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【解答题强化训练·50道必刷题】上海市数学九年级下册期末总复习
1．如图，已知⊙O的半径为8cm，点A为半径OB的延长线上一点，射线AC切⊙O于点C， 的长为 ，求线段AB的长.
2．某校八年级260名学生开展“好书伴成长”读书活动，要求每人每学期至少阅读4~7本课外读物，学期结束后随机抽查了若干名学生每人阅读课外书的数量，并分为四种类型，：4本；：5本；：6本；：7本，将各类的人数绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图.
图1 图2
（1）求这次被调查学生的人数；
（2）写出被调查学生每人阅读课外书数量的众数、中位数；
（3）求被调查学生每人阅读课外书数量的平均数，并估计这260名学生阅读课外书的总数.
3．我市某中学开展课外体育活动，决定开设：篮球、：乒乓球、：踢毽子、：跑步四种体育活动项目为了解学生最喜欢哪一种活动项目每人只选取一种，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如图所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．
（1）样本中最喜欢项目的人数所占的百分比为多少？其在扇形统计图中对应的扇形的圆心角度数是多少度？
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校有学生人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数是多少？
4．已知AB=4cm，作半径为3cm的圆，使它经过A、B两点，这样的圆能作多少个？如果半径为2cm呢？
5．某酒店共有6名员工，所有员工的工资如下表所示：
人 员 经理 会计 厨师 服务员1 服务员2 勤杂工
月工资（元） 6000 3000 4000 2000 2000 1000
（1）酒店所有员工的平均月工资是多少元？中位数、众数各是多少？
（2）平均月工资能准确反映该酒店员工工资的一般水平吗？若能，请说明理由．若不能，如何才能较准确地反映该酒店员工工资的一般水平？谈谈你的看法．
6．如图，在Rt 中， ， ， ，点 在线段 上，且 ，以点 为圆心， 为半径的 交线段 于点 ，交线段 的延长线于点 ．
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）求证： ．
7．2024年1月18日1时46分，天舟七号货运飞船与空间站组合体完成交会对接．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空·传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩（十分制）进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）此次被抽取的参赛作品成绩的众数为 分，中位数是 分；
（3）若此次参赛的作品共有300份，请估计成绩不低于9分的作品有多少份？
8．某社区举办了夏季游泳安全知识竞答，现从一、二单元楼各随机抽取相同数量住户的竞赛得分(满分100分)，并分为5个组(x表示得分，x取整数)A组：x≥90；B组：80≤x<90；C组：70≤x<80；D组：60≤x<70；E组：0≤x<60，根据调查数据绘制如下的统计图，请利用统计图中提供的信息回答下列问题：
一单元楼住户得分条形统计图 二单元楼住户得分扇形统计图
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取一、二单元楼住户共有 人，a＝ ；
（2）统计的这组数据中，一单元楼住户得分的中位数位于 组；
（3）根据以上数据分析，你认为该社区一、二单元楼住户哪个单元楼安全知识掌握得更好？并说明理由．
9．A，B两家外卖送餐公司记录近10次送餐到某企业用时(单位：分)如下表：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A公司送餐用时 26 26 30 25 27 29 24 28 30 25
B公司送餐用时 20 18 21 16 34 32 15 14 35 15
根据上表数据绘制的折线统计图如图所示。根据信息回答下列问题：
（1）写出A，B两家公司送餐时间的中位数；
（2）计算A，B两家公司送餐时间的平均数；
（3）选择合适的统计量，结合折线统计图，请你分别为A，B两家公司提出优化服务质量的建议。
10．如图，矩形的长与宽分别为a和b，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则a和b要满足什么数量关系？
11． 太阳系4个内行星的直径，以及与太阳的平均距离如下：
地球：直径是12756 km，与太阳的平均距离是
金星：直径是12104 km，与太阳的平均距离是
火星：直径是6794km，与太阳的平均距离是
水星：直径是4878km，与太阳的平均距离是
为了解这4个内行星的大小和距离太阳的远近情况，你将怎样重新整理这些数据 将它们按照你的方法进行整理.
12．某校考察各个班级的教室卫生情况时包括以下几项：黑板、门窗、桌椅、地面.一天，三个班的各项卫生成绩(单位：分)分别如下：
班级 评分项
黑板 门窗 桌椅 地面
一班 95 90 90 85
二班 90 95 85 90
三班 85 90 95 90
（1）小明将黑板、门窗、桌椅、地面这四项得分依次按15%，10%，35%，40%的比例计算各班的卫生成绩，那么哪个班的成绩最高
（2）你认为上述四项中，哪些项比较重要 请你按自己的想法设计一个评分方案，根据你的评分方案，哪个班的卫生成绩最高
13．小明是一名健步走运动的爱好者，他用手机软件记录了他近期健步走的步数（单位：万步），绘制出如下的统计图①和统计图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次记录的总天数为 ▲ ，图①中m的值为 ▲ ；
（Ⅱ）求小名近期健步走步数的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，若小明坚持健步走一年（记为365天），试估计步数为1.1万步的天数．
14．已知全班有40位学生，他们有的步行，有的骑车，还有的乘车来上学，根据以下已知信息完成统计表：
上学方式 步行 骑车 乘车
划计 正正正
次数
9
占百分比
15．如图所示为两个同心圆，大圆半径OC，OD分别交小圆于点A，B.已知的长为的长为.求：
（1）小圆的半径和大圆的半径的长.
（2）的度数.
16．某中学以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，给出如下两幅未完成的统计图，请根据图①和图②所提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样查中，一共调查了多少名学生？
（2）把折线统计图①补充完整；
（3）求出扇形统计图②中体育部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果这所中学共有学生1800名，那么你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．
17．2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略．国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动．为了帮助学生更好地管理体重，深圳某初中学校开展了一项体重管理计划，随机抽取了100名学生进行体重指数（）调查．的计算公式为：，根据世界卫生组织的标准，分类如下：
范围 分类
体重过轻
体重正常
超重
肥胖
调查结果如表所示：
分类 人数
体重过轻 10
体重正常 50
超重 30
肥胖 10
（1）小明身高为，指数为20，则小明的体重为 ；
（2）以下是部分统计图表，请根据表格数据补齐空缺部分．
（3）根据以上图表，请你给出一条合理的建议．
（4）学校计划从体重正常的2个男生和2个女生中，抽取2名学生介绍体重管理经验，求抽取出来的学生恰好是一男一女的概率．
18．某校团委组织了一次全校名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于分为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中名学生的海选比赛成绩成绩取整数，总分分，作为样本进行整理，得到下列统计图表：
组别 海选成绩 频数
组
组
组
组
组
（1）在频数分布表中的值是 在图的扇形统计图中，记表示组人数所占的百分比为，则的值为 ，表示组扇形的圆心角的度数为 度；
（2）根据频数分布表，请估计所选取的名学生的平均成绩；
（3）规定海选成绩在分以上包括分记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的名学生中成绩“优等”的有多少人．
19．中秋节是我国民间的一个传统节日，在中秋节吃月饼就成为了千古流传的习俗．在今年中秋节前夕，我校某班学生在班主任的带领下组织了一次制作“爱心月饼”活动，每个学生将自己制作的月饼全部送给敬老院的老人们．现统计全班学生制作月饼的个数，将制作月饼数量相同的学生分为一组，全班学生可分为A，B，C，D四个组，各组每人制作的月饼个数分别为4、5、6、7．根据图中提供的信息，请补全两个不完整的统计图并求出该班学生制作月饼个数的平均数．
20．求阴影部分的周长：
（1）
（2）
21．今年植树节，东方红中学组织师生开展植树造林活动，为了了解全校800名学生的植树情况，随机抽样调查50名学生的植树情况，制成如下统计表和条形统计图（均不完整）．
（1）将统计表和条形统计图补充完整；
（2）求抽样的50名学生植树数量的平均数；
（3）根据抽样数据，估计该校800名学生的植树数量．
22．《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（x≥240），良好（225≤x＜240），及格（185≤x＜225），不及格（x＜185），其中x表示测试成绩（单位：cm）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：
a．本校测试成绩频数（人数）分布表：
等级 优秀 良好 及格 不及格
频数（人数） 40 70 60 30
b．本校测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
222.5 228 p 85%
c．本校所在区县测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
218.7 223 23% 91%
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）求出p的值；
（2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是230cm，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？
（3）请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议．
23．如图，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，．
（1）将绕点O顺时针旋转得到，做出旋转后的；
（2）在旋转过程中，点B经过的路径为弧，求弧的长．
24．甲、乙两名射手在相同条件下打靶，射中的环数如图所示，利用图中提供的信息，解答下列问题：
（1）分别求甲、乙两名射手中环数的众数和平均数；
（2）如果从甲、乙两名射手中选一名去参加射击比赛，你选谁去？为什么？
25．作图题：在⊙O 中，点D是劣弧AB的中点，仅用无刻度的直尺画线的方法，按要求完下列作图：
在图（1）中作出∠C的平分线；在图（2）中画一条弦，平分△ABC的面积．
26．某校体操社团共 16 名学生，经测量获得了这 16 名学生的身高 (单位： )， 数据整理如下：
162，164，165，165，167，168，168，169，170，170，170，171，172，172，174，175
（1）求这16名学生身高的中位数和众数.
（2）从该体操社团中选六名学生参加比赛， 为了使舞台呈现效果更好， 往往选一组学生的身高的方差更小.请你通过计算说明应该选下列甲、乙两组中的哪一组参加比赛
甲组学生的身高 162 164 165 165 169 171
乙组学生的身高 167 168 170 172 174 175
27．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′ OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“美好点”．如图2，⊙O的半径为2，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=4，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的美好点，求A′B′的长．
28．下表是小明记录的10月份某一周内每天中午12时的气温的变化情况（气温比前一天上升记为正数，下降记为负数）
（1）若上周日中午12时的气温为10℃，那么本周每天的实际气温是多少？（请完成下表）
星期 一 二 三 四 五 六 日
气温变化/℃ +3 -2 +5 -2 -1 +4 -1
实际气温/℃
（2）本周的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？
（3）请你用折线统计图表示该周的气温变化情况.
29．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，CA的长为半径的圆与AB、BC分别相交于点D、E，求圆心到AB的距离及AD的长．
30．为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了40名男生引体向上项目的测试成绩（引体向上次数）．
【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如统计图：
【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表：
平均数 中位数 众数
5.8 a b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）如果规定男生引体向上6次及6次以上，该项目成绩良好，若该校八年级有男生300人，估计该校男生该项目成绩良好的约有 人；
（4）从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义．
31．乌鲁木齐市某小区为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点）
请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是 ；扇形图中“30吨-35吨”部分的圆心角的度数是 度；
（2）求“15吨~20吨”部分的户数，并补全频数分布直方图．
（3）如果自来水公司基本用水量定为每户25吨，那么该地区150万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
32．粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具，图（1）、图（2）是我国某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图（3）是粒子加速器的俯视示意图，其中粒子真空室可看作⊙O，粒子在A点注入，经过优弧后，在B点引出，粒子注入和引出路径都与⊙O相切，C，D是两个加速电极，粒子在经过时被加速．已知AB＝16km，粒子注入路径与AB的夹角α＝53°，所对的圆心角是90°．
（1）求⊙O的直径；
（2）比较与AB的长度哪个更长．（相关数据：）
33． 随着人民生活水平的不断提高，外出旅游已成为家庭生活的一种方式某社区为了解每户家庭旅游的消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的年旅游消费金额进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
组别 家庭年旅游消费金额元 户数
请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的家庭有 户，表中 ．
（2）本次调查数据的中位数落在哪一组？请说明理由．
（3）在扇形统计图中，组所对应扇形的圆心角是多少度？
（4）若该社区有户家庭，请你估计年旅游消费在元以上的家庭户数．
34．如图，四边形OACB的顶点A，B，C在以点O为圆心的同一个圆上，点C是的中点，连接OC并延长交圆O的切线BD于点D ，过点B作O的切线交OC的延长线于点D，已知∠D＝30°．
（1）求∠CBD的度数；
（2）判断四边形OACB的形状，并说明理由．
35．甲、乙两人在5次体育测试中的成绩（成绩为整数，满分为100分）如下表：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 90 88 87 93 92
乙 84 87 85 98 9■
（1）求甲的平均成绩；
（2）其中乙的第5次成绩的个位数字被污损，求乙的平均成绩高于甲的平均成绩的概率．
36．为落实双减政策，某学校实行课后延迟服务计划，根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查的样本容量是 ；
（2）在扇形统计图，“围棋”所在扇形的圆心角度数为 ，并补全条形统计图；
（3）设该校共有学生1200名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法．
37．下面是明明一天的活动情况统计图．
算出明明各种活动占用的时间．
38．在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼.小丽在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制成如图所示的不完整的频数直方图(从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值)和扇形统计图.已知“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀.
（1）本次调查共抽取了多少名学生
（2）补全频数直方图.
（3）若全校共有1200名学生，则估计跳绳成绩为优秀的人数.
39． 某校以“我最喜爱的冰雪运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查运动项目有短道速滑，花样滑冰，速度滑冰，冰壶以及其他项目（每个同学必须选择且只能选择一个项目），并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）本次调查共抽取了多少名同学？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在学校举办的“共筑冰雪中国梦”的主题演讲比赛中，小明获得了一等奖，他可以在包装完全相同的A，B，C，D四枚冬奥纪念章中选取两枚，请用列表或画树状图法求出小明选到的纪念章恰好是“A”和“C”图案的概率．
40． 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，BD∥AC．
（1）图中∠OCD= °，理由是 ；
（2）⊙O的半径为3，AC=4，求OD的长．
41．如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为4，，求阴影部分的面积．
42．如图，PA，PB切于点于点.若，求图中阴影部分的面积.
43．如图1，在正方形中，，点与点重合，以点为圆心，作半径长为5的半圆，交于点，交的延长线于点，点是的三等分点（点在点的左侧）．将半圆绕点逆时针旋转，记旋转角为，旋转后，点的对应点为点．
（1）如图2，在旋转过程中，当经过点时．
①求的度数；
②求图中阴影部分的面积；
（2）在旋转过程中，若半圆与正方形的边相切，请直接写出点到切点的距离．
44．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=6.将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积。
45．已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是弧AB的中点．过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CF＝6，∠ACB＝60°，求阴影部分的面积．
46． 如图，是的外接圆，是的直径的中点，的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接交于点，若，，求DE和BP的长.
47．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连结OC，AC.
（1）求证：AC平分∠DAO.
（2）若∠DAO=105°，∠E=30°.
①求∠OCE的度数.
②若⊙O的半径为2 ，求线段EF的长.
48．已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F.
（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；
（2）如图2，连接OC，若OC平分∠ACB，求证：AC=BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若tan∠ADB= ，AB=3 ，求DN的长.
49． 在中，，，以为直径作，交于点，点是上的一个点．
（1）如图，若点是的中点，，垂足为，求证：直线是的切线；
（2）如图，连接，若，求的度数．
50．在等边中，将扇形按图1摆放，使扇形的半径分别与重合，，固定等边不动，让扇形绕点O逆时针旋转，线段也随之变化，设旋转角为．（）
（1）当时，旋转角___度；当时旋转角____度．
（2）发现：线段与有何数量关系，请仅就图2给出证明．
（3）应用：当A，C，D三点共线时，求的长．
（4）拓展：P是线段上任意一点，在扇形的旋转过程中，请直接写出线段的最大值_____与最小值________．
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【解答题强化训练·50道必刷题】上海市数学九年级下册期末总复习
1．如图，已知⊙O的半径为8cm，点A为半径OB的延长线上一点，射线AC切⊙O于点C， 的长为 ，求线段AB的长.
【答案】依题意知，OC⊥AC.
∴∠ACO=90°；∠AOC= ，
∴∠A=90°-60°=30°，
∴OA= ，
∴AB=AO-OB=16-8=8cm
【解析】【分析】依题意知：OC⊥AC，根据的长可得∠AOC=60°，结合内角和定理可得∠A=30°，则OA=2OC=16cm，接下来根据AB=AO-OB进行计算即可.
2．某校八年级260名学生开展“好书伴成长”读书活动，要求每人每学期至少阅读4~7本课外读物，学期结束后随机抽查了若干名学生每人阅读课外书的数量，并分为四种类型，：4本；：5本；：6本；：7本，将各类的人数绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图.
图1 图2
（1）求这次被调查学生的人数；
（2）写出被调查学生每人阅读课外书数量的众数、中位数；
（3）求被调查学生每人阅读课外书数量的平均数，并估计这260名学生阅读课外书的总数.
【答案】（1）解：（名）.
这次被调查学生有20名.
（2）解：读了5本课外书的有8人，最多，被调查学生阅读课外书数量的众数为5本.
共有20人，中位数是第10人和第11人的平均数，被调查学生阅读课外书数量的中位数为（本）.
（3）解：平均数为（本）.
估计这260名学生阅读课外书的总数约为（本）.
【解析】【分析】（1）结合扇形统计图和条形统计图中的数据，利用B类的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数；
（2）根据众数、中位数的定义即可解答；
（3）根据平均数的定义先求出被调查的20人的平均数，再用平均数乘总人数即可.
3．我市某中学开展课外体育活动，决定开设：篮球、：乒乓球、：踢毽子、：跑步四种体育活动项目为了解学生最喜欢哪一种活动项目每人只选取一种，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如图所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．
（1）样本中最喜欢项目的人数所占的百分比为多少？其在扇形统计图中对应的扇形的圆心角度数是多少度？
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若该校有学生人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数是多少？
【答案】（1）解：由题意可得：
样本中最喜欢项目的人数所占百分比为：，
其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是：；
故答案为：，；
（2）解：抽查的学生总人数：人，
人如图所示：
（3）解：由题意可得：人．
答：全校最喜欢踢踢毽子的学生人数约是人
【解析】【分析】 (1)掌握根据收集的数据绘制图表，会从图表中读取有用信息；(2)某样本的数量该样本的占比=样本总量，样本总量某样本的占比=该样本的数量；(3)会根据样本评估总体。
4．已知AB=4cm，作半径为3cm的圆，使它经过A、B两点，这样的圆能作多少个？如果半径为2cm呢？
【答案】解：（1）这样的圆能画2个．如图1：
作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆，
则⊙O1和⊙O2为所求；
（2）这样的圆能画1个．如图2：
作AB的垂直平分线l，交AB于O点，然后以O为圆心，以2cm为半径作圆，
则⊙0为所求；
【解析】【分析】（1）先作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆即可；
（2）先作AB的垂直平分线l，交AB于O点，然后以O为圆心，以2cm为半径作圆即可；
5．某酒店共有6名员工，所有员工的工资如下表所示：
人 员 经理 会计 厨师 服务员1 服务员2 勤杂工
月工资（元） 6000 3000 4000 2000 2000 1000
（1）酒店所有员工的平均月工资是多少元？中位数、众数各是多少？
（2）平均月工资能准确反映该酒店员工工资的一般水平吗？若能，请说明理由．若不能，如何才能较准确地反映该酒店员工工资的一般水平？谈谈你的看法．
【答案】解：（1）平均月工资=（6000+3000+4000+2000+2000+1000）÷6=3000（元），
众数为2000元，中位数2500元；
（2）∵能达到这个工资水平的只有3人，
∴平均月工资不能准确反映该酒店员工工资的一般水平，这组数据的众数是2000元，才能较准确地反映该酒店员工工资的一般水平，原因是它符合多数人的工资水平．
【解析】【分析】（1）根据平均数的计算公式，直接求出酒店所有员工的平均月工资即可；
（2）由平均数的值，可见平均月工资不能准确反映该酒店员工工资的一般水平，反映该酒店员工工资的一般水平的统计量应符合多数人的工资水平才可以．
6．如图，在Rt 中， ， ， ，点 在线段 上，且 ，以点 为圆心， 为半径的 交线段 于点 ，交线段 的延长线于点 ．
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）求证： ．
【答案】（1）如图，过点 作 于点 ．
在 中， ．
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即OH为⊙O半径．
又∵ ，
∴ 是 的切线．
（2）如图，连接 ， ．
∵ 是 的直径，
∴ ．
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ∽ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
【解析】【分析】（1）过点O作OH垂直AB于H，由勾股定理求出AB的长，由面积法可求出OH==OC，即可求出结论；
（2）连接CD，EC，通过证明 ∽ ．可得，由DE=AC=3，可得结论。
7．2024年1月18日1时46分，天舟七号货运飞船与空间站组合体完成交会对接．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空·传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩（十分制）进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）此次被抽取的参赛作品成绩的众数为 分，中位数是 分；
（3）若此次参赛的作品共有300份，请估计成绩不低于9分的作品有多少份？
【答案】（1）解：从两个统计图可知，成绩为“9分”的数量是25件，占抽取作品数量的，
所以抽取作品的数量为：（件，
成绩为“8分”的作品数量为：（件，
补全条形统计图如图所示：
（2）8，8
（3）解：（份）
答：估计此次大赛成绩不低于9分的作品大约有90份．
【解析】【解答】解：由图知，成绩为：8分的数量为40且最多，故众数为8；
将抽取的这100份参赛作品的成绩从小到大排列后，中位数是第50，51份的平均数，处在中间位置的两个数都是8分，因此成绩的中位数是8分．
故答案为：8，8．
【分析】（1）根据频率进行计算可求出抽取的作品数量，求出“8分”的数量即可补全条形统计图；
（2）根据中位数、众数的定义及计算方法进行计算即可；
（3）求出样本中成绩不低于9分所占的百分比，进而估计总体中不低于9分所占的百分比，再根据频率进行计算即可．
8．某社区举办了夏季游泳安全知识竞答，现从一、二单元楼各随机抽取相同数量住户的竞赛得分(满分100分)，并分为5个组(x表示得分，x取整数)A组：x≥90；B组：80≤x<90；C组：70≤x<80；D组：60≤x<70；E组：0≤x<60，根据调查数据绘制如下的统计图，请利用统计图中提供的信息回答下列问题：
一单元楼住户得分条形统计图 二单元楼住户得分扇形统计图
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取一、二单元楼住户共有 人，a＝ ；
（2）统计的这组数据中，一单元楼住户得分的中位数位于 组；
（3）根据以上数据分析，你认为该社区一、二单元楼住户哪个单元楼安全知识掌握得更好？并说明理由．
【答案】（1）200；10
（2）B
（3）该社区一单元楼住户的安全知识掌握得更好，一单元楼住户得分的中位数和众数都大于二单元楼住户得分，故该社区一单元楼住户的安全知识掌握得更好．(答案不唯一)
【解析】【解答】解：（1）抽取一单元楼住户共有14+39+28+13+6=100人，
从一、二单元楼抽取住户数量相同，
本次抽取一、二单元楼住户共有200人；
a%=1-40%-25%-18%-7%=10%，
a=10.
故答案为：200；10.
（2）得分在A组、B组共有14+39=53人，调查总人数为100人，
一单元楼住户得分的中位数位于B组.
故答案为：B.
【分析】（1）先计算出抽取一单元楼住户的人数，再根据从一、二单元楼抽取住户数量相同求解即可；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3） 答案不唯一 ，言之有理即可.
9．A，B两家外卖送餐公司记录近10次送餐到某企业用时(单位：分)如下表：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A公司送餐用时 26 26 30 25 27 29 24 28 30 25
B公司送餐用时 20 18 21 16 34 32 15 14 35 15
根据上表数据绘制的折线统计图如图所示。根据信息回答下列问题：
（1）写出A，B两家公司送餐时间的中位数；
（2）计算A，B两家公司送餐时间的平均数；
（3）选择合适的统计量，结合折线统计图，请你分别为A，B两家公司提出优化服务质量的建议。
【答案】（1）解：把A公司10次送餐用时从小到大排列：24，25，25，26，26，27，28，29，30，30，
∴A公司送餐时间的中位数是=26.5分，
把B公司10次送餐用时从小到大排列：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35，
∴B公司送餐时间的中位数是=19分。
（2）
答：A公司送餐时间平均数27分，B公司送餐时间平均数22分。
（3）建议不唯一，合理即可，例如：
A公司送餐时间的平均数和中位数都大于B公司，A公司应该提高送餐速度。
B公司送餐时间差异很大，B公司应该提升每次送餐时间的稳定性。
【解析】【分析】（1）利用中位数的定义求解即可；
（2）利用平均数公式分别计算即可；
（3）结合中位数、平均数和方差进行建议即可.
10．如图，矩形的长与宽分别为a和b，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则a和b要满足什么数量关系？
【答案】【解答】组成圆柱后，圆柱的底面周长＝剩余长方形的长．，整理得 ．
【解析】【分析】利用圆柱的底面周长和剩余长方形的长之间的等量关系列出方程计算．解决本题的关键是得到圆柱的底面周长和剩余长方形的长之间的等量关系．
11． 太阳系4个内行星的直径，以及与太阳的平均距离如下：
地球：直径是12756 km，与太阳的平均距离是
金星：直径是12104 km，与太阳的平均距离是
火星：直径是6794km，与太阳的平均距离是
水星：直径是4878km，与太阳的平均距离是
为了解这4个内行星的大小和距离太阳的远近情况，你将怎样重新整理这些数据 将它们按照你的方法进行整理.
【答案】解：为了解这4个内行星的大小和距离太阳的远近情况，将这些数据分类、排序列表如下：
直径（km） 与太阳的平均距离（km）
地球 12756 火星
金星 12104 地球
火星 6794 金星
水星 4878 水星
【解析】【分析】为了解这4个内行星的大小和距离太阳的远近情况，可列表将这些数据分类、排序.
12．某校考察各个班级的教室卫生情况时包括以下几项：黑板、门窗、桌椅、地面.一天，三个班的各项卫生成绩(单位：分)分别如下：
班级 评分项
黑板 门窗 桌椅 地面
一班 95 90 90 85
二班 90 95 85 90
三班 85 90 95 90
（1）小明将黑板、门窗、桌椅、地面这四项得分依次按15%，10%，35%，40%的比例计算各班的卫生成绩，那么哪个班的成绩最高
（2）你认为上述四项中，哪些项比较重要 请你按自己的想法设计一个评分方案，根据你的评分方案，哪个班的卫生成绩最高
【答案】（1）解：一班的成绩=
二班的成绩=90×15%+95×10%+85×35%
三班的成绩= ∴三班的成绩最高.
（2）解：如果按照四项的权重一样，则三个班的平均成绩分别为：
一班的成绩=(95+90+90+85)÷4=90；
二班的成绩=(90+95+85+80)÷4=87.5；
三班的成绩=(85+90+95+90)÷4=90；
∴一、三班的成绩一样.
【解析】【分析】(1)根据权重为15%、10%、35%、40%的比例计算各班的卫生成绩；
(2)本问为开发题，答案不唯一，只要符合题意即可.
13．小明是一名健步走运动的爱好者，他用手机软件记录了他近期健步走的步数（单位：万步），绘制出如下的统计图①和统计图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次记录的总天数为 ▲ ，图①中m的值为 ▲ ；
（Ⅱ）求小名近期健步走步数的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，若小明坚持健步走一年（记为365天），试估计步数为1.1万步的天数．
【答案】25；12；解：（Ⅱ）∵ = ；
∴ 这组数据的平均数为1.22万步；
∵ 在这组数据中，1.3万步出现了8次，出现的次数最多；
∴ 这组数据的众数为1.3万步；
∵ 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的数是1.2万步；
∴ 这组数据的中位数为1.2万步；
（Ⅲ）∵在统计的健步走的步数样本数据中，步数为1.1万约占20％；
∴估计365天中，步数为1.1万约占20％；
365×20％=73；
答：若小明坚持健步走一年（记为365天），步数为1.1万步的天数约为
73天.
【解析】【解答】解：（Ⅰ）2+5+7+8+3=25，100-32-28-20-8=12；
【分析】（Ⅰ）用“1.1万步”的天数除以百分数求出总人数，再利用“1.4万步”的天数除以总天数即可求出m的值；（Ⅱ）根据平均数、众数及中位数的定义求解即可；（Ⅲ）用哪个365乘以20%即可。
14．已知全班有40位学生，他们有的步行，有的骑车，还有的乘车来上学，根据以下已知信息完成统计表：
上学方式 步行 骑车 乘车
划计 正正正
次数
9
占百分比
【答案】解：填表如下：
上学方式 步行 骑车 乘车
划计 正正正
次数 15 9 16
占百分比 37.5% 22.5% 40%
【解析】【分析】因为“步行”的“划记”为三个“正”字，所以“次数”为15，所占百分比就为×100%=37.5%，
因为“骑车”的“次数”为9，所以“划记”为“两个正字少一画”，所占百分比就为×100%=22.5%，
所以乘车的所占百分比为1﹣37.5%﹣22.5%=40%，则次数为40×40%=16，“乘车”的“划记”为“三个正字多一画”．
15．如图所示为两个同心圆，大圆半径OC，OD分别交小圆于点A，B.已知的长为的长为.求：
（1）小圆的半径和大圆的半径的长.
（2）的度数.
【答案】（1）解：设
的长为，的长为
，
，
（2）解：由(1)得
【解析】【分析】(1)设，利用弧长的计算公式用x表示出OA、OC的长度，进而解得x的值，然后计算出r、R的长度.
(2)通过(1)中的计算得到的度数.
16．某中学以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，给出如下两幅未完成的统计图，请根据图①和图②所提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样查中，一共调查了多少名学生？
（2）把折线统计图①补充完整；
（3）求出扇形统计图②中体育部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果这所中学共有学生1800名，那么你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．
【答案】解：（1）90÷30%=300（名），故一共调查了300名学生；（2）艺术的人数：300×20%=60（名），其它的人数：300×10%=30（名）；补全折线图如图：（3）体育部分所对应的圆心角的度数为：×360°=48°；（4）1800×=480（名）．
【解析】【分析】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解；
（2）根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可；
（3）用体育所占的百分比乘以360°，计算即可得解；
（4）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．
17．2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略．国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动．为了帮助学生更好地管理体重，深圳某初中学校开展了一项体重管理计划，随机抽取了100名学生进行体重指数（）调查．的计算公式为：，根据世界卫生组织的标准，分类如下：
范围 分类
体重过轻
体重正常
超重
肥胖
调查结果如表所示：
分类 人数
体重过轻 10
体重正常 50
超重 30
肥胖 10
（1）小明身高为，指数为20，则小明的体重为 ；
（2）以下是部分统计图表，请根据表格数据补齐空缺部分．
（3）根据以上图表，请你给出一条合理的建议．
（4）学校计划从体重正常的2个男生和2个女生中，抽取2名学生介绍体重管理经验，求抽取出来的学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）51.2
（2）解：超重人数有30人
占比为：1-50%-10%-10%=30%
补全图形如下：
（3）建议中学生加强体育锻炼，控制体重（合理即可给分）
（4）
男1 男2 女1 女2
男1 —— （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） —— （男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） —— （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） ——
共有12种等可能情况，其中恰好为一男一女的有8种；
所以，（抽取出来的学生恰好是一男一女）．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
小明的体重为(1.6)2×20=51.2kg
【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）根据表格可知超重人数，求出其占比，补全图形即可.
（3）建议中学生加强体育锻炼，控制体重.
（4）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出恰好为一男一女的的结果，再根据概率公式即可求出答案.
18．某校团委组织了一次全校名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于分为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中名学生的海选比赛成绩成绩取整数，总分分，作为样本进行整理，得到下列统计图表：
组别 海选成绩 频数
组
组
组
组
组
（1）在频数分布表中的值是 在图的扇形统计图中，记表示组人数所占的百分比为，则的值为 ，表示组扇形的圆心角的度数为 度；
（2）根据频数分布表，请估计所选取的名学生的平均成绩；
（3）规定海选成绩在分以上包括分记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的名学生中成绩“优等”的有多少人．
【答案】（1）50；15；72
（2）解：估计所选的200名学生的平均成绩是：（分），
答：所选取的200名学生的平均成绩约82分；
（3）解：根据题意得：（人），
答：该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的约700人．
【解析】【解答】解：（1）由题意得：
，
∴
表示C组扇形的圆心角的度数为：；
故答案为：50，15，72；
【分析】（1）用总数分别减去其他各组的频数，即可得到b的值；用B组的频数除以总数即可得到a的值；用360°乘以C组所占的百分比，即可求出C组扇形的圆心角度数；
（2）取组中值，根据加权平均数的计算法则，计算即可；
（3）用2000乘以E组所占的比例即可.
19．中秋节是我国民间的一个传统节日，在中秋节吃月饼就成为了千古流传的习俗．在今年中秋节前夕，我校某班学生在班主任的带领下组织了一次制作“爱心月饼”活动，每个学生将自己制作的月饼全部送给敬老院的老人们．现统计全班学生制作月饼的个数，将制作月饼数量相同的学生分为一组，全班学生可分为A，B，C，D四个组，各组每人制作的月饼个数分别为4、5、6、7．根据图中提供的信息，请补全两个不完整的统计图并求出该班学生制作月饼个数的平均数．
【答案】解：设总人数为x人．
由题意 =15%，
∴x=40．
∴B组人数为40×10%=4人，
C组人数=40﹣6﹣4﹣16=14人，占 ×100%=35%，
D组人数占 ×100%=40%．
补全两个统计图如图所示，该班学生制作月饼个数的平均数= =6只．
【解析】【分析】根据A组的百分数以及人数求出总人数，即可求出B、C两组人数，再求出C、D的百分数即可解决问题．
20．求阴影部分的周长：
（1）
（2）
【答案】（1）解：360°-140°=220°
3.14×9×2×＋9×2
=28.26×2×＋18
=56.52×＋18
=34.54＋18
=52.54（厘米）
（2）解：3.14×8×2×＋8×2
=25.12×2×＋16
=50.24×＋16
=12.56＋16
=28.56（厘米）
【解析】【分析】（1）、（2）阴影部分的周长=π×半径×2×＋半径×2。
21．今年植树节，东方红中学组织师生开展植树造林活动，为了了解全校800名学生的植树情况，随机抽样调查50名学生的植树情况，制成如下统计表和条形统计图（均不完整）．
（1）将统计表和条形统计图补充完整；
（2）求抽样的50名学生植树数量的平均数；
（3）根据抽样数据，估计该校800名学生的植树数量．
【答案】解：（1）统计表和条形统计图补充如下：植树量为5棵的人数为：50﹣5﹣20﹣10=15，频率为：15÷50=0.3，，（2）抽样的50名学生植树的平均数是： =（棵）．（3）∵样本数据的平均数是4.6，∴估计该校800名学生参加这次植树活动的总体平均数是4.6棵．于是4.6×800=3 680（棵），∴估计该校800名学生植树约为3 680棵．
【解析】【分析】（1）用总人数减去其他小组的人数即可求得植树棵树为5的小组的频数，除以总人数即可得到该组的频率；
（2）用加权平均数计算植树量的平均数即可；
（3）用样本的平均数估计总体的平均数即可．
22．《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（x≥240），良好（225≤x＜240），及格（185≤x＜225），不及格（x＜185），其中x表示测试成绩（单位：cm）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：
a．本校测试成绩频数（人数）分布表：
等级 优秀 良好 及格 不及格
频数（人数） 40 70 60 30
b．本校测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
222.5 228 p 85%
c．本校所在区县测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
218.7 223 23% 91%
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）求出p的值；
（2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是230cm，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？
（3）请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议．
【答案】（1）解：p＝×100%＝20%；
（2）解：设乙同学的成绩为x cm，
∵中位数为228，
∴＝228，
解得x＝226，
答：乙同学的测试成绩是226cm；
（3）解：从平均数来看，该校九年级全体男生立定跳远测试高于全县平均数，从优秀率来看，该校九年级全体男生立定跳远测试低于全县的优秀率，所以要加强训练强度，努力提高优秀率．
【解析】【分析】（1）用该校九年级学生立定跳远测试成绩为优秀的人数除以该校九年级学生的总人数再乘以100％即可算出p的值；
（2）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合统计表所给数据可算出乙同学的测试成绩；
（3）开放性命题，答案不唯一，合理就行.
23．如图，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，．
（1）将绕点O顺时针旋转得到，做出旋转后的；
（2）在旋转过程中，点B经过的路径为弧，求弧的长．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
；
（2）解：∵，
∴，
∵将绕点O顺时针旋转得到，
∴，
∴的长为：
【解析】【分析】（1）先根据题意得到点旋转后的对应点，然后依次连接各点即可；
（2）先利用勾股定理求出的长，由旋转的旋转得，最后利用弧长公式即可求解.
（1）解：∵，将绕点O顺时针旋转得到，
∴，如图，即为所求作∶
；
（2）解：∵，
∴，
由图可知：的长为．
24．甲、乙两名射手在相同条件下打靶，射中的环数如图所示，利用图中提供的信息，解答下列问题：
（1）分别求甲、乙两名射手中环数的众数和平均数；
（2）如果从甲、乙两名射手中选一名去参加射击比赛，你选谁去？为什么？
【答案】解：（1）甲射手所中环数为：8，7，9，8，7，9，7，8，8．出现次数最多的是8，所以甲射手所中环数的众数为8；乙射手所中环数为：8，10，7，9，5，9，7，9，10．出现次数最多的是9，所以乙射手所中环数的众数为：9；=×（7×3+8×4+9×2）=；=×（5+7×2+8+9×3+10×2）=；（2）S甲2=[3×（7﹣）2+4×（8﹣）2+2×（9﹣）2]=；S乙2=×[（5﹣）2+2×（7﹣）2+（8﹣）2+3×（9﹣）2+2×（10﹣）2]=．∵S甲2＞S乙2，∴成绩最稳定的选手是乙．∴如果从甲、乙两名射手中选一名去参加射击比赛，选乙去．
【解析】【分析】（1）分别根据众数的定义与平均数公式计算即可；
（2）分别计算甲、乙两名射手的方差，然后根据方差小的数据的比较稳定即可选出哪个选手去参加比赛．
25．作图题：在⊙O 中，点D是劣弧AB的中点，仅用无刻度的直尺画线的方法，按要求完下列作图：
在图（1）中作出∠C的平分线；在图（2）中画一条弦，平分△ABC的面积．
【答案】解：如图1，CD为所作；
如图2，CE为所作．
【解析】【分析】如图1，连结CD，根据圆周角定义可判断CD平分∠ACB；如图2，连结CD，根据垂径定理可得F点为AB的中点，则过C、F点的弦CE平分△ABC的面积．
26．某校体操社团共 16 名学生，经测量获得了这 16 名学生的身高 (单位： )， 数据整理如下：
162，164，165，165，167，168，168，169，170，170，170，171，172，172，174，175
（1）求这16名学生身高的中位数和众数.
（2）从该体操社团中选六名学生参加比赛， 为了使舞台呈现效果更好， 往往选一组学生的身高的方差更小.请你通过计算说明应该选下列甲、乙两组中的哪一组参加比赛
甲组学生的身高 162 164 165 165 169 171
乙组学生的身高 167 168 170 172 174 175
【答案】（1）解：这16名学生身高的中位数为 ，
众数为 ；
（2）解：甲组数据的平均数为
，
乙组数据的平均数为
，
所以甲组数据的方差为
乙组数据的方差为
，
应该选乙组参加比赛.
【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行计算即可；
（2）先计算出甲，乙两组的方差，比较即可得到结论.
27．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′ OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“美好点”．如图2，⊙O的半径为2，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=4，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的美好点，求A′B′的长．
【答案】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，
∵OA′ OA=22，
而r=2，OA=4，
∴OA′=1，
∵OB′ OB=22，
∴OB′=2，即点B和B′重合，
∵∠BOA=60°，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=，
∴A′B′=2sin60°=．
【解析】【分析】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，根据新定义计算出OA′，OB′，则点A′为OC的中点，点B和B′重合，再证明△OBC为等边三角形，则B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定义可求A′B′的长．
28．下表是小明记录的10月份某一周内每天中午12时的气温的变化情况（气温比前一天上升记为正数，下降记为负数）
（1）若上周日中午12时的气温为10℃，那么本周每天的实际气温是多少？（请完成下表）
星期 一 二 三 四 五 六 日
气温变化/℃ +3 -2 +5 -2 -1 +4 -1
实际气温/℃
（2）本周的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？
（3）请你用折线统计图表示该周的气温变化情况.
【答案】（1）解：根据题意填表如下：
星 期 一 二 三 四 五 六 日
气温变化/℃ +3 -2 +5 -2 -1 +4 -1
实际气温/℃ 13℃ 11℃ 16℃ 14℃ 13℃ 17℃ 16℃
（2）解：根据图表（1）可得：
本周的最高气温是17℃，最低气温是11℃，
最高气温与最低气温相差的温度是：17℃-11℃=6℃；
（3）解：根据图表中的气温变化情况，从而画出折线统计图：
【解析】【分析】（1）利用有理数的加减法求解即可；
（2）利用（1）中的数据求出最高和最低温度，再列出算式求解即可；
（3）将数据在网格表示出来即可.
29．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，CA的长为半径的圆与AB、BC分别相交于点D、E，求圆心到AB的距离及AD的长．
【答案】解：过C作CH⊥AB，
∵∠C=90°，
∴AB==10，
S△ABC=AC×BC=AB×CH，
即6×8=10×CH，
解得CH=4.8，
∴AH=
AD=2AH=2×3.6=7.2.
∴圆心到AB的距离及AD的长分别为4.8和7.2.
【解析】【分析】过C作CH⊥AB，利用勾股定理求出AB，在直角三角形ABC中用面积法求出斜边上高CH的长，在Rt△ACH中，利用勾股定理求出AH，根据垂径定理，则AD的长可求.
30．为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了40名男生引体向上项目的测试成绩（引体向上次数）．
【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如统计图：
【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表：
平均数 中位数 众数
5.8 a b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）如果规定男生引体向上6次及6次以上，该项目成绩良好，若该校八年级有男生300人，估计该校男生该项目成绩良好的约有 人；
（4）从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义．
【答案】（1）6；5
（2）解：男生引体向上8次的人数：40﹣6﹣12﹣10﹣8＝4（人），补图如图所示：
（3）165
（4）解：从平均数来看，估计该校八年级男生引体向上的平均次数是5.8；
从中位数来看，估计该校八年级至少有一半男生引体向上次数不少于6次；
从众数来看，估计该校八年级男生引体向上次数5次的人数最多．
【解析】【解答】解：（1）本次调查的总人数为40人，将40位同学引体向上项目测试成绩按从低到高排列后，排第20与21位的成绩都是6次，
∴ 40名男生引体向上项目的测试成绩的中位数为：，即a=6；
从扇形统计图可得40名男生引体向上项目的测试成绩中出现最多的是5次，有12人，故这组数据的众数是5，即b=5；
故答案为：6；5；
（3） 该校八年级男生该项目成绩良好的人数为：（人） ；
故答案为：165；
【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可得求解；
（2）首先根据条形统计图提供的信息算出男生引体向上8次的人数，从而可补全条形统计图；
（3）用该校八年级男生的总人数乘以样本中引体向上6次及6次以上的人数所占的百分比可估算出该校八年级男生引体向上成绩良好的人数；
（4）任选一项解析，合理就行.
31．乌鲁木齐市某小区为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点）
请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是 ；扇形图中“30吨-35吨”部分的圆心角的度数是 度；
（2）求“15吨~20吨”部分的户数，并补全频数分布直方图．
（3）如果自来水公司基本用水量定为每户25吨，那么该地区150万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
【答案】（1）100；
（2）解：∵用水“15吨～20吨”部分的户数为（户），
∴据此补全频数分布直方图如图：
（3）解：∵ （万户），
∴该地万用户中约有万户居民的用水全部享受基本价格．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
用水“10吨-15吨”部分的户数为：10，占比10%
则样本容量为：10÷10%=100，
“30吨-35吨”部分的圆心角的度数为：
故答案为：第1空、100
第2空、
【分析】（1）根据用水“10吨-15吨”部分的户数及占比即可求出样本容量，再根据“30吨-35吨”部分的圆心角的度数为：，即可求出答案.
（2）用水“15吨～20吨”部分的户数为：总人数减去其他部分户数即可求出答案.
（3）根据不超过25吨的用户总数除以样本容量，再乘以150即可求出答案.
32．粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具，图（1）、图（2）是我国某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图（3）是粒子加速器的俯视示意图，其中粒子真空室可看作⊙O，粒子在A点注入，经过优弧后，在B点引出，粒子注入和引出路径都与⊙O相切，C，D是两个加速电极，粒子在经过时被加速．已知AB＝16km，粒子注入路径与AB的夹角α＝53°，所对的圆心角是90°．
（1）求⊙O的直径；
（2）比较与AB的长度哪个更长．（相关数据：）
【答案】（1）解：过点O作OE⊥AB于点E，连接AO，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAO＝90°，
∵α＝53°，
∴∠EAO＝90°﹣53°＝37°，
∵AB是⊙O的弦，OE是⊙O的弦心距，
OE⊥AB，AB＝16km，
∴AE＝BE＝AB＝×16＝8（km），∠AEO＝90°，
∴tan∠EAO＝＝，
∴OE≈AE＝×8＝6（km），
∴AO＝＝10（km），
∴⊙O的直径为：2AO＝20（km），
∴⊙O的直径约为20km；
（2）解：AB的长度更长一些．
理由：∵所对的圆心角为90°，OC＝OA＝10（km），
∴的长度约为：
≈15.7（km），
∵15.7＜16，
∴AB的长度更长一些．
【解析】【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，连接AO，根据切线性质可得∠EAO＝90°﹣53°＝37°，再根据垂径定理可得AE＝BE＝AB＝8，∠AEO＝90°，再根据锐角三角函数的定义可得tan∠EAO＝＝，则OE≈AE＝6，再根据勾股定理可得AO长，即可求出答案.
（2）根据弧长公式即可求出答案.
33． 随着人民生活水平的不断提高，外出旅游已成为家庭生活的一种方式某社区为了解每户家庭旅游的消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的年旅游消费金额进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
组别 家庭年旅游消费金额元 户数
请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的家庭有 户，表中 ．
（2）本次调查数据的中位数落在哪一组？请说明理由．
（3）在扇形统计图中，组所对应扇形的圆心角是多少度？
（4）若该社区有户家庭，请你估计年旅游消费在元以上的家庭户数．
【答案】（1）150；24
（2）解：由题意知，中位数为第位和位两个数据的平均数，
，
中位数落在组；
（3）解：由题意知，组所在扇形的圆心角为．
（4）解：估计年旅游消费在 元以上的家庭户数为户，
年旅游消费在 元以上的家庭有户.
【解析】【解答】解：（1）本次被调查的家庭数=36÷24%=150（户）；m=150-36-27-33-30=24；
故答案为：150；24.
【分析】（1）利用“A”的户数除以对应的百分比可得总户数，再求出m的值即可；
（2）利用中位数的定义及计算方法求解即可；
（3）先求出“D”的百分比，再乘以360°可得答案；
（4）先求出“ 旅游消费在元以上 ”的百分比，再乘以3000可得答案.
34．如图，四边形OACB的顶点A，B，C在以点O为圆心的同一个圆上，点C是的中点，连接OC并延长交圆O的切线BD于点D ，过点B作O的切线交OC的延长线于点D，已知∠D＝30°．
（1）求∠CBD的度数；
（2）判断四边形OACB的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：∵BD与⊙O相切于点B，
∴BD⊥OB，
∴∠OBD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠BOD＝90°-∠D＝90°-30°＝60°，
∴OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
∴∠CBD＝∠OBD-∠OBC＝90°-60°＝30°，
∴∠CBD的度数是30°．
（2）解：四边形OACB是菱形，理由如下：
由（1）得△BOC是等边三角形，
∴OB＝BC，
∵点C是的中点，
∴＝，
∴BC＝AC，
∵OB＝OA，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形．
【解析】【分析】⑴、由切线的性质可以判定BD和半径OB的位置关系，进而判定三角形OBD是直角三角形，且角D已知30度，所以可求∠BOD的度数60度，再加OB、OC半径相等，可以判定△OBC是等边三角形，每一个内角都是60度，所以∠CBD可求。
⑵、由点C是 的中点可知弧AC等于弧BC，根据弧、弦、圆心角性质可知CA=CB，又上小题论证了三角形OBC是等边三角形，所以OB=BC，又OB=OA，可知四边形OACB的四条边相等，故可论证四边形的形状。
35．甲、乙两人在5次体育测试中的成绩（成绩为整数，满分为100分）如下表：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 90 88 87 93 92
乙 84 87 85 98 9■
（1）求甲的平均成绩；
（2）其中乙的第5次成绩的个位数字被污损，求乙的平均成绩高于甲的平均成绩的概率．
【答案】解：（1）甲的平均成绩是：（90+88+87+93+92）÷5=90；
（2）设乙的第5次成绩的个位数字为a，
乙的平均成绩是（84+87+85+98+90+a）÷5=90+，
列表：
a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
88.8 89 89.2 89.4 89.6 89.8 90 90.2 90.4 90.6
乙的平均数成绩一共10种可能，
其中乙的平均数高于甲的平均成绩，有3种可能，
则乙的平均成绩高于甲的平均成绩的概率是．
【点评】此题考查了平均数和概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．
【解析】【分析】（1）根据平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可；
（2）设乙的第5次成绩的个位数字为a，先求出乙的平均成绩90+，再列表得出乙的平均数成绩一共10种情况，求出乙的平均数高于甲的平均成绩的情况数，最后根据概率公式计算即可．
36．为落实双减政策，某学校实行课后延迟服务计划，根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查的样本容量是 ；
（2）在扇形统计图，“围棋”所在扇形的圆心角度数为 ，并补全条形统计图；
（3）设该校共有学生1200名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法．
【答案】（1）100
（2）解：；
喜欢书法的人数为（名），
补全条形统计图如图所示，
（3）解：估计该校喜欢书法的学生人数为（名）．
【解析】【解答】解：（1）学校这次调查的样本容量是：10÷10%=100（人）.
故答案为：100
答：学校这次调查的样本容量是1000人.
（2）围棋圆心角度数为：360×10%=36°.
喜欢书法的人：100-10-25-25-20=20（名）.
故答案为：36°
【分析】（1）用围棋的人数除以其所占百分比可得样本容量.
（2）用 360乘以围棋人数所占百分比即可得；用总人数减去其他的人数求得喜欢书法的人数，即可补全图形.
（3）用总人数乘样本中喜欢书法人数所占百分比可得，并估计全校有多少名学生喜欢书法人数.
37．下面是明明一天的活动情况统计图．
算出明明各种活动占用的时间．
【答案】解：24×41%=9.84(时)；24×33%=7.92(时)；24×8%=1.92(时)；24×14%=3.36(时)；24×4%=0.96(时)
答：睡觉9.84时，在校学习7.92时，写作业1.92时，玩3.36时，其他0.96时；
【解析】【分析】一天共有24小时，用一天的小时数分别乘各种活动占总时间的百分率即可求出各种时间所用的时间.
38．在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼.小丽在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制成如图所示的不完整的频数直方图(从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值)和扇形统计图.已知“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀.
（1）本次调查共抽取了多少名学生
（2）补全频数直方图.
（3）若全校共有1200名学生，则估计跳绳成绩为优秀的人数.
【答案】（1）解：本次调查共抽取学生人数为：
（2）解：本次调查共抽取学生人数为：
补全频数直方图如下
（3）解：跳绳成绩为优秀所占的比例为：
∴若全校共有1200名学生，则估计跳绳成绩为优秀的人数为：.
【解析】【分析】（1）用第二小组的人数除以对应的比例即可求解；
（2）计算出第四小组的频数，进而补全直方图即可；
（3）先计算出本次调查跳绳成绩为优秀所占的比例，进而用1200乘以所占的比例即可.
39． 某校以“我最喜爱的冰雪运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查运动项目有短道速滑，花样滑冰，速度滑冰，冰壶以及其他项目（每个同学必须选择且只能选择一个项目），并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）本次调查共抽取了多少名同学？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在学校举办的“共筑冰雪中国梦”的主题演讲比赛中，小明获得了一等奖，他可以在包装完全相同的A，B，C，D四枚冬奥纪念章中选取两枚，请用列表或画树状图法求出小明选到的纪念章恰好是“A”和“C”图案的概率．
【答案】（1）解：30÷25%＝120（名），
答：本次调查共抽取了120名同学．
（2）解：速度滑冰的人数为：120－24－30－18－12＝36（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中“A”和“C”图案的结果有2种，
∴P（恰好选中“A”和“C”图案）＝＝．
【解析】【分析】（1）利用“花样滑冰”的人数除以对应的百分比可得总人数；
（2）先求出“速度滑冰”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
40． 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，BD∥AC．
（1）图中∠OCD= °，理由是 ；
（2）⊙O的半径为3，AC=4，求OD的长．
【答案】解：（1）∵CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD，（圆的切线垂直于经过切点的半径）
∴∠OCD=90°；
故答案是：90，圆的切线垂直于经过切点的半径；
（2）连接BC．
∵BD∥AC，
∴∠ACB=∠OCD=90°，
∴在直角△ABC中，
BC===2，
∠A+∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠ABC，
∴∠A+∠BCO=90°，
又∵∠OCD=90°，
即∠BCO+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠A，
又∵∠CBD=∠ACB，
∴△ABC∽△CDB，
∴=，
∴=，
解得：CD=3．
由勾股定理可知，OD===3
【解析】【分析】（1）根据切线的性质定理，即可解答；
（2）首先证明△ABC∽△CDB，利用相似三角形的对应边的比相等即可求的CD长度，由勾股定理可求得OD长度．
41．如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为4，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：，
是半径，是的切线；
（2）解：连接，过作于，则
，．，．
，，，
．
，，
，，
阴影部分的面积
．
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、切线的判定进行证明；
（2）连接OE，过点O作，分别求出扇形和的面积，即可解决问题．扇形的面积公式为：.
42．如图，PA，PB切于点于点.若，求图中阴影部分的面积.
【答案】解：如图，连接AO，BO
∵ PA，PB切于点A，B，
∴ ∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB
∵于点
∴ ∠P=90°，
∴∠PAO=∠PBO=∠P=90°
∴ 四边形OAPB为正方形
∴ PA=AO=BO=4
∴ S阴影=S扇AOB-S△AOB ==
【解析】【分析】本题考查圆的切线性质，切线长定理及扇形面积，正方形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题关键。由PA，PB切于点A，B，∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB，由得∠P=90°，
可证四边形OAPB为正方形，得PA=AO=BO=4，根据扇形面积公式及三角形面积，可得S阴影=S扇AOB-S△AOB =.
43．如图1，在正方形中，，点与点重合，以点为圆心，作半径长为5的半圆，交于点，交的延长线于点，点是的三等分点（点在点的左侧）．将半圆绕点逆时针旋转，记旋转角为，旋转后，点的对应点为点．
（1）如图2，在旋转过程中，当经过点时．
①求的度数；
②求图中阴影部分的面积；
（2）在旋转过程中，若半圆与正方形的边相切，请直接写出点到切点的距离．
【答案】（1）解：①连接，如图所示：
∵点是的三等分点，
∴，
，
，
，
，
即
②观察可知：
作，如图所示：
，
，
，
，
，
∴
（2）或或
【解析】【解答】（2）解：①当半圆与相切时，如图所示：
设切点为点，连接并延长，交与点，连接，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
，
，
，
，
②当半圆与相切时，如图所示：
设切点为点，连接，过点作，
∵，
∴四边形为矩形，
，
，
，
③当半圆与相切时，如图所示：
综上所述：点到切点的距离为或或
【分析】（1）①连接，由题意可得，再根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
②作，根据扇形面积可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得，由三角形面积可得，再根据即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当半圆与相切时，设切点为点，连接并延长，交与点，连接，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，再根据勾股定理可得EH，根据边之间的关系可得AH，再根据勾股定理即可；当半圆与相切时，设切点为点，连接，过点作，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，根据边之间的关系可得OH，再根据勾股定理即可；当半圆与相切时，由边之间的关系即可求出答案.
（1）解：①连接，如图所示：
∵点是的三等分点，
∴，
，
，
，
，
即
②观察可知：
作，如图所示：
，
，
，
，
，
∴
（2）解：①当半圆与相切时，如图所示：
设切点为点，连接并延长，交与点，连接，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
，
，
，
，
②当半圆与相切时，如图所示：
设切点为点，连接，过点作，
∵，
∴四边形为矩形，
，
，
，
③当半圆与相切时，如图所示：
综上所述：点到切点的距离为或或
44．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=6.将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积。
【答案】解：如图，连接OD，
由折叠的性质可得，，，，，
，，
，
，
，
，
答：阴影部分周长为12+3π，面积为.
【解析】【分析】由折叠的性质可得DE=3，BD=6，由此证得是含有角的直角三角形，进而求得CD的长度，再通过弧长公式计算出阴影部分的周长，然后通过扇形的面积公式计算出阴影部分的面积.
45．已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是弧AB的中点．过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CF＝6，∠ACB＝60°，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：直线EF与⊙O相切，理由为：连接OD，如图所示：∵AC为⊙O的直径，∴∠CBA=90°又∵∠F=90°∴∠CBA=∠F∴AB‖EF∴∠AMO=∠EDO又∵D为弧AB的中点∴弧BD=弧AD∴OD⊥AB∴∠AMO=∠EDO=90°∴EF为⊙O的切线
（2）shan
解：在Rt△AEF中，∠ACB=60°
∴∠E=30°
又∵CF=6
∴CE=2CF=12
∴EF==6
在Rt△ODE中，∠E=30°
∴OD=OE
又∵OA=OE
∴OA=AE=OC=CE=4，OE=8
又∵∠ODE=∠F=90°，∠E=∠E
∴△ODE∽△CFE
∴，即
∴DE=4
又∵Rt△ODE中，∠E=30°
∴∠DOE=60°
∴ S阴影=S扇形OAD=×4×4-=8-
【解析】【分析】：（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥AB即可。
（2）先根据勾股定理求出EF的长，再根据相似三角形的判定和性质求出DE，阴影部分的面积等于△ODE的面积减去扇形OAD的面积即可。
46． 如图，是的外接圆，是的直径的中点，的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接交于点，若，，求DE和BP的长.
【答案】（1）解：连接OD，如图所示：
∵点D是的中点，
∴OD⊥AC，
∵DE是⊙O切线，
∴DE⊥OD，
∴DE∥AC
（2）解：设OD与AC交点为F，连接AD，则∠CAD=∠CBD，如图所示：
∵DE∥AC，
∴∠E=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠E，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠EDO=90°，
∴△ABC∽△EOD，
∴，
∵，AC=8，
∴AB=10，
∴，OD=5，
∴
∴，
∵，
∴DF=OD-OF=5-3=2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）连接OD，先根据垂径定理得到OD⊥AC，进而根据切线的性质得到DE⊥OD，再根据平行线的判定即可求解；
（2）设OD与AC交点为F，连接AD，则∠CAD=∠CBD，根据平行线的性质得到∠E=∠OCA，进而根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA，从而结合圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据相似三角形的判定与性质证明△ABC∽△EOD得到，从而根据余弦函数结合题意求出AB，运用勾股定理即可求出BC，代入比值即可求出DE，再根据勾股定理求出AD，进而根据余弦函数得到，从而得到，化简即可求出BP.
47．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连结OC，AC.
（1）求证：AC平分∠DAO.
（2）若∠DAO=105°，∠E=30°.
①求∠OCE的度数.
②若⊙O的半径为2 ，求线段EF的长.
【答案】（1）解：∵直线与⊙O相切，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD，
∴AD//OC，
∴∠DAC=∠OCA；
又∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC；
∴AC平分∠DAO.
（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°，
∴∠EOC=∠DAO=105°；
∵∠E=30°，
∴∠OCE=45°.
②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG，
∵OC=2，∠OCE=45°.
∴CG=OG=2，
∴FG=2；
∵在Rt△OGE中，∠E=30°，
∴GE=2，
∴EF=GE-FG=2-2.
【解析】【分析】（1）利用了切线的性质，平行线的判定和性质，等边对等角，角平分线的判定即可得证。
（2）①根据（1）得出的AD//OC，从而得出同位角相等，再利用三角形的内角和定理即可求出答案；②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG，根据等边对等角得出CG=OG=FG=2，在根据勾股定理得出GE，从而求出EF=GE-FG.
48．已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F.
（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；
（2）如图2，连接OC，若OC平分∠ACB，求证：AC=BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若tan∠ADB= ，AB=3 ，求DN的长.
【答案】（1）解：因为弦AC⊥弦BD， DE⊥BC于点E，所以∠ACB+∠DBE＝∠BDE+∠DBE=90°，
所以∠ACB＝∠BDE，
又因为∠ACB=∠ADB，
所以∠BDE=∠ADB，
所以BD平分∠ADF
（2）解：连接OB，OA，则△AOC，△BOC是等腰三角形，所以∠OCB=∠OBC， ∠OAC=∠OCA，
又因为OC平分∠ACB，
所以∠OCB==∠OCA，
所以∠OBC=∠OAC，
在△AOC和△BOC中，
，
所以△AOC≌△BOC，
所以AC=BC
（3）解：因为∠ACB=∠ADB，tan∠ADB= ，所以tan∠ACB= ，
所以 ，可设BH=3x，CH=4x，
由勾股定理得：BC=5x，
则AC=5x，所以AH=x，
因为AB= ，根据勾股定理得： ，
所以得： ， ，解得：x=3，
所以BC=15，
设等腰△ACB底边AB上的高为h，由勾股定理可得： ，
根据相似三角形性质可得： ，
即 ，解得BN= ，
根据勾股定理可得：DN= = .
【解析】【分析】（1）根据题意易知，∠ACB+∠DBE＝∠BDE+∠DBE=90°，可得∠ACB＝∠BDE，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ACB=∠ADB，等量代换可得∠BDE=∠ADB，可证BD平分∠ADF。
（2）连接OB，OA，易证△AOC，△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知∠OCB=∠OBC， ∠OAC=∠OCA，等量代换可得∠OBC=∠OAC，最后根据AAS判定△AOC≌△BOC，由全等三角形的性质可得AC=BC。
（3）由∠ACB=∠ADB，tan∠ADB= ，可得tan∠ACB= ，可设BH=3x，CH=4x，在Rt△AHB中利用勾股定理求得AH，BC，再根据勾股定理求得等腰△ACB底边AB上的高，根据相似三角形求得BN，再由勾股定理求得DN即可。
49． 在中，，，以为直径作，交于点，点是上的一个点．
（1）如图，若点是的中点，，垂足为，求证：直线是的切线；
（2）如图，连接，若，求的度数．
【答案】（1）解：证明：如图，连接、交于点，
是的直径，
，
点是的中点，
，
，
，
于点，
，
是的半径，且，
直线是的切线，
（2）解：如图，连接，作交的延长线于点，
是的直径，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
的度数是．
【解析】【分析】（1）连接、交于点，根据圆的性质，弧的性质可得，再根据直线平行性质，切线的判定定理即可求出答案；
（2）连接，作交的延长线于点，根据圆的性质及全等三角形的判定定理可得≌，再根据全等三角形性质直角三角形中正切值的定义可得AH=HP，再根据等边对等角，邻补角性质即可求出答案。
50．在等边中，将扇形按图1摆放，使扇形的半径分别与重合，，固定等边不动，让扇形绕点O逆时针旋转，线段也随之变化，设旋转角为．（）
（1）当时，旋转角___度；当时旋转角____度．
（2）发现：线段与有何数量关系，请仅就图2给出证明．
（3）应用：当A，C，D三点共线时，求的长．
（4）拓展：P是线段上任意一点，在扇形的旋转过程中，请直接写出线段的最大值_____与最小值________．
【答案】（1）60或240； 150或330；
（2）结论：，理由如下：
如图2中，
由旋转的性质可知：，
，
在和中，
，
，
；
（3）①如图3中，当、、共线时，作于．
在中，，，
，，
在中，，
．
②如图4中，当、、共线时，作于．
同理可得
∴，
（4），
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
是等边三角形，
，
当点在线段和线段的延长线上时，，
此时旋转角或；
如图1-1所示，过点O作于H，
∵，
∴三点共线，
∵是等边三角形，
∴，
∴此时；
当点C在线段上时，即点C在位置时，此时也满足，
∴此时；
综上所述，或，
故答案为60或240； 150或330；
综上所述，当、、三点共线时，的长为或；
（4）如图5中，由题意，点在以为圆心，2为半径的上运动，过点作于，直线交于、，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线，且时，有最小值，最小值为；
∵，
∴，
∴当在线段上，且点P与点B重合时，有最大值，最大值为，
综上所述，的最大值为，的最小值为，
故答案为：6；．
【分析】（1）根据等边三角形性质可得，分情况讨论：当点在线段和线段的延长线上时，，此时旋转角或，过点O作于H，则三点共线，根据等边三角形性质可得∠AOH，再根据补角可得；当点C在线段上时，即点C在位置时，此时也满足，根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据旋转性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当、、共线时，作于，根据含30°角的直角三角形性质可得CH，OH，根据勾股定理可得AH，再根据边之间的关系即可求出答案；②当、、共线时，作于，同理可得，根据边之间的关系即可求出答案.
（4）由题意，点在以为圆心，2为半径的上运动，过点作于，直线交于、，根据等边三角形判定定理可得，根据勾股定理可得OH，再根据边之间的关系可得，当三点共线，且时，有最小值，最小值为，再根据边之间的关系即可求出答案.
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