第十三单元 三角函数的概念、诱导公式A卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.cos 330°+tan 600°=( )
A. B. C. D.
1.D cos 330°+tan 600°=cos(360°-30°)+tan(360°+180°+60°)=cos(-30°)+tan(180°+60°)=cos 30°+tan 60°=+=.
2.已知cos(2x-)=-,则sin(-2x)=( )
A. B.- C. D.-
2.C 给值求值问题
解题路线 确定已知角和所求角的关系→选定诱导公式→代入求值.
cos(2x-)=-,则sin(-2x)=-sin(2x-)=-sin[(2x-)+]=-cos(2x-)=.
3.设角α的始边为x轴非负半轴,则“角α的终边在第二或第三象限”是“cos α<0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.A 角α的终边在第二或第三象限,则一定有cos α<0成立,反之不一定成立,如α=π,cos π=-1<0,但角α的终边在x轴负半轴上,所以“角α的终边在第二或第三象限”是“cos α<0”的充分不必要条件.
4.【模块综合】函数y=++的值域的真子集的个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.7
4.D 分θ的终边在第一、二、三、四象限及坐标轴上讨论,根据三角函数值的正负求得值域,再得到真子集的个数.当θ的终边在第一象限时,y=++=++=1+2+1=4;当θ的终边在第二象限时,y=++=++=1-2-1=-2;当θ的终边在第三象限时,y=++=++=-1-2+1=-2;当θ的终边在第四象限时,y=++=++=-1+2-1=0;当θ的终边在坐标轴上时,函数无意义.综上,函数的值域为{-2,0,4},所以有23-1=7个真子集.
5.已知f(x)=,若f(α)=-2,则=( )
A.3 B.-3 C.2 D.-2
6.已知角α∈(-,0),且tan2α-3tan αsin α-4sin2α=0,则sin(α+2 025π)=( )
A. B. C.- D.-
7.数学家泰勒发现可以通过多项式函数来近似计算某些函数的函数值,并得到了如下公式cos x=1-+-…+(-1)n×+…(x∈R,n∈N*),其中n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,并且只要计算足够多的项就可以确保精确性,若函数f(x)=sin(x+),≈0.041 667,≈0.001 389,用前四项进行计算,结果精确到小数点后4位,则f(-1)=( )
A.0.560 3 B.0.590 3
C.0.540 3 D.0.640 3
7.C 因为f(-1)=sin(-1+)=sin(-1)=cos 1,所以f(-1)=cos 1=1-+-++…+(-1)k-1×+…(k∈N*),又因为n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,所以f(-1)=cos 1≈1-+-≈1-+0.041 667-0.001 389=0.540 278≈0.540 3.
8.若点Pk的坐标为(sinπ,sinπ),始边为x轴非负半轴,终边为射线OPk的角为θk(O为坐标原点),则cos θ1+cos θ2+cos θ3+…+cos θ25=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
8.B Pk(sinπ,sinπ),由sinπ=cos(-π)=cosπ得Pk(cosπ,sinπ),由三角函数定义知cos θk==cosπ,
方法一 cos θ1+cos θ2+cos θ3+…+cos θ25=cosπ+cosπ+…+cosπ+cosπ,因为π-π=π,所以cosπ+cosπ=0,所以cosπ+cosπ=0,cosπ+cosπ=0,…,cosπ+cosπ=0,cosπ=0,所以cos θ1+cos θ2+cos θ3+…+cos θ25=0.
方法二 数形结合,画图(图略)可以看出θ1,θ2,…,θ24所在终边刚好将单位圆均分成24份,θi,θ12+i(i=1,2,3,…,12)的终边关于原点对称,即cos θi+cos θ12+i=0,所以cos θ1+cos θ2+cos θ3+…+cos θ24=0,而cos θ25=0,故cos θ1+cos θ2+cos θ3+…+cos θ25=0.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.下列三角函数值为的是( )
A.sin(nπ+)(n∈Z)
B.cos(2nπ-)(n∈Z)
C.sin[(2n+1)π-](n∈Z)
D.cos(π+)(n∈Z)
9.BC 列表【解析】直观解疑惑
10.已知函数f(x)=,且f(α)=2,α∈(0,π),则下列结论正确的是( )
A.f(2 025π-α)=
B.tan α=
C.sin2α-2sin αcos α=
D.sin4(+α)+cos4(-α)=
10.AC B( )由f(α)==2得=2,解得tan α=-3.
A(√)f(2 025π-α)====.
C(√)sin2α-2sin αcos α=(“1”的灵活运用,使得分子分母均为二次齐次式)=(通常利用弦化切来求齐次式)==.
D( )sin αcos α====-,sin4(+α)+cos4(-α)=cos4α+sin4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-2sin2αcos2α=1-2(sin αcos α)2=1-2×=.
11.【模块综合】如图,质点P和Q从单位圆O上同时出发且按逆时针做匀速圆周运动.点P的起始位置坐标为(,),角速度为1 rad/s,点Q的起始位置坐标为(1,0),角速度为2 rad/s,则( )
A.在1 s末,点Q的坐标为(sin 2,cos 2)
B.在 s末,点P,Q在单位圆上第一次重合
C.在1 s末,扇形POQ的弧长为1-
D.在 s末,△POQ的面积为
11.BCD 由题设,起始位置时,∠POQ=,则t s末P的坐标为(cos(t+),sin(t+)),Q的坐标为(cos 2t,sin 2t),
A( )在1 s末,Q的坐标为(cos 2,sin 2).
B(√)若P,Q重合,则t+=2t+2kπ,k∈Z,故t=-2kπ,k∈Z,又t≥0,故tmin=,故在 s末,点P,Q在单位圆上第一次重合.
C(√)在1 s末,P在角1+的终边上,Q在角2的终边上,故扇形POQ的弧长为(2-1-)×1=1-.
D(√)△POQ的面积为×1×1×|sin(2t-t-)|=×1×1×|sin(t-)|,当t=时,△POQ的面积为×1×1×|sin(-)|=.
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.已知在三角形ABC中,sin A=,则cos(B+C)= .
12.± 因为在三角形ABC中,A+B+C=π,所以B+C=π-A,所以cos(B+C)=cos(π-A)=-cos A,又sin A=,所以cos A=±=±,所以cos(B+C)=±.
13.若sin α,cos α是关于x的方程x2+mx+m=0的两个不等实根,则m= .
13.1- 由题设得Δ=m2-4m>0,解得m>4或m<0.
方法一 由sin α,cos α是关于x的方程x2+mx+m=0的两个不等实根可得又sin2α+cos2α=1,∴(sin α+cos α)2-2sin αcos α=1,即m2-2m-1=0,解得m=1+或1-,又m=1+不满足条件,舍去,∴m=1-.
方法二 由sin α,cos α是关于x的方程x2+mx+m=0的两个不等实根可得两式分别相加与相减可得由sin α≠cos α可得sin α+cos α=-m,代入①可得m2-2m-1=0,解得m=1+或1-,又m=1+不满足条件,舍去,∴m=1-.
14.已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于第四象限内的点P(x,y).若x=,则的值为 ;若sin4α-cos4α=-,则sin αcos α的值为 .(本题第一空2分,第二空3分)
14. 由角α的终边与单位圆交于第四象限内的点P(x,y),知sin α=y,cos α=x,tan α=,x2+y2=1,由x=,得y=-=-,则tan α===-,再由诱导公式可得====.因为sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1=-,所以sin2α=,又α是第四象限角,所以sin α<0,cos α>0,即sin α=-,则sin αcos α=sin α=-×=-.
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)【开放创新】在①2tan(π-α)=-1,②cos(π-α)+cos(α-)=sin(-α),③点P(2a,a)(a≠0)在角α的终边上这三个条件中,选择其中一个,解决下面的问题.
(1)求tan α的值;
(2)若角α的终边在第三象限,求2sin(2π-α)-cos(π+α)的值.
注:若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
15.【解析】 (1)若选①2tan(π-α)=-1,
则2tan(π-α)=2tan(-α)=-2tan α=-1,即tan α=.(5分)
若选②cos(π-α)+cos(α-)=sin(-α),
则cos(π-α)+cos(α-)=-cos α+sin α=sin(-α)=-sin α,即tan α=.(5分)
若选③点P(2a,a)(a≠0)在角α的终边上,即tan α=.(5分)
(2)2sin(2π-α)-cos(π+α)=-2sin α+cos α,
若角α的终边在第三象限,则sin α<0,cos α<0,
又因为tan α==,sin2α+cos2α=1,
所以sin α=-,cos α=-,
所以2sin(2π-α)-cos(π+α)=-2sin α+cos α=-=0.(13分)
16.(15分)(1)当0<α<时,证明:sin α+cos α>1;
(2)求证:=.
16.【解析】 (1)设角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,
则角α的终边与单位圆的交点P在第一象限,设点P的坐标为(x,y).(2分)
方法一 易知0所以(x+y)2=x2+y2+2xy>1,所以x+y>1.(5分)
由三角函数的定义可知sin α=y,cos α=x,所以sin α+cos α>1.(7分)
方法二 如图,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,(3分)
则sin α=|MP|,cos α=|OM|,|OP|=1,(5分)
由三角形两边之和大于第三边,可知|MP|+|OM|>|OP|,
即sin α+cos α>1.(7分)
(2)方法一 左边=== ===右边.(15分)
方法二 (sin α-cos α+1)cos α=sin αcos α-cos2α+cos α=sin αcos α+cos α-(1-sin2α)=cos α(sin α+1)-(1+sin α)(1-sin α)=(1+sin α)(cos α-1+sin α)=(1+sin α)(sin α+cos α-1), (12分)
因为sin α+cos α-1≠0,cos α≠0, (14分)
所以= .(15分)
17.(15分)已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π).
(1)求sin θ-cos θ的值;
(2)已知f(θ)=-,先化简f(θ)再求值.
17.【解析】 (1)方法一 第一步:由角的范围判断正弦函数值的符号
因为θ∈(0,π),所以sin θ>0.(2分)
第二步:根据同角三角函数的基本关系可得出关于sin θ,cos θ的方程组
又sin θ+cos θ=,联立sin2θ+cos2θ=1,
得(5分)
第三步:解方程组,即可得sin θ-cos θ的值
解得所以sin θ-cos θ=.(7分)
方法二 第一步:利用平方关系求出2sin θcos θ的值
因为sin θ+cos θ=,所以(sin θ+cos θ)2=,
所以1+2sin θcos θ=,即2sin θcos θ=-<0.(3分)
第二步:结合角的范围分析得出sin θ-cos θ的符号
因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,则cos θ<0,所以sin θ-cos θ>0.(5分)
第三步:利用平方关系求出sin θ-cos θ的值
因为(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,所以sin θ-cos θ=.(7分)
(2)方法一 第一步:利用诱导公式化简f(θ)
f(θ)=-=-=-.(12分)
第二步:根据(1)中sin θ,cos θ的值代入计算可得出f(θ)的值
由(1)得所以f(θ)=·(-)-=--4=-.(15分)
方法二 第一步:利用诱导公式化简f(θ)
f(θ)=-=-=tan θ-.(12分)
第二步:根据(1)中的结果求出tan θ的值,代值计算可得出f(θ)的值
由(1)得sin θ=,cos θ=-,所以tan θ==-,
所以f(θ)=tan θ-=--=-.(15分)
18.(17分)【探索新定义】三角函数变形化简中常用“切割化弦”的技巧.其中“弦”指正弦函数与余弦函数,“切”指正切函数与余切函数,“割”指正割函数与余割函数.设α是一个任意角,如图所示,它的终边上任意一点P(不与原点重合)的坐标为(x,y),P与原点O的距离为r,则α的正割函数定义为sec α=,余割函数定义为csc α=.
(1)证明:2sec2α+sin2α+2csc2α+cos2α≥9;
(2)若α为第二象限角且sec α=-,求sin(α-)·+sin α·的值.
18.【解析】 (1)因为sec α=,csc α=,所以sec α=, csc α=,(2分)
2sec2α+sin2α+2csc2α+cos2α=1++=1+2(+)(sin2α+cos2α)=5+2(+)≥9,当且仅当sin2α=cos2α=时,等号成立.(9分)
(2)由题意知cos α=-,且α为第二象限角,
所以sin α===,(11分)
所以sin(α-)+sin α=cos α+sin α=(-)×+×=-×3+×=-.(17分)
19.(17分)如图,已知直线l1∥l2,A,C分别在直线l1,l2上,B是l1,l2之间的定点,点B到l1,l2的距离分别为1,2,AB⊥BC.设∠BAM=θ.
(1)用θ表示边AB,BC的长度.
(2)若△ABC为等腰三角形,求△ABC的面积.
(3)设l=AB+BC,问:是否存在θ,使得l=4 若存在,请求出tan θ的值;若不存在,请说明理由.
19.【解析】 (1)由题意得BM=1,BN=2,
因为∠BAM=θ,AB⊥BC,
所以∠CBN=θ,
故AB==,BC==.(4分)
(2)由(1)得,AB=,BC=,
故=,即cos θ=2sin θ,
又sin2θ+cos2θ=1,所以5sin2θ=1,即sin2θ=,
所以S△ABC=()2=×5=.(10分)
(3)由(1)得,AB=,BC=,
故l=+≥2=2,
当且仅当=,即tan θ=时,等号成立.(14分)
又sin θcos θ≤=,则2≥4,当且仅当θ=时,等号成立,
显然tan θ=与θ=不会同时成立,
故l>4,不存在θ,使得l=4.(17分)第十三单元 三角函数的概念、诱导公式A卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.cos 330°+tan 600°=( )
A. B. C. D.
2.已知cos(2x-)=-,则sin(-2x)=( )
A. B.- C. D.-
3.设角α的始边为x轴非负半轴,则“角α的终边在第二或第三象限”是“cos α<0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.【模块综合】函数y=++的值域的真子集的个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.7
5.已知f(x)=,若f(α)=-2,则=( )
A.3 B.-3 C.2 D.-2
6.已知角α∈(-,0),且tan2α-3tan αsin α-4sin2α=0,则sin(α+2 025π)=( )
A. B. C.- D.-
7.数学家泰勒发现可以通过多项式函数来近似计算某些函数的函数值,并得到了如下公式cos x=1-+-…+(-1)n×+…(x∈R,n∈N*),其中n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,并且只要计算足够多的项就可以确保精确性,若函数f(x)=sin(x+),≈0.041 667,≈0.001 389,用前四项进行计算,结果精确到小数点后4位,则f(-1)=( )
A.0.560 3 B.0.590 3
C.0.540 3 D.0.640 3
8.若点Pk的坐标为(sinπ,sinπ),始边为x轴非负半轴,终边为射线OPk的角为θk(O为坐标原点),则cos θ1+cos θ2+cos θ3+…+cos θ25=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.下列三角函数值为的是( )
A.sin(nπ+)(n∈Z)
B.cos(2nπ-)(n∈Z)
C.sin[(2n+1)π-](n∈Z)
D.cos(π+)(n∈Z)
10.已知函数f(x)=,且f(α)=2,α∈(0,π),则下列结论正确的是( )
A.f(2 025π-α)=
B.tan α=
C.sin2α-2sin αcos α=
D.sin4(+α)+cos4(-α)=
11.【模块综合】如图,质点P和Q从单位圆O上同时出发且按逆时针做匀速圆周运动.点P的起始位置坐标为(,),角速度为1 rad/s,点Q的起始位置坐标为(1,0),角速度为2 rad/s,则( )
A.在1 s末,点Q的坐标为(sin 2,cos 2)
B.在 s末,点P,Q在单位圆上第一次重合
C.在1 s末,扇形POQ的弧长为1-
D.在 s末,△POQ的面积为
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.已知在三角形ABC中,sin A=,则cos(B+C)= .
13.若sin α,cos α是关于x的方程x2+mx+m=0的两个不等实根,则m= .
14.已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于第四象限内的点P(x,y).若x=,则的值为 ;若sin4α-cos4α=-,则sin αcos α的值为 .(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)【开放创新】在①2tan(π-α)=-1,②cos(π-α)+cos(α-)=sin(-α),③点P(2a,a)(a≠0)在角α的终边上这三个条件中,选择其中一个,解决下面的问题.
(1)求tan α的值;
(2)若角α的终边在第三象限,求2sin(2π-α)-cos(π+α)的值.
注:若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
16.(15分)(1)当0<α<时,证明:sin α+cos α>1;
(2)求证:=.
17.(15分)已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π).
(1)求sin θ-cos θ的值;
(2)已知f(θ)=-,先化简f(θ)再求值.
18.(17分)【探索新定义】三角函数变形化简中常用“切割化弦”的技巧.其中“弦”指正弦函数与余弦函数,“切”指正切函数与余切函数,“割”指正割函数与余割函数.设α是一个任意角,如图所示,它的终边上任意一点P(不与原点重合)的坐标为(x,y),P与原点O的距离为r,则α的正割函数定义为sec α=,余割函数定义为csc α=.
(1)证明:2sec2α+sin2α+2csc2α+cos2α≥9;
(2)若α为第二象限角且sec α=-,求sin(α-)·+sin α·的值.
19.(17分)如图,已知直线l1∥l2,A,C分别在直线l1,l2上,B是l1,l2之间的定点,点B到l1,l2的距离分别为1,2,AB⊥BC.设∠BAM=θ.
(1)用θ表示边AB,BC的长度.
(2)若△ABC为等腰三角形,求△ABC的面积.
(3)设l=AB+BC,问:是否存在θ,使得l=4 若存在,请求出tan θ的值;若不存在,请说明理由.
