中小学教育资源及组卷应用平台
【解答题强化训练·50道必刷题】湘教版数学九年级下册期末总复习
1．已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．
2．如图，的顶点是双曲线与直线在第二象限的交点，轴于点，．
（1）的值为__________；点坐标为__________．
（2）若点是图象上的一点，当时，求的取值范围．
（3）根据图象直接写出时的取值范围．
3．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．
4．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高24m，斜坡AB的坡比i1=1：3，斜坡CD的坡比i2=1 ：2.5，求坝底宽AD的长．
5．如图所示，太阳光线AC和A′C′是平行的，同一时刻两个建筑物在太阳下的影子一样长，那么建筑物是否一样高？说明理由．（注：太阳光线可看成是平行的）
6．近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，无人机从A处观测某建筑物至高点O时，俯角为37°；继续水平前行10米到达B处，观测点O，此时的俯角为45°，已知无人机的水平飞行高度为45米．求这栋楼的高度是多少米．(结果精确到0.1)(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.79，tan37°≈0.75，≈1.41)
7．如图是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题：
（1）与面B、C相对的面分别是？
（2）若A=a3+a2b+3，B=a2b﹣3，C=a3﹣1，D=﹣（a2b﹣6），且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求E、F分别代表的代数式．
8．我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为主，立木为表，测日影，正地中，意四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长的杆，向正北方向画一条射线，在上取点D，测得．
（1）判断：这个模型中与是否垂直．答： （填“是”或“否”）；你的理由是： ．
（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角的值，如下表：
节气 夏至 秋分 冬至
太阳光线与地面夹角
①记夏至和冬至时表影分别为和，利用上表数据，在射线上标出点M和点N的位置；
②记秋分时的表影为，推测点P位于（ ）
A．线段中点左侧 B．线段中点处 C．线段中点右侧
9． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AB，垂足为B，交AC于点E．
（1）求证：．
（2）若AE＝13，AB＝12，求EC的长．
10．等腰三角形ABC的底边为10cm，周长为36cm，求tanC．
11．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）过点A作轴，垂足为C，求的面积．
12．如图，眉山水街游人如织，交通十分拥挤．为了缓解这种交通状况，政府决定对水街的部分路段进行拓宽改造．在水街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°．
（1）求大树的高度．（保留根号）
（2）距离大树 点 8 米远有一配电箱， 配电箱是否处在危险区内？0
13．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高6.5米，学生身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像头A的仰角为，求体温检测有效识别区域段的长（结果保留根号）
14．如图，港口A在观测站O的正东方向，，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，求该船航行的距离（即的长）．
15．在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图所示，测BC∥AD，斜坡AB的长为6m，坡度i＝1：，在点B处测得旗杆顶端E的仰角为70°，点B到旗杆底端C的距离为4 m．
（1）求斜坡AB的坡角α的度数．
（2）求旗杆顶端离地面的高度ED．（参考数据sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，结果精确到1m）
16．已知：已知函数y = y1 +y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x = 1时，y =－1；当x = 3时，y = 5.求y关于x的函数关系式.
17．为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度，如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45 ，AC＝24 m，∠BAC＝66.5 ，求这棵古杉树AB的长度．（结果精确到0.1 m．参考数据：sin66.5 ≈0.92，cos66.5 ≈0.40，tan66.5 ≈2.30）
18．在中，，，垂足为M，C是BM延长线上一点，连结AC.
（1）如图1，若，求AC的长.
（2）如图2，D是线段AM上一点，MD=MC，E是AABC外一点，EC=AC，连结ED并延长，交BC于点F，若F是线段BC的中点，求证：
19．近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图无人机从 处观测，测得某建筑物顶点 的俯角为 ，继续水平前行10米到达 处，测得俯角为 ，已知无人机的飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？（精确到0.1米）
参考数据： ， ， ．
20．如图，某居民楼AB的前面有一围墙CD，在点E处测得楼顶A的仰角为25°，在F处测得楼顶A的仰角为45°，且CE的高度为2米，CF之间的距离为20米（B，F，C在同一条直线上）.求居民楼AB的高度.（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，结果保留整数）
21．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为，宽为，为方便残疾人通行，现将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度为.求的长度.
22．某初中兴趣小组在实践课上计划用所学到的知识测量学校附近一楼房的高度，由于到楼房底部的水平距离不易测量，他们通过实地观察、分析，制订了可行的方案，并进行了实地测量.如图，楼房AB 前有一斜坡CD，它的坡比为1： 他们先在坡面 D 处测量楼房顶部A 的仰角∠ADM=30°，接着沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房的方向继续行走至点 E 处，再次测量楼房顶部A 的仰角∠AEB=60°，并测量了点 C，E之间的距离为5 米，坡面CD 长 10 米.请你帮助该小组求出楼房AB的高度(结果精确到0.1米，参考数据：
23．深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度．（≈1.7）
24．为测量一古塔的高度，数学建模小组同学先在该古塔附近一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是16m，试求该古塔的高度．(结果精确到0.1m，参考数据： =1.73，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)
25．某校组织一个数学研究小组测量校园内的一块四边形空地，其平面图如图所示，测得米，．求的长．（结果保留根号，参考数据：，，）
26．如图，A为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景，然后再由E处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处，已知：AC⊥BC于C，DE∥BC，BC=110米，DE=9米，BD=60米，α=32°，β=68°，求AC的高度．（参考数据：sin32°≈0.53；cos32°≈0.85；tan32°≈0.62；sin68°≈0.93；cos68°≈0.37；tan68°≈2.48）
27． 如图， 在平面直角坐标系中， 已知点 ， 等边三角形 的顶点 在反比例函数 的图象上， 把 向右平移 个单位，对应得到 ． 当这个反比例函数图象经过 一边的中点时， 求 的值．
28．如图，码头A在码头B的正东方向，两个码头之间的距离为32海里，今有一货船由码头A出发，沿北偏西60°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏东45°方向，求码头A与小岛C的距离．（≈1.732，结果精确到0.01海里）
29．已知点P是 上的一个动点，∠APB＝118°，AB＝10，点P到AB的最大距离约为多少？（结果保留整数，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．）
30．直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
（1）求直线的表达式；
（2）若，请直接写出满足条件的的取值范围；
（3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积．
31．如图，小明坐在堤边A处垂钓，河堤AC与水平面的夹角为30°，AC的长为 米，钓竿AO与水平线的夹角为60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．
32．
（1）体验：如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点M在BC边上，当∠AMD＝90°时，可知△ABM △MCD（不要求证明）．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点M在BC上，当∠B＝∠C＝∠AMD时，求证：△ABM∽△MCD．
拓展：如图3，在△ABC中，点M是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DME＝45°，BC＝8 ，CE＝6，求DE的长．
33．如果一个矩形的宽与长的比是黄金比，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，已知四边形ABCD为黄金矩形，以它的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形，你能证明这个结论吗？
34．如图，△OPQ是边长为2的等边三角形，若反比例函数（k为常数且）的图象经过点P，求该反比例函数的解析式．
35．如图，ABCD是边长为1的正方形，在它的左侧补一个矩形ABFE，使得新矩形CEFD与矩形ABEF相似，求BE的长．
36．如图，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时，从地面C处的雷达站测得AC的距离是6km，仰角是43°，1s后，火箭到达B点，此时测得仰角为45.5°，这枚火箭从点A到点B的平均速度是多少？（结果精确到0.01）
37．已知菱形ABCD的周长为48cm，两个邻角∠A与∠B的比是1：2，求这个菱形的面积．
38．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，求cosA的值．
39．下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度.
题目 测量小河的宽度
测量目标示意图
相关数据 BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m
40．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB于点D，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点B运动．以点P为顶点，在AB的上方作正方形PQMN，且PQ∥AC，PQ＝1．设点P运动的时间为t（秒），正方形PQMN与△BCD重叠部分图形的面积为S（平方单位）．
（1）CD的长是 ；
（2）当点Q落在△BCD的边上时，求t的值；
（3）当正方形PQMN与△BCD重叠部分图形不是四边形时，求S与t之间的函数关系式．
41．已知：如图，在中，点是边上的一点，连接，
（1）求证：；
（2）过点作，垂足为点，，点在边上，，求的值．
42．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标；
（3）如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标．
43．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，为两条对角线的交点，顶点在轴上，顶点的坐标为，.以上一点为圆心、为半径的圆恰与相切于点.
（1）求点的坐标；
（2）判断和的位置关系，并说明理由；
（3）已知为与的交点，求的长.
44．如图，△OA1B1，△B1A2B2是等边三角形，点A1，A2在函数 的图象上，点B1，B2在x轴的正半轴上，分别求△OA1B1，△B1A2B2的面积.
45．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点D为边AB的中点．点P从点4出发，以每秒2各单位长度的速度沿A-C-A的方向匀速运动，回到点A时停止运动，同时点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向终点B匀速运动．点P不与点A、E重合．连接PQ、DP、DQ．设点P的运动时间为1 （s）．
（1）当点P从点A向点C运动时，AP= ；
当点P从点C向点A运动时，AP= （用含t的代数式表示）
（2）当DP⊥AB时，求t的值．
（3）当△CPQ与△ABC相似时，求t的值．
（4）当点P从点A向点C运动时，作点A关于直线DP的对称点A'，点A"不与△ABC的顶点重合，连结A'P，当A'P与△ABC某一边垂直时，直接写出t的值．
46．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点.
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与 ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.
47．正方形和正方形有公共顶点．
（1）如图，点、、三点共线，若，，点为的中点，则的长为 ；
（2）将正方形绕点顺时针旋转至如图所示的位置，连接、，求证：；
（3）在(1)的条件下，将正方形绕点旋转一周的过程中，的最小值是 ，此时，的度数为 ．
48．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O，点A（6，﹣6 ），且以y轴为对称轴．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点B（0，﹣ ）作x轴的平行线l，点C在直线l上，点D在y轴左侧的抛物线上，连接DB，以点D为圆心，以DB为半径画圆，⊙D与x轴相交于点M，N（点M在点N的左侧），连接CN，当MN=CN时，求锐角∠MNC的度数。
（3）如图3，在（2）的条件下，平移直线CN经过点A，与抛物线相交于另一点E，过点A作x轴的平行线m，过点（﹣3，0）作y轴的平行线n，直线m与直线n相交于点S，点R在直线n上，点P在EA的延长线上，连接SP，以SP为边向上作等边△SPQ，连接RQ，PR，若∠QRS=60°，线段PR的中点K恰好落在抛物线上，求Q点坐标．
49．如图，在平行四边形中，点是的中点，连结并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）点是线段上一点，满足交于点，若，求的值．
50．如图1，是等腰直角三角形，，先将边沿过点B的直线l对折得到，连接，然后以为边在左侧作，其中，，与交于点F，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，当点D在的斜边上时，请直接写出用表示的关系式；
（3）如图3，当点D在的内部时，若点F为的中点，且的面积为10，求的面积．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【解答题强化训练·50道必刷题】湘教版数学九年级下册期末总复习
1．已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．
【答案】解：设，则x=2k，y=3k，z=4k，
∵2x+3y-z=18，
∴4k+9k-4k=18，
∴k=2，
∴x=4，y=6，z=8，
∴x+y+z=4+6+8=18．
【解析】【分析】设，则x=2k，y=3k，z=4k，再将x、y、z的值代入2x+3y﹣z＝18，求出k的值，再计算即可。
2．如图，的顶点是双曲线与直线在第二象限的交点，轴于点，．
（1）的值为__________；点坐标为__________．
（2）若点是图象上的一点，当时，求的取值范围．
（3）根据图象直接写出时的取值范围．
【答案】（1）；
（2）解：由（1）知反比例函数解析式为，在中，当时，，
∴由函数图象可知，当时，或，
∴当时，的取值范围为或；
（3）的取值范围为或
【解析】【解答】解：（1）∵，轴，且点A在双曲线的图象上，
∴，
∵双曲线的图象经过第二、四象限，
∴，
∴，
故答案为：；；
（3）解：由（1）得直线解析式为，
联立，解得或，
∴，
由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴当时，的取值范围为或．
【分析】（1）利用反比例函数比例系数的几何意义解题；
（2）先求出n=-3时m的值， 然后结合函数图象得到解集即可；
（3）求出点B坐标，再根据函数图象得到反比例函数图象在一次函数图象上方时x的取值范围解题．
3．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．
【答案】解：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF．
在Rt△BCE中，∵∠E=90°，∠CBE=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=BC=×1000=500米；
在Rt△CDF中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=AB=1000米，
∴CF=CD=500米，
∴DA=BE+CF=（500+500）米，
故拦截点D处到公路的距离是（500+500）米．
【解析】【解答】过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF．解Rt△BCE，求出BE=BC=×1000=500米；解Rt△CDF，求出CF=CD=500米，则DA=BE+CF=（500+500）米．
【分析】此题考查了解直角三角形中的方向角问题，通过构造直角三角形利用三角函数解决问题。
4．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高24m，斜坡AB的坡比i1=1：3，斜坡CD的坡比i2=1 ：2.5，求坝底宽AD的长．
【答案】解：在Rt△ABE中，
∵坡比i1=BE：AE=1：3，
∴AE=72m．
在Rt△CFD中，
∵坡比i2=CF ： DF=1 ： 2.5，
∴DF=CF×2.5=24×2.5= 60(m)，
∴AD= AE+ EF+DF=AE+BC+DF= 138(m)．
【解析】【分析】利用坡比的定义可求出AE，DF的长，然后根据AD=AE+EF+DF，代入计算求出AD的长.
5．如图所示，太阳光线AC和A′C′是平行的，同一时刻两个建筑物在太阳下的影子一样长，那么建筑物是否一样高？说明理由．（注：太阳光线可看成是平行的）
【答案】解：建筑物一样高．
证明：∵AB⊥BC，A′B′⊥B′C′，
∴∠ABC=∠A′B′C′=90°，
∵AC∥A′C′，
∴∠ACB=∠A′C′B′，
在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）
∴AB=A′B′．
即建筑物一样高．
【解析】【分析】根据垂直的性质得出 ∠ABC=∠A′B′C′=90°， 根据平行投影的性质得出 ∠ACB=∠A′C′B′， 然后利用ASA判断出 △ABC≌△A′B′C′ ，根据全等三角形的对应边相等得出 AB=A′B′， 即建筑物一样高．
6．近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，无人机从A处观测某建筑物至高点O时，俯角为37°；继续水平前行10米到达B处，观测点O，此时的俯角为45°，已知无人机的水平飞行高度为45米．求这栋楼的高度是多少米．(结果精确到0.1)(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.79，tan37°≈0.75，≈1.41)
【答案】解：过点O，作OC⊥AB，交AB的延长线于点C，
由题意可知，∠OAC=37°，∠OBC=45°，AB=10m，AD=45m，
设OC=x米，
在Rt△BOC中，
∵∠OBC=45°，
∴BC=OC=xm，
在Rt△AOC中，AC=AB+BC=(10+x)m，∠OAC=37°，
∴，
解得，经检验符合题意，
即OC=30.0米，
∴OE=CE-OC=45﹣30.0=15.0(m)，
答：这栋楼的高度约是15.0米．
【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出至高点O到直线AB的距离OC，进而求出答案即可。
7．如图是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题：
（1）与面B、C相对的面分别是？
（2）若A=a3+a2b+3，B=a2b﹣3，C=a3﹣1，D=﹣（a2b﹣6），且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求E、F分别代表的代数式．
【答案】解：（1）由图可得：面A和面D相对，面B和面F，相对面C和面E相对，
故答案为：F、E；
（2）因为A的对面是D，且a3+a2b+3+[﹣（a2b﹣6）]=a3+9．
所以C的对面E=a3+9﹣（a3﹣1）=10．
B的对面F=a3+9﹣（a2b﹣3）=a3﹣a2b+12．
【解析】【分析】（1）利用正方体及其表面展开图的特点解题；
（2）相对两个面所表示的代数式的和都相等，将各代数式代入求出E、F的值．
8．我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为主，立木为表，测日影，正地中，意四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长的杆，向正北方向画一条射线，在上取点D，测得．
（1）判断：这个模型中与是否垂直．答： （填“是”或“否”）；你的理由是： ．
（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角的值，如下表：
节气 夏至 秋分 冬至
太阳光线与地面夹角
①记夏至和冬至时表影分别为和，利用上表数据，在射线上标出点M和点N的位置；
②记秋分时的表影为，推测点P位于（ ）
A．线段中点左侧 B．线段中点处 C．线段中点右侧
【答案】（1）是.；勾股定理的逆定理.
（2）解：①如图2中，点M、点N即为所求.
②A.
【解析】【解答】解：（1）∵AB=2m，BD=1.5m，AD=2.5m，
∴AD2=6.25，AB2+BD2=6.25，
∴AD2=AB2+BD2，
∴∠ABD=90°，
∴△ABD是直角三角形.
故答案为：是；勾股定理的逆定理；
（2）②观察图像可知：点P在线段MN的中点的左侧，
故答案为：A.
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）根据表中数据先画图，再推测秋分是表影BP的位置即可.
9． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AB，垂足为B，交AC于点E．
（1）求证：．
（2）若AE＝13，AB＝12，求EC的长．
【答案】（1）证明：证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOE＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
∵EB⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠EBO+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠EBO，
又∵∠BOE＝∠AOB，
∴△BEO∽△ABO，
∴；
（2）解：∵∠ABE＝∠BOE＝90°，∠AEB＝∠BEO，
∴△ABE∽△BOE，
∴，
已知AE＝13，AB＝12，由勾股定理得：EB＝＝＝5，
∴，
∴EO＝，
∴AO＝AE-EO＝13-＝，
∴EC＝AC-OE＝AO-EO＝.
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质可证得AC⊥BD，利用垂直的定义和余角的性质可证得∠BAO＝∠EBO，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△BEO∽△ABO，利用相似三角形的对应边成比例，可证得结论.
（2）利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABE∽△BOE，利用相似三角形的性质可得对应边成比例，再利用勾股定理求出BE的长，可得到EO的长，根据AO＝AE-EO，代入计算求出AO的长，然后求出EC的长.
10．等腰三角形ABC的底边为10cm，周长为36cm，求tanC．
【答案】解：∵AB=AC，AD是高，BC=10cm，
∴BD=DC= BC=5cm，AB=AC=13cm，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB2=AD2+BD2，
∴AD=12，
∴tanC= = ．
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=DC= BC=5cm，AB=AC=13cm，根据勾股定理得到AD=12，由三角函数的定义即可得到结论．
11．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）过点A作轴，垂足为C，求的面积．
【答案】（1）解：∵点）在的图像上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
∴
∴，
∵点、在的图像上，
∴，
解得：
∴一次函数的解析式为：
（2）解：∵一次函数的解析式为：，
当时，，
∴点，，
∵轴，，
∴，，
∴，
以为底，则边上的高为，
∴
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而得到点A的坐标，最后再次利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征得到点D的坐标，进而得到点A、点C的坐标，即可求出CD的长度，最后根据三角形面积计算公式即可求解.
12．如图，眉山水街游人如织，交通十分拥挤．为了缓解这种交通状况，政府决定对水街的部分路段进行拓宽改造．在水街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°．
（1）求大树的高度．（保留根号）
（2）距离大树 点 8 米远有一配电箱， 配电箱是否处在危险区内？0
【答案】（1）解： 由题意可知，∠ACB=60°+30°=90°，DB=3米，∠CBD=30°，
在 Rt△ABC中，∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝90°﹣30°＝60°
(米)，
答： 大树的高度为 米.
（2）解：
，
∵距离大树 B 点 8 米远有一配电箱，
∴配电箱不在危险区内．
【解析】【分析】本题考查锐角三角函数的应用，根据题意，结合锐角三角函数，解直角三角形是关键。（1）根据题意，得出 ∠ACB＝90°，∠CBD＝30°，由得；由
得AB；（2）计算AB的数值，进行比较即可。
13．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高6.5米，学生身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像头A的仰角为，求体温检测有效识别区域段的长（结果保留根号）
【答案】解：由题意得，米，
∴米，
在中，，
解得，
在中，，
解得，
∴米．
【解析】【分析】利用解直角三角形的方法求出，，再利用线段的和差求出即可。
14．如图，港口A在观测站O的正东方向，，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，求该船航行的距离（即的长）．
【答案】解：过点作，
由题意，得：，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴；
答：该船航行的距离为．
【解析】【分析】过点作，根据题意分别解和，即可求出的长．
15．在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图所示，测BC∥AD，斜坡AB的长为6m，坡度i＝1：，在点B处测得旗杆顶端E的仰角为70°，点B到旗杆底端C的距离为4 m．
（1）求斜坡AB的坡角α的度数．
（2）求旗杆顶端离地面的高度ED．（参考数据sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，结果精确到1m）
【答案】（1）解：如图所示， 过点B作BF⊥AD于点F，
∴∠BAF=30°， 即α=30°
（2）解：∵∠BAF =30°， AB=6，
米，
在Rt△BCE中， ∵∠EBC =70°， BC =4，
∴EC= BCtan∠EBC=4tan70°≈10.96，
则ED=EC+CD=3+10.96=13.96≈14.0(米)
答：旗杆顶端离地面的高度ED的长约为14.0米
【解析】【分析】(1)过点B作BF⊥AD于点F， 由 可得∠BAF=30°；
(2)由∠BAF=30°、AB =6， 知 米，再由EC = BCtan∠EBC可得答案.
16．已知：已知函数y = y1 +y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x = 1时，y =－1；当x = 3时，y = 5.求y关于x的函数关系式.
【答案】解：设y1=kx，y2= ，则y=kx+ ，
根据题意得 ，
解得 ，
所以y与x之间的函数关系式为 ．
【解析】【分析】根据正比例函数和反比例函数的定义得到y1=kx，y2= ，则y=kx+ ，再利用当x=1时，y= -1，当x=3时，y=5得到关于k、m的方程组，然后解方程组求出k、m，即可得到y与x之间的函数关系式；
17．为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度，如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45 ，AC＝24 m，∠BAC＝66.5 ，求这棵古杉树AB的长度．（结果精确到0.1 m．参考数据：sin66.5 ≈0.92，cos66.5 ≈0.40，tan66.5 ≈2.30）
【答案】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，∵∠ACB＝45 ，∴BD＝DC，设AB＝x m，在Rt△ABD中，AD＝AB cos66.5 ≈0.4 x，BD＝AB sin66.5 ≈0.92x，∴DC≈0.92x，∵AC=AD+DC，AC=24，∴0.4 x＋0.92x＝24，解得x＝ ≈18.2，答：这棵古杉树AB的长度约为18.2 m．
【解析】【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据已知可证得BD＝DC，设AB＝x m，利用解直角三角形求出AD、BD的长，再根据AC=AD+DC，建立方程，求出x的值即可。
18．在中，，，垂足为M，C是BM延长线上一点，连结AC.
（1）如图1，若，求AC的长.
（2）如图2，D是线段AM上一点，MD=MC，E是AABC外一点，EC=AC，连结ED并延长，交BC于点F，若F是线段BC的中点，求证：
【答案】（1）解：∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，
∴，
则CM＝BC﹣BM＝5﹣2＝2，
∴；
故答案为：.
（2）证明：延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG，如图所示：
由DM＝MC，∠BMD＝∠AMC＝90°，BM＝AM，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
∴AC＝BD，
∵CE＝AC，
∴BD＝CE，
由BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，
∴△BFG≌△CFE（SAS），
∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，
∴BD＝BG＝CE，
∴∠BDG＝∠G，
∴∠BDF＝∠CEF．
【解析】【分析】（1）先由AM＝BM＝ABcos45°＝3可得CM＝2，再由勾股定理可求出AC的长；
（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，根据“SAS”可证△BMD≌△ANC，则可得AC＝BD，再根据“SAS”可证△BFG≌△CFE，则可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得∠BDF＝∠CEF.
19．近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图无人机从 处观测，测得某建筑物顶点 的俯角为 ，继续水平前行10米到达 处，测得俯角为 ，已知无人机的飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？（精确到0.1米）
参考数据： ， ， ．
【答案】解：过 点作 ，垂足为 ，
由题意得： ， ， 米， 米；然后由
在 中， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，
，
解得
则这栋楼的高度 （米）．
答：这栋楼的高度约为38.3米．
【解析】【分析】过O点作 ，垂足为Ｍ，根据题意可得 ， ， 米， 米；然后由 是等腰三角形，可得 ；设 ，则 ，然后再使用正切函数解答即可．
20．如图，某居民楼AB的前面有一围墙CD，在点E处测得楼顶A的仰角为25°，在F处测得楼顶A的仰角为45°，且CE的高度为2米，CF之间的距离为20米（B，F，C在同一条直线上）.求居民楼AB的高度.（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，结果保留整数）
【答案】解：如解图，过点E作EM⊥AB，垂足为点M，
∴四边形ECBM为矩形，
∴EM＝BC，BM＝CE＝2.
设AB为x，
在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，
∴BF＝AB＝x，
∴BC＝EM＝BF＋FC＝x＋20.
在Rt△AEM中，∠AEM＝25°，AM＝AB－BM＝AB－CE＝x－2.
∵tan∠AEM＝ ，
∴ ≈0.47，
解得x≈22.
答：居民楼AB的高度约为22米.
【解析】【分析】过点E作EM⊥AB，垂足为点M， 易证四边形ECBM为矩形，利用矩形的性质可求出CE的长，同时可证得EM=BC；设BF=AB=x，可表示出BC，AM的长，在Rt△AEM中，利用正切函数的定义建立关于x的方程，解方程求出x的值，由此可求解.
21．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为，宽为，为方便残疾人通行，现将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度为.求的长度.
【答案】解：过点作于，根据题意得：，
，
∵斜坡的坡度，
∴，
∴.
∴的长度是.
答：的长度为.
故答案为的长度为.
【解析】【分析】过点B作BD⊥AC于D，由BC的坡度求得CD的长，然后根据线段的和差解答即可．
22．某初中兴趣小组在实践课上计划用所学到的知识测量学校附近一楼房的高度，由于到楼房底部的水平距离不易测量，他们通过实地观察、分析，制订了可行的方案，并进行了实地测量.如图，楼房AB 前有一斜坡CD，它的坡比为1： 他们先在坡面 D 处测量楼房顶部A 的仰角∠ADM=30°，接着沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房的方向继续行走至点 E 处，再次测量楼房顶部A 的仰角∠AEB=60°，并测量了点 C，E之间的距离为5 米，坡面CD 长 10 米.请你帮助该小组求出楼房AB的高度(结果精确到0.1米，参考数据：
【答案】解：如图，过点 D 作 DG⊥BC，交 BC的延长线于点 G，作 DF⊥AB 于点F，交 AE 于点 H，过点 H 作 HP⊥BC 于点 P.易得四边形 DGPH，DGBF 为矩形.
∴DG=HP=FB，DH=GP.
∵斜坡CD的坡比为1：
∴ 易得∠DCG=30°.
∵CD=10米，
∴ 在 Rt△DCG 中， 5米，米.
在 Rt△EHP 中，
∵∠HEP=60°，HP=DG=5米，
米).
∴ DH =GP =CG +CE +EP = 米.
又∵易得∠AHF=∠AEB=60°，
∴∠ADH=∠DAH=30°.
米.
∴ 在 Rt△AHF 中， AF = AH · 米.
∴AB=AF+FB=AF+DG=10+ 米).
∴ 楼房AB 的高度约为 19.3米.
【解析】【分析】过点 D 作 DG⊥BC，交 BC的延长线于点 G，作 DF⊥AB 于点F，交 AE 于点 H，过点 H 作 HP⊥BC 于点 P，由于∠APC 的顶点 P 不在格点处，故考虑通过平移或旋转等图形变换，把∠APC 转化成与它相等的以格点为顶点的角.
23．深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度．（≈1.7）
【答案】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，
由题意得AB=57米，DE=30米，∠DAB=30°，∠DCF=45°，
在Rt△ADE中，tan∠DAE=，
∴AE=≈51（米），
∵AB=57米，
∴BE=AB-AE=6（米），
∵CB⊥BE，FE⊥BE，CF⊥EF，
∴四边形BCFE为矩形，
∴CF=BE=6（米），
在Rt△DFC中，∠CDF=45°，
∴DF=CF=6（米），
∴BC=EF=DE-DF=30-6=24（米）．
答：教学楼BC的高度约为24米．
【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，根据正切的定义求出AE，根据边之间的关系求出BE，根据等腰直角三角形的性质求出DF，再根据边之间的关系即可求出答案.
24．为测量一古塔的高度，数学建模小组同学先在该古塔附近一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是16m，试求该古塔的高度．(结果精确到0.1m，参考数据： =1.73，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)
【答案】解：∵爬到该楼房顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°，
由题意知：∠ADB=30°，
∴在Rt△ABD中，tan30°= ，
∴ ，∴AD=16 ，
∵一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，
∴在Rt△ACD中，CD=AD tan65°=48×1.73×2.14≈59.2（米）．
答：楼高CD为59.2米．
【解析】【分析】先由锐角三角函数求出AD的长，再由锐角三角函数定义求出CD的长即可。
25．某校组织一个数学研究小组测量校园内的一块四边形空地，其平面图如图所示，测得米，．求的长．（结果保留根号，参考数据：，，）
【答案】解：如图，过点C作 于点E， 于点F，则 ．
又 ，
∴四边形 为矩形，
．
设 米．
在 中， ，
，
在 中， ，
，
．
，
解得 ．
∴在 中， （米）
在 中， （米），
（米）．
【解析】【分析】 过点C作 于点E， 于点F，则 ，则四边形 为矩形，可得 ，设 米．利用解直角三角形可得BC=0.5x，DF=0.31x，根据 建立关于x方程，可求BC的长，利用 求出BE的长，利用求出CF的长，根据AB=AE+BE=CF+BE即可求解.
26．如图，A为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景，然后再由E处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处，已知：AC⊥BC于C，DE∥BC，BC=110米，DE=9米，BD=60米，α=32°，β=68°，求AC的高度．（参考数据：sin32°≈0.53；cos32°≈0.85；tan32°≈0.62；sin68°≈0.93；cos68°≈0.37；tan68°≈2.48）
【答案】解：∵cos∠DBF=，
∴BF=60×0.85=51，
FH=DE=9，
∴EG=HC=110﹣51﹣9=50，
∵tan∠AEG=，
∴AG=50×2.48=124，
∵sin∠DBF=，
∴DF=60×0.53=31.8，
∴CG=31.8，
∴AC=AG+CG=124+31.8=155.8．
【解析】【解答】根据已知和余弦的概念求出DF的长，得到CG的长，根据正切的概念求出AG的长，求和得到答案．
【分析】此题考查了解直角三角形中的俯角与仰角的问题，通过构造直角三角形利用三角函数求解.
27． 如图， 在平面直角坐标系中， 已知点 ， 等边三角形 的顶点 在反比例函数 的图象上， 把 向右平移 个单位，对应得到 ． 当这个反比例函数图象经过 一边的中点时， 求 的值．
【答案】解：如图1，过点A作于点C.
是等边三角形，
，.
，
.
，.
把点（2，）的坐标代入，得.
.
分类讨论：①如图2，点D是的中点，过点D作轴于点E.
由题意得，.
在中，，，.
.
把代入．得.
.
②如图3，点F是的中点，过点F作轴于点H.
由题意得，.
在中，.
把代入，得.
.
综上，的值为1或3
【解析】【分析】过点A作于点C，根据等边三角形的性质得到，，再根据点B的坐标得到，进而得到，，从而根据待定系数法求出反比例函数的解析式，再分类讨论：①如图2，点D是的中点，过点D作轴于点E，②如图3，点F是的中点，过点F作轴于点H，根据反比例函数k的几何意义结合题意求出a的值即可求解。
28．如图，码头A在码头B的正东方向，两个码头之间的距离为32海里，今有一货船由码头A出发，沿北偏西60°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏东45°方向，求码头A与小岛C的距离．（≈1.732，结果精确到0.01海里）
【答案】解：作CD⊥AB交AB延长线于点D，
∠D=90°
由题意，得∠DCB=45°，∠CAD=90°﹣60°=30°，AB=32海里，
设CD=x海里，在Rt△DCB中，tan∠DCB=，tan45°==1，
BD=x，AD=AB+BD=32+x，tan30°==，
解得x=16+16，
∵∠CAD=30°，∠CDA=90°，
∴AC=2CD=32+32≈87.42海里，
答：码头A与小岛C的距离约为87.42海里．
【解析】【解答】根据正切函数，可得CD的长，根据直角三角形的性质，可得答案．
【分析】此题考查了解直角三角形中的方向角问题，构造直角三角形，利用三角函数列方程求解.
29．已知点P是 上的一个动点，∠APB＝118°，AB＝10，点P到AB的最大距离约为多少？（结果保留整数，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．）
【答案】解：当P是 的中点时，到AB的距离最大，则 ，
∴AP＝BP．
∴∠PAB＝∠PBA＝ (180°﹣118°)＝31°．
过P作PD⊥AB于D，
在Rt△APD中，∠PAD＝31°，AD＝ AB＝5．
∴PD＝AD tan31°≈5×0.60＝3，
答：点P到AB的最大距离约为3．
【解析】【分析】当P是 的中点时，到AB的距离最大，则 ，根据等腰三角形的性质得出∠PAB＝∠PBA＝ (180°﹣118°)＝31°．过P作PD⊥AB于D，解直角三角形即可得出结论。
30．直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
（1）求直线的表达式；
（2）若，请直接写出满足条件的的取值范围；
（3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积．
【答案】（1）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点，，
∴，，
解得：，，
∴，，
把坐标代入，得，
解得：，
∴一次函数表达式为；
（2）解：当时，有直线的图像在反比例函数的图象的上方，
∵直线与反比例函数的图象相交于点，，
∴当时，的取值范围为或；
（3）解：∵直线与轴交于点，
∴，
∵过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，
∴把时代入中，得，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）将坐标代入反比例函数表达式得的值，然后利用待定系数法进行求解即可；
（2）根据函数图象确定不等式的解集，当时，有直线的图像在反比例函数的图象的上方，结合点坐标即可得的取值范围；
（3）先求出点，然后把代入反比例函数表达式中得到点的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可．
（1）解：分别将点、点代入中，可得：，，解得：，，
点坐标为，点坐标为，
把A点坐标，点坐标分别代入，可得，解得：
，
一次函数表达式为．
（2）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点，
∴由图象可知，当时，或．
（3）解：把时代入中，得，
点坐标为，即，
．
31．如图，小明坐在堤边A处垂钓，河堤AC与水平面的夹角为30°，AC的长为 米，钓竿AO与水平线的夹角为60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．
【答案】解：延长OA交BC于点D．∵AO的倾斜角是60°，∴∠ODB=60°．∵∠ACD=30°，∴∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°．在Rt△ACD中，AD=AC tan∠ACD= = （米），∴CD=2AD=3米，又∵∠O=60°，∴△BOD是等边三角形，∴BD=OD=OA+AD=3+ =4.5（米），∴BC=BD﹣CD=4.5﹣3=1.5（米）．答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米．
【解析】【分析】延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°．解Rt△ACD，得出AD的长度CD的长度，再证明△BOD是等边三角形，得BD=OD=OA+AD =4.5（米），然后根据BC=BD﹣CD得出答案。
32．
（1）体验：如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点M在BC边上，当∠AMD＝90°时，可知△ABM △MCD（不要求证明）．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点M在BC上，当∠B＝∠C＝∠AMD时，求证：△ABM∽△MCD．
拓展：如图3，在△ABC中，点M是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DME＝45°，BC＝8 ，CE＝6，求DE的长．
【答案】（1）∽
（2）解：探究：∵∠AMC＝∠BAM+∠B，∠AMC＝∠AMD+∠CMD，
∴∠BAM+∠B＝∠AMD+∠CMD．
∵∠B＝∠AMD，
∴∠BAM＝∠CMD，
∵∠B＝∠C，
∴△ABM∽△MCD；
拓展：同探究的方法得出，△BDM∽△CME，
∴ ＝ ，
∵点M是边BC的中点，
∴BM＝CM＝4 ，
∵CE＝6，
∴ ＝ ，
解得，BD＝ ，
∵∠B＝∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∴AC＝AB＝ BC＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣ ＝ ，AE＝AC﹣CE＝2，
在Rt△ADE中，DE＝ ＝ ＝
【解析】【解答】解：体验：∵∠AMD＝90°，
∴∠AMB+∠DMC＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠AMB+∠BAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DMC，
∵AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠C＝∠B＝90°，
∴△ABM∽△MCD，
故答案为：∽；
【分析】（1）先求出∠AMB+∠DMC＝90°，再求出∠C＝∠B＝90°，最后作答求解即可；
（2）先求出 ∠BAM＝∠CMD ，再证明 △ABM∽△MCD ，最后利用勾股定理计算求解即可。
33．如果一个矩形的宽与长的比是黄金比，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，已知四边形ABCD为黄金矩形，以它的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形，你能证明这个结论吗？
【答案】证明：设矩形ABCD的长为x，
∵四边形ABCD为黄金矩形，
∴宽BC为 x，
∵四边形AEFD是正方形，
∴BE=x﹣ x= x，
∴ = = = = = ，
∴BE与BC的比是黄金比，
∴剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形
【解析】【分析】根据黄金分割设出矩形ABCD的长和宽，然后表示出矩形BCFE的宽，再求出宽与长的比值即可得证．
34．如图，△OPQ是边长为2的等边三角形，若反比例函数（k为常数且）的图象经过点P，求该反比例函数的解析式．
【答案】解：过点P作，垂足为点M；过点P作轴，垂足为点H．
∵△OPQ是边长为2的等边三角形
∴，
即点P的坐标为．
又∵反比例函数的图象经过点
∴
∴所求反比例函数的解析式为．
【解析】【分析】 过点P作，垂足为点M；过点P作轴，垂足为点H． 由等边三角形的性质可得PM=OP=，PH=OM=OQ=1，即得P，将点P坐标代入中可求出k值，即得结论.
35．如图，ABCD是边长为1的正方形，在它的左侧补一个矩形ABFE，使得新矩形CEFD与矩形ABEF相似，求BE的长．
【答案】解：设BE=x，则BC=1，CE=x+1，
∵矩形CEFD与矩形ABEF相似，
∴ 或 ，代入数据，
∴ 或 ，
解得： ， (舍去)，或 不存在，
∴BE的长为 ，
故答案为 ．
【解析】【分析】设BE=x，BC=1，CE=x+1，然后根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
36．如图，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时，从地面C处的雷达站测得AC的距离是6km，仰角是43°，1s后，火箭到达B点，此时测得仰角为45.5°，这枚火箭从点A到点B的平均速度是多少？（结果精确到0.01）
【答案】解：在Rt△OCA中，OA=AC tan43°≈4.092，
OC=AC cos43°
在Rt△OCA中，OB=OC tan45.5°≈4.375，
v=（OB﹣OA）÷t=（4.375﹣4.092）÷1≈0.28（km/s）
答：火箭从A点到B点的平均速度约为0.28km/s．
【解析】【分析】在Rt△AOC中，求出OA、OC，在Rt△BOC中求出OB，即可解决问题．
37．已知菱形ABCD的周长为48cm，两个邻角∠A与∠B的比是1：2，求这个菱形的面积．
【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵菱形ABCD的两个邻角∠A与∠B的比是1：2，
∴∠A=60°，
∵菱形ABCD的周长为48cm，
∴AB=AD=12cm，
∴DE=AD sin60°=6 （cm），
∴这个菱形的面积为：AB DE=12×6 =72 （cm2）．
【解析】【分析】根据菱形的邻角之比为1：2，可求出∠A=60°，根据菱形的四条边相等可得AB=AD=12，过点D作DE⊥AB得到直角三角形ADE解此直角三角形即可.
38．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，求cosA的值．
【答案】解：在△ABC中，∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴cosA=sinB= ．
故答案为
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=90°，再根据互余两角的三角函数的关系求解．
39．下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度.
题目 测量小河的宽度
测量目标示意图
相关数据 BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m
【答案】解：由题意可得：△ABC∽△ADE，
则 ，
即 ，
解得：AB＝10，
答：小河的宽度为10m.
【解析】【分析】利用BC∥DE，可得到△ABC∽△ADE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长.
40．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB于点D，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点B运动．以点P为顶点，在AB的上方作正方形PQMN，且PQ∥AC，PQ＝1．设点P运动的时间为t（秒），正方形PQMN与△BCD重叠部分图形的面积为S（平方单位）．
（1）CD的长是 ；
（2）当点Q落在△BCD的边上时，求t的值；
（3）当正方形PQMN与△BCD重叠部分图形不是四边形时，求S与t之间的函数关系式．
【答案】（1）
（2）解：分两种情况：
①当Q在CD上时，如图1，
Rt△ACD中，，
∵PQ∥AC，
∴，即，
解得：；
②当Q在边BC上时，如图2，
∵PQ∥AC，
∴，即，
解得：；
综上，点Q落在△BCD的边上时t的值是；
（3）解：①当时，正方形PQMN与△BCD重叠部分图形是三角形EQF，如图3，
∵PQ∥AC，
∴，即，
∴PF＝3﹣，
∴FQ＝1﹣PF＝1﹣3+＝﹣2，
∵FQ∥AC，
∴∠EFQ＝∠ACD，
∵∠Q＝∠ADC＝90°，
∴△ACD∽△EFQ，
∴，即，
∴EQ＝
∴；
②当P在点D的右侧时，点M在CD上，如图4，
∵AC∥MN∥PQ，
∴∠ACD＝∠NMG，
∴tan∠ACD＝tan∠NMG，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图5，当N在CD上时，
∵cos∠DPN＝cos∠ACD，
∴，
∴，
∴，
当时，正方形PQMN与△BCD重叠部分图形是五边形PQMHG，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵tan∠ACD＝tan∠NHG，
∴，
∴，
∴S＝1﹣S△GHN
＝1﹣ NH NG
＝
＝；
综上，S与t之间的函数关系式为：．
【解析】【解答】解：（1）∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【分析】（1）先由勾股定理求出AB的长，再利用等面积法求出CD的长即可；
（2）分两种情况：当点Q落在CD上时，当点Q落在BC上时，分别用平行线分线段成比例求解即可；
（3）分两种情况：当时，当时，先确定重合部分的图形的形状，再根据相似三角形的判定和性质求解即可．
41．已知：如图，在中，点是边上的一点，连接，
（1）求证：；
（2）过点作，垂足为点，，点在边上，，求的值．
【答案】（1）解：证明：设边上的高为h，
∵
∴，
∴，
（2）解：如图，
又∵，
∴，
由可得，
解得：或（舍去），
过点E作于点F，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】（1） 设边上的高为h ，根据 和三角形面积公式可推导出结论。
（2） 过点E作于点F， 可证明 ， 得 ，运用（1）中结论，结合已知条件可推导出BP，进而推导出 ，由此可 求的值．
42．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标；
（3）如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标．
【答案】（1）解：将代入，可得，所以，
将代入，可得，解得，
所以反比例函数表达式为.
（2）解：如图，设点，那么点，
由，可得，所以，
解得（舍），所以.
（3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，
，
点绕点顺时针旋转，，
，，，
设点，
点，，解得，
点或（舍），此时点．
【解析】【分析】（1）根据题意，待定系数法，即可求出反比例函数解析式，得到答案；
（2）设点，得到，利用反比例函数图象上点的坐标特征，求得点B的坐标，即可得到答案；
（3）过点作轴，过点作，过点作于点F，得到，结合AAS，证得，设点，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，即可求得点E坐标．
（1）解：将代入得，
，
将代入得，解得，
反比例函数表达式为，
（2）解：如图，设点，那么点，
由可得，
所以，
解得（舍），
；
（3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，
，
点绕点顺时针旋转，
，
，
，
，
设点，
点，
，
解得，
点或（舍），此时点．
43．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，为两条对角线的交点，顶点在轴上，顶点的坐标为，.以上一点为圆心、为半径的圆恰与相切于点.
（1）求点的坐标；
（2）判断和的位置关系，并说明理由；
（3）已知为与的交点，求的长.
【答案】（1）解：连接.
于相切于点，，
又，，点的坐标为.
（2）解：由与相切
证明：过点作于点.
，
，，
四边形是矩形，，
，，，
又的半径是，与相切.
（3）解：过点作与点.
，，
在中，有
，，
又，
在中，.
【解析】【分析】（1）连接，在中，知道一边、一锐角可以求出长，进而求出点P的坐标．
（2）过点P作，垂足为H，只需求出长，比较与半径大小关系，即可得到和的位置关系．
（3）过点D作，垂足为F，只需求出的长，求出的长，即可得到答案．
（1）连接.
于相切于点，
，
又，，
点的坐标为.
（2）与相切
证明：过点作于点.
，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
又的半径是，
与相切.
（3）过点作与点.
，，
在中，有
，
，
又，
在中，
44．如图，△OA1B1，△B1A2B2是等边三角形，点A1，A2在函数 的图象上，点B1，B2在x轴的正半轴上，分别求△OA1B1，△B1A2B2的面积.
【答案】解：分别过A1、A2作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，
设OD=m，B1E=n(m＞0，n＞0).
∵△OA1B1，△B1A2B2是等边三角形，
∴∠OA1D=∠B1A2E=30°，
∴A1D= OD= m，A2E= B1E= n，OE=2m+n，
∴A1的坐标为(m， m)，A2的坐标为(2m+n， n)，
又∵点A1在函数 的图象上，
∴ ，解得： (负值已舍)，
∴A1的坐标为( ， )，
∴OB1=2m= ，OE= +n.
∴A2的坐标为( +n， n)，
∵点A2在函数 的图象上，
∴ ，
整理得： ，
解得：n1= ，n2= (舍去)，
∴n= ，
∴A2的坐标为( ， )，
∴B1B2=2n= ，
∴△OA1B1的面积 ，
△B1A2B2的面积 .
【解析】【分析】分别过A1、A2作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设OD=m，B1E=n(m＞0，n＞0).根据等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系得到A1的坐标为(m， m)，A2的坐标为(2m+n， n)，然后先后把A1、A2的坐标代入反比例解析式求得m、n的值，这样就确定两等边三角形的边长，然后根据等边三角形的面积公式计算即可.
45．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点D为边AB的中点．点P从点4出发，以每秒2各单位长度的速度沿A-C-A的方向匀速运动，回到点A时停止运动，同时点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向终点B匀速运动．点P不与点A、E重合．连接PQ、DP、DQ．设点P的运动时间为1 （s）．
（1）当点P从点A向点C运动时，AP= ；
当点P从点C向点A运动时，AP= （用含t的代数式表示）
（2）当DP⊥AB时，求t的值．
（3）当△CPQ与△ABC相似时，求t的值．
（4）当点P从点A向点C运动时，作点A关于直线DP的对称点A'，点A"不与△ABC的顶点重合，连结A'P，当A'P与△ABC某一边垂直时，直接写出t的值．
【答案】（1）2t；8-2t
（2）解：或
（3）解：如图②，
当△CPQ∽△CAB时，则，
∴或
∴t=或6 (舍弃)
如图③，当△CPQ∽△CBA时，则
∴或
∴t=或(舍弃)．
当Q到达终点后，
解得t=
综上所述，t的值为或或
（4）解：，，
【解析】【解答】解：（1） ∵∠C=90°，AB=5，BC=3 ，
∴AC==4，
当点P从点A向点C运动时，AP=2t； 当点P从点C向点A运动时，AP=2×4-2t=8-2t；
故答案为：2t；8-2t；
（2）由（1）知AC=4，
∵ 点D为边AB的中点 ，
∴AD=BD=，
∵ DP⊥AB，
∴∠ADP=90°，
∴cosA=，
当点P从点A向点C运动时，则 ，
∴t=，
当点P从点C向点A运动时， 则，
∴ t=，
综上所述：t值为 或；
（4）当A'P⊥AC且点A'在直线AC的上方时，如图，则∠A'PA=90°，
连接AA'交直线DP于点I，作DL⊥AC于点L，则∠PLD=90°，
由对称性知DP垂直平分A'A，
∴PA'=PA，
∴∠LPD=∠API=∠A'PI=45°，
∴∠LDP=∠LPD=45°，
∵∠ALD=∠C=90°，∠LDA=∠BAC，
∴△ADL∽△ABC，
∴，
∴PL=，AL=AC=2，
∴AP+PL=2=2t+，
∴t=，
当A'P⊥AB，连接AA'交直线DP于点F，延长A'P交AB于点E，则∠PED=90°，
∵DP垂直平分A'A，
∴PA'=PA，∠AFD=∠A'EA=90°，
∴∠A'=∠PAA'，∠PDE=∠A'=90°-∠DAA'，
∴∠APE=∠A'+∠PAA'=2∠A'=2∠PDE，
∵∠APE=∠ABC=90°-∠BAC，
∴∠PDE=∠APE=∠ABC，
作BG平分∠ABC交AC于点G，作GH⊥AB于点H，则GH=CG，∠AHG=90°，
由sin∠BAC=，
∴AG=GH=CG，即AC=AG+GC =CG+CG=4，
解得CG=，
∵，
∴DE=2PE=2AP·sin∠BAC=，
AE=AP·cos∠BAC=，
∴AD=DE+AE=+=2.5，解得t=，
当A'P⊥AC时且点A'在直线AC的下方时，如图，作DK⊥AC于点K，则∠DKA=∠PKD=90°，
∵∠APD=∠A'PD=45°，
∴∠KDP=∠KPD=45°，
∴PK=KD=AD·sin∠BAC=×=，AK=AD·sin∠BAC=2，
∴AP=2t=PK+AK=+2，
解得：t=，
综上所述：t的值为 或或.
【分析】（1）由勾股定理可得AC=4，从而得出当点P从点A向点C运动时AP=2t； 当点P从点C向点A运动时AP=2×4-2t=8-2t；
（2）由线段的中点可得AD=BD=，根据cosA=，分当点P从点A向点C运动时和当点P从点C向点A运动时两种情况分别列式并解之即可；
（3） 分当△CPQ∽△CAB时和当△CPQ∽△CBA时及当Q到达终点后，利用相似三角形的性质分别解答即可；
（4）分三种情况：当A'P⊥AC且点A'在直线AC的上方时，当A'P⊥AB和当A'P⊥AC时且点A'在直线AC的下方时，根据解直角三角形及相似三角形的判定与性质分别解答即可.
46．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点.
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与 ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵四边形ABCO为矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．
由题意，得△BDC≌△EDC．
∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．
由勾股定理易得EO=6．
∴AE=10﹣6=4，
设AD=x，则BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3，∴AD=3．
∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0，）
∴ 解得 ∴抛物线的解析式为：y= x2+ x．
（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．
而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．
当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC， ∴ ，即 ， 解得t= ． 当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC， ∴ ，即 ， 解得t= ． ∴当t= 或 时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．
（3）解：假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点； 则：M（4， ）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4， ）； ②EC为平行四边形的边，则EC//MN，EC =MN，设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）； 将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，此时 N（4，﹣38）、
M（﹣4，﹣32）；
将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；
综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为： ①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38） ②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26） ③M3（4， ），N3（4， ）．
【解析】【分析】（1）根据折叠性质得EC=BC，从而可解出OE，设AD=x，则ED=8-x，由勾股定理可得AD2+AE2=ED2，构造方程解出x的值，从而可得D的坐标，将D的坐标，C的坐标，O的坐标代入抛物线可求出；（2）易求得∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．可设CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．分类讨论：当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，与当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC；分别写出边的关系，可求出t；（3）分类讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；从而可求出点M的坐标；②EC为平行四边形的边，则EC//MN，EC =MN，设N（4，m），根据E到C的平移关系与M、N的平移关系相同，可得M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；将点M代入抛物线解析式，从而解出m的值.
47．正方形和正方形有公共顶点．
（1）如图，点、、三点共线，若，，点为的中点，则的长为 ；
（2）将正方形绕点顺时针旋转至如图所示的位置，连接、，求证：；
（3）在(1)的条件下，将正方形绕点旋转一周的过程中，的最小值是 ，此时，的度数为 ．
【答案】（1）
（2）解：证明：如图，连接、，
四边形和四边形都是正方形，
，，，，，
，，
，
，
∽，
，
；
（3）；
【解析】【解答】解：（1）连接AC、AF，如下图：
∵四边形ABCD和四边形CGFE为正方形，
∴
∴
∴
∵点为的中点，
∴
故答案为：.
（3）由题意得：点F的运动轨迹为以C为圆心CF为半径的，点M的运动轨迹为，连接AC交于点、 交于点P，延长AC交于点H，如下图：
∵
∴
∴与交于点P，
∵点F与点H重合时，AF最长
∴与交相切于点P，
当点F与点P重合时，AF最短，点M与点重合，
∴QP是圆的直径，
∴
∴的半径为
∴
∴
∴点O为正方形ABCD的对角线的中点，
连接OB、AF，OB与交于点M，此时BM最短，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴是直角三角形，
∴
∴
故答案为：.
【分析】（1）连接AC、CF，E由正方形的性质求出AC，CF的长度，再由勾股定理求得AF的长度， 然后由直角三角形斜边上中线性质，即可得出答案；
（2）连接AC、CF，先证，再由，则， 即可得出结论；
（3）点F的运动轨迹为以C为圆心CF为半径的，点M的运动轨迹为，连接AC交于点、 交于点P，延长AC交于点H，先证QP是的直径，，则的半径为再证点O为正方形ABCD的对角线中点，连接OB、AF，OB与0的交于点M，此时，BM最短，求出BM的长，然后证ACF是直角三角形， 即可得出结果.
48．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O，点A（6，﹣6 ），且以y轴为对称轴．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点B（0，﹣ ）作x轴的平行线l，点C在直线l上，点D在y轴左侧的抛物线上，连接DB，以点D为圆心，以DB为半径画圆，⊙D与x轴相交于点M，N（点M在点N的左侧），连接CN，当MN=CN时，求锐角∠MNC的度数。
（3）如图3，在（2）的条件下，平移直线CN经过点A，与抛物线相交于另一点E，过点A作x轴的平行线m，过点（﹣3，0）作y轴的平行线n，直线m与直线n相交于点S，点R在直线n上，点P在EA的延长线上，连接SP，以SP为边向上作等边△SPQ，连接RQ，PR，若∠QRS=60°，线段PR的中点K恰好落在抛物线上，求Q点坐标．
【答案】（1）解：设过坐标原点O，点A（6，﹣6 ），且以y轴为对称轴的抛物线为y=ax2，
则﹣6 =36a，
∴a=﹣ ，
∴y=﹣ x2.
（2）解：如图2中，作CF⊥MN于F，设⊙D与x轴的交点为（x，0），D（m，﹣ m2）．
则有（x﹣m）2+（ m2）2=m2+（﹣ m2+ ）2，
整理得x2﹣2mx+m2﹣3=0，
∴x=m+ 或m﹣ ，
∴N（m+ ，0），M（m﹣ ，0）
∴MN=2 ，
在Rt△CFN中，∵∠CFN=90°，CN=MN=2 ，CF= ，
∴CN=2CF，
∴∠CNF=30°。
（3）解：如图3中，
由题意可知平移直线CN经过点A的直线的解析式为y= x﹣8 ，
记直线y= x﹣8 与直线x=﹣3的交点为G，则G（﹣3，﹣9 ），
∵m∥x轴，且过点A（6，﹣6 ），
∴S（﹣3，﹣6 ），
∴SG=3 ，AS=9，
∴tan∠2= = ，
∴∠2=60°，
∴∠1=30°，
∵∠QRS=60°
∴∠QRS=∠2，
∵∠RSQ+∠QSP=∠2+∠SPG，∠QSP=∠2=60°，
∴∠3=∠4，
在△SQR和△PSG中，
，
∴△SQR≌△PSH
∴SR=PG，RQ=SG，
∴RQ=SG=3 ，作DQ⊥n于D，
∴QRD=60°，
∴DQ= DR= RQ= ，
∴RD= QR= ，
∵n是过（﹣3，0）与y轴平行的直线，设R（﹣3，b），记n与x轴的交点为M，则RM=b，
∵S（﹣3，﹣6 ），
∴MS=6 ，
∴SR=RM+MS=b+6 =PG，作PH⊥n于H，
∵∠2=60°，
∴GH= PG= （b+6 ），
∴MH=MG﹣HG=9 ﹣ （b+6 ）=6 ﹣ b，
∴P（6+ b， b﹣6 ），
∵K是PR中点，
∴K（ + b， b﹣3 ），
为了方便，记K（x，y），即x= + b，y= b﹣3 ，消去b得y= x﹣ ，
∴中点K在直线y= ﹣ 上运动，
由 消去y得到x2+6x﹣27=0，
∴x=3或﹣9（舍弃），
∴x=3，代入x= +b得到b=2 ，
∴RM=2 ，DM=RM﹣RD=2 ﹣ = ，
∵ ﹣3= ，
∴点Q的坐标为（ ， ）。
【解析】【分析】（1）设抛物线为y=ax2，由点A（6，﹣6 ）即可求出解析式；
（2） 作CF⊥MN于F，设⊙D与x轴的交点为（x，0），D（m，﹣ m2），根据同圆半径相等借助勾股定理列出含x、m的方程，由此可得点N、M的坐标，从而可知弦MN的长，再在Rt△CFN中利用已求的数据即可解答；
（3）根据平行的性质，求出S的坐标，进而得出tan∠2的值，再根据AAS求出△SQR≌△PSH，得到SR=PG，RQ=SG，进而得到RD与QR的关系。记 K（x，y），根据中点K在直线y=上运动可得方程组，求出b的值，进而得出Q的坐标。
49．如图，在平行四边形中，点是的中点，连结并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）点是线段上一点，满足交于点，若，求的值．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是的中点，
，
，
，
∴，
；
（2）解：四边形是平行四边形，，设
，，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
可得方程，
解得，
∴．
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，进而根据平行线的性质得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再结合题意即可求解；
（2）设，先根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，，，进而证明得到，设，则，再结合题意解分式方程，从而相比即可求解。
50．如图1，是等腰直角三角形，，先将边沿过点B的直线l对折得到，连接，然后以为边在左侧作，其中，，与交于点F，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，当点D在的斜边上时，请直接写出用表示的关系式；
（3）如图3，当点D在的内部时，若点F为的中点，且的面积为10，求的面积．
【答案】（1）证明：∵边沿过点B的直线l对折得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：
（3）解：如图，
设直线l交于点H，交于K，取的中点G，连接，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴．
【解析】【解答】解：（2）由（1）知：△ACD≌△BDE，
∴AD=BE，
∴AB=BD+AD=BD+BE，
∵BC=BD，
∴AB=BC+BE；
【分析】（1）由对折及已知可得BC=BD=AC，∠BCD=∠BDC，由可推出∠ACD=∠BDE，根据SAS可证△ACD≌△BDE；
（2）由（1）知△ACD≌△BDE，可得AD=BE，由AB=BD+AD=BD+BE即可求解；
（3）设直线l交于点H，交于K，取的中点G，连接，可得FG∥BH，利用平行线分线段成比例可得，由折叠知CH=DH，可得CH=2GH，即得CK=2FK，易得FG∥DE，可得，从而得出，继而得出，进一步即可求解.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
