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【解答题强化训练·50道必刷题】苏科版数学九年级上册期末总复习
1．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上的一点，连接，且，．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求的长．
2．青山村种的超级水稻2001年平均每公顷产10000千克，2003年平均每公顷产12100千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率．
3．某商店以每个8元的成本价购进了一批玩具陀螺，如果以每个14元的价格出售，那么每天可销售40个，经市场调查发现，若每个陀螺的售价每上涨1元，则每天的销售量就减少2个.每个陀螺涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为320元？
4．某农场要建一个面积为80m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙AB长为15m），另外三边用木栏围成，木栏总长26m，求养鸡场CD边和DE边的长分别是多少？设养鸡场CD边的长为xm．
（1）填空：养鸡场DE边的长为 m（用含x的代数式表示）；
（2）请你列出方程，求出问题的解．
5．用指定的方法解下列方程：
（1）（直接开平方法）
（2）（配方法）
（3）（适当方法）
（4）（适当的方法）
6．某汽车销售公司3月份销售新上市一种新型低能耗汽车20辆，由于该型汽车的优越的经济适用性，销量快速上升，5月份该公司销售该型汽车达到45辆，并且3月到4月和4月到5月两次的增长率相同.
（1）求该公司销售该型汽车每次的增长率.
（2）若该型汽车每辆的盈利为3万元，则平均每天可售10辆，为了尽量减少库存，汽车销售公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，每辆汽车每降5000元，公司平均每天可多售出2辆，若汽车销售公司每天要获利24万元，每辆车需降价多少
7．若x=0是关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x+m2+2m-8=0的一个解，求实数m的值和另一个根．
8．A、B两个口袋中均有3个分别标有数字1、2、3的相同的球，甲、乙两人进行玩球游戏．游戏规则是：甲从A袋中随机摸一个球，乙从B袋中随机摸一个球，当两个球上所标数字之和为奇数时，则甲赢，否则乙赢．问这个游戏公平吗 为什么
9． 如图，反比例函数的图象与一次函数图象为常数，且的图象交于、两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线向上平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值．
10．设一组数据x1，x2，…，xn的平均数为m，求下列各组数据的平均数：
（1）x1+3，x2+3，…，xn+3；
（2）2x1，2x2，…，2xn．
11．为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班实施新的教学方法，在控制班采用原来的教学方法.在实验开始前，进行一次几何能力测试(前测，总分25分)，经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试(后测，总分25分)，得到前测和后测的数据并整理成表和表2.
表1：前测数据
测试分数
控制班A 28 9 9 3 1
实验班B 25 10 8 2 1
表2：后测数据
测试分数
控制班A 14 16 12 6 2
实验班B 6 8 11 18 3
（1）A，B两班的学生人数分别是多少
（2）请选择一种适当的统计量，分析比较，两班的后测数据.
（3）通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价.
12．《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=1寸，CD=10寸，那么直径AB的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB的长．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，以点C为圆心，r为半径作圆．
（1）当斜边AB与⊙C相切时，求r的值．
（2）分别写出当r=3和r=4时，⊙C与线段AB有几个交点．
14．一款服装每件进价为90元，销售价为130元时，每天可售出30件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件服装降价元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1500元？
15．新兴商场经营某种儿童益智玩具．已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
16．某校团委决定组织部分学生参加主题研学活动，全校每班可推选2名代表参加，901班根据各方面考核，决定从甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取两名参与研学活动．
（1）若甲已抽中，求从剩余3名学生中抽中乙参与研学的概率；
（2）用画树状图或列表等适当的方法求甲和乙同时参与研学的概率．
17．一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在．
（1）估计摸到黑球的概率是 ；
（2）如果袋中原有红球12个，又放入n个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，求n的值．
18．如图，AB是⊙O的直径，E、C是⊙O上的两点，且，连接AE、AC，过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．
19． "阳光玫瑰" 葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地 2017 年种植 "阳光玫瑰" 100 亩， 到 2019 年 "阳光玫瑰" 的种植面积达到 196 亩.
（1）求该基地这两年 "阳光玫瑰" 种植面积的平均增长率；
（2）市场调查发现，当 "阳光玫瑰" 的售价为 20 元/千克时，每天能售出 200 千克，售价每降价 1 元，每天可多售出 50 克， 为了推广宣传， 基地决定降价促销， 同时尽量减少库存， 已知该基地 "阳光玫瑰"的平均成本价为 12元/千克，若使销售 "阳光玫瑰" 每天获利 1750 元，则售价应降低多少元？
20．关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）设方程的两根为，，当为满足条件的最大整数时，求的值．
21．如图，在中，，，，弦，垂足为点，求的长度．
22．山下湖·世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为A，B，C，D，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研．
（1）若随机抽取一张，求抽到卡片A的概率；
（2）若小张随机抽取一张，记录后放回，搅匀，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求两次抽取的卡片中，一张是A，一张是B的概率．
23．在毕业晚会上，同学们表演哪一类型的节目由自己摸球来决定.在一个不透明的口袋中，装有除标号外其它完全相同的A、B、C三个小球，表演节目前，先从袋中摸球一次（摸球后又放回袋中），如果摸到的是A球，则表演唱歌；如果摸到的是B球，则表演跳舞；如果摸到的是C球，则表演朗诵.若小明要表演两个节目，则他表演的节目不是同一类型的概率是多少？
24．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售亚运会吉祥物，在销售过程中发现，当每件获利125元时，每天可出售50件，为了扩大销售量增加利润，该商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件吉祥物降价5元，平均可多售出1件．
（1）若每件吉祥物降价20元，商家平均每天能盈利多少元？
（2）每件吉祥物降价多少元时，能尽量让利于顾客并且让商家平均每天盈利5980元？
25．如图，已知是的直径，点在上，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
26． 如图， 在 中， 以 AC为直径的⊙O交 BC于点 D ，交 BA的延长线于点E， 连结CE， DE.
（1） 求 的度数；
（2） 若DE=6，(求图中阴影部分的面积.
27．某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件．针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？
28．为响应河南省将“美丽乡村”变成“美丽经济”的号召，某市举行“振兴乡村经济，建设美好河南”为主题的知识竞赛，某校以班级为单位选拔参加该知识竞赛的队伍．在预赛中，已知每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如图的两幅统计图．
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中，一班成绩在B级以上（包括B级）的人数为 ；
（2）将表格补充完整；
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 90
二班 87 80
（3）根据你在（2）中所求的统计量，你认为选哪个班级参加市知识竞赛合适？请简述理由．
29．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围．
（2）若是方程的根，且，求的值．
30．如图，将长和宽分别为 a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.
（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积.
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长.
31．解方程：
（1）x2+4x-5=0；
（2）下面是小蒋同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务。
解方程： (3x-1)2=2 (3x-1)，
解：方程两边同除以(3x-1)，得 3x -1=2……第一步
移项，合并同类项，得3x=3……第二步
系数化为1，得x=1……第三步
任务：
①小蒋的解法从第 ▲ 步开始出现错误；
②请写出此题的正确解题过程.
32．一块四周镶有宽度相等的花边的地毛如图，它的长为，宽为，如果地毛炎中央长方形图案的面积为，问花边有多宽？
33．有4个完全相同的小球，把它们分别标上数字﹣1，0，1，2，随机的摸出一个小球记录数字后放回摇匀，再随机的摸出一个小球记录数字，求两次摸球，球上标的数字都是正数的概率P（A）．
34．赵州桥（如图）建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度（弧所对的弦长）为 ，拱高（弧的中点到弦的距离）为 ，求赵州桥桥拱所在圆的半径．（精确到 ）
35．有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
36．如图是小明作的一周的零用钱开支的统计图（单位：元），分析下图，试回答以下问题：
（1）周几小明花的零用钱最少，是多少？他零用钱花得最多的一天用了多少？
（2）哪几天他花的零用钱是一样的分别为多少？
（3）你能帮小明算一算他一周平均每天花的零用钱吗？
（4）你能够画出小明一周的零用钱开支的折线统计图吗？试一试．
37．随着时代的发展，科技的进步，进入移动支付时代后，支付方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．某超市为方便顾客购物付款，可供顾客选择的付款方式有以下四种：A．现金支付，B．刷卡支付，C．微信支付，D．支付宝支付．每种付款方式被选择的可能性是相同的．
（1）小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为_____；
（2）若甲、乙两人在该超市购物，请你通过列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择不同付款方式的概率．
38．随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为420km.该汽车租赁公司有A，B、C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
（1）小明共调查了 辆A 型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；
（2）在A 型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中， “390km”对应的圆心角度数为
（3）【分析数据】
型号 平均里程（km） 中位数（km） 众数（km）
A 400 400 410
B 432 m 440
C 453 450 n
由上表填空：m= ， n=
（4）【判断决策】
结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由.
39．某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛、在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下：
信息一：甲、乙队员的射击成绩
甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8
乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8
信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量
队员 平均数 中位数 众数 方差
甲 8.3 8 n 2.01
乙 8.3 m 9 1.61
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值：m= ，n= .
（2） 队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以。你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）。
40．已知关于 的分式方程 2①和一元二次方程 ②， 其中 均为实数， 方程①的根为非负数.
（1） 求 的取值范围.
（2）若方程② 有两个实数根 ， 满足 ，且 为负整数， 试判断 是否成立， 并说明理由.
41． 已知关于 的一元二次方程： 有两个不相等的实数根.
（1）求 的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为 ， 且满足 ， 求 的值.
42．⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
43．对于平面直角坐标系xOy中的直线l：与矩形OABC给出如下定义：设直线l与坐标轴交于点M，N（M，N不重合），直线与矩形OABC的两边交于点P，Q（P，Q不重合），称线段MN，PQ的较小值为直线l的关联距离，记作，特别地，当MN＝PQ时，．
已知A（6，0），B（6，3），C（0，3）．
（1）若，则MN＝______，PQ＝______；
（2）若，，则b的值为______；
（3）若，直接写出的最大值及此时以M，N，P，Q为顶点的四边形的对角线交点坐标．
44．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”．
已知点N（3，0），A（1，0），B（0，），C（，﹣1）．
（1）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 ；
②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；
（2）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．
45．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为弧AC的中点，连结AC，BE交于点D，过点A作AF⊥AB交BE的延长线于点F，AF＝3.
（1）求证：AD=AF；
（2）求△ABD的周长；
（3）若点P为⊙O上一点，当△AEP为等腰三角形时，求AP的长.
46．如图，四边形ABCD是一个正方形，E，D，A，F四点在一直线上，且ED=DA=AF=2厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）
47．如图，AB 为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB于E，F 为 BA延长线上一点，CA恰好平分∠FCE.
（1）求证：FC与⊙O相切；
（2）连结OD，若OD∥AC，求 的值.
48．阅读下面的例题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0
解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝﹣2；
∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
49．王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22-22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x-1）2+3的最小值为 ．
（2）求代数式x2+10x+32的最小值．
（3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
50．如图，为直径，为的弦，，延长至，且，的半径为6．
（1）求证：直线与相切；
（2）如图1，若，求阴影部分面积；
（3）如图2，若，求的值．
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【解答题强化训练·50道必刷题】苏科版数学九年级上册期末总复习
1．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上的一点，连接，且，．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
根据三角形内角和，可得，即，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，
为等边三角形，
，
，
根据勾股定理可得．
【解析】【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，进而即可得到，从而进行角的运算得到，根据三角形内角和定理结合题意即可求出∠B的度数，从而即可求出∠BAO的度数，再根据切线的判定即可求解；
（2）先根据等边三角形的判定与性质得到，进而得到BO，再根据勾股定理即可求解。
2．青山村种的超级水稻2001年平均每公顷产10000千克，2003年平均每公顷产12100千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率．
【答案】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x
2003年产量=2001年产量
由题意得
解得，（不合题意，舍去）
答：水稻每公顷产量的年平均增长率．
【解析】【分析】通过设增长率为x，利用平均增长两次后的产量公式列方程，求解后舍去不合理负根.
3．某商店以每个8元的成本价购进了一批玩具陀螺，如果以每个14元的价格出售，那么每天可销售40个，经市场调查发现，若每个陀螺的售价每上涨1元，则每天的销售量就减少2个.每个陀螺涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为320元？
【答案】解：设每个陀螺涨价元，则每天可售出个，
依题意，得，
解得，，
∵要让顾客得到实惠，
，
答：当每个陀螺张价4元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为320元.
【解析】【分析】设每个陀螺涨价x元，则每天可售出(40-2x)个，每个的利润为(14-8+x)，根据每个的利润×每天的销售量=总利润结合利润为320元建立关于x的方程，求解即可.
4．某农场要建一个面积为80m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙AB长为15m），另外三边用木栏围成，木栏总长26m，求养鸡场CD边和DE边的长分别是多少？设养鸡场CD边的长为xm．
（1）填空：养鸡场DE边的长为 m（用含x的代数式表示）；
（2）请你列出方程，求出问题的解．
【答案】（1）（26﹣2x）
（2）解：根据题意可得：
x（26﹣2x）＝80，
解得：x1＝5，x2＝8．
因为26﹣2x≤15，所以2x≥11，故x≥5.5．
所以x＝8，
则DE＝26﹣16＝10．
答：养鸡场CD边和DE边的长分别为8m，10m．
【解析】【解答】解：（1）设CD＝xm，则DE＝（26﹣2x）m，
故答案是：（26﹣2x）；
【分析】（1）设CD＝xm，根据木栏总长可得DE＝（26﹣2x）m，即可求出答案.
（2）根据长方形面积建立方程，解方程即可求出答案.
5．用指定的方法解下列方程：
（1）（直接开平方法）
（2）（配方法）
（3）（适当方法）
（4）（适当的方法）
【答案】（1）解：，可得，即，所以，.
（2）解：由，可得，所以，
即，解得，
所以，.
（3）解：由，可得，所以，
可得或，解得，.
（4）解：由，
方程化为一般式为，可得，所以或，
解得，．
【解析】【分析】（1）先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（3）先把方程变形为，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
（4）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
（1）解：，
，
，
所以，；
（2），
，
，
，
，
所以，；
（3），
，
，
或，
所以，；
（4）），
方程化为一般式为，
，
或，
所以，．
6．某汽车销售公司3月份销售新上市一种新型低能耗汽车20辆，由于该型汽车的优越的经济适用性，销量快速上升，5月份该公司销售该型汽车达到45辆，并且3月到4月和4月到5月两次的增长率相同.
（1）求该公司销售该型汽车每次的增长率.
（2）若该型汽车每辆的盈利为3万元，则平均每天可售10辆，为了尽量减少库存，汽车销售公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，每辆汽车每降5000元，公司平均每天可多售出2辆，若汽车销售公司每天要获利24万元，每辆车需降价多少
【答案】（1）解：设该公司销售该型汽车平均增长率为x，
根据题意列方程：
解得 (不合题意，舍去)，
答：该公司销售该型汽车的平均增长率为50%.
（2）解：设每辆车需降价y元，
据题意得：
解得 （舍去），，
因题意要尽快减少库存，所以x取15000.
答：每辆车需降价15000元.
【解析】【分析】(1)设该公司销售该型汽车的平均增长率为x.等量关系为：3月份的销售量 增长率 月份的销售量，把相关数值代入求解即可.
(2)设每辆车需降价y元，根据利润=单利润×销售量可列方程解题即可.
7．若x=0是关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x+m2+2m-8=0的一个解，求实数m的值和另一个根．
【答案】解：m2+2m-8=0，
m1=-4，m2=2，（1分）
∵m-2≠0，∴m≠2，∴m=-4，
把m=-4代入原方程得另一个根为0.5．
【解析】【分析】将x=0代入原方程求出m的值，再将m代入原方程解出另一个根。
8．A、B两个口袋中均有3个分别标有数字1、2、3的相同的球，甲、乙两人进行玩球游戏．游戏规则是：甲从A袋中随机摸一个球，乙从B袋中随机摸一个球，当两个球上所标数字之和为奇数时，则甲赢，否则乙赢．问这个游戏公平吗 为什么
【答案】解：跟具体题意可列表如下：
则甲赢的概率为：，乙赢的概率为：，因为，所以乙赢的概率大，这个游戏不公平。
【解析】【分析】利用列表法列出所有可能，继而求出甲、乙赢的概率，比较是否两个概率是否相等即可知道该游戏是否公平。
9． 如图，反比例函数的图象与一次函数图象为常数，且的图象交于、两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线向上平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值．
【答案】（1）解：把代入，
得，
所以点坐标为，
把代入，
得，解得，
所以一次函数解析式为；
（2）解：将直线向上平移个单位长度得直线解析式为，
根据题意得方程组只有一组解，
消去得，
整理得，
，
解得或，
即的值为或．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式可求出m的值，再代入一次函数解析式即可求出答案；
（2） 将直线向上平移个单位长度得直线解析式为， 联立方程组得到关于x的一元二次方程，根据有一个公共点，可的方程有1个解，根据判别式列出方程，解方程即可求出答案。
10．设一组数据x1，x2，…，xn的平均数为m，求下列各组数据的平均数：
（1）x1+3，x2+3，…，xn+3；
（2）2x1，2x2，…，2xn．
【答案】解：设一组数据x1，x2，…，xn的平均数是m，即，则x1+x2+…+xn=mn．（1）∵x1+x2+…+xn=mn，∴x1+3+x2+3+…+xn+3=mn+3n，∴x1+3，x2+3，…，xn+3的平均数是=m+3；（2）∵x1+x2+…+xn=mn，∴2x1+2x2+…+2xn=2mn，∴2x1，2x2，…，2xn的平均数是=2m．
【解析】【分析】首先根据求平均数的公式：，得出x1+x2+…+xn，再利用此公式求出（1）x1+3，x2+3，…，xn+3以及（2）2x1，2x2，…，2xn的平均数．
11．为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班实施新的教学方法，在控制班采用原来的教学方法.在实验开始前，进行一次几何能力测试(前测，总分25分)，经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试(后测，总分25分)，得到前测和后测的数据并整理成表和表2.
表1：前测数据
测试分数
控制班A 28 9 9 3 1
实验班B 25 10 8 2 1
表2：后测数据
测试分数
控制班A 14 16 12 6 2
实验班B 6 8 11 18 3
（1）A，B两班的学生人数分别是多少
（2）请选择一种适当的统计量，分析比较，两班的后测数据.
（3）通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价.
【答案】（1）解：A班的总人数：28+9+9+3+1=50（人）
B班的总人数：25+10+8+2+1=46（人）
故A，B两班的学生人数分别是50人，46人．
（2）解：从中位数看：
A班的中位数是第25和第26人成绩的平均数，两人都在5B班的中位数是第23和第24人成绩的平均数，两人都在10可知B班的成绩更好.
从众数看：
A班成绩在5B班成绩在15也可以看出B班的成绩更好.
（答案不唯一，合理即可）
（3）解：前测时：
A班众数和中位数都是在0B班众数和中位数也是在0后测时：
A班众数和中位数都在5B班众数15从比较可知：张老师新的教学方法效果较好．（理由合理即可）
【解析】【分析】（1）各组数据相加即可得到总人数；
（2）分别计算两班的众数和中位数，比较分析即可.
（3）分别计算两班前测和后测的众数和中位数，比较并进行评价即可.
12．《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=1寸，CD=10寸，那么直径AB的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB的长．
【答案】解：如图所示，连接OD．
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD=10寸，
∴CE=DE= CD=5寸，
设OD=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，
即（x﹣1）2+52=x2，
解得：x=13，
∴AB=26寸，
即直径AB的长为13寸．
【解析】【分析】先根据题意画出图形，先由垂径定理求出DE的长，再在Rt△ODE中，根据勾股定理求出圆的半径，即可得出愿得 直径长。
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，以点C为圆心，r为半径作圆．
（1）当斜边AB与⊙C相切时，求r的值．
（2）分别写出当r=3和r=4时，⊙C与线段AB有几个交点．
【答案】（1）解：如图，
过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ABC中，AC=3，AB=5，
∴BC=4．
∵AC·BC=AB·CD，
∴×3×4=×5×CD，解得CD=2.4．
当斜边AB与⊙C相切时，r=2.4．
（2）解：①当r=3时，⊙C与线段AB有两个交点；
②当r=4时，⊙C与线段AB有一个交点．
【解析】【分析】（1）根据圆C与直线相切，可知点C到AB的距离，就是圆的半径，利用勾股定理和三角形的面积公式求出斜边上的高也就是半径即可；
（2）根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，若dr；则直线与圆相离。即可得出圆C与直线有几个交点.
14．一款服装每件进价为90元，销售价为130元时，每天可售出30件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件服装降价元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1500元？
【答案】（1），
（2）解：设每件服装降价元，每件服装盈利元，平均每天的销量为件，依题意可得：
整理，得：
解得：，，
要让利于顾客，
应舍去，
故，
答：在让利于顾客的情况下，每件服装降价15元，商家平均每天能盈利1500元
【解析】【解答】解：（1）设每件服装降价x元，由于每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，
则每天销售量增加2x件，每件服装盈利元．
故答案为：，．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（利润问题）.
（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件即可得到每天销售量增加2x件，每件服装盈利元．
（2）根据“每件利润×销量=总利润”列方程，结合让利于顾客的条件确定解.
（1）解：设每件服装降价x元，由于每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，
则每天销售量增加x件，每件服装盈利元．
故答案为：，．
（2）解：设每件服装降价元，每件服装盈利元，平均每天的销量为件，依题意可得：
整理，得：
解得：，，
要让利于顾客，
应舍去，
故，
答：在让利于顾客的情况下，每件服装降价15元，商家平均每天能盈利1500元．
15．新兴商场经营某种儿童益智玩具．已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
【答案】解：设每件玩具上涨x元，则售价为（30+x）元，
则根据题意，得（30+x﹣20）（230﹣10x）=2520．
整理方程，得x2﹣13x+22=0．
解得：x1=11，x2=2，
当x=11时，30+x=41＞40，
∴x=11 不合题意，舍去．
∴x=2，
∴每件玩具售价为：30+2=32（元）．
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
【解析】【分析】根据题意知一件玩具的利润为（30+x﹣20）元，月销售量为（230﹣10x），然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量列出一元二次方程求解即可．
16．某校团委决定组织部分学生参加主题研学活动，全校每班可推选2名代表参加，901班根据各方面考核，决定从甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取两名参与研学活动．
（1）若甲已抽中，求从剩余3名学生中抽中乙参与研学的概率；
（2）用画树状图或列表等适当的方法求甲和乙同时参与研学的概率．
【答案】（1）解：从剩余3位同学中抽取1位，每个人被抽到的可能性相同，所以乙同学参加研学的概率是．
（2）解：画树状图如下
∴一共有12种可能的情况，其中甲和乙同时参加的情况有2种，故甲和乙同时参与研学的概率为.
【解析】【分析】（1）根据等可能事件的概率公式计算即可；
（2）列树状图，数出所有的情况数以及满足条件的情况数，利用简单事件的概率公式计算即可.
17．一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在．
（1）估计摸到黑球的概率是 ；
（2）如果袋中原有红球12个，又放入n个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，求n的值．
【答案】（1）
（2）解：设袋子中原有黑球x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝18，
经检验x＝18是原方程的根，
所以黑球有18个，
∵又放入了n个黑球，
根据题意得：，
解得：n＝6．
经检验：符合题意
【解析】【解答】（1）解：∵摸到红球的频率逐渐稳定在．
∴估计摸到黑球的概率是1-=
【分析】（1）根据1减去取出红球的概率，即可求解；
（2）根据概率公式，列出方程，解方程，即可求解．
18．如图，AB是⊙O的直径，E、C是⊙O上的两点，且，连接AE、AC，过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，BC，BE，
∵，
∴OC⊥CE，BF＝EF，∠COE＝∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，
∴四边形DEFC是矩形，
∴DE＝CF，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝2，
∴AC＝＝2，
∵∠BAC＝∠CAD＝30°，
∴CD＝AC＝，
在Rt△OEF中，OE＝AB＝2，
∴∠OEF＝90°﹣∠COE＝30°，
∴OF＝OE＝1，
∴CF＝OC﹣OE＝1＝DE，
∴EF＝＝＝CD，
∴S梯形OCDE＝（OE+OC） CD＝，
S扇形OCE＝，
∴图中阴影部分的面积＝S梯形OCDE﹣S扇形OCE＝．
【解析】【分析】（1） 连接OC， 根据圆周角定理和等腰三角形的性质可得 ∠CAD＝∠ACO ，根据平行线的性质和垂线的定义可得 OC⊥CD ，根据切线的判定定理求证即可；
（2）根据垂直定理和圆周角定理可得 ∠COE＝60°，根据直径的性质可证 四边形DEFC是矩形， 根据30度直角三角形的性质可得CD和OC的长，最后利用扇形面积公式求解即可。
19． "阳光玫瑰" 葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地 2017 年种植 "阳光玫瑰" 100 亩， 到 2019 年 "阳光玫瑰" 的种植面积达到 196 亩.
（1）求该基地这两年 "阳光玫瑰" 种植面积的平均增长率；
（2）市场调查发现，当 "阳光玫瑰" 的售价为 20 元/千克时，每天能售出 200 千克，售价每降价 1 元，每天可多售出 50 克， 为了推广宣传， 基地决定降价促销， 同时尽量减少库存， 已知该基地 "阳光玫瑰"的平均成本价为 12元/千克，若使销售 "阳光玫瑰" 每天获利 1750 元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）解：设该基地这两年 "阳光玫瑰" 种植面积的平均增长率为x
由题意可得：
解得：x=0.4=40%
∴该基地这两年 "阳光玫瑰" 种植面积的平均增长率为40%
（2）解：设售价应降低y元，则每天可售出(200+50y)千克
由题意可得：
解得：y=1或y=3
∵要尽量减少库存
∴y=3
∴售价应降低3元
【解析】【分析】（1）设该基地这两年 "阳光玫瑰" 种植面积的平均增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设售价应降低y元，则每天可售出(200+50y)千克，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）设方程的两根为，，当为满足条件的最大整数时，求的值．
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴且，
解得：且，
（2）解：由（1）知且，
∴当为满足条件的最大整数时
此时方程为：
∴．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根；）分析求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）分析求解即可.
21．如图，在中，，，，弦，垂足为点，求的长度．
【答案】解∶过O作于点E，过O作于点F，连接，，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
在中，，
又，
∴，即，
解得，
在中，．
【解析】【分析】过O作于点E，过O作于点F，连接，，设，则，，根据勾股定理可得，将数据代入可得，再求出x的值，最后求出即可。
22．山下湖·世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为A，B，C，D，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研．
（1）若随机抽取一张，求抽到卡片A的概率；
（2）若小张随机抽取一张，记录后放回，搅匀，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求两次抽取的卡片中，一张是A，一张是B的概率．
【答案】（1）解：共有4种等可能的结果，A有1种，
故抽到卡片的概率为．
（2）解：根据题意，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表可知，共有16种等可能的结果，其中恰好选中A和B的有2种，
∴两次恰好选中和的概率．
【解析】【分析】（1）将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取一张共有4种等可能的结果数，其中能抽取到A的只有1种，从而根据概率公式计算即可；
（2）此题是抽取放回类型，根据题意利用表格列举出所有等可能的结果数，由表可知，共有16种等可能的结果，其中恰好选中A和B的有2种，从而根据概率公式计算可得答案.
（1）解：共有4种等可能的结果，A有1种，
故抽到卡片的概率为．
（2）解：根据题意，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由图可知，共有16种等可能的结果，其中恰好选中A和B的有2种，
∴两次恰好选中和的概率．
23．在毕业晚会上，同学们表演哪一类型的节目由自己摸球来决定.在一个不透明的口袋中，装有除标号外其它完全相同的A、B、C三个小球，表演节目前，先从袋中摸球一次（摸球后又放回袋中），如果摸到的是A球，则表演唱歌；如果摸到的是B球，则表演跳舞；如果摸到的是C球，则表演朗诵.若小明要表演两个节目，则他表演的节目不是同一类型的概率是多少？
【答案】解：法一：列表如下：
A B C
A AA AB AC
B BA BB BC
C CA CB CC
法二：画树状图如下：
画树状图或列表
由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有9种其中不是同一类型有6种因此他表演的节目不是同一类型的概率是
【解析】【分析】列举出所有情况，看他表演的节目不是同一类型的情况占总情况的多少即可．
24．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售亚运会吉祥物，在销售过程中发现，当每件获利125元时，每天可出售50件，为了扩大销售量增加利润，该商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件吉祥物降价5元，平均可多售出1件．
（1）若每件吉祥物降价20元，商家平均每天能盈利多少元？
（2）每件吉祥物降价多少元时，能尽量让利于顾客并且让商家平均每天盈利5980元？
【答案】（1）解：（元），
答：商家平均每天盈利5670元；
（2）解：设每件吉祥物降价元，
依题意得，
解得（舍去），，
答：每件吉祥物降价10元．
【解析】【分析】（1）根据利润=单日利润单日销售量解答即可；
（2）设每件吉祥物降价元，根据利润=单日利润单日销售量列一元二次方程解答即可．
（1）解：（元），
答：商家平均每天盈利5670元；
（2）解：设每件吉祥物降价元，
依题意得，
解得（舍去），，
答：每件吉祥物降价10元．
25．如图，已知是的直径，点在上，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：的半径为，
，
，，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
．
【解析】【分析】（1）由题意可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得∠COB，再根据全等三角形性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
26． 如图， 在 中， 以 AC为直径的⊙O交 BC于点 D ，交 BA的延长线于点E， 连结CE， DE.
（1） 求 的度数；
（2） 若DE=6，(求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：连接OD，
∵AB=AC， ∠B
= 30°，
∴∠ACB=30°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠OD
C=30°，
∴∠COD=180°-2×30°= 120°，
（2）解：连接AD， 过O作OH⊥CD于点H，
∵∠AED=∠ACD=30°，
∴∠AED=∠B=30°，
∴BD=DE=6，
∵AC是直径，
∴AD⊥CD，
∴D为BC中点，
∴CD=BD=6，
【解析】【分析】(1)先求出∠COD的度数， 再得出∠DEC的度数；
(2)求出扇形COD的面积和△COD的面积，即可得到阴影部分的面积.
27．某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件．针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？
【答案】解：设销售单价应定为元，所以每件商品盈利元；
由题意可得，，
解得：，，
因为要让顾客得到实惠，所以取，
答：该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，销售单价应定为12元．
【解析】【分析】设销售单价应定为x元，则每件商品盈利(x-8)元，销售量减少20(x-10)，实际的销售量为200-20(x-10)，然后根据每件的利润×销售量=总利润建立关于x的方程，求解即可.
28．为响应河南省将“美丽乡村”变成“美丽经济”的号召，某市举行“振兴乡村经济，建设美好河南”为主题的知识竞赛，某校以班级为单位选拔参加该知识竞赛的队伍．在预赛中，已知每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如图的两幅统计图．
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中，一班成绩在B级以上（包括B级）的人数为 ；
（2）将表格补充完整；
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 90
二班 87 80
（3）根据你在（2）中所求的统计量，你认为选哪个班级参加市知识竞赛合适？请简述理由．
【答案】（1）13
（2）
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 87 90 90
二班 87 85 80
（3）选一班级参加市知识竞赛，
理由：从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数和众数的角度看一班比二班的成绩好，所以一班成绩好（答案不唯一）．
【解析】【解答】解：（1）一班成绩在B级以上（包括B级）的人数=3+10=13；
故答案为：13；
（2）一班平均数==87；
一班众数为90分；
由扇形统计图可知A，B占50％，C和D也占50％，
∴ 成绩从高到低排列，排在10和11为的是90和80，
∴ 中位数==85；
故答案为：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 87 90 90
二班 87 85 80
【分析】（1）将A级和B级的人数求和即可；
（2）根据平均数=，众数和中位数的定义计算即可；
（3）比较两个班的平均数，中位数和众数，即可求得.
29．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围．
（2）若是方程的根，且，求的值．
【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式结合一元二次方程的定义即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，进而结合题意解一元二次方程即可求解。
30．如图，将长和宽分别为 a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.
（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积.
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长.
【答案】（1）解：根据题意得， 纸片剩余部分的面积=长方形纸片的面积-四个正方形的面积，
S=ab-4x2，
答：纸片剩余部分的面积为；
（2）解：当a=6，b=4时，ab-4x2=4x2，
即8x2=24，
∴ x2=3，
∵ x为正数，
∴ x=，
答：正方形的边长为.
【解析】【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式求得长方形和正方形的面积，再作差即可求得；
（2）将a，b的值代入所列的等式，可得到二元一次方程，直接开平方法可求解，结合x为正数，即可求得.
31．解方程：
（1）x2+4x-5=0；
（2）下面是小蒋同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务。
解方程： (3x-1)2=2 (3x-1)，
解：方程两边同除以(3x-1)，得 3x -1=2……第一步
移项，合并同类项，得3x=3……第二步
系数化为1，得x=1……第三步
任务：
①小蒋的解法从第 ▲ 步开始出现错误；
②请写出此题的正确解题过程.
【答案】（1）解：
（2）解： ① 一
②
【解析】【分析】(1)利用因式分解的方法对方程进行求解.
(2) 观察解题过程可得小蒋的解法从第一步开始出现错误，正确解法应先进行移项，再通过提取公因式对方程进行因式分解，进而求得方程的根.
32．一块四周镶有宽度相等的花边的地毛如图，它的长为，宽为，如果地毛炎中央长方形图案的面积为，问花边有多宽？
【答案】解：设花边宽为，则有，
解得．当时，（不合题意，舍去）．
答：花边的宽度为．
【解析】【分析】 设花边宽为， 根据它的长为，宽为，地毛炎中央长方形图案的面积为，列出关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的x的值即可求解.
33．有4个完全相同的小球，把它们分别标上数字﹣1，0，1，2，随机的摸出一个小球记录数字后放回摇匀，再随机的摸出一个小球记录数字，求两次摸球，球上标的数字都是正数的概率P（A）．
【答案】解：画树状图，
所有可能出现的结果共有16种，每种结果出现的可能性都相同，两个数字都是正数的结果有4种，所以P（A）= .
【解析】【分析】利用树状图列出所有的可能性，解出两次都是正数的概率。
34．赵州桥（如图）建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度（弧所对的弦长）为 ，拱高（弧的中点到弦的距离）为 ，求赵州桥桥拱所在圆的半径．（精确到 ）
【答案】解：设O为圆心，作 于D，交弧AB于C，则 ，如图所示：
拱桥的跨度 ，拱高 ，
，
在 中，
，
即 ， 解得：
即圆弧半径为 ．
答：赵州桥的主桥拱半径为 ．
【解析】【分析】 设O为圆心，作 于D，交弧AB于C，则 ，根据垂径定理可得，在 中，利用勾股定理求出AO的长.
35．有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
【答案】解：列表得：
锁1 锁2
钥匙1 （锁1，钥匙1） （锁2，钥匙1）
钥匙2 （锁1，钥匙2） （锁2，钥匙2）
钥匙3 （锁1，钥匙3） （锁2，钥匙2）
由表可知，所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况有2种，
则P（一次打开锁）＝ .
【解析】【分析】根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率．
36．如图是小明作的一周的零用钱开支的统计图（单位：元），分析下图，试回答以下问题：
（1）周几小明花的零用钱最少，是多少？他零用钱花得最多的一天用了多少？
（2）哪几天他花的零用钱是一样的分别为多少？
（3）你能帮小明算一算他一周平均每天花的零用钱吗？
（4）你能够画出小明一周的零用钱开支的折线统计图吗？试一试．
【答案】解：（1）周三，1元，10；
（2）周一与周五都是6元，周六和周日都是10元；
（3）（6+4+1+5+6+10+10）÷7=6（元）；
（4）如下图．
【解析】【分析】由条形统计图可知：周三小明花的零用钱最少，是1元；他零用钱花得最多的一天用了10元；周﹣与周五一样多都是6元，周六和周日一样多都是10元；小明一周平均每天花的零用钱为（6+4+1+5+6+10+10）÷7=6（元）；
37．随着时代的发展，科技的进步，进入移动支付时代后，支付方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．某超市为方便顾客购物付款，可供顾客选择的付款方式有以下四种：A．现金支付，B．刷卡支付，C．微信支付，D．支付宝支付．每种付款方式被选择的可能性是相同的．
（1）小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为_____；
（2）若甲、乙两人在该超市购物，请你通过列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择不同付款方式的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表知，共有16种等可能结果，其中甲、乙两人选择不同付款方式的结果有12种，
∴甲、乙两人选择不同付款方式的概率为．
【解析】【解答】（1）解：小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为；
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出甲、乙两人选择不同付款方式的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为；
（2）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表知，共有16种等可能结果，其中甲、乙两人选择不同付款方式的结果有12种，
∴甲、乙两人选择不同付款方式的概率为．
38．随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为420km.该汽车租赁公司有A，B、C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
（1）小明共调查了 辆A 型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；
（2）在A 型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中， “390km”对应的圆心角度数为
（3）【分析数据】
型号 平均里程（km） 中位数（km） 众数（km）
A 400 400 410
B 432 m 440
C 453 450 n
由上表填空：m= ， n=
（4）【判断决策】
结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由.
【答案】（1）解：20；
故续航里程400km的车辆数为20-3-4-6-2=5辆，
补全条件统计图如下所示：
（2）72°
（3）430；450
（4）解： 小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为420km，故A型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求；B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适．
【解析】【解答】解：（1）通过A型电动车的统计情况可知续航里程410km的车辆有6辆占总数的30%，
故总数6÷30%=20辆，
（2）390km对应的数量为4，占比4÷20=20%，
对应的圆心角为20%×360°=72°；
故答案为：72°；
（3）由统计图知B型车的中位数m=430，C型车的众数n=450；
故答案为：430；450；
【分析】(1)结合条形统计图与扇形统计图，续航里程410km的车辆有6辆占总数的30%，相除即可得结果；
(2)先算390km占总体的百分比，再20%×360°=72°即为圆心角的度数；
(3)直接观察处在中间的数据即可得到B的中位数与C的众数；
(4)从平均数、中位数、众数的角度分别分析，得B型号电动车更加合适.
39．某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛、在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下：
信息一：甲、乙队员的射击成绩
甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8
乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8
信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量
队员 平均数 中位数 众数 方差
甲 8.3 8 n 2.01
乙 8.3 m 9 1.61
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值：m= ，n= .
（2） 队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以。你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）。
【答案】（1）8.5；8
（2）乙
（3）解：小瑜说的不对，理由如下：
①甲、乙两人射击成绩的平均数相等，乙成绩的中位数和众数比甲高，故推荐乙队员参加比赛；
或②甲、乙两人射击成绩的平均数相等，乙成绩的方差小于甲的方差，发挥更稳定，故推荐乙队员参加比赛.（答案不唯一）
【解析】【解答】解：（1）将乙队员的射击成绩按从小到大进行排列为：6，7，7，8，8，9，9，9，10，10，
∴中位数，
∵甲队员射击成绩中8环的次数最多，
∴众数n=8，
故答案为：8.5，8；
（2）∵甲队员射击成绩的方差为2.01，乙队员射击成绩的方差为1.61，
∴2.01>1.61，
∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定，
故答案为：乙.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行求解；
（2）根据方差的意义：方差用来衡量一组数据波动的大小，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此得到答案；
（3）平均数相同，可根据众数和中位数或者方差的意义进行求解.
40．已知关于 的分式方程 2①和一元二次方程 ②， 其中 均为实数， 方程①的根为非负数.
（1） 求 的取值范围.
（2）若方程② 有两个实数根 ， 满足 ，且 为负整数， 试判断 是否成立， 并说明理由.
【答案】（1）解：∵关于x的分式方程的根为非负数，
∴，
解这个分式方程，得，
∴，
解得；
∵一元二次方程为，
∴，
∴.
综上所述，k的取值范围是；
（2）解：|m|≤2成立，理由如下：
由（1）知，k的取值范围是，
∵k为负整数，
∴k=-1，
∵原一元二次方程化为，
∴
∵，
即，
∴，
即，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴代入n得，
解得，则成立.
【解析】【分析】（1）根据方程①的根为非负数以及一元二次方程的二次项系数不能为零，即可解出k的取值范围；
（2）由k为非负数以及k的取值范围，即可得出k的值，把k的值代入一元二次方程，再根据根与系数的关系列出方程，又由所给满足的条件进行计算代入，最终得到关于m和n的代数式，因为方程有两个实数根，所以△≥0，然后把n代入，即可求解.
41． 已知关于 的一元二次方程： 有两个不相等的实数根.
（1）求 的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为 ， 且满足 ， 求 的值.
【答案】（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
$且
解得 且 ，
的取值范围是 且 ：
（2）解： 原方程的两个实数根为 ，
而 且 .
，
，
， 即 .
，
整理得 ，
解得： .又 且 ，
不合题意， 舍去.
经检验， 是方程 .
的值为 .
【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及应用、根与系数的关系。（1）方程有两个不相等的实数根，则，代入计算，注意方程二次项系数不为0，综合考虑k值；（2）根据根与系数的关系，代入所给等式，可求出k值。
42．⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
【答案】解：作OE⊥AB交CD于F，连结OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB=12，CD=16，⊙O半径为10，
∴AE=6，OF=8，OA=OC=10，
在Rt△AOE中，
∴OE=，
在Rt△COF中，
∴，
如图1所示：当AB、CD在圆心O两侧时，
∴AB与CD之间的距离为：EF=OE+OF=8+6=14，
如图2所示：当AB、CD在圆心O同侧时，
∴AB与CD之间的距离为：EF=OE-OF=8+6=2，
综上：AB与CD之间的距离为14或2.
【解析】【分析】作OE⊥AB交CD于F，连结OA，OC，根据平行线的性质可得OF⊥CD，由垂径定理得AE=6，OF=8，根据勾股定理分别求得OE，OF长，再分情况讨论：①如图1所示：当AB、CD在圆心O两侧时，②如图2所示：当AB、CD在圆心O同侧时，分别求得AB与CD之间的距离.
43．对于平面直角坐标系xOy中的直线l：与矩形OABC给出如下定义：设直线l与坐标轴交于点M，N（M，N不重合），直线与矩形OABC的两边交于点P，Q（P，Q不重合），称线段MN，PQ的较小值为直线l的关联距离，记作，特别地，当MN＝PQ时，．
已知A（6，0），B（6，3），C（0，3）．
（1）若，则MN＝______，PQ＝______；
（2）若，，则b的值为______；
（3）若，直接写出的最大值及此时以M，N，P，Q为顶点的四边形的对角线交点坐标．
【答案】（1）5，2.5；
（2）1或3.5
（3）的最大值为2.5，四边形的对角线交点坐标为()
【解析】【解答】解：（1）当b=3时，
直线，与x轴交点坐标为M（-4，0），与y轴交点N(0，3)，此时点N与点C重合，
直线中，当y=0时，得x=4；当x=6时，得y=1.5，
∴直线与矩形OABC的交点P（4，0），Q（6，1.5），
∴MN=，；
故答案为：5，2.5；
（2）分两种情况：
①当MN较小时，
直线中，当x=0时，y=b；当y=0时，x=，
∴图象与坐标轴交点为M（，0），N（0，b），
∴，
解得b=1或b=-1（舍去）；
②当PQ较小时，
直线中y=0时，x=，∴与x轴交点P（，0），
当直线与矩形OABC的AB边相交时，令=6，则y=4.5-b，∴Q（6，4.5-b），
∴（6-）2+（4.5-b）2=（）2，
解得b=5.5或b=3.5；
当b=3.5时，直线，当y=0时，x=<6；
当b=5.5时，直线，当y=0时，x=>6，故舍去；
当直线与矩形OABC的BC边相交时，令y=3，则x=4+，∴Q（4+，3），
∵（4+-4）2+32=52≠，
∴此种情况不成立，
故b的值为1或3.5，
故答案为：1或3.5；
（3）解：∵M与N不重合，P与Q不重合，
∴-3∵与的k值相等，b值互为相反数，
∴两直线平行，且关系直线对称，
∵直线的图象与坐标轴交点为M（，0），N（0，b），
∴，
∵直线的图象与坐标轴交点为P（，0），Q（6，4.5-b），
∴，
当MN=PQ时，，
解得b=-1.5，
图1，当-1.5图3，当b=-1.5时，d1=MN=PQ，
图2，当-3故当b=-1.5时，d1有最大值，此时d1=MN=PQ，
此时P（0，1.5），Q（2，3），M（2，0），N（0，-1.5），
∴CQ=OM=2，CP=ON=1.5，PN=QM=3，
∴△CQP≌△OMN，，
∴PQ=MN，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∴对角线交点的坐标为（），即（），
综上，d1的最大值为2.5，四边形对角线交点坐标为（）
【分析】（1）根据点坐标及b=3画出图形，得到点M，N，P，Q的位置，利用勾股定理求出MN，PQ；
（2）分两种情况：①当MN较小时，②当PQ较小时，分别求出点M，N，P，Q的坐标，利用勾股定理列式计算可得b的值；
（3）先确定-3（1）当b=3时，
直线，与x轴交点坐标为M（-4，0），与y轴交点N(0，3)，此时点N与点C重合，
直线中，当y=0时，得x=4；当x=6时，得y=1.5，
∴直线与矩形OABC的交点P（4，0），Q（6，1.5），
∴MN=，；
故答案为：5，2.5；
（2）分两种情况：
①当MN较小时，
直线中，当x=0时，y=b；当y=0时，x=，
∴图象与坐标轴交点为M（，0），N（0，b），
∴，
解得b=1或b=-1（舍去）；
②当PQ较小时，
直线中y=0时，x=，∴与x轴交点P（，0），
当直线与矩形OABC的AB边相交时，令=6，则y=4.5-b，∴Q（6，4.5-b），
∴（6-）2+（4.5-b）2=（）2，
解得b=5.5或b=3.5；
当b=3.5时，直线，当y=0时，x=<6；
当b=5.5时，直线，当y=0时，x=>6，故舍去；
当直线与矩形OABC的BC边相交时，令y=3，则x=4+，∴Q（4+，3），
∵（4+-4）2+32=52≠，
∴此种情况不成立，
故b的值为1或3.5，
故答案为：1或3.5；
（3）解：∵M与N不重合，P与Q不重合，
∴-3∵与的k值相等，b值互为相反数，
∴两直线平行，且关系直线对称，
∵直线的图象与坐标轴交点为M（，0），N（0，b），
∴，
∵直线的图象与坐标轴交点为P（，0），Q（6，4.5-b），
∴，
当MN=PQ时，，
解得b=-1.5，
图1，当-1.5图3，当b=-1.5时，d1=MN=PQ，
图2，当-3故当b=-1.5时，d1有最大值，此时d1=MN=PQ，
此时P（0，1.5），Q（2，3），M（2，0），N（0，-1.5），
∴CQ=OM=2，CP=ON=1.5，PN=QM=3，
∴△CQP≌△OMN，，
∴PQ=MN，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∴对角线交点的坐标为（），即（），
综上，d1的最大值为2.5，四边形对角线交点坐标为（）
44．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”．
已知点N（3，0），A（1，0），B（0，），C（，﹣1）．
（1）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 ；
②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；
（2）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）①B、C；②或≤a≤2；
（2）≤r≤1或3≤r≤9．
【解析】（1）解：①如图1，
∵点A到ON的最大距离是2，到ON的最小距离是0，
∴点A不是ON的二分点，
∵OB=，BN=2，
∴BN=2OB，
∴B点是ON的二分点，
∵CD=1，OC=2，
∴点C是ON的二分点，
故答案是：B、C；
②如图2，
当OC=2是最小值时，最大值是OD=4，
∴，
∴（舍去），，
当最小值是1时，a≥，
最大值是2时，
∵OC=2，
∴a≤2，
∴≤a≤2，
综上所述：a= 或≤a≤2；
（2）
解：如图3，
当点A在⊙O外时，设点M在AN上，M（x，0），（1≤x≤3），
假设M是⊙O的二分点，
∴x+r=2（x-r），
∴x=3r，
∴1≤3r≤3，
∴≤r≤1；
如图4，
点M在⊙O内，
∴x+r=2（r-x），
∴x=，
∴1≤≤3，
∴3≤r≤9，
综上所述：≤r≤1或3≤r≤9．
【分析】（1）①计算每个点到ON的最大和最小值，可推断出结果；
②分为当最小值是1，和最大值是2两种情形；
（2）当AN上的点在圆外和外内两种情形；
（1）解：①如图1，
∵点A到ON的最大距离是2，到ON的最小距离是0，
∴点A不是ON的二分点，
∵OB=，BN=2，
∴BN=2OB，
∴B点是ON的二分点，
∵CD=1，OC=2，
∴点C是ON的二分点，
故答案是：B、C；
②如图2，
当OC=2是最小值时，最大值是OD=4，
∴，
∴（舍去），，
当最小值是1时，a≥，
最大值是2时，
∵OC=2，
∴a≤2，
∴≤a≤2，
综上所述：a= 或≤a≤2；
（2）解：如图3，
当点A在⊙O外时，设点M在AN上，M（x，0），（1≤x≤3），
假设M是⊙O的二分点，
∴x+r=2（x-r），
∴x=3r，
∴1≤3r≤3，
∴≤r≤1；
如图4，
点M在⊙O内，
∴x+r=2（r-x），
∴x=，
∴1≤≤3，
∴3≤r≤9，
综上所述：≤r≤1或3≤r≤9．
45．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为弧AC的中点，连结AC，BE交于点D，过点A作AF⊥AB交BE的延长线于点F，AF＝3.
（1）求证：AD=AF；
（2）求△ABD的周长；
（3）若点P为⊙O上一点，当△AEP为等腰三角形时，求AP的长.
【答案】（1）证明：连接AE，如图：
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∵AF⊥AB，
∴∠FAB=90°
∴∠B+∠F=90°，
∵点E为弧AC得中点，
∴
∴∠B=∠EAD，
∴∠F=∠ADE
∴AD=AF；
（2）解：在Rt△ABF中，∵AF=3，AB=4，
∴FB=5，
∵S△ABF=
∴
∴AE=，
在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=，
在Rt△AED中，由勾股定理得ED=，
∴BD=BE－ED=，
∴△ABD的周长4＋3＋=；
（3）解：①当AE=AP时，
∵
∴
②当AE=PE时，连接OE交AC于点M，如图：
∵点E为弧AC的中点，
∴
∴P与C重合，
在中，
在中，
∴
解得：
∴
∴
③当AP=PE时，连接OP交AE于N，如图：
∴
在中，
∴
在中，
延长PO交圆O于点P'，则P'E=P'A，
在中，
综上所述，AP的长为：或或或.
【解析】【分析】（1）连接AE，根据"直径所对的圆周角为直角"得到∠AEB=90°，再根据"等弧所对的圆周角相等"得到∠B=∠EAD，进而根据等角的余角相等得到∠F=∠ADE，最后根据"等角对等边"即可求解；
（2）首先由勾股定理算出FB=5，利用等面积法求出AE的长，再利用勾股定理求出BE和DE的长度，进而得到BD的长度，从而即可求出△ABD的周长；
（3）由题意知需分三种情况，①当AE=AP时，②当AE=PE时，P与C重合，③当AP=PE时，分别计算即可求解.
46．如图，四边形ABCD是一个正方形，E，D，A，F四点在一直线上，且ED=DA=AF=2厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）
【答案】解：S阴=S正-S扇+S扇-S△+S△-S小扇
S阴=S正-S小扇
S阴=22-45×π×22360=2.43
答：阴影部分的面积是2.43平方厘米。
【解析】【分析】三角形CDE和三角形BAF是完全一样的等腰直角三角形，阴影部分的面积=正方形的面积-最右边扇形的面积；其中，正方形的面积=边长×边长，扇形的面积=π×半径2×45° ÷360°。
47．如图，AB 为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB于E，F 为 BA延长线上一点，CA恰好平分∠FCE.
（1）求证：FC与⊙O相切；
（2）连结OD，若OD∥AC，求 的值.
【答案】（1）（1）证明：如图，连接OC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∵CD⊥AB于E，
∴∠AEC=90°，
∵CA平分∠FCE，
∴∠ACF=∠ACE，
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OAC+∠ACE=90°，即FC⊥OC
∵OC是⊙O的半径
∴FC与⊙O相切
（2）解：∵OC=OD，CD⊥AB，
∴∠COF=∠DOF，
∵OD∥AC，
∴∠DOF=∠OAC，
∴∠COF=∠OAC=∠OCA=60°，
∴OC=OA=AC，
∵CF与⊙O相切，
∴OC⊥CF，即∠OCF=90°，
∵∠COF=60°
∴∠F=30°，∠ACF=30°，
∴AC=AF，
又∵AC=OA，
∴AF=OA
∵AB=2OA，
∴．
故答案为：
【解析】【分析】（1）连接OC，利用CD⊥AB，得∠AEC=90°，通过证明∠OCA=∠OAC ，得到∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OAC+∠ACE=90°，再依据OC为⊙O的半径，即可证明FC与⊙O相切；
（2）由等腰三角形的“三线合一”得∠COF=∠DOF，再利用OD∥AC，得到△OAC为等边三角形，推出∠F=30°，在Rt△OCF中，∠F=30°，易得AF=AC=AO，即可计算的值 ．
48．阅读下面的例题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0
解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝﹣2；
∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
【答案】解：当x﹣1≥0即 x≥1时，原方程化为x2﹣（x﹣1）﹣1＝0，即x2﹣x＝0， 解得x1＝0，x2＝1， ∵x≥1，∴x＝1； 当x﹣1＜0即x＜1时，原方程化为x2+（x﹣1）﹣1＝0，即x2+x﹣2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1 ∵x＜1，∴x＝﹣2， ∴原方程的根为x1＝1，x2＝﹣2．
【解析】【分析】将方程化为关于x的一元二次方程，求出方程的解得到x的值，即为|x﹣1|的值，利用绝对值的代数意义即可求出x的值，即为原方程的解．
49．王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22-22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x-1）2+3的最小值为 ．
（2）求代数式x2+10x+32的最小值．
（3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
【答案】（1）3
（2）解：x2+10x+32＝x2+10x+25-25+32＝（x+5）2+7，
∵（x+5）2≥0，∴（x+5）2+7≥7．
当（x+5）2＝0时，（x+5）2+7的值最小，最小值是7，
∴x2+10x+32的最小值是7；
（3）解：
＝-（x2-6x）+5
＝-（x2-6x+9-9）+5
＝-（x-3）2+3+5
＝-（x-3）2+8，
∵（x-3）2≥0，
∴-（x-3）2≤0，
∴-（x-3）2+8≤8，
∴当（x-3）2＝0时，-x2+2x+5有最大值，最大值是8．
【解析】【解答】解：（1）当x=1时， （x-1）2+3有最小值，为3.
【分析】（1）直接代入x=1即可得出答案；
（2）对代数式x2+10x+32 进行配方，从而得出答案；
（3）对 代数式进行配方，根据-＜0，可得该代数式的最大值.
50．如图，为直径，为的弦，，延长至，且，的半径为6．
（1）求证：直线与相切；
（2）如图1，若，求阴影部分面积；
（3）如图2，若，求的值．
【答案】（1）证明：，，
，即∠DEO=90°，
为的半径，
直线与相切。
（2）解：如图，过点作于，连接，
四边形为矩形
是等边三角形
，，
。
（3）解：如图，过点作于，过点作于，则四边形为矩形，
设，则
解得（舍去）或
．
【解析】【分析】本题考查圆的综合题型，切线的判定，平行线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定与性质．
（1）根据“两直线平行、同旁内角互补”即可得出∠DEO=90°，然后根据切线的判定可得结论；
（2）根据“四个角都是直角的四边形是矩形”即可先证明四边形为矩形，此时即可得出，进而确定△ACO是等边三角形，即，并利用勾股定理求出OF的长，最后由即可得出；
（3）放到直角三角形CME和OFA中，根据勾股定理，用含的式子表达出，再根据求出即可．
（1）证明：，
为的半径
直线与相切；
（2）如图，过点作于，连接，
四边形为矩形
是等边三角形
，，
；
（3）如图，过点作于，过点作于，则四边形为矩形，
设，则
解得（舍去）或
．
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