第十二单元 任意角和弧度制
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025江苏省马坝高级中学高一调研]与30°角终边相同的角的集合是( )
A.{α|α=30°+2kπ,k∈Z}
B.{α|α=30°+k×180°,k∈Z}
C.{α|α=30°+k×360°,k∈Z}
D.{α|α=30°+kπ,k∈Z}
1.C A( )D( )一般来说,角度、弧度不能混用.B( )C(√)与30°角终边相同的角的集合是{α|α=30°+k×360°,k∈Z}.
2.[2024潍坊一中高一期中]若α是第四象限角,则90°-α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.B 由题知α∈(-90°+360°·k,360°·k),k∈Z,则90°-α∈(90°-360°·k,180°-360°·k),k∈Z,为第二象限角.
3.[2025常州高级中学高一期末]设集合A={α|α=kπ+,k∈Z},集合B={α|α=2kπ±,k∈Z},则A与B的关系为( )
A.A=B B.A B
C.B A D.A∩B=
3.A 由于集合A={α|α=kπ+,k∈Z},所以集合A表示终边落在y轴上的角的集合;由于集合B={α|α=2kπ±,k∈Z},所以集合B表示终边落在y轴上的角的集合.所以A=B.
4.[2025长郡中学高一月考]在平面直角坐标系中,若角α与β的终边关于y轴对称,则角α与β之间的关系满足( )
A.α+β=π
B.α+β=2kπ(k∈Z)
C.α+β=kπ(k∈Z)
D.α+β=(2k+1)π(k∈Z)
4.D 由题意,角α和β的终边关于y轴对称,则α+β=(2k+1)π(k∈Z).
5.[2024巴蜀中学高一期末]在扇形OAB中,已知弦AB=2,∠AOB=,则扇形OAB的面积为( )
A. B. C.π D.
5.D 设扇形的圆心角为α,半径为r,则α=,rsin== r=2,扇形的面积S=αr2=××22=.
6.若角α的终边与函数f(x)=x-1的图象相交,则角α的集合为( )
A.{α|2kπ+<α<2kπ+,k∈Z}
B.{α|2kπ+<α<2kπ+,k∈Z}
C.{α|2kπ-<α<2kπ+,k∈Z}
D.{α|2kπ-<α<2kπ+,k∈Z}
6.C 当角α的终边与直线y=x重合时,角α的终边与函数f(x)=x-1的图象无交点.又因为角α的终边为射线,所以2kπ-<α<2kπ+,k∈Z.
7.[2025陕西省安康市高一期末]已知某扇形的圆心角为α,周长为10,设甲:α为第二象限角;乙:该扇形的面积为6,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件又不是乙的必要条件
7.D 设扇形的半径为r,弧长为l,由该扇形的周长为10,面积为6,得解得或所以当r=2时,α==3,其为第二象限角;当r=3时,α=,其不是第二象限角.又第二象限角的范围为2kπ+<α<2kπ+π,k∈Z,所以甲无法推出乙,乙也无法推出甲,即甲既不是乙的充分条件又不是乙的必要条件.
8.【数学文化】[2025贵阳一中高一期末]《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了扇形弧长的近似计算公式:=弦+.如图,公式中“弦”是指扇形中所对弦AB的长,“矢”是指所在圆O的半径与圆心O到弦AB的距离之差,“径”是指扇形所在圆O的直径.若扇形的面积为,扇形的半径为4,利用上述公式,得该扇形的弧长的近似值为( )
A.6 B.2+1
C.11-4 D.4+1
8.C 第一步:根据扇形面积公式计算圆心角
设该扇形的圆心角为α,由扇形面积公式得×42×α=,所以α=.
第二步:作辅助线,计算弦AB的长
如图,取的中点C,连接OC,交AB于点D,则OC⊥AB,
在Rt△AOD中,OA=4,∠AOD=α=,所以AD=2,OD=2,所以AB=2AD=4.
第三步:计算矢
CD=OC-OD=4-2.
第四步:代入扇形弧长的近似计算公式求解
扇形弧长的近似值为=弦+=AB+=4+=11-4.
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025衡阳四中高一期末]如果角α与角γ+45°的终边重合,角β与角γ-45°的终边重合,那么α-β可能为( )
A.90° B.360° C.450° D.3 330°
9.ACD 由条件知α=γ+45°+k1·360°(k1∈Z),β=γ-45°+k2·360°(k2∈Z),将以上两式相减消去γ,得α-β=(k1-k2)·360°+90°=k·360°+90°(k1,k2∈Z,k1-k2=k,k∈Z),当k=0时,α-β=90°;当k=1时,α-β=450°;当k=9时,α-β=3 330°.
10.【教材变式】[2024北师大二附中高一期中]设α是第二象限角,则的终边可能在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.ABD 因为α是第二象限角,所以2kπ+<α<2kπ+π,k∈Z,则+<<+,k∈Z.当 k=0时, <<,终边在第一象限;当k=1时, <<π,终边在第二象限;当 k=2时, <<,终边在第四象限.
11.[2025深圳市盐田高级中学]我国传统扇文化有着极其深厚的底蕴,一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,如图,设扇形的面积为S1,其圆心角为θ,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面为“美观扇面”,下列结论正确的是(参考数据:≈2.236)( )
A.=
B.若=,扇形的半径R=3,则S1=2π
C.若扇面为“美观扇面”,则θ≈138°
D.若扇面为“美观扇面”,扇形的半径R=20,则此时的扇形面积为200(3-)
11.AC A(√)易知S1与S2所在扇形圆心角分别为θ,2π-θ,S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比,则=;
B( )若==,则θ=,所以S1=θR2=××32=3π;
C(√)若==,则θ=(3-)π≈(3-2.236)×180°≈138°;
D( )S1=θR2=×(3-)π×202=20(3-)π.
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025河北衡水中学高一期末]与-520°角终边相同的最小正角是 .(用弧度表示)
12. 与-520°角终边相同的最小正角是-520°+2×360°=200°(按逆时针方向旋转形成的角叫做正角),即200×=.
13.【情境创新】[2025济宁一中高一下开学考试]如图1是一款扇形组合团圆拼盘,其示意图如图2所示,中间是一个直径为24 cm的圆盘,四周是8个相同的扇环形小拼盘,组拼后形成一个大圆盘,寓意“八方来财,阖家团圆”.若的长为 cm,则每个扇环形小拼盘的面积为 cm2(结果中可以含π).
如图,
延长扇环形的线段交于小圆圆心O,则OC=OD=12,设OA=OB=R,每个扇环形小拼盘所在扇形的圆心角为α==,则的长为αR=,解得R=30,所以每个扇环形小拼盘的面积为S扇形OAB-S扇形OCD=××302-××122=(cm2).
14.[2025吕梁市凤山高级中学高一期末]午夜零时时针和分针重合,则午夜零时后,时针和分针第1次重合所需时间为 h,第3次重合时时针所转的角度为 rad.(本题第一空2分,第二空3分)
14. 任意角的定义+弧度角
思路导引 设分针走了t h与时针重合,根据任意角的定义,可知分针的角速度为-2π(rad/h),时针的角速度为-(rad/h),根据时针与分针重合可得2πt-t=2kπ,k∈N*,进而求出k=1,k=3对应的时间及k=3时时针转动的弧度角.
设从午夜零时起,分针走了t h后与时针重合,分针的角速度为-2π(rad/h),时针的角速度为-(rad/h),则2πt-t=2kπ,k∈N*,得t=k,k∈N*.当k=1时,t=,当k=3时,t=,这时时针所转的角度为-×=- rad(正常情况下,钟表的时针或分针在旋转时与起始位置所形成的角总是负角).
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)将下列角度与弧度互化.(不必求近似值)
(1)20°;
(2)-10°30';
(3)1.2;
(4)-.
15.【解析】 (1)20°=20× rad= rad.(3分)
(2)-10°30'=-10.5°=-× rad=- rad(将角度转化为弧度时,要把带有分、秒的部分化为度之后,再用公式化成弧度求解).(7分)
(3)1.2 rad=×()°=()°.(10分)
(4)- rad=-×()°=-252°.(13分)
16.(15分)[2025赣州中学高一开学检测]
(1)已知角α=1 200°,将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.
16.【解析】 (1)α=1 200°=1 200×==+3×2π,(3分)
角α与的终边相同,且<<π,所以角α是第二象限角.(6分)
(2)定边界角→化为弧度制→用集合表示.
图①:因为75°=,330°==2π-,
所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|2kπ-<θ<2kπ+,k∈Z}(注意不要将所求集合写成{θ|2kπ+,k∈Z},这是一个空集);(10分)
图②:因为30°=,90°=,210°==π+,270°==π+,
所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|kπ+<θ17.(15分)[2025新乡一中、安阳一中等校高一联考]已知某扇形的半径r=2 cm,周长C=(4+)cm.
(1)求该扇形的面积;
(2)求在区间(0,3π)上与该扇形的圆心角α终边相同的角.
17.【解析】 (1)设扇形的弧长为l,因为r=2 cm,所以由题意,扇形的周长为C=2r+l=2×2+l=4+(cm),
解得l=(cm),(3分)
所以扇形的面积为S=lr=××2=(cm2).(6分)
(2)由(1)可知,圆心角α===,故与α终边相同的角的集合为{β|β=+2kπ,k∈Z},(9分)
其中在区间(0,3π)上的β有+0×2π=,+1×2π=,(12分)
故在区间(0,3π)上与该扇形圆心角α终边相同的角为和.(15分)
18.(17分)【模块综合】[2025邯郸一中高一期末]如图所示,某城市中心有一圆形广场,政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域(由扇形OBC去掉扇形OAD构成)种植花卉,已知OB=20 m,OA=x m,扇形环面区域面积为100 m2,圆心角为θ rad.
(1)求θ关于x的函数解析式.
(2)记花卉周围栅栏的长度为y m,试问x取何值时,y的值最小 并求出最小值.
18.【解析】 (1)利用扇形的面积公式可得θ×202-θ×x2=100,(3分)
所以θ=(0(2)第一步:根据弧长公式求出y关于x的函数表达式
依题意可得弧长AD=xθ,弧长BC=20θ,所以栅栏的长度y=xθ+20θ+2×(20-x),(8分)
将θ=代入上式,整理可得y=2(20-x)+.(10分)
第二步:根据基本不等式可得y的最小值
因为20-x>0,
所以y=2(20-x)+=2(20-x+)≥4=40,(15分)
当且仅当x=10时取等号,所以x取10时,y的值最小,最小值为40.(17分)
19.(17分)[2025复旦附中高一期末]一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1 cm的圆的圆周上爬动,且两只蚂蚁从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°).如果两只蚂蚁都在第14秒时回到点A,并且在第2秒时均位于第二象限.
(1)求α,β的大小;
(2)两只蚂蚁的爬行速度保持不变,若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行,黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行,求当它们从点A出发后第一次相遇时,红蚂蚁爬过的路程.
19.角的终边所在象限+弧长公式
思路导引 (1)根据题中条件,先设14α=k·360°(k∈Z),14β=m·360°(m∈Z),再由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,0°<α<β<180°,列出不等式求解,得出k和m的值,即可得出结果;(2)先设它们从点A出发后第一次相遇时,所用的时间为t秒,根据题中条件求出t,根据弧长的计算公式,即可求出结果.
【解析】 (1)由题意可得,14α与14β都是360°的整数倍,
不妨设14α=k·360°(k∈Z),14β=m·360°(m∈Z),
则α=·180°(k∈Z),β=·180°(m∈Z).(2分)
因为两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,
所以即
所以(5分)
因为0°<α<β<180°,
所以k即α=()°,β=()°.(8分)
(2)设两只蚂蚁从点A出发后第一次相遇时,所用的时间为t秒,
则(α+β)t=360°,即[()°+()°]t=360°,解得t=,
所以红蚂蚁爬过的角为αt=144°.(13分)
因为圆的半径为1 cm,
所以红蚂蚁爬过的路程为·2π·1=(cm).(17分)第十二单元 任意角和弧度制
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.[2025江苏省马坝高级中学高一调研]与30°角终边相同的角的集合是( )
A.{α|α=30°+2kπ,k∈Z} B.{α|α=30°+k×180°,k∈Z}
C.{α|α=30°+k×360°,k∈Z} D.{α|α=30°+kπ,k∈Z}
2.[2024潍坊一中高一期中]若α是第四象限角,则90°-α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
3.[2025常州高级中学高一期末]设集合A={α|α=kπ+,k∈Z},集合B={α|α=2kπ±,k∈Z},则A与B的关系为( )
A.A=B B.A B C.B A D.A∩B=
4.[2025长郡中学高一月考]在平面直角坐标系中,若角α与β的终边关于y轴对称,则角α与β之间的关系满足( )
A.α+β=π B.α+β=2kπ(k∈Z)
C.α+β=kπ(k∈Z) D.α+β=(2k+1)π(k∈Z)
5.[2024巴蜀中学高一期末]在扇形OAB中,已知弦AB=2,∠AOB=,则扇形OAB的面积为( )
A. B. C.π D.
6.若角α的终边与函数f(x)=x-1的图象相交,则角α的集合为( )
A.{α|2kπ+<α<2kπ+,k∈Z}
B.{α|2kπ+<α<2kπ+,k∈Z}
C.{α|2kπ-<α<2kπ+,k∈Z}
D.{α|2kπ-<α<2kπ+,k∈Z}
7.[2025陕西省安康市高一期末]已知某扇形的圆心角为α,周长为10,设甲:α为第二象限角;乙:该扇形的面积为6,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件又不是乙的必要条件
8.【数学文化】[2025贵阳一中高一期末]《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了扇形弧长的近似计算公式:=弦+.如图,公式中“弦”是指扇形中所对弦AB的长,“矢”是指所在圆O的半径与圆心O到弦AB的距离之差,“径”是指扇形所在圆O的直径.若扇形的面积为,扇形的半径为4,利用上述公式,得该扇形的弧长的近似值为( )
A.6 B.2+1 C.11-4 D.4+1
选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.[2025衡阳四中高一期末]如果角α与角γ+45°的终边重合,角β与角γ-45°的终边重合,那么α-β可能为( )
A.90° B.360° C.450° D.3 330°
10.【教材变式】[2024北师大二附中高一期中]设α是第二象限角,则的终边可能在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
11.[2025深圳市盐田高级中学]我国传统扇文化有着极其深厚的底蕴,一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,如图,设扇形的面积为S1,其圆心角为θ,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面为“美观扇面”,下列结论正确的是(参考数据:≈2.236)( )
A.=
B.若=,扇形的半径R=3,则S1=2π
C.若扇面为“美观扇面”,则θ≈138°
D.若扇面为“美观扇面”,扇形的半径R=20,则此时的扇形面积为200(3-)
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分
12.[2025河北衡水中学高一期末]与-520°角终边相同的最小正角是 .(用弧度表示)
13.【情境创新】[2025济宁一中高一下开学考试]如图1是一款扇形组合团圆拼盘,其示意图如图2所示,中间是一个直径为24 cm的圆盘,四周是8个相同的扇环形小拼盘,组拼后形成一个大圆盘,寓意“八方来财,阖家团圆”.若的长为 cm,则每个扇环形小拼盘的面积为 cm2(结果中可以含π).
14.[2025吕梁市凤山高级中学高一期末]午夜零时时针和分针重合,则午夜零时后,时针和分针第1次重合所需时间为 h,第3次重合时时针所转的角度为 rad.(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)将下列角度与弧度互化.(不必求近似值)
(1)20°;
(2)-10°30';
(3)1.2;
(4)-.
16.(15分)[2025赣州中学高一开学检测]
(1)已知角α=1 200°,将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.
17.(15分)[2025新乡一中、安阳一中等校高一联考]已知某扇形的半径r=2 cm,周长C=(4+)cm.
(1)求该扇形的面积;
(2)求在区间(0,3π)上与该扇形的圆心角α终边相同的角.
18.(17分)【模块综合】[2025邯郸一中高一期末]如图所示,某城市中心有一圆形广场,政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域(由扇形OBC去掉扇形OAD构成)种植花卉,已知OB=20 m,OA=x m,扇形环面区域面积为100 m2,圆心角为θ rad.
(1)求θ关于x的函数解析式.
(2)记花卉周围栅栏的长度为y m,试问x取何值时,y的值最小 并求出最小值.
19.(17分)[2025复旦附中高一期末]一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1 cm的圆的圆周上爬动,且两只蚂蚁从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°).如果两只蚂蚁都在第14秒时回到点A,并且在第2秒时均位于第二象限.
(1)求α,β的大小;
(2)两只蚂蚁的爬行速度保持不变,若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行,黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行,求当它们从点A出发后第一次相遇时,红蚂蚁爬过的路程.
