 9，
故填：7×10﹣9．
【分析】根据科学记数法的含义，表示数据即可。
37．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为 .
【答案】k≤4且k≠1
【解析】【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实数根
所以
由得 ，解 得
所以实数k的取值范围为：k≤4且k≠1.
故答案为：k≤4且k≠1.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此可得出k-1≠0，b2-4ac≥0，列不等式组，求解即可.
38．若-2xm-ny2与3x4y2m是同类项，则m-3n的立方根是
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：m-n=4且2m=2，
解得：m=1，n=-3，
∴m-3n=1-3×（-3）=10，
∴m-3n的立方根是： .
故答案为：.
【分析】先根据同类项相同字母的指数相同分别列式求出m、n的值，再代值，根据立方根定义解答即可.
39． ．
【答案】4
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：4 ．
【分析】先利用负指数幂，0指数幂和有理数的乘方化简，再计算即可。
40． 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意得出：AD=AB=CE=3，AE=2，，
∴，
故答案为：.
【分析】先根据题意求出AD=AB=CE=3，AE=2，再利用勾股定理求解即可.
41．如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到边的距离等于 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：，，，又知 ∠BAC=90°，∴S△ABC=，设点A到边BC的距离为h，则S△ABC= 12BC×h=12×26×h ，∴ 12×26×h=6 ，∴h= 62613 ，即点A到边BC的距离等于 62613 。 故第1空的答案为： 62613 。
【分析】根据勾股定理求出三角形ABC三边的长度，然后根据面积法求得BC边上的高，即为点A到BC的距离。
42．如图，AD是△ABC的高，AD=BD=4，E是AD上的一点，BE=AC=5，AE=1，BE的延长线交AC于点F，则EF= .
【答案】0.6
【解析】【解答】∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90 ，
∵AD=4，AC=5，
∴DC= ，
∵AD=BD=4，AE=1，
∴DE= AD-AE=3，
在△BDE和△ADC中，
，
∴△BDE △ADC (SSS)，
∴∠EBD=∠CAD，
∵∠CAD+∠C=90 ，
∴∠EBD+∠C=90 ，
∴∠BFC=90 ，
连接EC，
∵ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】先利用勾股定理求得DC=3，利用“SSS”证得△ADC △BDE，证得∠EBD=∠CAD，从而证得∠BFC=90 ，再利用面积法即可求解.
43．如图，在△ABC中，AB=AC=2 ，∠BAC=120°，点D，E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为 ．
【答案】3 ﹣3
【解析】【解答】（方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，如图所示．
∵AB=AC=2 ，∠BAC=120°，
∴BN=CN，∠B=∠ACB=30°．
在Rt△BAN中，∠B=30°，AB=2 ，
∴AN= AB= ，BN= =3，
∴BC=6．
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．
在△ADE和△AFE中， ，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=FE．
∵BD=2CE，BD=CF，∠ACF=∠B=30°，
∴设CE=2x，则CM=x，EM= x，FM=4x﹣x=3x，EF=ED=6﹣6x．
在Rt△EFM中，FE=6﹣6x，FM=3x，EM= x，
∴EF2=FM2+EM2，即（6﹣6x）2=（3x）2+（ x）2，
解得：x1= ，x2= （不合题意，舍去），
∴DE=6﹣6x=3 ﹣3．
故答案为：3 ﹣3．
（方法二）：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示．
∵AB=AC=2 ，∠BAC=120°，
∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°，
∴∠ECG=60°．
∵CF=BD=2CE，
∴CG=CE，
∴△CEG为等边三角形，
∴EG=CG=FG，
∴∠EFG=∠FEG= ∠CGE=30°，
∴△CEF为直角三角形．
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．
在△ADE和△AFE中， ，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=FE．
设EC=x，则BD=CD=2x，DE=FE=6﹣3x，
在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x，EC=x，
EF= = x，
∴6﹣3x= x，
x=3﹣ ，
∴DE= x=3 ﹣3．
故答案为：3 ﹣3．
【分析】（方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连结EF，把BD、DE、CE转化到一个三角形△CEF中，再作垂线，利用勾股定理列出方程，求出DE；（方法二）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，把BD、DE、CE转化到一个三角形△CEF中，取CF的中点G，可证得此三角形是直角三角形，得出三线段的关系，利用BC的长列出方程，求出DE.
44．已知， ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是 .
【答案】2027
【解析】【解答】解：由二次函数的性质，则
，
当 时， ；
当 时， ；
∴对应的y值的总和是：
=
= ；
故答案为：2027.
【分析】首先对解析式化简可得y=|x-3|+4-x，然后分x≤3，x>3去掉绝对值，据此计算即可.
45．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A旋转，使点C落在AB边上的点E处，点B落在点D处，连接BD，CE，延长CE交BD于点F，则EF的长为
【答案】
【解析】【解答】解： ∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理可得，.
由旋转的性质可知，AE=AC=3，DE=BC=4，AD=AB=5，∠DEA=∠ACB=90°，∠DAE=∠BAC.
∴BE=AB-AE=2，∠BED=90°.
由勾股定理可得，.
∵AE=AC，AD=AB，
∴∠AEC=∠ACE，∠ABD=∠ADB.
∵∠DAE=∠BAC，
由三角形的内角和定理可知，∠AED=∠ABD.
∵∠AED=∠BEF，
∴∠ABD=∠BEF.
∴BF=EF.
∵∠EDB+∠ABD=90°，∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠EDB=∠DEF.
∴DF=EF.
∴EF=BD=.
故答案为：.
【分析】先由旋转的性质和勾股定理求得BD的长，然后根据等腰三角形的性质和判定得到BF=EF=DF，进而得到EF的长
46．如图，若 ，BF平分 ，DF平分 ， ，则 ．
【答案】45°
【解析】【解答】解：如图，作射线BF与射线BE，∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠4，∠1＝∠2，
∵∠BED＝90°，∠BED＝∠4+∠EDC，
∴∠ABE+∠EDC＝90°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠1+∠3＝ ∠ABE+ ∠EDC＝45°，
∵∠5＝∠2+∠3，
∴∠5＝∠1+∠3＝45°，即∠BFD＝45°，
故答案为：45°．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质计算求解即可。
47．图1是小慧在“天猫 双11”活动中购买的一张多档位可调节靠椅，档位调节示意图如图2所示，已知两支脚AB＝AC＝10分米，BC＝12分米，O为AC上固定连接点，靠背OD＝10分米.档位为Ⅰ档时，OD∥AB.档位为Ⅱ档时，OD'⊥AC.当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背頂端D向后靠的水平距离（即EF）为 分米.
【答案】2
【解析】【解答】解：如图，过A作AG⊥BC于点G，过O作OH⊥BC于H，作OM⊥D'F于点M，交DE于点N，
则OM=HE，ON=HE，
∵AB=AC=10，BC=12，
∴BG=CG=BC=6，
∴AG= ，
∵AB∥CD，BC∥OM，
∴∠ABG=∠DON，
在△ABG和△DON中，
∴△ABG≌△DON（AAS），
∴BG=ON=HE=6，
∵OD'⊥AC，
∴∠D'OM+∠MOC=90°，
∵OM∥BC，
∴∠MOC=∠ACG，
∴∠ACG+∠CAG=90°，
∴∠CAG+∠D'OM，
在△ACG和△OD'M中，
，
△ACG≌△OD'M（AAS），
∴AG=OM=HF=8，
∴EF=HF-HE=8-6=2（dm），
故答案为：2.
【分析】过A作AG⊥BC于点G，过O作OH⊥BC于H，作OM⊥D'F于点M，交DE于点N，根据等腰三角形的性质，结合旋转的性质先证明△ABG和△DON全等，得出BG=ON=HE=6，再证明△ACG和△OD'M全等，得出AG=OM=HF=8，最后根据线段的关系即可求出EF的长.
48．如图，在 ABC中，AH是高，AE BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若 ，BH＝1，则BC＝ .
【答案】2.5
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵EF⊥AB，AH⊥BC，
∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵AE BC，
∴∠EAF＝∠B，
在 与 中，
∴ ，
∴ ， ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵BH＝1，
∴CH＝1.5，
∴BC＝BH＋CH＝2.5.
故答案为：2.5.
【分析】过E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，由垂直的概念得∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，由平行线的性质得∠EAF＝∠B，证△ABH≌△EAF，△ACH≌△EDF，得AH=EF，S△ABH=S△EAF，S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，则S△ABH=2S△ADE，S△ACH=3S△ADE，结合三角形的面积公式可得，由BH的值可得CH，然后根据BC＝BH＋CH进行计算.
49．如图，在直角坐标系中，△ABC是边长为a的等边三角形，点B始终落在y轴上，点A始终落在x轴上，则OC的最大值是 .
【答案】 a+ a.
【解析】【解答】如图所示，取AB的中点D，连接OD、CD，
则OD=AB=a，
CD=，
在△OCD中，∵OD+CD＞OC，
∴当点O、D、C三点共线时，OC的长度最大，
最大值为a+=.
故答案为：.
【分析】 此题难度较大，首先取AB的中点D，连接OD及CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出OD的长度，再由等边三角形的性质（三线合一）求出CD的长度，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得当点O、D、C三点共线时，OC的长度最大，然后计算即可得到答案．
50．如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为 ．
【答案】16
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连结，
，是高，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
∴AF=BD=10，S△ABF=S△BDE
，，
，
，
．
故答案为：16．
【分析】在BD上截取BF=DE，连结AF，由同角的余角相等得∠ABD=∠C，结合已知由等量代换得∠ABD=∠E，从而用SAS判断出△ABF≌△BED，由全等三角形的性质得，AF=BD=10，S△ABF=S△BDE，求出BF的长，即可利用三角形面积公式求的答案．
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