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【解答题强化训练·50道必刷题】苏科版数学八年级上册期末总复习
1．已知A，B，C为△ABC的三边，且a2+b2+b2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状，并说明理由
2．如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F．若BF=CE，则△ABC是等腰三角形．请说明理由．
3．如图，在中，．
（1）若的长是偶数，直接写出的值；
（2）若点A在的延长线上，点E、F在的延长线上，且求的度数．
4．如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点0是△ABC内的一点，∠BOC=130°.
（1）求证：OB=DC；
（2）求∠DCO的大小；
（3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形.
5．如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，求的长．
6．在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．
（1）求点A与点B之间的距离；
（2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．
7．如图，
在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝50°，∠ABE＝30°，求∠AED的大小．
8．如图，直线是一次函数的图象，且经过点和点．
（1）求和的值；
（2）求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
9．如图，某一次函数图象经过点 ，且与正比例函数 的图象交于点 ，求 的值和此一次函数的表达式．
10．如图所示﹐点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1 =∠3，∠E=∠C，AE=AC，求证：△ABC≌△ADE
11．如图，直线的解析式为，直线分别与轴、轴交于点、两点，直线经过点和，直线与相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）求的面积．
12．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．
13．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点M是的中点，点N是的中点，连接，若，求线段的最大值．
14．已知下列各数，回答问题：
（1）在如图所示的数轴上表示上述各数中的非负数(标在数轴上方，无理数标出大致位置)，并把它们用“<”连接.
（2）这几个数中介于-2与-1之间的数有 个.
15．如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=42°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当AC时，求∠BCD的度数.
16．如图，已知一个长方形的长为8，宽为4，请建立适当的直角坐标系，并求出A，B，C，D四点的坐标.
17．2023年12月18日，甘肃发生6.2级地震，辽宁省应急、交通等部门给予大力帮助.针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表：
甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨
第一次 3 4 27
第二次 4 5 35
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车a辆.求货车所需总费用w与a之间的函数关系式.
（3）在（2）的条件下，要使所需总费用最低，该如何安排拉货？最低总费用是多少？
18．已知一次函数，其中k≠-1．
（1）若点（-1，2）在的图象上，则k的值是 ．
（2）当-2≤x≤3时，若函数有最大值9，求的函数表达式；
（3）对于一次函数＝m（x-1）+6，其中m≠0，若对一切实数x，＜都成立，求k的取值范围．
19．如图，在线段AB的同侧作△PAB和△QAB，PB和QA相交于点O，M、N分别是边AQ、BP的中点，连结PQ，PM，MN，∠APQ=∠ABQ=90°．
（1）判断△PMN的形状，并说明理由；
（2）当AQ=26，BP=24时，求MN的长．
20．如图，在中，，．
（1）尺规作图：作的中垂线，交于点M，交于点N．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证：．
21．如图所示，某住宅小区在相邻两楼之间修建一个上方是半圆，下方是长方形的仿古通道，已知长方形的长AB＝4米，宽BC＝2.6米．现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？（参考数据： ≈1.7）
22．如图，△ABC的高AD＝6cm，BC＝9cm，点E在BD上，连接AE．设CE的长为x（cm），△ABE的面积为y（cm2），解答下列问题：
（1）求y与x之间的关系式；
（2）若CD＝4cm，当x为多少时，△ABE的面积比△ADE的面积大3cm2．
23． 2011年3月11日，日本大地震引发福岛核电站核泄漏，其中一种主要放射性元素是碘131，这种物质会不断蜕变为其他物质，平均每经过1天剩留的物质约为原来的91.7%．问3天后剩留的物质是原来的百分之几(精确到0.1%)？
24．某文具店准备用1000元购进甲、乙两种笔，甲种笔每支10元，乙种笔每支5元.考虑到顾客的需求，文具店购进的乙种笔的数量不少于甲种笔数量的6倍，且甲种笔不少于20支.设购进甲种笔x支，购进乙种笔y支.
（1）写出y关于z的函数表达式
（2）通过列不等式求出该文具店共有几种进货方案，
（3）若文具店销售每支甲种笔可获利润3元，销售每支乙种笔可获利润2元，在所有进货方案中，哪一种方案获利最大 最大利润是多少元
25．我国是一个严重缺水的国家.为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过8吨时，水价为每吨1.5元，超过8吨时，超过的部分按每吨2.2元收费，该市某户居民10月份用水x吨，应交水费y元.
（1）若0（2）若x>8，请写出户与x的函数关系式
（3）如果该户居民这个月交水费23元，那么这个月该户用了多少吨水
26．为调动实习员工工作的积极性，某公司出台了两种工资方案，实习员工任选其中一种方案与公司签订合同．方案一：月工资y（单位：元）与生产的产品数量x（单位：件）的函数关系如图所示；方案二：每生产一件产品可得25元．
（1）选择了工资方案一的实习员工甲，第一个月生产了60件产品，他该月得到的工资是多少元？
（2）某月实习员工乙发现，他选择方案一比选择方案二月工资多450元，求乙员工该月生产产品的数量．
27． 已知：关于的方程组的解满足等式．
（1）求m的值；
（2）求的平方根．
28．如图， 中， ，垂足为点D， ，垂足为点E， ， 和 交于点F，联结 ，试说明 ．
29．莲池区某学校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为米，立柱间距为3米．
立柱根数 1 2 3 4 5
护栏总长度（米）
（1）根据如图所示，将表格补充完整；
（2）设有根立柱，护栏总长度为米，则与之间的关系式是 ．
（3）求护栏总长度为93米时立柱的根数？
30．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算： ； ．
（2）若，写出满足题意的的整数值 ．
如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数， 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
31．现有长度分别为3cm，4cm，7cm，9cm的四根木条，从中选取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形木架．写出所有不同的选取方法．
32．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y(千米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需 分钟到达终点B.
33．如图，在 中，AD是角平分线，AE是高， ， ，求 的度数．
34．已知点在正比例函数图像上，过点作轴，垂足为，若的面积为8，求的值．
35．如图，矩形中，，点是上的一点，，的垂直平分线交的延长线于点，连接交于点，若是的中点．
（1）求的长；
（2）求出四边形的面积．
36． 某直播平台推销毛绒娃娃，毛绒娃娃的成本为每只10元，当售价为每个20元时，每天可销售30只．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售5只．设每个毛绒娃娃的售价为元，每天的销售量为个．
（1）与之间的关系式为 ；
（2）为了使每天利润达到315元，且要最大限度让利消费者，此时每只的售价为多少元？
37．下图为某小区绿化带示意图，已知，米，米，米，米．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）若铺设一平米草坪费用为元，请问将该绿化带铺满草坪需要多少钱？
38．如图，为的平分线，F是线段上一点，，，延长与线段相交于点D.
（1）求证：；
（2）若，，求的度数.
39．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的长．
40．已知在中，，点D是边AB上一点，．
（1）如图1，设，请用含的式子表示和；
（2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F．
①试说明的理由；
②如果是等腰三角形，求的度数．
41．如图，在中，、、的度数之比为，平分交于点．在中，，．如图①，的边在直线上，将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
（1）求、、的度数；
（2）在旋转过程中，如图②，当时，求的度数；
（3）如图③，当点在内部时，边、分别交、的延长线于、两点．
①的取值范围是______；
②与之间有一种始终保持不变的数量关系，请直接写出该数量关系．
42．
主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题
问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少．近期有一条运营线路处于亏损运营状态．
问题探究 （1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图像如图1所示），写出图1中点A和点B的实际意义．
（2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案．在讨论中，有乘客代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本．客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏．你认为图2和图3两个图示中，反映乘客代表意见的是_______，反映客运公司行政代表意见的是_______．
问题解决 （3）汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内每天的乘客数量如下表所示：星期一二三四五六日x/万人1.41.11.11.31.41.41.4经过讨论，得到三种扭亏方案，具体如下：
方案1：票价不变，将运营成本降低到0.8万元；
方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.8万元；
方案3：将运营成本降低到0.9万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元．
你认为哪种方案更有利于汽车客运公司扭转亏损？请说明理由
43．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB．
（1）求线段AC的长度．
（2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点．
①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S＝时，求t的值．
②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
44．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗 请按照下面的问题试一试：
（1）由，，可以确定是 位数，由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是 ，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定的十位上的数字是 ；
（2）已知32768，－274625都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根．
45．已知等边，点为边上一点，连接，在的右侧作射线，使，延长交射线于点，连接，作于点．
（1）如图1，当点为中点时，_______，的值为_______；
（2）如图2，当点在上运动时．
①直接写出的度数；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
46．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
（1）如图1，当点D在线段上，如果，则____________度；
（2）设，．
①找出图2中的一对全等三角形：______________，并写出其全等的依据：____________________；
②如图2，当点D在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明理由．
③当点D在直线上移动时，请直接写出，之间的数量关系
47．如图，直线AB与x轴交于点，交y轴于点，且满足，C的坐标为，且于点H，AH交OB于点P.
（1）如图1，写出点A、B的坐标，并证明；
（2）如图2，连接OH，求证：.
48．如图， 在 中， 的平分线交 于点 ， 过点 作 交 的延长线于点 ．
（1） 若 ， 则 的度数为 .
（2） 若 是 上的-点，且 与 相等吗？ 请说明理由．
49．如图1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转，得到矩形BEFG．
（1）当点E落在BD上时，则线段DE的长度等于 ；
（2）如图2，当点E落在AC上时，求△BCE的面积；
（3）如图3，连接AE、CE、AG、CG，判断线段AE与CG的位置关系且说明理由；
（4）在旋转过程中，请直接写出S△BCE+S△ABG的最大值．
50．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN．求△AMN的周长．
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【解答题强化训练·50道必刷题】苏科版数学八年级上册期末总复习
1．已知A，B，C为△ABC的三边，且a2+b2+b2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状，并说明理由
【答案】解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形．
【解析】【分析】先利用完全平方公式将代数式变形为，即可得到，再结合非负数之和为0的性质可得 ，，， 即可得到，因此可得 是等边三角形．
2．如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F．若BF=CE，则△ABC是等腰三角形．请说明理由．
【答案】解：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD=∠DEC=90°，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
在Rt△BFD和Rt△CED中
∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL)，
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形.
【解析】【分析】利用垂直的定义可证∠BFD=∠DEC=90°，利用线段的中点的定义可证得BD=CD，利用HL可证Rt△BFD≌Rt△CED，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠B=∠C，由此可证得结论.
3．如图，在中，．
（1）若的长是偶数，直接写出的值；
（2）若点A在的延长线上，点E、F在的延长线上，且求的度数．
【答案】（1）解：在中，，，
，
的长是偶数，
的长为4或6．
故答案为：4或6；
（2）解：，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系求出CD的取值范围，再根据偶数的定义确定取值；
（2）利用平行线的性质求出∠CBD的度数，根据三角形外角的性质求出∠BDE的度数，再求∠C的度数即可．
4．如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点0是△ABC内的一点，∠BOC=130°.
（1）求证：OB=DC；
（2）求∠DCO的大小；
（3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形.
【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠OAD=90°
∴∠BAC-∠CAO=∠OAD-∠CAO
∴∠DAC=∠OAB
在△AOB与△ADC中，
∴△AOB≌△ADC（SAS），
∴OB=DC；
（2）解∵∠BOC=130°，
∴∠BOA+∠AOC=360°-130°=230°，
∵△AOB≌△ADC
∠AOB=∠ADC，
∴∠ADC+∠AOC=230°，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴∠DAO=90°，
∴四边形AOCD中，∠DCO=360°-90°-230°=40°；
（3）解：当CD=CO时，
∵△AOD是等腰直角三角形，
∴∠ODA=45°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°
又∠AOB=∠ADC=α
∴α=115°；
当OD=CO时，
∴∠DCO=∠CDO=40°
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°
∴α=85°；
当CD=OD时，
∴∠DCO=∠DOC=40°
∠CDO=180°-∠DCO-∠DOC
=180°-40°-40°
=100°
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145°
∴α=145°；
综上所述：当a的度数为115°或85°或145°时，△COD是等腰三角形.
【解析】【分析】（1）根据SAS可证得△AOB≌△ADC，进而得出OB=DC；
（2）首先根据周角定义可得出∠BOA+∠AOC=360°-130°=230°，再根据全等三角形的性质得出∠AOB=∠ADC，进而得出∠ADC+∠AOC=230°，再根据 ∠DAO=90°， 根据四边形内角和定理即可得出∠DCO=360°-90°-230°=40°；
（3）当CD=CO时， 首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠COD=70°，再根据等腰直角三角形的性质得出∠AOD=45°，进而可得出α=230°-70°-45°=115°；当OD=CO时， ∠DCO=∠CDO=40° ，∠COD=100°，进而可得出α=230°-100°-45°=85°；当CD=OD时，∠DCO=∠DOC=40°，进而可得出α=230°-40°-45°=145°；综上所述：当a的度数为115°或85°或145°时，△COD是等腰三角形.
5．如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，求的长．
【答案】解：∵，
，（等边对等角）
∵，，
，
∵，
在△BDP和△CPE中
∴，
．
【解析】【分析】根据全等三角形的性质可知∠B=∠C，再根据三角形的外角性质，进行角之间的等量替换，可得出∠EPC=∠PDB，从而可证明，再根据全等三角形的性质即可求解．
6．在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．
（1）求点A与点B之间的距离；
（2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．
【答案】（1）解：由题意，得：；
∴；
∵；
∴海里.
（2）解：过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里．
∵；
∴；
∵；
∴；
∵；
∴；
则信号次数为（次）．
答：最多能收到15次信号．
【解析】【分析】（1）先求出∠ACB=90°，再利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）过点C作交于点H，在上取点M，N，先利用等面积法求出CH的长，再利用勾股定理求出NH的长，最后求解即可.
（1）由题意，得：；
∴；
∵；
∴海里；
（2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里．
∵；
∴；
∵；
∴；
∵；
∴；
则信号次数为（次）．
答：最多能收到15次信号．
7．如图，
在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝50°，∠ABE＝30°，求∠AED的大小．
【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴BD＝ED，
∴△DBE为等腰三角形；
（2）解：∵∠DEB＝∠ABE ， ∠ABE＝30°，
∴∠DEB＝30°，
∵ ∠A＝50°，
∴ ∠AED=180°- ∠A-∠ ABE-∠DEB=180°-50°-30°-30°=70°.
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质得∠DEB＝∠ABE，即可求得 △BDE是等腰三角形 ；
（2）根据（1）得∠DEB，再根据三角形内角和定理即可求得 ∠AED的度数.
8．如图，直线是一次函数的图象，且经过点和点．
（1）求和的值；
（2）求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
【答案】（1）解：将点和点代入
得：解得：，
直线的表达式为
（2）解：点
把代入，得解得：
点，即点
【解析】【分析】（1）把点和点代入中建立关于k、b的方程组，解之即可；
（2）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式计算即可.
9．如图，某一次函数图象经过点 ，且与正比例函数 的图象交于点 ，求 的值和此一次函数的表达式．
【答案】解：∵点B在函数y=-x上，点B的横坐标为-1，
∴y=1，
∴m=1
设这个一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）
把A（0，2），B（-1，1）代入，得 ，
解方程组，得 ，
∴这个一次函数的解析式为y=x+2
【解析】【分析】根据点B在函数y=-x上，点B的横坐标为-1，可以求得点B的坐标；根据待定系数法即可求得一次函数的解析式．
10．如图所示﹐点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1 =∠3，∠E=∠C，AE=AC，求证：△ABC≌△ADE
【答案】证明： ，
． 又 ，
，
即 ．
在 和 中，
．
【解析】【分析】利用8字形得到∠2=∠3，进而得到∠1=∠2，，利用ASA证明三角形全等即可.
11．如图，直线的解析式为，直线分别与轴、轴交于点、两点，直线经过点和，直线与相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：设直线的解析式为：，
直线经过点，，
，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：直线与轴交于点，
令，即：，
解得：，
，
直线与相交于点，
，
解得：，
，
，，
，
由图可知，在中，
边上的高点到轴的距离点纵坐标的绝对值，
．
【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，两直线的交点与二元一次方程组的解，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式.（1）先设直线的解析式为：，将点A和点B代入解析式可列出方程组，解方程组可求出k和b的值，进而可求出直线的解析式；
（2）令，先求出点的坐标，再联立直线、的解析式可列出方程组，解方程组可求出点的坐标，根据点A和E的坐标可求出线段的长，再求出高，利用三角形的面积公式进行计算可求出面积．
（1）解：设直线的解析式为：，
直线经过点，，
，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：直线与轴交于点，
令，即：，
解得：，
，
直线与相交于点，
，
解得：，
，
，，
，
由图可知，在中，
边上的高点到轴的距离点纵坐标的绝对值，
．
12．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．
【答案】解：如图，
设旗杆高度为x米，则，，而，
在中，，即，
解得：，
即旗杆的高度为17m．
【解析】【分析】设旗杆高度为x米，则，，而，利用勾股定理列出方程，再求出x的值即可。
13．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点M是的中点，点N是的中点，连接，若，求线段的最大值．
【答案】解：如图所示，连接，如图所示：
在中，，，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
由旋转的性质可得，，
∵点N是的中点，
∴，
∵，
∴当在线段上时，有最大值，最大值为9．
【解析】【分析】连接，先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，，再利用三角形三边的关系可得，从而可得当在线段上时，有最大值，最大值为9．
14．已知下列各数，回答问题：
（1）在如图所示的数轴上表示上述各数中的非负数(标在数轴上方，无理数标出大致位置)，并把它们用“<”连接.
（2）这几个数中介于-2与-1之间的数有 个.
【答案】（1）解：非负数有 0、 、 、π，在数轴上标示如下：
于是可得 .
（2）2
【解析】【解答】解：（2）∵，，
∴-1＜-1，5＜-2，，即 这几个数中介于-2与-1之间的数有 2个.
故答案为：2.
【分析】（1）先找出非负数，然后再数轴上标示，根据标示判断数的大小；
（2）解答关键在于知道的近似值.
15．如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=42°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当AC时，求∠BCD的度数.
【答案】解：∵AC=BC，∠B=42°，
∴，
∵AC，
∴，
∵点B关于直线CD的对称点为，
∴，
∴.
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠A=∠B=42°，根据平行线的性质可得∠ADB′=∠A=42°，由轴对称的性质可得∠CDB′=∠CDB=×(42°+180°)=111°，然后根据内角和定理计算即可.
16．如图，已知一个长方形的长为8，宽为4，请建立适当的直角坐标系，并求出A，B，C，D四点的坐标.
【答案】解：如图，以C为原点，CB为x轴，CD为y轴建立直角坐标系．
∴A（8，4），B（8，0），C（0，0），D（0，4）．（答案不唯一）
【解析】【分析】以点C为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出点A、B、C、D的坐标即可．
17．2023年12月18日，甘肃发生6.2级地震，辽宁省应急、交通等部门给予大力帮助.针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表：
甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨
第一次 3 4 27
第二次 4 5 35
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车a辆.求货车所需总费用w与a之间的函数关系式.
（3）在（2）的条件下，要使所需总费用最低，该如何安排拉货？最低总费用是多少？
【答案】（1）解：设甲、乙两种货车每辆分别能装货和吨，由题意列方程组得：
解得：
答：甲、乙两种货车每辆分别能装货5和3吨
（2）解：由题意知：
（3）解：中，50>0
随的增大而增大
当时，有最小值，最小值为2250
即全部使用乙种货车运送花费最小
【解析】【分析】（1）分别设出甲乙两种货车的装载量，再根据等量关系列方程组并解方程组即可；
（2）因为共有5辆货车，其中甲种货车a辆，则乙种货车为（5-a）辆，则甲种货车运费为500a元，乙种货车费用为元，则两种货车的费用和即为总费用；
（3）整理总费用与之间的函数关系式，可发现是的一次函数，而且一次项系数是正数，则随的增大而增大，即当取最小值时有最小值，由于车辆数最大不超过5，最小不超过0，显然当等于0时，总费用最小.
18．已知一次函数，其中k≠-1．
（1）若点（-1，2）在的图象上，则k的值是 ．
（2）当-2≤x≤3时，若函数有最大值9，求的函数表达式；
（3）对于一次函数＝m（x-1）+6，其中m≠0，若对一切实数x，＜都成立，求k的取值范围．
【答案】（1）0
（2）解：当k+1＞0，即k＞-1时，则x＝3时，y＝9，
把（3，9）代入＝（k+1）x-2k+3得3（k+1）-2k+3＝9，解得k＝3，此时一次函数解析式为＝4x-3；
当k+1＜0，即k＜-1时，则x＝-2时，y＝9，
把（-2，9）代入＝（k+1）x-2k+3得-2（k+1）-2k+3＝9，解得k＝-2，此时一次函数解析式为＝-x+7；
综上，的函数表达式为＝4x-3或＝-x+7．
（3）解：y2＝m（x-1）+6＝mx-m+6，
∵对一切实数x，＜都成立，
∴k+1＝m且-2k+3＜-m+6，
∴-2k+3＜-k-1+6，
解得k＞-2．
【解析】【分析】 (1)、把点（-1，2）代入即可求出.
(2)、当k+1＞0，即k＞-1时，则x＝3时，y＝9，把（3，9） 代入求出解析式. 当k+1＜0，把（-2，9） 代入求出解析式.
(3)、 根据题意，＜，代入求出即可.
19．如图，在线段AB的同侧作△PAB和△QAB，PB和QA相交于点O，M、N分别是边AQ、BP的中点，连结PQ，PM，MN，∠APQ=∠ABQ=90°．
（1）判断△PMN的形状，并说明理由；
（2）当AQ=26，BP=24时，求MN的长．
【答案】（1）解：△PMN为直角三角形，理由如下：
如图，连结BM，
∵∠APQ=∠ABQ=90°，点M是AQ的中点
∴PM=AQ，BM=AQ，
∴PM=BM
又∵N为PB的中点
∴MN⊥PB
∴△PMN为直角三角形
（2）解：由(1)知PM=AQ，
∵AQ=26
∴PM=13
又∵N为BP的中点，且BP=24
∴PN=BP=12
∵MN⊥PB
∴MN2=PM2-PN2=25
∴MN=±5
又∵MN>0
∴MN=5
【解析】【分析】(1)连结BM，由直角三角形斜边中线的性质可证 PM＝BM，再由等腰三角形三线合一的性质证明 即可；
(2)先求出PM和PN的长，再利用勾股定理求解即可.
20．如图，在中，，．
（1）尺规作图：作的中垂线，交于点M，交于点N．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证：．
【答案】（1）解：如图所示，直线即为所求，
（2）解：如图，连接
∵，
∴
∵的中垂线，交于点M，交于点N
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【解析】【解答】解：（1）根据中垂线的尺规作图方法，利用圆规以点A和点C为圆心，以大于为半径画弧得到两个交点，过两交点作直线即为所求中垂线，同时标上点M和点N即可.
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、中垂线的尺规作图和性质以及三角形内角和定理；（1）根据中垂线的尺规作图方法，利用圆规以点A和点C为圆心，以大于为半径画弧得到两个交点，过两交点作直线即为所求中垂线；
（2）连接，根据等腰三角形性质得出且底角为72°，根据中垂线的性质（ 中垂线上任意一点到线段两端的距离相等）得出，结合等角对等边得到，则，则，即可得出．
21．如图所示，某住宅小区在相邻两楼之间修建一个上方是半圆，下方是长方形的仿古通道，已知长方形的长AB＝4米，宽BC＝2.6米．现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？（参考数据： ≈1.7）
【答案】解：如图，
过直径的中点O，作直径CD的垂线交下底边于点F，
如图所示，在Rt△MNO中，由题意知OM=2米，EF=ON=1米，
所以MN= ，
因为 +2.6≈4.3＞4，
所以卡车可以通过．
答：卡车可以通过．
【解析】【分析】在直角三角形OMN中，根据勾股定理求出MN的长，判断即可。
22．如图，△ABC的高AD＝6cm，BC＝9cm，点E在BD上，连接AE．设CE的长为x（cm），△ABE的面积为y（cm2），解答下列问题：
（1）求y与x之间的关系式；
（2）若CD＝4cm，当x为多少时，△ABE的面积比△ADE的面积大3cm2．
【答案】（1）解：，的长为，
，
的高，
的面积，
与之间的关系式为：；
（2）解：，
，
的面积，
的面积比的面积大
，
解得：，
当时，的面积比的面积大．
【解析】【分析】（1）先根据题意得到BE=9-x，进而根据三角形的面积公式结合题意即可求解；
（2）先根据题意求出DE=x-4，进而根据三角形的面积结合题意即可列出一元一次方程，从而即可求解。
23． 2011年3月11日，日本大地震引发福岛核电站核泄漏，其中一种主要放射性元素是碘131，这种物质会不断蜕变为其他物质，平均每经过1天剩留的物质约为原来的91.7%．问3天后剩留的物质是原来的百分之几(精确到0.1%)？
【答案】解：设原来的质量为1，
由题意得：1×91.7%×91.7%×%91.7≈77.1%.
答：3天后剩留的物质是原来的77.1%.
【解析】【分析】设原来的质量为1，根据题意得1×91.7%×91.7%×%91.7，根据有理数的乘方法则计算即可求解.
24．某文具店准备用1000元购进甲、乙两种笔，甲种笔每支10元，乙种笔每支5元.考虑到顾客的需求，文具店购进的乙种笔的数量不少于甲种笔数量的6倍，且甲种笔不少于20支.设购进甲种笔x支，购进乙种笔y支.
（1）写出y关于z的函数表达式
（2）通过列不等式求出该文具店共有几种进货方案，
（3）若文具店销售每支甲种笔可获利润3元，销售每支乙种笔可获利润2元，在所有进货方案中，哪一种方案获利最大 最大利润是多少元
【答案】（1）解：由题意得10x+5y=1000，解得y=-2x+200
（2）解：结合题意，可知y≥6x，
将y=-2x+200代入，得-2x+200≥6x，解得x≤25，
又由条件可知x≥20，可得20≤x≤25，
由于x是正整数，所以x可取20，21，22，23，24，25，
所以共有6种进货方案.
（3）解：设获得的利润为W 元，
则有W=3x+2y=3x+2(-2x+200)=-x+400，
利润W 随x的增大而减小，所以当x=20时，该文具店获得最大利润，最大利润为380元.
故当购进20支甲种笔，160支乙种笔时，该文具店获得最大利润380元.
【解析】【分析】(1)根据购进甲种笔x支，购进乙种笔y支，根据购进甲、乙两种笔的总金额为1000元，即可得出y关于x的函数表达式；
(2)根据“购进的乙种笔的数量不少于甲种笔数量的6倍，且甲种笔不少于20支”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数即可得出进货方案的个数；
(3)设利润为w元，根据总利润=单支利润×销售数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题.
25．我国是一个严重缺水的国家.为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过8吨时，水价为每吨1.5元，超过8吨时，超过的部分按每吨2.2元收费，该市某户居民10月份用水x吨，应交水费y元.
（1）若0（2）若x>8，请写出户与x的函数关系式
（3）如果该户居民这个月交水费23元，那么这个月该户用了多少吨水
【答案】（1）解：根据题意可知：
当时，
（2）解：根据题意可知：
当时，
（3）解：当时，，
的最大值为（元，，
该户当月用水超过8吨．
令中，则，
解得：．
答：这个月该户用了13吨水．
【解析】【分析】（1）根据题干中的收费方法直接列出函数解析式即可；
（2）根据题干中的收费方法直接列出函数解析式即可；
（3）先判断出该户当月用水超过8吨，令中，则， 再求出x的值即可.
26．为调动实习员工工作的积极性，某公司出台了两种工资方案，实习员工任选其中一种方案与公司签订合同．方案一：月工资y（单位：元）与生产的产品数量x（单位：件）的函数关系如图所示；方案二：每生产一件产品可得25元．
（1）选择了工资方案一的实习员工甲，第一个月生产了60件产品，他该月得到的工资是多少元？
（2）某月实习员工乙发现，他选择方案一比选择方案二月工资多450元，求乙员工该月生产产品的数量．
【答案】（1）解：设当时，月工资y（元）与生产的产品数量x（件）的关系式为，
由图象知点，，
代入得：，
解得：，
月工资y（元）与生产的产品数量x（件）的关系式为，
当时
，
答：他该月得到的工资是1800元．
（2）解：由题意可知，当时，不满足题意；
当时，，
解得：，
所以该实习员工生产产品的件数为70件．
【解析】【分析】（1）根据题意待定系数法求出方案一中的函数解析式，进而代入即可求解；
（2）根据选择方案一比选择方案二月工资多450元即可列出一元一次方程，进而即可求解。
27． 已知：关于的方程组的解满足等式．
（1）求m的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：依题意可得：
，
得：；
解得；
将代入，则
解得；
将和代入，
解得；
（2）解：依题意，
则；
∴的平方根为．
【解析】【分析】（1）根据题意，可建立关于x，y和m的三元一次方程组，利用加减消元法求解即可；
（2）先对代数式代入求值，再求平方根即可.
28．如图， 中， ，垂足为点D， ，垂足为点E， ， 和 交于点F，联结 ，试说明 ．
【答案】解：∵ ， （已知），
∴ ， ， （垂直的意义），
∴ （等量代换）.
∵ ，
∴ （等量代换）.
∵ （对顶角相等），
∴
在 与 中，
∴ （ASA），
∴ （全等三角形的对应边相等），
∴ .
∵ ，
∴ ．
【解析】【分析】由“ASA”可证出，可得出 ，由等腰三角形的性质可得结论。
29．莲池区某学校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为米，立柱间距为3米．
立柱根数 1 2 3 4 5
护栏总长度（米）
（1）根据如图所示，将表格补充完整；
（2）设有根立柱，护栏总长度为米，则与之间的关系式是 ．
（3）求护栏总长度为93米时立柱的根数？
【答案】（1）解将表格补充完整：
立柱根数 1 2 3 4 5
护栏总长度（米）
（2）
（3）解：当时，，
解得：，
即护栏总长度为93米时立柱的根数为30根．
【解析】【解答】（1）解：当有3根立柱时，（米），
当有5根立柱时，（米）；
将表格补充完整：
立柱根数 1 2 3 4 5
护栏总长度（米）
故答案为：6.6；13；
（2）解：根据题意得：与之间的关系式为：
；
故答案为：；
【分析】（1）根据题干中“每根立柱宽为米，立柱间距为3米”列出算式求解即可；
（2）参照（1）的计算方法列出函数解析式即可；
（3）将y=93代入解析式求出x的值即可.
（1）解：当有3根立柱时，（米），
当有5根立柱时，（米）；
将表格补充完整：
立柱根数 1 2 3 4 5
护栏总长度（米）
（2）解：根据题意得：与之间的关系式为：
；
（3）解：当时，，
解得：，
即护栏总长度为93米时立柱的根数为30根．
30．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算： ； ．
（2）若，写出满足题意的的整数值 ．
如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数， 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
【答案】（1）2，5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255
【解析】【解答】解：（1），，，
，
，，
故答案为：2，5；
（2），，且，
，2，3，
故答案为：1，2，3；
（3）第一次：，
第二次：，
第三次：，
故答案为：3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：，，，
对255只需进行3次操作后变为1，
∵，，，，
对256只需进行4次操作后变为1，
只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255；
故答案为：255．
【分析】（1）先估算和的大小，再利用定义分析求解即可；
（2）先根据定义求出，再求出满足题意的的整数值；
（3）先利用定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
31．现有长度分别为3cm，4cm，7cm，9cm的四根木条，从中选取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形木架．写出所有不同的选取方法．
【答案】解：有两种不同的选法：3cm，7cm，9cm；4cm，7cm，9cm
【解析】【分析】3+4=7，因此3和4不能同时出现，所以有3、7、9和4、7、9两种方法.
32．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y(千米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需 分钟到达终点B.
【答案】78
【解析】【解答】解：由纵坐标看出甲行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟
∴甲的速度为：（千米/分钟）
由图可得AB两地距离为16千米
设乙的速度为x千米/分钟，由题意可得：
，解得：（千米/分钟）
相遇后乙到A站还需分钟
甲到B站还需分钟
当乙到达终点A时，甲还需80－2=78分钟到达B站
故答案为：78
【分析】由图可得甲行驶1千米用了6分钟，则甲的速度为（千米/分钟），设乙的速度为x千米/分钟，根据题意建立方程 ，解方程可得乙速度，再根据时间=路程÷速度即可求出答案.
33．如图，在 中，AD是角平分线，AE是高， ， ，求 的度数．
【答案】解：∵ 中， 是角平分线， 是高，
∴ ， 是直角三角形
又∵ ，
即
解得 .
【解析】【分析】 在 中， 是角平分线， 是高，得出 是直角三角形 ， ， 因为 ， ，得出 ，由此得出 的度数．
34．已知点在正比例函数图像上，过点作轴，垂足为，若的面积为8，求的值．
【答案】解：由题意得：，，
∴，
∴，
∴或，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
综上，的值为或．
【解析】【分析】由题意可知三角形OAB是直角三角形，点A横坐标是4，故OB等于4，且三角形OAB的面积已知，利用三角形OAB的面积可求得AB长，从而求得m的值，进而代入正比例函数求得未知系数k的值。
35．如图，矩形中，，点是上的一点，，的垂直平分线交的延长线于点，连接交于点，若是的中点．
（1）求的长；
（2）求出四边形的面积．
【答案】（1）解：∵矩形中，，是的中点，
∴，，
在和中，
≌，
，，
设，则，，
∵的垂直平分线交的延长线于点，
∴
，
∵在中，，
∴
解得，
则；
（2）解：由题可知，
．
【解析】【分析】（1）首先可证明△DGE≌△CGF，从而得出，DE=CF，DG=CG=2，EG=FG，若设DE=x，则CF=x，EF=BF=AD=4+2x，所以可得EG=2+x，然后在Rt△DEG中，可根据勾股定理列出含x的方程式，解方程即可求得x的值，进一步求得BC的长即可；
（2）把四边形BCGE的面积转化成矩形ABCD的面积-Rt△ABE的面积-Rt△DEG的面积，即可求得结果。
36． 某直播平台推销毛绒娃娃，毛绒娃娃的成本为每只10元，当售价为每个20元时，每天可销售30只．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售5只．设每个毛绒娃娃的售价为元，每天的销售量为个．
（1）与之间的关系式为 ；
（2）为了使每天利润达到315元，且要最大限度让利消费者，此时每只的售价为多少元？
【答案】（1）
（2）解：由题意可得：(-5x+130)(x-10)=315，
整理得：x2-36x+323=0，
解得：x1=17，x2=19(不符合题意，舍去)，
答：此时每只的售价为17元
【解析】【解答】解：(1)由题意得：y=30+(20-x)×5=-15+130
∴y与x之间的函数关系式为：y=-5x+130，
故答案为：y=-5x+130.
【分析】(1)已知售价每降1元，销量增加5只，原售价20元时销量30只，当售价为x元时，降价了(20-x)元，因此销量增量为5(20-x)，进而即可求解；
(2)利用利润=单只利润×销量，建立方程，求解满足条件的售价.
37．下图为某小区绿化带示意图，已知，米，米，米，米．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）若铺设一平米草坪费用为元，请问将该绿化带铺满草坪需要多少钱？
【答案】（1）解：△ACD为直角三角形，理由如下：
∵AB=3，BC=4，∠ABC=90°
，
∵CD=12，AD=13
，
∴∠ACD=90°
∴△ACD为直角三角形.
（2）解：
∴总费用为：36×100=3600(元)
答：将该绿化带铺满草坪需要3600元
【解析】【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用和三角形面积计算公式，熟知勾股定理及逆定理是解题关键；勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；
（1）根据勾股定理：在Rt△ABC中，，可求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理可得：，由此可知：∠ACD=90°，即△ACD为直角三角形，由此可得出结论；
（2）根据三角形的面积公式：，再结合组合图形的面积：代入数据可得出，进而可求出总费用，即可得出答案．
38．如图，为的平分线，F是线段上一点，，，延长与线段相交于点D.
（1）求证：；
（2）若，，求的度数.
【答案】（1）证明：为的角平分线，
在与中，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
∴，
，即
，
，
【解析】【分析】（1）由角平分线可得相等的角度，由此可证明三角形全等，可证得结果；
（2）利用垂直关系和平行线的性质可算得最终结果.
39．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的长．
【答案】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，
∴DE=DF=2，
∵S△ABC=7，
∴S△ADB+S△ADC=7，
∴ ×AB×DE+ ×AC×DF=7，
∴ ×4×2+ ×AC×2=7，
解得：AC=3．
【解析】【分析】过D作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质可得DE=DF=2，由S△ABC=S△ADB+S△ADC=7，结合三角形的面积公式就可求出AC的值.
40．已知在中，，点D是边AB上一点，．
（1）如图1，设，请用含的式子表示和；
（2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F．
①试说明的理由；
②如果是等腰三角形，求的度数．
【答案】（1）解：∵在中，，
∴，
∴
；
（2）解：①∵，∴，
∴，
设，则，
由（1）可得，
∴，
∴；
②∵是的一个外角，
∴，
分三种情况：
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∵，
∴不存在，
综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或．
【解析】【分析】（1）根据 和 可得，再根据，可得，即可求解；
（2）①由可得，得到，设，则，由（1）可得，再根据三角形内角和定理可得，即可解答；
②由三角形外角的性质可得，根据是等腰三角形分三种情况：；；；利用等腰三角形的性质，求解即可．
（1）解：∵在中，，
∴，
∴
；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
设，则，
由（1）可得，
∴，
∴；
②∵是的一个外角，
∴，
分三种情况：
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∵，
∴不存在，
综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或．
41．如图，在中，、、的度数之比为，平分交于点．在中，，．如图①，的边在直线上，将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
（1）求、、的度数；
（2）在旋转过程中，如图②，当时，求的度数；
（3）如图③，当点在内部时，边、分别交、的延长线于、两点．
①的取值范围是______；
②与之间有一种始终保持不变的数量关系，请直接写出该数量关系．
【答案】（1）解：在中，，，的度数之比为，
，
，
；
（2）解：，
，
，．
，
；
（3）①；②．
【解析】【解答】解：（3）①当与重合时，为最小值，
，
；
当与重合时，为最大值，此时，
，
故答案为：；
②，理由如下：
如图，连接，
，
，
在中，
，
．
【分析】
（1）根据三角形内角和是，再按比例，分配进行计算即可；
（2）根据平行线的性质得内错角相等，由垂直的定义再根据角的和差关系进行计算即可解答；
（3）①根据“端值”检测计算，即当与重合时最小值，当与重合时最大值；②连接，根据三角形内角和定理进行计算即可．
（1）解：在中，，，的度数之比为，
，
，
；
（2）解：，
，
，．
，
；
（3）解：①当与重合时，为最小值，
，
；
当与重合时，为最大值，此时，
，
故答案为：；
②，理由如下：
如图，连接，
，
，
在中，
，
．
42．
主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题
问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少．近期有一条运营线路处于亏损运营状态．
问题探究 （1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图像如图1所示），写出图1中点A和点B的实际意义．
（2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案．在讨论中，有乘客代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本．客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏．你认为图2和图3两个图示中，反映乘客代表意见的是_______，反映客运公司行政代表意见的是_______．
问题解决 （3）汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内每天的乘客数量如下表所示：星期一二三四五六日x/万人1.41.11.11.31.41.41.4经过讨论，得到三种扭亏方案，具体如下：
方案1：票价不变，将运营成本降低到0.8万元；
方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.8万元；
方案3：将运营成本降低到0.9万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元．
你认为哪种方案更有利于汽车客运公司扭转亏损？请说明理由
【答案】解：（1）点的实际意义是客运公司的运营成本为1万元，点的实际意义是乘客有1.5万人时客运公司利润为0；
（2）图3，图2；
（3）该线路一周内乘客数量为（万人），每天乘客数量平均为（万人），
设原来与的函数关系式为，把，代入，
得，解得，
原来与的函数关系式为；
方案1：票价不变，将运营成本降低到0.8万元，此时与的函数关系式为，
令得，
客运公司平均每天利润为万元；
方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.8万元，此时，
令得，
客运公司平均每天利润为0.04万元；
方案3：将运营成本降低到0.9万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元，此时，
令得，
客运公司每天平均利润为0.075万元；
，
方案3更有利于汽车客运公司扭转亏损．
【解析】【解答】解：（2）观察图像可知，反映乘客代表意见的是图3，反映客运公司行政代表意见的是图2；
故答案为：（2）图3，图2；
【分析】（1）根据图像，首先确定，的坐标分别为（0，-1）和（1.5，0），即当x=0时，利润y=-1，意味着客运公司的运营成本为1万元；当x=1.5时，利润y=0，意味着乘客有1.5万人时客运公司利润为0；
（2）根据乘客代表意见“降低运营成本”，可以发现图3符合该条件；客运公司行政代表意见“ 提高票价 ”，可以发现图2符合该条件；
（3）分别求出3中方案的利润，再比较即可．
43．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB．
（1）求线段AC的长度．
（2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点．
①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S＝时，求t的值．
②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）把代入得：，
一次函数解析式为，
令，得，
∴，
在中，，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
；
（2）①设，
∴P在线段AB上，
∴，
设直线AC的解析式为，代入，得：
，
∴，
∴，
又∵轴，则，
∴，
，
又∵，
∴得．
②如图所示，当N点在轴下方时，
∵，
∴，
∴，
∵是以PM为直角边的等腰直角三角形，
当时，，，
设，
过P点作直线轴，作，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，作，则，
∵，
∴，
∴M在直线AB上，
∴
，
∴，
∴．
当N点在x轴上方时，如图所示：
点与关于对称，
则，即，
综上：存在一点或，使是以MN为直角边的等腰直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入一次函数解析式可得一次函数解析式为，根据y轴上点的坐标特征可得，根据勾股定理可得AB=5，则，根据两点间距离可得，则，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①设，则，设直线AC的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得，根据两点间距离可得PQ，再根据，结合三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（3）②分情况讨论：当N点在轴下方时，根据边之间的关系可得，当时，，，设，过P点作直线轴，作，，根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，作，则，则，将点M坐标代入直线AB解析式即可求出答案；当N点在x轴上方时，根据对称性质即可求出答案.
44．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗 请按照下面的问题试一试：
（1）由，，可以确定是 位数，由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是 ，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定的十位上的数字是 ；
（2）已知32768，－274625都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根．
【答案】（1）2；9；3
（2）解：由，，可以确定是2位数，
由32768的个位上的数是8，可以确定的个位上的数字是2，
如果划去32768后面的三位768得到数32，而，，
由此可以确定的十位上的数字是3，∴；
由，，可以确定是2位数，
由274625的个位上的数是5，可以确定的个位上的数字是5，
如果划去274625后面的三位625得到数274，而，，
由此可以确定的十位上的数字是6，
∴，
∴．
【解析】【解答】解：（1）∵103=1000，1003=1000000，
是两位数，
∵59319的个位上的数是9，
的个位数字是9
∵划去59319后面的三位319得到数59，33=27，43=64，
的十位数字是3.
故答案为：2；9；3；
【分析】（1）根据题中所给的估算方法先求出这59319的立方根是两位数，继续分析求出个位数和十位数即可；
（2）利用（1）中的方法推算出32768、-274625的立方根.
45．已知等边，点为边上一点，连接，在的右侧作射线，使，延长交射线于点，连接，作于点．
（1）如图1，当点为中点时，_______，的值为_______；
（2）如图2，当点在上运动时．
①直接写出的度数；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1），
（2）解：①；②，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【解答】（1）解：如图，当点为中点时，等边，
∴，，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：60，；
（2）解：①∵，，
∴由八字形可得：，
【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，由三角形外角性质德∠AEH=60°，则，利用含30°的直角三角形所对的直角边等于斜边的一半得；
（2）①利用三角形的内角和定理可得；②如图，在上截取，连接，证明，可得，再证明，则．
（1）解：如图，当点为中点时，等边，
∴，，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：60，；
（2）①∵，，
∴由八字形可得：，
②，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
46．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
（1）如图1，当点D在线段上，如果，则____________度；
（2）设，．
①找出图2中的一对全等三角形：______________，并写出其全等的依据：____________________；
②如图2，当点D在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明理由．
③当点D在直线上移动时，请直接写出，之间的数量关系
【答案】（1）解：，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：90；
（2）①，；
②，理由如下：
，，，
．
即．
在与中，
，
，
．
．
，
，
，
，
故答案为：．
③
（Ⅰ）当点在线段的延长线上时，．理由如下：
如图，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
，
．
，
，
，
．
（Ⅱ）当点在线段上时，
②已证明：；
(Ⅲ)当点在线段的延长线上移动时，．理由如下：
如图，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
即，
综上可知：或．
故答案为：或．
【解析】【分析】（1）首先证明，可得出，再根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=45°，进一步得出∠BCE=90°；
（2）①，根据SAS即可证得；
②，首先根据SAS可证得，可得，即可得出，然后根据三角形内角和即可得出；
③分三种情况，可分别结合图形证明。在转化成角度相等，可分别得出：点在线段的延长线上，；在线段上时，；在线段的延长线上时，；
（1）解：，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：90；
（2）①，
理由如下：
，，，
，
，
在和中，
，
，
故答案为：，；
②，理由如下：
，，，
．
即．
在与中，
，
，
．
．
，
，
，
，
故答案为：．
③
（Ⅰ）当点在线段的延长线上时，．理由如下：
如图，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
，
．
，
，
，
．
（Ⅱ）当点在线段上时，
②已证明：；
(Ⅲ)当点在线段的延长线上移动时，．理由如下：
如图，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
即，
综上可知：或．
故答案为：或．
47．如图，直线AB与x轴交于点，交y轴于点，且满足，C的坐标为，且于点H，AH交OB于点P.
（1）如图1，写出点A、B的坐标，并证明；
（2）如图2，连接OH，求证：.
【答案】（1）解：∵，
∴，，∴，，
∴，，则.
∵即，，
∴，
∴.
在与中，
，
∴.
（2）证明：方法一：等面积法
过O分别作于M点，作于N点，
由得
，
∴
∴OH平分.
∴
方法二：全等三角形
由（1）的，.
在和中，
，
∴.
∴.……9分
∴OH平分，∴
【解析】【分析】（1）根据一个正数的算数平方根大于等于零，一个数的平方大于等于零，求出a，b，即可知点A，B的坐标；利用已知等量代换即可求证。
（2）过O分别作于M点，作于N点，由结论(1)推出OM=ON，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上即可求证，或根据，对应边相等也可得证。
48．如图， 在 中， 的平分线交 于点 ， 过点 作 交 的延长线于点 ．
（1） 若 ， 则 的度数为 .
（2） 若 是 上的-点，且 与 相等吗？ 请说明理由．
【答案】（1）32.5°
（2）解：． 理由： 平分 ．
．
．
，
．
在 与 中，
，
【解析】【解答】（1）解：∵AB=AC，∴，∵，∴∵BE为∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=32.5。，∵AE∥BC，∴.故答案为：.
【分析】（1）本题主要考查等腰三角形的性质与平行线的性质，首先根据等腰三角形的底角相等，已知顶角，可以求出底角的度数，再根据角平分线的定义可以求出∠CBD的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠E的度数；
（2）通过AAS证明△ABD≌△AEF，再根据等全等三角形的对应边相等得出BD=EF，再根据等式的基本性质证出BF=DE.
49．如图1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转，得到矩形BEFG．
（1）当点E落在BD上时，则线段DE的长度等于 ；
（2）如图2，当点E落在AC上时，求△BCE的面积；
（3）如图3，连接AE、CE、AG、CG，判断线段AE与CG的位置关系且说明理由；
（4）在旋转过程中，请直接写出S△BCE+S△ABG的最大值．
【答案】（1）2
（2）解：如图2，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC＝5，
由旋转得，BE＝AB，
过点BM⊥AC于M，
∴AE＝2AM，
∵S△ABC＝AB BC＝AC BM，
∴BM＝＝，
在Rt△ABM中，根据勾股定理得，AM＝＝，
∴AE＝，
∴S△BCE＝S△ABC-S△ABE＝AB BC-AE BM＝×3×4-××＝；
（3）解：AE⊥CG，理由：如图3，
AE与BC的交点记作点P，AE与CG的交点记作Q，
由旋转知，∠ABE＝∠CBG，由旋转知，AB＝BE，
∴∠BAE＝（180°-∠ABE）＝（180°-∠CBG），
由旋转知，BC＝BG，
∴∠BCG＝（180°-∠CBG），
∴∠BAE＝∠BCG，
∵∠APB＝∠CPE，
∴∠CQP＝∠ABC＝90°，
∴AE⊥CG；
（4）解：如图4，
延长AB至E'，使BE'＝BE，连接GE'，过点G作GH⊥AB于H，
∴AE'＝AB+BE'＝6，
∵∠EBG＝∠CBE'＝90°，
∴∠CBE＝∠GBE'，
由旋转知，BC＝BG，
∴△BCE≌△BGE'（SAS），
∴S△BCE＝S△BGE'，
∴S△BCE+S△ABG＝S△BGE'+S△ABG＝S△AE'G＝AE' GH＝3GH，
要使S△BCE+S△ABG的最大，则GH最大，而GH最大＝BG＝4，
即S△BCE+S△ABG的最大为12．
【解析】【解答】解：（1）当落在上时，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴每个内角都等于，
∵，由勾股定理得：
，
由旋转的性质可知：，
∴，
故答案为：2；
【分析】本题考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理以及面积的计算.
（1）先利用勾股定理求出的长度，利用旋转的性质：旋转前后对应线段长度不变可得出，据此可求出的长度；
（2）过点B作于点M，利用等面积法求出的长度，再利用勾股定理求出、的长度，进而求出的长度，从而求出的面积；
（3）连接、，设与相交于点N，与相交于点P，利用和是等腰三角形，且从而得出，然后利用得出，从而得出；
（4）过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，，，利用得出：当最大时，最大，从而得出当A、B、E三点共线时，最大，从而得出的最大值．
50．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN．求△AMN的周长．
【答案】解：如图，延长NC到E，使CE=BM，连接DE， ∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∵在△DMN和△DEN中， ，∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周长为2
【解析】【分析】由题意可作辅助线，延长NC到E，使CE=BM，连接DE，根据等边三角形和等腰三角形的性质易证得△CDE≌△BDM和△DMN≌△DEN，于是可得MN=NE=CE+CN=BM+CN，则可将三角形ANM的周长转化为AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC求解。
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