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【精选热题·期末50道解答题专练】上海市数学八年级上册总复习
1．计算：--（精确到0.01）
2．在数学课上，老师将一个长方形纸片的长增加 ，宽增加7 cm，就得到一个面积为 192 cm2 的正方形纸片，求原长方形纸片的面积.
3．根据扬州市某风景区的旅游信息， 公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社 元. 公司参加这次旅游的员工有多少人？
扬州市某风景区旅游信息表
旅游人数 收费标准
不超过 人 人均收费 元
超过 人 每增加 人，人均收费降低 元，但人均收费不低于 元
4．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”连接）．
5．如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，∠B=70°，∠C=40°，求∠BAD和∠ADC的度数.
6．去年某地高新技术产品进出口总额为5287.8万美元，比上年增长30%，如果今年仍按此比例增长，那么今年该地高新技术产品进出口总额可达到多少万美元（结果精确到万位）？
7．一根竹子高 丈，折断后竹子顶端落在离竹子低端 尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位， 丈 尺）．
8．如图，某小区有一块草坪，已知 ，且 ，求这块草坪的面积．
9．已知实数a，b．c在数轴上的位置如图所示，
化简： +|a+c|- +|1-b|．
10．如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少.
11．计算： .
12．已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，求 的值及方程的根．
13．已知2a-7和a+1是某个正数的两个不相等的平方根，b-7的立方根是-2.求：
（1）a，b的值；
（2）a-b的算术平方根.
14．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格，求这批椽的数量有多少株？
15．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”可翻译为：有一根竹子高一丈，今在A处折断，竹梢落在地面的B处，B与竹根部C相距3尺，求折断点A与地面的高度AC．(注：1丈＝10尺)
16．（1）画出“弦图”，并利用“弦图”证明勾股定理．
（2）如图，是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c．请利用这个图形验证勾股定理．
17．已知数轴上点A、B、C表示的数分别为a、b、c，其中 ，b是最大的负整数， c满足，
（1）求a、b、c的值；
（2）若将点C向左移动t个单位长度后与点A 的距离为2，求t的值．
18．一个正数x的两个不同的平方根分别是和．
（1）求a和x的值；
（2）求的算术平方根．
19．计算：+（精确到0.0001）
20．小明放风筝时不小心将风筝落在了4.8m高的墙头上，他请爸爸帮他取.爸爸搬来梯子，将梯子稳定摆放（梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ），此时梯子顶端正好达到墙头，爸爸问小明梯子的长度有没有5m？你能帮助小明一起算吗？
21．抖音直播带货已经成为一种热门的销售方式，某商场在抖音平台上直播销售某种商品，该商品每件进货价为40元，市场调研表明：当销售单价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件。
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元。
22．当m为何值时，关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣ =0有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？
23．用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为101cm2的矩形？请说明理由．
24．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元．如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
25．已知关于的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
26．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=41，BC=40，求AC．
27．化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了.问一个人每节课手把手教会了多少名同学
28． 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路﹖请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
29．（1）用“”“”或“”填空：
____________；
（1）由上可知：
① ，
② ，
③ ；
（2）计算：．
30．综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板ABCD（规格：AB=40cm，BC=100cm），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒.小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，PQ和MN两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示.
（1）若收纳盒高是10cm，则该收纳盒底面的边EF= cm，EH= cm；
（2）如图3，若收纳盒的底面积是350cm2，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒 （不考虑倾斜放入且要盖上盖子）
31．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
32．已知 的平方根是，的立方根是，
求
（1）a与b 的值．
（2）a+2b的平方根．
33．（1）已知直角三角形的三边长均为正整数，其中一直角边长为8，求这个直角三角形的另两边长；
（2）根据求解(1)的经验，尝试探索出更多的勾股数组.
34．若实数a，b 满足 求 a 的取值范围.
35．如图，点E，F在CD上，且.
（1）求证：Rt.
（2）连结AF，若，求AF的长度.
36．定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”．
（1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①；
②．
（2）已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值．
37．对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：．
（1）_______．
（2）求的平方根．
（3）我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算 是否也满足交换律？请说明理由．
38．如图，在△ABC中，∠ACB=90°．点D在△ABC外，连接AD，作DE⊥AB于点E，交BC于点F，AD=AB，AE=AC．
（1）求证：DE=BC；
（2）若BF=2，CF=1，求DF的长．
39．已知：如图，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12．求图形的面积．
40．如图1，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，其体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图1中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的边长及其面积；
（3）如图2，把正方形ABCD放到数轴上，使点A与﹣1重合，那么点B表示的数为a，请计算（a﹣1）（a+1）﹣|2﹣a|的值．
41．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB＝3，BC＝4，AC＝5，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，请你帮工人师傅计算出这块钢板的面积．
42．已知a、b、c在数轴上的位置如图．
（1）a+b 0，a-c 0，c-b 0（请用“＜”“＞”填空）．
（2）化简|a-c|-|a+b|+|c-b|．
43．一个三角形的三边长分别为 、 、 .
①求它的周长（要求结果化简）；
②请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值。
44．已知关于x 的一元二次方程
（1）若该方程有一个根是-2，求k的值；
（2）若该方程有两个实数根，求k 的取值范围；
（3）若该方程的两个实数根为. ，且满足 ，求k 的值.
45．如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形ABCD的长AD是个单位长度，长方形EFGH的长EH是个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E、D两点之间的距离为．
（1）点在数轴上表示的数是 ，点在数轴上表示的数是 ；
（2）若线段的中点为，线段上有一点N，，点M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点N以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，问当为多少时，原点恰为线段的三等分点？
（3）若线段的中点为，线段上有一点N，，长方形以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形保持不动，设运动时间为秒，是否存在一个的值，使以M、N、F三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出的值；不存在，请说明理由．
46．（1）已知关于的方程若方程有两个相等的实数根，求的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数，使方程的两个实数根的平方和等于若存在，求出满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
47．说明：从(A)，(B)两题中任选一题作答.
春节前夕，便民超市把一批进价为每件12元的商品，以每件定价20元销售，每天能售出240件.销售一段时间后发现：如果每件涨价1元，那么每天就少售出20件；如果每件降价1元，那么每天能多售出40件.
(A)在降价的情况下，要使该商品每天的销售盈利为1800元，每件应降价多少元？
(B)为了使该商品每天销售盈利为1980元，每件应定价为多少元？
我选择： ▲
48．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为： ①(其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积).而文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”： ②(其中
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S.
（2）你能否由公式①推导出公式② 请试试.
49．如图，，，，、交于点，连.
（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）求的度数.（用含的式子表示）
50．新情境·日常生活如图，在城市A 的正北方向 50km的B 处，有一无线电信号发射塔.已知该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100km，AC 是一条公路，从A 城发往C 城的班车的速度为60km/h.
（1）当班车从A 城出发开往C 城时，某人在班车上立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5h的时候接收信号最强.此时班车到发射塔的距离是多少千米(离发射塔越近，信号越强)
（2）班车从A 城到C 城共行驶了 2 h，请判断到 C 城后是否还能接收到信号，并说明理由.
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【精选热题·期末50道解答题专练】上海市数学八年级上册总复习
1．计算：--（精确到0.01）
【答案】解：﹣π﹣，
≈1.817﹣3.142﹣1.414
=1.817﹣4.556
=﹣2.739
≈﹣2.74．
【解析】【分析】利用计算器分别求出，，然后进行计算即可得解．
2．在数学课上，老师将一个长方形纸片的长增加 ，宽增加7 cm，就得到一个面积为 192 cm2 的正方形纸片，求原长方形纸片的面积.
【答案】解：∵面积为192 cm2的正方形纸片的边长为8 cm，
∴原长方形纸片的长为8-2=6(cm)，宽为8-7=(cm)，
∴原长方形纸片的面积为6×=18(cm2).
【解析】【分析】根据正方形面积得其边长，再根据题意确定长方形的长与宽，从而计算其面积.
3．根据扬州市某风景区的旅游信息， 公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社 元. 公司参加这次旅游的员工有多少人？
扬州市某风景区旅游信息表
旅游人数 收费标准
不超过 人 人均收费 元
超过 人 每增加 人，人均收费降低 元，但人均收费不低于 元
【答案】解：设参加这次旅游的员工有x人.
∵30×80=2400＜2800，∴x＞30.
根据题意得：x[80﹣（x﹣30）]=2800，解得：x1=40，x2=70.
当x=40时，80﹣（x﹣30）=70＞55，当x=70时，80﹣（x﹣30）=40＜55，舍去.
答：A公司参加这次旅游的员工有40人.
【解析】【分析】设参加这次旅游的员工有x人，由30×80=2400＜2800可得出x＞30，根据总价=单价×人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.
4．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”连接）．
【答案】解：∵，，
∴各实数在数轴上表示如下图所示：
∴它们的大小关系是：.
【解析】【分析】先将，进行化简，然后将各实数表示在数轴上，最后利用数轴比较各数的大小即可.
5．如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，∠B=70°，∠C=40°，求∠BAD和∠ADC的度数.
【答案】解：在△ABC中，因为∠B=70°，∠C=40°，
所以∠BAC=180°-70°-40°=70°.
因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD=∠CAD=∠BAC=×70°=35°.
因为∠DAC+∠C+∠ADC=180°，
所以∠ADC=180°-∠C-∠DAC=180°-40°-35°=105°.
【解析】【分析】根据已知条件结合三角形内角和逐一推导计算各个角度即可.
6．去年某地高新技术产品进出口总额为5287.8万美元，比上年增长30%，如果今年仍按此比例增长，那么今年该地高新技术产品进出口总额可达到多少万美元（结果精确到万位）？
【答案】解：5287.8×（1+30%）
=5287.8×1.3
≈1×104（万美元）．
答：今年该地高新技术产品进出口总额可达到1×104万美元．
【解析】【分析】今年该地高新技术产品进出口总额=去年某地高新技术产品进出口总额×（1+30%），再根据四舍五入法将结果精确到万位．
7．一根竹子高 丈，折断后竹子顶端落在离竹子低端 尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位， 丈 尺）．
【答案】解：设杆子折断处离地面 尺，则斜边长为 尺，∴∴ ．答：折断处离地面的高度为 尺
【解析】【分析】由题意可知，它是一个由折断处离地面的高度、折断后竹子顶端落在离竹子低端距离为直角边和折断部分竹子为斜边构成的直角三角形，若设杆子折断处离地面 x 尺，利用勾股定理可列出方程，便可求到折断处离地面的高度。
8．如图，某小区有一块草坪，已知 ，且 ，求这块草坪的面积．
【答案】解：连接AC，如图，
∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°．
∵AB=3米，BC=4米，∴AC=5米．
∵CD=12米，DA=13米，∴CD2+AC2=144+25=169=132=DA2，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD为直角三角形，
∴草坪的面积等于=S△ABC+S△ACD=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36（米2）．
【解析】【分析】连接AC，利用勾股定理，在Rt△ABC中，求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理，证明△ACD是直角三角形，然后根据草坪的面积等于△ABC的面积与△ACD的面积之和，即可求出结果。
9．已知实数a，b．c在数轴上的位置如图所示，
化简： +|a+c|- +|1-b|．
【答案】解：由图可知，a<0，a+c>0，a-b<0，1-b<0，
故原式=-a+a+c+a-6+b-1=c+a- 1
【解析】【分析】根据a，b．c在数轴上的位置得出a＜0＜1＜b＜c，从而得出a+c>0，a-b<0，1-b<0，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，然后合并同类项，即可得出答案.
10．如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少.
【答案】解：设矩形与墙平行的一边长为xm， 则另一边长为 m.
根据题意，得 . 整理，得 .
解方程，得 . 当 时， .
答：矩形的长为10m，宽为5m
【解析】【分析】由题意可知此题的等量关系为：矩形与墙平行的一边长+与墙垂直一边的长×2=20，矩形的长×宽=50，再设未知数列方程，解方程求出方程的解，就可得到矩形的长和宽。
11．计算： .
【答案】解：原式= .
【解析】【分析】按从左到右的顺序计算，每项都要先化成最简二次根式再合并.
12．已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，求 的值及方程的根．
【答案】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴该一元二次方程为 ，
∴ ，
解得 ： ．
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式列出方程求解出c的值，再求解一元二次方程即可。
13．已知2a-7和a+1是某个正数的两个不相等的平方根，b-7的立方根是-2.求：
（1）a，b的值；
（2）a-b的算术平方根.
【答案】（1）解：由题意，得2a-7+a+1=0，解得a=2.
∵b-7的立方根是-2，
∴b-7=(-2)3=-8，
解得b=-1.
因此，a=2，b=-1
（2）解：由(1)，得a=2，b=-1，
∴a-b=2-(-1)=3，
∴a-b的算术平方根是
【解析】【分析】⑴正数有两个平方根，且互为相反数；有一个立方根.负数没有平方根，有一个立方根.当题目中既出现平方根，又出现立方根时，一定要正确使用平方根、立方根的定义和性质，不要混淆.
⑵ 算术平方根具有双中非负性： 一个非负数只有一个算术平方根.
14．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格，求这批椽的数量有多少株？
【答案】解：设这批椽有x株，
依题意得
整理得，
解得，（不合题意，舍去）
答：这批椽的数量为46株
【解析】【分析】设这批椽有x株，根据“现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格”即可列出方程，进而即可求解。
15．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”可翻译为：有一根竹子高一丈，今在A处折断，竹梢落在地面的B处，B与竹根部C相距3尺，求折断点A与地面的高度AC．(注：1丈＝10尺)
【答案】解：设AC＝x，
∵AC+AB＝10，
∴AB＝10﹣x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝(10﹣x)2．
解得：x＝4.55，
即AC＝4.55．
【解析】【分析】设AC＝x，可知AB＝10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．
16．（1）画出“弦图”，并利用“弦图”证明勾股定理．
（2）如图，是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c．请利用这个图形验证勾股定理．
【答案】（1）解：如图所示：
∵△ABC、△BMD、△DHE、△AGE是全等的四个直角三角形，
∴AE=DE=BD=AB，∠EAG+∠BAC=∠EAG+∠AEG=180°﹣90°=90°，
∴四边形ABDE是正方形，
∵∠AGE=∠EHD=∠BMD=∠ACB=90°，
∴∠HGC=90°，
∵GH=HM=CM=CG=b﹣a，
∴四边形GHMC是正方形，
∴大正方形的面积是c×c=c2，
大正方形的面积也可以是：4× ab+（b﹣a）2=2ab+a2﹣2ab+b2=a2+b2，
∴a2+b2=c2，
即在直角三角形中，两直角边（a、b）的平方和等于斜边（c）的平方．
（2）证明：该图形的面积，有两种求法：
一种为正方形的面积+两个直角三角形的面积；
一种为两正方形的面积+两直角三角形的面积，
根据两种求法的面积相等可得：c2+2×ab=b2+2×ab+a2，
化简得，a2+b2=c2．
【解析】【分析】（1）先证出四边形ABDE和四边形GHMC是正方形，分别用两种方法求出大正方形的面积，即可得出答案．
（2）验证勾股定理，根据已知条件，可通过求该图形的面积列出等式，化简即可得到勾股定理的形式．
17．已知数轴上点A、B、C表示的数分别为a、b、c，其中 ，b是最大的负整数， c满足，
（1）求a、b、c的值；
（2）若将点C向左移动t个单位长度后与点A 的距离为2，求t的值．
【答案】（1）解：，，，
∴或，
∴或．
∴，，或1.
（2）解：∵点C向左移动t个单位长度后与点A的距离为2，
∴，
当时，，
∴或，
∴或；
当时，，
∴或，
∴或；
综上所述，t的值为8或12或14或18．
【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质和最大负整数直接求出a、b、c的值即可；
（2）先求出c的值，再利用数轴上两点之间的距离公式可得，再求解即可.
（1）解：，，，
∴或，
∴或．
∴，，或1；
（2）解：∵点C向左移动t个单位长度后与点A的距离为2，
∴，
当时，，
∴或，
∴或；
当时，，
∴或，
∴或；
综上所述，t的值为8或12或14或18．
18．一个正数x的两个不同的平方根分别是和．
（1）求a和x的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1）解：∵一个正数的平方根互为相反数，
∴，解得.
∴．
（2）解：将与的值代入，得.
∴．
故的算术平方根是6．
【解析】【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数的性质，可知题干中出现的两个平方根之和必然为0，然后建立方程求解出a，最后将a值代入3a-5（或7-a），并求平方即得到x；
（2）将（1）中求得的x、a代入x+28a，先求值，后求算术平方根.
19．计算：+（精确到0.0001）
【答案】解：+
≈37﹣0.7334
=36.2666．
【解析】【分析】首先根据数的开方的运算方法，分别求出、的值各是多少；然后根据四舍五入法，求出、的结果精确到0.0001是多少即可．
20．小明放风筝时不小心将风筝落在了4.8m高的墙头上，他请爸爸帮他取.爸爸搬来梯子，将梯子稳定摆放（梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ），此时梯子顶端正好达到墙头，爸爸问小明梯子的长度有没有5m？你能帮助小明一起算吗？
【答案】解：设梯子的长度为x（m），
根据题意得： + = ，解得：x= 或x=- （舍去），
∵ ＞5，
∴梯子的长度有5m.
【解析】【分析】设梯子的长度为x（m），根据勾股定理，列出关于x的方程，进而即可求解.
21．抖音直播带货已经成为一种热门的销售方式，某商场在抖音平台上直播销售某种商品，该商品每件进货价为40元，市场调研表明：当销售单价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件。
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元。
【答案】（1）24
（2）解：设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件
依题意，得：（80-x-40）（20+2x）＝1200
整理，得：x2﹣30x+200＝0
解得：x1＝10 x2＝20
当x＝20时，40﹣x＝20＜25
∴x＝20舍去．
∴定价＝80﹣10＝70（元）
答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元．
【解析】【解答】解：（1）若降价两元，则每天销售量为24件
故答案为：24
【分析】（1）根据降价每降低1元时，平均每天就能多售出2件即可求出答案.
（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
22．当m为何值时，关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣ =0有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？
【答案】解：由题意知，△=(-4)2 -4（m- ）=0， 即16-4m+2=0， 解得：m= . 当m= 时，方程化为：x 2 -4x+4=0， ∴（x-2）2 =0， ∴方程有两个相等的实数根x1 =x2 =2
【解析】【分析】先计算b2-4ac 的值，然后结合题意由一元二次方程的根的判别式△=0可得关于m的方程，解方程可求得m的值，再把m的值代入原方程可得关于x的方程，解方程即可求解.
23．用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为101cm2的矩形？请说明理由．
【答案】解：不能．理由如下：
设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，
当x（20﹣x）＝101时，
x2﹣20x+101＝0，
△＝b2﹣4ac＝202﹣4×101＝﹣4＜0，
所以此一元二次方程无实数根．
故用一条长40cm的绳子不能围成一个面积为101cm2的矩形．
【解析】【分析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，再利用当x（20﹣x）＝101时，得出△的符号，进而得出答案．
24．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元．如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
【答案】解：设第二个月的降价应是 元，根据题意，得：
80×200+（80-x）（200+10x）+40[800-200-（200+10x）] -50×800=9000，
整理，得x2-20x+100=0，
解得x1=x2=10，
当x=10时，80-x=70＞50，符合题意.
答：第二个月的单价应是70元
【解析】【分析】设第二个月降价 元，则由题意可得第二个月的销售单价为 元，销售量为 件，由此可得第二个月的销售额为 元，结合第一个月的销售额为 元和第三个月的销售额为 元及总的利润为9000元，即可列出方程，解方程即可求得第二个月的销售单价.
25．已知关于的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（2m﹣1）=36﹣8m+4=40﹣8m=0，
∴m=5，
∴关于x的一元二次方程是x2﹣6x+9=0，
∴（x﹣3）2=0，
解得x1=x2=3
【解析】【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．
26．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=41，BC=40，求AC．
【答案】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=41，BC=40，
∴AC= = =9
【解析】【分析】利用已知直接利用勾股定理求出AC的长．
27．化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了.问一个人每节课手把手教会了多少名同学
【答案】解：设一个人每节课手把手教会了名同学.
由题意，得，
解得x1=6，x2=-8(不合题意，舍去).
答：一个人每节课手把手教会了6名同学.
【解析】【分析】根据题意设一个人每节课手把手教会了x名同学 ，根据题意得等量关系：1+第1节课教会的学生数+第2节课教会的学生数=49，据此列方程并求解即可.注意第2节课开始有会做实验的学生数.
28． 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路﹖请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
【答案】（1）解：是，理由，
在中，，，
，
，
根据垂线段最短，则CH是从村庄C到河边的最近路
（2）解：设，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，，
解得：，
答：原来的路线AC的长为2.5千米．
【解析】【分析】（1）通过证明 CH2+BH2=BC2 ，可得 CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2） 设AC=x在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-1.8，CH=2.4， 由勾股定理得：AC2=AH2+CH2 可得方程即可求解，根据勾股定理解答即可.
29．（1）用“”“”或“”填空：
____________；
（1）由上可知：
① ，
② ，
③ ；
（2）计算：．
【答案】（1）；；
（2）解：
．
【解析】【解答】解：（1）∵1＜2＜3＜4，∴.
①
②
③
【分析】（1）根据算术平方根的被开发数越大，对应的算术平方根就大即可解答.根据绝对值的性质即可计算解答.
（2）先根据（1）中的结论先算绝对值，然后再进行计算即可解答.
30．综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板ABCD（规格：AB=40cm，BC=100cm），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒.小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，PQ和MN两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示.
（1）若收纳盒高是10cm，则该收纳盒底面的边EF= cm，EH= cm；
（2）如图3，若收纳盒的底面积是350cm2，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒 （不考虑倾斜放入且要盖上盖子）
【答案】（1）20；40
（2）解：设收纳盒高为xcm，
根据题意得，，
∴x1=15，x2=55（舍去）
∴收纳盒长、宽、高分别为35cm、10cm、15cm，
∵10cm<15cm，
∴玩具机械狗不能放入该收纳盒
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
EF=40-2×10=20(cm)
(cm)
故答案为：20；40
【分析】根据长方体展开图的特征计算即可求出答案.
（2）设收纳盒高为xcm，根据题意建立方程，解方程可得x值，再比较大小即可求出答案.
31．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
【答案】解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
设BD=x，则有CD=14﹣x，
由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，
∴152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，
解之得：x=9，
∴AD=12，
∴S△ABC= BC AD= ×14×12=84
【解析】【分析】设BD=x，由CD=BC﹣BD表示出CD，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理表示出AD2，列出关于x的方程，求出方程的解得到AD的长，即可求出三角形ABC面积．
32．已知 的平方根是，的立方根是，
求
（1）a与b 的值．
（2）a+2b的平方根．
【答案】（1）解：∵2a-1的平方根是±3，11a+b-1的立方根是4，
∴2a-1=9，11a+b-1=64，
∴a=5，b=10；
（2）解：由（1）得a+2b=25，
∴a+2b的平方根是±5．
【解析】【分析】（1）根据平方根和立方根的定义可得关于a、b的方程组，解方程组可求得a、b的值；
（2）把（1）中求得的a、b的值代入a+2b计算，然后根据平方根的意义可求解.
33．（1）已知直角三角形的三边长均为正整数，其中一直角边长为8，求这个直角三角形的另两边长；
（2）根据求解(1)的经验，尝试探索出更多的勾股数组.
【答案】（1）解：(1)设另一直角边长为a，斜边长为c(a、c为正整数).根据勾股定理可得，
移项可得：
因式分解得：(c+a)(c-a)=64，
∵c、a为正整数，且(c+a>c-a，64=64×1=32×2=16×4，
所以分情况讨论：
当时，解得不是正整数，舍去
当时，解得
当时，解得
∴这个直角三角形的另两边长为6、10或15、17
（2）解：例如，设一直角边为m，另一直角边为n，斜边为p(m、n和p均是正整数)，则即
我们可以取m=12，则=72×2=36×4=24×6=18×8
当时，解得不是正整数，舍去，
当时，解得得到勾股数组(12，35，37)，
当时，解得得到勾股数组(12，16，20)，
当时，解得得到勾股数组(9，12，15)，
当时，解得得到勾股数组(5，12，13)；
【解析】【分析】（1）通过设未知数，根据勾股定理列出方程，再利用平方差公式进行因式分解，结合正整数的性质来找出勾股数组；
（2）通过设未知数，根据勾股定理列出方程，再利用平方差公式进行因式分解，结合正整数的性质来找出勾股数组.
34．若实数a，b 满足 求 a 的取值范围.
【答案】解：将原方程看作关于b 的方程为
∴该方程一定有实数根.
当a=0时，b=0，等式成立.
当a≠0时， 解得
∴a的取值范围为
【解析】【分析】将原方程看作关于b的方程，再根据a是否为0来讨论。当a=0时，b=0，符合题意；当a≠0时，该方程为关于b的一元二次方程，利用根与判别式非负即可求出。
35．如图，点E，F在CD上，且.
（1）求证：Rt.
（2）连结AF，若，求AF的长度.
【答案】（1）证明：∵CF=DE，
∴CF+EF=DE+EF，即CE=DF，
在Rt△AEC与Rt△BFD中，
∵CE=DF，AC=BD，
∴Rt△AEC≌Rt△BFD（HL）
（2）解：如图，
∵在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AE=3，AC=5，
∴，
∵CF=1，
∴EF=CE-CF=4-1=3，
∴.
【解析】【分析】（1）根据等式的性质，由CF=DE推出CE=DF，从而用HL判断出Rt△AEC≌Rt△BFD；
（2）在Rt△ACE中，利用勾股定理算出CE的长，由线段的和差算出EF的长，最后在Rt△AEF中，由勾股定理算出AF的长.
36．定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”．
（1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①；
②．
（2）已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值．
【答案】（1）解：①，，，
，
不是“差1方程”，
②，，，
，
，
，
是“差1方程”
（2）解：，，，
方程（是常数）是“差1方程”，
或，
或
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解法以及“差1方程”的新定义问题．
（1）先解方程求出根，再根据“两根相差1”的定义判断是否符合要求；
（2）先解方程求出两个根，再根据“两根相差1”的定义列方程求参数.
（1）解：①，
，，
，
不是“差1方程”，
②，，，
，
，
，
是“差1方程”；
（2）解：，
，，
方程（是常数）是“差1方程”，
或，
或．
37．对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：．
（1）_______．
（2）求的平方根．
（3）我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算 是否也满足交换律？请说明理由．
【答案】（1）17
（2）解：
的平方根为.
（3）解：满足交换律，
∵，，
∴，
∴实数a，b的这种新运算满足交换律．
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）运用运算公式计算即可；
（2）先求得，再计算平方根，即可求解；
（3）利用公式分别计算和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等．
（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：
的平方根为
（3）解：满足交换律
∵，
，
∴，
∴实数a，b的这种新运算满足交换律．
38．如图，在△ABC中，∠ACB=90°．点D在△ABC外，连接AD，作DE⊥AB于点E，交BC于点F，AD=AB，AE=AC．
（1）求证：DE=BC；
（2）若BF=2，CF=1，求DF的长．
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°．DE⊥AB于点E
∴在Rt△ADE和Rt△ABC中
∴Rt△ADE≌Rt△ABC(HL)．
∴DE=BC．
（2）连接AF．
∵Rt△ADE≌Rt△ABC，
∴DE= BC．
∵BF=2，CF= 1
∴BC=3
在Rt△AEF和Rt△ACF中
∴Rt△AEF≌Rt△ACF(HL)．
∴EF=CF=1．
∴DF=DE+EF= BC+CF=3+1=4．
【解析】【分析】(1)根据HL判定Rt△ADE≌Rt△ABC，全等三角形的对应边相等DE=BC；
(2)根据Rt△ADE≌Rt△ABC，可得DE=BC= BF+CF=3，再根据HL判定Rt△AEF≌Rt△ACF得EF=CF=1，所以DF=DE+EF=3+1=4.
39．已知：如图，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12．求图形的面积．
【答案】解：连接AC，在Rt△ACD中，AD=4，CD=3，∴AC==5，在△ABC中，∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，∴△ABC为直角三角形；∴图形面积为：S△ABC﹣S△ACD=×5×12﹣×3×4=24．
【解析】【分析】连接AC，在Rt△ACD中，AD=4，CD=3，可求AC；在△ABC中，由勾股定理的逆定理可证△ABC为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积．
40．如图1，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，其体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图1中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的边长及其面积；
（3）如图2，把正方形ABCD放到数轴上，使点A与﹣1重合，那么点B表示的数为a，请计算（a﹣1）（a+1）﹣|2﹣a|的值．
【答案】（1）解：这个魔方的棱长为：＝4
（2）解：每个小正方体的棱长为：4÷2＝2；
阴影部分的边长为：CD＝＝2，
阴影部分的面积为：CD2＝（2）2＝8
（3）解：根据图可知a＝2﹣1，
（a﹣1）（a+1）﹣|2﹣a|
＝（2﹣1﹣1）×（2﹣1+1）﹣|2﹣（2﹣1）|
＝（2﹣2）×2﹣|3﹣2|
＝8﹣4﹣3+2
＝5﹣2．
【解析】【分析】（1）正方体体积已知，正方体体积公式为V正方体=棱长3，所以棱长为4；
（2）第一问已知大正方体边长，继而可求小正方体边长，则阴影部分正方形的边长和面积也能求出来。
（3）根据第二问AB边长，可得B的值，然后带入原式进行化简即可。
41．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB＝3，BC＝4，AC＝5，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，请你帮工人师傅计算出这块钢板的面积．
【答案】解：∵AB＝3，BC＝4，AC＝5，
∵42+32=52，
∴AB2+BC2=AC2，∴∠B=90°，
∵AC＝5，CD＝12，AD＝13，
∴52+122=132，∴AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=90°
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=6+30=36．
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理可得∠ACD=90° ，根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD进行计算即可.
42．已知a、b、c在数轴上的位置如图．
（1）a+b 0，a-c 0，c-b 0（请用“＜”“＞”填空）．
（2）化简|a-c|-|a+b|+|c-b|．
【答案】（1）＞；＞；＜
（2）解：∵a-c＞0，a+b＞0，c-b＜0，
∴|a-c|-|a+b|+|c-b|
＝（a-c）-（a+b）+（b-c）
＝a-c-a-b+b-c
＝-2c．
【解析】【解答】解：（1）根据数轴可得：c
∴a+b>0，a-c>0，c-b<0，
故答案为：>；>；<；
【分析】（1）结合数轴，再利用有理数比较大小的方法求解即可；
（2）根据（1）的结论去掉绝对值，再合并同类项即可.
43．一个三角形的三边长分别为 、 、 .
①求它的周长（要求结果化简）；
②请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值。
【答案】【解答】① + + = + + × = + + = ．②根式内取偶数的完全平方数，如3x=36时，x=12，此时三角形的周长C=15.
【解析】【分析】会计算根式的加法，并能够根据题意求出适当的x值满足题目要求，x值不唯一．
44．已知关于x 的一元二次方程
（1）若该方程有一个根是-2，求k的值；
（2）若该方程有两个实数根，求k 的取值范围；
（3）若该方程的两个实数根为. ，且满足 ，求k 的值.
【答案】（1）解：把x=-2代入原方程，得4-2(k-1)×(-2)+k2+3=0，
整理，得k2+4k+3=0，
解得k1=-1，k2=-3，
即k的值为-1或-3
（2）解：根据题意，得b2-4ac=[-2(k-1)]2-4(k2+3)≥0，
解得k≤-1
（3）解：根据题意，得x1+x2=2(k-1)，x1x2=k2+3，
∵(x1-1)(x2-1)=14，
∴x1x2-(x1+x2)+1=14，
即k2+3-2(k-1)+1=14，
整理，得k2-2k-8=0，解得k1=-2，k2=4.
又∵k≤-1，∴k=-2
【解析】【分析】（1）将x=-2代入原方程，即可得出答案；
（2）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，进而得出答案；
（3）根据根与系数的关系可得x1+x2=2(k-1)，x1x2=k2+3，再对(x1-1)(x2-1)=14进行变形得k2+3-2(k-1)+1=14，进而得出答案.
45．如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形ABCD的长AD是个单位长度，长方形EFGH的长EH是个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E、D两点之间的距离为．
（1）点在数轴上表示的数是 ，点在数轴上表示的数是 ；
（2）若线段的中点为，线段上有一点N，，点M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点N以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，问当为多少时，原点恰为线段的三等分点？
（3）若线段的中点为，线段上有一点N，，长方形以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形保持不动，设运动时间为秒，是否存在一个的值，使以M、N、F三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出的值；不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：由题意知，线段的中点为，则表示的数为，
线段上有一点，且，则表示的数为．
M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，
即：，，
∵原点恰为线段的三等分点，
∴OM=2ON或且点在线段上，即、表示的数异号，
①当时，则有，
解得或，
经检验，不符合题意，舍去，符合题意．
②当时，则有，
解得，
经检验，不符合题意，舍去，符合题意；
综上所述，当或时，原点恰为线段的三等分点．
（3）解：或
【解析】【解答】解：（1）∵长方形EFGH的长GH是个单位长度，且点E在数轴上表示的数是
∴点H在数轴上表示的数为：
∵E，D两点之间的距离为，长方形ABCD的长A是个单位长度
∴点A在数轴上表示的数为：
故答案为：，
（3）根据题意，因为、、三点中点的位置不确定，所以应分类讨论，有以下三种情况：
①当时，点与点重合，此时，
解得：；
②当时，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
③如图，连接，
∵EFGH是长方形，
∴，
∵，
∴或，
∴．
综上所述，存在这样的，的值为或．
【分析】（1）根据数轴上点的平移规律“左加右减”即可求出答案.
（2）先根据题意求出点M，N在数轴上对应的数，根据恰为线段的三等分点可得OM=2ON或ON=2OM，列出方程，解方程即可求出答案.
（3）分当时，点与点重合， ，三种情况，列出等式即可求出答案.
46．（1）已知关于的方程若方程有两个相等的实数根，求的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数，使方程的两个实数根的平方和等于若存在，求出满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，，方程有两个相等的实数根，
，即，
．
原方程化为：，，
．
（2）解：不存在正数使方程的两个实数根的平方和等于．
，
，
即：，
解得：，不合题意，舍去，
又时，，此时方程无实数根，
不存在正数使方程的两个实数根的平方和等于．
【解析】【分析】(1)对照一元二次方程一般式，分别写出a，b，c，根据“方程有两个相等的实数根”，列出关于待求字母的方程求得待定字母，代回后得到方程，解这个方程即可；
（2）利用根与系数的关系，分别计算两根之和、积，再求两根的平方和，依次“ 方程的两个实数根的平方和等于”求解，说明其不可能即可.
47．说明：从(A)，(B)两题中任选一题作答.
春节前夕，便民超市把一批进价为每件12元的商品，以每件定价20元销售，每天能售出240件.销售一段时间后发现：如果每件涨价1元，那么每天就少售出20件；如果每件降价1元，那么每天能多售出40件.
(A)在降价的情况下，要使该商品每天的销售盈利为1800元，每件应降价多少元？
(B)为了使该商品每天销售盈利为1980元，每件应定价为多少元？
我选择： ▲
【答案】解：若选（A）设每件商品应降价x元，根据题意得（20-x-12）(240+40x)=1800，解得 ， （不符合题意，舍去），答：每件商品应降价3元；若选（B）①设每件商品应降价x元，根据题意得（20-x-12）(240+40x)=1980，∵△＜0，∴原方程无实数根；②设每件应涨价y元，根据题意得（20+y-12）(240-20y)=1980，解得 ， ，∴20+3=23(元)，20+1=21（元），答：为了使该商品每天销售盈利为1980元，每件定价21元或23元.
【解析】【分析】（A）设应降价x元，根据题意列出方程，有符合题意的解；（B）只规定销售盈利为1980元，没有指明是降价还是涨价，则分2种情况讨论，分别设降价和涨价为x元和y元，根据列出方程，解出符合题意的解即可。
48．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为： ①(其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积).而文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”： ②(其中
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S.
（2）你能否由公式①推导出公式② 请试试.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴由公式①得，
由公式②得
（2）解：
，
∴
【解析】【分析】（1）先求出的值，然后将的值代入公式①和②进行计算即可；
（2）先将公式①括号里的算式进行通分，然后结合完全平方公式以及平方差公式将算式进行展开和化简，由可推导出公式②.
49．如图，，，，、交于点，连.
（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）求的度数.（用含的式子表示）
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）由∠ACB=∠DCE=α，可推出∠ACD=∠BCE，由两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等判定△ACD≌△BCE；
（2）首先作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，根据全等三角形的对应角相等可得∠CAM=∠CBN，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等可证△ACM≌△BCN，根据全等三角形的对应边相等可得CM=CN，进而根据角平分线的判定定理即可证得HC平分∠AHE；
（3）根据全等三角形的对应角相等可得∠CAD=∠CBE，继而根据八字型图求得∠AHB=∠ACB=α，则可求得∠CHE的度数．
50．新情境·日常生活如图，在城市A 的正北方向 50km的B 处，有一无线电信号发射塔.已知该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100km，AC 是一条公路，从A 城发往C 城的班车的速度为60km/h.
（1）当班车从A 城出发开往C 城时，某人在班车上立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5h的时候接收信号最强.此时班车到发射塔的距离是多少千米(离发射塔越近，信号越强)
（2）班车从A 城到C 城共行驶了 2 h，请判断到 C 城后是否还能接收到信号，并说明理由.
【答案】（1）解：如图，过点 B 作BM⊥AC于点M.
∵班车行驶了0.5h的时候接收信号最强，即到达点 M 处，
∴AM=60×0.5=30(km).
又∵AB=50km，
∴ 由 勾 股 定 理，得 BM =
∴ 此时班车到发射塔的距离是40km
（2）解：能.
理由：如图，连结BC.
∵AC=60×2=120(km)，AM=30km，
∴ CM = AC-AM = 120-30 =90(km).
∴ 由 勾 股 定 理，得 BC =
∴ 到C 城后还能接收到信号
【解析】【分析】(1)根据路程=速度×时间，求得班车行驶了0.5h的路程，再根据勾股定理就可得到班车到发射塔的距离；
(2)根据勾股定理求得BC的长，再根据有效半径进行分析.
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