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【精选热题·期末50道解答题专练】上海市数学九年级上册总复习
1．如图，一条河的两岸l1，l2互相平行，在一次综合实践活动中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸l1上选取一个点A，然后在河岸l2时选择点B，使得AB与河岸垂直，接着沿河岸l2走到点C处，测得BC=60米，∠BCA=62°，请你帮小颖算出河宽AB（结果精确到1米）．（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）
2．如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+1）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）
3．如图，点E是 ABCD的边AB延长线上的一点，DE交BC于点F， ＝ ，EF＝2，BF＝1.5.求DF，BC的长．
4．如图，某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示．AE为台面，AC垂直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角∠ABC为45°，坡长AB为2m．为保障安全，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD 是改造后的斜坡（点D在直线BC上），坡角∠ADC为31°．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果精确到0.01m）[参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601， ≈1.414]．
5．某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°至24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度得桌面．新桌面的设计图如图1，可绕点旋转，在点处安装一根长度一定且处固定，可旋转的支撑臂，．
（1）如图2，当时，，求支撑臂的长；
（2）如图3，当时，求的长．（结果保留根号）
（参考数据：，，，）
6．如图，小明在大楼45米高（即PH=45米）的窗户P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处得俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1： ．点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上且PH⊥HC，求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.732．
7．先化简，再求值：，其中．
8．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，AF平分∠BAC，交DE于点G．若AE=3，EC=1，AD=2，BD=4，求AF：AG的值．
9．2020年6月23日，我国第55颗北斗卫星，即北斗全球卫星导航系统最后一颗组网卫星发射成功北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行，某中学从A地出发．组织学生利用导航到C地区进行研学活动，出发时发现C地恰好在A地正北方向，且距离A地24千米，由于A、C两地间是一块湿地．所以导航显示的路线是沿北偏东60°方向走到B地，再沿北编西37°方向走一段距离才能到达C地，求A、B两地的距离(精确到1千米)．(参考数据sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.7， ≈1.4， ≈1.7)
10．滨河小区为缓解我县“停车难”问题，拟建造地下停车库，下图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中， AB⊥BD，∠BAD＝18o，AB=10m，C在BD上，BC＝0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．为标明限高，请你根据该图计算CE的高度．（结果精确到0.1m）
11．学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：
（1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°；
（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一直线上，且C、D之间的距离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°；
（3）测得测倾器的高度CF=DG=1.5米，并测得CD之间的距离为288米；
已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB．（取1.732，结果保留整数）
12．如图，小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求楼EF的高度．（结果保留根号）
13．已知y=（m+1）是二次函数，求m的值．
14．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，
（1）求电杆上CD部分的长；
（2）求拉线CE的长（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）．
15．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，则乙船的航行方向为南偏东多少度？
16．知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离.（参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ )
17．自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为，已知甲、乙两市民的距离米，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上，结果保留根号）．
（1）求斜坡的坡比；
（2）求飞机此时距离地面的高度．
18．学习了投影和相似的知识后，王志和他的朋友们来到操场，想测量操场边路灯的高度，如图，操场边的路灯照在水平放置的单杠AB上，在地面上留下影子CD，经测量得知AB=1.8米，CD=3.24米，单杠高米(即AE=BF=1.6米).已知，点C、D、E、F、G在同一水平直线上.请你求出路灯的高度PG.
19．如图，小岛A在港口B的北偏东50°方向，小岛C在港口B的北偏西25°方向，一艘轮船以每小时20海里的速度从港口B出发向小岛A航行，经过5小时到达小岛A，这时测得小岛C在小岛A的北偏西70°方向，求小岛A距离小岛C有多少海里？（最后结果精确到1海里，参考数据：≈1.1414，≈1.732）
20．当m为何值时，函数 是二次函数．
21．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732）
22．如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：）
23．如图，在一个平台远处有一座古塔，小明在平台底部的点C处测得古塔顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得古塔顶部的仰角为30°．已知平台的纵截面为矩形DCFE，DE=2米，DC=20米，求古塔AB的高（结果保留根号）
24．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．
（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）
25．如图，为了测量甲楼的高度，由于甲楼的底部D不能直接到达，于是，测量人员在乙楼的顶部A测得甲楼的顶C的仰角是，底部D的俯角是，已知乙楼的高度是12米，求甲楼的高度．（参考数据：，结果精确到0.1米）
26．如图，某数学活动小组要测量楼AB的高度，楼AB在太阳光的照射下在水平面的影长BC为6米，在斜坡CE的影长CD为13米，身高1.5米的小红在水平面上的影长为1.35米，斜坡CE的坡度为1：2.4，求楼AB的高度．（坡度为铅直高度与水平宽度的比）
27．先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中x=4﹣tan45°．
28．如图，∠AED
=∠C，DE
= 4，BC = 12，CD
= 15，AD = 3，求AE、BE的长.
29．清明节假期，小红和小阳随爸妈去旅游，他们在景点看到一棵古松树，小红惊讶的说：“呀！这棵树真高！有60多米．”小阳却不以为然：“60多米？我看没有．”两个人争论不休，爸爸笑着说：“别争了，正好我带了一副三角板，用你们学过的知识量一量、算一算，看谁说的对吧！”
小红和小阳进行了以下测量：如图所示，小红和小阳分别在树的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜边正好经过树的最高点，这时，测得小红和小阳之间的距离为135米，他们的眼睛到地面的距离都是1.6米．通过计算说明小红和小阳谁的说法正确（计算结果精确到0.1）（参考数据 ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）
30．如图所示，小华站在距离路灯的灯杆（AB）5m的C点处，测得她在路灯灯光下的影长（CD）为2.5m，已知小华的身高（EC）是1.6m，求路灯的灯杆AB的高度．
31．如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得 ，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得 ．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线， ， ， ， ．结果精确到0.1m）（参考数据： ， ， ， ， ， ）
32．如图，小明利用无人机测大楼的高度．在空中点测得：到地面上一点处的俯角，距离米，到楼顶点处的俯角．已知点与大楼的距离为70米．（点共线且图中所有的点都在同一平面内）
（1）求点到地面的距离；
（2）求大楼的高度．（结果保留根号）
33．如图，某高速公路设计中需要测量某条江的宽度 ，测量人员使用无人机测量，在 处测得 两点的俯角分别为 和 ，若无人机离地面的高度 为 米，且点 在同一条水平直线上，求这条江的宽度 长（结果保留根号）.
34．图①为平地上一幢建筑物与铁塔图，图②为其示意图．建筑物AB与铁塔CD都垂直于地面，BD=20m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为58°．求铁塔CD的高度．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
35．如图，正△ABC中，∠ADE=60°.
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=2，CD=4，求AE的长．
36．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732）
37．如图，直立在点 处的标杆 长 ，站立在点 处的观察者从点 处看到标杆顶 、旗杆顶 在一条直线上．已知 ， ， ，求旗杆高 ．
38．如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，沿AE将△ADE对折，点D的对称点F刚好落在BC边上．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝8cm，tan∠DAE＝，求AD的长．
39．如图，小山上有一座120m高的电视发射塔AB，为了测量小山的高度BC，在山脚某处D测得山顶的仰角为22°，测得塔项的仰角为45°．求小山的高．（已知：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（结果精确到0.1m）
40．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点N，M为BD的中点.连结CM，AM，.
（1）求证：四边形ADCM是平行四边形.
（2）求的值.
41．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
（1）黄金矩形的长 ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连接，求点到线段的距离．
42．在平面直角坐标系中，是原点，矩形的顶点、分别在轴、轴上，已知点坐标为，目满足
（1）直接写出B点坐标。
（2）如图1，若点沿线段从向以每秒1个单位的速度运动至，同时动点沿线段AO从A向0以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为t秒连接OM、BN、CN、AM。①求证：四边形MENF是平行四边形。
②当 ▲ 时，四边形MENF是矩形？
（3）如图2将矩形OABC沿着AP折叠，O对应点恰好落在BC边上，求OP长；
（4）如图3，N为OC边的中点，Q是任意的一点。当，连接，请直接写出QN的取值范围
43．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（Ⅱ）若AP= ，求CF的长．
44．如图，在边长为6的正方形中，点是线段上一点，过点作交的延长线于点，连接交于点，过点作于点，交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当点是线段的三等分点时，请直接写出的长．
45．为了测得图甲和图乙中旗杆的高度，小明和小红在查阅资料后，得到一种测量旗杆高度的方法：找到旗杆的影子并找出其顶部，并在影子中间某处放置一竹竿，使得竹竿顶部的影子和旗杆顶部的影子重合，此时竹竿长度和竹竿影长之比即旗杆长度和旗杆影长之比.在太阳光下同一时刻小明和小红分别做了以上操作，测得竹竿CD长0.9m，其影长CE为1m.
（1）如图甲所示，若小明测得旗杆影长AE为3m，求图甲中旗杆高AB为多少米.(CD⊥AE，AB⊥AE，点B，D，E在一条直线上)
（2）如图乙所示，若小红测得旗杆落在地面上的影长FG为3m，落在墙上的影子GH的高为1.1m，则直接写出图乙中旗杆高FP为 m.()
46．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，平分．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
47．如图，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连接，当点与点重合时，点停止运动设点的运动时间为秒
（1）当点和点重合时，线段的长为 ；
（2）当点和点重合时，求的比值是多少？
（3）当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形，如图，请说明理由；
（4）作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，请直接写出的取值范围．
48．随着科学技术不断的发展，自动机器人用于生产、生活的技术已日益成熟.如图1，是一款自动焊接机器人，主要从事焊接，切割或热喷涂等工作.如图2，是该自动焊接机器人某次工作状态下的示意图，底座OA与地面垂直且可根据需要进行移动，AB，BC为机械臂， BC=3m， ∠OAB=150°， ∠ABC=95°. 求机械臂端点C到地面OM的距离. (结果精确到0.1m， 参考数据：
49．如图，已知在中，点D是边上一点，且，点E是边上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的值．
50．如图1，矩形ABCD中，AB=a，BC=6，点E，F分别为AD，AB边上任意一点，现将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点P．
（1）若点B与点F重合
①如图2，若a=5，当点P落在BC中垂线上时，求AE的长；
②当点P可以两次落在在BC中垂线上时，求a取值范围；
（2）如图3，连接BD，若a=4，AE=2AF，直线FP交△BCD的边于点G，是否存在点G，使得以E，G，P为顶点的三角形与△AEF相似．若存在，请求出AE的长；若不存在，请说明理由．
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【精选热题·期末50道解答题专练】上海市数学九年级上册总复习
1．如图，一条河的两岸l1，l2互相平行，在一次综合实践活动中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸l1上选取一个点A，然后在河岸l2时选择点B，使得AB与河岸垂直，接着沿河岸l2走到点C处，测得BC=60米，∠BCA=62°，请你帮小颖算出河宽AB（结果精确到1米）．（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）
【答案】解：在Rt△ABC中，BC=60米，∠BCA=62°，
可得tan∠BCA=，即AB=BC tan∠BCA=60×1.88≈113（米），
则河宽AB为113米．
【解析】【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出AB的长即可．
2．如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+1）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）
【答案】解：过点M作MN⊥AB于N，
设MN=x米．
在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，
∴MA=2MN=2x，AN=MN=x．
在Rt△BMN中，∵∠BNM=90°，∠MBN=45°，
∴BN=MN=x，MB=MN=x．
∵AN+BN=AB，
∴x+x=300（+l），
∴x=300，
∴MA=2x=600，MB=x=300．
故供水站M到小区A的距离是600米，到小区B的距离是300米．
【解析】【分析】根据题意，在△ABM中，∠BAM=30°，∠ABM=45°，AB=300（+l）米．过点M作MN⊥AB于N，设MN=x米，用含x的代数式分别表示AN，BN，根据AN+BN=AB建立方程，解方程求出x的值，进而求出MA与MB的长．
3．如图，点E是 ABCD的边AB延长线上的一点，DE交BC于点F， ＝ ，EF＝2，BF＝1.5.求DF，BC的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DF＝6，
又∵CD∥BE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CF＝4.5，
∴BC＝FC＋BF＝6
【解析】【分析】根据四边形ABCD是平行四边形可得AD∥BC，从而 ＝ ，代入即可求出DF的值，再根据CD∥BE可得 ＝ ，代入相应数值可得CF的值，即可求出BC的值.
4．如图，某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示．AE为台面，AC垂直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角∠ABC为45°，坡长AB为2m．为保障安全，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD 是改造后的斜坡（点D在直线BC上），坡角∠ADC为31°．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果精确到0.01m）[参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601， ≈1.414]．
【答案】解：在Rt△ABC中，
∵∠ABC=53°，AB=2m，
∴AC=AB sin45°=2 （m）
∴ ，
在Rt△ADC中，∵∠ADC=31°，
∴ ，
∴ ．
答：斜坡AD底端D与平台AC的距离CD约为2.36m
【解析】【分析】首先根据∠ABC=45°，AB=2m，在Rt△ABC中，求出AC的长度，然后根据∠ADC=31°，利用三角函数的知识在Rt△ACD中求出CD的长度．
5．某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°至24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度得桌面．新桌面的设计图如图1，可绕点旋转，在点处安装一根长度一定且处固定，可旋转的支撑臂，．
（1）如图2，当时，，求支撑臂的长；
（2）如图3，当时，求的长．（结果保留根号）
（参考数据：，，，）
【答案】解：（1）∵∠BAC=24°，，
∴
∴，
∴支撑臂的长为12cm
（2）如图，过点C作CE⊥AB，于点E，
当∠BAC=12°时，
∴
∴
∵CD=12，
∴由勾股定理得： ，
∴AD的长为(12+6)cm或(12 6)cm
【解析】【分析】（1）利用解直角三角形得到，即可解题；
（2）根据解直角三角形得到，然后根据勾股定理得到DE、AE的值解题即可．
6．如图，小明在大楼45米高（即PH=45米）的窗户P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处得俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1： ．点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上且PH⊥HC，求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.732．
【答案】解：∵在点P处测得B处的俯角为60°，测得A处的俯角为15°，
∴∠PBH=60°，∠APB=45°．
在Rt△PBH中，
∵PH=45米，
∴PB=PH÷sin60°=30 ．
∵山坡的坡度为1： ，即tan∠ABC= = ，
∴∠ABC=30°，
∴∠PBA=90°，
∴△PAB是等腰直角三角形，
∴AB=PB=30 ≈52米．
答：A、B两点间的距离为52米
【解析】【分析】先根据题意得出PB的长，再由山坡的坡度为1： 可得出∠ABC的度数，进而可得出∴△PAB是等腰直角三角形，据此可得出结论．
7．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
；
∵，
∴原式．
【解析】【分析】先根据分式的混合计算法则化简，再根据特殊角三角函数值的混合计算法则求出x的值，最后代值计算即可．
8．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，AF平分∠BAC，交DE于点G．若AE=3，EC=1，AD=2，BD=4，求AF：AG的值．
【答案】解：∵AE=3，EC=1，AD=2，BD=4，
∴AC=AE+EC=3+1=4，AB=AD+BD=2+4=6，
∴ AE：AB=3：6=1：2，AD：AC=2：4=1：2，
∴ AE：AB=AD：AC，
而∠BAC=∠EAD，
∴△ABC∽△AED，
∴AF：AG=AC：AD=4：2=2.
【解析】【分析】由线段的构成可得AE：AB=AD：AC，结合已知根据两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△AED，根据相似三角形的性质可得比例式求解.
9．2020年6月23日，我国第55颗北斗卫星，即北斗全球卫星导航系统最后一颗组网卫星发射成功北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行，某中学从A地出发．组织学生利用导航到C地区进行研学活动，出发时发现C地恰好在A地正北方向，且距离A地24千米，由于A、C两地间是一块湿地．所以导航显示的路线是沿北偏东60°方向走到B地，再沿北编西37°方向走一段距离才能到达C地，求A、B两地的距离(精确到1千米)．(参考数据sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.7， ≈1.4， ≈1.7)
【答案】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，设AD=x，
∵∠A=60°，
∴BD= x，CD=24-x，AB=2x；
∵∠BCD=37°，
∴tan∠BCD= ，
即tan37°= ，
解得x=7，
即AB=2x=14（千米）
【解析】【分析】如图，过点B作BD⊥AC于点D，设AD=x，解直角三角形即可得出结论。
10．滨河小区为缓解我县“停车难”问题，拟建造地下停车库，下图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中， AB⊥BD，∠BAD＝18o，AB=10m，C在BD上，BC＝0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．为标明限高，请你根据该图计算CE的高度．（结果精确到0.1m）
【答案】解：在△ABD中， ∵tan∠BAD= ∴∴ (m).在△ABD中， ∵CE⊥ED，∴∴ (m)，答：CE为2.6m.
【解析】【分析】在△ABD中根据正切函数的定义由tan∠BAD=，即可得出BD的长，根据线段的和差即可得出CD的长，在△CDE中，根据正弦函数的定义，由 sin∠CDE=，得出CE的长，从而得出答案。
11．学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：
（1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°；
（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一直线上，且C、D之间的距离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°；
（3）测得测倾器的高度CF=DG=1.5米，并测得CD之间的距离为288米；
已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB．（取1.732，结果保留整数）
【答案】解：设AH=x米，
在Rt△EHG中，∵∠EGH=45°，
∴GH=EH=AE+AH=x+12，
∵GF=CD=288米，
∴HF=GH+GF=x+12+288=x+300，
在Rt△AHF中，∵∠AFH=30°，
∴AH=HF tan∠AFH，即x=（x+300） ，
解得x=150（+1）．
∴AB=AH+BH≈409.8+1.5≈411（米）
答：凤凰山与中心广场的相对高度AB大约是411米．
【解析】【解答】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造边角关系，进而可求出答案．
【分析】此题考查了解直角三角形中的俯角与仰角的问题，通过构造直角三角形，利用三角函数求出线段的长度即为此题答案.
12．如图，小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求楼EF的高度．（结果保留根号）
【答案】解：设楼EF的高为x米，可得EG=EF﹣GF=（x﹣1.5）米，依题意得：EF⊥AF，DC⊥AF，BA⊥AF，BD⊥EF（设垂足为G），在Rt△EGD中，DG= = （x﹣1.5）米，在Rt△EGB中，BG= （x﹣1.5）米，∴CA=DB=BG﹣DG= （x﹣1.5）米，∵CA=12米，∴ （x﹣1.5）=12，解得：x=6 +1.5则楼EF的高度为6 +1.5米．
【解析】【分析】求EF，而EF=EG+GF，GF=AB=1.5米，则EG=EF-1.5，在Rt△EGD中，根据60度，可知EG和GD的数量关系，则可用EF来表示DG；在Rt△BEG中，由30度角，可以用EF表示出BG，从而根据BG-GD=12米，构造方程，解出EF.
13．已知y=（m+1）是二次函数，求m的值．
【答案】解：由y=（m+1）是二次函数，解得m=2．
【解析】【分析】根据二次函数的定义列出关于m的方程组，求出m的值即可．
14．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，
（1）求电杆上CD部分的长；
（2）求拉线CE的长（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）．
【答案】（1）解：过点A作AH⊥CD， 垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形， ∠CAH = 30°
∴AB=DH =1.5， BD=AH =6，在Rt△ACH中，
∴CH=AH·tan∠CAH，
∴CH= AH·tan∠CAH =6tan30°=6× (米) ，
∵DH=1.5，
；
（2）解：在Rt△CDE中，
米，
答：拉线CE的长为5.7米.
【解析】【分析】（1）由题意可先过点A作AH⊥CD于H.在Rt△ACH中， 可求出CH， 进而根据CD=CH+HD=CH+AB解答即可；
（2）再在Rt△CED中， 利用正弦的定义求出CE的长解答即可.
15．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，则乙船的航行方向为南偏东多少度？
【答案】解：由题意得：甲1小时的路程：AC=30×1=30海里，
乙1小时的路程：AC=40×1=40海里，
∵302+402=502，
即 = +
∴∠BAC=90°，
∵C岛在A北偏东35°方向，
∴B岛在A南偏东55°方向．
∴乙船航行的角度是南偏东55°方向。
【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形， ∠BAC=90°，由C岛在A北偏东35°方向即可求出乙船的航行方向为南偏东55度方向.
16．知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离.（参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ )
【答案】解：过点B作BD⊥ AC，
依题可得：∠BAD=60°，∠CBE=37°，AC=13（千米），
∵BD⊥AC，
∴∠ABD=30°，∠CBD=53°，
在Rt△ABD中，设AD=x，
∴tan∠ABD=
即tan30°= ，
∴BD= x，
在Rt△DCB中，
∴tan∠CBD=
即tan53°= ，
∴CD=
∵CD+AD=AC，
∴x+ =13，解得，x=
∴BD=12- ，
在Rt△BDC中，
∴cos∠CBD=tan60°= ，
即：BC= (千米)，
故B、C两地的距离为（20-5 ）千米.
【解析】【分析】过点B作BD⊥AC，设AD=x，在直角三角形ABD中，由tan∠ABD=可将BD用含x的代数式表示；在直角三角形BCD中，同理可将CD用含x的代数式表示；再根据AC=AD+CD可得关于x的方程，解方程即可求x的值；然后根据cos∠DBC=可求解。
17．自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为，已知甲、乙两市民的距离米，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上，结果保留根号）．
（1）求斜坡的坡比；
（2）求飞机此时距离地面的高度．
【答案】（1）解：在中，米，米由勾股定理得：（米），
∴斜坡的坡比．
（2）解：过点作于点，如图，
，，，
∴，
四边形是矩形，
米，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，
米，
，
，
解得，
米，
答：飞机距离地面的高度为米．
【解析】【分析】
（1）先利用勾股定理求出米，则斜坡的坡比；
（2）过点作于点可构造和矩形DGBH，则米，，再由等腰三角形的性质可得，为便于计算可设米，再解即可．
（1）解：在中，米，米
由勾股定理得：（米），
∴斜坡的坡比．
（2）解：过点作于点，如图，
，，，
∴，
四边形是矩形，
米，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，
米，
，
，
解得，
米，
答：飞机距离地面的高度为米．
18．学习了投影和相似的知识后，王志和他的朋友们来到操场，想测量操场边路灯的高度，如图，操场边的路灯照在水平放置的单杠AB上，在地面上留下影子CD，经测量得知AB=1.8米，CD=3.24米，单杠高米(即AE=BF=1.6米).已知，点C、D、E、F、G在同一水平直线上.请你求出路灯的高度PG.
【答案】解： ，
即
即路灯的高度PG为3.6m.
【解析】【分析】根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△PAB相似于△PCD，根据相似三角形的性质可得比例式；同理可得比例式求解.
19．如图，小岛A在港口B的北偏东50°方向，小岛C在港口B的北偏西25°方向，一艘轮船以每小时20海里的速度从港口B出发向小岛A航行，经过5小时到达小岛A，这时测得小岛C在小岛A的北偏西70°方向，求小岛A距离小岛C有多少海里？（最后结果精确到1海里，参考数据：≈1.1414，≈1.732）
【答案】解：由题意得，∠ABC=25°+50°=75°，∠BAC=180°﹣70°﹣50°=60°，∴在△ABC中，∠C=45°，过点B作BD⊥AC，垂足为点D，∵AB=20×5=100，在Rt△ABD中，∠BAD=60°，∴BD=ABsin60°=100×=，∴AD=ABcos60°=100×=50，在Rt△BCD中，∠C=45°，∴CD=BD=，∴AC=AD+CD=50+≈137（海里），答：小岛A距离小岛C约是137海里．
【解析】【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为点D，根据题意求出∠ABC和∠BAC的度数以及AB的长，再求出AD和BD的长，结合CD=BD，即可求出AC的长．
20．当m为何值时，函数 是二次函数．
【答案】解：∵函数 是二次函数
∴
解得：m=3
即当m=3时，函数 是二次函数．
【解析】【分析】根据二次函数的定义即可求出结论．
21．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732）
【答案】解：（1）过B作BG⊥DE于G，
Rt△ABH中，i=tan∠BAH= =，
∴∠BAH=30°，
∴BH=AB=5；
（2）∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，
∴四边形BHEG是矩形．
∵由（1）得：BH=5，AH=5，
∴BG=AH+AE=5+15，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=5+15．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=AE=15．
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．
【解析】【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH；
（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．
22．如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：）
【答案】解：如图所示，分别过点作的垂线，垂足分别为，
∴四边形是矩形，
∴，，
依题意，，
∴，
∴，
∴；
在中，，
；
在中，，
∴．
答：大桥的长度约为米．
【解析】【分析】分别过点作的垂线，垂足分别为，在中利用解直角三角形求得，，再在中运用正切求出ED长，根据线段的和差解题即可．
23．如图，在一个平台远处有一座古塔，小明在平台底部的点C处测得古塔顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得古塔顶部的仰角为30°．已知平台的纵截面为矩形DCFE，DE=2米，DC=20米，求古塔AB的高（结果保留根号）
【答案】解：如图，延长EF交AB于点G．设AB=x米，则BG=AB﹣2=（x﹣2）米．则EG=（AB﹣2）÷tan∠BEG= （x﹣2），CA=AB÷tan∠ACB= x．则CD=EG﹣AC= （x﹣2）﹣ x=20．解可得：x=10 +3．答：古塔AB的高为（10 +3）米．
【解析】【分析】延长EF交AB于点G，利用解直角三角形，用含x的代数式表示出EG、CA的长，再根据CD=EG﹣AC，建立关于x的方程，求解即可。
24．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．
（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）
【答案】解：设梯子的长为xm．
在Rt△ABO中，cos∠ABO= ，
∴OB=AB cos∠ABO=x cos60°= x．
在Rt△CDO中，cos∠CDO= ，
∴OD=CD cos∠CDO=x cos51°18′≈0.625x．
∵BD=OD﹣OB，
∴0.625x﹣ x=1，
解得x=8．
故梯子的长是8米．
【解析】【分析】设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD=OD﹣OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．
25．如图，为了测量甲楼的高度，由于甲楼的底部D不能直接到达，于是，测量人员在乙楼的顶部A测得甲楼的顶C的仰角是，底部D的俯角是，已知乙楼的高度是12米，求甲楼的高度．（参考数据：，结果精确到0.1米）
【答案】解：过点A作于点H．
∵，，
∴．
∴四边形是矩形．
∴．
在中，，，
．
∴．
在中，，，，
．
∴．
∴．
∴甲楼的高度约为37.7米
【解析】【分析】先求出四边形是矩形，再利用锐角三角函数计算求解即可。
26．如图，某数学活动小组要测量楼AB的高度，楼AB在太阳光的照射下在水平面的影长BC为6米，在斜坡CE的影长CD为13米，身高1.5米的小红在水平面上的影长为1.35米，斜坡CE的坡度为1：2.4，求楼AB的高度．（坡度为铅直高度与水平宽度的比）
【答案】解：作DN⊥AB，垂足为N，作CM⊥DN，垂足为M，则CM：MD=1：2.4=5：12，设CM=5x，则MD=12x，由勾股定理得CD==13x=13∴x=1∴CM=5，MD=12，四边形BCMN为矩形，MN=BC=6，BN=CM=5，太阳光线为平行光线，光线与水平面所成的角度相同，角度的正切值相同，∴AN：DN=1.5：1.35=10：9，∴9AN=10DN=10×（6+12）=180，AN=20，AB=20﹣5=15，答：楼AB的高度为15米．
【解析】【分析】作DN⊥AB，垂足为N，作CM⊥DN，垂足为M，设CM=5x，根据坡度的概念求出CM、DM，根据平行线的性质列出比例式，计算即可．
27．先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中x=4﹣tan45°．
【答案】解：原式=
= ，
当x=4﹣tan45°=4﹣1=3时，原式= = ．
【解析】【分析】先算括号里面的，再算除法，求出x的值代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．
28．如图，∠AED
=∠C，DE
= 4，BC = 12，CD
= 15，AD = 3，求AE、BE的长.
【答案】解：∵∠AED =∠C，∠A为公共角
∴△ABC∽△ADE
∴
又∵DE=4，BC=12，CD=15，AD=3，
∴AC=15+3=18
∴
∴AE=6，AB=9
∴BE=9-6=3
【解析】【分析】先根据已知条件求证△ABC∽△ADE，然后根据相似三角形对应边成比例，代入数值即可求解．
29．清明节假期，小红和小阳随爸妈去旅游，他们在景点看到一棵古松树，小红惊讶的说：“呀！这棵树真高！有60多米．”小阳却不以为然：“60多米？我看没有．”两个人争论不休，爸爸笑着说：“别争了，正好我带了一副三角板，用你们学过的知识量一量、算一算，看谁说的对吧！”
小红和小阳进行了以下测量：如图所示，小红和小阳分别在树的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜边正好经过树的最高点，这时，测得小红和小阳之间的距离为135米，他们的眼睛到地面的距离都是1.6米．通过计算说明小红和小阳谁的说法正确（计算结果精确到0.1）（参考数据 ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）
【答案】如图，AB表示古松树的高，CD，EF分别表示小红和小阳的眼睛到地面的距离；
由题意得，四边形CDEF是矩形，
∴CD=BG=EF=1.6米，CF=DE=135米，
设AG=x米，
∵∠ACG=30°，∠AFG=45°，∠AGC=∠AGF=90°，
∴GF=AG=x，AC=2AG=2x，
∴CG=AC 米，
∴DE=BD+BE=CG+GF= x+x=135，
∴x≈49.28，∴AB=AG+GB=50.9米，
∴古松树高=50.9米＜60米，
∴小阳的说法正确．
【解析】【分析】三角函数的实际应用问题，只要构造直角三角形就可以解决问题。注意结果要取近似值，精确到0.1.
30．如图所示，小华站在距离路灯的灯杆（AB）5m的C点处，测得她在路灯灯光下的影长（CD）为2.5m，已知小华的身高（EC）是1.6m，求路灯的灯杆AB的高度．
【答案】解：依题意知：AB∥EC ，∴ △ABD ∽ △ECD ，∴ ，即： ，∴ AB＝4.8 ，答：路灯的高度AB是4.8米.
【解析】【分析】将实际问题转化为数学问题，可知AB∥EC，就可证得△ABD ∽ △ECD ，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，解方程求出AB的值。
31．如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得 ，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得 ．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线， ， ， ， ．结果精确到0.1m）（参考数据： ， ， ， ， ， ）
【答案】解：由题意得：
BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，
设CF＝x，
∴CD＝CF+DF＝（x+3），
在Rt△ACF中，∠AFC＝42°，
∴AC＝CF tan42°≈0.9x（m），
在Rt△ACD中，∠ADC＝31°，
∴tan31° ，
∴x＝6，
经检验：x＝6是原方程的根，
∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m），
∴凉亭AB的高约为6.9m．
【解析】【分析】由题意得BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，设CF＝x，则CD＝x+3，根据三角函数的概念可得AC、x，然后根据AB＝AC+BC进行计算.
32．如图，小明利用无人机测大楼的高度．在空中点测得：到地面上一点处的俯角，距离米，到楼顶点处的俯角．已知点与大楼的距离为70米．（点共线且图中所有的点都在同一平面内）
（1）求点到地面的距离；
（2）求大楼的高度．（结果保留根号）
【答案】（1）解：∵，
∴，
在中，，
则（米），
答：点到地面的距离为米；
（2）解：延长交于点，如图所示：
在中，，
则（米），
∵米，
∴（米），
∵，
∴四边形为矩形，
∴米，米，
在中，，
则（米），
∴（米），
答：大楼的高度为米．
【解析】【分析】
（1）由平行线的性质得到，在中，根据锐角三角函数sin∠PAE=可求解；
（2）延长交于点，如图所示，在中，根据锐角三角函数cos∠PAE=可求得AE的值，由线段的和差BE=AB-AE求得BE的值，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形PEBD是矩形，在Rt△PCD中，锐角三角函数tan∠DPC=求得CD的值，然后由线段的和差BC=BD-CD可求解．
（1）解：∵，
∴，
在中，，则（米），
答：点到地面的距离为米；
（2）解：延长交于点，如图所示：
在中，，则（米），
∵米，
∴（米），
∵，
∴四边形为矩形，
∴米，米，
在中，，则（米），
∴（米），
答：大楼的高度为米．
33．如图，某高速公路设计中需要测量某条江的宽度 ，测量人员使用无人机测量，在 处测得 两点的俯角分别为 和 ，若无人机离地面的高度 为 米，且点 在同一条水平直线上，求这条江的宽度 长（结果保留根号）.
【答案】解：如图，
，
在 中， 米，
在 中， （米）
米
故这条江的宽度 长为 米.
【解析】【分析】在Rt△ACD和Rt△DCB中，利用锐角三角函数，用CD表示出AD、BD的长，然后计算出AB的长.
34．图①为平地上一幢建筑物与铁塔图，图②为其示意图．建筑物AB与铁塔CD都垂直于地面，BD=20m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为58°．求铁塔CD的高度．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【答案】解：如图，过点A作AE⊥CD，垂足为E，
则四边形ABDE矩形，
∵BD=20m，在A点测得D点的俯角为45°，在测得C点的仰角为58°，
∴∠ADB=∠EAD=45°，
∴AB=ED=BD=20m，
在Rt△AEC中，tan∠CAE= ，
∴tan58°= = ，
∴CE=20 tan58°=20×1.60=32，
∴CD=CE+ED=32+20=52米．
答：铁塔CD的高度为52米．
【解析】【分析】先过点A作AE⊥CD，垂足为E，则四边形ABDE矩形，根据∠ADB=∠EAD=45°，可得AB=ED=BD=20m，在Rt△AEC中，根据正切定义得出tan∠CAE，求得CE的长，进而得到铁塔CD的高度．
35．如图，正△ABC中，∠ADE=60°.
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=2，CD=4，求AE的长．
【答案】（1）解：在正ABC中，∠B=∠C=60°
∵∠BAD+∠ADB=120°，∠EDC+∠ADB=180°-∠ADE=120°
∴∠BAD=∠EDC
∵∠B=∠C
∴△ABD∽△DCE.
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴
∴
∴AE=AC-CE=6-=
【解析】【分析】
（1）根据正三角形ABC中∠B＝∠C＝60°，结合三角形内角和定理得出∠BAD＝∠CDE，从而可证得结论。
（2）根据两个三角形相似得出线段间的比例关系，代入数据计算出CE，再计算AE即可。
36．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732）
【答案】解：过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
在中，，，
∵
∴(cm)，
在中，，，
∵，
∴(cm)，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴(cm)．
答：点与桌面的距离约为
【解析】【分析】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，分别在和中，在和中利用三角函数计算出CF和DE的长度，根据矩形的性质得到：，则，最后代值计算即可.
37．如图，直立在点 处的标杆 长 ，站立在点 处的观察者从点 处看到标杆顶 、旗杆顶 在一条直线上．已知 ， ， ，求旗杆高 ．
【答案】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB
∴四边形EFDH为矩形
∴EF=GB=DH=1.7，EG=FB=3，GH=BD=10
∴AG=AB-GB=0.8
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH
∴AG：CH=EG：EH，
∵EH=EG+GH=21m，
∴CH=6.3m，
∴CD=CH+HD=7.9m
答：旗杆高DC为7.9m．
【解析】【分析】过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，可证明四边形EFDH为长方形，可得HD的长；可证明△AEG∽△CEH，故可求得CH的长，所以旗杆CD的长即可知．
38．如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，沿AE将△ADE对折，点D的对称点F刚好落在BC边上．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝8cm，tan∠DAE＝，求AD的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵沿AE将△ADE对折，点D的对称点F刚好落在BC边上，
∴∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFB＝90°﹣∠EFC＝∠FEC，
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵tan∠DAE＝，
∴，
∵沿AE将△ADE对折，点D的对称点F刚好落在BC边上，
∴，
由（1）知△ABF∽△FCE，
∴，
∵AB＝8cm，
∴，
∴CF＝4，
设AD＝BC＝x，则BF＝x﹣4，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
∴82+（x﹣4）2＝x2，
解得x＝10，
答：AD的长是10cm．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到：然后根据折叠的性质得到：进而得到：即可求证；
（2）根据正切函数的定义得到：，根据折叠的性质得到：，结合（1）中的相似得到：，据此即可求出CF的长度，设AD＝BC＝x，则BF＝x﹣4，最后利用勾股定理列出方程即可求解.
39．如图，小山上有一座120m高的电视发射塔AB，为了测量小山的高度BC，在山脚某处D测得山顶的仰角为22°，测得塔项的仰角为45°．求小山的高．（已知：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（结果精确到0.1m）
【答案】解：设BC为x米，则AC＝（120＋x）米，
由条件知：∠CDB＝22°，∠ADC＝45°，
在Rt△DBC中，tan22°＝ ＝ ≈0.40，
∴DC＝ x（米）．
在直角△ACD中，tan45°＝ ＝1．
∴AC＝CD，
即120＋x＝ x，
解得x＝80，
答：小山BC的高度为80米．
【解析】【分析】设BC为x米，则AC＝（120＋x）米，通过解直角△DBC和直角△ACE列出关于x的方程，利用方程求得结果．
40．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点N，M为BD的中点.连结CM，AM，.
（1）求证：四边形ADCM是平行四边形.
（2）求的值.
【答案】（1）证明：∵ M为BD的中点 ，BC⊥CD，
∴CM=BM=DM，
∵AB=AC，AM=AM，
∴△AMB≌△AMC（SSS），
∴∠BAM=∠CAM，
∵BA⊥AC，AB=AC，
∴∠ACB=∠ACB=45°，∠BAM=∠CAM=45°，
∴∠DCA=90°-∠ACB=45°
即∠CAM=∠DCA，
∴AM∥CD，
∵AM=CD，
∴ 四边形ADCM是平行四边形.
（2）如图，延长AM交BC于点E，
∵AB=AC，∠BAM=∠CAM，
∴AE⊥BC，BE=CE，
∵ M为BD的中点 ，
∴CD=2ME，
∵AM=CD，
∴AM=2ME，即ME=AE，
设AB=x，则BC=x，BE=AE=BC=x，
∴ME=AE=，
∴.
【解析】【分析】（1）证明△AMB≌△AMC（SSS），从而推出∠CAM=∠DCA=45°，根据内错角相等两直线平行可得AM∥CD，结合AM=CD，根据平行四边形的判定即证结论；
（2）延长AM交BC于点E，由等腰三角形三线合一可得BE=CE，从而得出ME为△BCD的中位线，可得CD=2ME，从而推出ME=AE，设AB=x，用x分别表示ME、BE，利用正切函数的定义即可求解.
41．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
（1）黄金矩形的长 ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连接，求点到线段的距离．
【答案】（1）
（2）解：矩形为黄金矩形，理由是：
由（1）知，
∴，
∴，
故矩形为黄金矩形；
（3）解：连接，，过D作于点G
∵，，
∴，
在中， ，
即，
则，
解得，
∴点D到线段的距离为．
【解析】【解答】
解：（1）∵ 黄金矩形ABCD的宽AB=1
∴
∴
【分析】本题考查矩形的性质、等面积法及勾股定理等知识，熟悉矩形性质及根式的化简是关键。（1）根据黄金矩形的定义，可得AB：BC= ，计算可得BC，注意最简二次根式的化简；
（2）要知道矩形DCEF是否是黄金矩形，要判断其宽与长之比是否是。由(1)知，则，则，则矩形DCEF为黄金矩形；
（3）连接AE，DE，过D作于点G，由，得，根据等面积法得，得，点D到线段AE的距离为．
42．在平面直角坐标系中，是原点，矩形的顶点、分别在轴、轴上，已知点坐标为，目满足
（1）直接写出B点坐标。
（2）如图1，若点沿线段从向以每秒1个单位的速度运动至，同时动点沿线段AO从A向0以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为t秒连接OM、BN、CN、AM。①求证：四边形MENF是平行四边形。
②当 ▲ 时，四边形MENF是矩形？
（3）如图2将矩形OABC沿着AP折叠，O对应点恰好落在BC边上，求OP长；
（4）如图3，N为OC边的中点，Q是任意的一点。当，连接，请直接写出QN的取值范围
【答案】（1）
（2）3
（3）解：∵四边形为矩形，，
∴，，，
由折叠的性质可得，，，
∴在中，，
∴，
设，则，
∴在中，可有，
即，
解得，
∴；
（4）解：连接，取中点，连接，如图所示，
∵，，，
∴，
∵，点为中点，
∴，
∵点为的中点，点为的中点，
∴在中，可有，
在中，由三角形三边关系可得，
∴当点在同一直线，且点在点和点中间时，如下图，
此时取最小值，最小值为，
当点同一直线，且点在点和点中间时，如下图，
此时取最大值，最大值为，
∴的取值范围为：．
【解析】【解答】解：(1)∵，
∴，，
∴，解得，
∴可有，解得，
∴；
故答案为：.
（2）①由题意可得，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，，
∴，即，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②四边形为矩形，，
∴，，，
当四边形是矩形时，
可有，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴秒．
故答案为：3；
【分析】（1）先根据被开方数的非负性求出的值，进而可得的值即可.
（2）①先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出四边形为平行四边形，进而得到，再证明四边形为平行四边形，得到，最后根据两组对边分别平行证出四边形是平行四边形即可；②先证出，再根据相似三角形对应边成比例得到，求出，进而求出t即可；
（3）由折叠的性质得到，，再根据勾股定理解得的值，最后在中，由勾股定理进算得出即可.
（4）连接，取中点，连接，先利用勾股定理解得的长度，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，根据三角形中位线的性质可得，最后根据三角形三边关系求出即可.
43．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（Ⅱ）若AP= ，求CF的长．
【答案】解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，
∴DC=AB=6，
∴AC= =10，
要使△PCD是等腰三角形，
①当CPCD时，AP=AC﹣CP=10﹣6=4，
②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，
∴∠PAD=∠PDA，
∴PD=PA，
∴PA=PC，
∴AP= AC=5，
③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，
则PQ=CQ，
∵S△ADC= AD DC= AC DQ，
∴DQ= = ，
∴CQ= = ，
∴PC=2CQ= ，
∴AP=AC﹣PC=10﹣ = ；
所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或 ；
（Ⅱ）如图2，连接PF，DE记PF与DE的交点为O，连接OC，
∵四边形ABCD和PEFD是矩形，
∴∠ADC=∠PDF=90°，
∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，
∴∠ADP=∠CDF，
∵∠BCD=90°，OE=OD，
∴OC= ED，
在矩形PEFD中，PF=DE，
∴OC= PF，
∵OP=OF= PF，
∴OC=OP=OF，
∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，
∴2∠OCP+2∠OCF=180°，
∴∠PCF=90°，
∴∠PCD+∠FCD=90°，
在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，
∴∠PAD=∠FCD，
∴△ADP∽△CDF，
∴ ，
∵AP= ，
∴CF= ．
【解析】【分析】（Ⅰ）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；（Ⅱ）先判断出OC= ED，OC= PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．
44．如图，在边长为6的正方形中，点是线段上一点，过点作交的延长线于点，连接交于点，过点作于点，交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当点是线段的三等分点时，请直接写出的长．
【答案】（1）证明：，
，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
（2）证明：，，
，，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
四边形中，，
A、H、E、D共圆，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
；
（3）解：当点是线段的三等分点时，的长为或3.
【解析】【解答】解：(3)如图，连接，
，，
，，
，
，
，
设，则，，
正方形的边长为6，点是线段的三等分点，
①当时，则，
在中，，即，
解得：，
，
②当时，则，
在中，，即，
解得：，
，
当点是线段的三等分点时，的长为或3。
【分析】（1）先证，进而可得是等腰直角三角形，再根据直角三角形中斜边上的中线对应斜边的一半得到，进而可证得；
（2）先证为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，再由∠AHE+ ∠ADE
=180° 得到A、H、E、D共圆， 进而证得，再根据相似三角形的性质即可得证；
（3）连接，由，得到GE=GF，设，则，GE=DE+x
，分两种情况讨论，①当时，②当时，在中，利用勾股定理建立方程求解即可.
45．为了测得图甲和图乙中旗杆的高度，小明和小红在查阅资料后，得到一种测量旗杆高度的方法：找到旗杆的影子并找出其顶部，并在影子中间某处放置一竹竿，使得竹竿顶部的影子和旗杆顶部的影子重合，此时竹竿长度和竹竿影长之比即旗杆长度和旗杆影长之比.在太阳光下同一时刻小明和小红分别做了以上操作，测得竹竿CD长0.9m，其影长CE为1m.
（1）如图甲所示，若小明测得旗杆影长AE为3m，求图甲中旗杆高AB为多少米.(CD⊥AE，AB⊥AE，点B，D，E在一条直线上)
（2）如图乙所示，若小红测得旗杆落在地面上的影长FG为3m，落在墙上的影子GH的高为1.1m，则直接写出图乙中旗杆高FP为 m.()
【答案】（1）解：∵ 竹竿长度和竹竿影长之比即旗杆长度和旗杆影长之比 ，
∴，
即，
∴AB=2.7米；
（2）3.8
【解析】【解答】（2）解：设墙上的影子落在地面上时的长度为x米，
∵小明与小红是在同时测量，
∴竹竿长度和竹竿影长之比=旗杆长度和旗杆影长之比，
∴，
解得x=，
∴旗杆的影长为3+=米，
∴，
∴PF=3.8米.
故答案为：3.8.
【分析】（1）根据竹竿长度和竹竿影长之比=旗杆长度和旗杆影长之比，列出比例式，求解可得答案；
（2）设墙上的影子落在地面上时的长度为x米，根据竹竿长度和竹竿影长之比=旗杆长度和旗杆影长之比，建立比例式可求出x的值，进而再根据竹竿长度和竹竿影长之比=旗杆长度和旗杆影长之比，建立比例式可求出PF的长.
46．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，平分．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【答案】（1）证明：∵，
∴，，，
又∵平分，
∴，
∴，
则，
∴，
故．
（2）证明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
【解析】【分析】
（1）根据平行线分线段成比例得出 ，，，可推导出。
（2） 由 得，结合 ， 推导出 再结合角间关系推导出 。
47．如图，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连接，当点与点重合时，点停止运动设点的运动时间为秒
（1）当点和点重合时，线段的长为 ；
（2）当点和点重合时，求的比值是多少？
（3）当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形，如图，请说明理由；
（4）作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：如图所示，
，，
，，
，
∽，
，
，，
；
（3）证明：如图所示，过点作于点，
，，
，，
，
四边形是矩形，
四边形是矩形，
，
又，
，
≌，
，
是等腰直角三角形；
（4）解：或或
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
当点和点重合时，
，，
在中，，
故答案为：；
如图所示，当点在上时，
，，
在中，，
则，
，
，，
在中，，
，
解得：，
当时，点在矩形内部，
时符合题意；
当点在上时，当，重合时符合题意，此时如图，
则，，
在中，，
，
解得；
当点在上，当，重合时，此时点与点重合，如图，
则是正方形，此时．
综上所述，或或．
【分析】（1）根据矩形的性质，结合勾股定理求解即可；
（2）根据直角三角形的性质，证三角形PBE和ECD相似，根据相似三角形对应边成比例求解即可；
（3） 过点作于点 ，根据矩形的判定和性质证三角形PHE和ECQ全等，根据全等三角形的性质求证即可；
（4）分三种情况：点P在BE上，点P在AB上，点P在AD上，根据矩形的性质和轴对称的性质，利用勾股定理建立方程求解即可。
48．随着科学技术不断的发展，自动机器人用于生产、生活的技术已日益成熟.如图1，是一款自动焊接机器人，主要从事焊接，切割或热喷涂等工作.如图2，是该自动焊接机器人某次工作状态下的示意图，底座OA与地面垂直且可根据需要进行移动，AB，BC为机械臂， BC=3m， ∠OAB=150°， ∠ABC=95°. 求机械臂端点C到地面OM的距离. (结果精确到0.1m， 参考数据：
【答案】解：过点B作BD⊥OM于点 D， 过点C作 CM⊥OM 于点 N， 过点 C作 CF⊥BD 于点F， 过点A 作AE⊥BD 于点E，
∵AE⊥BD，BD⊥OM，AO⊥OM，
∴四边形 DEAO 为矩形，
∴∠EAO=90° ， DE=AO=1m，
∵∠OAB=150° ，
∴∠BAE=∠OAB-∠EAO=150°-90°=60° ，
∴∠ABE=30° ，
∵AB=6m，
，
∵∠ABC=95° ，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABE=95°-30°=65° ，
∴∠BCF=25° ，
∵BC=3m，
∴BF=BC·sin∠BCF≈3×0.42=1.26(m)，
∵CM⊥OM， CF⊥BD， BD⊥OM，
∴四边形 CMDF 为矩形，
答：机械臂端点C到地面OM的距离为4.9m.
【解析】【分析】本题首先证明出四边形 DEAO 为矩形，然后利用三角函数计算出BE和BF的长，从而计算出EF的长和DF的长。然后证明出四边形 CMDF 为矩形，即可计算出CM的值。
49．如图，已知在中，点D是边上一点，且，点E是边上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的值．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：过点作于点，
，
，
，
则，
，
在中，，
解得：，
，
．
【解析】【分析】（1）先证明，再证明△BDE∽△CBA即可.
（2）过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求出AF，再根据的三角函数值求出BC即可求解．
50．如图1，矩形ABCD中，AB=a，BC=6，点E，F分别为AD，AB边上任意一点，现将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点P．
（1）若点B与点F重合
①如图2，若a=5，当点P落在BC中垂线上时，求AE的长；
②当点P可以两次落在在BC中垂线上时，求a取值范围；
（2）如图3，连接BD，若a=4，AE=2AF，直线FP交△BCD的边于点G，是否存在点G，使得以E，G，P为顶点的三角形与△AEF相似．若存在，请求出AE的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： ① 如下图设BC的中垂线与AD的交点为T，与BC的交点为G，设在图2中根据折叠关系可得：则在中则由矩形的性质可得：故，在中由勾股定理可得：即解得即
②如图作出矩形BC边的中垂线MN，分别交AD，BC于点M、N，当点P与点N重合时，点P只有一次落在BC中垂线上，根据折叠的性质可得：且则四边形ABMN为正方形，此时
如图，当点E与点D重合，点F与点B重合时，是两次落在中垂线上的临界位置，根据题意可得：又根据折叠的性质可得：又∵点P在BC的中垂线上，∴故则为等边三角形，∴又根据折叠的性质可得：，又在中即解得综上所述a的取值范围为：
（2）解：存在，理由如下：
过点G作于点N，连结EG，∵四边形ABCD为矩形，∴则故
四边形ABGN为矩形，∴当时又∵
∴根据折叠的性质可得：∴∴则
设则由勾股定理可得：由此可得：
∴又∵∴故即
解得：x=1，∴
过点G作于点M，连结EG，∵四边形ABCD为矩形，∴又∵，∴则
则当时，又∵∴根据折叠的性质可得：∴∴∴则又∵∴∵∴又∵∴
则设则AF=2t，MG=2AE=4t，∴则解得：则
如图当时，过点P作于点M，过点E作，交MP的延长线于点N，则四边形AMNE是矩形，则AE=MN，AM=EN，
设AF=y，则AE=EP=2AF=2y，FP=y，BF=4-FP=4-y，根据折叠的性质可得：AE=PE，∵，∴，则
AF=FP=PG，又∵，，∴则则FM=BM，故∴同上运用等量代换可证得：则又则解得
则
如图当时，过点P作于点M，过点E作，交MP的延长线于点R，过点G作于点Q，则四边形AMER为矩形，∴设则同上可证得：则设则∴解得∵∴则，∴则由上可知：则则解得：AE=则，
综上所述：存在，相似的点且或或或
【解析】【分析】（1） ① 作出BC的中垂线与AD的交点为T，与BC的交点为G，设然后根据折叠的性质，通过勾股定理建立方程，解出x即可求解；
② 如图作出矩形BC边的中垂线MN，分别交AD，BC于点M、N，当点P与点N重合时，点P只有一次落在BC中垂线上，根据折叠的性质及矩形的性质可解得此时a=3，当点E与点D重合，点F与点B重合时，是两次落在中垂线上的临界位置，通过折叠的性质，等边三角形使得性质及正切函数的定义可解得此时，综合两种情况即可求得a的取值范围；
（2）运用分类讨论的思想，运用三角形相似、全等、平行线成比例定理、折叠的性质进行求值计算即可.
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