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【精选热题·期末50道解答题专练】湘教版数学八年级上册总复习
1．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂和，、的长表示两个工厂到河岸的距离，其中是进水口，、为污水净化后的出口．已知，，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，米，米，求两个排污口之间的水平距离．
2． 2018年6月28日，深湛高铁正式运营．从湛江到广州全程约468km，高铁开通后，运行时间比特快列车所用的时间减少了6h．若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的3倍，求特快列车与高铁的平均速度．
3．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长是2.3m．
（1）此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．
（2）为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？
4．某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款 1.5万元，付乙厂货款1.1万元.指挥中心的负责人根据甲、乙两厂的投标测算，可有三种施工方案：
方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；
方案②：乙厂单独完成这项任务比规定日期多用5天；
方案③：甲、乙两厂合作4 天后，余下的工程由乙厂单独做也刚好如期完成.
（1）求甲、乙两厂单独完成此项任务各需多少天.
（2）在不耽误工期的前提下，哪个方案是最节省费用的施工方案 请说明理由.
5．如图，，点在边上，，求的度数．
6．如图，已知点，，，在直线上，点，在异侧，且，.
（1）请你添加一个适当的条件：使得.结合所添加的条件证明；
（2）在（1）的条件下，若，，求的长度.
7．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船沿北偏东38°方向航行，乙船以12海里/时速度沿南偏东52°方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C，B两岛相距40海里，问：甲船的航速是多少？
8．已知在 中， ， ， ．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）试在下面 的方格纸上补全△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上。（每个小方格的边长为1）
9．为了进一步弘扬和传承我国悠久而丰富的传统节日文化，在端午节即将来临之际，滨海学校精心策划并成功举办了富有意义的包粽子活动.已知包1个大粽子比包1个小粽子多用50克糯米，用800克糯米包大粽子的数量与用400克糯米包小粽子的数量相同.
（1）求包1个大粽子和1个小粽子分别需用多少克糯米？
（2）八年级8班计划包大、小粽子共60个，且所用糯米总量不超过5000克，那么该班级最多可以包多少个大粽子？
10．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的长．
11．大塔荔枝是四川省宜宾市的著名特产，以果大、肉厚、多汁、味纯、甜中微酸、久吃不腻、品质极佳而独具特色，某水果店老板用3000元购进了一批大塔荔枝，由于荔枝刚在果园采摘比较新鲜，前三天他以高于进价40%的价格共卖出150kg后因荔枝保鲜期短，第四天他发现店里的荔枝卖相已不大好，于是果断地将剩余荔枝以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元．设该水果店老板购进了大塔荔枝．
（1）这批荔枝的进价为 元/kg．（用含x的式子表示）
（2）该水果店老板这次购进大塔荔枝多少千克？
12．嘉琪参加寒假实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．
（1）这台M型平板电脑价值多少元？
（2）嘉琪若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？
13．小丽与小琳在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距OA水平距离0.9m 的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度EM 为0.9m ，已知∠BOC =90°， BD ⊥OA于点D，CE⊥OA于点E ．
（1）求证： △CEO≌ △ODB.
（2）为了安全考虑规定户外秋千设置高度在2m 以下，小丽所在公园的秋千高度设置是否合理？ 为什么？
14．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD为∠BAC的平分线，AE为BC边上的高，求∠DAE的度数．
15．如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？
16．为了改善学校的环境，某中学组织团员植树150棵．实际参加植树的团员人数是原计划参加植树的团员人数的1.5倍，结果实际人均植树的棵数比原计划少1棵．求原计划参加植树的团员人数．
17．如图，小聪想画∠AOB的角平分线，手头没有量角器和圆规，只有一个带刻度的直角三角尺，于是他按如下方法操作：在OA，OB边上量取OC＝OD＝1cm，分别过点C，点D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF与DE交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线．请判断小聪的做法是否可行？并说明理由．
18．今年某厂的生产总值逐月增长，每月的增长率都为p.求今年3月该厂的生产总值与1、2月份这两个月生产总值之和的比.当p=5%时，这个比值是多少
19．如图，已知点C是线段AB的中点，且，．与相等吗？请说明理由．
20．如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，求AD的长．
21．已知△的三边长，，满足，试判断△的形状，并说明理由．
22．已知，，为正数，且，求的值．
23．如图所示，点O在一块直角三角板上（其中），于点M，于点N，若，求度数．
24．如图，点D、E在AB上点F在BC上，点G在AC上，∠1=∠B，∠2=∠3，∠4=80°，求∠ADC的度数.
25．如图，每个小正方形的边长都为．
（1）利用勾股定理求出线段长： ， ， ， ；
（2）求证：．
26．一个零件的形状如图，按规定这个零件的∠A与∠BDC都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DC=12，BC=13，BD=5．这个零件符合要求吗？
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，连接BD，求BD的长.
28．如图， 中， ，在同一平面内，将 绕点 旋转到 的位置，使得 ，求 的度数
29．列方程解应用题：
为了配合足球进校园的活动，实验学校在体育用品专卖店购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元。求购买一个甲种足球，一个乙种足球各需多少元？
30．已知关于，的方程组的解满足不等式，
（1）求实数 的取值范围；
（2）若，方程组的解是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长．
31．已知 ， ，求 的值．
32．已知等腰 中， ，周长是 ，求 的长．
33． 如图，将17米长的绳索一端固定在物体的E处，利用定滑轮C(忽略滑轮大小)向高空运送该物体，已知物体顶部离地面竖直高度DE=1米.当物体放在地面上时，拉紧的绳索的另一端处于A 处，AD=6米.当绳索的一端向左拉至B处时，物体升高5米.求滑轮C离地面的垂直高度 CD和AB的长.
34．如图(1)是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图(2)所示，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC，∠C=50°，求∠D 的大小.
35．已知≤0，若整数k满足m+k＝．试求k的值．
36．如图点在线段上，∥，，，是的中点，试探索与的位置关系，并说明理由.
37．将公式(1-ax≠0)变形成已知x，a，求b的式子．
38．若 可分解为两个一次因式的积，请画好 “十字图”，则整数 p= .
39．某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少要卖多少个？
40． 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，．
（1）试说明：；
（2）求的长．
41．已知（|x|﹣4）x+1=1，求整数x的值.
小红与小明交流如下：
小红：因为a0=1（a≠0），
所以x+1=0且|x|﹣4=0，所以x=﹣1．
小明：因为1n=1，所以|x|﹣4=1，所以x=±5
你认为小红与小明同学的解答完整吗？若不完整，请求出其他所有的整数x的值．
42．已知，AB∥CD，点F 在 AB上，过点F 引射线FM，交 CD 于点G，E 为射线 FG 上一点，连结DE，AE.
（1）如图 1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，求∠AED的度数.
（2）如图2，当点E在射线GM 上时，CD与AE 相交于点 H，则∠AED，∠EAF，∠EDG 之间满足怎样的关系？ 请说明理由.
（3）如图3，在（2）的条件下，I是∠EDC平分线上一点，连结 DI 交 AE 于点 K，连结 AI，若∠EAI：∠BAI= 1 ： 2，∠AED=22°，∠I =20°，求∠EKD的度数
43．对于△ABC，延长边BC到点D，使得CD=CB，延长边CA到点E，使得AE=2AC．若AD=BE，证明：△ABC为直角三角形．
44．如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E．
（1）当时， °， °；
（2）若，试说明；
（3）在点D的运动过程中，的形状可以是以为腰的等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由．
45．如图①，在等边中，点D是线段上一点，连接，以为边，作等边，连接．
（1）求证：；
（2）如图②，当点D在射线上时（C点的右边），是否依然成立，请说明理由；
（3）如图③，当点D在射线CB上时（B点的左边），若，则的度数是多少？
46．如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
47．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则a2+b2=c2，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论.
48．如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．
（1）请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：________________（用式子表达）．
（2）应用公式计算：
（3）应用公式计算：
49．已知直线l及位于其两侧的两点A、B，如图，
（1）在图①中的直线l上求一点P，使PA=PB；
（2）在图②中的直线l上求一点Q使直线l平分 ．
50．如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．
（1）如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则 ；
（2）如图2，当时，，的平分线交于点D，则 （用含n的式子表示）；
（3）如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由．
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【精选热题·期末50道解答题专练】湘教版数学八年级上册总复习
1．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂和，、的长表示两个工厂到河岸的距离，其中是进水口，、为污水净化后的出口．已知，，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，米，米，求两个排污口之间的水平距离．
【答案】解：由题意得：，
∴，
∴
，
∴，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∵米，米，
∴（米），
答：两个排污口之间的水平距离为500米．
【解析】【分析】先根据题意证明，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，，再代入数值求解即可。
2． 2018年6月28日，深湛高铁正式运营．从湛江到广州全程约468km，高铁开通后，运行时间比特快列车所用的时间减少了6h．若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的3倍，求特快列车与高铁的平均速度．
【答案】解：设特快列车的平均速度是x km/h，由题意得：
解得：x=52．
经检验：x=52是原方程的解，且符合实际意义．
3x=156．
答：特快列车的平均速度是52 km/h，高铁的平均速度是156km/h
【解析】【分析】由题意可得相等关系：特快列车全程所需时间-高铁全程所需时间=减少的时间，根据相等关系列方程即可求解。
3．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长是2.3m．
（1）此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．
（2）为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？
【答案】（1）解：如图，
M，N为卡车的宽度，
过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
CD=MN=1.6米，AB=2米，
由作法得，CE=DE=0.8米，
又∵OC=OA=1米，
∴（米），
∴CM=2.3+0.6=2.9＞2.5．
∴这辆卡车能通过
（2）解：如图：
∵CG=BE=2.8米，BG=OF=1.2米，EF=AD=2.3米，
∴BF=0.5米
∴OA2=OB2=BF2+OF2=0.52+1.22=1.32（米），
∴OA=1.3米，
∴桥洞的宽至少增加到1.3×2=2.6（米）
【解析】【分析】 （1）过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，利用勾股定理求出OE，再根据长方形的一边长和卡车的高求解；
（2）根据已知条件求出BF的长，再根据勾股定理求出OA的长，进而求得此桥洞的宽至少增加到 的长度．
4．某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款 1.5万元，付乙厂货款1.1万元.指挥中心的负责人根据甲、乙两厂的投标测算，可有三种施工方案：
方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；
方案②：乙厂单独完成这项任务比规定日期多用5天；
方案③：甲、乙两厂合作4 天后，余下的工程由乙厂单独做也刚好如期完成.
（1）求甲、乙两厂单独完成此项任务各需多少天.
（2）在不耽误工期的前提下，哪个方案是最节省费用的施工方案 请说明理由.
【答案】（1）解：设规定完成这项任务的天数为天，则根据题意，甲厂单独完成这项任务的天数为天，每天工作量为，乙厂单独完成这项任务的天数为天，每天工作量为.
所以，整理得，即.
进一步化简得，解得.
答：甲厂单独完成此项任务需20天，乙厂单独完成此项任务需25天
（2）解：计算各方案费用：
方案①万元；
方案②乙单独完成需25天（耽误工期，排除）；
方案③甲乙两厂先合作4天，费用万元；剩余天由乙厂单独完成，费用万元，总费用万元.
综上可知，采用方案③最节省费用
【解析】【分析】(1) 设甲厂单独完成需x天，则乙厂需x+5天. 根据方案③的条件建立方程，求解x的值；
(2) 计算各方案的费用，比较后确定最节省费用的方案.
5．如图，，点在边上，，求的度数．
【答案】解：，
，，
，
，
，
．
【解析】【分析】由，得到和等腰三角形CEB，在等腰三角形CEB中，由求出，得到，最后根据平角的性质即可得答案.
6．如图，已知点，，，在直线上，点，在异侧，且，.
（1）请你添加一个适当的条件：使得.结合所添加的条件证明；
（2）在（1）的条件下，若，，求的长度.
【答案】（1）解：答对即可，添加的条件是
证明：
在和中：
（已证）
（2）解：，
【解析】【分析】（1）根据已知条件和可推导条件，添加BF=CE或者BC=FE，都可以用SAS定理判定全等，也可以添加的条件，用ASA定理判定全等，也可以添加的条件，用AAS定理判定全等，总之答案不唯一；
（2）在（1）的条件下，BF=CE，根据图示的等量关系即可求取线段FC的长度。
7．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船沿北偏东38°方向航行，乙船以12海里/时速度沿南偏东52°方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C，B两岛相距40海里，问：甲船的航速是多少？
【答案】解：∵甲船沿北偏东38°方向航行，乙船沿南偏东52°方向航行，
∴∠CAB＝90°，
∵AB＝12×2＝24，BC＝40，
∴，
∴甲船的航速是32÷2＝16海里/时，
答：甲船的航速是16海里/时．
【解析】【分析】利用勾股定理求出AC的长，再利用速度=路程÷时间计算即可。
8．已知在 中， ， ， ．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）试在下面 的方格纸上补全△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上。（每个小方格的边长为1）
【答案】（1）解：在△ABC中，∵AB= ，AC=2 ，BC=5，
∴AB2+AC2=5+20=25=BC2，
∴△ABC为直角三角形.
（2）解：如图所示：
【解析】【分析】（1）运用勾股定理的逆定理，可判定△ABC为直角三角形。
（2）根据勾股定理，在小方格中画出AC、AB。
9．为了进一步弘扬和传承我国悠久而丰富的传统节日文化，在端午节即将来临之际，滨海学校精心策划并成功举办了富有意义的包粽子活动.已知包1个大粽子比包1个小粽子多用50克糯米，用800克糯米包大粽子的数量与用400克糯米包小粽子的数量相同.
（1）求包1个大粽子和1个小粽子分别需用多少克糯米？
（2）八年级8班计划包大、小粽子共60个，且所用糯米总量不超过5000克，那么该班级最多可以包多少个大粽子？
【答案】（1）解：设包1个小粽子需用x克糯米，则包1个大粽子需用(x+50)克糯米
解得х=50
经检验x=50是原方程的根
x+50=50+50=100
答：包1个大粽子和1个小粽子分别需用100克和50克糯米。
（2）解：设八年级8班计划包大粽子ａ个
100a+50(60-a)≤5000
解得a≦40
答：该班级最多可以包40个大粽子。
【解析】【分析】（1）设包1个小粽子需用x克糯米，则包1个大粽子需用(x+50)克糯米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设八年级8班计划包大粽子ａ个，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
10．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的长．
【答案】解：∵旋转，
∴AD=AB=1，∠BAD=90°，
在Rt△BAD中，
∴.
【解析】【分析】根据旋转的性质得出AD=AB，∠BAD=90°，然后在Rt△BAD中，根据勾股定理求BD长，即可解答.
11．大塔荔枝是四川省宜宾市的著名特产，以果大、肉厚、多汁、味纯、甜中微酸、久吃不腻、品质极佳而独具特色，某水果店老板用3000元购进了一批大塔荔枝，由于荔枝刚在果园采摘比较新鲜，前三天他以高于进价40%的价格共卖出150kg后因荔枝保鲜期短，第四天他发现店里的荔枝卖相已不大好，于是果断地将剩余荔枝以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元．设该水果店老板购进了大塔荔枝．
（1）这批荔枝的进价为 元/kg．（用含x的式子表示）
（2）该水果店老板这次购进大塔荔枝多少千克？
【答案】（1）
（2）解：根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：该水果店老板这次购进大塔荔枝200kg．
【解析】【解答】解：（1）∵水果店老板用3000元购进了x千克荔枝，
∴这批荔枝的进价为元/千克，
故答案为：.
【分析】（1）根据题意用总进价除以购进的数量，据此即可求解；
（2）根据题意列出分式方程：，解此方程即可求解.
12．嘉琪参加寒假实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．
（1）这台M型平板电脑价值多少元？
（2）嘉琪若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？
【答案】（1）解：设这台M型平板电脑的价值为元，由题意，得：
，
解得：；
∴这台M型平板电脑的价值为2100元
（2）解：由题意，得：；
答：她应获得120m元的报酬．
【解析】【解答】（1）解：设这台M型平板电脑的价值为元，由题意，得：
，
解得：；
∴这台M型平板电脑的价值为元；
（2）解：由题意，得：；
答：她应获得元的报酬．
【分析】（1）基本关系：每天的报酬= （M型平板电脑一台和1500元现金 ）÷30=（M型平板电脑一台和300元现金）除20，据此列出方程进行求解即可；
（2）基本关系： 获得的报酬=每天的报酬×天数，据此列出代数式即可．
13．小丽与小琳在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距OA水平距离0.9m 的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度EM 为0.9m ，已知∠BOC =90°， BD ⊥OA于点D，CE⊥OA于点E ．
（1）求证： △CEO≌ △ODB.
（2）为了安全考虑规定户外秋千设置高度在2m 以下，小丽所在公园的秋千高度设置是否合理？ 为什么？
【答案】（1）证明： 根据题意得CO=OB，
∵CE⊥OA于点E， BD⊥OA于点D，
∴∠CEO=∠ODB=90°，
∵∠BOC=90°，
∴∠COE =∠OBD=90°-∠BOD，
在△CEO和△ODB中，
∴△CEO≌△ODB(AAS).
（2）解：小丽所在公园的秋千高度设置合理，理由： ∵点B到OA的水平距离为0.9m， BD⊥OA于点D，
∴BD=0.9m，
由 (1) 得△CEO≌△ODB，
∴OE=BD=0.9m，
∵EM=0.9m，
∴OM=OE+EM=0.9+0.9=1.8(m)，
∵1.8m<2m，
∴小丽所在公园的秋千高度设置合理.
【解析】【分析】(1)由∠CEO=∠ODB=∠BOC =90°， 推导出∠COE =∠OBD=90°-∠BOD， 而CO=OB， 即可根据“AAS"证明△CEO≌△ODB；
(2)由点B到OA的水平距离为0.9m， 可知BD =0.9m， 由全等三角形的性质得OE =BD =0.9m， 而EM=0.9m， 所以OM =1.8m<2m，可知小丽所在公园的秋千高度设置合理.
14．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD为∠BAC的平分线，AE为BC边上的高，求∠DAE的度数．
【答案】解：∵∠B＝40°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－40°－70°＝70°．
又∵AD为∠BAC的平分线，∴∠DAC＝35°．
∵，∴∠EAC＝90°－∠C＝20°．
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝35°－20°＝15°．
【解析】【分析】根据三角形内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，角平分线和高的定义求解。该图是三角形的角平分线与高的一种基本模型，这个模型的结论是：。
15．如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？
【答案】解：由题意得：∠C=90°，米，米，
∴（米），
∴（米）．
答：大树折断前高16米
【解析】【分析】先利用勾股定理计算出的长，然后再计算出即可得到大树折断前的高度．
16．为了改善学校的环境，某中学组织团员植树150棵．实际参加植树的团员人数是原计划参加植树的团员人数的1.5倍，结果实际人均植树的棵数比原计划少1棵．求原计划参加植树的团员人数．
【答案】解：设原计划参加植树的团员为人．
根据题意，得，解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原计划参加植树的团员为50人．
【解析】【分析】设原计划参加植树的团员为人，再结合“ 结果实际人均植树的棵数比原计划少1棵 ”列出方程，再求解即可.
17．如图，小聪想画∠AOB的角平分线，手头没有量角器和圆规，只有一个带刻度的直角三角尺，于是他按如下方法操作：在OA，OB边上量取OC＝OD＝1cm，分别过点C，点D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF与DE交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线．请判断小聪的做法是否可行？并说明理由．
【答案】解：小聪的做法可行，理由如下：
∵CF⊥OA，DE⊥OB，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵CF⊥OA，DE⊥OB，
∴OP平分∠AOB；
【解析】【分析】先利用“ASA”证明，可得 ， ， 再结合，利用“AAS”证明，可得，再结合 CF⊥OA，DE⊥OB， 即可得到 OP平分∠AOB。
18．今年某厂的生产总值逐月增长，每月的增长率都为p.求今年3月该厂的生产总值与1、2月份这两个月生产总值之和的比.当p=5%时，这个比值是多少
【答案】解：设1月份的生产总值为α，则2月份的生产总值为a(1＋p)，
3月份的生产总值为 ，
故今年3月份该厂的生产总值与1，2月份这两个月生产总值之和的比为 .
当 时，
【解析】【分析】 设1月份的生产总值为α，则2月份的生产总值为a(1＋p)，3月份的生产总值为 ， 然后作比，根据分式的性质约分化简，最后代值计算，即可求出结果.
19．如图，已知点C是线段AB的中点，且，．与相等吗？请说明理由．
【答案】解：
理由：∵C是AB的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
【解析】【分析】先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得。
20．如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，求AD的长．
【答案】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=.
∵∠ABD=90°，
∴AD=.
【解析】【分析】首先在Rt△ABC中，应用勾股定理可求得AB的值，然后在Rt△ABD中，再次利用勾股定理求解就可得到AD的值.
21．已知△的三边长，，满足，试判断△的形状，并说明理由．
【答案】解：，
，
∵，
∴，，
∴为等腰三角形．
【解析】【分析】对已知等式变形可得(a-b)(a-b-c)=0，由三角形的三边关系可得a-b-c<0，则a=b，据此可得三角形的形状.
22．已知，，为正数，且，求的值．
【答案】解：，
，
，
同理可得：，，
解得：，，，
．
【解析】【分析】把x+y+xy=8变形得(x+1)(y+1)=9，其它两个等式经过同样形式的变形，把其中两个等式相乘再除以另一个等式，就可以求出x、y、z的值，最后代入计算即可。
23．如图所示，点O在一块直角三角板上（其中），于点M，于点N，若，求度数．
【答案】解：∵
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】根据垂直的概念可得∠OMB=∠ONB=90°，由已知条件可知OM=ON，OB=OB，利用HL证明Rt△OMB≌Rt△ONB，得到∠OBM=∠OBN，据此求解.
24．如图，点D、E在AB上点F在BC上，点G在AC上，∠1=∠B，∠2=∠3，∠4=80°，求∠ADC的度数.
【答案】解：∵∠1=∠B，∠2=∠3，
∴∠ADC=∠1+∠2=∠B+∠3，
∵∠4=∠B+∠3=80°，
∴∠ADC=80°.
【解析】【分析】分别由∠1和∠B相等，∠2和∠3相等，把∠ADC转化为求∠B和∠3之和，现知∠4的度数，则利用三角形外角和定理可求∠B和∠3之和，则 ∠ADC的度数可知.
25．如图，每个小正方形的边长都为．
（1）利用勾股定理求出线段长： ， ， ， ；
（2）求证：．
【答案】（1）；；；
（2）证明：如图，连接BD，
∵，，，
∴BD2=BC2+CD2，
∴△BCD是直角三角形且∠BCD=90°.
【解析】【解答】 （1）解：根据勾股定理得，，，，，
故答案为：；；； .
【分析】（1）根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解；
（2）利用勾股定理求出BD、BC、CD的值，根据如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角即可证明.
26．一个零件的形状如图，按规定这个零件的∠A与∠BDC都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DC=12，BC=13，BD=5．这个零件符合要求吗？
【答案】解：连结BD．∵AD=4，AB=3，DC=12，BC=13，BD=5，∴AB2+AD2=BD2，BD2+DC2=BC2．∴△ABD、△BDC是直角三角形．∴∠A=90°，∠BDC=90°．故这个零件符合要求
【解析】【分析】连结BD．根据勾股定理的逆定理可知AB2+AD2=BD2，BD2+DC2=BC2．故△ABD、△BDC是直角三角形，且∠A=90°，∠BDC=90°，从而得出这个零件符合要求。
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，连接BD，求BD的长.
【答案】解：∵在△ABC中，BC＝3，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝6，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD＝6，
∴BD＝ ＝ ＝6 .
【解析】【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再由旋转的性质得出AB=AD，∠BAD=90°，根据勾股定理即可得出结论.
28．如图， 中， ，在同一平面内，将 绕点 旋转到 的位置，使得 ，求 的度数
【答案】解：∵DC∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=65°，
由旋转的性质可知，AD=AC，∠DAE=∠CAB=65°，
∴∠ADC=∠CAB=65°，
∴∠CAD=180°－∠ADC－∠ACD= 50°，
∴∠CAE=∠DAE－∠CAD=15°，
∴∠BAE=∠CAB－∠CAE=50°
【解析】【分析】由两直线平行，内错角相等可得 ∠ACD=∠CAB=65°， 由旋转的性质可得 AD=AC，∠DAE=∠CAB=65°， 即 ∠ADC=∠CAB ，由三角形内角和可得 ∠BAE .
29．列方程解应用题：
为了配合足球进校园的活动，实验学校在体育用品专卖店购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元。求购买一个甲种足球，一个乙种足球各需多少元？
【答案】 解：设购买一个甲种足球需要x元，则购买一个乙种足球需 元，根据题意得
= ×2，
解得，x=50，
经检验，x=50是原分式方程的解
∴x+20=70，
答：购买一个甲种足球需50元，一个乙种足球需70元
【解析】【分析】 设购买一个甲种足球需要x元，则购买一个乙种足球需 元 ，用2000元购买甲种足球的个数为：个，用1400元购买乙种足球的个数为：个，根据 用2000元购买甲种足球数量是用1400元购买乙种足球数量的2倍 ，列出方程，求解并检验即可。
30．已知关于，的方程组的解满足不等式，
（1）求实数 的取值范围；
（2）若，方程组的解是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长．
【答案】（1）解：由方程组，
得：，
∴，
解得：，
∴实数 的取值范围为：．
（2）解：把代入方程组得：，解得：，
①当三边为：，，时，，不能构成三角形，排除；
②当三边为：，，时，，能构成三角形，
∴等腰三角形的周长为：
【解析】【分析】（1）先利用加减消元法求出，再结合，可得，再求出k的取值范围即可；
（2）根据题意列出方程组，求出，再利用三角形三边的关系及等腰三角形的性质求解即可.
31．已知 ， ，求 的值．
【答案】解：∵ ，
∴
∴
【解析】【分析】先将化简成xy（x+y），再将 ， 代入计算即可。
32．已知等腰 中， ，周长是 ，求 的长．
【答案】解：①若AB=AC=4
∵ 周长是
∴BC=10－AB－AC=2，满足三角形的三边关系；
②若AC=BC
则AC=BC= （10－AB）=3，满足三角形的三边关系；
③若BC=AB
∴此时BC=AB=4
∴AC=10－AB－BC=2，满足三角形的三边关系；
综上所述：BC的长是 或 或
【解析】【分析】根据等腰三角形的腰的情况分类即可.
33． 如图，将17米长的绳索一端固定在物体的E处，利用定滑轮C(忽略滑轮大小)向高空运送该物体，已知物体顶部离地面竖直高度DE=1米.当物体放在地面上时，拉紧的绳索的另一端处于A 处，AD=6米.当绳索的一端向左拉至B处时，物体升高5米.求滑轮C离地面的垂直高度 CD和AB的长.
【答案】解：由题， 设CE=x米， 则AC=(17-x)米
解得， x=7
所以CD=x+1=8米
由题， BC=17-(8-5-1)=15米
所以 (米)
所以 米
【解析】【分析】设CE=x米，则AC=（17-x）米，根据勾股定理列出方程求得CD，再根据勾股定理求出BD的长，进而求得AB即可得出答案.
34．如图(1)是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图(2)所示，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC，∠C=50°，求∠D 的大小.
【答案】解：因为∠BAD = ∠EAC，所以∠BAD +∠CAD=∠EAC+∠CAD，即∠BAC=∠EAD.在△BAC与△EAD 中， 所以 △BAC≌ △EAD (SAS)， 所以 ∠D =∠C=50°.
【解析】【分析】由 可得 根据SAS可证 再根据全等三角形的性质即可求解.
35．已知≤0，若整数k满足m+k＝．试求k的值．
【答案】解：由题意得：，
∴2≤m≤3，
∵整数k满足m+k＝3，
∴m＝3k，
∴2≤3k≤3，
∴33≤k≤32，
∵k是整数，
∴k＝2，
故k的值为2．
【解析】【分析】根据题意可得，求出2≤m≤3，结合m+k＝，求出33≤k≤32，再结合k是整数，即可得到k的值。
36．如图点在线段上，∥，，，是的中点，试探索与的位置关系，并说明理由.
【答案】解：，理由如下：∥
在ADC和△BCE中
，
≌
，
∵F是DE的中点
，
【解析】【分析】根据直线平行性质可得∠A=∠EBC，再根据全等三角形判定定理可得△ADC≌△BCE，则DC=CE，再根据等腰三角形三线合一性质即可求出答案.
37．将公式(1-ax≠0)变形成已知x，a，求b的式子．
【答案】解：，
整理得
，
解得．
【解析】【分析】变形时，先将等号右边的式子进行拆分，目的是分离出仅含有b的式子.
38．若 可分解为两个一次因式的积，请画好 “十字图”，则整数 p= .
【答案】解：①如图所示：
此时p=1×5+1×3=8；
②如图所示：
此时p=1×（-5）+（-1）×3=-8；
③如图所示：
此时p=1×1+5×3=16；
④如图所示：
此时p=1×（-1）+（-5）×3=-16；
综上，p的值为±8或±16.
故答案为：±8或±16.
【解析】【分析】利用十字相乘的定义及计算方法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）分析求解即可.
39．某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少要卖多少个？
【答案】（1）解：设足球的单价是x元，则篮球的单价是（x+30）元，
根据题意得：，
解得：x＝90，
经检验，x＝90是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30＝90+30＝120．
答：篮球的单价是120元，足球的单价是90元；
（2）解：设篮球卖了y个，则足球卖了（y+10）个，
根据题意得：（150﹣120）y+（110﹣90）（y+10）＞1300，
解得：y＞30，
又∵y，y+10均为正整数，
∴y的最小值为33．
答：篮球最少要卖33个．
【解析】【分析】（1） 设足球的单价是x元，则篮球的单价是（x+30）元， 利用数量相等建立分式方程即可求出篮球和足球的单价；
（2）设购买篮球个，则购买足球个，根据利润的关系建立不等式求解；
40． 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，．
（1）试说明：；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵．
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
由（1）得，
∴．
【解析】【分析】（1）由同角的余角相等得到，再利用AAS证明，最后由全等三角形的性质得出结论OE=BD；
（2）利用全等三角形的性质得到，利用勾股定理计算出OD的长，根据DE=OD-OE得到答案.
41．已知（|x|﹣4）x+1=1，求整数x的值.
小红与小明交流如下：
小红：因为a0=1（a≠0），
所以x+1=0且|x|﹣4=0，所以x=﹣1．
小明：因为1n=1，所以|x|﹣4=1，所以x=±5
你认为小红与小明同学的解答完整吗？若不完整，请求出其他所有的整数x的值．
【答案】解：因为a0=1（a≠0），
所以x+1=0且|x|﹣4=0，所以x=﹣1．
因为1n=1，所以|x|﹣4=1，所以x=±5
当|x|﹣4=﹣1，
解得：x=±3，此时（|x|﹣4）x+1=（﹣1）4或（﹣1）﹣2其结果都为1，
综上所述：x的值可以为：﹣1，±3，±5．
【解析】【分析】根据非零底数的零次幂等于1以及绝对值的非负性，可得出符合条件的x的值。
42．已知，AB∥CD，点F 在 AB上，过点F 引射线FM，交 CD 于点G，E 为射线 FG 上一点，连结DE，AE.
（1）如图 1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，求∠AED的度数.
（2）如图2，当点E在射线GM 上时，CD与AE 相交于点 H，则∠AED，∠EAF，∠EDG 之间满足怎样的关系？ 请说明理由.
（3）如图3，在（2）的条件下，I是∠EDC平分线上一点，连结 DI 交 AE 于点 K，连结 AI，若∠EAI：∠BAI= 1 ： 2，∠AED=22°，∠I =20°，求∠EKD的度数
【答案】（1）解：如图：
延长DE交AB于H，
∵AB∥CD，∠EDG=40°，
∴∠D=∠AHE=40°，
∴∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°.
（2）解：∠EAF=∠AED+∠EDG.理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠EAF=∠EHC，
又∵∠EHC=∠AED+∠D，
∴∠EAF=∠AED+∠EDG．
（3）解：∵∠EAI：∠BAI=1：2，
设∠EAI=x，则∠BAE=3x，
∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°，
且∠DKE=∠AKI，
∴∠EDK+∠DEK=∠KAI+∠KIA；
∴∠EDK=∠KAI+∠KIA-∠DEK=x+20°-22°=x-2°，
∵DI平分∠EDC，
∴∠CDE=2∠EDK=2x-4°，
∵AB∥CD，
∴∠EHC=∠EAB；
又∵∠EHC=∠AED+∠EDG，
即3x=22°+2x-4°，
解得：x=18°，
∴∠EDK=18°-2°=16°，
∴∠EKD=180°-16°-22°=142°.
【解析】【分析】（1）延长DE交AB于点H，根据两直线平行，内错角相等可得∠D=∠AHE=40°；根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解.
（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠EAF=∠EHC；根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠EHG=∠AED+∠D，即可求解.
（3）设∠EAI=x，则∠BAE=3x，根据三角形内角和是180°和对顶角相等可得∠EDK=x-2°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可求得∠CDE=2x-4°；根据两直线平行，同位角相等可得∠EHC=∠EAB；结合三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可列出方程式，求解即可得出x的值；根据三角形的内角和是180°即可求解.
43．对于△ABC，延长边BC到点D，使得CD=CB，延长边CA到点E，使得AE=2AC．若AD=BE，证明：△ABC为直角三角形．
【答案】证明：如图，延长AC到点F，使得CF=AC．则△ACD≌△FCB，
∴BF =AD= BE．
又∵AE=2AC=AF，
∴∠BAC=90°，△ABC为直角三角形．
【解析】【分析】“中线倍长法”是解决三角形问题的常见方法；由 CD=CB ，可知AC是△ABD的中线，延长AC到点F，使得CF=AC.根据“SAS”，可证得△ACD≌△FCB，所以BF =AD= BE，△FBE是等腰三角形. 又因为AE=2AC=AF，故BA是△FBE底边上的中线，所以BA⊥EF，△ABC为直角三角形．
44．如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E．
（1）当时， °， °；
（2）若，试说明；
（3）在点D的运动过程中，的形状可以是以为腰的等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1）20；62
（2）解：，，，
，
∵，
∴，
在和中，
∵，
()；
（3）解：①若时，
，，
，
，
②当时，，
∴
此时不符合题意，舍去．
综上所述：的形状可以是以为腰的等腰三角形，此时．
【解析】【解答】解：（1）∵在中，∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∠B=42°，
∴∠BAD=20°
∵∠ADC是的外角
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC
∵∠ADE=
∴∠EDC=20°
∵AB=AC
∴∠B=∠C=42°
∴∠AED=∠EDC+∠C=62°
故答案为：20；62；
【分析】（1）根据三角形的内角和为180°，计算出∠BAD，根据三角形的外角的性质，可得∠EDC，根据等腰三角形的性质，可得∠B=∠C=42°，最后根据三角形的外角的性质，可得∠AED的值；
（2）根据角的和差及三角形外角相等可得∠BAD=∠CDE，由等量代换得AB=CD；从而可用ASA判断出△ABD≌△DCE；
（3）根据等腰三角形的性质，两条边相等，两条边对应的角相等判断是否存在点D即可.
45．如图①，在等边中，点D是线段上一点，连接，以为边，作等边，连接．
（1）求证：；
（2）如图②，当点D在射线上时（C点的右边），是否依然成立，请说明理由；
（3）如图③，当点D在射线CB上时（B点的左边），若，则的度数是多少？
【答案】（1）证明：如图①∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图②，连接，
∵∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图③，∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【解析】【分析】（1）通过SAS证明 ，得到BD=CE；
（2）先作图，连接CE，通过SAS证明 ，得到BD=CE；
（3）结合前两问中的结论，先证明 ， 得到 ， 根据题目条件 为等边三角形， ，得到，，利用外角性质，可知，最终求出，即 。
46．如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
【答案】（1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA= ×（180°-∠B）=90°- ∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°- ∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可知 ∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA ，利用三角形内角和定理可得∠FAC+∠FCA =90°- ∠B，利用三角形的外角可得∠EFA=∠FAC+∠FCA，即得证。
（2）求证线段相等，很容易想到构造全等三角形进行证明，利用角平分线的性质能找出FG=FH=FM，结合（1）中已证易得∠EFH=∠DFG，再利用AAS定理即可证明。
47．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则a2+b2=c2，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论.
【答案】证明：（1）当△ABC为锐角三角形时，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD＝x，则有DB＝a－x.
根据勾股定理，得b2－x2＝c2－（a－x）2，即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2.
∴a2＋b2＝c2＋2ax.∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，
∴a2＋b2＞c2.
（ 2 ）当△ABC为钝角三角形时，过B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，
设CD＝x，则BD2＝a2－x2.根据勾股定理，得（b＋x）2＋（a2－x2）＝c2，∴a2＋b2＋2bx＝c2.
∵b＞0，x＞0，∴2bx＞0，∴a2＋b2＜c2.
【解析】【分析】（1） 当△ABC为锐角三角形时，过点A作AD⊥CB，垂足为D， 用勾股定理可得关于CD的方程，根据平方的非负性可得 a2＋b2＞c2； （2）当△ABC为钝角三角形时，过B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D， 在直角三角形ABD和直角三角形BCD中，用勾股定理可得关于CD的方程，根据平方的非负性和边长是正数可得 a2＋b2＜c2.
48．如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．
（1）请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：________________（用式子表达）．
（2）应用公式计算：
（3）应用公式计算：
【答案】（1），，；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，，
∴ 所得到的公式为，故答案为：，，；
【分析】（1）观察图形可知：S1=大正方形的面积-小正方形的面积，S2=长方形的面积，然后根据两面积相等可得公式；
（2）直接逆用（1）中的公式把原式每一项写成乘积的形式，从而可得，进而进行化简可得答案；
（3）在运算式前面乘以，再逐步使用公式进行计算即可．
（1）解：，，
可得公式：；
（2）
；
（3）
．
49．已知直线l及位于其两侧的两点A、B，如图，
（1）在图①中的直线l上求一点P，使PA=PB；
（2）在图②中的直线l上求一点Q使直线l平分 ．
【答案】（1）解：连接AB，分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于C、D两点，连接CD与直线相交于P点，则P点即为所求；
（2）解：作点B关于直线的对称点，连接交直线于点Q，连接BQ，则Q点即为所求．
【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线，与l的交点即为点P；
（2）作B的对称点B'，使直线l上下两个三角形全等.
50．如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．
（1）如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则 ；
（2）如图2，当时，，的平分线交于点D，则 （用含n的式子表示）；
（3）如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由．
【答案】（1）61
（2）
（3）解：的大小不变，．
理由如下：
又是的平分线，是的平分线，
．
【解析】【解答】解：（1） ，
∠OAB+∠OBA=180°-∠MON=122°，
∠ABN+∠BAM=360°-122°=238°，
BC、AC分别平分 ，，
∠CBA+∠CAB=，
180°-119°=61°.
故答案为：61.
（2） ，
∠OAB+∠OBA=180°-n°，
，的平分线交于点D，
∠DAB+∠DBA==，
∠ADB=180°-（∠DAB+∠DBA）=180°-=.
故答案为： .
【分析】（1）先根据三角形内角和定理得∠OAB+∠OBA=122°，利用平角的定义得∠ABN+∠BAM°=238°，再根据角平分线的性质计算出∠CBA与∠CAB的和，即可计算∠ACB.
（2）先根据三角形内角和定理得∠OAB+∠OBA=180°-n°，再根据角平分线的性质得∠DAB+∠DBA，再利用三角形内角和定理计算即可.
（3）根据三角形的外角性质得到 ，再根据角平分线的性质、三角形的外角性质计算即可知 的大小不变 .
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