第十六单元 函数r=Asin(cox+p)、三角函数的应用B卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.把f(x)=2sin 2x-1的图象向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到g(x)的图象,则g()=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.我们在用语音通话时,手机话筒采集到的声音信号是一段类似正弦函数图象的声波曲线(如图所示),已知该声波曲线y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0≤φ<2π)的振幅为4,最小正周期为π,初相为,则该声波曲线的解析式是( )
A.y=4sin(πx+) B.y=4sin(2x+)
C.y=2sin(πx+) D.y=2sin(2x+)
3.要得到函数f(x)=sin x的图象,只需把函数g(x)=-cosx的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
4.已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)(M>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,其中A(0,-),B(,),若将f(x)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称,则M=( )
A.2 B.3 C.4 D.2
5.已知函数f(x)=sin πx的图象的一部分如图1,则图2中的函数图象所对应的函数解析式是( )
A.y=f(2x-) B.y=f(-) C.y=f(-1) D.y=f(2x-1)
6.已知函数f(x)=sin(ωx-)(0<ω<3),将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)与f(x)的图象关于原点对称,则ω的值为( )
A. B.1 C. D.2
7.已知x=,x=是f(x)=3cos(ωx+)(ω>0)图象的两条相邻对称轴,将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象.若g(x)在(-m,m)上有唯一的零点,则实数m的取值范围为( )
A.(,] B.(,]
C.(,] D.(0,]
8.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0),将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,点A,B,C是f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点,若△ABC是锐角三角形,则ω的取值范围是( )
A.(0,π) B.(0,π)
C.(π,+∞) D.(π,+∞)
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0)在一个周期内的图象时,列表计算了部分数据,下列有关函数f(x)的描述正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期是π
B.函数f(x)与g(x)=-2cos(2x+)+1表示同一个函数
C.函数f(x)的图象可由y=2sin x+1的图象向右平移个单位长度,再将各点横坐标缩短到原来的得到
D.函数f(x)的图象可由y=2sin x+1的图象上各点横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位长度得到
10.设函数f(x)=cos 2ωx-sin ωxcos ωx,则下列结论正确的是( )
A. ω∈(0,1),f(x)在[-,]上单调递减
B.若ω=1,且|f(x1)-f(x2)|=2,则|x1-=π
C.若ω>0,且方程|f(x)|=1在[0,π]上有且仅有3个不同的解,则ω的取值范围为[,)
D.存在ω∈(-1,0),使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为奇函数
11.已知函数f(x)=Acos(2x+φ)-1(A>0,0<φ<π),若函数y=|f(x)|的部分图象如图所示,函数g(x)=Asin(Ax-φ),则下列结论错误的是( )
A.函数g(x)的图象关于直线x=-对称
B.函数g(x)的图象关于点(,0)对称
C.将函数y=f(x)+1的图象向左平移个单位长度可得到函数g(x)的图象
D.函数g(x)在区间[0,]上的单调递减区间为[0,]
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.将函数f(x)=tan x图象上所有点的横、纵坐标变为原来的(ω>0),得到函数y=g(x)的图象,若g()=g(),则正数ω的最小值为 .
13. 【学科综合】如图,一台发电机产生的电流是正弦式电流,电压U(单位:V)和时间t(单位:s)满足U=311sin ωt(ω>0),则在一个周期内,电压的绝对值超过的时间为 s.(结果用分数表示)
14.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|≤)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(x)的图象关于点(-π,0)对称,且g(x)在区间(,-)上单调递增,则φ= ,实数m的取值范围是 .(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)已知函数f(x)=2sin(2ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,求g(x)图象的对称中心.
16.(15分)已知函数f(x)=sin(+x)sin(-x)+sin xcos x.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)用“五点法”作出f(x)在区间[-,]内的图象.
17.(15分)【情境创新】我国核电建设占全球在建核电机组的40%以上,是全球核电在建规模最大的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施,为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范,连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题,对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究,研究中发现某S型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度y(单位:mm)关于滚道径向方位角x(单位:rad)的函数近似满足y=f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<φ<π),其图象的一部分如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)为制造一批特殊钢筋混凝土,现需一批滚道径向残留高度不低于0.015 mm且不高于0.02 mm的钢筋,若这批钢筋由题中这种S型螺纹丝杠旋铣制作,求这种S型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例.
18.(17分)如图,函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象与直线y=-1交于A,B两点,点A(,-1),C(,0)在函数f(x)的图象上,且△ABC的面积为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设h(x)=f(x)+2在(0,)上的2个零点为α,β,求cos(α+β+)的值;
(3)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少有10个零点,求最小正整数b的值.
19.(17分)【模块综合】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2-1(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求f(x)的解析式及单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈[-,]时,求函数g(x)的值域;
(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(x)=在x∈[,]上的根从小到大依次为x1,x2,…,xn,试确定n的值,并求x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn的值.第十六单元 函数r=Asin(cox+p)、三角函数的应用B卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.把f(x)=2sin 2x-1的图象向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到g(x)的图象,则g()=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
1.A 把f(x)=2sin 2x-1的图象向右平移个单位长度得到y=2sin 2(x-)-1=2sin(2x-)-1的图象,再向上平移1个单位长度得到g(x)=2sin(2x-)的图象,则g()=2sin(2×-)=2sin(-)=-1.
2.我们在用语音通话时,手机话筒采集到的声音信号是一段类似正弦函数图象的声波曲线(如图所示),已知该声波曲线y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0≤φ<2π)的振幅为4,最小正周期为π,初相为,则该声波曲线的解析式是( )
A.y=4sin(πx+) B.y=4sin(2x+)
C.y=2sin(πx+) D.y=2sin(2x+)
2.B 由题意可知,A=4,=π,即ω=2,φ=,所以函数的解析式为y=4sin(2x+).
3.要得到函数f(x)=sin x的图象,只需把函数g(x)=-cosx的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
3.A g(x)=-cosx=-sin(-x)=sin(x-)=sin(x-)(如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致,那么应先利用诱导公式化为同名函数,x的系数为负时应先变成正值),根据“左加右减”平移规则,将函数g(x)=-cosx的图象向左平移个单位长度,得到f(x)=sinx的图象.
4.已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)(M>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,其中A(0,-),B(,),若将f(x)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称,则M=( )
A.2 B.3 C.4 D.2
4.D 设f(x)的最小正周期为T,依题意得=-0=(根据图象找出最小正周期、半周期或四分之一周期等),则T=,所以ω==3.因为将f(x)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称,且f(x-)=Msin(3x-+φ),所以-+φ=+kπ(k∈Z),则φ=+kπ(k∈Z),又-π<φ<0,所以k=-1,φ=-,故f(x)=Msin(3x-).将A(0,-)代入可得Msin(-)=-,所以M=2.
5.已知函数f(x)=sin πx的图象的一部分如图1,则图2中的函数图象所对应的函数解析式是( )
A.y=f(2x-) B.y=f(-) C.y=f(-1) D.y=f(2x-1)
5.D 由题意可知,图2中的图象是将图1中的图象纵坐标不变,横坐标先缩短为原来的得到函数f(2x)的图象,再向右平移个单位长度得到函数f(2(x-))=f(2x-1)的图象,所以对应的解析式为y=f(2x-1).
6.已知函数f(x)=sin(ωx-)(0<ω<3),将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)与f(x)的图象关于原点对称,则ω的值为( )
A. B.1 C. D.2
6.A 因为将函数f(x)=sin(ωx-)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,所以g(x)=sin(ωx+π-).因为g(x)与f(x)的图象关于原点对称,函数f(x)的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为y=-sin(-ωx-)(先求出f(x)图象关于原点对称的图象对应的函数解析式,然后与g(x)的解析式作比较,根据诱导公式确定ω的值),所以-sin(-ωx-)=sin(ωx+π-),即sin(ωx+)=sin(ωx+π-),所以π--=2kπ,k∈Z,所以ω=4k+,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=.
7.已知x=,x=是f(x)=3cos(ωx+)(ω>0)图象的两条相邻对称轴,将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象.若g(x)在(-m,m)上有唯一的零点,则实数m的取值范围为( )
A.(,] B.(,]
C.(,] D.(0,]
7.A 由题意可知,T=-=,所以T=,则=, 所以ω=3,则f(x)=3cos(3x+).将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)=3cos[3(x-)+]=3cos(3x-)的图象,令3x-=kπ+(k∈Z),解得x=+(k∈Z),令k=0,得x=,令k=-1,得x=-.又g(x)在(-m,m)上有唯一的零点,则解得8.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0),将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,点A,B,C是f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点,若△ABC是锐角三角形,则ω的取值范围是( )
A.(0,π) B.(0,π)
C.(π,+∞) D.(π,+∞)
8.C 由条件可得,g(x)=sin[ω(x-)+]=cos(ωx-),f(x)=sin(ωx+)=cos ωx,作出两个函数的图象,如图:
A,B,C是f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点,不妨设B在x轴下方,A,C在x轴上方,D为AC的中点,连接BD,由对称性可得△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形,AC=T==2CD.由cos ωx=cos(ωx-),得cos ωx=cos ωxcos+sin ωxsin,整理得cos ωx=sin ωx,又cos2ωx+sin2ωx=1,所以cos ωx=±,则yC=-yB=,所以BD=2|yB|=.要使△ABC为锐角三角形,只需∠ACB>即可,即tan∠ACB==>1,所以ω>π.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0)在一个周期内的图象时,列表计算了部分数据,下列有关函数f(x)的描述正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期是π
B.函数f(x)与g(x)=-2cos(2x+)+1表示同一个函数
C.函数f(x)的图象可由y=2sin x+1的图象向右平移个单位长度,再将各点横坐标缩短到原来的得到
D.函数f(x)的图象可由y=2sin x+1的图象上各点横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位长度得到
10.设函数f(x)=cos 2ωx-sin ωxcos ωx,则下列结论正确的是( )
A. ω∈(0,1),f(x)在[-,]上单调递减
B.若ω=1,且|f(x1)-f(x2)|=2,则|x1-=π
C.若ω>0,且方程|f(x)|=1在[0,π]上有且仅有3个不同的解,则ω的取值范围为[,)
D.存在ω∈(-1,0),使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为奇函数
10.AD f(x)=cos 2ωx-sin ωxcos ωx=cos 2ωx-sin 2ωx=-sin(2ωx-).
A(√) ω∈(0,1),当x∈[-,]时,2ωx-∈[-,ω-] [-,],由复合函数、正弦函数的单调性可知f(x)在[-,]上单调递减.
B( )若ω=1,且|f(x1)-f(x2)|=2,则==×=.
C( )ω>0,若x∈[0,π],则2ωx-∈[-,2ωπ-],由|f(x)|=|-sin(2ωx-)|=1在[0,π]上有且仅有3个不同的解,可得π≤2ωπ-<π,解得≤ω<.
D(√)令g(x)=-sin[2ω(x-)-]=-sin(2ωx--),可知当ω=-时,g(x)=sin x是奇函数.
11.已知函数f(x)=Acos(2x+φ)-1(A>0,0<φ<π),若函数y=|f(x)|的部分图象如图所示,函数g(x)=Asin(Ax-φ),则下列结论错误的是( )
A.函数g(x)的图象关于直线x=-对称
B.函数g(x)的图象关于点(,0)对称
C.将函数y=f(x)+1的图象向左平移个单位长度可得到函数g(x)的图象
D.函数g(x)在区间[0,]上的单调递减区间为[0,]
11.ABD 根据函数y=|f(x)|的图象,可知A=2,所以f(x)的最大值为1,故当x=0时,f(0)=-2,则2cos φ-1=-2,即cos φ=-,因为0<φ<π,所以φ=,可得g(x)=2sin(2x-).对于A,当x=-时,g(-)=-1,所以函数g(x)的图象不关于直线x=-对称,故A结论
错误;对于B,当x=时,g()=,可得函数g(x)的图象不关于点(,0)对称,故B结论错误;对于C,y=f(x)+1=2cos(2x+)=2sin[(2x+)-]=2sin(2x-),将其图象向左平移个单位长度,可得函数y=2sin[2(x+)-]=2sin(2x-)的图象,故C结论正确;对于D,因为x∈[0,],所以2x-∈[-,],所以当2x-∈[-,-],即x∈[0,]时,g(x)单调递减,故D结论错误.故选ABD.
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.将函数f(x)=tan x图象上所有点的横、纵坐标变为原来的(ω>0),得到函数y=g(x)的图象,若g()=g(),则正数ω的最小值为 .
13. 【学科综合】如图,一台发电机产生的电流是正弦式电流,电压U(单位:V)和时间t(单位:s)满足U=311sin ωt(ω>0),则在一个周期内,电压的绝对值超过的时间为 s.(结果用分数表示)
13. 由图象知T=0.02,则ω==100π,U=311sin(100πt).在区间[0,0.02]内,令311sin(100πt)=,则sin(100πt)=,得100πt=或100πt=,可得t=或t==;同理令311sin(100πt)=-,可得t=或t=.综上可知,在一个周期内电压的绝对值超过的时间为(-)+(-)=(s).
14.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|≤)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(x)的图象关于点(-π,0)对称,且g(x)在区间(,-)上单调递增,则φ= ,实数m的取值范围是 .(本题第一空2分,第二空3分)
14. (-∞,-3] 将函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|≤)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)=2sin(2x-π+φ)的图象,∵g(x)的图象关于点(-π,0)对称,∴2×(-π)-π+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ+π,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ=±.①若φ=,则g(x)=2sin(2x-),∵g(x)在区间(,-)=(,-)上单调递增,∴m<0,当x∈(,-)时,2x-∈(,),∴≥-,且≤,即m≤-3,且m≤-,∴m≤-3.②若φ=-,则g(x)=2sin(2x-π),∵g(x)在区间(,-)=(-,)上单调递增,∴m>0,当x∈(-,)时,2x-∈(,),∴≥-,且≤,即m≤-,且m≥,矛盾.综上可得,φ=,m≤-3.
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)已知函数f(x)=2sin(2ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,求g(x)图象的对称中心.
15.【解析】 (1)由题意,知T===π,所以ω=1.(4分)
(2)由(1),知f(x)=2sin(2x+).(5分)
将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到函数y=2sin[2(x+)+]=2sin(2x+)的图象,再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)=2sin(4x+)的图象.(9分)
令4x+=kπ(k∈Z),
则x=-(k∈Z).
故函数g(x)图象的对称中心为(-,0)(k∈Z).(13分)
16.(15分)已知函数f(x)=sin(+x)sin(-x)+sin xcos x.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)用“五点法”作出f(x)在区间[-,]内的图象.
16.【解析】 (1)由f(x)=sin(+x)sin(-x)+sin xcos x,可得f(x)=sin(+x)cos(+x)+sin xcos x=sin(+2x)+sin 2x=cos 2x+sin 2x=sin(2x+),(5分)
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.(8分)
(2)列表如下:
(12分)
故f(x)在区间[-,]内的图象如图所示:
(15分)
17.(15分)【情境创新】我国核电建设占全球在建核电机组的40%以上,是全球核电在建规模最大的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施,为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范,连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题,对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究,研究中发现某S型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度y(单位:mm)关于滚道径向方位角x(单位:rad)的函数近似满足y=f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<φ<π),其图象的一部分如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)为制造一批特殊钢筋混凝土,现需一批滚道径向残留高度不低于0.015 mm且不高于0.02 mm的钢筋,若这批钢筋由题中这种S型螺纹丝杠旋铣制作,求这种S型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例.
17.【解析】 (1)由题图可知,解得A=B=0.01.(2分)
由=4-1=3得T=6,
所以ω===,k∈Z.(4分)
又函数图象过点(1,0.02),所以0.01sin(+φ)+0.01=0.02,
即sin(+φ)=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,得φ=+2kπ,k∈Z,
又0<φ<π,所以φ=,(6分)
所以f(x)=0.01sin(x+)+0.01.(7分)
(2)由题意0.015≤f(x)≤0.02,
则0.015≤0.01sin(x+)+0.01≤0.02,
即≤sin(x+)≤1,所以+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
解得6k≤x≤6k+2,k∈Z,(12分)
所以当k=0时,0≤x≤2,所以这种S型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例为=.(15分)
18.(17分)如图,函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象与直线y=-1交于A,B两点,点A(,-1),C(,0)在函数f(x)的图象上,且△ABC的面积为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设h(x)=f(x)+2在(0,)上的2个零点为α,β,求cos(α+β+)的值;
(3)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少有10个零点,求最小正整数b的值.
18.【解析】 (1)因为S△ABC=×|AB|×1=,
所以|AB|=,
所以f(x)图象的一条对称轴为x=+=,-1)找出图象的一条对称轴),(2分)
所以T=-=,则T==,解得ω=3.(3分)
又f()=2cos(3×+φ)=0,且|φ|<,所以φ=.(4分)
从而f(x)=2cos(3x+).(5分)
(2)由题意得h(x)=3cos(3x+)+2,
令3cos(3x+)+2=0,得cos(3x+)=-.(7分)
因为x∈(0,),3x+∈(,),
所以(3α+)+(3β+)=2π,解得α+β=,(9分)
从而cos(α+β+)=cos=-.(10分)
(3)根据图象平移得g(x)=2cos[3(x-)+]+1=2cos 3x+1.(12分)
令g(x)=0,得2cos 3x+1=0,即cos 3x=-,则3x=+2kπ或3x=+2kπ,k∈Z.(14分)
由y=g(x)在[0,b](b>0)上至少有10个零点,知k≥4,则b≥(+8π)=,
所以b∈[,+∞),又b为正整数,故最小正整数b的值为10.(17分)
19.(17分)【模块综合】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2-1(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求f(x)的解析式及单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈[-,]时,求函数g(x)的值域;
(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(x)=在x∈[,]上的根从小到大依次为x1,x2,…,xn,试确定n的值,并求x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn的值.
19.三角恒等变换+三角函数的图象变换
思路导引 (1)利用三角恒等变换公式,化简函数f(x)的解析式,利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数的值,从而得到函数f(x)的解析式及其单调递减区间;
(2)利用三角函数的图象变换规律,求得函数g(x)的解析式,进而求得函数g(x)的值域;
(3)根据方程并结合正弦函数图象得到方程根的个数,再结合三角函数图象的对称性分组求和即可.
【解析】 (1)由题意,函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2-1=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ-).(1分)
因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为,所以T=π,可得ω==2.
又由函数f(x)为奇函数,可得f(0)=2sin(φ-)=0,
所以φ-=kπ,k∈Z,
因为0<φ<π,所以φ=,所以函数f(x)=2sin 2x.(3分)
令2kπ+≤2x≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
所以f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.(5分)
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,可得y=2sin(2x-)的图象,
再把横坐标缩小为原来的,得到函数y=g(x)=2sin(4x-)的图象,(7分)
当x∈[-,]时,4x-∈[-,],
当4x-=-时,函数g(x)取得最小值,最小值为-2,(8分)
当4x-=时,函数g(x)取得最大值,最大值为,
故函数g(x)在区间[-,]上的值域为[-2,].(10分)
(3)由方程g(x)=,即2sin(4x-)=,
得sin(4x-)=.(11分)
因为x∈[,],所以4x-∈[,5π].
设θ=4x-,则θ∈[,5π],sin θ=,
结合正弦函数y=sin θ的图象,如图所示:
可得方程sin θ=在区间[,5π]上有5个根,即n=5.(12分)
其中θ1+θ2=2×=3π,θ2+θ3=2×=5π,θ3+θ4=2×=7π,θ4+θ5=2×=9π,(13分)
即4x1-+4x2-=3π,4x2-+4x3-=5π,4x3-+4x4-=7π,4x4-+4x5-=9π,
解得x1+x2=,x2+x3=,x3+x4=,x4+x5=,
所以x1+2x2+2x3+2x4+x5=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)=.(17分)
