第十三单元 三角函数的概念、诱导公式A卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025马鞍山二中高一开学考试]已知角θ的终边经过点(,-1),则sin θ=( )
A. B.- C. D.-
1.D 角θ的终边经过点(,-1),则sin θ==-.
2.[2025合肥一中高一开学考试]cos 855°的值是( )
A. B.- C. D.-
2.D 观察855°为非特殊角,先利用诱导公式一、四化简为特殊角的三角函数,进而求值.cos 855°=cos(720°+135°)=cos 135°=cos(180°-45°)=-cos 45°=-.
3.[2025东营一中模拟]已知tan α=-2,则=( )
A.-2 B.2 C.- D.
3.A 根据tan α=-2,结合目标式想到先利用诱导公式化简,再进行弦化切,最后代入求值.==-=-2.
4.[2025苏州中学高一期末]“点P(sin θ,tan θ)在第二象限”是“角θ为第三象限角”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.C 若点P(sin θ,tan θ)在第二象限,则sin θ<0,tan θ>0,则角θ为第三象限角,故充分性成立,若角θ为第三象限角,则sin θ<0,tan θ>0,则点P(sin θ,tan θ)在第二象限,故必要性成立,∴“点P(sin θ,tan θ)在第二象限”是“角θ为第三象限角”的充要条件.
5.[2025海南中学高一期末]已知0°<α<180°,且角α的终边经过点(tan 220°,1),则α=( )
A.30° B.40° C.50° D.55°
6.[2024江苏省镇江市高一期末]已知cos(α+)=-,α∈(0,),则cos(-α)的值为( )
A.- B.- C. D.
6.D 同角三角函数的基本关系+诱导公式
思路导引 由α∈(0,)得α+∈(,),根据同角三角函数的基本关系求得sin(α+)的值,再根据诱导公式,即可求得答案.
因为α∈(0,),所以α+∈(,),则由cos(α+)=-,可得sin(α+)==,故cos(-α)=cos[-(α+)]=sin(α+)=互余).
7.[2024北师大实验中学高一期中改编]如果角α的终边在直线y=2x上,则5sin2α+3sin αcos α-2=( )
A.- B.
C.- D.或-
7.B 因为角α的终边在直线y=2x上,所以设直线y=2x上一点(m,2m)(m≠0),可得tan α==2.所以5sin2α+3sin αcos α-2=5sin2α+3sin αcos α-2(sin2α+cos2α)=3sin αcos α+3sin2α-2cos2α====.
8.【探索新定义】[2024西安交大附中高一期末]在平面直角坐标系xOy中,角θ以坐标原点O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,其终边经过点P(x0,y0),|OP|=r(r>0),定义μ(θ)=,v(θ)=,若v(θ)=,且θ∈(0,π),则μ(θ)=( )
A. B.1
C. D.
8.C 理解题意,化简得μ(θ)=sin θ+cos θ,v(θ)=sin θ-cos θ,再结合同角三角函数的基本关系分析.因为v(θ)=,且θ∈(0,π),所以由三角函数的定义可知,v(θ)===sin θ-cos θ=.
方法一 结合sin2θ+cos2θ=1解得sin θ=,cos θ=,所以μ(θ)===sin θ+cos θ=.
方法二 两边平方得1-2sin θcos θ=,则2sin θcos θ=,则1+2sin θcos θ=(sin θ+cos θ)2=,即sin θ+cos θ=,所以μ(θ)===sin θ+cos θ=.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025武汉二中高一期末]已知角θ的终边过(-3a,4a)(a≠0),则( )
A.角θ为第二象限角
B.tan θ=-
C.当a>0时,sin θ+cos θ=
D.sin θcos θ的值与a的正负有关
9.BC A( )若a<0,则角θ的终边在第四象限,即角θ为第四象限角.
B(√)由正切函数的定义,可得tan θ==-.
C(√)当a>0时,点(-3a,4a)到原点的距离r==5|a|=5a,所以sin θ+cos θ=+=.
D( )sin θcos θ=·===-,与a的正负无关.
10.【教材变式】[2024太原成成中学高一月考]在△ABC中,下列等式一定成立的是( )
A.sin(A+C)=sin B
B.tan(B+C)=tan A
C.sin =cos
D.sin2+cos2=1
10.AC 列表【解析】直观解疑惑
11.[2025华南师大附中高一期末]已知α∈(0,π),sin α+cos α=m,则下列说法正确的是( )
A.若m=1,则cos α=0
B.若m=,则cos α=-
C.若m=,则sin α-cos α=
D.m∈(-,)
11.ABC sin α+cos α=m,两边平方整理可得sin αcos α=,又α∈(0,π),则sin α>0.
A(√)若m=1,则sin αcos α=0,所以cos α=0.
B(√)若m=,则sin α+cos α=,sin αcos α=-,可知sin α,cos α为方程x2-x-=0的两个根(观察式子特征,结合根与系数的关系求解),又因为x2-x-=0的根为,-,所以sin α=,cos α=-.
C(√)若m=,则sin αcos α=-,可得(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+=,且sin α>0,cos α<0,可知sin α-cos α>0,所以sin α-cos α=.
D( )举反例说明即可.例如α=,则m=sin α+cos α=.
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025芜湖一中高一期末]化简:= .
12.-sin α ====-sin α.
13.【开放创新】[2025清华附中高一期末]已知α≠kπ+,k∈Z,写出满足sin α=cos β的一组α,β的值: .
13.α=(答案不唯一) 因为sin α=cos β,所以sin α=sin(-β)(诱导公式五的逆用),所以α=2kπ+-β,k∈Z或α=2kπ+π-(-β)=2kπ++β,k∈Z(两个角的正弦值相等,则两个角的终边相同或关于y轴对称),取k=0,β=,则α=或.
14.[2024上海市大同中学高一期末]在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的正半轴重合.点(-2,y)在角α终边上,且tan(π-α)=2,则sin α= .若角α与角β始边相同,终边关于直线y=x对称,则cos β= .(本题第一空2分,第二空3分)
14. 因为tan(π-α)=-tan α=2,所以tan α=-2,由点(-2,y)在角α终边上,所以tan α==-2,即y=4,所以sin α==.因为角α与角β始边相同,它们的终边关于直线y=x对称,所以=+kπ,k∈Z,即α+β=+2kπ,k∈Z,所以β=-α+2kπ,k∈Z(若终边关于直线y=-x对称,则β=--α+2kπ,k∈Z),因为sin α=,所以cos β=cos(-α+2kπ)=sin α=.
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2024深圳外国语学校高一期末]如图,已知单位圆O与x轴正半轴交于点M,点A在单位圆上,其中点A在第一象限,记∠MOA=α,将角α的终边逆时针旋转后与单位圆交于点B,记∠MOB=β.
(1)若α=,求点A,B的坐标;
(2)若点A的坐标为(,m),求sin α-sin β的值.
15.【解析】 (1)因为α=,所以cos α=,sin α=,所以点A的坐标为(,).(3分)
由题意,β=+α=,所以cos β=-,sin β=,
所以点B的坐标为(-,).(7分)
(2)由A点在单位圆上,得()2+m2=1,又点A位于第一象限,所以m=,
所以点A的坐标为(,),所以sin α=,cos α=,所以sin β=sin(+α)=cos α=,
所以sin α-sin β=-.(13分)
16.(15分)[2024重庆育才中学高一质量检测]已知sin α+cos α=-,且α是第二象限角.
(1)求tan α的值;
(2)求tan(3π+α)+的值.
16.【解析】 (1)由(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,
得sin αcos α=-,(2分)
方法一 (sin α-cos α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1+=,又α是第二象限角,所以cos α<0又sin α+cos α=-,所以sin α=,cos α=-,tan α=-.(8分)
方法二 因为α是第二象限角,sin α+cos α=-,所以cos α<0|sin α|,
所以==-,则2tan2α+5tan α+2=(2tan α+1)(tan α+2)=0,
所以tan α=-.(8分)
(2)原式=tan α+=tan α+=--=-.(15分)
17.(15分)[2025成都七中高一期末]已知函数f(x)=(cos x+)2-tan2x·sin2x.
(1)分别计算f(0),f(),f()和f()的值.
(2)根据(1)的计算结果,你发现了什么恒等关系 并证明你的结论.
17.【解析】 (1)f(0)=(1+1)2-0=4;(1分)
f()=(+)2-()2×()2=-=4;(3分)
f()=(+)2-12×()2=-=4;(5分)
f()=(+2)2-()2×()2=-=4.(7分)
(2)发现结论:f(x)=(cos x+)2-tan2x·sin2x=4.(9分)
下面给予证明: x∈R,且x≠kπ+(k∈Z)(注意式子中的隐藏信息:cos x≠0,切勿漏写自变量的取值范围),
有f(x)=cos2x+2+-·sin2x
=cos2x+2+
=cos2x+2+
=cos2x+2+(1+sin2x)
=4.(15分)
18.(17分)[2025海口一中高一期末]已知函数f(x)=+.
(1)化简f(x);
(2)若f(x)=3sin x,求sin4x+cos4x的值;
(3)若α∈(-,),且f(α+)=,求的值.
18.【解析】 (1)式子中有根号,先考虑去根号.
f(x)=+=+=.(4分)
(2)由f(x)==3sin x,可得sin2xcos2x=,所以sin4x+cos4x=-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x=.(9分)
(3)当α∈(-,)时,α+∈(0,),
所以f(α+)==,所以cos(α+)=,(12分)
于是sin(α+)=sin(α++)=cos(α+)=,
sin(-α)=sin[π-(α+)]=sin(α+)==,
所以=.(17分)
19.(17分)[2025济宁二中高一质量检测改编]已知A,B是一个三角形的两个内角,sin A,-cos A是方程x2-x+2a=0的两根.
(1)求角A和a的值;
(2)求sin(π+A)cos(-A)的值;
(3)若=-3,求的值.
19.【解析】 (1)因为sin A,-cos A是方程x2-x+2a=0的两根,
所以sin A-cos A=1(根据根与系数的关系可得),
又sin2A+cos2A=1,
所以sin2A+=1,解得sin A=(舍去)或sin A=,
所以A=或,
将A=,A=分别代入sin A-cos A=1中易知当A=时不成立,
故A=.(3分)
方法一 sin A=sin=,将sin A=代入方程x2-x+2a=0,
得()2-+2a=0,解得a=-.(5分)
方法二 因为sin A,-cos A是方程x2-x+2a=0的两根,
所以由根与系数的关系得2a=sin A·(-cos A)=××(-),解得a=-.(5分)
(2)sin(π+A)cos(-A)=-sin Acos(1 012π+-A)=-sin Acos(-A)=-sin2A,(8分)
由(1)知,sin A=,所以sin(π+A)cos(-A)=-()2=-.(10分)
(3)=-3,即=-3,(11分)
则=-3,则tan2B-tan B-2=0,解得tan B=2或tan B=-1,(13分)
因为cos2B-sin2B≠0,所以tan B≠-1,(15分)
故tan B=2,所以=.(17分)第十三单元 三角函数的概念、诱导公式A卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025马鞍山二中高一开学考试]已知角θ的终边经过点(,-1),则sin θ=( )
A. B.- C. D.-
2.[2025合肥一中高一开学考试]cos 855°的值是( )
A. B.- C. D.-
3.[2025东营一中模拟]已知tan α=-2,则=( )
A.-2 B.2 C.- D.
4.[2025苏州中学高一期末]“点P(sin θ,tan θ)在第二象限”是“角θ为第三象限角”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.[2025海南中学高一期末]已知0°<α<180°,且角α的终边经过点(tan 220°,1),则α=( )
A.30° B.40° C.50° D.55°
6.[2024江苏省镇江市高一期末]已知cos(α+)=-,α∈(0,),则cos(-α)的值为( )
A.- B.- C. D.
7.[2024北师大实验中学高一期中改编]如果角α的终边在直线y=2x上,则5sin2α+3sin αcos α-2=( )
A.- B.
C.- D.或-
8.【探索新定义】[2024西安交大附中高一期末]在平面直角坐标系xOy中,角θ以坐标原点O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,其终边经过点P(x0,y0),|OP|=r(r>0),定义μ(θ)=,v(θ)=,若v(θ)=,且θ∈(0,π),则μ(θ)=( )
A. B.1 C. D.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025武汉二中高一期末]已知角θ的终边过(-3a,4a)(a≠0),则( )
A.角θ为第二象限角
B.tan θ=-
C.当a>0时,sin θ+cos θ=
D.sin θcos θ的值与a的正负有关
10.【教材变式】[2024太原成成中学高一月考]在△ABC中,下列等式一定成立的是( )
A.sin(A+C)=sin B
B.tan(B+C)=tan A
C.sin =cos
D.sin2+cos2=1
11.[2025华南师大附中高一期末]已知α∈(0,π),sin α+cos α=m,则下列说法正确的是( )
A.若m=1,则cos α=0
B.若m=,则cos α=-
C.若m=,则sin α-cos α=
D.m∈(-,)
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025芜湖一中高一期末]化简:= .
13.【开放创新】[2025清华附中高一期末]已知α≠kπ+,k∈Z,写出满足sin α=cos β的一组α,β的值: .
14.[2024上海市大同中学高一期末]在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的正半轴重合.点(-2,y)在角α终边上,且tan(π-α)=2,则sin α= .若角α与角β始边相同,终边关于直线y=x对称,则cos β= .(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)[2024深圳外国语学校高一期末]如图,已知单位圆O与x轴正半轴交于点M,点A在单位圆上,其中点A在第一象限,记∠MOA=α,将角α的终边逆时针旋转后与单位圆交于点B,记∠MOB=β.
(1)若α=,求点A,B的坐标;
(2)若点A的坐标为(,m),求sin α-sin β的值.
16.(15分)[2024重庆育才中学高一质量检测]已知sin α+cos α=-,且α是第二象限角.
(1)求tan α的值;
(2)求tan(3π+α)+的值.
17.(15分)[2025成都七中高一期末]已知函数f(x)=(cos x+)2-tan2x·sin2x.
(1)分别计算f(0),f(),f()和f()的值.
(2)根据(1)的计算结果,你发现了什么恒等关系 并证明你的结论.
18.(17分)[2025海口一中高一期末]已知函数f(x)=+.
(1)化简f(x);
(2)若f(x)=3sin x,求sin4x+cos4x的值;
(3)若α∈(-,),且f(α+)=,求的值.
19.(17分)[2025济宁二中高一质量检测改编]已知A,B是一个三角形的两个内角,sin A,-cos A是方程x2-x+2a=0的两根.
(1)求角A和a的值;
(2)求sin(π+A)cos(-A)的值;
(3)若=-3,求的值.
