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【精选热题·期末50道填空题专练】湘教版数学八年级上册总复习
1．如图，点 是 的平分线 上一点， ，若 ，则 的度数为 .
2．分解因式：
3．若分式的值为0，则 ．
4．三角形三边长分别为，，，则的取值范围是
5．如图，已知ABCD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是 ．
6．已知二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
7．如图，在 中，，， 的垂直平分线交 于点 ， 的垂直平分线交 于点 ，则 度.
8． 已知分式满足“只含有字母 ， 且当 时分式的值为0 ”， 请写出一个这样的分式为
9．如图，等腰中，，，为内一点，且，，则 .
10．如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD=110°，则的度数为
11．已知，，计算 ．若的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ．
12．如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE=30°，EC=2，则EF= ．
13．在中，，，点在上，，将线段沿着方向平移得到线段，点，分别落在，边上，则的周长为 ．
14．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长是 cm.
15．已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为 ．
16． 如图，在中，，点在的延长线上，是的中点，连接，若，则的度数是 ．
17．计算：
18．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝ ．
19．如图的阴影部分是一个半圆，它的面积是 ．（结果保留π）
20．要使有意义，x的取值范围是 .
21．如图，，点P为的角平分线上一点，的垂直平分线交，分别于点M，N，点E为上异于点M的一点，且，则的面积为 .
22．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 ．
23．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
24．如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的角平分线交于点 O，MN 过点 O，且MN∥BC，分别交 AB、AC 于点 M、N．若 MN=5cm，CN=2cm，则 BM= cm．
25．若，，则 ．
26．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为 ．
1 b
3 a 2
6 c
27．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于 .
28．已知则x3-xy+2023x=
29．如图在中，，D是上一点，且，F是延长线上一点，，，连接交于E，若，则线段的长为 ．
30．说明“互补的两个角一定是一个锐角一个钝角”是假命题，可举出的反例是 ．
31．若最简二次根式与能合并成一项，则a＝ ．
32．一直角三角形两边长为a，b，且满足，则其第三边长为 ．
33．将化为最简二次根式的结果是 ．
34．如图，在中，以BC为底边在外作等腰，作的平分线分别交AB，BC于点F，E．若，，的周长为30，点M是直线PF上的一个动点，则周长的最小值为 ．
35．如图，木工师傅做完门框后，为了防止变形，常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木条，这样做的数学道理是 ．
36．如图，在△ABC中，三个内角的平分线交于点 D，其中∠CAB=n°，∠CBA=m°，延长 DB 至点 G，∠FCB 与∠CBG的平分线交于点 E，若BE∥AC，则
37．如图，甲，乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，后甲，乙两艘轮船分别到达，两地，且，则乙轮船每小时航行 .
38．最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ．
39．在公式 中， 已知，且 ， 则
40．如图所示，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，△ACD的周长为24，则△ABD的周长为 ．
41．如图，在中，，点D，E，F分别是线段的中点，下列结论：①为等边三角形．②．③．④．其中正确的是 ．
42．甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝ ．
43．如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO=28°，则∠MFE= 度．
44．已知等边△ABC的边长是12，AD⊥BC，AD＝6，若点P在线段AD上运动，则AP+BP的最小值是 ．
45．如图，抛物线y= （p>0），点F（0，p），直线l：y=-p.已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1、B1，连接A1F，B1F，A1O，B1O。若A1F=a，B1F=b，则△A1OB1的面积= （只用a，b表示）.
46．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC= ，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B=
47．已知在等腰中，，．，连接，在的右侧做等腰，其中，，连接E，则的最小值为 (用含的代数式表示)．
48．如图，在△ABC中，∠C=2∠A，过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，则∠A的度数为
49．二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为 ．
50． 如图2是某款台灯（图 1）的示意图，处于水平位置的棤杆 E F 可以绕着点 转动，当 O F 分别转到 O M， O N 的位置时， 测得 ， 点 M， N 的高度差为 ， 点 ， 的水平距离 ， 点 M， F 的水平距离 ， 若该台灯的底座高度 ，垂直于底座的灯柱长 O A 与 O F 长度一样，从 点射出的光线与桌面成 ，则光线所照区域最大范围 B P 为 cm .
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【精选热题·期末50道填空题专练】湘教版数学八年级上册总复习
1．如图，点 是 的平分线 上一点， ，若 ，则 的度数为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵CE∥OB，∠ECO＝20°，
∴∠COB＝∠ECO＝20°，
∵点C在∠AOB的平分线OP上，
∴∠AOB＝2∠COB＝40°，
故答案为：40°.
【分析】两直线平行，内错角相等.所以，∠ECO=∠BOC=20°.根据OP平分∠AOB，可得∠AOB＝2∠COB＝40°.
2．分解因式：
【答案】
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】直接利用完全平方公式即可.
3．若分式的值为0，则 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：3．
【分析】利用分式的值为0的条件：分子为零且分母不为零，可得到关于x的方程和不等式，然后求解即可.
4．三角形三边长分别为，，，则的取值范围是
【答案】
【解析】【解答】解：由三角形三边关系定理得：7-4
故答案为：3【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可求解.
5．如图，已知ABCD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是 ．
【答案】140°/度
【解析】【解答】解：过点H作，延长EF交CD于点N，如图所示：
∵，，
∴，EN⊥CD，
∴∠EHM＝∠AEH＝20°，∠ENG＝90°，∠CGH＝∠GHM，
∴∠GHM＝∠EHG ∠EHM＝30°，
∴∠CGH＝30°，
∴∠CGF＝∠CGH＋∠FGH＝50°，
∵∠EFG是△FGN的外角，
∴∠EFG＝∠ENG＋∠CGF＝140°．
故答案为：140°．
【分析】过点H作，延长EF交CD于点N，先根据平行公理及其推论得到，进而根据平行线的性质得到∠EHM＝∠AEH＝20°，∠ENG＝90°，∠CGH＝∠GHM，再结合题意进行角的运算得到∠CGF的度数，进而根据三角形外角的性质即可求解。
6．已知二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得：x≥1；
故答案为：x≥1.
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可得出答案.
7．如图，在 中，，， 的垂直平分线交 于点 ， 的垂直平分线交 于点 ，则 度.
【答案】10
【解析】【解答】解：∵ 的垂直平分线交 于点， 的垂直平分线交 于点
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
又∵∠B=40°，∠C=45°，
∴∠B+∠C=85°，∠BAC=95°，
∴∠BAD+∠CAE=85°，
∴∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=95°-85°=10°，
故答案为：10°.
【分析】利用垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=CE，再利用等边对等角的性质及等量代换可得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再用角的运算求出∠BAD+∠CAE=85°，最后利用角的运算求出∠DAE的度数即可.
8． 已知分式满足“只含有字母 ， 且当 时分式的值为0 ”， 请写出一个这样的分式为
【答案】
【解析】【解答】解：∵分式满足“只含有字母 ， 且当 时分式的值为0 ”
∴这个分式可以是.
故答案为：.
【分析】利用已知条件：分式满足“只含有字母 ， 且当 时分式的值为0 ”，据此可写出符合题意的分式.
9．如图，等腰中，，，为内一点，且，，则 .
【答案】65°
【解析】【解答】解：作∠BAC的角平分线AP交BO延长线于点P，连接CP，如图，
∵ AP平分∠BAC，∠BAC=70°，
∴ ∠BAP=∠CAP=35°，
∵ AB=AC，AP=AP，
∴ △ABP≌△ACP（SAS），
∴ ∠ACP=∠ABP=25°，
∵ AB=AC，∠BAC=70°，
∴ ∠ACB=∠ABC=55°，
∴ ∠OBC=∠ABC-∠ABO=30°，
∵ ∠OCB=5°，
∴ ∠OCP=25°，
∵ ∠POC=∠OBC+∠OCB，
∴ ∠POC=35°，
∴ ∠POC=∠PAC，
∵ PC=PC，
∴ △POC≌△PAC（AAS），
∴ PO=PA，
∵ ∠APC=180°-∠PAC-∠ACP=120°，
∴ ∠OAP=30°，
∴ ∠OAC=∠OAP+∠CAP=30°+35°=65°.
故答案为：65°.
【分析】作∠BAC的角平分线AP交BO延长线于点P，连接CP，根据角平分线的定义可得 ∠BAP=∠CAP=35°，根据SAS判定△ABP≌△ACP得∠ACP=∠ABP=25°，根据等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC=55°，根据外角可得∠POC=35°，根据AAS判定△POC≌△PAC推出 PO=PA，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠OAP，即可求得.
10．如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD=110°，则的度数为
【答案】35°
【解析】【解答】解：∵OC＝OD，
∴∠C＝∠D，
∴∠C=（180° ∠COD）=×（180° 110°）＝35°，
∵CD∥AB，
∴∠AOC＝∠C＝35°，
∴的度数为35°．
故答案为：35°．
【分析】先利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出∠C=（180° ∠COD）=×（180° 110°）＝35°，再利用平行线的性质可得∠AOC＝∠C＝35°，从而可得的度数为35°．
11．已知，，计算 ．若的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ．
【答案】；16
【解析】【解答】解：由题意可得：
，
∵的值为正整数，为整数
∴或2或3或6，
∴符合题意的，3，4，7，
∴满足条件的所有整数a的和为，
故答案为：，16．
【分析】首先根据分式的混合运算化简分式可得出原，再根据的值为正整数， 即可得出或2或3或6，进一步即可得出符合题意的，3，4，7，进一步求和即可。
12．如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE=30°，EC=2，则EF= ．
【答案】4
【解析】【解答】如图，过点E作，交OA于点D
∵点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，
∴
∵∠AFE=30°，
∴
故答案为：4．
【分析】过点E作，交OA于点D，根据角平分线的性质可得，然后利用角所对的直角边等于写变得一半解题即可．
13．在中，，，点在上，，将线段沿着方向平移得到线段，点，分别落在，边上，则的周长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵将线段沿着方向平移得到线段，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：.
【分析】根据平移的性质得到，从而由平行线的性质得，然后根据等腰三角形“等边对等角”性质得，同时求出，进而推出，根据等腰三角形的判定得到，最后求出的值即可.
14．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长是 cm.
【答案】13
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作关于EF的对称点A'，
∵.高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
∴此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A'D=5cm，BD=12-3+AE= 12cm，
∴
即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长是13cm，
故答案为：13.
【分析】根据题意先作图，再求出蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，最后利用勾股定理计算求解即可
15．已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：解不等式得，x>2，
解不等式得，x>a-2，
∵不等式组的解集为， 故此时a-2≤2，解得a≤4，
解分式方程得，，
又∵该分式方程的解为正整数，
∴a-1能够被6整除，解得a=2或4或7，
结合a≤4，
∴符合题意的a的值为2，4，
∴满足条件所有整数a的乘积为8.
故答案为：8.
【分析】用含a的式子表示一元一次不等式组的解集，根据题意分析此时a的取值范围，需注意取等符号；其次同理用含a的式子表示分式方程的解，进而根据式子结构分析解为正整数，需注意排除分式增根情况；结合二者即可得出符合情况的整数a的乘积.
16． 如图，在中，，点在的延长线上，是的中点，连接，若，则的度数是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，是的中点，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：25°．
【分析】根据题意可知是直角三角形，利用直角三角形斜边中线的性质可知，再推出，再根据三角形的外角性质得到，据此求解即可．
17．计算：
【答案】
【解析】【解答】解：
，
故填：．
【分析】根据异分母分式减法法则，先通分再根据分母不变，分子相加减计算即可 ．
18．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝ ．
【答案】40°
【解析】【解答】解：对原图添加字母，如下图，
∵AB=BC，∠C=30°，
∴∠C=∠BAC=30°，
∴∠ABC=120°，
∵∠1=80°，
∴∠ABD=40°，
∵l1∥l2 ，
∴∠2=∠ABD=40°.
故答案为：40°.
【分析】先根据等腰三角形及三角形的内角和定理计算出∠ABC的大小，进而由角的和差得到∠ABD的大小，再根据平行线的性质得到∠2的大小即可.
19．如图的阴影部分是一个半圆，它的面积是 ．（结果保留π）
【答案】
【解析】【解答】解：圆的直径长=，
∴半圆的面积为，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出圆的直径长，再利用半圆的面积公式计算即可。
20．要使有意义，x的取值范围是 .
【答案】x≥1
【解析】【解答】解：由条件得：3x-3≥0，
解得：x≥1
故答案为：x≥1.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，可以求出x的范围.
21．如图，，点P为的角平分线上一点，的垂直平分线交，分别于点M，N，点E为上异于点M的一点，且，则的面积为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接PM，过点P作PC⊥OA于点C，设MN交OP于点D，
，OP为∠AOB的角平分线，
MN为OP的垂直平分线
，
，
又
，
Rt△CPE中，
故答案为：.
【分析】连接PM，过P作PC⊥OA于C，设MN交OP于点D，根据角平分线的定义得∠MOP=15°，根据线段垂直平分线的定理得MN⊥OD，MP=MO，从而利用ASA判断出△OMD≌△OND，根据全等三角形的性质得OM=ON，进而可以推出MP=PE=2，根据等边对等角得∠MOP=∠MPO=15°，结合三角形外角性质得∠PMA=30°，再根据等边对等角得∠PEC=30°，根据含30°角直角三角形的性质得PC=1，进而结合等腰三角形的三线合一及勾股定理可求出ME的长，根据OE=OM+ME算出OE的长，最后根据三角形的面积计算公式算出答案.
22．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 ．
【答案】45
【解析】【解答】解：如图，
在△PAB和△OCB中，
∴△PAB≌△OCB，
∴∠APB=∠COB，
又∵∠COB+∠BOD=45°，
∴∠DPB+∠DOB=45°，
即：∠P+∠Q=45°。
故答案为：45
【分析】
根据网格特点可证△PAB≌△OCB，进而根据三角形全等的性质可得∠APB=∠COB，再根据正方形的性质可得∠COB+∠BOD=45°，然后进行等量代换即可求解，
23．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴x-5≥0，
∴x≥5，
故答案为：x≥5
【分析】根据二次根式有意义的条件（根式内大于等于0）即可求解.
24．如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的角平分线交于点 O，MN 过点 O，且MN∥BC，分别交 AB、AC 于点 M、N．若 MN=5cm，CN=2cm，则 BM= cm．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 O，
∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠OBC=∠MOB，∠NOC=∠OCB，
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠OCN，
∴BM=MO，ON=CN，
∴MN=MO+ON，即 MN=BM+CN，
∵MN=5cm，CN=2cm，
∴BM=5﹣2=3cm.
故答案为： 3
【分析】根据角平分线的定义可得∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，再根据直线平行性质可得∠OBC=∠MOB，∠NOC=∠OCB，则∠MBO=∠MOB、∠NOC=∠OCN，根据等腰三角形的性质可得BM=MO，ON=CN，再根据边之间的关系即可求出答案.
25．若，，则 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵
故答案为：3.
【分析】根据同底数幂的除法计算法则，计算即可.
26．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为 ．
1 b
3 a 2
6 c
【答案】18
【解析】【解答】解：∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等，
∴，
解得，，
故答案为：18．
【分析】根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等，可得到方，求出a、b、c的值后再代入计算．
27．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于 .
【答案】30°或120°或150°
【解析】【解答】解：①如图，∵∠ADB=90°，AD=，
∴∠B=30°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=30°，
∴∠ACB = 180° - 30° - 30° = 120°；
②如图： ∠ADB=90°，AD=AC，
∴∠ACD=30°，
∵AC= BC，
∴∠CAB = ∠B = 15°，∠ACB =180°-30°=150°；
③如图，∠ADB=90°，AD=BC，
∴∠B=30°，
∴AB= BC，
∴∠CAB = ∠C = 75°，
∴∠B=30°
故答案为：D.
【分析】可分为三种情况：① 钝角等腰三角形一腰上的高等于底边的一半，可得出 顶角等于 120°；② 钝角等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，可得出顶角等于 120°；锐角等腰三角形一腰上的高等于底边的一半，可得出 顶角等于30°，综上即可得出答案。
28．已知则x3-xy+2023x=
【答案】0
【解析】【解答】解：∵y=x2+2023
∴x2-y=-2023，
∴x3-xy+2023x=x（x2-y+2023）=x(-2023+2023)=0.
故答案为：0.
【分析】由已知等式得x2-y=-2023，然后将待求式子利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算即可.
29．如图在中，，D是上一点，且，F是延长线上一点，，，连接交于E，若，则线段的长为 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：过点D作于点H，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：8.
【分析】过点D作于点H，根据题意得到，再根据全等三角形的判定得到，推出AE=3CE，即可得到结论.
30．说明“互补的两个角一定是一个锐角一个钝角”是假命题，可举出的反例是 ．
【答案】互补的两个角可以都是直角
【解析】【解答】解：互补的两个角可以是一个锐角一个钝角，也可以都是直角.
故答案为：互补的两个角可以都是直角.
【分析】根据互补的两个角和为180°分析即可.
31．若最简二次根式与能合并成一项，则a＝ ．
【答案】1
【解析】【解答】解：由题意可知：a+1＝2，
∴a＝1，
故答案为：1．
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得a+1＝2，再求出a的值即可。
32．一直角三角形两边长为a，b，且满足，则其第三边长为 ．
【答案】或1
【解析】【解答】解：当，是两直角边，
，
，，
解得，，，
当a，b都是直角边时，由勾股定理得，斜边，
当为斜边时，第三边，
故答案为：或1．
【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性可得，，求出a、b的值，再利用勾股定理求解即可.
33．将化为最简二次根式的结果是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】把被开方数写成的形式，再化简，特别要注意最简二次根式中被开方数必须为整数且不能含有能开得尽方的因数或因式，不能含有分母。
34．如图，在中，以BC为底边在外作等腰，作的平分线分别交AB，BC于点F，E．若，，的周长为30，点M是直线PF上的一个动点，则周长的最小值为 ．
【答案】18
【解析】【解答】解：是以为底边的等腰三角形，平分，
垂直平分，
点与点关于对称，
，如图所示，
当点与点重合时，，
此时的周长最小，
，，的周长为30，
，
周长的最小值为．
故答案为：18．
【分析】根据等腰三角形性质及角平分线性质额可得垂直平分，则点与点关于对称，即，当点与点重合时，，此时的周长最小，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
35．如图，木工师傅做完门框后，为了防止变形，常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木条，这样做的数学道理是 ．
【答案】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：结合图形，为防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【分析】利用三角形的稳定性求解即可。
36．如图，在△ABC中，三个内角的平分线交于点 D，其中∠CAB=n°，∠CBA=m°，延长 DB 至点 G，∠FCB 与∠CBG的平分线交于点 E，若BE∥AC，则
【答案】
【解析】【解答】解：因 为 BD 平 分 ∠CBA，且∠CBA=m°，
所以
因为延长 DB 至点 G，
所以∠CBD+∠CBG=180°，
所以∠CBG = 180°-∠CBD = 180°-
因为 BE 平分∠CBG，
所以∠CBE =
因为∠FCB 是△ABC 的一个外角，且∠CAB=n°，
所以∠FCB=∠CBA+∠CAB=m°+n°.
因为 BE∥AC，
所以∠FCB+∠CBE = 180°，
所以
所以 90，所以 ，
故答案为：
【分析】利用角平分线的概念，可得出，结合邻补角互补，可得出，结合角平分线的定义，可得出，由∠FCB是△ABC的外角，利用三角形的外角性质，可得出∠FCB=m°+n°，由BE//AC，利用“两直线平行同旁内角互补”，可得出，再将其代入中，即可求出结论。
37．如图，甲，乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，后甲，乙两艘轮船分别到达，两地，且，则乙轮船每小时航行 .
【答案】16
【解析】【解答】解：∵甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，
∴AO⊥BO.
∵1小时后两艘轮船相距20海里，
∴OA=12×1=12(海里)，AB=20海里，
在Rt△AOB中，(海里)，
∴乙轮船平均每小时航行16÷1=16(海里)，
故答案为：16.
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间以及勾股定理解答即可.
38．最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴．
故正确答案为：4．
【分析】由同类二次根式的定义可知，被开方数相同，所以a+1=5，进而解方程求出a的值即可.
39．在公式 中， 已知，且 ， 则
【答案】
【解析】【解答】∵-=1，
∴×s（s+b）-×s（s+b）=1×s（s+b），
∴s（s+a）-2b（s+b）=s（s+b），
∴s2+as-2bs-2b2=s2+bs，
∴as-3bs=2b2，
∴（a-3b）s=2b2，
∵，
∴s=
【分析】先去分母、去括号、移项，把含s的项移到等号的左边，不含s的项移到等式的右边、然后再合并同类项、最后把s的系数化为1，即可得到用含a、b的式子表示s.
40．如图所示，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，△ACD的周长为24，则△ABD的周长为 ．
【答案】26
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∵△ACD的周长为24，AC=6，
∴CD+AD=24-AC=18，即BD+AD=18，
∴△ABD的周长为AB+BD+AD=8+18=26，
故答案为：26.
【分析】根据中线的性质得到BD=DC，根据△ACD的周长求出CD+AD=18，即可得到BD+AD=18，然后求出△ABD的周长即可.
41．如图，在中，，点D，E，F分别是线段的中点，下列结论：①为等边三角形．②．③．④．其中正确的是 ．
【答案】①②④
【解析】【解答】解：①，D为的中点，
，，
是等边三角形，是等腰三角形，
，，
是线段的中点，
，，
，
E分别是线段的中点，
，，
设，则，
，，
，
，
，
是等边三角形，①正确；
②分别为的中点，
∴，
∴，
∴，
，
，
，故②正确；
③，
，故③错误；
④是等边三角形，，
∴，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，①②④都正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据等边三角形和等腰三角形的判定与性质结合题意得到，，，，再根据直角三角形斜边上的中线的性质结合题意得到，，设，则，根据勾股定理结合题意得到，，再根据等边三角形的判定即可判断①；根据三角形中位线定理结合题意得到，进而根据平行线的性质得到，根据勾股定理表示出DE，再根据三角形的面积结合题意等量代换即可判断②；根据题意等量代换即可判断③；根据等边三角形的性质结合题意得到，，再根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可判断④.
42．甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝ ．
【答案】21
【解析】【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），
∴a＝6，
乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），
∴b＝9，
∴2a+b＝12+9＝21．
故答案为：21．
【分析】根据题意：分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，但是a符合题意，分解结果为（x+2）（x+4），a为6；乙看错了a，但是b符合题意，分解结果为（x+1）（x+9），b为9．代入2a+b即可．
43．如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO=28°，则∠MFE= 度．
【答案】56
【解析】【解答】解：∵FE∥ON，∠FEO=28°，
∴∠NOE=∠FEO=28°，
∵OE平分∠MON，
∴∠NOE=∠EOF=28°，
∵∠MFE是△EOF的外角，
∴∠MFE=∠OEF+∠EOF=28°+28°=56°．
故答案为：56．
【分析】先根据平行线的性质得出∠NOE=∠FEO，再根据角平分线的性质得出∠NOE=∠EOF，由三角形外角的性质即可得出结论．
44．已知等边△ABC的边长是12，AD⊥BC，AD＝6，若点P在线段AD上运动，则AP+BP的最小值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点P，
∴∠AEP=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠ABE＝30°，
∴，
∵AB=12，
∴AE=6，
∴，
又∵AD⊥BC，
∴，
∴，
∴，
∴当BP⊥AC时，PE+BP有最小值为BP，即此时取得最小值，
∴的最小值是，
故答案为：．
【分析】过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点P，根据等边三角形的性质“三线合一”得∠ABE＝30°，∠DAC=30°，然后根据含30°的直角三角形的性质得，，得，从而有当BP⊥AC时，PE+BP有最小值为BP，即此时取得最小值，利用勾股定理求出BE的长，即可求解.
45．如图，抛物线y= （p>0），点F（0，p），直线l：y=-p.已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1、B1，连接A1F，B1F，A1O，B1O。若A1F=a，B1F=b，则△A1OB1的面积= （只用a，b表示）.
【答案】
【解析】【解答】根据题意知BB1∥y轴
∴∠BB1F=∠B1FO
∵BF=BB1
∴∠BFB1=∠BB1F，∠BFB1=∠B1FO，∠AFA1=∠A1FO
∵∠BF1+∠B1FO+∠AFA1+∠A1FO=180°
所以 ∠A1DB1=90°
S△A1FB1=
O点到点F的距离与到直线l的距离相等
所以S△A1OB1=
【分析】根据平行线、等腰三角形和直角三角形的性质进行求解。
46．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC= ，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B=
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接BB′，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB=BB′，
在△ABC′和△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，
∴∠ABC′=∠B′BC′，
延长BC′交AB′于D，
则BD⊥AB′，
∵∠C=90°，AC=BC= ，
∴AB= =2，
∴BD=2× = ，
C′D= ×2=1，
∴BC′=BD C′D= 1.
故答案为： 1.
【分析】连接BB′，由旋转的性质可得AB=AB′，∠BAB′=60°，推出△ABB′是等边三角形，得AB=BB′，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，利用勾股定理求出AB，进而求出BD、CD，最后根据BC′=BD C′D进行计算.
47．已知在等腰中，，．，连接，在的右侧做等腰，其中，，连接E，则的最小值为 (用含的代数式表示)．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点作交延长线于，过点作于，作的垂直平分线交于，连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
当、、三点共线时，为最小值，
当、、三点共线时，，
，
，
与重合，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
的垂直平分线交于，
，
，
，
在中，，
即的最小值
故答案为：．
【分析】过点E作EF⊥CE交CB延长线于F，过点A作AH⊥BC于H，作AC的垂直平分线交AH于K，连接CK，根据手拉手模型，利用SAS证明△BAD≌△CAE，由全等三角形的对应角相等得∠ACE=∠B，根据三角形的内角和定理、平角定义可求得∠ECF=30°，则由含30度角的直角三角形的性质得到CF=2EF，进而根据勾股定理表示出CE、EF、得出，故当A、E、F三点共线时，AE+EF=AF为最小值，当A、E、F三点共线时，∠F=60°，即∠DAF=30°，根据含30°角直角三角形的性质可得，根据等腰三角形的三线合一得， 由等边对等角及三角形外角性质得出∠CKH=30°，最后再根据含30°角直角三角形的性质及勾股定理求解即可.
48．如图，在△ABC中，∠C=2∠A，过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，则∠A的度数为
【答案】
【解析】【解答】解：∵过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，
共分以下几种情况：
①如下图1 ，当AD =CD，DC=DB时：
∴∠A=∠ACD，∠B=∠DCB，
∵∠ACB=2∠A，
设∠A=x°，则∠ACD=x°，∠B=∠DCB=x°，
在△ABC中，x°+x°+2x°=180°，
解得：x=45°，
∴∠A=45°；
②如下图2，当AD=DC，CD=CB时：
∴∠A=∠ACD，∠BDC=∠B，
设∠A=x°，则∠B=∠BDC=∠A+∠ACD=2x°，∠ACB=2∠A=2x° ，
在△ABC中，x°+2x°+2x°=180°，
解得：x=36°，
∴∠A=36°；
③当AD=DC，DB=DC时：
∴∠A=∠ACD，∠BDC=∠BCD，
∵∠ACB=2∠A，∴∠ACD=∠BCD，
设∠A=x°，则∠ACD=x°，∠BDC=∠A+∠ACD=2x°，
这时∠BDC=2x°与∠BDC=∠BCD=∠ACD=∠A=x°矛盾，
∴这种情况不存在；
④如下图3，当AD=AC，DB=DC时：
∴∠ADC=∠ACD，∠B=∠DCB，
设∠A=x°，则∠ACD=，
∵∠ACB=2∠A=2x°，∴∠B=∠DCB=2x°-=，
在△ABC中，x°+2x°+=180°，
解得：x=°，
∴∠A=°；
⑤如下图3，当CA=CD，DB=DC时：
∴∠A=∠ADC，∠B=∠DCB，
设∠A=x°，则∠ADC=x°，∠ACD=180°-2x°，
∵∠ACB=2∠A=2x°，∴∠B=∠DCB=2x°-（180°-2x°）=4x°-180°，
在△ABC中，x°+2x°+（4x°-180°）=180°，
解得：x=°，
∴∠A=°.
综上，∠A=45°或36°或°或°.
故答案为：45°或36°或°或°.
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，外角和定理等分情况讨论即可. 解题的关键是数形结合思想的运用.
49．二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为 ．
【答案】4：5
【解析】【解答】解：设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y，2月下旬B主题大礼包售价为 ，C主题大礼包售价为A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据题意得，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额分别为
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售之比为
故答案为： 4：5 .
【分析】本题考查分式方程的应用，设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y， 二月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题大礼包增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据2月下旬A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售量，即可得出答案。
50． 如图2是某款台灯（图 1）的示意图，处于水平位置的棤杆 E F 可以绕着点 转动，当 O F 分别转到 O M， O N 的位置时， 测得 ， 点 M， N 的高度差为 ， 点 ， 的水平距离 ， 点 M， F 的水平距离 ， 若该台灯的底座高度 ，垂直于底座的灯柱长 O A 与 O F 长度一样，从 点射出的光线与桌面成 ，则光线所照区域最大范围 B P 为 cm .
【答案】
【解析】【解答】解：过N作NK⊥BP交EF于J点，延长GM交EB于L点，
由题易得△ELM≌△EJN，
设LM=JN=x，则EJ=x+16-2=x+14，EL=FG=34-x，
∵EJ=EL，
∴x+14=34-x，解得x=10，
则BK=10+16-2=24cm，
∵OA=OF=10+16=26cm，
∴NK=3+26+10=39cm，
在Rt△NKP中，∠P=60°，
∴KP==cm，
故BP=cm，
故答案为：.
【分析】本题根据△ELM≌△EJN，利用对应边相等列方程求解出相关线段，结合含60°的直角三角形三边关系求解即可.
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