高三年级 12 月检测训练 数学试题
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 已知复数 满足 ,则
A. 4 B. C. 2 D.
3. 已知 ,则 的最小值为
A. 3 B. 2 C. D. 1
4. 已知点 为 的重心,若 ,则
A. 0 B. 1 C. D. 3
5. 已知数列 的前 项和为 ,且满足 ,若对任意 . 恒成立,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
6. 图 1 是古书《天工开物》中记载的简车图. 简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具. 在农业上得到广泛应用. 在图 2 中,一个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟转 1.5 圈,简车的轴心 距水面的高度为 . 设筒车上的某个盛水桶 (看作点)到水面的距离为 (单位: ) (若在水面下则 为负数),若以盛水桶 刚浮出水面时开始计时, 与时间 (单位:s) 之间的关系为 ,则
图 1 图 2
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 作圆 的切线. 交双曲线 的右支于点 ,若 ,则实数
A. B. C. 2 D.
8. 已知函数 ,若 恰有 4 个零点,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知一组数据 的平均数为 ,将这组数据分别加上它们的平均数,得到一组新数据 ,则新数据与原数据相比
A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同
10. 已知函数 ,则下列说法正确的是
A. B. 不等式 的解集为
C. D. 1 为函数 的极大值点
11. 已知正四棱锥 的底面边长为 1,高为 ,该正四棱锥的顶点 在正方体 的内部(包括表面),则下列结论正确的是
A. 的取值范围是
B. 若正四棱锥 的侧棱长为 ，则
C. 当点 为正方体 的上底面 的中心时,正四棱锥 外接球的表面积为
D. 当点 为正方体 的内切球球心时,正方体 的内切球与正四棱锥 的公共部分的体积为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 的展开式中,第 6 项系数与第 7 项系数之比为 3:1,则 的值为_____.
13. 已知抛物线 的焦点为 . 斜率为 1 的直线 与抛物线 交于 两点. 则 的值为_____.
14. 已知 ,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
在 中,角 所对边分别为 ,且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若点 在边 上，且满足 ，求 的值.
16. (本小题满分 15 分)
(1)1 个质点在数轴上运动，每次向左或向右移动 1 个单位长度(相对于原点 ，质点向右移动了 个单位长度后位置记为 ,向左移动了 个单位长度后位置记为一 ). 已知质点每次向右移动的概率为 . 记 为质点从原点 出发，移动 2 次后的位置，求满足随机变量 的期望大于 0 的 的取值范围；
(2)1 个质点从平面直角坐标系中某点 出发，每次等可能地向上或向下或向左或向右移动 1 个单位长度,求该质点经过 4 次移动后回到点 的概率.
17. (本小题满分 15 分)
如图，在斜三棱柱 中， ， 是 的中点.
(1)求证:平面 上平面 ；
(2)若 底面 ，且直线 与底面 所成角为 ， 是棱 的中点,求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为 . . 且椭圆 过点 ,椭圆的下顶点为 .
(1)求椭圆 的方程:
(2)过右焦点 。的直线 与椭圆 交于 ， 两点(点 在点 的上方)，与 轴交于点 (点 在点 的下方). 为点 关于原点的对称点， 交 轴于点 ，设 的面积分别为 .
① 若直线 的斜率为 2，求 的值；
②是否存在直线 ，使 ， ， ， 四点共圆？若存在，试判断直线 的条数；若不存在. 请说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
约翰 卡尔 弗里德里希·高斯，德国著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有 “数学王子”之称. 函数 称为高斯函数，其中 表示不超过实数 的最大整数,如 . 已知函数 .
(1)当 和 时,求 的值;
(2)设 .
① 求 的表达式;
② 求 的表达式.高三年级１２月检测训练
数学试题参考答案及多维细目表
题号 ( ), ,( )１ ２ ３ ４ ５ ６ ＋２nn－１ ∴当n≥２时 nSn－Sn－１ ＝Sn＋
２n(n－１)．
答案 B C D B A A
∴(
S S
题号 ７ ８ ９ １０ １１ n－１
)Sn－nSn－１＝２n(n－１),∴
n
n －
n－１
n－１
答案 D B AB ACD ACD ＝２(n≥２), S∴{ n}是首项为－５,公差为２的等n
１．【答案】B 差数列．
【解析】∵A＝{x|x≤－１,或x≥３},B＝{x|x≥ S
∴ nn ＝－５＋２
(n－１)＝２n－７,∴Sn＝n(２n－
e},∴A∪B＝{x|x≤－１,或x≥ e}．
２
２．【答案】C ７)＝２n －７n,∴Sn 的最小值为S２＝－６,∴λ≤
－６．
【解析】方法一: ３i－１∵(２＋i)z＝３i－１,∴z＝２＋i＝ 方法二:当n≥２时,nan＝Sn＋２n(n－１)①,(n
(３i－１)(２－i) １ ７i －１)an－１＝Sn－１＋２(n－１)(n－２)②．
＝ ＋ ,∴|z|＝ ２,５ ５ ５ ∴z
z＝
①－②得(n－１)an－(n－１)an－１＝４(n－１),n
|z|２＝２． ≥２,∴an－an－１＝４,
方法二:∵(２＋i)z＝－１＋３i,∴ ５|z|＝ １０, ∴数列{an}是首项为－５,公差为４的等差数列．
, ２ ∴an＝－５＋４
(n－１)＝４n－９,令an＞０得n≥
∴|z|＝ ２ ∴z z＝|z| ＝２．
３,∴Sn 的最小值为S２＝－６,∴λ≤－６．
３．【答案】D
６．【答案】A
【解析】 １ １ １∵ ab ＝ ＋ ≥２ , , 【解析】由题得筒车半径为２m,转动一圈需要４０a b ab ∴ab≥２
１ １ s
,且轴心O 距水面高度为 ３ m,
∴lo ２＋lo ２＝log g g２
ab≥log２ ＝１,∴最小值为
a b (２＋ ３)－(３－２)∴A＝ ,
３π π,
, ２
＝２ω＝６０＝２０ K＝
１ 此时a＝b＝ ２．
４．【
( ) (
答案】B ２＋ ３ ＋ ３－２
)
＝ ３(m)２ ．
【解析】如图,延长 AG 交BC 于点D,则BG→＝ 又以盛水桶P 刚浮出水面时开始计时,∴d(０)
BD→
１ １
＋DG→＝２B
→C－ AG→,∵BG→２ ＝λB
→C＋μ , ３ π π π＝０ ∴sinφ＝－ 又２． －２＜φ＜
,
２ ∴φ＝－３．
AG→,且B→
１ １
C,AG→不共线,∴λ＝ ,２ μ＝－
,
２ ∴λ－ ７．
【答案】D
【解析】如图,设点 M 在第一象限,过点 F 作
μ＝１．
２
F G⊥MF 于点G,设 N 为圆O 的切点,连接
A ２ １
ON,∴F１N＝NG＝m,F２G＝２ON＝２．
G
B D C
５．【答案】A
【 】 : S解析 方法一 由a nn＝ ＋２(n－１)得n nan＝Sn
数学试题 参考答案 第１ 页 共７页
２３ ∴当y＝g(x)在区间(０,＋∞)上恰有２个零点在Rt△MGF２ 中,MG＝ ,
４３
３ MF２＝
,由双
３ 时,需满足g(x０)＜０,０＜x０＜k．
２３ ∴g(x )＝ex００ (２x０ －１)＋k(－x０ ＋１), ＝曲线定义得|MF１|－|MF２|＝２ ∴２m＋ ３ － ex０(２x x００－１)＋e (２x０ ＋１)(－x０ ＋１)＝
４３
＝２,
３ ３
３ ∴m＝１＋
x０
３． x０e
(－２x０＋３)＜０,∴x０＞２．
８．【答案】B 易知h(x)＝ex(２x＋１)在区间(０,＋∞)上单调
【解析】∵g(x)＝f(x)＋f(－x),∴g(－x)＝ 递增,
３
f(－x)＋f(x)＝g(x)．又g(x)定义域为{x|x ∴k＝ex０(２x０＋１)＞４e２ ．
≠０}关于原点对称,∴g(x)为偶函数．要使y＝ 综上所述,
３
k∈(４e２ ,＋∞)．
g(x)恰有４个零点,则需使y＝g(x)在区间(０, ９．【答案】AB
＋∞)上恰有２个零点． 【解析】极差为最大值与最小值的差,∴极差相
当x＞０时,g(x)＝ex(２x－１)＋k(－x＋１)＝ 同,∴选项 A正确;
ex(２x－１)－k(x－１)． x ＋x ＋ ＋x
原数据的平均数x＝ １ ２ n,新数据
方法一:令ex(２x－１)＝k(x－１),显然x＝１不 n
x(
是 方 程 的 根, e ２x－１
) x１＋x＋x２＋x＋ ＋xn＋x
∴k＝ ,记 ( ) 的平 均 数 y ＝ ＝x－１ h x ＝ n
ex(２x－１) x１＋x２＋ ＋xn,问题转化为h(x)＝k 在区间(０, ＋x＝２x,∴平均数不同, 选x－１ n
∴
;
＋∞)上有２个解． 项B正确
x( ２ ) ２ １ ２ ２
又h′(x)
e ２x －３x 原数据的方差 [( ) ( )
＝ s１＝(x－１)２
, n x１－x ＋ x２－x ＋ ＋
∴x∈(０,１)时,h′(x)＜０,h(x)单调递减; (xn－x)２],新数据的方差s２
１
２＝ [(n x１＋x－２x
)２＋
x∈ ,３ １ ÷ 时,h′(x)＜０,h (２ x
)单 调 递 减; (x ＋x－２x)２２ ＋ ＋(x ２n＋x－２x)]＝s２１,∴方
è
差相同,∴选项C错误;
x∈ ３ , ＋∞ ÷ 时,h′(x)＞０,h(x)单调递增,
è２ 中位数显然不同,∴选项D错误．
且h(０)＝１．当x 从１的左侧无限趋近于１时, １０．【答案】ACD
h(x)趋近于－∞;当x 从１的右侧无限趋近于１ 【解析】∵g(x)
１ １
＋ １ g ÷ ＝x－x －lnx＋x －
时,h(x)趋近于＋∞;
èx
当x 趋近于＋∞时,h(x)
１
３ ３ x－ln ＝０,∴选项 A正确;
趋近于＋∞．又h ３ ÷ ＝４e２ ,∴k∈(４e２ , ) x
è２ ＋∞ ．
１ １ x２＋１－x
方法二:g′(x)＝ex(２x＋１)－k,易知g′(x)在 ∵g′(x)＝１＋x２－x＝ x２ ＞０
,∴g(x)
区间(０,＋∞)上单调递增,∴要使y＝g(x)在 在区间(０,＋ ∞)上 单 调 递 增．又 g(１)＝０,
区间(０,＋∞)上恰有２个零点,则需满足g′(x) ∴g(x)＞０解集为(１,＋∞),∴选项B错误;
在区间(０,＋∞)上有零点,记为x０,且g′(０)＝ π ３π
∵sin ＞sin ＞０,且 １６ ＞ １１ ÷ ÷ ＞０,
１－k＜０,∴k＞１,且g′(x )＝ex ( ) ３ １１
g
０
０ ２x０＋１ － è３
g è３
k＝０． π ３π∴sin １６ g ÷ ＞sin
１１ , π ÷
３ ３ １１ g ３ ∴－sin
当x∈(０,x０)时,
è è ３
g′(x)＜０,g(x)单调递减;当
１６ ３π １１ １６ １６
x∈(x０,＋∞)时,g′(x)＞０,g(x)单调递增． g ÷ ＜－sin g ÷ ,由h ÷ ＝sin π è３ １１ è３ è３ ３
∵g(０)＝k－１＞０,g(k)＝ek(２k－１)＋k(－k＋ １６ π １６
) ( ) ( ) ２ , g ÷ ＝－sin g ÷ ,
３ ３π
÷
１ ＞k２k－１ ＋k －k＋１ ＝k ＞k－１ ３ ３ ３ h １１ ＝sin
è è è １１
数学试题 参考答案 第２ 页 共７页
３ ３π !
g ÷ ＝－sin
１１ １６ ３ ６ n
g ÷ ,∴h ÷ ÷ , , ( )! ( )!,è１１ １１ è３ è３ ＜h ∴ n－５ ＝ n－６ ∴n＝６． è１１ ６! (n－６)!
∴选项C正确;
１３．【答案】
２
h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝πcosπx ２
１ x２＋１－x 【解析】设 M(x１,y１),N(x２,y２),由抛物线定
x－ －lnx÷ ＋sinπx ２ ,x x ∴x ∈è p p
义得|FM|＝x１＋ ,
１ ３ ２
|FN|＝x２＋２．
,１÷ 时,h′(x)＞０;x∈ １, ÷ 时,２ ２ h′
(x)＜０．
è è px
p
１＋ ÷ － x２＋ ÷
又h′(１)＝０,∴１为h(x)极大值点,∴选项 D ||FM|－|FN|| è ２ è ２ ∴ |MN| ＝ ２
正确． １＋k |x１－x２|
１１．【答案】ACD |x１－x２| ２＝ ＝ ．
【 ２解析】记正方形ABCD 和正方形A１B１C１D １＋k |x１－x２| ２１
的中心分别为O 和O１,则点P 在线段OO１(不 １４．【答案】－３
含端点O)上,易知０＜h≤１,∴选项 A正确; 【解析】令x＝sinα,y＝cosβ,则(x－ １－y２ )
在 Rt△POC 中,h ＝PO ＝ PC２－OC２ ＝ (y－ １－x２ )＝０,∴x ＝ １－y２ ,或 y ＝
３ ２ １ １－x２ ,∴x２＋y２－ ＝ ,∴选项B错误; ＝１
(x≥０),或x２＋y２＝１
４ ４ ２ (y≥０)．
如图,记四棱锥PＧABCD 的外接球球心为G, ∴点(sinα,cosβ)在圆x２＋y２＝１位于第一、
则点G 则在OP 上,连接CG．在 Rt△OGC 中, 二、四象限(包括坐标轴)的部分上．
２
OG＝１－R,OC＝ ,GC＝R,则R２＝(１－R)２＋ ∵点(sinα,cosβ)到直线x＋y－２＝０距离为２ |sinα＋cosβ－２|
２２ , ３
＝d,
÷ ∴R＝ ,
９ ９
∴S球 ＝４πR２ ＝４π× ＝ π, ２
è ２ ４ １６ ４
又sinα＋cosβ－２≤０,∴sinα＋cosβ－２＝
∴选项C正确;
－ ２d．
下求d 的最大值．如图,d 的最大值为点(－１,
０)到 直 线 x＋y－２＝０ 的 距 离,∴dmax ＝
|－１＋０－２| ３
＝ ,
２ ２
３
∴(sinα＋cosβ－２)min＝－ ２× ＝－３．
该正方体恰好放入与四棱锥PＧABCD 体积相 ２
同的６个四棱锥,∴公共部分的体积为正方体 y
内切球体积的１,∴公共部分的体积为
１ ４
６ ６×３π
× １
３ π
÷
２ ＝
,∴选项 正确３６ D ． Oè 1 2 xx y2 0
１２．【答案】６
５
【 】 A b＋c １解析 ∵T ＝C５xn－５ ２ ２６ n ÷ ,∴第６项系数为 １５．解:(１)在△ABC 中,cos ＝ ,∴ (１＋èx ２ ２c ２
６
５ ５ １ b bCn ２ ,又T ６ n－６
２
７＝Cnx ÷ ,∴第７项系数为 cosA)＝ ＋１÷ ,∴cosA＝ ． ２分èx ２ èc c
C６n ２６． 方法一:在△ABC 中,由正弦定理得cosA＝
!
由题可知 C５n
n sinB
２５＝３C６ ２６n ,∴５! (n－５)!＝
,
sinC ∴sinB＝cosAsinC．
数学试题 参考答案 第３ 页 共７页
∵A＋B＋C＝π,∴sinB＝sin(A＋C)． ＝２５６,每个样本点出现的可能性相等,且为有
∴sinAcosC＋cosAsinC＝cosAsinC, 限个, ９分
∴sinAcosC＝０．∵sinA≠０,∴cosC＝０, 记质点经过４次移动后回到点A 为事件B,要
π 次回到起点 ,则向左向右移动次数相等,向
∴C＝ ．
４ A
分
２ ６ 上向下移动次数相等,∴事件B 包含的样本点
方法二: b b
２＋c２－a２, b ４ ４∵cosA＝c ∴
, A A
２bc ＝c 个数为m＝A
４
４＋
４ ４
２ ,(或A２ A２
＋A２ A２＝３６ m２ ２ ２
π
∴a２＋b２＝c２,∴C＝ ． ６分 ＝A
４
４＋２C２４＝３６) １３分
２
３６ ９
(２)方法一:如图,过点D 作DH 垂直于AC 于 由古典概型计算公式得P(B)＝ 质２５６＝６４．∴
点 由题可得AH AD １H． ９HC＝DB＝２． 点移动四次后回到点A 的概率为 ６４． １５
分
, , HD, １７．(１)证明:如图,连接 ,设AH＝x HC＝２x tanA＝ tan∠ACD A１B A１C．x C
HD
＝ ,
tanA
２x ∴tan∠ACD＝２．
１３分 A B
D
C
O
A B
方法二:在 CD△ACD 中,由正弦定理得sinA ＝ ∵AB＝AC,∠A１AB＝∠A１AC,A１A＝A１A,
AD
①, ８分 ∴△A１AB≌△A１AC
,∴A１B＝A１C．
sin∠ACD ∵O 为BC 中点,∴BC⊥A１O．又 AC＝AB,
在 CD△BCD 中,由 正 弦 定 理 得 ＝ ∴BC⊥AO． ４分
sin π －A ÷
è２ 又AO∩A１O＝O,AO 平面A１AO,A１O 平
BD CD BD 面A１AO,∴BC⊥平面A１AO． ５分,∴ ,
π cosA＝cos∠ACD② ∵BC 平面 BCC１B１,∴平面 A１AO⊥平面sin －∠ACD ÷
è２ BCC１B１． ６分
１０分 (２)解:∵A１O⊥平面ABC,∴∠A１AO 为A１A
, tanA 与平面 所成的角,即 由题②÷① 得 分 ABC ∠A１AO＝６０°．tan∠ACD＝２． １３ 可知OA,OB,OA１ 两两垂直,以O 为坐标原
１６．解:(１)由题可知 X 的可能取值为－２,０,２, 点,OA→,OB→,OA→１分别为x 轴、y 轴、z 轴正方
∴P(X＝－２)＝(１－p)２,P(X＝０)＝２p(１－p), 向,建立如图所示的空间直角坐标系．
P(X＝２)＝p２． ３分
z C
X 的分布列如下．
A B
X －２ ０ ２
P (１－p)２ ２p(１－p) p２
D
∴E(X)＝－２ (１－p)２＋２p２＝４p－２＞０, C
１ O
∴ ＜p＜１．(不列分布列不扣分) ２ ７
分
x A B
(２)移动四次,样本空间的样本点总数为n＝４４ y
数学试题 参考答案 第４ 页 共７页
设AC＝AB＝４,∴A１(０,０,２ ６),A(２ ２,０, ８
y ＋４＋y ４－２ １ ９ ７ １０
０),B(０,２ ２,０),C(０,－２ ２,０)．∵A→C＝ ＝ ＝ ＝ ．(y１＋y２)２－４y１y２ ６４ ６４ ２０
A C→
＋
１ １,∴C１(－２ ２,－２ ２,２ ６),B１(－２ ２, ８１ ９
分
２２,２６),
９
１０分
②假设存在直线l,设直线l方程为x＝my＋
∴D(－ ２,２ ２,６),∴AD→＝(－３ ２,２ ２,
２,A(x１,y１),B(x２,y２)．
６),AC→１＝(－４２,－２２,２６)．
ìx
２ y２
＋ ＝１,
设平面AC１D 的一个法向量为n＝(x,y,z), 联立í８ ４ 消去x,得(m２＋２)y２＋４my－
{AD
→ n＝０, x＝my＋２
,
∴ → ４＝０,Δ＞０恒成立,AC１ n＝０,
－４m －４
{－３２x＋２２y＋ ６z＝０, ∴y１ ＋y２ ＝ ２
,y１y２ ＝ , (
∴ 令y＝ ３, m ＋２ m
２＋２ ∴ y１ －
－４２x－２２y＋２６z＝０, ( ２ )
y２)２ ( )２
３２m ＋１
＝ y１＋y２ －４y１y２＝ (m２＋２)２ ．
∴n＝(３３,３,７)． １３分
如图,延长QA 交x 轴于点S,若Q,R,F ,A
∵A１O⊥平面ABC,∴取平面ABC 的法向量
２
四点共圆,则
(,,), ∠AFS＝∠AQR．
１１分
m＝ ００１ 记平面AC１D 与平面ABC 的夹
２
y
角为 ,则 , |m n|α cosα＝|cos m n |＝ ＝ Q|m| |n|
７ ７ ７９
＝ , A
(３３)
２ ２
＋(３)＋７２ ７９ 2 1
F O R F S x
∴平面 AC１D 与平面ABC 夹角的余弦值为
７ ７９ E B
． 分７９ １５
P
１８．解:(１)∵椭圆C 的左、右焦点分别为F１(－２,
０),F２(２,０),且过(２,３),
１ １
∵tan∠AF２S＝ ,m ∴tan∠AQR＝m．
∵ (
２ ２
２－２)＋３＋ (２＋２)＋３＝４２, 又∠AQR＝∠１－∠２,∴tan∠AQR＝tan(∠１－
∴２a＝４２,∴a＝２２．∴b２＝a２－c２＝４, ) tan∠１－tan∠２ k －k∠２ ＝ ＝ QA QB (此１＋tan∠１ tan∠２ １＋k ．QA kQB
x２ y２
∴椭圆C 的方程为８＋４＝１．
４分 步骤不推理不扣分)
２ ２
(２)①直线l方程为
１
x＝ y＋２,设A(x１,y ), y１－２ １ 由 m
y２－
kQA ＝ ,
m 得
my１＋２
kQB ＝m ＋２ tan∠AQRy２
B(x２,y２)． ４(y１－y２)
ìx
２ y２ ＝ ,
８＋４＝１
, (m２＋１) ２
４
y１y２＋ ２m
－ ÷(m y１＋y２
)＋４＋
è m２
联立 í 消去x,得９y２＋８y－１６＝０,
１
x＝ y＋２, ４(y１－y２) ２ ∴ ２ ＝(m２＋１) y１y２＋ ２m－ ÷(y１＋y２)
４
＋４＋ ２
８ １６ è m m
∴y１＋y２＝－ ,y１y２＝－ ． ６分９ ９ １, １ １６ ２m
２＋２
S ＋S |BP|＋|AF| y ＋４＋y ∴ ＝
,∴２m ２m２＋２＝２＋
由题得 １ ３＝ ２ ＝ ２ １ m m ８ ２S２＋S３ |BF２|＋|AF２| y －y １６＋m２－８m１ ２
数学试题 参考答案 第５ 页 共７页
１ ２ 分 ∴cosx１∈
(０,１),cosxn∈(－１,０),n≥２,n∈
m２－m ． １５
, êé２cosxN ∴ １ ùú ２cosx２ ê x ú ＝０
,éêê
n úùú ＝－１,n≥２,n
由点P 在点E 下方得－m＜－２
,∴０＜m＜１, １ xn
∈N ．
记f(
１ n n
m)＝２m ２m２＋２＋m２－m２－２
,０＜m ∴∑[f(x
i)]＝１－n,n∈N ． 或∑[f(xi)]
i＝１ è i＝１
＜１, ０,n＝１,
４m２ ２ ＝{ ÷ １０分∴f′(m)＝２ ２m２＋２＋ ＋２m＋ ,３ １－nnm ≥２,且n ∈N ２m２＋２
② 设φ(x)＝x ＋g(x),x ＞０,φ′(x)＝１＋
＞０．又 １ f ÷ ＜０,f(１)２ ＞０
,
è １ １－ ＞０恒成立,∴ 当x ＞０
２ x ４５ ２ x ５
∴存在直线l,条数为１条． １７分 ＋ ＋
时,φ(x)单调递增． １１分
１９．解:(１)当x＝４时,éê２cos４úù ＝ éêcos４úù
ê ４ ú ê ú ＝－１
,
２ ∵φ(４)＝８,由 ① 知x２t ＜４,x２t＋１ ＞４,t∈N ,
２分 且x１ ＞４,φ(x１)＝x１＋x２ ＞８,
é２cos５ù ∴φ(x２t＋１)＞φ(４)＝８,φ(x２t)＜φ(４)＝８,t∈当x＝５时,êê ú ＝０． ４分 ５ ú N ． １２分
(２)
４０
①由条件g(x)＝ 可知,当 当n＝１时
,[x１]＝５;
x＋４５＋ x＋５ 当n＝２t(t∈N )时,由φ(x)＝x＋g(x)得
x＞０时,g(x)连续且单调递减 ５分 φ(xn)＝xn ＋g(xn)＝xn ＋xn＋１,
∵x１＝５,∴x２＝g(x１)＝g(５)．∵g(４)＝４, ∴x１ ＋x２＋x３＋ ＋xn＝(x１＋x２)＋(x３＋
∴g(５)＜g(４)＝４．又g(５)＞３．９,∴３．９＜g(５) x４)＋ ＋(x２t－１＋x２t)＝φ(x１)＋φ(x３)＋
＜４,即３．９＜x２＜４． ＋φ(x２t－１)＞８t＝４n,
∵x３＝g(x２),３．９＜x２＜４,∴g(３．９)＞g(x２) x１＋x２＋x３＋ ＋xn＝x１＋(x２＋x３)＋(x４
＞g(４)．又g(４)＝４,g(３．９)＜４．１,∴４＜x３＜ ＋x５)＋ ＋(x２t－２＋x２t－１)＋x２t＝x１＋φ(x２)
４．１． ＋φ(x４)＋ ＋φ(x２t－２)＋x２t ＜５＋８(t－１)＋
∵x４＝g(x３),４＜x３＜４．１,∴g(４)＞g(x３)＞ ４＝８t＋１＝４n＋１,
g(４．１)．又g(４)＝４,g(４．１)＞３．９,∴３．９＜x４ n
∴[∑xi]＝４n; ＜４． １４分i＝１
同理,可得４＜x５＜４．１,∴依此规律,归纳可得 同理,当n＝２t＋１(t∈N )时,
x２t∈(３．９,４),x２t＋１∈(４,４．１),t∈N ． x１＋x２＋x３＋ ＋xn＝(x１＋x２)＋(x３＋x４)
下面用数学归纳法证明此归纳结论: ＋ ＋(x２t－１＋x２t)＋x２t＋１＝φ(x１)＋φ(x３)＋
当t＝１时,x２∈(３．９,４),x３∈(４,４．１)． ＋φ(x２t－１)＋x２t＋１ ＞８t＋４＝４n,
假设当t＝k(k∈N )时,x２k∈(３．９,４),x２k＋１∈ x１＋x２＋x３＋ ＋xn＝x１＋(x２＋x３)＋(x４
(４,４．１)． ＋x５)＋ ＋(x２t－２＋x２t－１)＋(x２t＋x２t＋１)＝
则当t＝k＋１时,x２(k＋１)＝x２k＋２＝x２k＋１＋１＝ x１ ＋φ(x２)＋φ(x４)＋ ＋φ(x２t)＜５＋８t＝
g(x２k＋１)∈(g(４．１),g(４)) (３．９,４)． ４n＋１,
x２(k＋１)＋１＝x２k＋３＝g(x２k＋２)∈(g(４),g(３．９)) n∴[∑xi]＝４n． １６分
(４,４．１)． i＝１
n , ,
综上可知,x２t∈(３．９,４),x２t＋１∈(４,４．１),对 t ５n＝１综上所述,[∑xi]＝{
, , ∈N 成立．(不用数学归纳法证明不扣分) i＝１ ４nn ≥２n ∈N ．
１７分９分
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多维细目表
学科素养 预估难度
题型 题号 分值 必备知识 数学 逻辑 数学 直观 数学 数据
易 中 难
抽象 推理 建模 想象 运算 分析
选择题 １ ５ 集合的运算 √ √
选择题 ２ ５ 复数的运算及模的性质 √ √
选择题 ３ ５ 基本不等式、对数运算 √ √
选择题 ４ ５ 平面向量基本定理 √ √ √
选择题 ５ ５ 数列通项公式及最大项 √ √ √
选择题 ６ ５ 三角函数的图象与性质 √ √ √ √
选择题 ７ ５ 双曲线的定义及综合 √ √ √ √
选择题 ８ ５ 函数的零点 √ √ √ √
选择题 ９ ６ 统计基础 √ √ √
选择题 １０ ６ 函数的基本性质 √ √ √
选择题 １１ ６ 立体几何中的组合体问题 √ √ √ √
填空题 １２ ５ 二项式定理 √ √
填空题 １３ ５ 抛物线的定义及弦长 √ √
填空题 １４ ５ 直线与圆中的最值问题 √ √ √ √
解答题 １５ １３ 三角变换与解三角形 √ √ √
解答题 １６ １５ 二项分布与古典概型计算 √ √ √ √
解答题 １７ １５ 点线面位置关系与空间角 √ √ √ √
解答题 １８ １７ 椭圆综合 √ √ √ √
解答题 １９ １７ 导数与数列综合 √ √ √
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