广东省广州市第八十九中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题
1．（2025高一上·广州期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·广州期中）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高一上·广州期中）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一上·广州期中）函数且经过定点的坐标（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·广州期中）若，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（2025高一上·广州期中）若正数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
7．（2025高一上·广州期中）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高一上·广州期中）对于，函数都满足，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025高一上·广州期中）若实数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025高一上·广州期中）若不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．且
C．关于的不等式的解集是
D．关于的不等式的解集是
11．（2025高一上·广州期中）对于任意的，若用函数表示中的较大者，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象不可能是一条直线
B．的图象可能是一条抛物线
C．当时，的值域为
D．若关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，则实数的取值范围是
12．（2025高一上·广州期中）函数的定义域是 .
13．（2025高一上·广州期中）已知幂函数在上单调递减．的值为 ．
14．（2025高一上·广州期中）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是 .
15．（2025高一上·广州期中）计算：
（1）；
（2）；
16．（2025高一上·广州期中）已知函数，定义域为.
（1）试判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）求函数的值域.
17．（2025高一上·广州期中）已知集合.
（1）若，求；
（2）设命题；命题，若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．（2025高一上·广州期中）某商家利用电商平台销售一种季节性电子产品，已知该产品的成本为每件40元，销售单价（元）与日销售量（件）的对应关系如下表所示（销售单价不低于成本且不高于100元且变量与变量成一次函数关系）：
销售单价（元） 50 60
日销售量（件） 100 80
该平台为了促进销售，决定当销售单价不超过65元时，向商家提供每件2元的物流补贴；当销售单价超过65元时，不再提供补贴．设该产品的商家日利润为（元）.
（1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）求与之间的函数关系式；
（3）当销售单价为多少元时，日利润最大？最大日利润是多少元？
19．（2025高一上·广州期中）已知函数，且．
（1）求及的值；
（2）判断的奇偶性并证明；
（3）若当时，，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；常见的数集
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：D
【分析】一一列举集合B中元素，再利用集合的交集运算求解.
2．【答案】D
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：命题“”的否定是，
故答案为：D
【分析】利用全称量词命题的否定，先将变为，再将变为可得出结论.
3．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】A、在定义域R上单调递减，该选项错误，不合题意；
B、在定义域R上是奇函数且单调递增，该选项正确，符合题意；
C、在和上单调递减，该选项错误，不合题意；
D、在定义域R上单调递减，该选项错误，不合题意.
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域、奇偶性，再对选项逐一分析单调性，由此选出正确选项.
4．【答案】B
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令，得，所以函数过定点.
故答案为：B.
【分析】将代入 即可求得定点坐标.
5．【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值
【解析】【解答】解：由题意，，所以.
故答案为：A.
【分析】根据分段函数的解析式，先将-1代入第一个式子，求出，再将结果代入第二个式子即可求出.
6．【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为25.
故答案为：C.
【分析】利用“1”将所求式子代换结合基本不等式求解.
7．【答案】A
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的图象；指数函数的图象与性质；指数函数的图象变换
【解析】【解答】解：由二次函数（其中）的图象可得，
所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD；
因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B；
故答案为：A
【分析】根据二次函数的图象特征确定相关参数或范围，再结合指数函数的图象性质进行分析推理，即可得出判断结果.
8．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：由函数满足，对任意，，则的图象关于对称，
又在上单调递增，故在上单调递减，，
因为，所以，即.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知函数图象具有对称性，关于对称，结合该对称特征与函数的单调性，即可完成相关判断.
9．【答案】B,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、当时，，该选项错误，不合题意；
B、因为，且单调递增，所以，该选项正确，符合题意；
C、当时，，该选项错误，不合题意；
D、因为，，所以，该选项正确，符合题意；
故答案为：BD
【分析】选项 A 通过代入特殊值验证判断；选项 B 借助指数函数的单调性分析判断；选项 C 在特定条件下时，，可直接判定错误；选项 D 依据不等式的基本性质推导判断.
10．【答案】A,B,D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的解集
【解析】【解答】A、由不等式的解集为，所以，该选项正确，符合题意；
B、根据题意，是方程的两根，
则，即，又，所以，，则，该选项正确，符合题意；
C、由，不等式变为，得，
即不等式的解集为，该选项错误，不合题意；
D、由，，不等式可变为，
解得或，该选项正确，符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】由不等式的解集为，确定二次项系数 a<0 可判断A；由方程可得，，，可判断B ；将对相关表达式进行化简运算，通过计算结果判断选项 C；代入原不等式，转化为关于 x 的简单不等式，求解后判断选项D.
11．【答案】A,B
【知识点】函数的值域；一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次不等式的对应关系；不等式的解集
【解析】【解答】解：A由，故总存在使得，
又，所以不可能始终等于，即的图象不可能是一条直线，该选项正确，符合题意；
B、由，当，即时，得恒成立，
即恒成立，故，所以的图象可能是一条抛物线，该选项正确，符合题意；
C、当时，，令，即得，解得，
当或时，，此时，
当时，，此时，有，
综上，的值域为，该选项错误，不合题意；
D、由，当时，，
当或时，，此时，
当时，，此时，
又当时，，所以关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，即为，
所以，解得，
所以实数的取值范围为，该选项错误，不合题意.
故答案为：AB.
【分析】将两函数作差得一元二次函数，不可能始终等于，则总存在使得，可判断A；由需恒成立即当，可判断B；令，得，分情况可求出的值域，判断C；由题关于的不等式的解集中有且仅有这个整数，得不等式方程组，解不等式得解可判断D.
12．【答案】
【知识点】交集及其运算；简单函数定义域
【解析】【解答】解：由题意，可得，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列方程组，解出可得定义域.
13．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，在区间上单调递减，
当时，在上单调递增，不满足题意，
故．
故答案为：
【分析】根据幂函数的结构特征，系数为1，指数为正，求出m.
14．【答案】
【知识点】交集及其运算；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题，可得函数在R上单调递增，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据利用分段函数单调性，可得在R上单调递增，再列式求解.
15．【答案】（1）解：
.
（2）解：
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【分析】（1）运用指数幂的运算性质对表达式进行化简，即可得出结果；
（2）依据对数的运算法则展开计算，进而求得答案.
（1）.
（2）
.
16．【答案】（1）证明：函数在上是增函数，
证明：任取，且，又，
，且，，
那么，即，
函数在上是增函数.
（2）解：函数在上是增函数，且，
，解得，
实数的取值范围为.
（3）解：，，，
则，，，，
函数的值域为.
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）任取，且，作差，化简，比较商式的正负，通过其符号判定函数单调性；
（2）由函数单调递增及定义域，将函数值的大小比较转化为自变量的大小关系，得不等式组可解；
（3）将函数分离常数为，利用函数定义域，得x+1范围，可得的值域.
（1）函数在上是增函数，
证明：任取，且，又，
，且，，
那么，即，
函数在上是增函数.
（2）函数在上是增函数，且，
，解得，
实数的取值范围为.
（3），，，
则，，，，
函数的值域为.
17．【答案】（1）解：由，得，解得，则，
当时，变为，
解得，则，
.
（2）解：若命题是命题的充分不必要条件，即，
当时，，又，满足题意；
当时，不等式变为，且，
所以解得，即，
要使得，则，解得；
当时，有，解得或，
即，满足 ；
当时，，满足题意；
当时，有，解得或，
即，满足题意；
当时，有，可得，又，不满足；
综上，满足题意的实数的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；充分条件；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）解分式不等式得集合，因式分解表示集合B，再根据并集运算求解；
（2）由题可得，由（1）对集合中两根大小进行依次讨论，求解.
（1）由，得，解得，则，
当时，变为，
解得，则，
.
（2）若命题是命题的充分不必要条件，即 ，
当时，，又，满足题意；
当时，不等式变为，且，
所以解得，即，
要使得 ，则，解得；
当时，有，解得或，
即，满足 ；
当时，，满足题意；
当时，有，解得或，
即，满足题意；
当时，有，可得，又，不满足 ；
综上，满足题意的实数的取值范围为.
18．【答案】（1）解：由题，设，
由表中数据可得：，解得，
所以，由，得，得，
所以所求函数关系为，.
（2）解：由（1），，.
当，即时，，
当，即时，，
所以所求函数关系为.
（3）解：当时，，当且仅当时，等号成立；
当时，在上单调递减，
则当时，函数取得最大值，
而，因此当，即时，函数取得最大值，
所以当销售单价为65元时，日利润取得最大值元.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数模型
【解析】【分析】（1）利用待定系数法设出一次函数关系，列出方程组可求出k，b的值，代入得到函数解析式，代入可求出自变量的范围.
（2）结合（1）的结论，分别列出解析式，，可得分段函数.
（3）对分段函数，依次将每段求出最大值，再比较大小可得整个分段函数最值.
（1）由题，设，
由表中数据可得：，解得，
所以，由，得，得，
所以所求函数关系为，.
（2）由（1），，.
当，即时，，
当，即时，，
所以所求函数关系为.
（3）当时，，当且仅当时，等号成立；
当时，在上单调递减，
则当时，函数取得最大值，
而，因此当，即时，函数取得最大值，
所以当销售单价为65元时，日利润取得最大值元.
19．【答案】（1）解：，解得：．
所以，
故
（2）解：是奇函数．
证明如下：的定义域为，
，
所以是奇函数．
（3）解：，即，
整理得：，
两边同乘以，得，
当时，，所以上式等价于．
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以的取值范围是．
【知识点】函数的奇偶性；函数的值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法和函数的解析式，进而得出实数a的值，从而得出函数的解析式，再结合函数的解析式和代入法，进而得出 的值。
（2）利用已知条件结合奇函数的定义，进而判断出函数f(x)为奇函数。
（3）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围。
1 / 1广东省广州市第八十九中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题
1．（2025高一上·广州期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；常见的数集
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：D
【分析】一一列举集合B中元素，再利用集合的交集运算求解.
2．（2025高一上·广州期中）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：命题“”的否定是，
故答案为：D
【分析】利用全称量词命题的否定，先将变为，再将变为可得出结论.
3．（2025高一上·广州期中）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】A、在定义域R上单调递减，该选项错误，不合题意；
B、在定义域R上是奇函数且单调递增，该选项正确，符合题意；
C、在和上单调递减，该选项错误，不合题意；
D、在定义域R上单调递减，该选项错误，不合题意.
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域、奇偶性，再对选项逐一分析单调性，由此选出正确选项.
4．（2025高一上·广州期中）函数且经过定点的坐标（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令，得，所以函数过定点.
故答案为：B.
【分析】将代入 即可求得定点坐标.
5．（2025高一上·广州期中）若，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值
【解析】【解答】解：由题意，，所以.
故答案为：A.
【分析】根据分段函数的解析式，先将-1代入第一个式子，求出，再将结果代入第二个式子即可求出.
6．（2025高一上·广州期中）若正数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为25.
故答案为：C.
【分析】利用“1”将所求式子代换结合基本不等式求解.
7．（2025高一上·广州期中）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的图象；指数函数的图象与性质；指数函数的图象变换
【解析】【解答】解：由二次函数（其中）的图象可得，
所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD；
因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B；
故答案为：A
【分析】根据二次函数的图象特征确定相关参数或范围，再结合指数函数的图象性质进行分析推理，即可得出判断结果.
8．（2025高一上·广州期中）对于，函数都满足，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：由函数满足，对任意，，则的图象关于对称，
又在上单调递增，故在上单调递减，，
因为，所以，即.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知函数图象具有对称性，关于对称，结合该对称特征与函数的单调性，即可完成相关判断.
9．（2025高一上·广州期中）若实数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、当时，，该选项错误，不合题意；
B、因为，且单调递增，所以，该选项正确，符合题意；
C、当时，，该选项错误，不合题意；
D、因为，，所以，该选项正确，符合题意；
故答案为：BD
【分析】选项 A 通过代入特殊值验证判断；选项 B 借助指数函数的单调性分析判断；选项 C 在特定条件下时，，可直接判定错误；选项 D 依据不等式的基本性质推导判断.
10．（2025高一上·广州期中）若不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．且
C．关于的不等式的解集是
D．关于的不等式的解集是
【答案】A,B,D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的解集
【解析】【解答】A、由不等式的解集为，所以，该选项正确，符合题意；
B、根据题意，是方程的两根，
则，即，又，所以，，则，该选项正确，符合题意；
C、由，不等式变为，得，
即不等式的解集为，该选项错误，不合题意；
D、由，，不等式可变为，
解得或，该选项正确，符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】由不等式的解集为，确定二次项系数 a<0 可判断A；由方程可得，，，可判断B ；将对相关表达式进行化简运算，通过计算结果判断选项 C；代入原不等式，转化为关于 x 的简单不等式，求解后判断选项D.
11．（2025高一上·广州期中）对于任意的，若用函数表示中的较大者，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象不可能是一条直线
B．的图象可能是一条抛物线
C．当时，的值域为
D．若关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，则实数的取值范围是
【答案】A,B
【知识点】函数的值域；一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次不等式的对应关系；不等式的解集
【解析】【解答】解：A由，故总存在使得，
又，所以不可能始终等于，即的图象不可能是一条直线，该选项正确，符合题意；
B、由，当，即时，得恒成立，
即恒成立，故，所以的图象可能是一条抛物线，该选项正确，符合题意；
C、当时，，令，即得，解得，
当或时，，此时，
当时，，此时，有，
综上，的值域为，该选项错误，不合题意；
D、由，当时，，
当或时，，此时，
当时，，此时，
又当时，，所以关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，即为，
所以，解得，
所以实数的取值范围为，该选项错误，不合题意.
故答案为：AB.
【分析】将两函数作差得一元二次函数，不可能始终等于，则总存在使得，可判断A；由需恒成立即当，可判断B；令，得，分情况可求出的值域，判断C；由题关于的不等式的解集中有且仅有这个整数，得不等式方程组，解不等式得解可判断D.
12．（2025高一上·广州期中）函数的定义域是 .
【答案】
【知识点】交集及其运算；简单函数定义域
【解析】【解答】解：由题意，可得，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列方程组，解出可得定义域.
13．（2025高一上·广州期中）已知幂函数在上单调递减．的值为 ．
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，在区间上单调递减，
当时，在上单调递增，不满足题意，
故．
故答案为：
【分析】根据幂函数的结构特征，系数为1，指数为正，求出m.
14．（2025高一上·广州期中）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】交集及其运算；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题，可得函数在R上单调递增，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据利用分段函数单调性，可得在R上单调递增，再列式求解.
15．（2025高一上·广州期中）计算：
（1）；
（2）；
【答案】（1）解：
.
（2）解：
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【分析】（1）运用指数幂的运算性质对表达式进行化简，即可得出结果；
（2）依据对数的运算法则展开计算，进而求得答案.
（1）.
（2）
.
16．（2025高一上·广州期中）已知函数，定义域为.
（1）试判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）求函数的值域.
【答案】（1）证明：函数在上是增函数，
证明：任取，且，又，
，且，，
那么，即，
函数在上是增函数.
（2）解：函数在上是增函数，且，
，解得，
实数的取值范围为.
（3）解：，，，
则，，，，
函数的值域为.
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）任取，且，作差，化简，比较商式的正负，通过其符号判定函数单调性；
（2）由函数单调递增及定义域，将函数值的大小比较转化为自变量的大小关系，得不等式组可解；
（3）将函数分离常数为，利用函数定义域，得x+1范围，可得的值域.
（1）函数在上是增函数，
证明：任取，且，又，
，且，，
那么，即，
函数在上是增函数.
（2）函数在上是增函数，且，
，解得，
实数的取值范围为.
（3），，，
则，，，，
函数的值域为.
17．（2025高一上·广州期中）已知集合.
（1）若，求；
（2）设命题；命题，若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由，得，解得，则，
当时，变为，
解得，则，
.
（2）解：若命题是命题的充分不必要条件，即，
当时，，又，满足题意；
当时，不等式变为，且，
所以解得，即，
要使得，则，解得；
当时，有，解得或，
即，满足 ；
当时，，满足题意；
当时，有，解得或，
即，满足题意；
当时，有，可得，又，不满足；
综上，满足题意的实数的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；充分条件；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）解分式不等式得集合，因式分解表示集合B，再根据并集运算求解；
（2）由题可得，由（1）对集合中两根大小进行依次讨论，求解.
（1）由，得，解得，则，
当时，变为，
解得，则，
.
（2）若命题是命题的充分不必要条件，即 ，
当时，，又，满足题意；
当时，不等式变为，且，
所以解得，即，
要使得 ，则，解得；
当时，有，解得或，
即，满足 ；
当时，，满足题意；
当时，有，解得或，
即，满足题意；
当时，有，可得，又，不满足 ；
综上，满足题意的实数的取值范围为.
18．（2025高一上·广州期中）某商家利用电商平台销售一种季节性电子产品，已知该产品的成本为每件40元，销售单价（元）与日销售量（件）的对应关系如下表所示（销售单价不低于成本且不高于100元且变量与变量成一次函数关系）：
销售单价（元） 50 60
日销售量（件） 100 80
该平台为了促进销售，决定当销售单价不超过65元时，向商家提供每件2元的物流补贴；当销售单价超过65元时，不再提供补贴．设该产品的商家日利润为（元）.
（1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）求与之间的函数关系式；
（3）当销售单价为多少元时，日利润最大？最大日利润是多少元？
【答案】（1）解：由题，设，
由表中数据可得：，解得，
所以，由，得，得，
所以所求函数关系为，.
（2）解：由（1），，.
当，即时，，
当，即时，，
所以所求函数关系为.
（3）解：当时，，当且仅当时，等号成立；
当时，在上单调递减，
则当时，函数取得最大值，
而，因此当，即时，函数取得最大值，
所以当销售单价为65元时，日利润取得最大值元.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数模型
【解析】【分析】（1）利用待定系数法设出一次函数关系，列出方程组可求出k，b的值，代入得到函数解析式，代入可求出自变量的范围.
（2）结合（1）的结论，分别列出解析式，，可得分段函数.
（3）对分段函数，依次将每段求出最大值，再比较大小可得整个分段函数最值.
（1）由题，设，
由表中数据可得：，解得，
所以，由，得，得，
所以所求函数关系为，.
（2）由（1），，.
当，即时，，
当，即时，，
所以所求函数关系为.
（3）当时，，当且仅当时，等号成立；
当时，在上单调递减，
则当时，函数取得最大值，
而，因此当，即时，函数取得最大值，
所以当销售单价为65元时，日利润取得最大值元.
19．（2025高一上·广州期中）已知函数，且．
（1）求及的值；
（2）判断的奇偶性并证明；
（3）若当时，，求的取值范围．
【答案】（1）解：，解得：．
所以，
故
（2）解：是奇函数．
证明如下：的定义域为，
，
所以是奇函数．
（3）解：，即，
整理得：，
两边同乘以，得，
当时，，所以上式等价于．
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以的取值范围是．
【知识点】函数的奇偶性；函数的值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法和函数的解析式，进而得出实数a的值，从而得出函数的解析式，再结合函数的解析式和代入法，进而得出 的值。
（2）利用已知条件结合奇函数的定义，进而判断出函数f(x)为奇函数。
（3）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围。
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