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【精选热题·期末50道解答题专练】湘教版数学九年级上册总复习
1．如图所示，折线是一段登山石阶，其中，部分的坡角为，部分的坡角为，．
（1）求石阶路（折线）的长．
（2）如果每级石阶的高不超过，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，）
2．台风“康妮”来袭，小胜发现校园内一棵大树被吹斜了，他想利用所学知识测算倾斜后的大树顶端A距离地面的高度．他在同一时刻测得如下数据：①大树的影长为；②大树与地面所成锐角大约为；③点处竖直放置的竹杆，其影长为．
（参考数据：，，，）
（1）该时刻太阳光线与水平地面所成夹角为多少度？
（2）小胜收集的数据能否帮助他计算出大树顶端A距离地面的高度？若能，请计算出结果；若不能，请说明理由．
3．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD，若AC＝6，AD＝4，求BD的长．
4．如图27 11，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，点D在BC的延长线上，且△ACD∽△BAD，求CD的长．
5．如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向。为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？(结果保留根号)
6．为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
7．小琪要测量某建筑物的高度如图，小琪在点处测得该建筑物的最高点的仰角为，再往该建筑物方向前进至点处测得最高点的仰角为根据测得的数据，计算该建筑物的高度结果取整数．参考数据：，，．
8．已知实数x，y，z满足，试求的值.
9．关于x的方程x2－4x＋2m+2＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
10．2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运较火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面 处发射、当火箭到达点 时，地面 处的雷达站测得 米，仰角为 .3秒后，火箭直线上升到达点 处，此时地面 处的雷达站测得 处的仰角为 ．已知 两处相距 米，求火箭从 到 处的平均速度（结果精确到 米，参考数据： ）
11．某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）数据如下：2，4，5，4，3，5，3，4，1，3，2，4．
（1）补全如图的学生课外读书数量条形统计图；
（2）请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数 、中位数 和平均数 ；
12．如图，在一次高尔夫球比赛中，小明从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度10m时，球移动的水平距离为8m．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，OC=12m．
（1）求点A的坐标；
（2）求球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．
13．已知（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：14：9
求：①a：b：c；
② ．
14．当 为何值时，多项式 有最小值？ 并求出这个最小值．
15．小红遇到这样一个问题：如图①，在四边形 ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=4，BC=，求AD 的长.小红发现，延长AB，交DC的延长线于点 E，通过构造 Rt△ADE(如图②)能够使问题得到解决.
（1）求AD 的长.
（2）参考小红思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形 ABCD 中， ∠B=∠C=135°，AB=9，CD=3，求 BC和AD 的长.
16．如图，某天数学活动课上，王婷想利用所学知识测量学校旗杆AB的高度，她在距离旗杆底端B处3米高的点C处做好标记（即BC=3米），用测角仪在地面上的点E处测得点C的仰角∠1的度数，然后沿EB到达点D处，测得旗杆顶端A的仰角∠2的度数，发现∠1+∠2=90°，经测量BE=10米，BD=3米，已知点B、D、E在同一水平直线上，AB⊥ED，求旗杆AB的高度．
17．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某景区山的高度
测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等
模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点．
测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角；②沿着山坡前进到达处；③在处测出山顶的仰角．注：图中所有点均在同一平面内．
（参考数据：，，，，，）
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求坡面的水平距离和垂直距离；
（2）求山的高．
18．如图是某品牌篮球架及其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点A，支架交于点G，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，．（参考数据：，，）
（1）求的度数．
（2）工人准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．
19．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2016年投资1000万元，预计2018年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．
（1）求平均每年投资增长的百分率；
（2）按此增长率，计算2019年投资额能否达到1360万元
20．如图，在建筑物AB上，挂着35 m长的宣传条幅AE，从另一建筑物CD的顶部D处看条幅顶端A处，仰角为45°，看条幅底端E处，俯角为37°．求两建筑物间的距离BC．
(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， tan37°≈0.75)
21．已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
22．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以5cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值．
（2）当 时，求CQ的长．
23．如图所示，一艘渔船以海里/时的速度由西向东航行．在处看见小岛在船北偏东的方向上．后，渔船行驶到处，此时小岛在船北偏东的方向上．已知以小岛为中心，海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可能？
24．将两块直角三角板如图1放置，等腰直角三角板 的直角顶点是点 ， ，直角板 的直角顶点 在 上，且 ， ．三角板 固定不动，将三角板 绕点 逆时针旋转，旋转角为 （ ）．
（1）当 = 时， ；
（2）当 = 时，三角板EDF绕点 逆时针旋转至如图2位置，设DF与AC交于点M，DE交AB于点N，求四边形ANDM的面积。
（3）如图3，设 ，四边形 的面积为 ，求 关于 的表达式（不用写 的取值范围）。
25．如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式的解集．
26．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）
27．如图，小山上有一座 高的电视发射塔 ，为了测量小山的高度 ．在山脚某处D测得山顶的仰角为 ，测得塔项的仰角为 ，求小山的高．（已知： ）（结果精确到 ）
28．消防车是救援火灾的主要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂（20米米）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角为（），转动点A距离地面的高度米．已知，，点B、E、F、D在同一水平线上，当起重臂的长为24米，张角时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度．
29．如图，斜立于地面的木杆AB，从点C处折断后，上半部分BC倒在地上，杆的顶部B恰好接触到地面D处，测得∠ACD=60°，∠ADC=37°，杆的底部A与点D相距5米，求木杆AB的长度．（精确到0.1米；参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）
30．某校八年级一班的一个数学综合实践小组去超市调查某种商品“十一”期间的销售情况，下面是调查后小阳与其他两位同学交流的情况：
小阳：据调查，该商品的进价为12元/件．
小佳：该商品定价为20元时，每天可售240件．
小欣：在定价为20元的基础上，涨价1元，每天少售20件．
根据他们的对话，若销售的商品每天能获利1920元时，为尽快减少库存，应该怎样定价更合理？
31．一个直角三角形的两条直角边的和是 ，面积是 ，求两条直角边的长．
32．已知反比例函数 的图象与一次函数y= kx+b（k≠0，k是常数）的图象交于点
（1）当k=2，b=-1时，求. 的值；
（2）若 求 的值.
33．某果农计划在一片向阳的坡地上种植100棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，但他发现多种20棵桃树，则每亩地多种4棵．
（1）求果农原计划每亩地种多少棵桃树？
（2）果农经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是1000个桃子，若多种1棵桃树，每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子，而且多种的桃树不能超过100棵．如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？
34．如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°，从楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°.已知树高EF=6米，求塔CD的高度（结果保留根号）.
35．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4.4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.
（结果精确到0.1米；参考数据：，，）
36．如图，直线（为常数）与双曲线（为常数）相交于两点．
（1）求的值；
（2）在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于的不等式的解集．
37．动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
38． 如图，双曲线的一支与直线交于，与直线另一交点为，直线与两坐标轴分别交于，．
（1）求双曲线的解析式；
（2）作轴于，轴于，当时，比较与面积的大小．
39．已知在中，，点，分别是边，中点，连接，，延长到点，使得，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，且，求的长．
40．如图1，反比例函数 与一次函数的图象交于点 ，点，一次函数与y轴相交于点 C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接、，在x轴上是否存在一点D使的面积是面积的2倍，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
41．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，直线经过点A，且与l关于直线对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
（3）已知直线与反比例函数的图象交于点另一点B，P在在平面内，若以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标．
42．如图，在△ABC中，BC边上依次有B、D、E、C，AC边上依次有A、G、F，满足BD=CE= BC，CF=AG= AC，BF交AE于点J，交AD于I，BG交AE于点K，交AD于点H，且S△ABC=1，求S四边形KHIJ．
43．已知
（1）求m，n的值.
（2）若关于x的一元二次方程有一个根是1，求b的值.
44．商店里有A，B 两种糖果，A种糖果的单价为a 元/千克，B种糖果的单价为b元/千克，且a≠b.商店准备用这两种糖果混合制成若干种什锦糖，什锦糖的定价方法是：若取m千克A 种糖果和n千克B 种糖果混合制成什锦糖，则什锦糖的售价定为总价除以总质量，即
（1）某种什锦糖由 A，B两种糖果按质量比1：3混合制成，求该种什锦糖的售价.
（2）现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种糖果混合制成，其中甲什锦糖由相同质量的 A，B两种糖果混合制成；乙什锦糖由相同总价的A，B两种糖果混合制成，则甲、乙两种什锦糖的售价分别为多少？
（3）选择合适的方法比较（2）中甲、乙两种什锦糖的售价哪个更高？
45．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点为线段的中点，过点向上作，且，以、为边作矩形．设点的运动时间为（t>0）秒．
（1）线段的长为 （用含的代数式表示）．
（2）当点N恰好落在边上时，求的值．
（3）当点在内部时，设矩形与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式．
（4）当点恰好落在的角平分线上时，直接写出的值．
46．如图，在中，中线BE，CF交于点O，G，H分别是OB，OC的中点，连结GH，EF，FG，EH.
（1）证明：四边形EFGH是平行四边形.
（2）当时，求四边形EFGH的面积.
47．[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式进行配方．
解：．
我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”．
（1）[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是 ．
（2）若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为 ；
（3）[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的值．
（4）[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”．
48．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动，设点P的运动时间为t秒（r>0）。过点P作AB的垂线交AB于点M．
（1）AC=
（2）求PM的长．（用含有t的代数式表示）
（3）若将点P绕点M逆时针旋转90于点N．
①求BN的长（用含t的代数式表示）
②在点P运动的同时，做点B关于点N的对称点Q，连结PQ．
当△AQP为等腰三角形时，直接写出t的值．
49．已知关于的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且，则称它们互为“同根轮换方程”． 如与互为“同根轮换方程”．
（1）方程与互为“同根轮换方程”吗？
（2）若关于的方程与互为“同根轮换方程”，求的值；
（3）已知方程①：和方程②：，、分别是方程①和方程②的实数根，且．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含的代数式分别表示和；如果不能，请说明理由．
50．已知a、b为整数，方程3x2－3(a＋b)x＋4ab＝0的两个实数根满足α、β满足α(α＋1)＋β(β＋1)＝(α＋1)(β＋1)．试求所有的整数对（a，b）．
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【精选热题·期末50道解答题专练】湘教版数学九年级上册总复习
1．如图所示，折线是一段登山石阶，其中，部分的坡角为，部分的坡角为，．
（1）求石阶路（折线）的长．
（2）如果每级石阶的高不超过，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，）
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∵．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴（级）解：．
答：这一段登山石阶至少有472级台阶．
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值可得，，单位化成厘米后除以20，即可求出答案.
2．台风“康妮”来袭，小胜发现校园内一棵大树被吹斜了，他想利用所学知识测算倾斜后的大树顶端A距离地面的高度．他在同一时刻测得如下数据：①大树的影长为；②大树与地面所成锐角大约为；③点处竖直放置的竹杆，其影长为．
（参考数据：，，，）
（1）该时刻太阳光线与水平地面所成夹角为多少度？
（2）小胜收集的数据能否帮助他计算出大树顶端A距离地面的高度？若能，请计算出结果；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得，，
所以，
因为，所以．
因此．
∴该时刻太阳光线与水平地面所成夹角．
（2）解：能，计算如下，过点作 ，
因为，所以，
设为，则，
又因为，所以，
因为，所以，解得，
所以，
∴大树顶端A距离地面的高度为10米．
【解析】【分析】
（1）由于中且已知，则解直角三角形可得，再结合已知可得得，再由直角三角形两锐角互余可得即的值；
（2）过A点作BC的垂线段AF，解直角三角形要得，再设为，则，再解可得，再由线段的和差关系可得并求解即可得到值．
（1）解：由题意得，，
所以，
因为，所以．
因此．
∴该时刻太阳光线与水平地面所成夹角．
（2）解：能，计算如下，
过点作 ，
因为，所以，
设为，则，
又因为，所以，
因为，所以，解得，
所以，
∴大树顶端A距离地面的高度为10米．
3．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD，若AC＝6，AD＝4，求BD的长．
【答案】解：
AC＝6，AD＝4，
经检验： 符合题意，
【解析】【分析】先求出△ACD△ABC，再根据 AC＝6，AD＝4，计算求解即可。
4．如图27 11，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，点D在BC的延长线上，且△ACD∽△BAD，求CD的长．
【答案】解：∵△ACD∽△BAD，
∴ = = ，
设CD=x，则BD=7+x，
∴ = = ，
∴AD= x= （7+x），
解得x=9.
∴CD=9.
【解析】【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，即可得出CD的长度。
5．如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向。为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？(结果保留根号)
【答案】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以BQ=PQ-90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ tan30°= PQ（海里），
所以PQ-90= PQ，
所以PQ=45（3+ ）（海里）
所以MN=PQ=45（3+ ）（海里）
在直角△BMN中，∠MBN=30°，
所以BM=2MN=90（3+ ）（海里）
所以 （小时）
即渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．
故答案是：
【解析】【分析】由题意可作辅助线，
过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N， 解直角三角形AQP和直角三角形BPQ即可求解。
6．为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
【答案】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）=532．整理，得x2﹣35x+34=0，解得，x1=1，x2=34。∵34＞30（不合题意，舍去），∴x=1。答：小道进出口的宽度应为1米。设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可。
【解析】【分析】设小道进出口的宽度为x米，由题意可知，当所有小道除外余下的花园依然是一个长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，而余下种植花草的面积为532m2，根据面积相等可列方程求解。
7．小琪要测量某建筑物的高度如图，小琪在点处测得该建筑物的最高点的仰角为，再往该建筑物方向前进至点处测得最高点的仰角为根据测得的数据，计算该建筑物的高度结果取整数．参考数据：，，．
【答案】解：设，
，，
，
在中，，
，
解得：，
答：该建筑物的高度是．
【解析】【分析】 设， 在Rt△BCD中，得BD=CD=xm， 在Rt△ACD中，利用∠CAD的正切，即可求解.
8．已知实数x，y，z满足，试求的值.
【答案】解：令，则，
．
【解析】【分析】令，则，原式子用k的式子代换，再约分即可得答案．
9．关于x的方程x2－4x＋2m+2＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
【答案】解：∵关于x的方程x2－4x＋2m+2＝0有实数根
∴
解得
又m为正整数
∴
将 代回方程中，得到x2－4x＋4＝0
即
求得方程的实数根为： .
故答案为： ，方程的实数根为：
【解析】【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围，再由m为正整数进而求出m的值，然后再将m代入方程中解方程得出答案．
10．2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运较火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面 处发射、当火箭到达点 时，地面 处的雷达站测得 米，仰角为 .3秒后，火箭直线上升到达点 处，此时地面 处的雷达站测得 处的仰角为 ．已知 两处相距 米，求火箭从 到 处的平均速度（结果精确到 米，参考数据： ）
【答案】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：
AB=3x，
在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，
∴AO=2000，
∴DO=2000 ，
∵CD=460，
∴OC=OD-CD=2000 -460，
在Rt△BOC中，∠BCO=45°，
∴BO=OC，
∵OB=OA+AB=2000+3x，
∴2000+3x=2000 -460，
解得x≈335（米/秒）．
答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．
【解析】【分析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，可得AO=2000，DO=2000 ，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，可得BO=OC，即可得2000+3x=2000 -460，进而解得x的值．
11．某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）数据如下：2，4，5，4，3，5，3，4，1，3，2，4．
（1）补全如图的学生课外读书数量条形统计图；
（2）请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数 、中位数 和平均数 ；
【答案】（1）解：根据题意可知：课外读书数量为2本的有2人，4本的有4人，补全学生课外读书数量条形统计图，如图所示：
（2）4；3.5；
【解析】【解答】解：（2）从条形统计图可有看出，课外读书数量为4本的人数最多，有4人，故众数为4；
共12名学生，第6人读3本，第7人读4本，故中位数是；
平均读书量为.
故答案为：4；3.5；
【分析】（1）分析所给数据，即可得到课外读书数量为2本和4本的人数，然后补全条形统计图即可.
（2）从条形统计图可以看出众数，以及从小到大排列后的数据，从而可计算出中位数，最后按加权平均数的计算公式计算得平均数.
12．如图，在一次高尔夫球比赛中，小明从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度10m时，球移动的水平距离为8m．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，OC=12m．
（1）求点A的坐标；
（2）求球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．
【答案】（1）解：由题意可知：在Rt△ACO中，∠ACO=90°，∠AOC=30°，OC=12，
∴AC=OC tan∠AOC=12× = ，
∴点A的坐标为（12， ）
（2）解：由题意可知抛物线顶点B的坐标为（8，10），
∴可设球的飞行路线所在抛物线的解析式为 ，
∵点O（0，0）在抛物线上，
∴ ，解得： ，
∴球的飞行路线所在抛物线的解析式为 ，
即 .
（3）解：在 中，当 时， ，
∵ ，
∴点A（12， ）不在球的飞行路线所在抛物线上，
故小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．
【解析】【分析】（1）根据题意可得AC=OC tan∠AOC求得AC的值，进一步得出点A的坐标；
（2）首先设抛物线解析式为： y = a ( x h) 2 +b，然后把顶点坐标和O（0，0）代入解析式，得出函数解析式，再转化为一般式；
（3）把A点的横坐标代入抛物线的解析式得到y =≠4，因此，点A（12，4）不在球的飞行路线所在抛物线上，即小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点。
13．已知（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：14：9
求：①a：b：c；
② ．
【答案】解：①∵（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：14：9
设a+b=7k，b+c=14k，c+a=9k，
∴a+b+c=15k，
∴a=k，b=6k，c=8k，
∴a：b：c=1：6：8
② = =﹣
【解析】【分析】①根据给出的比例，设a+b=7k，b+c=14k，c+a=9k，然后将各式相加，即可得出a+b+c=15k，进而得出a、b、c，然后求比即可；
②根据①中求出的a、b、c，代入化简求值即可.
14．当 为何值时，多项式 有最小值？ 并求出这个最小值．
【答案】解：∵，
∴当 时，多项式 7 有最小值，最小值是 5.
【解析】【分析】先利用配方法将原式变形为，再求出其最小值即可.
15．小红遇到这样一个问题：如图①，在四边形 ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=4，BC=，求AD 的长.小红发现，延长AB，交DC的延长线于点 E，通过构造 Rt△ADE(如图②)能够使问题得到解决.
（1）求AD 的长.
（2）参考小红思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形 ABCD 中， ∠B=∠C=135°，AB=9，CD=3，求 BC和AD 的长.
【答案】（1）解：∵ 在 Rt△ADE 中，∠A=90°，∠D=60°，
∴∠E=30°.
∵ 在 Rt△BEC 中，∠BCE=180°-∠BCD=90°，∠E=30°，BC=
∵在Rt△ADE中，∠A=90°，∠E=
（2）解： 延长AB，交 DC 的延长线于点 E.
∵∠ABC=∠BCD=135°，
∴∠EBC=∠ECB=45°.
∴ BE=CE，∠E=90°.
设BE=CE=x，则易得 AE=9+x，DE=3+x.
∵ 在 Rt △ADE 中， ∠E = 90°，
即 解得x=
3.经检验，x=3是原分式方程的解.
∴ BC=3 ，AE=12，DE=6.
∴ 由 勾 股 定 理，得 AD =
【解析】【分析】(1)延长AB与DC相交于点E，解直角三角形BEC，得出BE的长，那么.AE=AB+BE，再解直角三角形ADE，即可求出AD；
(2)延长AB与DC相交于点E.由. 得出 那么BE 设BE=CE=x，则BC= 在 中，由 得出 求出x=3，那么 再利用勾股定理即可求出AD.
16．如图，某天数学活动课上，王婷想利用所学知识测量学校旗杆AB的高度，她在距离旗杆底端B处3米高的点C处做好标记（即BC=3米），用测角仪在地面上的点E处测得点C的仰角∠1的度数，然后沿EB到达点D处，测得旗杆顶端A的仰角∠2的度数，发现∠1+∠2=90°，经测量BE=10米，BD=3米，已知点B、D、E在同一水平直线上，AB⊥ED，求旗杆AB的高度．
【答案】解：
答：旗杆的高度为10米．
【解析】【分析】 根据垂直的概念得∠CBE=∠ABD=90°，则∠2+∠A=90°，结合∠1+∠2=90°，得∠1=∠A，结合BC=BD可证明△EBC≌△ABD，得到BE=AB，据此解答.
17．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某景区山的高度
测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等
模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点．
测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角；②沿着山坡前进到达处；③在处测出山顶的仰角．注：图中所有点均在同一平面内．
（参考数据：，，，，，）
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求坡面的水平距离和垂直距离；
（2）求山的高．
【答案】（1）解：在中，，，，
，
，
；；
答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和。
（2）解：延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为。
【解析】【分析】（1）在中，根据正弦函数、余弦函数定义：，，代入数据即可求出CH和AH的值。
（2）延长交于点，设，根据矩形性质，可得，，代入数据，求出BG的关系式，在中，根据正切函数定义：，代入数据即可求出BD的值。
（1）解：在中，，，，
，，
；；
答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和；
（2）解：延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为．
18．如图是某品牌篮球架及其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点A，支架交于点G，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，．（参考数据：，，）
（1）求的度数．
（2）工人准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．
【答案】（1）解：，
，
又，
．
（2）解：他不能挂上篮网，理由如下：
如图，延长、交于点H，
∵地面，地面，
，
，
又，
，
，
，
，
∵篮筐与支架在同一直线上，
∴与地面的距离为3.124米，
而，
∴他不能挂上篮网．
【解析】【分析】（1）根据“直角三角形，两锐角互余”即可求出；
（2）延长、交于点H，利用那个对顶角相等及直角三角形两锐角互余得，根据∠ADH的正弦函数可求出的长，进而可得的长，由篮筐与支架在同一直线上可得与地面的距离与相同，再与3米做比较即可判断工人是否能否挂上篮网．
（1），
，
又，
．
（2）如图，延长、交于点H，
∵地面，地面，
，
，
又，
，
，
，
，
∵篮筐与支架在同一直线上，
∴与地面的距离为3.124米，
而，
∴他不能挂上篮网．
19．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2016年投资1000万元，预计2018年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．
（1）求平均每年投资增长的百分率；
（2）按此增长率，计算2019年投资额能否达到1360万元
【答案】（1）解：设平均每年投资增长的百分率为x，由题意得：
1000(1+x)2=1210，
∴x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合实际意义，舍去)，
即平均每年投资增长的百分率为10%。
（2）解：∵1210(1+10%)=1210×1.1=1331＜1360，
∴2019年投资额达不到1360万元。
【解析】【分析】（1）设出平均每年投资增长的百分率 ，根据增长前投资1000万元，经过两次增长后投资1210万元，即可列出一元二次方程解答；
（2）根据（1）中的增长速度可得2019年的投资额，据此即可判断。
20．如图，在建筑物AB上，挂着35 m长的宣传条幅AE，从另一建筑物CD的顶部D处看条幅顶端A处，仰角为45°，看条幅底端E处，俯角为37°．求两建筑物间的距离BC．
(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， tan37°≈0.75)
【答案】解：过点D作DF AB交AB于点F，∴∠DFA=∠DFE=90°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形BCDF是矩形，∴BC=DF，∵在Rt△ADF中，∠ADF=45°，∴AF=DF，∵在Rt△DFE中，∠EDF=37°，∴EF=DF·tan37°，又∵AF＋EF=AE=35，∴DF＋DF·tan37°=35，解得DF=BC=20（m）答：两建筑物间的距离BC为20m.
【解析】【分析】过点D作DF ⊥ AB交AB于点F，首先判断出四边形BCDF是矩形，根据矩形的对边相等得出BC=DF，在Rt△ADF中，根据等腰直角三角形的性质得出AF=DF，在Rt△DFE中利用正切函数的定义，得EF=DF·tan37°，根据AF＋EF=AE=35，列出方程求解得出DF的长，从而得出答案。
21．已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
【答案】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ．
∴ ．
∴
．
【解析】【分析】根据m是方程的一个根，代入得到m2+m=1；化简代数式，得到代数式的值.
22．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以5cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值．
（2）当 时，求CQ的长．
【答案】（1）解：①时，
则，
∵BP＝5t，QC＝4t，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴，
解得：t＝1；
②时，
则， 即
解得：t＝，
综合上述：当t＝1或t＝时，△BPQ与△ABC相似；
（2）解：过P作PH⊥BC于H，
∵∠C＝90°，
∴∠BHP＝∠C＝90°，
∴PH∥AC，
∴△PBH∽△ABC，
∴，
∴，
∴BH＝4t，PH＝3t，
∵，
∴HQ＝3PH＝6t，
∴4t+6t+4t＝8，
∴t＝，
∴CQ＝4×＝，
答：CQ的长为．
【解析】【分析】（1）分、两种情况，分别根据相似三角形的性质列比例式，计算即可；
（2）过作于，证明△PBH∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BH和PH，再根据正切的定义求出HQ，然后列方程求出t即可．
23．如图所示，一艘渔船以海里/时的速度由西向东航行．在处看见小岛在船北偏东的方向上．后，渔船行驶到处，此时小岛在船北偏东的方向上．已知以小岛为中心，海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可能？
【答案】这艘渔船继续向东航行，没有进入危险区域的可能
24．将两块直角三角板如图1放置，等腰直角三角板 的直角顶点是点 ， ，直角板 的直角顶点 在 上，且 ， ．三角板 固定不动，将三角板 绕点 逆时针旋转，旋转角为 （ ）．
（1）当 = 时， ；
（2）当 = 时，三角板EDF绕点 逆时针旋转至如图2位置，设DF与AC交于点M，DE交AB于点N，求四边形ANDM的面积。
（3）如图3，设 ，四边形 的面积为 ，求 关于 的表达式（不用写 的取值范围）。
【答案】（1）30
（2）当 =45度，即
同理 又 ∴四边形ANDM为矩形．
∴ ，∴ ~
∵ ，∴
∵ ，∴
同理得
∴
（3）过D 作 于点 ，作 于点
由（2）知四边形 为矩形， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，又∵
∴ ~ ∴
∴ =
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据题意可知，EF∥BC，根据平行线的性质即可得到∠MDC=∠F，即可得到度数。
（2）根据题意即可得到∠C的度数为45°，即可得到∠DNA的度数，通过证明三角形DMC三角形BAC，根据相似三角形的性质得到DN的长度，即可求出面积。
（3）根据同角的余角相等的性质，得到∠NDH2=∠MDH1，即为继而根据三角形相似列举出四边形的面积整理式子即可。
25．如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式的解集．
【答案】（1）解：将A（﹣3，1），（-4，0）代入y＝kx+b，得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+4，
将A（﹣3，1）代入，
解得m＝﹣3，
∴反比例的解析式为y＝﹣（x＜0）；
（2）解：∵直线AC的解析式为y＝x+4与y轴交点D，∴点D的坐标为（0，4），
由， 解得 或
∴点B的坐标为（﹣1，3），
∴△AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD＝＝4；
（3）解：由图象可得：当x<0时，关于x的不等式 的 解集是x<-3或-1【解析】【分析】（1）利用待定系数法将已知点的坐标代入函数表达式，建立方程组即可求解；
（2）将两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据 △AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD 即可求解；
（3）根据直线y＝x+4与双曲线 的图象交点，由（2）得出点B的坐标为（﹣1，3）， 再结合点C(-4，0)的坐标即可得出结论.
26．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）
【答案】解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，∴该汽车的实际速度为 =11m/s，又∵40km/h≈11.1m/s，∴该车没有超速．
【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义，在Rt△APC中，由AC=PCtan∠APC算出AC的长，在Rt△BPC中，由BC=PCtan∠BPC算出BC的长，根据相等的和差得出AB的长，再根据路程除以时间等于速度，算出汽车的实际速度，再比较即可得出答案。
27．如图，小山上有一座 高的电视发射塔 ，为了测量小山的高度 ．在山脚某处D测得山顶的仰角为 ，测得塔项的仰角为 ，求小山的高．（已知： ）（结果精确到 ）
【答案】解：设 m，
∵ m，
∴ m．
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
答：小山的高约为80m．
【解析】【分析】先求出 m ，再利用锐角三角函数计算求解即可。
28．消防车是救援火灾的主要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂（20米米）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角为（），转动点A距离地面的高度米．已知，，点B、E、F、D在同一水平线上，当起重臂的长为24米，张角时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度．
【答案】解：过点A作AG⊥CF，
由题意，得，，
∴四边形AEFG是矩形，
∴（米），．
∵，
∴．
在中，，
∴（米），
∴（米）．
答：云梯消防梯最高点C距离地面的高度CF为15米．
【解析】【分析】过点A作AG⊥CF，易得四边形AEFG是矩形，则AE=FG=3米，∠GAE=90°，由角的和差得∠CAG=30°，在Rt△CAG中，由∠CAG的正弦函数可求出CG的长，进而根据CF=CG+GF即可得出答案.
29．如图，斜立于地面的木杆AB，从点C处折断后，上半部分BC倒在地上，杆的顶部B恰好接触到地面D处，测得∠ACD=60°，∠ADC=37°，杆的底部A与点D相距5米，求木杆AB的长度．（精确到0.1米；参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）
【答案】解：过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC=∠AED=90°．
在Rt△AED中，∠ADC=37°，
∵cos37°==≈0.8，
∴DE≈4，
∵sin37°==≈0.6，
∴AE≈3，
在Rt△AEC中，
∵∠CAE=90°-∠ACE=90°-60°=30°，
∴CE=AE=，
∴AC=2CE=2，
∴AB=AC+CE+ED=2++4=3+4≈9.2（米）．
答：这棵大树AB原来的高度约是9.2米．
【解析】【分析】过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC=∠AED=90°，利用解直角三角形求出AE≈3，再利用含30°角的直角三角形的性质求出AC=2CE=2， 最后利用线段的和差可得AB=AC+CE+ED=2++4=3+4≈9.2。
30．某校八年级一班的一个数学综合实践小组去超市调查某种商品“十一”期间的销售情况，下面是调查后小阳与其他两位同学交流的情况：
小阳：据调查，该商品的进价为12元/件．
小佳：该商品定价为20元时，每天可售240件．
小欣：在定价为20元的基础上，涨价1元，每天少售20件．
根据他们的对话，若销售的商品每天能获利1920元时，为尽快减少库存，应该怎样定价更合理？
【答案】解：设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣12）元，
根据题意得：[240﹣20（x﹣20）]×（x﹣12）＝1920
整理，得x2﹣44x+480＝0，
解得，x1＝20，x2＝24；
∵要尽快减小库存，
∴x＝20，
答：为尽快减少库存，每件定价20元．
【解析】【分析】设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣12）元，根据题意列出方程[240﹣20（x﹣20）]×（x﹣12）＝1920求解即可。
31．一个直角三角形的两条直角边的和是 ，面积是 ，求两条直角边的长．
【答案】解：设一条直角边为xcm，则另一条直角边的长为 ，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
当 时， ．
当 时， ．
答：这两条直角边的长分别为3cm和4cm．
【解析】【分析】设一条直角边为xcm，则另一条直角边的长为 ， 根据“面积是 ”，列出一元二次方程求解即可。
32．已知反比例函数 的图象与一次函数y= kx+b（k≠0，k是常数）的图象交于点
（1）当k=2，b=-1时，求. 的值；
（2）若 求 的值.
【答案】（1）解： 当k=2，b=-1时 ， 反比例函数 ，一次函数y= 2x-1，
∴2x2-x-1=0
∵反比例函数 的图象与一次函数y= kx+b（k≠0，k是常数）的图象交于点
∴2x2-x-1=0的两根，
∴=
（2）解：据题意知： 在 ，
∴，
∴
∵
∴
即 的值为0
【解析】【分析】⑴根据一元二次方程根与系数的关系求解：=.
⑵利用分式的加减进行化简即可.
33．某果农计划在一片向阳的坡地上种植100棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，但他发现多种20棵桃树，则每亩地多种4棵．
（1）求果农原计划每亩地种多少棵桃树？
（2）果农经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是1000个桃子，若多种1棵桃树，每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子，而且多种的桃树不能超过100棵．如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？
【答案】（1）解：100÷（20÷4）＝25（棵）．
答：果农原计划每亩地种20棵桃树；
（2）解：设多种x棵树，则（100+x）（1000﹣2x）＝100×1000×（1+15.2%）（0＜x＜100），
整理，得：x2﹣400x+7600＝0，（x﹣20）（x﹣380）＝0，
解得x1＝20，x2＝380．
∵果园有100棵桃树，380＞100，
∴x2＝380不合题意，故舍去．
答：应多种20棵桃树．
【解析】【分析】（1）根据 某果农计划在一片向阳的坡地上种植100棵桃树，多种20棵桃树，则每亩地多种4棵 列出算式计算可求解；
（2） 设多种x棵树， 根据多种1棵桃树，每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子，所以多种x棵树每棵桃树的产量就会减少2x个，即平均产量为（100-2x）个，桃树总共有（100+x）棵，所以总产量是（100+x）（100-2x）个，再根据要使产量增加15.2%，即可列出关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的x的值即可求解.
34．如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°，从楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°.已知树高EF=6米，求塔CD的高度（结果保留根号）.
【答案】解：由题意可知∠BAD=∠ADB=45°，
∴FD=EF=6米，
在Rt△PEH中，
∵tanβ= ，
∴BF= =5 ，
∴PG=BD=BF+FD=5 +6，
∵tanβ= ，
∴CG=（5 +6）· =5+2 ，
∴CD=（6+2 ）米.
【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质得出 FD=EF=6米， 根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值的意义，由 tanβ= 即可算出 BF的长，然后根据矩形的对边相等及线段的和差，由 PG=BD=BF+FD 算出PG的长， 根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值的意义，由tanβ= 即可算出CG的长，进而算出CD的长。
35．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4.4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.
（结果精确到0.1米；参考数据：，，）
【答案】解：如图，过A作于T，于K.
在中，，，
∴（米），
（米）.
∵，∴四边形ATCK是矩形.
∴米，（米）.
在中，，∴米.
∴（米）.
答：阴影CD的长约为1.8米.
【解析】【分析】过A作于T，于K，进而结合题意运用锐角三角函数的定义即可得到，，再运用矩形的判定与性质即可得到米，，从而即可求解。
36．如图，直线（为常数）与双曲线（为常数）相交于两点．
（1）求的值；
（2）在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）解：将点的坐标代入，得，
双曲线的解析式为．
将点的坐标代入，得．
则，
（2）解：对于，故反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，
当或时，；
当时，根据图象可得．
综上所述，当或时，；当时，
（3）解：∵交于两点，且，
∴或．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，然后把y=-1代入求出a的值；
（2）根据反比例函数的增减性，分情况讨论解题；
（3）结合函数的图象，得到一次函数的图象在反比例函数图象上方自变量的取值范围即可解题．
（1）解：将点的坐标代入，得，
双曲线的解析式为．
将点的坐标代入，得．
则，；
（2）解：对于，故反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，
当或时，；
当时，根据图象可得．
综上所述，当或时，；当时，．
（3）解：∵交于两点，且，
∴或．
37．动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
【答案】解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，
∵sin∠ACE=，即sin58°=，
∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，
∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm．
【解析】【分析】 在Rt△ACE中， 先求出AC，再根据 sin∠ACE= 求出AE即可。
38． 如图，双曲线的一支与直线交于，与直线另一交点为，直线与两坐标轴分别交于，．
（1）求双曲线的解析式；
（2）作轴于，轴于，当时，比较与面积的大小．
【答案】（1）解：在直线图象上，
，
，
点在反比例函数图象上，
．
反比例函数解析式为：；
（2）解：时，点的横坐标为，
在反比例函数中，当时，，
，
设直线的解析式为，代入点，坐标得：
，解得，
直线解析式为：，
，，
，．
故．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入直线方程可得m值，再代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据BF长度可得B点横坐标，再代入反比例函数解析式可得点B坐标，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，B坐标代入直线解析式可得直线解析式为：，根据坐标轴上点的坐标特征可得，，再根据三角形面积即可求出答案.
39．已知在中，，点，分别是边，中点，连接，，延长到点，使得，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，且，求的长．
【答案】（1）证明：点是的中点，
，
又，
四边形是平行四边形，
点，分别是边，中点，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理及性质，菱形的判定定理即可求出答案；
（2）根据菱形性质，三角函数定义得到，设，则，根据勾股定理即可求出答案。
40．如图1，反比例函数 与一次函数的图象交于点 ，点，一次函数与y轴相交于点 C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接、，在x轴上是否存在一点D使的面积是面积的2倍，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
【答案】（1）解：将代入反比例函数得，3=，
解得：，
∴，
将代入，
得，
∴
将，点代入，
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：
（2）解：设一次函数与x轴交于点E，
令，则，令，则，
∴，
∴的面积
∵的面积是面积的2倍，
∴的面积为8
设，如图所示，当点D在x轴正半轴时，连接，，
则，
∴
∴
解得
∴；
如图所示，当点D在x轴负半轴时，连接，，
则，
∴
∴
解得
∴；
综上可得，点D的坐标为或
（3）解：设点，又，
由旋转知：为等腰直角三角形，
∴，
解得：，
∴
【解析】【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入求得点B的坐标，然后用待定系数法可求得一次函数的解析式；
（2）由题意，根据的面积求出的面积为4，然后得到的面积为8，根据题意分两种情况：点D在x轴负半轴和点D在x轴正半轴，然后由可得关于t的方程，解方程即可求解；
（3）设点，，又，根据等腰直角三角形的性质列关于m、n的方程组，解方程组即可求解．
41．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，直线经过点A，且与l关于直线对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
（3）已知直线与反比例函数的图象交于点另一点B，P在在平面内，若以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标．
【答案】（1）解：直线与反比例函数的图象交于点，
把代入，得：，
，
将代入反比例函数，得：，
，
反比例函数的解析式为．
（2）解：根据直线，可得直线与x轴的交点为，
直线经过点A，且与l关于直线对称，
直线与x轴的交点为，
设直线，
将，代入解析式得：，
解得，
直线，
直线与y轴的交点坐标为，
结合图形阴影部分面积直线、直线与x轴围成的三角形面积直线与x轴、y轴围成的三角形面积，
．
（3）所有符合条件点P的坐标为，，．
【解析】【解答】（3）解：直线与反比例函数的图象交于点另一点B，
可列方程，
解得：或，
，
设，
①当以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形以为对角线时，
根据平行四边形的性质，可知的中点与的中点相同，
根据中点公式，可得方程，解得，
；
②当以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形以为对角线时，
根据平行四边形的性质，可知的中点与的中点相同，
根据中点公式，可得方程，解得，
；
③当以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形以为对角线时，
根据平行四边形的性质，可知的中点与的中点相同，
根据中点公式，可得方程，解得，
；
综上所述，所有符合条件点P的坐标为，，．
【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可得直线与x轴的交点为，直线与x轴的交点为，设直线，根据待定系数法将点，代入解析式可得直线，根据y轴上点的坐标特征可得直线与y轴的交点坐标为，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）联立直线与反比例函数解析式可得，设，分情况讨论：①当以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形以为对角线时，②当以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形以为对角线时，③当以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形以为对角线时，根据线段中点建立方程组，解方程即可求出答案.
（1）解：直线与反比例函数的图象交于点，
把代入，得：，
，
将代入反比例函数，得：，
，
反比例函数的解析式为．
（2）解：根据直线，可得直线与x轴的交点为，
直线经过点A，且与l关于直线对称，
直线与x轴的交点为，
设直线，
将，代入解析式得：，
解得，
直线，
直线与y轴的交点坐标为，
结合图形阴影部分面积直线、直线与x轴围成的三角形面积直线与x轴、y轴围成的三角形面积，
．
（3）解：直线与反比例函数的图象交于点另一点B，
可列方程，
解得：或，
，
设，
①当以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形以为对角线时，
根据平行四边形的性质，可知的中点与的中点相同，
根据中点公式，可得方程，解得，
；
②当以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形以为对角线时，
根据平行四边形的性质，可知的中点与的中点相同，
根据中点公式，可得方程，解得，
；
③当以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形以为对角线时，
根据平行四边形的性质，可知的中点与的中点相同，
根据中点公式，可得方程，解得，
；
综上所述，所有符合条件点P的坐标为，，．
42．如图，在△ABC中，BC边上依次有B、D、E、C，AC边上依次有A、G、F，满足BD=CE= BC，CF=AG= AC，BF交AE于点J，交AD于I，BG交AE于点K，交AD于点H，且S△ABC=1，求S四边形KHIJ．
【答案】解：
过G作GP∥BC，交AD于P，AE于Q，则 = ，
∵BD= BC，
∴ = ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理可得： = ，
即 = ，
∴ ，
∴ = ，
∴BH：HK：KG=52：32：7，
过F作FM∥BC，交AD于M，AE于N，
同理得：BI：IJ：JF=20：32：13，
∵S△ABC=1，
∴S△ABF= ，S△ABG= ，
∴S△AIJ= S△ABF= × = ，
S△AHK= S△ABG= × = ，
∴S四边形KHIJ=S△AIJ﹣S△AHK，
= ﹣ ，
= ．
【解析】【分析】作平行线GP和FM，根据平行线分线段成比例定理列比例式得： ， = ，从而得：BH：HK：KG=52：32：7，BI：IJ：JF=20：32：13，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可以得出S△ABF= ，S△ABG= ，S△AIJ= S△ABF= × = ，S△AHK= S△ABG= × = ，作差可得S四边形KHIJ．
43．已知
（1）求m，n的值.
（2）若关于x的一元二次方程有一个根是1，求b的值.
【答案】（1）解：∵，
∴n-5≥0且5-n≥0，
解之：n=5，
∴m=4，
∴n=5，m=4
（2）解：∵关于x的一元二次方程有一个根是1， n=5，m=4，
∴4x2+bx+5=0，
∴4+b+5=0，
解之：b=-9，
∴b的值为-9
【解析】【分析】（1）利用二次根式的非负性，可得到n-5≥0且5-n≥0，由此可求出n的值，然后求出m的值.
（2）将m，n的值代入方程，可得到4x2+bx+5=0，再将x=1代入方程，可求出b的值.
44．商店里有A，B 两种糖果，A种糖果的单价为a 元/千克，B种糖果的单价为b元/千克，且a≠b.商店准备用这两种糖果混合制成若干种什锦糖，什锦糖的定价方法是：若取m千克A 种糖果和n千克B 种糖果混合制成什锦糖，则什锦糖的售价定为总价除以总质量，即
（1）某种什锦糖由 A，B两种糖果按质量比1：3混合制成，求该种什锦糖的售价.
（2）现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种糖果混合制成，其中甲什锦糖由相同质量的 A，B两种糖果混合制成；乙什锦糖由相同总价的A，B两种糖果混合制成，则甲、乙两种什锦糖的售价分别为多少？
（3）选择合适的方法比较（2）中甲、乙两种什锦糖的售价哪个更高？
【答案】（1）解：设A种糖果x千克，则B种糖果3x千克，由题意得，
元/千克，
答：该种什锦糖的售价为元/千克；
（2）解：设甲什锦糖由y千克的A和y千克的B两种糖果混合制成，
售价为：=元/千克，
设乙什锦糖由c元的A和c元的B两种糖果混合制成，
售价为：=元/千克，
答：甲、乙两种什锦糖的售价分别为 元/千克， 元/千克；
（3）解：，
∵ a≠b，
∴，
∴ 甲的售价高于乙的售价，
答：甲的售价更高.
【解析】【分析】（1）根据售价为总价除以总质量，设A为x千克，则B为3x千克，根据公式计算即可；
（2）设相同质量的y千克， 相同售价的c元，根据售价的公式，分别计算出甲和乙的售价；
（3）利用作差法，根据偶次方的非负性判断出符号，即可求得.
45．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点为线段的中点，过点向上作，且，以、为边作矩形．设点的运动时间为（t>0）秒．
（1）线段的长为 （用含的代数式表示）．
（2）当点N恰好落在边上时，求的值．
（3）当点在内部时，设矩形与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式．
（4）当点恰好落在的角平分线上时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）解：如图，当点落在上时，
，
，
，
解得．
（3）解：当时，重叠部分是矩形，
当时，重叠部分是五边形．
，
综上所述，
（4）解：或．
【解析】【解答】解：（1）由题意，，
，
．
故答案为：．
（4）如图4-1中，当点落在的角平分线上时，满足条件．作于．
，，，
，
，，设，
，，，
，
，
在中，则有，
解得，
，
，
，
如图4-2中，当点落在的角平分线上时，满足条件作于．
同法可证：，
，，设，
，
在中，则有，
解得，
，
，
，
解得 ．
综上所述，满足条件的的值为或
【分析】（1）由题意，，进而即可求解；
（2）根据题意结合平行线分线段成比例即可求解；、
（3）根据题意分类讨论：当时，重叠部分是矩形，；当时，重叠部分是五边形
，，进而即可求解；
（4）根据题意分类讨论：当点落在的角平分线上时，满足条件．作于；当点落在的角平分线上时，满足条件作于．进而根据三角形全等的判定与性质结合题意勾股定理解一元二次方程即可求解。
46．如图，在中，中线BE，CF交于点O，G，H分别是OB，OC的中点，连结GH，EF，FG，EH.
（1）证明：四边形EFGH是平行四边形.
（2）当时，求四边形EFGH的面积.
【答案】（1）证明：∵、分别为的中线，
∴点、分别为、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴，FG⊥FE.
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
连接并延长交于点，连接，如图所示：
∵、分别为的中线且交于点，
∴为的边上的中线，即点为的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵点为的中点，点为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【解析】【分析】（1）先根据中线得到点、分别为、的中点，点，分别是，的中点，从而根据三角形中位线定理得到，，，，从而根据平行公理及其推论结合题意即可得到，，根据平行四边形的判定即可求解；
（2）根据矩形的判定与性质得到，进而根据平行线的性质结合题意得到，，从而根据相似三角形的判定与性质证明得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而根据等腰三角形的性质得到，连接并延长交于点，连接，根据中线的性质得到为的边上的中线，即点为的中点，从而得到，，再根据余弦函数求出CD和BC，从而运用勾股定理求出AD，根据中位线定理得到，，进而得到，，证明得到，从而得到OA，再根据中位线定理求出EH，从而根据矩形的面积公式即可求解。
47．[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式进行配方．
解：．
我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”．
（1）[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是 ．
（2）若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为 ；
（3）[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的值．
（4）[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”．
【答案】（1）8，10．
（2）6
（3）解：，
又∵，，
∴
∴，
∴．
（4）解：设，（a、b、c、d为整数），
∴，
．
又∵a、b、c、d为整数，
∴，均为整数，
∴是“雅美数”．
【解析】【解答】
解：（1）8是“雅美数”，理由：因为；
10是“雅美数”，理由：因为．
故答案为：8，10．
（2）∵，，∴，，∴．
故答案为：6．
【分析】
（1）根据8，10 能表示成（，是整数）的形式 ，故可判断8，10是“雅美数”，解答即可；
（2）根据定义先将表示成（，是整数）的形式 ，可得，，代入计算即可解答；
（3）根据定义将 表示成（，是整数）的形式，即可得到，解答即可；
（3）根据题意实数，是“雅美数”，设，（a、b、c、d为整数），然后就计算，然后表示成（，是整数）的形式，解答即可.
48．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动，设点P的运动时间为t秒（r>0）。过点P作AB的垂线交AB于点M．
（1）AC=
（2）求PM的长．（用含有t的代数式表示）
（3）若将点P绕点M逆时针旋转90于点N．
①求BN的长（用含t的代数式表示）
②在点P运动的同时，做点B关于点N的对称点Q，连结PQ．
当△AQP为等腰三角形时，直接写出t的值．
【答案】（1）4
（2）解：
（3）解：或或
【解析】【解答】解：（1）在中，AC=，
故答案为：4.
（2） ∵，
∴ ∠AMP=∠ACB=90°，∠A是公共角，
∴，
∴，即，
∴
(3) ① ∵ 点P绕点M逆时针旋转90于点N ，
∴，
由勾股定理，得，
当时，即时，此时点B与N重合，
当时，如图，，
当时，如图，
② 当时，即点N在线段AB上，
∴，
当AP=AQ时，，
解得：；
当AP=PQ时，AM=MQ，
∴，
解得：(舍）
当AQ=PQ时，如图，过点Q作，
此时QM=5-10t，AQ=4t-(5-10t)=14t-5，
∴
解得：，
当时，即N在AB的延长线上，
∵，
∴只能是AP=PQ，AM=MQ，
∴，
解得：（舍）
当点Q在BA的延长线上时，同理求出.
综上：或或.
【分析】（1）直接用勾股定理计算；
（2）根据两个角对应相等证明，再利用相似三角形的性质计算；
（3） ① 分两种情况，根据旋转的性质和勾股定理进行计算；
② 分三种情况：点N在线段AB上，在AB的延长线上，在BA的延长线上，根据等腰三角形两边相等建立方程求解。
49．已知关于的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且，则称它们互为“同根轮换方程”． 如与互为“同根轮换方程”．
（1）方程与互为“同根轮换方程”吗？
（2）若关于的方程与互为“同根轮换方程”，求的值；
（3）已知方程①：和方程②：，、分别是方程①和方程②的实数根，且．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含的代数式分别表示和；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：在方程中，，
∴方程无实数根，
∴方程与不互为“同根轮换方程”；
（2）解：∵方程与互为“同根轮换方程”，
∴
设t是公共根，则有，，
解得，．
∵，
∴．
∴．
∴（0值舍去）．
（3）解：当公共解为时，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”；
设公共解为时，，，，
同理可得，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”；
设公共解为，
由题意可得：，，，
同理可得，，，，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”．
【解析】【分析】（1）根据判别式可得方程x2-2x+6=0无实数根，即可求解；
（2）根据定义得到4m=-6n，设t是公共根，则有t2+4t+m=0，t2-6t+n=0，可解、求得，进而推得，解方程即可；
（3）分p、q为公共根、二者都不是公共根三种情况，分别求解即可.
50．已知a、b为整数，方程3x2－3(a＋b)x＋4ab＝0的两个实数根满足α、β满足α(α＋1)＋β(β＋1)＝(α＋1)(β＋1)．试求所有的整数对（a，b）．
【答案】解：因为
所以
所以
代入①得(
所以
a-b=±1，
而a>b，
所以a-b=1，所以a=b+1，
在原方程中，
整理，并把(a=b+1代进去可知
两边加1并用平方和公式知：
所以-2≤2b+1≤2，
而b为整数，
b=-1或0，
当b=-1时，
a=0，符合题意，
b=0，a=1符合题意，
所以(a，b)为(0，-1)或(1，0).
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出a与b的关系，再根据根的判别式求出b的取值范围，从而判断出a、b的值.
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