广东省广州市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷
1．（2025高二上·广州期中）若复数的共轭复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，得，
所以.
故答案为：A.
【分析】先根据共轭复数的定义可得复数，再根据复数除法的运算法则，从而得出复数.
2．（2025高二上·广州期中）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，，则平行或相交，故A错误；
B、若，则或，故B错误；
C、，过作平面，使得，
因为，故，而，故，故，故C正确；
D、若，则，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据线、面位置关系逐项判断即可.
3．（2025高二上·广州期中）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：，
，，
则.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据向量的线性运算化简即可..
4．（2025高二上·广州期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：由，定义域为，
又因为，
所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除选项A和选项B；
当时，，，则，排除选项C，
所以选项D满足题意.
故答案为：D.
【分析】利用函数的奇偶性排除选项A和选项B；再结合当时函数的符号排除选项C，从而找出正确的选项.
5．（2025高二上·广州期中）已知定点和直线，则点P到直线l的距离d的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：因为直线，
由，
解得，
则直线过定点，
所以点P到直线l的距离d的最大值为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件变形求出直线所过的定点，再根据两点间的距离公式结合几何法，从而得出点P到直线l的距离d的最大值.
6．（2025高二上·广州期中）已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由配方得，
可得点的轨迹是圆心在，半径为1的圆，
又因为可看成圆上点与点连线的斜率，如图，
由图可知，过点A与圆相切的直线斜率一定存在，
设过点的圆的切线方程为：，
由圆心到切线的距离为，解得，
依题意，需使或，
则的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】将实数满足的方程理解为动点的轨迹方程，从而得出圆的方程，再把看成圆上点与点连线的斜率，考虑直线与圆相切情况，再结合图形得出的取值范围.
7．（2025高二上·广州期中）如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，，设，，
，，
因为，所以，即，
又因为，所以，，
则点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，
且.
故答案为：B.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求动点的轨迹为线段，据此求解即可.
8．（2025高二上·广州期中）已知空间向量，，两两的夹角均为，且，.若向量，满足，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：取三棱锥，记，
由，，，
可得，，
如图，令，
因为，，
，
所以，，即，
所以⊥，⊥，
分别取的中点，如图所示：
则，，，
所以，
故当四点共线且按此顺序排列时，取得最大值，最大值为.
故答案为：A.
【分析】取一三棱锥，记，利用余弦定理求出各边长，令，根据题目条件得到⊥，⊥，利用向量运算法则得到，当四点共线且按此顺序排列时，取得最大值.
9．（2025高二上·广州期中）某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，若同一组中数据用该组区间中点值作为代表值，则下列说法正确的有（ ）
A．考生参赛成绩的平均分约为分
B．考生参赛成绩的第百分位数约为分
C．分数在区间内的频率为
D．用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则成绩在区间应抽取人
【答案】A,C
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A：由频率分布直方图可知考生的平均成绩为：
，故A正确；
对于B：因为，，
所以考生参赛成绩的第百分位数位于区间，
则第百分位数为，故B错误；
对于C：因为分数在区间内的频率为，故C正确；
对于D：因为在区间应抽取，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】确定每组数据中间值和每组数据的频率代入到平均数的公式，则判断出选项A；根据百分位数的定义分析求解判断出选项B；直接求分数在区间内的频率，则可判断选项C；根据分层随机抽样求解判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2025高二上·广州期中）已知椭圆的两个焦点为为上不与共线的点，则下列说法正确的有（ ）
A．实数的取值范围是
B．若椭圆的焦点在轴上，则
C．若，则周长为
D．若，则椭圆的离心率为
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：A、由表示椭圆，可得且，故A错误；
B、若椭圆的焦点在轴上，则，故B正确；
C、若，椭圆，，
则周长为，故C正确；
D、若，椭圆，则椭圆的离心率，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据表示椭圆求得m的范围即可判断A；根据椭圆定义求解即可判断BC；根据椭圆离心率公式求解即可判断D.
11．（2025高二上·广州期中）如图，四边形是边长为2的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上的动点（不与点重合），下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的四个面都是直角三角形，且体积最大值为
B．点运动时，四棱锥的外接球半径为定值
C．当时，异面直线与的夹角为
D．半圆弧上存在唯一的点，使得直线与平面所成角的正弦值为
【答案】A,B
【知识点】异面直线所成的角；球内接多面体；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，因为半圆面平面，平面平面，
平面，，所以平面，
又因为平面，所以，，
由为直径，得，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
所以三棱锥的四个面都是直角三角形，
因为点运动时，点到平面的最大距离为，
所以，故A正确；
对于B， 设半圆圆心为，正方形中心为，则，
因为正方形的中心到四个顶点的距离为，
当运动时，，故是外接球的球心，球半径为定值，故B正确；
对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
则点，，
所以，
则，不是，故C错误；
对于D，设，则，，
因为平面的法向量为，
所以，直线与平面所成角的正弦值为：
，
则，
所以，
则，
所以或，
则满足条件的点有两个，不唯一，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据面面垂直的性质定理、线面垂直的定义结合三棱锥的体积公式，则判断出选项A；根据外接球球心到顶点距离相等判断出选项B；建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式以及一元二次方程求解方法，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项。
12．（2025高二上·广州期中）在一次招聘面试中，小明要依次回答甲 乙 丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少2个问题的概率为 .
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解： 记为事件为小明答对甲 乙 丙三个问题，
由题意可得，，
则小明能够连续答对至少2个问题的概率为
.
故答案为：.
【分析】记为事件为小明答对甲 乙 丙三个问题，利用独立事件的乘法和互斥事件的概率加法公式求解即可.
13．（2025高二上·广州期中）已知点与点关于直线对称，则直线的方程是 .
【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；直线的斜截式方程；图形的对称性
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
又因为点与点关于直线对称，
所以，
因为的中点，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
【分析】先利用两点求斜率公式求出直线的斜率，再根据点与点关于直线对称的求解方法结合中点坐标公式，再利用点斜式方程转化为斜截式方程，从而得出直线的方程.
14．（2025高二上·广州期中）已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；图形的对称性
【解析】【解答】截：已知函数，
又因为的图象上存在不同的两个点关于原点对称，
所以在上有解，
则在上有解，
所以在上有解，
令，当且仅当时，即当时，等号成立，
则，在时有解，
令，其对称轴为，
①当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，
解得；
②当时，在上单调递增，
则，
解得，
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意可得方程在上有解，再代入化简整理，令，换元得，当时有解结合二次函数的图象和性质，从而对的取值进行分类讨论，进而求解得出实数m的取值范围.
15．（2025高二上·广州期中）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，点到直线的距离为3，求的面积．
【答案】（1）解：依题意，
得：，
因为，
所以，
则，
所以.
（2）解：由正弦定理，得，
不妨设，则，
由余弦定理，得，
则，
因为，
所以，
所以．
【知识点】二倍角的正弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用诱导公式和二倍角的余弦公式，再结合三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理和三角形面积公式，从而列式求解得出的面积.
（1）依题意，
，
因为，
故，，
（2）由正弦定理得，
不妨设，则，
由余弦定理得，得．
因为，
所以，
所以．
16．（2025高二上·广州期中）已知函数的最小正周期为.
（1）求的值以及函数的对称中心；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上的最小值.
【答案】（1）解：依题意，函数，
由函数的最小正周期为，得，解得，
则，
令，解得，
所以的对称中心为.
（2）解：将函数图象向右平移个单位长度后，
得，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，
得，则
令，
由，得，
则，
所以，
当时，取得最小值，
所以函数在上的最小值为.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出的值，从而得出函数的解析式，再利用换元法和正弦型函数的对称性，从而得出函数的对称中心.
（2）由（1）中函数进行图象变换求出函数，从而求出，再利用二倍角正弦公式结合换元法，最后由二次函数求最值的方法，从而求出函数在上的最小值.
（1）依题意，函数，
由函数的最小正周期为，得，解得，则，
令，解得，
所以的对称中心为.
（2）将函数图象向右平移个单位长度后，得，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得，
，
令，由，得，则，
，则当时，取得最小值，
所以函数在上的最小值为.
17．（2025高二上·广州期中）如图，在△中，，，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至 ，得到四棱锥，为棱上一动点（不包含端点）.
（1）若为棱的中点，证明：平面 ；
（2）若，直线EF与平面BCDE所成角的正弦值为.
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：因为，，
所以，
连接，因为为的中点，
所以是等边三角形．
取的中点，连接，，则，
所以，，
因为平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又因为，，平面，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面．
（2）解：（ⅰ）因为，，
所以，
则，
又因为，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，
则，
设，
则，．
因为平面，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
所以，
整理得，解得舍，
所以．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，．
设平面的法向量为，
则，
所以，
令，得，，
则，
所以点到平面的距离为．
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，则，通过证明平面平面，由面面平行的性质定理证出平面．
（2）（ⅰ）利用已知条件结合勾股定理得出线线垂直，利用线线垂直证出直线平面，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式及已知条件，从而得出实数的值，进而得出的值.
（ⅱ）利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示求出平面的法向量，再利用数量积求点到平面的距离公式，从而得出点到平面的距离.
（1）因为，，
所以，
连接，因为为的中点，所以是等边三角形．
取的中点，连接，，则，
则，．
因为平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又，，平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面．
（2）（ⅰ）因为，，
所以，
所以，
因为，所以，
又，，平面，
所以平面，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，
则，
设，
则，．
因为平面，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
所以，
整理得，解得舍，所以．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，，
则，
所以点到平面的距离为．
18．（2025高二上·广州期中）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程；
（3）已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值.
【答案】（1）解：设，因为点且，
所以，即，
所以的轨迹方程为.
（2）解：由（1）知，圆心为，半径为，
因为，设圆心到的距离，可得，解得，
当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意；
当斜率存在时，设方程：，即，
则，解得，此时.
综上可得，直线的方程为或.
（3）证明：已知如图所示：
当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意，
所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且
联立方程组，
整理得，
令，解得，
且，所以，
又由，解得，所以，
因为均在直线上，且
所以.
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设，利用数量积的定义结合，可得即可求解；
（2）设圆心到的距离，利用圆的弦长公式，可得，再分斜率不存在和斜率存在，两种情况讨论，利用直线与圆的位置关系的判断即可求解；
（3）设直线的斜率为，则，联立方程组可得，利用和根与系数关系可得和，再利用均在直线上，利用，即可求解.
（1）解：设，因为点且，
所以，即，
所以的轨迹方程为.
（2）解：由（1）知，圆心为，半径为，
因为，设圆心到的距离，可得，解得，
当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意；
当斜率存在时，设方程：，即，
则，解得，此时.
综上可得，直线的方程为或.
（3）解：当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意，
所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且
联立方程组，
整理得，
令，解得，
且，所以，
又由，解得，所以，
因为均在直线上，且
所以.
19．（2025高二上·广州期中）已知函数的定义域均为，给出下面两个定义：
①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换；
②若对任意的，均有，则称与关于任意交换．
（1）请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由；
（2）设，若存在函数，使得与关于任意交换，求b的值；
（3）在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求a的值．
【答案】（1）解：与关于是唯一交换，理由如下：
因为，，
令，所以，解得，
所以有唯一解，
所以与关于是唯一交换.
（2）解：由题意可知，对任意的，成立，
即对任意的，；
因为为函数，且，故，
故，
即，
所以，
综上所述，.
（3）解：当时，，
因为与关于唯一交换，
所以存在唯一实数，使得，
即存在唯一实数，使得，
即存在唯一实数，使得，
令，
且定义域均为，
又因为，，
所以都是偶函数，所以为偶函数，
因此，若存在唯一实数使得，只能是，
所以，
综上所述，的取值为.
【知识点】函数的概念及其构成要素；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据方程解的情况，则判断出与关于是唯一交换.
（2）根据“对任意的，成立”得到关于的方程，再设出的解析式，根据方程左右两边对应项相同，从而求解得出的值.
（3）根据已知条件，通过分离参数将问题转化为“存在唯一实数，使得”，再判断出函数的奇偶性，从而确定出，由此可得的值.
（1）与关于是唯一交换，理由如下：
因为，，
令，所以，解得，
所以有唯一解，
所以与关于是唯一交换.
（2）由题意可知，对任意的，成立，
即对任意的，；
因为为函数，且，故，
故，
即，
所以，
综上所述，.
（3）当时，，
因为与关于唯一交换，
所以存在唯一实数，使得，
即存在唯一实数，使得，
即存在唯一实数，使得；
令，且定义域均为，
又，，
所以都是偶函数，所以为偶函数，
因此，若存在唯一实数使得，只能是，
所以，
综上所述，的取值为.
1 / 1广东省广州市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷
1．（2025高二上·广州期中）若复数的共轭复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·广州期中）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2025高二上·广州期中）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高二上·广州期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高二上·广州期中）已知定点和直线，则点P到直线l的距离d的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·广州期中）已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025高二上·广州期中）如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·广州期中）已知空间向量，，两两的夹角均为，且，.若向量，满足，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·广州期中）某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，若同一组中数据用该组区间中点值作为代表值，则下列说法正确的有（ ）
A．考生参赛成绩的平均分约为分
B．考生参赛成绩的第百分位数约为分
C．分数在区间内的频率为
D．用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则成绩在区间应抽取人
10．（2025高二上·广州期中）已知椭圆的两个焦点为为上不与共线的点，则下列说法正确的有（ ）
A．实数的取值范围是
B．若椭圆的焦点在轴上，则
C．若，则周长为
D．若，则椭圆的离心率为
11．（2025高二上·广州期中）如图，四边形是边长为2的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上的动点（不与点重合），下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的四个面都是直角三角形，且体积最大值为
B．点运动时，四棱锥的外接球半径为定值
C．当时，异面直线与的夹角为
D．半圆弧上存在唯一的点，使得直线与平面所成角的正弦值为
12．（2025高二上·广州期中）在一次招聘面试中，小明要依次回答甲 乙 丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少2个问题的概率为 .
13．（2025高二上·广州期中）已知点与点关于直线对称，则直线的方程是 .
14．（2025高二上·广州期中）已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为 .
15．（2025高二上·广州期中）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，点到直线的距离为3，求的面积．
16．（2025高二上·广州期中）已知函数的最小正周期为.
（1）求的值以及函数的对称中心；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上的最小值.
17．（2025高二上·广州期中）如图，在△中，，，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至 ，得到四棱锥，为棱上一动点（不包含端点）.
（1）若为棱的中点，证明：平面 ；
（2）若，直线EF与平面BCDE所成角的正弦值为.
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）求点到平面的距离.
18．（2025高二上·广州期中）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程；
（3）已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值.
19．（2025高二上·广州期中）已知函数的定义域均为，给出下面两个定义：
①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换；
②若对任意的，均有，则称与关于任意交换．
（1）请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由；
（2）设，若存在函数，使得与关于任意交换，求b的值；
（3）在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，得，
所以.
故答案为：A.
【分析】先根据共轭复数的定义可得复数，再根据复数除法的运算法则，从而得出复数.
2．【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，，则平行或相交，故A错误；
B、若，则或，故B错误；
C、，过作平面，使得，
因为，故，而，故，故，故C正确；
D、若，则，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据线、面位置关系逐项判断即可.
3．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：，
，，
则.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据向量的线性运算化简即可..
4．【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：由，定义域为，
又因为，
所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除选项A和选项B；
当时，，，则，排除选项C，
所以选项D满足题意.
故答案为：D.
【分析】利用函数的奇偶性排除选项A和选项B；再结合当时函数的符号排除选项C，从而找出正确的选项.
5．【答案】A
【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：因为直线，
由，
解得，
则直线过定点，
所以点P到直线l的距离d的最大值为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件变形求出直线所过的定点，再根据两点间的距离公式结合几何法，从而得出点P到直线l的距离d的最大值.
6．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由配方得，
可得点的轨迹是圆心在，半径为1的圆，
又因为可看成圆上点与点连线的斜率，如图，
由图可知，过点A与圆相切的直线斜率一定存在，
设过点的圆的切线方程为：，
由圆心到切线的距离为，解得，
依题意，需使或，
则的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】将实数满足的方程理解为动点的轨迹方程，从而得出圆的方程，再把看成圆上点与点连线的斜率，考虑直线与圆相切情况，再结合图形得出的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，，设，，
，，
因为，所以，即，
又因为，所以，，
则点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，
且.
故答案为：B.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求动点的轨迹为线段，据此求解即可.
8．【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：取三棱锥，记，
由，，，
可得，，
如图，令，
因为，，
，
所以，，即，
所以⊥，⊥，
分别取的中点，如图所示：
则，，，
所以，
故当四点共线且按此顺序排列时，取得最大值，最大值为.
故答案为：A.
【分析】取一三棱锥，记，利用余弦定理求出各边长，令，根据题目条件得到⊥，⊥，利用向量运算法则得到，当四点共线且按此顺序排列时，取得最大值.
9．【答案】A,C
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A：由频率分布直方图可知考生的平均成绩为：
，故A正确；
对于B：因为，，
所以考生参赛成绩的第百分位数位于区间，
则第百分位数为，故B错误；
对于C：因为分数在区间内的频率为，故C正确；
对于D：因为在区间应抽取，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】确定每组数据中间值和每组数据的频率代入到平均数的公式，则判断出选项A；根据百分位数的定义分析求解判断出选项B；直接求分数在区间内的频率，则可判断选项C；根据分层随机抽样求解判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：A、由表示椭圆，可得且，故A错误；
B、若椭圆的焦点在轴上，则，故B正确；
C、若，椭圆，，
则周长为，故C正确；
D、若，椭圆，则椭圆的离心率，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据表示椭圆求得m的范围即可判断A；根据椭圆定义求解即可判断BC；根据椭圆离心率公式求解即可判断D.
11．【答案】A,B
【知识点】异面直线所成的角；球内接多面体；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，因为半圆面平面，平面平面，
平面，，所以平面，
又因为平面，所以，，
由为直径，得，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
所以三棱锥的四个面都是直角三角形，
因为点运动时，点到平面的最大距离为，
所以，故A正确；
对于B， 设半圆圆心为，正方形中心为，则，
因为正方形的中心到四个顶点的距离为，
当运动时，，故是外接球的球心，球半径为定值，故B正确；
对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
则点，，
所以，
则，不是，故C错误；
对于D，设，则，，
因为平面的法向量为，
所以，直线与平面所成角的正弦值为：
，
则，
所以，
则，
所以或，
则满足条件的点有两个，不唯一，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据面面垂直的性质定理、线面垂直的定义结合三棱锥的体积公式，则判断出选项A；根据外接球球心到顶点距离相等判断出选项B；建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式以及一元二次方程求解方法，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项。
12．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解： 记为事件为小明答对甲 乙 丙三个问题，
由题意可得，，
则小明能够连续答对至少2个问题的概率为
.
故答案为：.
【分析】记为事件为小明答对甲 乙 丙三个问题，利用独立事件的乘法和互斥事件的概率加法公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；直线的斜截式方程；图形的对称性
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
又因为点与点关于直线对称，
所以，
因为的中点，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
【分析】先利用两点求斜率公式求出直线的斜率，再根据点与点关于直线对称的求解方法结合中点坐标公式，再利用点斜式方程转化为斜截式方程，从而得出直线的方程.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；图形的对称性
【解析】【解答】截：已知函数，
又因为的图象上存在不同的两个点关于原点对称，
所以在上有解，
则在上有解，
所以在上有解，
令，当且仅当时，即当时，等号成立，
则，在时有解，
令，其对称轴为，
①当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，
解得；
②当时，在上单调递增，
则，
解得，
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意可得方程在上有解，再代入化简整理，令，换元得，当时有解结合二次函数的图象和性质，从而对的取值进行分类讨论，进而求解得出实数m的取值范围.
15．【答案】（1）解：依题意，
得：，
因为，
所以，
则，
所以.
（2）解：由正弦定理，得，
不妨设，则，
由余弦定理，得，
则，
因为，
所以，
所以．
【知识点】二倍角的正弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用诱导公式和二倍角的余弦公式，再结合三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理和三角形面积公式，从而列式求解得出的面积.
（1）依题意，
，
因为，
故，，
（2）由正弦定理得，
不妨设，则，
由余弦定理得，得．
因为，
所以，
所以．
16．【答案】（1）解：依题意，函数，
由函数的最小正周期为，得，解得，
则，
令，解得，
所以的对称中心为.
（2）解：将函数图象向右平移个单位长度后，
得，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，
得，则
令，
由，得，
则，
所以，
当时，取得最小值，
所以函数在上的最小值为.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出的值，从而得出函数的解析式，再利用换元法和正弦型函数的对称性，从而得出函数的对称中心.
（2）由（1）中函数进行图象变换求出函数，从而求出，再利用二倍角正弦公式结合换元法，最后由二次函数求最值的方法，从而求出函数在上的最小值.
（1）依题意，函数，
由函数的最小正周期为，得，解得，则，
令，解得，
所以的对称中心为.
（2）将函数图象向右平移个单位长度后，得，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得，
，
令，由，得，则，
，则当时，取得最小值，
所以函数在上的最小值为.
17．【答案】（1）证明：因为，，
所以，
连接，因为为的中点，
所以是等边三角形．
取的中点，连接，，则，
所以，，
因为平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又因为，，平面，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面．
（2）解：（ⅰ）因为，，
所以，
则，
又因为，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，
则，
设，
则，．
因为平面，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
所以，
整理得，解得舍，
所以．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，．
设平面的法向量为，
则，
所以，
令，得，，
则，
所以点到平面的距离为．
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，则，通过证明平面平面，由面面平行的性质定理证出平面．
（2）（ⅰ）利用已知条件结合勾股定理得出线线垂直，利用线线垂直证出直线平面，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式及已知条件，从而得出实数的值，进而得出的值.
（ⅱ）利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示求出平面的法向量，再利用数量积求点到平面的距离公式，从而得出点到平面的距离.
（1）因为，，
所以，
连接，因为为的中点，所以是等边三角形．
取的中点，连接，，则，
则，．
因为平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又，，平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面．
（2）（ⅰ）因为，，
所以，
所以，
因为，所以，
又，，平面，
所以平面，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，
则，
设，
则，．
因为平面，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
所以，
整理得，解得舍，所以．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，，
则，
所以点到平面的距离为．
18．【答案】（1）解：设，因为点且，
所以，即，
所以的轨迹方程为.
（2）解：由（1）知，圆心为，半径为，
因为，设圆心到的距离，可得，解得，
当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意；
当斜率存在时，设方程：，即，
则，解得，此时.
综上可得，直线的方程为或.
（3）证明：已知如图所示：
当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意，
所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且
联立方程组，
整理得，
令，解得，
且，所以，
又由，解得，所以，
因为均在直线上，且
所以.
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设，利用数量积的定义结合，可得即可求解；
（2）设圆心到的距离，利用圆的弦长公式，可得，再分斜率不存在和斜率存在，两种情况讨论，利用直线与圆的位置关系的判断即可求解；
（3）设直线的斜率为，则，联立方程组可得，利用和根与系数关系可得和，再利用均在直线上，利用，即可求解.
（1）解：设，因为点且，
所以，即，
所以的轨迹方程为.
（2）解：由（1）知，圆心为，半径为，
因为，设圆心到的距离，可得，解得，
当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意；
当斜率存在时，设方程：，即，
则，解得，此时.
综上可得，直线的方程为或.
（3）解：当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意，
所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且
联立方程组，
整理得，
令，解得，
且，所以，
又由，解得，所以，
因为均在直线上，且
所以.
19．【答案】（1）解：与关于是唯一交换，理由如下：
因为，，
令，所以，解得，
所以有唯一解，
所以与关于是唯一交换.
（2）解：由题意可知，对任意的，成立，
即对任意的，；
因为为函数，且，故，
故，
即，
所以，
综上所述，.
（3）解：当时，，
因为与关于唯一交换，
所以存在唯一实数，使得，
即存在唯一实数，使得，
即存在唯一实数，使得，
令，
且定义域均为，
又因为，，
所以都是偶函数，所以为偶函数，
因此，若存在唯一实数使得，只能是，
所以，
综上所述，的取值为.
【知识点】函数的概念及其构成要素；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据方程解的情况，则判断出与关于是唯一交换.
（2）根据“对任意的，成立”得到关于的方程，再设出的解析式，根据方程左右两边对应项相同，从而求解得出的值.
（3）根据已知条件，通过分离参数将问题转化为“存在唯一实数，使得”，再判断出函数的奇偶性，从而确定出，由此可得的值.
（1）与关于是唯一交换，理由如下：
因为，，
令，所以，解得，
所以有唯一解，
所以与关于是唯一交换.
（2）由题意可知，对任意的，成立，
即对任意的，；
因为为函数，且，故，
故，
即，
所以，
综上所述，.
（3）当时，，
因为与关于唯一交换，
所以存在唯一实数，使得，
即存在唯一实数，使得，
即存在唯一实数，使得；
令，且定义域均为，
又，，
所以都是偶函数，所以为偶函数，
因此，若存在唯一实数使得，只能是，
所以，
综上所述，的取值为.
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